Анализ как поиск решения задачи

Анализ как поиск решения задачи
Подготовила:
Мачкалян С.К.
Учитель математики МОБУ лицей № 23 г. Сочи
Одним из основных методов обучения математике является метод познания.
Анализ является важнейшим методом познания математики, а обучение анализу
надо рассматривать как огромное приобретение в культуре и знаниях учащихся.
Анализ – это поиск решения задачи. Найденное решение излагается синтетическим
методом .Если учитель не провел анализ задачи, то ученику не будет понятно, как
было найдено решение. Поэтому на уроке надо чаще проводить анализ. Анализ
требует большего времени, но потом затраченное на это время окупается с лихвой.
При решении задач анализ может быть использован в двух формах:
а) когда при рассуждении двигаются от искомых к данным;
б ) когда целое расчленяют на части.
Значит, синтез – это рассуждение:
а) когда двигаются от данных задачи к искомым;
б) когда элементы объединяют в целое.
АНАЛИЗ В ФОРМЕ РАСЧЛЕНЕНИЯ
При решении задач, где используется анализ в форме расчленения, показываю
общую схему анализа:
1)разбиваем условие задачи на отдельные части;
2)выделяем отдельные условия;
3) из выделенных условий составляем вспомогательную задачу;
4)решаем ее, и, обнаружив идею решения, переходим к данным задачи.
Рассмотрим задачу.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковое ребро
составляет с основанием пирамиды угол . Через вершину основания пирамиды
провести сечение, перпендикулярное противолежащему боковому ребру. Найти
площадь сечения.
Чтобы решить эту задачу, учащийся должен составить ряд вспомогательных задач:
1)построить две прямые, принадлежащие искомому сечению, перпендикулярные
прямой BS.
2) доказать ,что диагональ основания ,не пересекающая ребро BS,перпендикулярна
ей в правильной четырехугольной пирамиде;
Учащийся приблизительно рассуждает так: «Чтобы построить искомое сечение, надо
построить две пересекающиеся прямые, перпендикулярные ребру BS. В плоскости
BDS проведем прямую DР, перпендикулярную BS.А как же провести вторую
прямую?»
Если ученик не знает теорему о том, что диагональ основания правильной
четырехугольной пирамиды, не пересекающая ребро, перпендикулярно ему, то надо
решить вспомогательную задачу ( доказать, что ACBS). Тогда уже не составляет
труда догадаться, что через точку Q можно провести прямую, параллельную АС в
плоскости SAC.
Таким образом, чтобы построить искомое сечение, пришлось решить две
вспомогательные задачи:
1)через точку D построить прямую, перпендикулярную ребру BS;
2) доказать, что АС BS;
3)в плоскости ASC провести прямую, перпендикулярную ребру SB.
Для нахождения площади искомого сечения, надо решить вспомогательную задачу:
доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения
диагоналей на синус угла между ними.. С доказательством этого утверждения
целесообразно ознакомить ранее, то есть SDMPN 1|2×DP×MN×sinNQD.(1)
Далее учитель обращает внимание на расположение диагоналей (диагонали взаимно
перпендикулярны).
Для доказательства этого факта достаточно решить вспомогательную задачу:
доказать, что АСРД. Ученик при доказательстве этого факта рассуждает
приблизительно так: »Чтобы доказать, что ACPD, достаточно доказать, что
AC (BDS),так как PD
.»
В плоскости BDS SOAC, BDAC,а, значит,PDAC,так как MN
MNPD.
Осталось найти длины диагоналей MN,PD.Здесь ученик проводит анализ в форме
рассуждения от искомого к данным.Чтобы найти PD, надо установить из какого
треугольника можно найти PD.Это можно найти из треугольника BPD.
PD=BD×sin,а MN из треугольника ASC, так как△ASC подобен △MSN, надо
составить пропорцию.
AC|MN=SO|SQ
SQ=SO – OQ, где OQ можно найти из прямоугольного треугольника OQD.
Таким образом, чтобы решить задачу методом анализа в форме расчленения,
понадобились следующие вспомогательные задачи:
1)доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине
произведения диагоналей на синус угла между ними;
2)доказать, что ACPD;
3)доказать подобие треугольников MSN, ASC.
Анализ в форме рассуждения от искомого к данным подразделяется на два вида:
восходящий анализ и нисходящий анализ.
Общая схема восходящего анализа такова: пусть надо доказать утверждение А.
Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Далее подбираем такое
утверждение С, из которого следует утверждение В.Поиск продолжаем до тех пор,
пока не найдем путь решения задачи.
Очень часто нисходящий анализ применяют совместно с синтезом. Тогда
используемый метод называют аналитико-синтетическим. С восходящим анализом
целесообразно ознакомить учащихся с младших классов, уже на первой ступени
учения. Приведу примеры использования восходящего анализа.
Задача №67 5 класс Мордкович А. Г., Зубарева И. И.
Летом Наташа отдыхала на даче и помогала родителям ухаживать за участком. В
подарок своей подруге она привезла в город варенье. Клубничного варенья было 850
г, вишневого в 2 раза больше, а варенья из сливы- на 300 г больше, чем клубничного.
Найдите массу варенья, которое Наташа привезла в подарок.
Условие.
Клубничное варенье – 850 г,
Вишневое варенье - ? в 2 раза 
? г.
Варенье из сливы - ? на 300 г 
А Н А Л И З. В задаче требуется узнать массу всего варенья. Из данных задачи
(смотри условие) видно , что массу всего варенья можно узнать, если найдем массу
варенья из сливы, массу варенья из вишни, так как масса клубничного варенья
известно. Из данных задачи эти массы можно найти. На этом анализ закончился.
Схематически анализ можно представить так:
Масса вишневого варенья
Масса всего варенья
Масса варенья из сливы
Р Е Ш Е Н И Е начинаем с конца. Сначала находим массу варенья из
сливы и вишни, а потом массу всего варенья.
З А Д А Ч А на работу.
Задачи на работу связаны с тремя величинами: производительностью, количеством
работы и временем выполнения работы.
Производительность =количество работывремя работы
Задача №127 5 класс Мордкович.
Мастер может изготовить 360 деталей за 6 дней, а ученик – за 12 дней. За сколько
дней мастер и ученик смогут изготовить это количество деталей, работая
одновременно?
УСЛОВИЕ
Производительность
Время работы
Количество работы
Мастер
?
4
6 дней
360 деталей
Ученик
?
3
12 дней
360 деталей
Одновременно ? 2
?
1
360 деталей
А Н А Л И З.Из условия задачи видно, чтобы найти время выполнения работы
мастером и учеником, надо найти их совместную производительность, чтобы найти
их совместную производительность, надо найти производительность мастера и
производительность ученика. Это возможно из данных задачи.:
Схематически анализ можно представить так:
1
2
3
4
Решение начинаем с конца, то есть сначала находим производительность мастера,
потом производительность ученика, затем совместную производительность и
наконец время выполнения работы мастером и учеником вместе.
Р Е Ш Е Н И Е.
1)360:6=60(дет/день) производительность мастера;
2)360:12=30(дет/день) производительность ученика;
3)30+60=90(дет/день) совместная производительность;
4)360:90=4(дня) время выполнения работы мастером и учеником при одновременной
работе.
Ответ: 4 дня.
А вот еще одна задача, где без восходящего анализа никак не обойтись.
Задача. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов А и В,
расстояние между которыми 135 км. Скорость первого велосипедиста 25 км/час,
второго – 20 км/час. Одновременно с первым из пункта А вылетела ласточка.
Долетев до второго велосипедиста, она повернула назад до встречи с первым. Так
она летала от одного к другому до их встречи. Можно ли найти путь, который
пролетела ласточка, если ее скорость 80 км/час?
А Н А Л И З.Чтобы найти путь, который пролетела ласточка, надо найти время
полета ласточки. Время полета ласточки равно времени движения велосипедистов
до их встречи. Время встречи велосипедистов из данных задачи можно найти. Для
этого надо узнать скорость сближения велосипедистов, то есть сложить их скорости.
На этом анализ закончился. Решение начинаем с конца.
Схематическое представление анализа.
Путь ласточки
время полета
велосипедистов .до их встречи
время движения
скорость сближения велосипедистов.
Задача № 489. 5 класс, Мордкович. Фрезеровщик может обработать партию деталей
за 3 часа, а его ученик – за 6 часов. Успеют ли они обработать это количество деталей
за 2 часа, если будут работать одновременно?
У С Л О В И Е.
Производительность
Кол-во работы
Время
фрезеровщик
?
4
1 партия
3ч
ученик
?
3
1 партия
6ч
вместе
?
2
1 партия
2ч
1
А Н А Л И З. Чтобы определить, успеют ли фрезеровщик и ученик при совместной
работе обработать партию деталей, надо узнать их совместную производительность,
а для этого надо найти производительность ученика и производительность
фрезеровщика, что возможно из условия задачи.
Схематически анализ выглядит так:
1
2
3
4
Р Е Ш Е Н И Е.
1) 1:3=1/3 ч/час производительность фрезеровщика,
2) 1:6=1/6 ч/час производительность ученика,
3) 1/3 +1/6=1/2 ч/час совместная производительность,
4) 1/2×2 = 1 партия обработанных деталей фрез. и учеником.
Ответ: успеют.
Задача №148 5 кл. из учебника Мордкович относится к более трудным задачам,
хотя с помощью анализа решается довольно легко.
Прохожий заметил идущий на остановку автобус в 180 м позади себя. Чтобы не
опоздать, он побежал и через 12 с прибежал на остановку одновременно с автобусом.
С какой скоростью пришлось бежать прохожему, если известно, что автобус
движется со скоростью 19 м/с ?
У С Л О В И Е.
Время
Прохожий
Автобус
Скорость
12 с
?
12 с
Расстояние
(1)
19 м/с
?
(2)
? на 180м б. (3)
А Н А Л И З Из условия задачи видно, чтобы найти скорость прохожего, надо найти
пройденный им путь, а, чтобы найти пройденный им путь, надо найти пройденное
расстояние автобусом, а это можно найти из данных задачи. На этом анализ
закончен.
Схематическое представление анализа.
Vпрох.
Sпрох.
Sавтоб.
РЕШЕНИЕ
1)12  19 = 228 м. расстояние, пройденное автобусом,
2) 228  180 = 48 м, расстояние, пройденное пешеходом,
3) 48 : 12 = 4 м/с скорость пешехода.
Ответ : 4 м/с.
Задачи на количество, цену и стоимость.
Величины количество, цена и стоимость связаны формулой:
цена = стоимость : количество.
Задача № 186 5 класс, Мордкович. Магазин приобрел для продажи 30 зимних
курток на сумму 72000 р., а выручка от их продажи составила 93600 р. На сколько
рублей оптовая цена куртки меньше розничной?
Стоимость
Цена
Количество
Оптом
72000 р.
?
30 штук
В розницу
93600 р.
?
30 штук
А Н А Л И З. Чтобы узнать, на сколько рублей оптовая цена куртки меньше
розничной, надо узнать оптовую и розничную цены куртки, что возможно из данных
задачи.
Схематическое представление анализа.
Оптовая цена
Разница цен
Розничная цена
Решение.
1) 93600: 30 = 3120 (р) розничная цена,
2) 72000: 30 = 2400 (р) оптовая цена,
3) 3120 – 2400 = 720 (р) на столько оптовая цена дешевле розничной.
Ответ : на 720 рублей.
Задача №283 6 класс, Мордкович. Весной яблоки продавались по 35 р. За
килограмм, а к осени их цена была снижена сначала на 20% , а затем еще на 15%.
Какой стала цена яблок после второго снижения?
У С Л О В И Е.
Цена
Весной
35 рублей
Осенью (сначала)
? на 20% .
2
Осенью (затем)
? на 15% 
1
А Н А Л И З. Чтобы узнать цену яблок после второго снижения, надо узнать цену
яблок после первого снижения, что возможно из данных задачи.
Схематическое представление анализа.
1
2
Р Е Ш Е Н И Е.
1)20%  0,2 части
35× 0,2 = 7 (р) сумма, на которую снижена цена сначала,
2) 357 = 28 (р) цена после первого снижения,
3) 15% -0,15 частей
28× 0,15 = 4,2 (р) сумма, на которую снижена цена затем,
4) 284,2 = 23,8 (р) цена после второго снижения.
Ответ: 23 р.80 коп.
Задача № 635 6 класс, Мордкович. Трое студентов получили стипендию. Первый
получил 0,9 той суммы, которую получил второй, и еще 25 рублей, а третий студент
получил 0,95 той суммы, которую получил второй, и еще 15 рублей. Сколько денег
получил каждый студент, если известно, что первый и третий получили поровну?
У С Л О В И Е.
Сумма стипендии
Первый студент ?
Второй студент
?
Третий студент
?
0,9 и 25 рублей
поровну
0,95 и 15 рублей
поровну
А Н А Л И З. По условию задачи первый и третий студенты получили стипендию
поровну, но первый студент получил 0,9 частей стипендии второго студента и еще 25
рублей, а третий студент получил 0,95 частей стипендии второго студента и еще 15
рублей. Значит, 0,05 частей стипендии второго студента составляют 10 рублей. Из
этих данных можно найти стипендию второго студента, а, зная стипендию второго
студента, можно найти стипендию первого и третьего студентов.
Схематическое представление анализа.
Стипендия 1-го ст. (или 3-го ст.)
стипендия 2-го студента.
Р Е Ш Е Н И Е.
1)10 : 0,05 = 1000 : 5 = 200 (Р) стипендия второго студента,
2)0,9  200 + 25 = 205 (р) стипендия и первого и второго студентов .
Ответ: 200 рублей, 205 рублей.
А вот еще одна задача из диагностической работы по алгебре и началам анализа в
10-м классе за февраль 2011 года.
Вариант №8 В5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км,
одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час
автомобилист проезжает на 45 км больше, чем велосипедист. Определите скорость
велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на два часа позже
автомобилиста. Ответ дайте в км/час.
А н а л и з начинаем с рисунка.
Очень часто искомое берем за х, то есть скорость велосипедиста обозначим х км/час,
тогда, двигаясь от искомых к данным задачи, получим, что скорость автомобилиста
будет (х + 45) км/час. Чтобы составить уравнение, надо, используя одно из данных
задачи, составить уравнение, то есть равенство, которое «свяжет» данные и искомые
. Но из данных задачи можно получить много следствий, которые к решению не
имеют никакого отношения.. Но мы подсознательно останавливаемся на тех
условиях, которые помогут нам найти искомое. В данной задаче это будет условие,
что велосипедист потратит на 2 часа больше, чем автомобилист, то есть:
tвел.  tавтом .= 2 часа.
Время, потраченное велосипедистом и автомобилистом, можно выразить через
искомые и данные задачи.
Решение. Обозначив скорость велосипедиста за х км/час, запишем его время,
потраченное на расстояние от А до В: t=40 : х, тогда скорость автомобилиста равна
(х+45) км/час, а время, потраченное автомобилистом на расстояние от А до В, равно
40 : (х+45).Так как велосипедист потратил на два часа больше, чем автомобилист, то
имеем уравнение: 40 :х40 : ( х + 45) = 2. Решив это уравнение, найдем, что скорость
велосипедиста равна 15 км/час.
Рассмотрим задачу из учебника по геометрии за 7 класс автора Погорелова А. В.,
стр. 52,№ 10.
Отрезки АВ и СD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите,
что прямые АС и ВD параллельны.
А Н А Л И З этой задачи восходящий.
1 Чтобы доказать, что прямые АС и ВD параллельны, надо доказать что
2 накрест лежащие углы 1 и 2 равны.
3 Чтобы доказать, что 1=2, надо доказать, что △АСЕ = ВDЕ. В задаче достаточно
данных для утверждения равенства треугольников АСЕ и BDE. На этом анализ
закончен. Решение (синтез) начинаем с конца.
Сначала доказываем равенство треугольников АСЕ иBDE, откуда будет следовать
равенство углов 1 и 2. А из равенства углов 1 и 2 будет следовать параллельность
прямых АВ и CD.
А теперь рассмотрим применение нисходящего анализа.
Общая схема нисходящего анализа демонстрируется на экране и сопровождается
подробным объяснением.
Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Предполагаем, что оно верно, и
пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько
случаев.
1. Получено неверное следствие. Значит, предположение о справедливости А
ошибочно. Решение задачи на этом закончено.
2. Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить
обратимость рассуждений:
а) Если все рассуждения обратимы, то А верно.
б) Если среди рассуждений есть необратимые, то приходится применять другие
методы поиска решения задачи.
3. Если верное следствие получить не удается, то также приходится перейти к
другим методам.
Рассмотрим задачи, где применяется нисходящий анализ.
Задача № 42, учебник по геометрии автора Погорелова, страница 187.
Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r)
окружностей треугольника: R= abc :4S, r=2S:(a + b + c), где a, b, c – стороны
треугольника, а S – его площадь.
В учебнике излагается решение синтетическим путем, без анализа
Решим эту задачу, используя нисходящий анализ.
Предположим, что верно равенство S=abc:4R. (1) Постараемся получить из него
верное следствие (смотри общую схему). Для этого уменьшим число параметров
.Как нам известно, S=1/2 вс
. (Подставим вместо площади в формулу (1) значение
площади.
½ вс
1/2
авс/4R
R
(2).Разделив обе части равенства на вс, получим:
(3)
(4), а это верно по теореме синусов.
Проверяем обратимость рассуждений (4) – (1) устно.
Синтетическое решение.
По теореме синусов имеем:
вс
=1/2 вс×а/2R. Отсюда S=
. Умножим обе части на ½ вс, получим:1/2
.
Анализ, проведенный с помощью учителя, помогает учащимся понять идею решения
задачи, способствует в дальнейшем учащимся самостоятельно находить решение.
Точно также выводим формулу для радиуса вписанной окружности.
Предположим, что равенство r =
верно, попытаемся из него получить верное
следствие. Для этого уменьшим число параметров.
Из рисунка видно, что
S△ABC = S△AOB + S△AOC + S△BOC = rc + rb + ra =
значение площади в формулу r =
r×(a+b+c), подставив полученное
, получим верное следствие: r=r. Тут же
можно проверить обратимость рассуждений.
r=r, умножив и разделив правую часть на множитель
(a+b+c), получим формулу
для радиуса вписанной окружности. Вывод формулы, то есть решение теперь не
составляет труда.
Решая уравнения и неравенства, решая задачи на доказательство, мы используем
нисходящий анализ.
Задача. Доказать
=
(1)
Нисходящий анализ. Предположим, что равенство (1) верно, попытаемся получить
верное следствие. Возведем обе части равенства (1) в квадрат , получим:
(
)2= (
1+
)2,
,
(2)
(3).
Проверим обратимость рассуждений. Из равенства (3) следует равенство (2). Но из
равенства (2) не следует равенство (1), а следует равенство (4):


(4)
Значит, в задаче равенство (1) неверно. Можно составить другую задачу.
Задача. Доказать, что
=
.
Рассмотрим еще одну задачу, решение которой сопровождается
нисходящим анализом.
Задача №20, страница 192, учебник по геометрии автора Погорелова А. В.
Докажи, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, то есть:
a:b:c=
(1).
a : 1/hb:1/hc
Нисходящий анализ. Предположим, что равенство верно и попытаемся из него
получить верное следствие.
a:b=1/ha:1/hb и a:c=1/ha:1/hc
(1)
a:b=hb:ha
и a:c=hc:ha
(2)
aha=bhb
и aha=chc
(3)
или aha=bhb=chc
(4)
Мы получили верное следствие.
Проверим обратимость рассуждений.
(3)(2)(1)
Решение начинаем с конца. Схематически его можно представить так:
(4)(3)(2)(1).
Если бы мы не провели анализ, то ученику было бы непонятно, почему решение
начинаем с равенства (4).
Итак, мною были показаны применения анализов при решении задач. Это
восходящий и нисходящий анализы и анализ в форме расчленения.
Очевидно, развитие мышления учащихся многократно увеличится, если ученик
умеет применять те или иные мыслительные приемы. А при решении
математических задач ученик справится с решением задачи несколько раз быстрее,
если знаком с методами анализа, которые направят учащегося на верный путь
поиска решения.
Анализ – это кирпичики, из которых потом строится мощная крепость прочных,
глубоких знаний.
Желаю вам, дорогие коллеги, успехов в вашей кропотливой и сложной работе.
Учитель Мачкалян С. К.