квантовая механика
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА г.Семей Документ СМК 3 уровня УМКД УМКД Учебно-методические материалы по дисциплине «Квантовая механика» УМКД Редакция № 1 от 11.09.2013 г. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ «Квантовая механика» для специальности 5В011000 - «Физика» УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ Семей 2013 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 2 из 68 Содержание 1. Глоссарий 2. Лекции 3. Практические и лабораторные занятия 4. Самостоятельная работа студента 3 6 49 55 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 3 из 68 1. ГЛОССАРИЙ амплитуда вероятности – в квантовой механике, то же, что волновая функция. Название «амплитуды вероятности» связано со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы (или физической системы) в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности в этого состояния амплитуда рассеяния – в квантовой теории столкновений, величина, количественно описывающая столкновение микрочастиц вероятность квантового перехода – величина, обратная времени жизни квантовой системы по отношению к данному квантовому переходу возбужденное состояние – квантовой системы, состояние атома, молекулы и других квантовых систем с энергией выше минимальной из дискретного ряда возможных для этой системы энергий волновая функция – величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (электрона, протона, атома, молекулы) и вообще любой квантовой системы вторичное квантование – метод описания квантовых систем, состоящих из большого числа тождественных частиц, в котором роль независимых переменных волновой функции играют числа заполнения – числа частиц в индивидуальных состояниях отдельной частицы время жизни – средняя продолжительность существования возбужденных состояний молекул, атомов, атомных ядер, заканчивающаяся спонтанным (самопроизвольным) их переходом в менее возбужденное или в основное состояние вынужденное излучение испускание электромагнитного излучения квантовыми системами под действием внешнего (вынуждающего) излучения вырождение – в квантовой механике, заключается в том, что некоторая физическая величина L, характеризующая данную систему (атом, молекула и т.п.), имеет одинаковое значение для различных состояний системы. Число таких различных состояний, которым отвечает одно и то же значение L, называемым кратностью вырождения данной величины гамильтониан – в квантовой теории – оператор, соответствующий Гамильтона функции в классической теории излучательный квантовый переход – квантовый переход, при котором квантовая система (атом, молекула, атомное ядро и т.д.) испускает или поглощает квант электромагнитного излучения инвариантность – неизменяющаяся, неизменность, независимость от некоторых физических условий квазиклассическое приближение – квантовой механики (Венцеля – Крамерса – Бриллюэна метод), приближенный метод решения задач квантовой механики, применимый, когда и квантовое и классическое описание движения частицы дают близкие результаты УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 4 из 68 квантовая электродинамика – квантовая теория взаимодействующих электромагнитных полей и заряженных частиц квантовые числа – целые или дробные числа, которые определяют возможные значения физических величин, характеризующих квантовые системы квантовый переход – скачкообразный переход квантовой системы (атома, молекулы, атомного ядра, твердого тела) из одного состояния в другое квантовая механика (волновая механика) – теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например кристаллов) квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующий системы многих частиц, подчиняющихся законам квантовой механики квантовая теория поля – релятивистская квантовая теория физических систем с бесконечным числом степеней свободы корпускулярно – волновой дуализм – лежащее в основе квантовой теории представление о том, что в поведении микрообъектов проявляются как корпускулярные, так и волновые свойства ковалентная связь – (гомеополярная связь), химическая связь между двумя атомами, возникающая при обобществлении электронов, принадлежавших этим атомам магнетон – единица магнитного момента, принятая в атомной и ядерной физике, физике твердого тела, элементарных частиц и т.д. матрица рассеяния – совокупность величин (матрица), описывающая процесс перехода квантомеханической систем из одних состояний в другие при их взаимодействии (рассеянии) матрица плотности – оператор, при помощи которого можно вычислить среднее значение любой физической величины в квантовой статистической механике и, в частном случае, в квантовой механике механика – это часть физики, изучающая механическое движение материальных тел и происходящие при этом взаимодействия между ними обменное взаимодействие – специфическое взаимное влияние тождественных частиц, эффективно проявляющееся как результат некоторого особого взаимодействия операторы – в квантовой теории, понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики и квантовой теории поля. Оператор служат для сопоставления с определенной волновой функцией (или вектором состояния) другой определенной функции (вектора) принцип причинности – один из наибольше общих принципов, устанавливающий допустимые пределы влияния физических событий друг на друга пространственная инверсия – (Р), изменение пространственных координат событий ( х, у, z ), определенных в некоторой декартовой системе координат, на их противоположные значения: х х, у у, z z (или r r ) УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 5 из 68 правила отбора – правила, определяющие возможные квантовые переходы для атомов, молекул, атомных ядер, взаимодействующих элементарных частиц и другие потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область высокой потенциальной энергии частицы в силовом поле, по обе стороны который потенциальная энергия более или менее резко спадает потенциальная яма - ограниченная область пространства, определяемая физической природой взаимодействия частиц, в которой потенциальная энергия частицы меньше, чем вне её принцип суперпозиции – допущение, согласно которому результирующий эффект сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга. постоянная Планка һ - называется квантом действия, имеет размерность действия и равна h 6,626 10 34 Дж с стационарное состояние атома – состояние атома с определенной внутренней энергией, находясь в котором атом не излучает спин - в квантовой механике частица (как сложная, напр. ядро, так и элементарная, напр. электрон) может иметь собственный момент количества движения называемым спином симметрия квантомеханических систем – если квантомеханическая система обладает определенной симметрией, то операторы сохраняющихся физических величин, соответствующих этой симметрии, коммутируют с гамильтонианом системы сродство к электрону – способность некоторых нейтральных атомов, молекул и свободных радикалов присоединять добавочные электроны, превращаясь в отрицательные ионы соотношение неопределенности – фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения равновесное излучение – тепловое излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с веществом тождественные частицы - частицы, обладающие одинаковыми физическими свойствами: массой, спином, электрическим зарядом и другие внутренними характеристиками (квантовыми числами) теория возмущения – метод приближенного решения уравнений, содержащих какие – либо малые параметры уравнение Шредингера – описывает изменение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемого волновой функцией уравнение Дирака – релятивистское дифференциальное уравнение для волновой функции свободной (невзаимодействующей) частицы со спином 1 2 (электрон, мюон, кварки и др.), описывающее изменение её состояния со временем. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 6 из 68 уравнение Клейна – Гордона – Фока – квантовое релятивистское уравнение для частиц с нулевым спином уравнение Паули - уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1 2 (напр. электрона) во внешнем электромагнитном поле физика – наука о наиболее простых и общих формах движения материи и их взаимных превращениях, она относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений и процессов в окружающем нас мире. физические законы – устойчивые повторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе фермион - частица или элементарное возбуждение квантовой системы многих частиц – квазичастица, обладающая полуцелым спином (в единицах ) химическая связь – связь между атомами в молекуле или молекулярном соединении, возникающая в результате либо переноса электрона с одного атома на другой, либо обобществления электронов парой (или группой) атомов четность – квантомеханическая характеристика состояния микрочастицы (молекулы, атома, атомного ядра, элементарные частицы), отображающая свойства симметрии волновой функции этой частицы относительно зеркальных отражений (пространственной инверсии) 2. КРАТКИЕ КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Введение Квантовая механика, представляющая собой один из важнейших разделов современной теоретической физики, была создана сравнительно недавно – в 20-х годах ХХ столетия. Ее основной задачей является изучение поведения микрочастиц, например электронов в атоме, молекуле, твердом теле, электромагнитных полях и т.д. Первым обобщающим результатом тщательного анализа всех предварительных теорий, а также экспериментальных данных, подтверждающих как квантовую природу света, так и волновые свойства электронов, явилось волновое уравнение Шредингера (1926), позволившее вскрыть законы движения электронов и других атомных частиц и построить после открытия вторичного квантования уравнений Максвелла – Лоренца сравнительно последовательную теорию излучения с учетом квантовой природы света. С появлением уравнения Шредингера ученые, исследовавшие атом, получили в свои руки такое же мощное оружие, какое в свое время было дано астрономам после появления основных законов механики Ньютона, включая закон всемирного тяготения. Поэтому не удивительно, что с появлением уравнения Шредингера многие факты, связанные с движением электронов внутри атома, нашли свое теоретическое обоснование. Несмотря на то что квантовая механика, вскрыв многие закономерности микромира, дала в руки исследователей атома неоценимый математический УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 7 из 68 аппарат, ее нельзя рассматривать как теорию, позволяющую абсолютно точно познать все закономерности микромира. Если в рамках квантовой механики какие-то явления остаются необъясненными, то это свидетельствует лишь о том, что должны существовать принципиально новые, более совершенные теории, в рамках которых эти факты нашли бы свое объяснение. Тема: О необходимости перехода к квантовым понятиям. Корпускулярноволновой дуализм. Принцип неопределенности. Волновая функция. Принцип суперпозиции. Отличительной особенностью микрочастиц является то, что их движение не подчиняется законам классической механики. С рядом фактов, свидетельствующих о непригодности классических представлений в области атомных процессов, мы познакомились выше, в частности в теории электромагнитного поля и особенно в статистической физике. Так, в статистической физике мы видели, что основная величина, характеризующая состояние отдельных атомов и молекул – их энергия, пробегает дискретный ряд значений. Прямое доказательство дискретности состояний атомных систем было получено в опытах Франка и Герца (1913 г.). Энергия атома не единственная величина, которая может принимать лишь дискретные или, как говорят, квантованные значения. В опытах Штерна и Герлаха было показано, что таким же дискретным спектром значений обладает и механический момент атома. Трудность понимания свойств микрочастиц усугубляется тем, что наряду со свойствами дискретности некоторых величин, характеризующих состояние частиц, в ряде опытов проявлялась ясно выраженная непрерывность этих же величин. Оказалась, что микрочастицы удивительным образом сочетают в себе свойства обычных частиц – корпускул и свойства волн. Это основное свойство микрочастиц носит название корпускулярно-волнового дуализма. Основной особенностью корпускул, изучаемых в классической механике, является наличие у них определенной пространственной протяженности. Идеализацией корпускулы служит материальная точка, не имеющая размеров и двигающаяся по определенной траектории. Свойства волновых процессов в классической физике до известной степени являются обратными свойствам корпускулярных объектов. Монохроматическая волна прежде всего обладает бесконечной протяженностью в пространстве. Поэтому лишено смысла утверждение «монохроматическая волна находится в данной точке пространства». Не имеет также смысла говорить о траектории монохроматической волны. Локализация волнового процесса в пространстве неизбежно связана с созданием волнового пакета. Оказалось, что у микрочастиц имеет место сочетание корпускулярных и волновых свойств, необъяснимое с точки зрения обычных наглядных представлений классической физики. Выражаясь точнее, в некоторых условиях УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 8 из 68 микрочастицы ведут себя как корпускулы, а в других условиях те же микрочастицы обнаруживают чисто волновые свойства. Наконец, в некоторых опытах одновременно проявляются и корпускулярные, и волновые свойства. Таким образом механика, которой подчиняются атомные явления, - так называемая квантовая или волновая механика, - должна быть основана на представлениях о движении, принципиально отличных от представлений классической механики. В квантовой механике не существует понятия траектории частицы. Это обстоятельство составляет содержание так называемого принципа неопределенности – одного из основных принципов квантовой механики, открытого В. Гайзенбергом в 1927 г. Полное описание состояния физической системы в классической механике осуществляется заданием в данной момент времени всех ее координат и скоростей; по этим начальным данным уравнения движения полностью определяют поведение системы во все будущие моменты времени. В квантовой механике такое описание принципиально невозможно, поскольку координаты и соответствующие им скорости не существуют одновременно. Таким образом, описание состояния квантовой системы осуществляется меньшим числом величин, чем в классической механике, т.е. является менее подробным, чем классическое. Наличие у электрона волновых свойств показывает, что электрону следует сопоставить некоторое волновое поле. Амплитуду этого волнового поля, зависящую от координат и времени, мы будем называть волновой функцией ( x, y, z, t ) . Иногда ее для краткости именуют также - функцией. Физическое толкование волновой функции (впервые данное М. Борном) 2 ( x, y, z , t ) dV заключается в следующем: величина пропорциональна вероятности того, что электрон будет обнаружен в момент времени t в элементе объема dV , расположенном в окрестности точки x, y, z . Обозначая эту вероятность через dW , имеем dW ~ ( x, y, z , t ) dV . 2 В силу теоремы сложения вероятностей определение может быть дополнено следующим условием нормировки: 2 ( x, y, z, t ) dV 1 , где стоящий слева интеграл, взятый по всему пространству, есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в любой точке пространства. Эта вероятность естественно равна единице. Волновые функции , удовлетворяющие условию нормировки, называются нормированными. Содержание этого принципа сводится к следующему: если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых функциями 1 , 2 ,..., n , то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций n cn n , n где cn - произвольные постоянные, также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний системы. Важность принципа УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 9 из 68 суперпозиции заключается, в частности, в том, что он ограничивает возможные уравнения для определения линейными уравнениями. Содержание принципа суперпозиции сводится к следующему: Тема: Операторы физических величин. Линейные и эрмитовы операторы. Своеобразие задач квантовой механики потребовало развития и применения специального математического аппарата. Математический аппарат квантовой механики должен соответствовать физической постановке задач квантовой механики. Оказалось, что в математике был уже разработан соответствующий математический аппарат – теория линейных операторов. Мы рассмотрим сперва основы этой теории, а в дальнейшем покажем, как аппарат теории линейных операторов может быть связан с задачами квантовой механики. Под оператором будем понимать рецепт или правило, по которому одной функции ( x1 , x2 , x3 ,...) переменных x1 , x2 , x3 ,... сопоставляется другая функция ( x1 , x2 , x3 ,...) тех же переменных. В дальнейшем операторы мы будем обозначать при помощи букв со шляпкой, например F . С помощью символа F правило перехода от функции можно записать в виде F . Нас будут интересовать лишь такие уравнения, которые приводят только к вещественным собственным значениям. Оказывается, что существует класс операторов, которые могут обладать только вещественными собственными значениями. Такие операторы носят название эрмитовых или самосопряженных. Каждому линейному оператору F можно сопоставить некоторый другой оператор F̂ , который мы будем называть оператором, сопряженный к данному, или эрмитово сопряженным. Сопряженный оператор определяется условием * * 1 F 2 dV 2 ( F 1 ) dV . Здесь, как всегда, звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины. Если оператор F совпадает со своим сопряженным оператором F F , то такой оператор называют эрмитовым или самосопряженным. Соотношение в этой случае иммет вид * * * 1 F 2 dV 2 F 1 dV . Здесь мы через F * обозначили оператор, определяемый соотношением F * * ( F ) * . В качестве примера найдем оператор, сопряженный к оператору дифференцирования F d . Полагая, что функции 1 , 2 обращаются в нуль на dx бесконечности, получаем, производя интегрирование по частям: d 1* d dx dx 2 2 dx dx . * 1 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 10 из 68 Сравнивая находим оператор F F d . dx Мы видим, что оператор F в данном случае не совпадает с оператором F , т.е. оператор дифференцирования не является сомасопряженным. Если, однако, в качестве оператора F взять оператор i d , то легко видеть, что такой оператор dx уже будет эрмитовым. Тема: Свойства собственных функций операторов. Собственные значения и собственные функции операторов импульса и орбитального момента. Средние значения физических величин. Условия совместной измеримости наблюдаемых величин. Соотношение неопределенностей физических величин. Рассмотрим операторное соотношение F F Это соотношение означает, что при применении оператора F к функции снова получается функция , умноженная на некоторую постоянную F соотношению может удовлетворять отнюдь не всякая функция . Иными словами, соотношение является уравнением. Вид функции может быть получен путем решения уравнения. Если оператор F является линейным дифференциальным оператором, то уравнение будет дифференциальным уравнением. Поскольку из вида уравнения сразу ясно, что 0 является его тривиальным решением, представляет линейное однородное дифференциальное уравнение. Исследование таких линейных однородных уравнений является важнейшей задачей теории операторов. В дальнейшем нас будут интересовать не любые операторы F и функции , а лишь функции, удовлетворяющие определенными условиям: 1) функция должна существовать во всей области измерения независимых переменным. Например, в случае декартовых координат, в области x , y , z ; 2) в области существования функции должна быть конечной и непрерывной, вместе со своей первой производной, за исключением, может быть, особых точек; 3) функция должна быть однозначна. Совокупность условий 1) – 3) мы будем именовать стандартными условиями. Оказывается, что уравнение вообще говоря, имеет решения, отличные от тривиального и удовлетворяющие стандартными условиям не при всех значениях параметра F, а лишь при некоторых избранных его значениях. Избранные значения F, при которых существуют нетривиальные решения уравнения, именуются собственными значениями оператора F , а соответствующие им решения уравнения собственными функциями оператора F . Собственные функции линейного эрмитового оператора F , отвечающие различным собственным значениям Fn и Fm , взаимно ортогональны, т.е. удовлетворяют соотношению УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 11 из 68 (при m n ) n dV 0 * m Действительно, функции n и m* удовлетворяют уравнениям F n Fn n , F * m* Fm m* Поскольку оператор F эрмитов, имеем * m F n dV n F * m* dV Имея в виду дальнейшее, мы будем нормировать собственные функции дискретного спектра условием * n n dV 1 Собственные функции, удовлетворяющие соотношению, мы будем именовать нормированными на единицу. Формулы объединим в одну n dV nm , * m где nm - символ Кронекера: nm 1 nm 0 nm Собственные функции сплошного спектра удобно нормировать на функцию Дирака, так что условия ортогональность и нормировки могут быть выражены * F ( x) F ( x) dV (F F ) . Под средним мы, как всегда, понимаем математическое ожидание (среднее арифметическое) данной величины. Среднее значение физической величины дается формулой: F * F dV . Отметим, что это выражение должно быть написано в несколько более общем виде, если волновая функция не нормирована на единицу. В этом случае F dV . F dV * * Соотношение неопределенностей физических величин дается формулой: F 2 R 2 1 B. 2 Формула дает искомое соотношение между погрешностями F и R . Она устанавливает минимально возможное значение произведения этих погрешностей. Рассмотрим частный случай, взяв за величины F и R соответственно p x и x. x2 x 2 . 2 Таким образом, соотношение неопределенности имеет вполне общий характер. Соотношение неопределенности для координаты и импульса является частным случаем. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 12 из 68 Тема: Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера. Плотность потока вероятности. Уравнение непрерывности в квантовой механике. Уравнение Шредингера обладает той особенностью, что оно является уравнением первого порядка по времени и содержит множитель i . Последнее означает, что волновая функция должна быть комплексной. 2 i U , t 2m где волновая функция зависит от координат x, y, z и времени t . Это уравнение является основным уравнением квантовой механики. Волновое уравнение Шредингера играет в квантовой механике ту же роль, что уравнение Ньютона в классической механике. Его можно было бы назвать уравнение движения квантовой частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике – это значит определить значение - функции в каждый момент времени и в каждой точке пространства. Обозначая потенциальную энергию частицы через U (x), а полную – через Е, получим ( x) 2m ( E U ( x)) ( x) 0 2 Уравнение представляет искомое обобщение волнового уравнения Шредингера на случай частицы, движущейся в произвольном потенциальном поле, не зависящем от времени. Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Волновая функция, описывающая движение частицы, вообще говоря, изменяется в пространстве и времени. Однако это изменение не может быть произвольным. Именно, имеет место некоторый закон сохранения. Введем вектор j , определенный соотношением ( * * ) . 2mi 2 тогда dV jn dS . t S j Эта формула показывает, что плотность вероятности удовлетворяет закону сохранения, а введенный нами вектор j имеет смысл плотности потока вероятности. Соотношение может быть переписано в дифференциальной форме в виде уравнения непрерывности t 2 divj 0. Интеграл от нормальной составляющей вектора j по некоторой поверхности представляет вероятность того, что частица пересечет указанную поверхность в в единицу времени. Тема: Изменение со временем средних значений наблюдаемых. Теоремы Эренфеста. Интегралы движения. Связь законов сохранения со свойствами симметрии пространства и времени. Четность квантовых состояний. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 13 из 68 Построим теперь оператор F , отвечающий производной по времени от квантомеханической величины, описываемой оператором F . Совершенно ясно, что обычное определение производной от функции неприменимо к квантомеханической величине, описываемой оператором F . Для определения понятия производной мы вновь воспользуемся аналогией с классической механикой. Как известно, в классической механике производная по времени от некоторой механической величины F может быть выражена через классическую скобу Пуассона dF F H , F , dt t где Н – функция Гамильтона. Переходя от классических величин к квантомеханическим операторам и от классической скобки Пуассона к квантовой, получим выражение для оператора F. F F H ,F t Если оператор F не зависит от времени явно, то оператор F имеет вид i F H , F ( H F F H ) . Из свойств квантовых скобок Пуассона сразу следуют выражения для производной от суммы F и произведения L двух операторов D и R F D R , L D R DR С помощью этих формул для производной от квантового оператора можно найти выражение для производной по времени от среднего значения величины F . Дифференцируя выражение для среднего, находим * F F F dV * dV * F dV t t t * Выразим производные и через волновые функции с помощью уравнения t t Шредингера и уравнения с ним сопряженного. Тогда имеем F i i F * dV * F ( H )dV ( H * * ) F dV , t * * * * ( H ) F dV ( F ) H dV , так как интеграл не изменяется при перестановке подынтегральных функций. Из эрмитовости оператора H следует, что ( F ) H * * dV * HF dV . Окончательно получаем F i F * ( ( HF FH )) dV . t Предположим, что оператор F не зависит от времени явно и коммутирует с оператором Гамильтона H . В этом случае, оператор производной по времени равен нулю и среднее значение величины F не изменяется во времени УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 14 из 68 F 0. Такие величины в квантовой механике, так же как и в механике классической, принято именовать интегралами движения. Из сказанного ясно, что квантомеханическая величина является интегралом движения, если: 1) ее оператор не зависит от времени явно; 2) этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона. Зная операторы различных квантомеханических величин и оператор Гамильтона, можно найти законы сохранения. Нахождение законов сохранения в квантовой механике столь же существенно для исследования движения системы, как и в классической механике. Как и в классической механике, законы сохранения импульса и момента количества движения тесно связаны со свойствами однородности и изотропии пространства. Так, из изотропии пространства следует, что гамильтониан замкнутой системы или системы в поле сил с центральной симметрией не должен изменяться при произвольном бесконечно малом повороте. Математически это выражается в том, что гамильтониан H должен коммутировать с оператором поворота W . Но оператор поворота на малый угол вокруг некоторой оси (например оси z ), как мы знаем связан простым образом с оператором проекции момента количества движения на эту ось. Поэтому следствием коммутации оператора W z с гамильтонианом H является коммутация с гамильтонианом оператора l z , откуда и вытекает закон сохранения этой лишь на малый угол, несущественно, поскольку поворот на конечный угол можно разбить на совокупность малых поворотов. Итак, мы видим, что сохранение момента количества движения связано с изотропией пространства. Аналогичным образом легко видеть, что сохранение импульса связано с однородностью пространства. Закон сохранения энергии замкнутой системы или системы в стационарных внешних полях можно связать с произвольностью выбора начала отсчета времени (однородность во времени). Это означает, что законы движения системы не должны зависеть от выбора начала отсчета времени. Рассмотренные выше законы сохранения – закон сохранения энергии, импульса и момента количества движения являются квантомеханическими аналогами законов сохранения классической механики. Оказывается, однако, что в квантовой механике существуют и законы сохранения, не имеющие классического аналога. Один из таких законов тесно связан со свойствами пространства и имеет весьма общий характер. Именно, гамильтониан замкнутой системы не должен изменяться при следующих преобразованиях координат: 1) трансляции начала координат на произвольный отрезок; 2) повороте на произвольный угол; 3) преобразовании инверсии в начале координат, т.е. замене xi xi , при которой знаки всех координат изменяются на обратные. О частицах, которые описываются волновыми функциями, удовлетворяющими условию УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 15 из 68 I (r , t ) (r , t ), говорят, что они обладают положительной внутренней четностью. Наоборот, частицы, которые описываются волновыми функциями, удовлетворяющими условию I (r , t ) ( r , t ) , имеют отрицательную внутреннюю четность. Наряду с другими законами сохранения закон сохранения четности является одним из наиболее общих законов природы. Невозможность переходов замкнутой квантомеханической системы из состояний с одной четностью в состояния с другой четностью – так называемых запрещенных переходов, подтверждается обширным экспериментальным материалом как атомной, так и ядерной физики. Однако в последнее время было установлено, что закон сохранения четности не является универсальным физическим законом. При некоторых процессах, происходящих с элементарными частицами, закон сохранения четности нарушается. Тема: Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Линейный гармонический осциллятор. Туннельный эффект. Прежде чем перейти к рассмотрению реальных атомных систем, обсудим общие свойства решений уравнения Шредингера на некоторых простейших моделях. Рассмотрим прежде всего одномерное движение частицы в потенциальном поле, определенном следующим образом: при 0 x l , при x 0 и x l Подобное потенциальное поле мы будем именовать бесконечно глубокой потенциальной ямой. Ясно, что в такой яме частица может двигаться только в области пространства 0 x l . Решение уравнения Шредингера следует написать в двух областях: вне потенциальной ямы и внутри нее. Поскольку частица не может находиться вне потенциальной ямы, ее волновая функция равна нулю вне промежутка 0 x l . Из условия непрерывности следует, что она равняется нулю также и в точках x 0 и x l , т.е. (0) (l ) 0 . Это требование служит граничным условием для решения уравнения Шредингера внутри потенциальной ямы. В области 0 x l уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид U ( x) 0 2 d 2 E 2m dx 2 Решение последнего уравнения можно, очевидно, записать как A sin( kx ) , 2mE . используем теперь граничные условия. Из соотношения 0 при 2 x 0 следует 0 . Условие ( l ) 0 дает где k УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 16 из 68 k l n где n любое целое число, большее нуля. В дальнейшем оно будет именоваться квантовым числом. При n 0 мы имели бы 0 , что означало бы отсутствие частицы во всем пространстве. Условие позволяет найти возможные значения энергии частицы En 2 2 2ml 2 n2 . Мы видим, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие граничным условиям только при дискретных значениях квантового числа n . Таким образом, энергия частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме оказывается квантованной. Рассмотрим несколько подробнее свойства волновых функции частицы в потенциальной яме. Волновая функция, отвечающая n му уровню энергии, имеет вид n An sin n x. l Постоянную An определим из условия нормировки l 2 n dx 1. 0 Тогда n 0 sin l xdx An l An 2 2 l 2 1 2 1 cos 0 2n 2 l x dx An 1. l 2 Отсюда An 2 . l Таким образом, значение постоянной не зависит от квантового числа n . Переходим к более сложным квантомеханическим системам. Мы остановимся на теории линейного гармонического осциллятора. Такой осциллятор представляет квантовой аналог частицы, совершающей малые линейные колебания около положения равновесия. Примером малых колебаний в атомных системах могут служить малые колебания атомов в молекуле. Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора дается известной формулой U m 2 x 2 . Поэтому уравнение Шредингера для линейного 2 гармонического осциллятора имеет вид 2 d 2 m 2 x 2 E . 2m dx 2 2 При его решении удобно перейти к безразмерным переменным m 2E . x; В новых обозначениях уравнение Шредингера приобретает вид d 2 2 . 2 d УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 17 из 68 Будем пытаться искать решение уравнения в виде e 2 2 f ( ) , где f ( ) - новая неизвестная функция, которая при ведет себя как m . Подставляя , приходим к следующему уравнению для функции f : d2 f df 2 ( 1) f 0 2 d d Поскольку точка 0 не является особой точкой уравнения, решение этого уравнения будем искать в виде степенного ряда f ( ) a k k k 0 Производные 2 d f df и имеют вид d d 2 df d2 f k 1 kak , k (k 1)a k k 2 2 d d Подставляем ряды в уравнение, получаем k (k 1)a k k 2 2 kak k 1 ( 1) ak k 0 Для того чтобы степенной ряд вида c n n был тождественно равен нулю, n необходимо, чтобы обращались в нуль все коэффициенты cn . Полагая равным нулю коэффициент при k , получаем рекуррентную формулу ak 2 2k 1 ak . (k 2) (k 1) Нетрудно видеть, что при такой ряд ведет себя, как e , так как в этом случае существенны большие k и дает a k 2 ( 2 k ) a k . При этом функция 2 неограниченно возрастает. Но такое решение должно быть опущено. Мы получим решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности и ведущее себя при как только в том случае, если ряд сведется к полиному, т.е. оборвется на каком-то члене. Так, предположим, что an 0 , a n 2 0 . Тогда все последующие коэффициенты также обратятся в нуль, и функция f сведется к полиному n -й степени. При этом выполняется условие 2n 1 0 , где n - целое число, n 0 , так как n - это номер члена, на котором ряд обрывается. Подставляя значение , получаем 1 E n ( n ) . 2 Отсюда видно, что энергия осциллятора может принимать только дискретные значения, причем уровни энергии расположены друг от друга на одинаковых расстояниях, равных . Выпишем волновую функцию, отвечающую n -му возбужденному уровню энергии в виде УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. n ( ) An e 2 2 стр. 18 из 68 f n ( ) , где f n ( ) - полином n -й степени с коэффициентами, определяемыми соотношением и An - множитель, определяемый условием нормировки. Полиномы f n ( ) носят название полиномов Чебышева – Эрмита и обозначаются через H n ( ) . Полиномы Чебышева – Эрмита часто представляют в виде d n e . d n 2 H n ( ) (1) e n 2 Они удовлетворяют дифференциальному уравнению d 2Hn dH n 2 2nH n 0 2 d d Рассмотрим движение частиц в поле изображенного на рисунке типа: U (x) монотонно возрастает от одного постоянного предела (U 0 при x ) до другого (U U 0 при x ). Согласно классической механике, частица с энергией E U 0 , движущаяся в таком поле слева направо, дойдя до «потенциальной стенки», «отражается» от нее, начиная двигаться в обратном направлении; если же E U 0 , то частица продолжает двигаться в прежнем направлении с уменьшенной скоростью. В квантовой механике возникает новое явление – даже при E U 0 частица может «отразиться» от потенциальной стенки. Вероятность отражения должна вычисляться, принципиально, следующим образом. Пусть частица движется слева направо. При больших положительных значениях x волновая функция должна описывать частицу, прошедшую «над стенкой» и движущуюся в положительном направлении оси x , т.е. должна иметь асимптотический вид: при x : Aeik x , 2 k2 1 2m( E U 0 ) (А - постоянная). Найдя решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимптотическое выражение при x ; оно является линейной комбинацией двух решений уравнения свободного движения, т.е. имеет вид при x : e ik x Be ik x , 1 1 k1 1 2mE . Первый член соответствует падающей на «стенку» частице (предполагаем нормированной таким образом, чтобы коэффициент при этом члене был равен единице); второй же член изображает отраженную от «стенки» частицу. Плотность потока вероятности в падающей волне пропорциональна k1 , в 2 2 отраженной: k1 B , а в прошедшей: k 2 A . Определим «коэффициент прохождения» D частицы как отношение плотности потока вероятности в прошедшей волне к плотности потока в падающей: УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. D стр. 19 из 68 k2 2 A . k1 Аналогично можно определить «коэффициент отражения» R как отношение плотности отраженного потока к падающему; очевидно, что R 1 D : R B 1 2 k2 2 A k1 (это соотношение между А и В выполняется автоматически). Если частица движется слева направо с энергией E U 0 , то k 2 чисто мнимо, и волновая функция экспоненциально затухает при x . Отраженный поток равен падающему, т.е. происходит «полное отражение» частицы от потенциальной стенки. Подчеркнем, однако, что и в этом случае вероятность нахождения частицы в области, где E U 0 , все же отлична от нуля, хотя и быстро затухает с увеличением x . Тема: Общие свойства движения в центрально-симметричном поле. Свободное движение частицы. Частица в кулоновском поле. Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице – аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с массами m1 , m2 ), взаимодействующих по закону U (r ) ( r - расстояние между частицами), имеет вид: 2 2 H 1 2 U (r ) 2m1 2m 2 где 1 , 2 - операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусоввекторов частиц r1 и r2 новые переменные R и r : r r2 r1 , R m1r1 m2 r2 m1 m2 есть вектор взаимного расстояния, а R - радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату r H 2 2 R U (r ) 2(m1 m2 ) 2m ( R и - операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов R и r; m1 m2 полная масса системы, m m1 m2 m1 m2 так называемая приведенная масса). Таким образом гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать r1 , r2 в виде произведения R r , где функция R описывает движение центра инерции (как свободное движение частицы с массой m1 m2 ), а r описывает относительное движение частиц (как движение частицы массы m в центрально- симметрическом поле U U r ). Уравнение Шредингера для движения частицы в центральносимметрическом поле имеет вид: 2m E U r 0 z УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 20 из 68 Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде: 1 2 1 r r 2 r r r 2 1 1 2 2m E U (r ) 0 sin sin 2 2 2 sin Если вести сюда оператор 12 квадрата момента, то мы получим 2 1 2 12 r U g E 2m r 2 r r r 2 При движении в центрально- симметрическом поле момент количества движения сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния, в которых 12 и l z имеют определенные значения. Другими словами, ищем общие собственные функции операторов H ,12 и l z . Требование, чтобы было собственной функцией операторов 12 и l z , определяет ее зависимость от углов. Соответственно этому, ищем решения уравнения в виде: Rr lm , , где функций lm , определяются формулами Поскольку 12 lm l l 1tm , то для «радиальной функции» Rr получаем уравнение 1 d 2 dR l l 1 2m R 2 E U r R 0 r 2 2 r dr dr r Заметим, что это уравнение не содержит вовсе значения l z m , что соответствует известному уже нам 2l 1 кратному вырождению уровней. Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой Rr r r уравнение приводится к виду: d 2 2m l l 1 2 E U 0 2 dr r 2 Если потенциальная энергия U r везде конечно, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция ,а следовательно, и ее радиальная часть Rr . Отсюда следует, что r должна обращаться при r 0 в нуль: 0 0 В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося при r 0 в бесконечность. Условие нормировки для радиальной функции Rr определяются интегралом R 2 r dr , а для функции r , следовательно, интегралом 2 0 Уравнение формально совпадает с уравнением одномерного движения в поле с потенциальной энергией 2 dr . 0 Шредингера для УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 21 из 68 2 l l 1 U l r U r , 2m r 2 равной сумме энергии U r и члена 2 l l 1 2 12 , 2mr 2 2mr 2 который можно назвать центробежной энергией. Таким образом задача о движении в центрально- симметрическом поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны (граничное условие при r 0 ). Волновая функция свободно движущейся частицы i const e pr описывает стационарное состояние, в котором частица обладает определенным импульсом (и энергией E 2 / 2m ). Очень важным движения в центрально – симметрическом поле является движение в кулоновом поле U a r ( положительная постоянная). Мы будем рассматривать сначала кулоново притяжение, соответственно чему будем писать U / r . Из общих соображений заранее очевидно, что спектр отрицательных собственных значений энергии будет дискретным (с бесконечным числом уровней), а спектр положительных энергий - непрерывным. Уравнение для радиальных функций имеет вид: d 2 R 2 dR l l 1 2m R 2 E R 0 2 2 r dr r dr r Если речь идет об относительном движении двух притягивающихся частиц, то под m надо подразумевать их приведенную массу. В вычислениях, связанных с кулоновым поле, удобно пользоваться вместо обычных особыми единицами для измерения всех величин, которые мы будем называть кулоновыми единицами. Именно, в качестве единиц измерения массы, длины и времени выберем соответственно: m, 2 , m 3 m 2 Все остальные единицы выводятся отсюда: так, единицей энергии будет m 2 . 2 Ниже, в этом и следующем параграфах, мы везде (где это не оговорено особо) пользуемся этими единицами. Переписываем уравнение в новых единицах: d 2 R 2 dR l (l 1) 1 R 2 E R 0 2 2 r dr r dr r Введем вместо параметра Е и переменной r новые величины УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. 1 n 2E , стр. 22 из 68 2r . n При отрицательных Е (которые мы будем рассматривать сначала) n есть действительное положительное число. Уравнение после подстановки приобретает вид: 1 n l (l 1) R R0 2 4 (штрихи означают дифференцирование по ). При малых решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, пропорционально . Для выяснения асимптотического проведения R при больших опускаем в члены с 1 и 1 2 и получаем уравнение R R , 4 / 2 откуда R e . Интересующее нас исчезающее на бесконечности решение, следовательно, при больших ведет себя, как e / 2 . R 2 Ввиду этого естественно сделать подстановку R l e / 2 w , после чего уравнение приобретает вид: / w 2l 2 w n l 1 w 0 Решение этого уравнения должно расходиться на бесконечности не быстрее конечной степени , а при 0 должно быть конечным. Удовлетворяющее последнему условию решение есть вырожденная гипергеометрическая функция w F n l 1,2l 2, Решение, удовлетворяющее условию на бесконечности, получится лишь при целых отрицательных (или равном нулю) значениях n l 1, когда функция сводится к полиному степени n l 1 . В противном случае она расходится на бесконечности, как e p . Таким образом мы приходим к выводу, что число n должно быть целым положительным, причем при данном l должно быть: n l 1 Вспоминая определение параметра n, находим: E 1 , n 1,2,...... 2n 2 Этим решается задача об определении уровней энергии дискретного спектра в кулоновом поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем E1 1 / 2 и нулем. Интервал между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением n; уровни сгущаются по мере приближения к значению E 0 , при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула имеет следующий вид: E m 2 2 2 n 2 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 23 из 68 Целое число n называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число, определенное равно: nr n l 1 При заданном значении главного квантового числа l может принимать значения l 0,1,....., n 1, всего n различных значений. В выражение для энергии входит только число n . Поэтому все состояния с различными l , но одинаковыми n обладают одинаковой энергией. Таким образом каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу m (как при всяком движении в центрально- симметрическом поле), но и по числу l . Это последнее вырождение (о нем говорят, как о «случайном») специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению l соответствует, как мы знаем, 2 l +1 различных значений m . Поэтому кратность вырождения n -го уровня энергии равна: n 1 2l 1 n 2 t 0 Волновые функции стационарных состояний определяются формулами. Вырождения гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому Rnl const l e / 2 L2nll1 Радиальные функции должны быть нормированы условием R 2 nl r 2 dr 1 0 Их окончательный вид следующий: Rnl 2 n2 n l 1!e r n 2r l L2l 1 2r n l n l !3 n n Тема: Элементы теории представлений. Приближенные методы в квантовой механике. Квазиклассическое приближение. Предельный переход к классической механике В этом параграфе мы обсудим некоторые вопросы, связанные с дальнейшим развитием и обобщением математического аппарата квантовой механики. Имеется в виду рассмотрение способов описания развития процесса во времени. До сих пор мы всецело основывались на уравнении Шредингера i H , t согласно которому волновая функция системы x, t могла быть найдена в произвольный момент времени t, если известно ее начальное значение x,0 . При таком подходе развитию процесса во времени отвечает соответствующее изменение волновой функции системы x, t . УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 24 из 68 Развитие процесса во времени можно описать с помощью оператора V t , действующего на волновую функцию, заданную в некоторый начальный момент времени x, t V t x,0 Здесь за начало отсчета времени мы взяли момент t=0. С равным успехом, конечно, за начало отсчета можно было взять произвольный момент времени t t 0 . подставляя это выражение в уравнение Шредингера, получаем уравнение для оператора V t V HV t t при условии V 0 1 . Если оператор H не зависит от времени явно, то решение i уравнения можно формально написать в виде V t e i Ht , где экспонента понимается в смысле разложения в степенной ряд. Оператор V t является, очевидно, унитарным V V 1 : Унитарность оператора V t имеет простой смысл: она отвечает сохранению во времени условия нормировки волновой функции x,0 x,0dV x, t x, t dV V x,0V x,0dV x,0V V x,0 dV . Таким образом, описание эволюции системы во времени сводится к тому, что волновая функция или вектор состояния x, t изменяется во времени. Это изменение можно характеризовать при помощи унитарного оператора V t , действующего на начальную волновую функцию x,0 и в каждый данный момент превращающего ее в функцию x, t . При этом операторы, характеризующего систему, например, операторы x, p или любые операторы F ( x), p , не изменяются во времени явно. Если характеризовать состояние системы с помощью гильбертова пространства, то ход эволюции системы можно описать следующим образом: пусть задана система ортов в пространстве Гильберта. Эта система ортов определяется системой собственных функций операторов, образующих полный набор для данной системы. В начальный момент состояние системы задается вектором состояния (x,0) . Эволюция системы во времени отвечает повороту вектора состояния в гильбертовом пространстве. При этом его длина ( , ) имеет постоянное значение. Такое описание системы, при котором волновая функция изменяется во времени, а опраторы от времени не зависят, носит название представления Шредингера. Заметим, что слово «представление» имеет при этом более общий смысл, чем тот, который вкладывался в него до сих пор, и характеризует именно способ описания изменения состояния во времени. В представлении Гейзенберга эволюция системы во времени описывается при помощи операторов, зависящих от времени. При этом сама волновая функция Ф(х) считается зависящей только от координат, но не зависящей от времени. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 25 из 68 Наглядно картину эволюции в представлении Гейзенберга можно представить себе как поворот системы базисных векторов в гильбертовом пространстве относительно неподвижного вектора состояния Ф(х) . Переход к представлению Гейзенберга в общем случае осуществляется с помощью унитарного преобразования Ô ( õ) V 1 (t ) ( x, t ) ( x,0). где Ф(х) – волновая функция (вектор состояния) в представлении Гейзенберга. Пользуясь выражением и учитывая, что i Ht V 1 (t ) V (t ) e , Получаем Ô ( õ) ( x,0) e i Ht ( x, t ) В соответствии с общими правилами произвольный оператор F , заданный в шредингеровском представлении, будет иметь в гейзенберговском представлении (обозначим через FH ) следующий вид: FH V (t ) FV (t ) или i Ht FH e Fe i Ht В начальный момент времени выражения как для волновых функций, так и для операторов в обоих представлениях совпадают. Заметим, что оператор H в представлении Гейзенберга будет тот же самый, что и в представлении Шредингера H H H . Это сразу следует из формулы, если учесть, что оператор H i Ht коммутирует со всеми членами ряда разложения функции e . Представление взаимодействия является в некотором смысле промежуточным между представлениями Шредингера и Гейзенберга. Именно, определим волновую функцию в представлении взаимодействия соотношением i ( x, t ) exp( H 0 t ) ( x, t ) Аналогично, произвольный оператор F̂ определим как в представлении взаимодействия i i Fâ exp ( H 0 t) F exp(- H 0 t) . В формулах преобразования входит не полный гамильтониан, но лишь гамильтониан системы без взаимодействия H 0 . Не представляет труда получить уравнение, которому удовлетворяет функция ( x, t ) . Для этого продифференцируем соотношение по времени и воспользуемся уравнением Шредингера H 0t H 0t H 0t H 0t ( x, t ) H 0 ( x, t ) e ( H 0 H ) ( x, t ) e H ( x, t ) e H e ( x, t ) t i i i или, учитывая, получим i ( x, t ) H â/ (x, t) t 1 1 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 26 из 68 т.е. мы получили уравнение Шредингера с гамильтонианом H В/ . Из соотношения находим закон изменения во времени заданного в представлении взаимодействия оператора, FÂ i ( H 0 FÂ FÂ H 0 ) H 0 , FÂ . t Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением в частных производных с переменными коэффициентами. Его точное решение может быть найдено лишь для отдельных, наиболее простых задач, часть которых была рассмотрена в предыдущих параграфах. Однако в большинстве случаев получение точного решения уравнения Шредингера сопряжено с огромными математическими трудностями. Поэтому в квантовой механике разработан ряд приближенных методов его решения. К ним относится рассмотренный уже выше метод квазиклассического приближения. Другим важнейшим приближенным методом решения уравнения Шредингера является так называемая теория возмущений. Термин «возмущение» и идеи этого метода, представляющего некоторый вариант известного в математике метода разложения по малому параметру, были введены в квантовую механику по аналогии с методом возмущений классической механики, игравшим особенно большую роль решении задач небесной механики. Мы изложим в общем виде теорию возмущений. Ее приложения к решению конкретных задач будут проиллюстрированы в дальнейшем на многочисленных примерах. Рассмотрим прежде всего простейший случай квантовомеханической системы, у которой оператор Гамильтона H не зависит от времени явно. Предположим, что оператор H можно представить в виде H H0 H , где оператор H можно считать малым по сравнению с оператором H 0 (что именно понимается под словом «малый», поясним ниже). Тогда уравнение Шредингера приобретает вид ( H 0 H ) E Предположим далее, что решение уравнения H 0 (0) E (0) (0) известно. Тогда для решения уравнения можно воспользоваться методом, представляющим по существу метод последовательных приближений. В дальнейшем гамильтониан H 0 и волновую функцию (0) будем именовать невозмущенными, а оператор H - оператором возмущения. «Малость» оператора H означает, что под действием возмущения состояние системы должно изменяться сравнительно слабо. Нашей задачей является нахождение решения уравнения Шредингера в предположении, что волновая функция (0) невозмущенной системы известна. Мы будем рассматривать возмущения состояний, принадлежащих дискретному спектру оператора H 0 . При этом, УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 27 из 68 однако, оператор H 0 может помимо собственных значений, принадлежащих дискретному спектру, иметь и собственные значения непрерывного спектра. Решение уравнения ищем ряда по собственным функциям оператора H 0 ( x) ck k( 0) k Если оператор H 0 обладает также и непрерывным спектром, то мы должны добавить к сумме соответствующий интеграл, взятый по непрерывному спектру. Подставляя сумму в уравнение получаем: H c k (0) k c k ( E E k( 0 ) ) k( 0 ) . k k Умножим левую и правую части уравнения на m( 0) и проинтегрируем его по всей области изменения независимых переменных. Воспользовавшись (0) ортогональностью функций k , находим ck , cm ( E E m( 0) ) H mk m 1,2,3,..., k где m( 0 ) H k( 0 ) dV H mk есть матричный элемент оператора возмущения, вычисленный с помощью волновых функций невозмущенной задачи. Система уравнений в точности эквивалента уравнению Шредингера. Она представляет уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Воспользуемся теперь нашим предположением о малости оператора возмущения. При этом уровни энергии и волновые функции в нашей задаче будут близки к соответствующим значениям невозмущенной системы. Поэтому будем искать их в виде следующего ряда: E E ( 0) E (1) E ( 2) ..., cm cm( 0) cm(1) cm( 2) ... Здесь E ( 0) , cm( 0) - невозмущенные значения. Поправки E (1) , c m(1) того же порядка малости, что и возмущение, E ( 2 ) , c m( 2 ) - квадратичны по возмущению и т.д. Мы неоднократно отмечали существование принципа соответствия и правила перехода соотношений квантовой механики в формулы классической механики при 0 . Сейчас мы уточним условия этого перехода и вместе с тем получим важный приближенный метод решения уравнения Шредингера. Если положить 0 непосредственно в уравнении Шредингера i 2 ( U ) , t 2m то оно теряет смысл. Поэтому, чтобы произвести указанный предельный переход, представим волновую функцию в виде i S e . Представляя это выражение в уравнение получаем уравнение для функции S : S 1 i (S ) 2 S U . t 2m 2m Формально разложим теперь функцию S по степениям величины i УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 28 из 68 S S 0 ( ) S1 ( ) 2 S 2 ... i i Представляем это разложение в уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степениях . С точностью до членов, пропорциональных первой степени величины , получаем два уравнения: S 0 1 (S 0 ) 2 U , t 2m S 1 1 1 S 0 S 1 S 0 t m 2m Первое уравнение совпадает с уравнением Гамильтона – Якоби классической механики для функции действия S 0 . Тема: Спин и волновая функция частицы со спином. Полный угловой момент частицы и системы частиц. Уравнение Шредингера для частицы со спином. Обменное взаимодействие в системе тождественных частиц Обратимся к математической формулировке гипотезы Уленбека и Гаудсмита. В соответствии с общими принципами квантовой механики собственный механический момент электрона (для краткости будем просто говорить спин электрона) должен изображаться линейным самосопряженным оператором. Обозначим операторы проекций спина на оси координат через s x , s y , s z . Чтобы определить вид этих операторов, мы потребуем, чтобы эти операторы подчинялись тем же правилам перестановки, что и компоненты орбитального момента M x , M y , M z . Тогда s x s y s y s x is z , s y s z s z s y i s x , s z s x s x s z i s y . Проекция спина на любое направление (по исходной гипотезе) может принимать два значения: 2 . Поэтому опреторы s x , s y , s z должны изображаться двухрядными матрицами, так как двухрядная матрица, будучи приведена к диагональныму виду, содержит лишь два диаганальных члена и, стало быть, имеет только два собственных значения. Полагая y, sz z , 2 2 Мы можем сказать, что операторы x , y , z (спиновые матрицы) должны sx x, 2 sy быть двухрядными марицами вида x a11 a12 a 21 a 22 , y b11 b12 b21 b22 , z c11 c12 c21 c22 , 2 Имеющими собственные значения 1 . Подставляя и сокращения на 4 , получаем x y y x 2i z , y z z y 2i x , УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 29 из 68 z x x z 2i y . Ввиду того, что собственные значения x , y , z равны 1 , то собственные значения опреаторов x2 , y2 , z2 суть 1 . Стало быть, в своем собственном представлении эти последние матрицы должны иметь вид x2 1 0 1 0 1 , y2 , z2 0 1 0 1 0 0 , 1 т.е. они являются единичными матрицами : 1 0 . 0 1 Единичная матрица остается единичной во всяком представлении. Рассмотрим теперь комбинацию 2i ( x y y x ) 2i x y y 2i x . На основании это можно переписать в виде ( y z z y ) y y ( y z z y ) y z y z y2 y2 z y z y y2 z z y2 ; но y2 есть единичная матрица, поэтому y2 z z y2 . Следовательно, x y y x , т.е. матрицы x , y , как говорят, антикоммутируют. Комбинируя применяя циклическую перестановку x , y , z находим x y y x i z , y z z y i x , z x x z i y . Найдем теперь явный вид матриц x , y , z . Пусть, скажем, матрица z приведена к диаганальному виду. Так как ее собственные значения равны 1 , то диагональный вид z будет z 1 0 0 1 Можно показать, что в этом же представлении остальные две матрицы x , y будут иметь вид x 0 1 0 i , y 1 0 i 0 Для доказательства образуем произведения z x и x z . По правилу матричного умножения имеем z x 1 0 0 1 a11 a12 a 21 a 22 a11 a12 a 21 a 22 , УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. x z a11 a12 1 0 a21 a22 0 1 a11 a12 стр. 30 из 68 a11 a12 a 21 a 22 . На основании имеем a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a 21 a 22 , или a11 a11 , a12 a12 , a21 a21 , a22 a22 , т.е. a11 0, a22 0 . Поэтому матрица x имеет вид x 0 a12 . a 21 0 Образуем теперь x2 : x2 0 a12 0 a12 a21 0 a 21 0 a12 a 21 0 0 a12 a 21 . Сравнивая получаем, что a12 a21 1 . Матрица должна быть самосопряженной, т.е. 2 * . Стало быть, a12 1. a12 a 21 Отсюда получаем x 0 e i e i , 0 где - действительное число. Подобным же образом находим, что y 0 e i e i 0 . Перемножая теперь x на y , а потом y на x получим e i ( ) 0 0 e i ( ) e i ( ) 0 e 0 i ( ) откуда e i ( ) e i ( ) т.е. 2 . Таким образом, все соотношения удовлетворены при произвольном значении . Поэтому без всяких ограничений мы можем взять 0, 2 . Получаем матрицы операторов s x , s y , s z в представлении, в котором s z диагонально ( s z - представление): 0 sx 2 2 0 0 i , sy i 2 0 2 , 0 2 sz . 0 2 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 31 из 68 Заметим, что знаки 1 и 2, нумерующие матричные элементы матриц и s , приобретают теперь (поскольку выбрано представление) определенное значение: 2 значок 1 относится к первому собственному значению s z , а 2-ко второму sz . 2 Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Имеем s 2 s x2 s y2 s z2 3 21 0 3 2 . 0 1 4 4 Вводя квантовые числа ms и l s , определяющие значение проекции спина на любое направление OZ и его квадрат соответственно, мы можем написать формулы для квантования спина в полной аналогии для орбитального момента ls s 2 2 l s (l s 1) , s z ms , ms 1 , 2 1 . 2 Мы видим, что в квантовой механике состояние спина должно характеризоваться двумя величинами: абсолютным значением s (или s 2 ) и проекцией спина на какое-либо направление s z . Первая величина ( s 2 ) предполагается для всех электронов одинаковой, поэтому речь может идти лишь об одной переменной s z . Таким образом, наряду с тремя переменными, определяющими движение центра тяжести электрона ( x, y, z или p x , p y , p z и т.п.), появляется еще одна переменная s z , определяющая спин электрона. Поэтому можно сказать, что электрон имеет четыре степени свободы. Соответственно этому волновую функцию , определяющую состояние электрона, следует считать функцией четырех переменных: три относятся к центру тяжести электрона, а четвертая – к спину ( s z ). Например, в координатном представлении для электрона следует писать ( x, y, z, s z , t ) . Так как спиновая переменная имеет только два значения ( 2 ) , то можно сказать, что вместо одной функции мы получаем две: 2 2 ( x, y , z , , t ) 2 1 ( x, y , z , , t ) , Эти функции мы будем иногда писать в виде матрицы с одним столбцом 1 0 , 2 0 а сопряженную функцию – в виде матрицы с одной строкой * 1* 2* 0 0 . Такой способ написания позволит воспользоваться правилами. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 32 из 68 Ясно, что волновые функции 1 и 2 будут только в том случае различны, если существует реальная связь между спином и движением центра тяжести. Такая связь существует и представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона. Это взаимодействие обусловливает мультиплетную структуру спектров. Поэтому, если мы игнорируем мультиплетную структуру спектров, то мы можем вообще пренебречь взаимодействием между спином и орбитальным движением. В этом приближении 1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) . Однако, чтобы и в этом случае отметить, что речь идет о частице обладающей спином, пишут функцию в виде, соответствующем разделению переменных ( x, y, z, s z , t ) ( x, y, z, t ) S (s z ) , где через S ( s z ) обозначена спиновая функция. По существу это через значок, указывающий состояние спина частицы. Мы перейдем теперь к рассмотрению свойств систем, состоящих из одинаковых частиц. Одинаковыми частицами мы будем называть частицы, имеющие одинаковые массу m , заряд e , спин s и т.д., так что в равных условиях (внешнее поле, присутствие других частиц) такие частице ведут себе одинаковым образом. Обозначим массу частиц через m , энергию во внешнем поле через U (q k , t ) , а энергию взаимодействия k -й и j –й частиц через W (q k , q j ) , тогда гамильтониан системы таких частиц будет равен N 2 2 H (q1 , q2 ,... qk ,...qi ,...q N , t ) k U ( q k , t ) W ( q k , q j ) k 1 2m k j 1 N Опираясь на это свойство гамильтониана, докажем важную вспомогательную теорему относительно волновых функций, описывающих состояние системы N частиц есть (q1 ,..., q k ,..., q j ,..., q N , t ) ; она должна удовлетворять уравнению Шредингера i (q1 ,..., q k ,..., q j ,..., q N , t ) t H (q1 ,..., q k ,..., q j ,..., q N , t ) (q1 ..., q k ,..., q j ,..., q N , t ) . Тема: Волновая функция системы частиц. Операторы физических величин системы частиц. Уравнение Шредингера для системы частиц. О способах сведения задачи многих тел к одночастичной задаче. Системы тождественных частиц. Принцип Паули В квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их. Можно сказать, что в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою «индивидуальность». Одинаковость частиц по их физическим свойствам имеет здесь весьма глубокий характер она приводит к полной неразличимости частиц. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 33 из 68 Этот, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц играет основную роль при квантово - механическом исследовании систем, состоящих из одинаковых частиц. Волновая функция одинаковых частиц должна либо совершенно не меняется при перестановке любой пары частиц (а потому и при всякой вообще взаимной перестановке частиц), либо менять знак при перестановке каждой пары. В первом случае говорят о симметричной, а во втором случае – об антисимметричной волновой функции. Свойство описываться либо симметричными,либо антисимметричными волновыми функциями зависит от рода частиц. О частицах, описывающихся антисимметричными функциями, говорят, как о подчиняющихся статистике Ферми - Дирака или о фермионах, а о частицах, описывающихся симметрическими функциями - как подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна или о бозонах. Рассмотрим систему, состоящую из одинаковых частиц, N взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Пусть 1 , 2 ,... волновые функции различных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых может находиться каждая из частиц в отдельности. Состояние системы в целом можно определять перечислением номеров состояний, в которых находятся отдельные частицы. Возникает вопрос о том, каким образом должна быть составлена из функций 1 , 2 ,... волновая функция всей системы в целом. Пусть p1 , p2 , ..., p N - номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Для системы бозонов волновая функция (1 , 2 , ..., N ) выражается суммой произведений вида: p (1 ) p ( 2 )... p ( N ) , со всеми возможными перестановками различных индексов p1 , p2 ,... ; такая сумма обладает, очевидно, требуемым свойством симметрии. Так, например, для системы из двух частиц 1 (1 , 2 ) 1 2 2 p1 N (1 ) p2 ( 2 ) p1 ( 2 ) p2 (1 ) (предполагаем, что p1 p2 ). Множитель 1 2 введен для нормировки (все функции 1 , 2 ,... взаимно ортогональны и предполагаются нормированными). Для системы фермионов волновая функция есть антисимметричная комбинация указанных произведений. Она может быть написана в виде детерминанта УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 34 из 68 p (1 ) p ( 2 )... p ( N ) 1 1 1 1 p (1 ) p ( 2 )... p ( N ) 2 2 2 N! ............................................. p (1 ) p ( 2 )... p ( N ) N N N Перестановке двух частиц соответствует здесь перестановка двух столбцов детерминанта, в результате чего последний, как известно, меняет знак. Для системы, состоящей из двух частиц, имеем: 1 2 p1 (1 ) p2 ( 2 ) p1 ( 2 ) p2 (1 ) Из выражения вытекает следующий важный результат. Если среди номеров p1 , p2 ,... есть какие – нибудь два одинаковых, то две строки детерминанта окажутся одинаковыми и весь детерминант обратится тождественно в нуль. Он будет отличным от нуля только в тех случаях, когда все номера p1 , p2 ,... различны. Таким образом в системе одинаковых фермионов не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии две (или более) частицы. Это есть так называемый принцип Паули (1925). Возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобразном взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаимодействие называют «обменным». Оно представляет собой чисто квантовой эффект, полностью исчезающий (как и самый спин) при предельном переходе к классической механике. Тема: Оператор Гамильтона и уравнение Шредингера для атома. Одночастичные состояния электронов в атоме. LS – связь. jj – связь. Атом водорода. Энергетические уровни щелочных элементов Детально рассмотренный атом водорода является простейшей одноэлектронный системой. Переходя к изучению многоэлектронных систем, естественно обратиться прежде всего к исследованию свойств атома гелия, в котором ядро имеет бесконечно большую массу. Поэтому, считая его неподвижным, запишем гамильтониан системы из двух электронов в виде ( 2 2 2e 2 2e 2 e 2 1 2 ) E . 2m 2m r1 r2 r12 Здесь r1 и r2 – радиусы - векторы первого и второго электронов, r12 – расстояние между ними. Третий и четвертый члены выражают потенциальную энергию электронов в поле ядра, последний член-энергию кулоновского взаимодействия между электронами. Следует отметить, что представление гамильтониана в такой форме связано с рядом приближений. Электроны обладают магнитными моментами. Далее магнитные моменты (спиновый и орбитальный) также взаимодействуют УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 35 из 68 друг с другом. Мы, однако, не будем исследовать подробно эти эффекты, имеющие характер малых поправок. Так как гамильтониан системы не содержит спиновых операторов, то решение уравнения следует искать в виде произведения функций, одна из которых зависит только от координат, другая - от спина Ф (r1 , r2 ) ( s z , s z ) . Из общих соображений легко установить, к какой группе состояний относится основное состояние гелия, которое, как известно, описывается волновой функцией, не имеющей узлов. Очевидно, что этой функцией не может быть антисимметричная координатная функция, так как последняя при r1 r2 обращается в нуль. Действительно, если Ф (r1 , r2 ) - антисимметричная функция двух переменных r1 и r2 то она удовлетворяет соотношению 1 2 Ф (r1 , r2 ) Ф (r2 , r1 ) При r1 r2 r мы имеем Ф(r, r) 0 Таким образом, мы видим, что в нормальном состоянии волновая функция симметрична по координатам и, следовательно, антисимметрична по спинам. Нормальное состояние гелия является парасостоянием. В уравнении переменные не разделяются и его точное решение получить невозможно. Поэтому для его решения разработан ряд приближенных методов. Применение теории возмущений позволяет получить волновые функции и, в довольно грубом приближении, энергию основного состояния гелия. Именно будем считать, что взаимодействие между электронами является в уравнении возмущением. Сначала сложить по отдельности орбитальные и спиновые моменты (в сумме мы должны иметь целые числа) L l1 l 2 , S s1 s2 , а затем найти общий момент (целое число) J LS. Такая связь носит название LS - связи или связи Рассела – Саундерса. Она соответствует наличию двух независимых законов сохранения для орбитальных и спиновых моментов. Чаще всего она осуществляется у легких элементов. Возможна и другая схема сложения моментов, а именно вначале можно сложить для каждого электрона спиновый и орбитальный момент (полуцелые значения) j1 l1 s1 , j2 l 2 s2 , а затем найти полный момент обоих электронов (целое значение) J j1 j2 . УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 36 из 68 Такая связь называется ( jj) - связью и встречается преимущественно у тяжелых элементов. Очевидно, что суммарное значение всех моментов в обоих случаях по квантовой геометрической модели может быть различным L S j1 j2 . При исследовании спектральных линий в сложных атомах следует различать внешние и внутренние слои. В атоме водорода имеется только внешней слой, в котором находится один электрон (К-слой). У гелия ( Z 2) заканчивается построение К-слоя (инертный газ). У лития ( Z 3) внутренний слой (К-слой) заполнен, а во внешним L - слое находится один электрон (щелочной металл, элемент первой группы); у Ne ( Z 10) заканчивается заполнение L -слоя. Далее у натрия ( Z 11) внутренние слои K и L заполнены полностью, а во внешнем М-слое находится один электрон (щелочной металл) и т.д. Следует заметить, что энергия связи, приходящаяся на один электрон внутреннего слоя, гораздо больше, чем для электрона, находящегося во внешним слое. Так, например, отрыв первого валентного электрона у лития требует затраты энергии только 5,39 эв. При отрыве же второго и третьего электронов, лежащих во внутренних слоях, требуется соответственно энергия 76 и 122 эв. Поскольку у атомов первой группы ( Li, Na, K , Rb , Cs и т. д.) , получивших название щелочных металлов, во внешнем слое находится, так же как у атома водорода, по одному электрону, то поэтому их оптические и химические свойства в основном должны напоминать свойства атома водорода (например, как известно, все эти элементы являются одновалентными, и у всех у них обнаруживается дублетное расщепление спектральных термов.) Оптический спектр возникает, когда переход совершает валентный электрон (т.е. электрон внешней орбиты), оказавшийся до этого благодаря возбуждению атома на более высоком уровне. Возбуждение же электронов внутренних орбит требует, как правило, значительно большей энергии, а переходы электронов из возбужденных состояний обратно в основные состояния внутренних орбит сопровождаются рентгеновским излучением. Ядро атома вместе с электронами внутренних орбит образует так называемый атомный остов, заряд которого равен Z a Z N , где N - число электронов на внутренних орбитах. Для щелочных металлов ( Li, Na и т.д.) величина N Z 1 и заряд «атомного остова» для них равен единице ( Z a 1 ). Поэтому основная часть потенциальной энергии, удерживающая внешний электрон в щелочном металле, будет такая же, как и в атоме водорода, т.е. V0 e02 e2 Za 0 ; r r в основу исследования спектра щелочных металлов мы можем положить соответствующее выражение энергии, полученное для атома водорода: E n0 R , n2 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 37 из 68 Точно так же за основное приближение волновых функций мы можем взять волновые функции атома водорода 0 nlm . Однако в щелочных металлах при рассмотрении взаимодействия между валентным электроном и атомных остовом, помимо кулоновского взаимодействия, следует также учитывать силы поляризации и эффект размазанности атомного остова по некоторому объему, что дает в энергии некоторые добавки и снимает вырождение по l , которое имеет место для атома водорода. Тема: Вероятность квантовых переходов. Уравнения для амплитуды вероятности перехода и использование для их решения теории нестационарного возмущения. В квантовой механике к вопросу об излучении следует подходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой теории происходит только при переходе частицы (или системы) из одного квантового состояния в другое, энергетически более низкое, или, как говорят, «сверху вниз». Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было предложено в 1917 г. Эйнштейном, который ввел коэффициенты А и В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна). Они характеризуют соответственно спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные (происходящие под действием внешнего электромагнитного поля) переходы системы с одного энергетического уровня на другой. Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в следующем. Пусть один из электронов какой-либо атомной системы находится на возбужденном уровне n с энергией En . Тогда для такого электрона существует определенная вероятность Ann , отнесенная к единице времени, спонтанного перехода в более низкое энергетическое состояние n с энергией E n . При этом происходит испускание фотона с энергией En En . Если число подобных возбужденных атомов равно N n , то энергия излучения в единицу времени, обусловленная спонтанными переходами, может быть записана в виде спонт Wисп N n Ann . Если же атомы подвергнуть воздействию со стороны внешнего электромагнитного излучения, то последнее будет в свою очередь вызывать так называемые вынужденные переходы как сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы снизу вверх будут происходить, конечно, с поглощением фотонов. Обозначим, следуя Эйнштейну, вероятности вынужденного перехода с уровня n на n через Bnn , а с уровня n на n через Bnn . Тогда, считая, что число вынужденных переходов должно быть пропорционально спектральной плотности падающего излучения, находим соответственно для энергии излучения и поглощения, обусловленной вынужденными переходами: в ынужд Wисп N n Bnn , в ынужд Wпогл N n Bnn , УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 38 из 68 где N n - число атомов в состоянии n . Рассмотрим случай, когда должно наступить состояние термодинамического равновесия между нагретыми атомами и излучаемым ими светом (черное излучение), обратно воздействующим на эти атомы, т.е. когда число переходов сверху вниз и обратно одинаково: N n Ann N n Bnn N n Bnn . Учитывая, что в этом случае распределение электронов по энергиям задается распределением Максвелла N n Ce En kT N n Ce , En kT , получаем Ann e En kT Bnn e Отсюда, сокращая на множитель e имеем: En kT ( ) En kT Bnn e En kT . и принимая во внимание, что En En , Ann Bnn Bnn kT e 1 Bnn . Выражение для коэффициента спонтанного излучения Ann может быть написано, если исходить из принципа соответствия путем сравнения квантовой формулы с соответствующей формулой классической теории. Подобное сравнение мы произведем на примере гармонического осциллятора: по классической теории энергия, излучаемая гармоническим осциллятором в единицу времени, определяется формулой: W кл 2e 2 2 E . 3m0 c 3 По квантовой же теории она определяется выражением, которое при наличии одного осциллятора ( N n 1) дает W кв nn Ann . Предположим, что коэффициент спонтанного излучения пропорционален квадрату матричного элемента 2 Ann C x nn . При переходах сверху вниз (n n) отличным от нуля будет только матричный элемент x n21,n n 1 E n E0 , 2m0 2m0 2 причем n,n1 En En1 . h Отсюда, приравнивая классическое приближение ( 0) квантового выражения для энергии излучения соответствующему классическому выражению, мы найдем уравнение для определения постоянной С: УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 39 из 68 CE 2 2 Ee 2 . 2 m 0 2 3 m0 c 3 Определив постоянную С, найдем значение для коэффициента спонтанного излучения: Ann 4 e 2 3 2 rnn . 3 3 c Далее, если считать известной еще формулу Планка ( ) 3 1 , 2 3 c e kT 1 то, сопоставляя ее с формулой, можем написать также и коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов Bnn Bnn 2c3 4 2e2 2 A rnn . nn 3 2 3 Для интенсивности излучения имеем: Wnn 4 e 2 4 2 rnn . 3 3 c Хотя этот вывод и дает точные квантовые результаты для так называемого дипольного излучения, тем не менее его нельзя признать последовательным. Для описания движения электронов в поле фотонов реально существующих (обусловливающих вынужденные переходы), а также виртуальных, т.е. еще не появившихся (обусловливающих спонтанные переходы), воспользуемся нестационарным уравнением Шредингера, которое при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает вид ( 1 e V ( p A) 2 ) 0 . i t 2m0 c Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорциональные A2 , и учитывая условие поперечности электромагнитных волн поля фотонов (div A 0) , а также соотношение ( pA) ( Ap) div A , i что приводит к коммутативности (в скалярном произведении) оператора р с вектор-потенциалом А ( pA) ( Ap) , мы можем уравнение привести к виду ( H 0 V (t )) 0 . i t Здесь гамильтониан H 0 при отсутствии поля фотонов не зависит от времени H0 V 1 p2 , 2m0 а потенциальная энергия, получившая название энергии возмущения, равна: V (t ) e ( A(t ) p ) . cm0 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 40 из 68 Заметим, что далеко не все волновые уравнения могут быть решены точно. Это замечание относится также и к нашему уравнению. Для решения подобных уравнений приходится прибегать к различным приближенным методам. Одним из таких методов, получившим наиболее широкое распространение, является метод теории возмущений. Этот термин заимствован из астрономии, где он с успехом использовался при исследовании движения двух или более планет вокруг Солнца с учетом взаимодействия планет между собой. Последнее дает некоторое «возмущение» по сравнению с кеплеровским движением. Метод теории возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда так называемая энергия возмущения V приводит к небольшим поправкам к основному (т.е. без V ) решению. Последовательное вычисление этих поправок (первое, второе, третье и т.д. приближение) дает, как правило, разложение по некоторому параметру. В квантовой механике развиты два основных метода теории возмущений: 1) метод теории возмущений Шредингера; 2) метод теории возмущений Дирака. 1) Метод теории возмущений Шредингера, как правило, используется, когда энергия возмущения не зависит от времени или когда время в энергии возмущения может быть исключено с помощью какого-либо преобразования. Этот метод особенно просто позволяет найти, например, поправки к спектру энергии в стационарных задачах. 2) Метод теории возмущений Дирака, который мы хотим использовать для решения уравнения, пригоден и для нестационарных задач, когда энергия возмущения зависит от времени. Остановимся здесь на методе теории возмущения Дирака, который, в частности, позволяет построить теорию переходных процессов. Допустим, что мы знаем собственные значения и собственные функции невозмущенного (V 0) стационарного уравнения Шредингера En n H 0 n . Тогда полное решение нестационарного, но невозмущенного уравнения Шредингера ( H 0 ) 0 (t ) 0 i t мы можем представить в виде (t ) C n e 0 iEn tt n , n где Cn - некоторые постоянные коэффициенты, квадрат модуля которых характеризует вероятность нахождения частицы в квантовом состоянии n . При учете в уравнении энергии возмущения V мы общее решение также в форме n и En - собственные функции и собственные значения стационарной задачи, но вводим дополнительное условие, согласно которому коэффициенты Cn должны быть функциями времени. Математически этот метод напоминает решение дифференциальных уравнений способом вариаций постоянных коэффициентов. Поскольку под действием возмущения вероятностные УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 41 из 68 коэффициенты Cn сами должны быть функциями времени, становится возможным описать переход электрона из одного квантового состояния в другое. Подставляя решение в уравнение и считая, что коэффициент Cn зависит от времени, мы найдем: i i En t En t C n n e V (t ) C n n e . n i n i E n t Умножим обе части равенства на n* e d 3 x и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, принимая во внимание условие ортонормированности * 3 n n d x nn , получаем систему следующих уравнений для определения коэффициентов C n : C n C n e itnnVnn (t ) , i n где частота nn En En , а матричный элемент Vnn (t ) n*V (t ) n d 3 x . Заметим, что система уравнений является точной, т.е. совершенно эквивалентной начальному уравнению. Однако в общем случае решить ее точно невозможно и аппроксимация теории возмущений состоит в том, что решение ищется в виде разложения C n C n0 C n C n ..., где коэффициенты нулевого приближения C n0 не должны зависеть от V . Коэффициенты же первого приближения C n , второго приближения C n и т.д. должны быть пропорциональны соответственно V , (V ) 2 и т.д. Подставляя и учитывая лишь члены нулевого и первого приближения, находим следующую систему уравнений для определения коэффициентов C n : C n0 0 (нулевое приближение), C n C n0 e itnn Vnn (t ) (первое приближение) i n и т.д. Первое из этих уравнений показывает, что искомые коэффициенты в нулевом приближении не должны зависеть от времени, т.е. C n0 const . Их значения задаются начальными условиями и характеризуют начальное состояние электрона до того, как на него начинает действовать возмущение. Допустим, что в начальный момент времени, т.е. при t 0 электрон находится в состоянии n . Тогда можно написать C n0 nn . Последнее выражение определяет начальные условия нашей задачи. Подставляя, находим (n n) : УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 42 из 68 t i C n C n (t ) dteitnn Vnn (t ) . 0 Как правило, в квантовой механике вычисляется вероятность перехода w за единицу времени. Учитывая, что вероятность нахождения частицы в состоянии n 2 равна квадрату модуля амплитуды C n , для вероятности перехода в единицу времени, получаем выражение w 2 C n . t n Эти формулы и лежат в основе исследований многих квантомеханических задач первого приближения нестационарной теории возмущений. С помощью этих формул можно, в частности, построить теорию переходных процессов. Тема: Квантовые переходы под действием периодического возмущения. Неопределенность и ширина энергетического уровня, квазистационарное состояние и время жизни. Другого рода результаты получаются для вероятности перехода в состояния непрерывного спектра, происходящего под влиянием периодического возмущения. Предположим, что в некоторый начальный момент времени t 0 система находится в n -м стационарном состоянии дискретного спектра. Частоту периодического возмущения будем предполагать такой, что E min E n( 0 ) , где Emin - значение энергии, с которого начинается непрерывный спектр. Основную роль будут играть состояния со значениями энергии E в непосредственной близости к «резонансной» энергии E n( 0) , т.е. такие, для которых разность n - мала. По этой же причине в матричных элементах возмущения достаточно рассматривать только первый член (с близкой к нулю частотой n ). Подставляя этот член и интегрируя, получим: i e i (n ) 1 an Vn (t )dt Fn . 0 (n ) t t Нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы при t 0 было an 0 , в соответствии с поставленным начальным условием. Для квадрата модуля an отсюда находим: an 2 Fn 2 4 sin 2 n t 2 . 2 (n ) 2 Легко видеть, что при больших t стоящая здесь функция может быть представлена как пропорциональная t . Для этого замечаем, что имеет место следующая формула: sin 2 t ( ) . t t 2 lim УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 43 из 68 Действительно, при 0 написанный предел равен нулю, а при 0 имеем sin 2 t t , так что предел равен бесконечности. Интегрируя же по d в пределах t 2 от до (делаем подстановку t ), получим: sin 2 t 1 da 2 t 1 sin 2 2 d 1 Таким образом функция, стоящая в левой стороне равенства, действительно удовлетворяет всем требованием, определяющим - функцию. Соответственно этой формуле, мы можем написать при больших t 2 n 1 2 n Fn t 2 2 или, подставив n E E n0 и воспользовавшись тем, что ax x / a : n 2 2 2 Fn E v E n( 0) t 2 Выражение n dv есть вероятность перехода из первоначального состояния в состояния, находящиеся в интервале между и dv . Мы видим, что при больших t она оказывается пропорциональной истекшему с момента t 0 промежутку времени. Вероятность же dwnv перехода в течение единицы времени равны: dwnv 2 2 Fn E v E n( 0 ) dv. В соответствии с тем, что и ожидалось, она отлична от нуля лишь для переходов в состояния с энергией Ev E n(0) h . Если энергетические уровни непрерывного спектра не вырождены, так что под v можно понимать значения одной только энергии, то весь «интервал» состояний dv сводится к одному состоянию с энергией E E n( 0) h , и вероятность перехода в этому состояние есть 2 2 FEn / E E / t ~ wnE Таким образом, чем меньше интервал времени t , тем большее изменение энергии будет обнаружено. Существенно, что его порядок величины t не зависит от величины возмущения. Определяемое этим соотношением изменение энергии будет обнаружено даже при сколь угодно слабом взаимодействии между обеими частями системы. Этот результат является чисто квантовым и имеет глубокий физический смысл. Он показывает, что в квантовой механике закон сохранения энергии может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью до величины порядка t , где t интервал времени между измерениями. Об этом соотношении часто говорят, как о соотношении неопределенности для энергии. Необходимо, однако, подчеркнуть, что его смысл УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 44 из 68 существенно отличается от смысла соотношения неопределенности px ~ для координаты и импульса. В последнем p и x - неопределенности в значениях импульса и координаты в один и тот же момент; они показывают, что эти две величины вообще не могут иметь одновременно строго определенных значений. Энергии же E , , напротив, могут быть измерены в каждый данный момент времени с любой точностью. Величина E E / / есть разность двух точно измеренных значений энергии E в два различных момента времени, а отнюдь неопределенность в значении энергии в определенный момент времени. Пусть E0 есть некоторый уровень энергии системы, вычисленный при полном пренебрежении возможностью ее распада. Посредством обозначим «продолжительность жизни» этого состояния системы, т.е. величину, обратную вероятности распада в единицу времени. Тогда тем же способом найдем, что E0 E ~ / , где, E , - энергии обеих частей, на которые распалась система. Но по сумме E можно судить об энергии системы до распада. Поэтому полученное соотношение показывает, что энергия способной к распаду системы в некотором «квазистационарном» состоянии может быть определена лишь с точностью до величины порядка / . Эту величину обычно называют «шириной» Г уровня. Таким образом Г~ / . Тема: Амплитуда рассеяния. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси z , описывается плоской волной, которую мы напишем в виде e ikz , т.е. выберем нормировку, при которой плотность потока в волне равна скорости частиц . Рассеянные частицы должны описываться вдали от центра расходящейся ikr сферической волной вида f ( )e r , где f ( ) - некоторая функция угла рассеяния (угол между осью z и направлением рассеянной частицы); эту функцию называют амплитудой рассеяния. Таким образом точная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера с потенциальной энергией U (r ) , должна иметь на больших расстояниях асимптотический вид e ikz f ( ) kr e . r Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент 2 2 поверхности dS r 2 do ( do элемент телесного угла) равна r 2 f dS f do . Ее отношение к плотности потока в падающей волне равно: d f do. 2 Эта величина имеет размерность площади и называется эффективным сечением (или просто сечением) рассеяния внутри телесного угла do . Если положить do 2 sin d , то мы получим сечение d 2 sin f d 2 для рассеяния в интервале углов между и + d . УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 45 из 68 Эффективное сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде в очень важном случае – когда рассеивающее поле может рассматриваться как возмущение. Это возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий: 2 U ma 2 или 2 ka, a ma 2 где a радиус действия поля U (r ), а U порядок U его величины в основной области его существования. При выполнении первого условия рассматриваемое приближение применимо при всех скоростях. Из второго же условия видно, что оно во всяком случае применимо для достаточно быстрых частиц. Ищем волновую функцию в виде 0 1 , где 0 e ikr соответствует падающей частице с волновым вектором k p / . Имеем: 1 x, y, z / m / / / i kr / kR dV U x , y , z e R 2 2 Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, введем радиусвектор R0 в точку наблюдения 1 и обозначим посредством n / единичный вектор в направлении R0 . Пусть радиус-вектор элемента объема dV есть r / , тогда R R0 r / . На больших расстояниях от центра R0 r , так что R R0 r R0 r n Подставляя это, получим следующее асимптотическое выражение для 1 : 1 m e ikR0 U r e i k k r dV 2 2 R0 (где k kn есть волновой вектор частицы после рассеяния). Сравнивая с определением амплитуды рассеяния, получим для нее выражение f m U e iqr dV , 2 2 в котором мы произвели переобозначение переменных интегрирования и ввели вектор q k k с абсолютной величиной q 2k sin 2 , где - угол между k и k , т.е. угол рассеяния. Наконец, возводя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, получим следующую формулу для эффективного сечения рассеяния в элемент телесного угла do : d 2 m2 iqr U e dV do . 2 4 Мы видим, что рассеяние с изменением импульса на q определяется квадратом модуля соответствующей компоненты Фурье поля U . Формула была УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 46 из 68 впервые получена М. Борном (1926); соответствующее приближение в теории столкновений часто называют борновском приближением. Рассеяние в кулоновском поле представляет особый интерес с точки зрения физических применений. Оно интересно также и в том отношении, что для этого случая квантомеханическая задача о столкновениях может быть решена до конца точно. При наличии выделенного направления (в данном случае – направление падающей частицы) уравнение Шредингера в кулоновском поле удобно решать в параболических координатах , , . Задача о рассеянии частицы в центральном поле обладает аксиальной симметрией. Поэтому волновая функция не зависит от угла . Частное решение уравнения Шредингера пишем в виде: f1 ( ) f 2 ( ) Таким образом получаем для эффективного сечения рассеяния d f ( ) do формулу 2 d do 4k 4 sin 4 или в обычных единицах d ( , 2 2 do ) 2m 2 sin 4 2 (мы ввели скорость частицы k / m ). Эта формула совпадает с известной формулой Резерфорда, к которой приводит классическая механика. Таким образом для рассеяния в кулоновском поле квантовая и классическая механика дает одинаковый результат. Тема: Молекулы. Гетерополярная и гомеополярная связи. Химические свойства элементов, так же как и их оптические спектры, определяются в основном электронами внешнего слоя, который может содержать только s и p –оболочками. Поэтому закономерности, лежащие в основе оптической периодичности (например, повторяемость расщепления термов а атомных спектрах и т.д.), должны служить также основной и в построении теории периодически повторяющихся химических свойств элементов. Кстати, заметим, что последние свойства проявляются не у изолированного атома, а при наличии нескольких атомов, образующих молекулу. Электроны внутренних слоев почти не оказывают влияния на химические процессы, так как они гораздо сильнее связаны с ядром, чем внешние. Поэтому энергия, выделяемая при химических реакциях, гораздо меньше, чем энергия связи электронов внутренних слоев. Следует различать два основных типа химической связи: ионная (гетерополярная) и атомная (гомеополярная или спиновая). Рассмотрим более подробно каждые из этих типов химической связи. Известно, что неорганические соли построены из положительных и отрицательных ионов, между которыми УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 47 из 68 имеет место электрическое (кулоновское) притяжение, удерживающее атомы в молекуле. Соединения этого типа называются ионными, а соответствующие молекулы – гетерополярными. Как известно, ионы могут быть двоякого рода: положительные и отрицательные. Знак заряда иона зависит, с одной стороны, от потенциала ионизации, т.е. от той энергии, которую необходимо затратить, чтобы удалить внешний электрон, а с другой – от степени сродства к электрону, т.е. от той энергии, с которой нейтральный атом может удерживать дополнительный электрон на внешнем слое. Атомы щелочных и щелочноземельных металлов легко отдают свой валентный электрон другому атому (потенциал ионизации для них наименьший), превращаясь при этом в положительный ион (например, в ион 𝑁𝑎+ ). Наоборот, атомы VII группы (галогены), а также VI группы (кислород и др.) обладают наибольшим по сравнению с другими элементами значением потенциала сродства к электрону. Энергия сродства к электрону у натрия практически, так же как и у инертных газов, равна нулю. Первая попытка построить теорию ионной связи принадлежит Косселю (1916), исходившему из представлений боровской теории атома. В основу его теории была положена замкнутость восьмиэлектронных слоев атомов инертных газов, не обладающих никакой валентностью. Наряду с ионными соединениями существуют молекулы, которые образуется не из ионов, а непосредственно из нейтральных атомов. Простейшей из них является молекула 𝐻2 . Подобные молекулы получили название атомных или гомеополярных. Заметим, что образование гомеополярных молекул нельзя понять даже качественно на основе классических или полуклассических (боровских) представлений. Эти теории могли подойти к объяснению молекулярных соединений только в том случае, когда в основе их образования лежат силы электростатического происхождения, например гетерополярные молекулы. Теория простейшей гомеополярной молекулы водорода впервые была построена Гайтлером и Лондоном (1927) с помощью введения квантовых обменных сил. Гайтлер и Лондон, теорию которых мы хотим изложить, использовали в своих расчетах метод теории возмущения. Этот метод хотя и дает не слишком хорошие количественные результаты (это связано с тем, что параметр разложения оказался не очень малой величиной), однако он позволяет полностью вскрыть физическую природу происхождения гомеополярной связи. Молекула водорода состоит из двух протонов (ядер) a, a и двух электронов, которые пронумерованы индексами. Обозначим расстояние между ядрами через R, которое при исследовании движения электронов можно считать постоянной величиной. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 48 из 68 Обозначим далее через r1 и r2 радиус-векторы, характеризующие положение первого и второго электрона относительно ядра a , а через r1 и r2 – относительно ядра a , причем r1 r1 R, r2 r2 R . Тогда уравнение Шредингера для молекулы водорода может быть записано в виде: ( E H ) (r1 , r2 ) 0 , причем в гамильтониане H T Vaa Vaa V12 , учтены все шесть возможных кулоновских энергией взаимодействия между электронами и ядрами Vaa e02 e02 e2 e2 , Vaa 0 0 , r1 r2 r1 r2 V12 e02 e02 . R r12 принимая во внимание, что при 𝑅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 1 1 , 2 2 , мы можем оператор кинетической энергии записать как через нештрихованные, так и через штрихованные координаты: T T1 T2 где 1 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 , 2m0 i 2m0 i 1 1 T2 ( 2 )2 ( 2 ) 2 2m0 i 2m0 i T1 Решая эту задачу по методу теории возмущений, мы должны гамильтониан разбить на нулевое и первое приближение. Можно получить выражение для кулоновской энергии: K e02 2 R a0 5 R 3 R 2 1 R 3 e ( ) ( ) , 1 R 6 a0 8 a0 4 a0 причем в случае малых значений R a0 имеем: e02 11 R 5 R 3 K 1 ( ) ... . R 8 a0 4 a0 Точно так же при малых значениях R a0 после довольно сложных выкладок получаем обменную энергию: УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 49 из 68 e02 11 R 1 R 2 13 R 3 A 1 ( ) ( ) ... . R 8 a0 3 a0 12 a0 Целью проведения практических занятий является помощь в освоении теоретического материала и приобретение определенных навыков в решении задач. При решении задач рекомендуется определенная последовательность. Необходимо: - изучить теоретический материал по теме; - начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения, которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи, обязательно сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи. Рисунок должен быть достоверным (например, равные по модулю силы изображать векторами-отрезками одинаковой длины и т.д.); - условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в единицах СИ; - недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц; - решение задачи сопровождать пояснительным текстом; - решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности отдельных членов формулы; -выполнить числовые расчеты; - получив числовой ответ, оценить его правдоподобность. 3. Практические занятия Целью проведения практических занятий является помощь в освоении теоретического материала и приобретение определенных навыков в решении задач. При решении задач рекомендуется определенная последовательность. Необходимо: - изучить теоретический материал по теме; - начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения, которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи, обязательно сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи. Рисунок должен быть достоверным (например, равные по модулю силы изображать векторами-отрезками одинаковой длины и т.д.); - условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в единицах СИ; - недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц; - решение задачи сопровождать пояснительным текстом; - решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности отдельных членов формулы; -выполнить числовые расчеты; - получив числовой ответ, оценить его правдоподобность. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 50 из 68 Тема: Операторы в квантовой механике. Цель занятия: рассмотреть свойства линейности и эрмитовости операторов, правила умножения операторов, вычисление коммутаторов. Примеры решения задач Задача 1. Является ли оператор комплексного сопряжения M * линейным оператором? Решение Если A * и AC C * * , то A (C1 1 C 2 2 ) C1* 1* C 2* 2* C1* A 1 C 2* A 2 . Значит, оператор комплексного сопряжения Â не является линейным, так как в общем случае C1 C1* и C 2 C 2* . Задача 2. Является ли оператор комплексного сопряжения эрмитовым оператором? Чему равен оператор, комплексно-сопряженный оператору комплексного сопряжения? Решение Комплексносопряженным оператором по отношению к оператору B называется оператор B * , для которого выполняется условие ( B * * ) * B . Для оператора комплексного сопряжения ( A * ) это условие принимает вид: ( A* * ) * A * . Поэтому A* * . Но A * . Значит, оператор A* равен оператору A . Оператор комплексного сопряжения A не является эрмитовым, так как * * * * 1 A 2 d 1 2 d 2 A 1 d 1 2 d . Задача 3. Доказать следующие коммутационные соотношения: а) A, Bi A, Bi ; б) A, BC A, B C B A, C . Решение а) A( Bi ) ( Bi ) A ( ABi Bi A) A, Bi ; б) A ( BC ) ( BC ) A ABC BCA BAC BAC A, B C B A, C . Задачи для самостоятельного решения 1. Возвести в квадрат оператор i A(r ) . 2. Найти коммутатор d d xx . dx dx 3. Найти коммутатор оператора x и оператора Лапласа. Тема: Операторы физических величин. Цель занятия: выработать умение применять теорию линейных операторов к вычислению конкретных операторов координаты, импульса, кинетической энергии и оператора Гамильтона. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 51 из 68 Примеры решения задач Задача 1. Доказать, что в стационарном состоянии дискретного спектра среднее значение проекции импульса частицы равно нулю. Решение i H, x p x . Поэтому среднее значение проекции импульса частицы равно m0 p x * p x dx * получим: im0 ( Hx xH ) dx . Пользуясь эрмитовостью гамильтониана H , im0 im ( xH * x * H ) dx 0 Здесь учтено, что H E . px E( x * x * )dx 0 . Задача 2. Показать, что оператор радиус-вектора частицы в p - представлении p есть r i . Решение В координатном представлении r r . Для перехода, к p -представлению воспользуемся выражением среднего значения радиус-вектора: r * ( p) r ( p)d 3 p (1) где i pr 3 ( p) (2) 2 (r )e d (2) суть коэффициенты в формуле разложения (r ) по собственным функциям p оператора импульса (r ) (2) С другой стороны, 3 2 i pr 3 ( p )e d p . (3) r * (r ) r (r )d . (4) Учитывая выражение (3) и интегрируя по частям, преобразуем r (r ) к виду i pr ( p ) 3 3 2 r (r ) (2) ie d p. p Тогда 3 i pr ( p) 3 ( p) 3 * * 2 r (2) (r )e i d pd ( p)i d p. (5) p p Здесь принято во внимание выражение для * ( p) согласно (2). Сравнивая (5) и (1), находим, что в импульсном представлении r i . p Задачи для самостоятельного решения 1. Доказать самосопряженность оператора момента количества движения L r p. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 52 из 68 2. Доказать справедливость перестановочного соотношения L L iL для момента количества движения. 3. Доказать, что оператор квадрата момента количества движения L2 L2x L2y L2z коммутирует с любой его составляющей (использовать результаты задачи 2). Тема: Уравнение Шредингера. Цель занятия: решение стационарного уравнения Шредингера и решение временного уравнения Шредингера. Примеры решения задач Задача 1. В одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 x a) находится частица в состоянии ( x) Ax(a x) . Найти волновую функцию в энергетическом представлении и вычислить среднюю энергию частицы. Решение Из условия нормировки получаем: A 2 30 . Уравнение для собственных функций a5 оператора энергии d 2 ( x) 2m0 2 E 0 dx 2 имеет для значений E n 2 2n 2 2m0 a 2 конечные, непрерывные и однозначные решения: n ( x) 2 nx sin , a a где n 1,2,... поэтому волновую функцию частицы в энергетическом представлении можно записать так: a ( En ) ( x) n* ( x)dx A 0 2 a a x(a x) sin 0 nx a dx 4 15 1 (1) n . (n ) 3 Вероятность, что частица обладает энергией En , выражается формулой W (En ) ( En ) 2 2 240 1 (1) n . 6 (n ) Очевидно, что W ( En ) 0 лишь при n 1, 3, 5... . Средняя энергия частицы оказывается равной 2 2 n 2 240 2 2 5 2 E 6 6 . 2 n m0 a 2 n 1 3, 5 2m0 a Задача 2. Частица находится в однородном потенциальном поле U ( x) x . Найти собственные значения и собственные функции оператора энергии в p представлении. Решение УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 53 из 68 p2 Гамильтониан частицы в p - представлении есть H . Поэтому для i 2 m0 p собственных функций ( p ) оператора энергии уравнение в импульсном представлении имеет вид p2 ( p) ( p) i E ( p) . 2 m0 p Задача 3. Частица с массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (0 x a, 0 y b) . Найти: собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы. Решение Решение уравнения Шредингера внутри ямы удобно искать сразу в виде произведения синусов: ( x, y) Asin k1 x sin k 2 y , так как при x 0 и y 0 волновая функция должна обращаться в нуль. Возможные значения k1 и k 2 находим из граничных условий: (a, y ) 0, k1 n1 , a n1 1, 2, 3,..., ( x, b) 0, k 2 n2 , b n2 1, 2, 3,... В результате nn 1 2 2 2 n12 n22 ); 2m a 2 b 2 n x n y 4 sin 1 sin 2 . ab a b E n1n2 ( Задачи для самостоятельного решения 1. Частица находится в одномерной потенциальной яме 0 x a , внутри которой V 0 , а вне V . Найти решение стационарного уравнения Шредингера для этого случая. 2. Найти волновую функцию и разрешенные значения энергии частицы, находящейся в потенциальном поле, определяемом следующим образом: 0 при 0 x a, 0 y b, 0 z c V при x 0, x a, y 0, y b, z 0, z c . 3. Найти уровни энергии и волновые функции одномерного гармонического осциллятора, помещенного в постоянное электрическое поле Е. заряд частицы е. Тема: Теория спина. Цель занятия: нахождение собственных функций и собственных значений оператора спина. Примеры решения задач УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 54 из 68 Задача 1. Найти собственные функции и собственные значения операторов, определяемых матрицами Паули. Решение Собственные функции и собственные значения операторов x , y , z найдем из решений уравнений x (1) x (1) , y ( 2) y ( 2) , z (3) z (3) , где x , y , z - собственные значения, а (1) , ( 2) , (3) - собственные функции a операторов x , y и z . Представляя искомые функции в виде матрицы , b 01 a a мы из первого уравнения x получим: 10 b b b a x . a b Это значит, что b x a , a x b и, следовательно, x2 1, x 1 . 1 1 Если x 1 , то (11) a , если x 1 , то (11) a . 1 1 Из условия нормировки 1 1(1)* 1(1) a 11 2 a 1 1 2 следует, что a 1 2 2 . Поэтому (11) 1 1 1 1 , (11) . 2 1 2 1 Аналогично из второго и третьего уравнений находим: 1 1 1 1 , (12) ; 2 i 2 i 1 0 , (13) . 0 1 для y 1 : ( 12) для z 1 : (31) Функции (31) и (13) соответствуют случаям, когда спин направлен по оси z и соответственно. Задача 2. Вычислить квадрат проекции спина электрона на произвольное направление. Решение S , где x , y , z - матрицы Паули, удовлетворяющие условиям: 2 1 0 x2 y2 z2 ; 0 1 x y y x , y z z y , z x x z . Квадрат проекции спина на произвольное a направление равен УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 55 из 68 2 2 s a 2 a x a x y a y z a z x a x y a y z a z a 4a 2 4a 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 x a x y a y z a z ( x y y x )a x a y ( y z z y )a y a z ( z x x z )a z a x 4 0 1 4a Отсюда s 2 a 1 2 . 4 Задача 3. Найти скалярное произведение спинов электрона на произвольное направление. Решение Рассмотрим квадрат суммы операторов спинов двух частиц: S 2 ( S1 S 2 ) 2 S12 S 22 2( S1 S 2 ). Как в триплетном, так и синглетном состояниях S 2 , S12 и S 22 имеют определенные значения: собственное значение S 2 2 S ( S 1) (где S 1 для триплетного 3 состояния и S 0 для синглетного состояния) и S12 S 22 2 . Следовательно, 4 2 2 2 2 S ( S1 S 2 ) 2S ( S 1) 3. S1 S 2 2 4 2 3 Поэтому ( S1 S 2 ) в триплетном состоянии, ( S1 S 2 ) 2 в синглетном 4 4 состоянии. Задачи для самостоятельного решения 1. Доказать, что операторы x , y , z , определяемые равенствами: x , y i , z , x a, y ia , z , удовлетворяют тем же соотношениям, что и матрицы Паули. 2. Составить оператор d x , используя H dt для частицы со спином, помещенной в магнитное поле с индукцией B . 4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА При подготовке к СРСП рекомендуется изучить предварительно вопрос, используя учебную литературу по дисциплине. Составить краткий конспект прочитанного, отметив вопросы, вызывающие сомнение, либо не до конца понятые при изучении теоретического материала. тема-1: О необходимости перехода к квантовым понятиям. Корпускулярноволновой дуализм Обратить внимание на необходимость перехода от классических понятий к квантовым понятиям. Привести несколько экспериментов конца XIX и начала XX века, которые послужили толчком к возникновению квантовой механики. УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 56 из 68 Рассмотреть гипотезу де Бройля, которая является основой корпускулярноволнового дуализма. тема-2: Операторы физических величин. Линейные и эрмитовы операторы Обратить внимание на теорию линейных операторов, свойства операторов, т.к. она составляет основу квантовой механики. Вывести условия самосопряженности операторов, привести примеры на линейные эрмитовы операторы. тема-3: Свойства собственных функций операторов Показать, что свойства собственных функций операторов вытекает из методов математической физики. тема-4: Уравнение Шредингера Пользуясь методом аналогии и сравнивая с классической физикой, показать что уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики. Привести принцип соответствия Бора. Показать виды уравнения Шредингера. тема-5: Изменение со временем средних значений наблюдаемых Показать, что изменение со временем средних значений наблюдаемых приводит к законам сохранения в квантовой механике. Привести несколько примеров интегралов движения. Показать их связь со свойствами симметрии пространства и времени. тема-6: Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме Рассмотреть одномерное движение, т.е. движение частицы в потенциальной яме. При рассмотрении линейного гармонического осциллятора, сравнить квантовые и классические результаты. тема-7: Общие свойства движения в центрально-симметричном поле Рассмотреть проблему 2-х тел в квантовой механике и сравнить ее с аналогичной задачей в классической механике (проблема Кеплера). Применить метод разделения переменных при рассмотрении задач: свободное движение частиц и частица в кулоновском поле. тема-8: Элементы теории представлений. Приближенные методы в квантовой механике Рассмотреть 3 вида представления и некоторые приближенные методы в квантовой механике. Показать, что при предельном переходе к классической механике выполняется принцип соответствия Бора. тема-9: Спин и волновая функция частицы со спином Показать, что спин является чисто квантовым явлением. Разъяснить, что у каждой частицы имеется свой спин. Написать уравнение Шредингера, учитывающее влияние спина. Показать механизм обменного взаимодействия в системе тождественных частиц. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СРС Приступая к выполнению заданий СРС необходимо: - изучить теоретический материал по теме; - начиная решать задачу, вникнуть в ее смысл. Представить себе не только физическое явление, о котором идет речь, но и те упрощающие предположения, УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 57 из 68 которые надо сделать, проводя решение; - если позволяет характер задачи, рекомендуется сделать рисунки, поясняющие содержание и решение задачи. - условие задачи записывать кратко, все, входящие в неё величины, выразить в единицах СИ; - недостающие в условии данные при необходимости выписать из таблиц; - решение задачи сопровождать пояснительным текстом; - решив задачу в общем виде, проверить ответ по равенству размерности отдельных членов формулы; -выполнить числовые расчеты; - получив числовой ответ, оценить его правдоподобность. В соответствии с графиком отчета о выполнении заданий СРС решить и представить на проверку следующие задания: - Динамические переменные в квантовой механике: № 4.1.3 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.2.5, 6.2.6, 6.2.7, 6.2.8, 6.2.10 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), №7.12, 7.13, 7.14 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983) - Динамические уравнения квантовой механики: № 4.2.2 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.3.5, 6.3.9, 6.3.10 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.46, 7.47 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983) - Законы сохранения физических величин: № 6.3.11, 6.3.12 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.91, 7.92, 7.93 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983) - Некоторые приложения квантовой механики: № 4.2.4 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.4.4, 6.4.6, 6.4.8 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.51, 7.52 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983) - Приближенные методы: № 4.8.3 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.7.2, 6.7.3 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.110 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983) - Учет спина частицы: № 4.5.2 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.8.7, 6.8.9 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., «Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.102, 7.103 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983) - Многочастичная система. Переходы между состояниями: № 4.11.19 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.10.5 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А.,«Халықаралық жазылым УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 58 из 68 агенттігі», 2007), № 7.75 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983) - Теория излучения: № 4.14.3 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.11.3, 6.11.6 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А.,«Халықаралық жазылым агенттігі», 2007) - Упругое рассеяние частиц: № 4.13 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6, 6.11.20 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А.,«Халықаралық жазылым агенттігі», 2007), № 7.125 (Гречко Л.И., Сугаков В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983). КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА Тестовые задания по квантовой механике 1. Согласно гипотезе Планка энергия микрообъектов может принимать только определенные дискретные значения и определяется соотношением: A) 3 1 2 3 с KT е 1 B) Е=mc2 ; C) Е=cp; D) E=n E) E= mv 2 2 2. Согласно Эйнштейну, электромагнитное поле можно рассматривать как совокупность фотонов с энергией: A) E=mc ; B) E= ; 2 C) Е=cp кх 2 E) Е= 2 p2 D) E= 2 m0 3. Бор в основу теории атомов положил следующие 2 постулата A) Постулаты стационарных и устойчивых состояний B) Постулаты стационарных состояний и частот C) Постулаты нестационарных состояний и частот D) Постулаты стационарных и неустойчивых состояний E) Постулаты нестационарных и неустойчивых состояний. 4.Волновые свойства микрочастиц определяются следующей формулой де Бройля A) с B) E= C) Е=mc2 D) h p E) Е=ср 5. Волновая функция является решением: A) Уравнения Ньютона B) Уравнения Гамильтона-Якоби C) Уравнения Шредингера D) Уравнения Максвелла E) Уравнения Лагранжа 6.Квантомеханический принцип суперпозиции формулируется следующим образом: A) с11 с2 2 B) с1 1 с 2 2 C) с11 с2 2 D) с1 2 с2 2 E) с1 1 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 59 из 68 7. Собственным значением оператора Гамильтона (с учетом потенциального поля) является: A) Полная энергия B) Потенциальная энергия C) Кинетическая энергия D) Момент импульса E) Импульс 8.Спином электрона называется: A) орбитальный механический момент частицы B) орбитальный магнитный момент частицы C) вращение частицы вокруг собственной оси D) собственный механический момент частицы E) вращение частицы вокруг ядра 2 2 9. Полное уравнение Шредингера имеет вид H U 2m 2 2 A) H E B) ih =C) ih = H t t 2m 2 2 2 2 D) E) ih =( =E U ) t 2m 2m 10. Бор в основу теории атомов положил следующие 2 постулата A) Постулаты нестационарных и неустойчивых состояний. B) Постулаты стационарных состояний и частот C) Постулаты нестационарных состояний и частот D) Постулаты стационарных и неустойчивых состояний E) Постулаты стационарных и устойчивых состояний 11. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид: 2m E U =0 2 2 2 D) ih = t 2m A) 2 +U = ih t 2m 2m E) 2 E U =0 B) - C) ih 2 2 = t 2m 12. Отношение неопределенностей Гейзенберга записываются в виде A) h ; p B) px h ; C) E= D) p= л E) px h 13. Энергия гармонического осциллятора по квантовой теории определяется следующей формулой: A) En=n 1 B) En= n ; 2 C) En= ; kx 2 D) E= ; 2 E) E=mc2 14. Энергетический спектр гармонического осциллятора является: A) непрерывным; B) дискретным; C) полосатым; D) не дискретным E) неэквидистантным 15. Волновые функции гармонического осциллятора выражаются через полиномы: A) Лагерра; B) Эрмита-Чебышева; C) Лежандра; D) Бернулли; E) Якоби 16. Собственные значения и собственные функции оператора проекции момента импульса имеют вид: УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 A) LZ=m и n An sin n An Hm e Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 60 из 68 n x ; B) LZ=m и Фm=Cmeim e C) L= l l 1 и f2 E) LZ=m и Фm=Cmeim D) L= l l 1 и Фm=Cmeim 2 17. Энергия атома водорода определяется: A) орбитальным квантовым числом B) спиновым квантовым числом C) главным квантовым числом D) магнитным квантовым числом E) радиальным квантовым числом 18. Индуцированное излучение атомной системы происходит: A) под действием внешнего электромагнитного поля: B) под действием кулоновского поля ядра C) при отсутствии внешнего электрод магнитного поля D) при ускоренном движении электрона E) под действием не кулоновского поля 19. К бозону принадлежит: A) протон; B) фотон; C) электрон; D) нейтрон; E) позитрон 20. Энергия атома водорода определяется: A) главным квантовым числом B) спиновым квантовым числом C) орбитальным квантовым числом D) магнитным квантовым числом E) радиальным квантовым числом 21. Оператор-это есть любое действие, переводящее одну волновую функцию на другую следующим образом: A) F B) F C) F D) F E) F 22. Оператором Гамильтона (с учетом потенциального поля) является следующая величина: 2 2 A) H U r 2m 2 2 B) H 2m 2 E) H U r 2m D) H U 2 2 C) H U r 2m Z равен: 23. Коммутатор операторов Z , P A) i B) -i C) 0 D) E) i 24. Среднее значение оператора определяется выражением: A) F = F dV B) F = D) F = E) F * * F dV F dV = dV * * C) F = FdV * УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 61 из 68 25. Изменение средних значений физических величин во времени определяется выражением: 2 1 * HF dV A) F , H B) = FH ih 2 +U i t 2m d F ,H F F C) F *FdV D) dt t d F F F , H E) dt t 26. В представлении Шредингера эволюция микросистемы во времени сводится к ... A) изменению эрмитовских операторов во времени. B) изменению эрмитовских операторов и волновых функции во времени. C) изменению волновых функций во времени D) изменению наблюдаемых во времени E) изменению интегралов движения во времени 27. Как известно, коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера задается формулой: D D0 exp 2m E 2 A) E=U0 2 2m U 0 E 2 B) 0 2a 2mU 0 E 2 2 D0 16k 2 , k2= k 2 2 Частицы могут просачиваться через барьер, если C) E<U0 D) E>U0 E) U0=0 28. В нормальном квантовым состоянии электрон в атоме водорода представляется; A) в виде заряженного шарика B) в виде сферического заряженного облака C) в виде конусообразного заряженного облака D) в виде гиперболичного заряженного облака E) в виде эллипсоидального заряженного облака 29. Энергия в первом приближении, вычисленная по теории возмущений (при отсутствии вырождения) определяется: A) недиогональными матричными элементами оператора возмущения B) диагональными матричными элементами оператора возмущения C) матричными элементами i-й строки оператора возмущения D) матричными элементами j-го столбца оператора возмущения E) ортогональными матричными элементами оператора возмущения 30. В представлении Шредингера эволюция микросистемы во времени сводится к ... A) изменению волновых функций во времени B) изменению интегралов движения во времени C) изменению эрмитовских операторов во времени. D) изменению наблюдаемых во времени E) изменению эрмитовских операторов и волновых функции во времени. 31. Гармонический осциллятор может испускать энергию в том случае, если выполняется следующие правила отбора: A) n= 0 B) n= 1 C) n= 2 D) n= 3 E) n= 0, 1 32. Согласно принципу неразличимости тождественных частиц: УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 62 из 68 A) нельзя определить одновременно координату и импульс электрона B) если система может находится в состоянии, изображаемая 1 и в другом состоянии 2, то она может находится и в состоянии: C1 1 C2 2 C) если известно значение волновой функции в начальный момент времени t=0 ,то можно определить значение волновой функции в любой последующий момент времени D) при перестановке местами одинаковых частиц в любых возможных условиях физическое состояние системы остается неизменным E) при перестановке местами одинаковых частиц в любых возможных условиях физическое состояние системы изменяется 33.К фермиону принадлежит: A) частица, описываемая симметричной функцией B) частица, описываемая антисимметричной функцией C) - частица D) частица, имеющая целый спин E) фотон 34.Условие самосопряженности оператора определяется следующим выражением: 1* F 2 dV = 2*F1dV C) F dV = E) FdV = F A) * 1 * 1 2 1 F * 1 2 * 2 dV D) B) * 1* F 2 dV = 2 F *1dV 1* F 2 dV = 1* F 2 *dV 2dV 35.Электронную оболочку образует вся совокупность электронных состояний с заданными значениями квантовых чисел: A) n и e B) n и ms C) e и ms D) e и ms E) n и k 36. Порядок реальной схемы заполнения энергетических уровней: A) совпадает с идеальной схемой до элемента аргона (z=18 ). B) совпадает с идеальной схемой до элемента калия ( z= 19). C) совпадает с идеальной схемой до элемента урана ( z = 92 ). D) совпадает с идеальной схемой до элемента кальция ( z =20). E) совпадает с идеальной схемой до элемента железа ( z =26 ). 37.Уравнение Клейна-Гордона (полное) для свободной частицы имеет вид: 2 2m A) B) 2 E U =0 2 +U i t 2m 2 2 2 4 ih C) с2 2 2 2 D) = 2 m c 0 0 t 2m t2 m c2 0 E) E cp 3 0 38. Уравнение Дирака в ковариантной форме имеет вид: 2 A) 2m C) E E) H +U = ih t 2 2 U 0 2m m c2 0 cp B) E 3 0 2 D) E 2 0 2 m E 39. Гетерополярные молекулы образуется: УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. A) из 2-х ядер и 2-х электронов B) из положительных и отрицательных ионов C) из нейтральных атомов D) из одноименного заряженных ионов E) из одного ядра и 2-х электронов 40. Гомеополярные молекулы образуется: A) из одноименно заряженных ионов B) из положительных и отрицательных ионов C) из 2-х ядер и 2-х электронов D) из нейтральных атомов E) из одного ядра и 2-х электронов стр. 63 из 68 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 64 из 68 12. ЛИСТ РЕГИСТРАЦИИ ИЗМЕНЕНИЙ Порядковый номер изменения Раздел, пункт документа Вид изменения (заменить, аннулировать, добавить) Номер и дата извещения Изменение внесено Дата Фамилия и инициалы, подпись, должность УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 65 из 68 13. ОЗНАКОМЛЕНИЕ СОТРУДНИКОВ № п/п Должность Фамилия И.О. Дата Подпись Изм.№_ Дата Подпись Изм.№_ Дата Подпись УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 66 из 68 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 67 из 68 УМКД 042-18-38.1.89/03-2013 Редакция № 1 от 11.09.2013 г. стр. 68 из 68
