Диаграммные методы в физике твердого тела

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
Ю.А.Самарский
31 мая 2012 г.
ПРОГРАММА
по курсу ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
по направлению 010900 “Прикладные математика и физика”
факультет: все факультеты
кафедра теоретической физики
курс V
семестр 9
лекции  34 часа
Экзамен  9 семестр
практические (семинарские)
занятия  34 часа
Зачет

нет
лабораторные занятия  нет
Самостоятельная работа–
2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ  68
Программу и задание составил
д.ф.-м.н., проф. Р.О. Зайцев
Программа принята на заседании
кафедры теоретической физики 19 мая 2012 года
Заведующий кафедрой
Ю.М. Белоусов
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНАЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И
ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ II РОДА
Термодинамическая теория возмущений
Представление Мацубары. Температурные функции Грина.
Диаграммная техника для ферми- и бозе-операторов. Диаграммная техника для неравновесных процессов.
II.
Уравнения Горькова
Система основных уравнений при конечной температуре.
Уравнения при наличии внешнего магнитного поля. Термодинамика сверхпроводящего состояния. Сверхпроводник в
слабом магнитном поле. Дифференциальные уравнения
сверхпроводимости вблизи температуры сверхпроводящего
перехода (уравнения ГЛАГ).
III.
Теория сильно скоррелированных электронов
Атомное представление. Диаграммная техника для спиновых
операторов и операторов Хаббарда. Электронная структура
оксидов переходных металлов.
IV.
Высокотемпературная сверхпроводимость
Аномальный изотопический эффект. Отклонения от теории
БКШ. Сверхпроводимость в модели Хаббарда.
V.
Ферромагнетизм металлов
Энергетическая структура элементов переходных групп.
Теория Стонера. Уравнения самосогласованного поля в однопетлевом приближении. Критерий ферромагнетизма для
бесконечной энергии Хаббарда. Теория ферромагнетизма
железа и кобальта.
I.
ФЛУКТУАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ФАЗОВЫХ
ПЕРЕХОДОВ II РОДА
VI.
Фазовые переходы. Теория Ландау
Ферро- и антиферромагнетизм. Сегнетоэлектрики. Cверхпроводимость. Переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние. Переходы металл-диэлектрик. Теория самосогласованного поля.
2
VII.
Термодинамика сильно флуктуирующих систем
Теория ОрнштейнаЦернике. Критические индексы. Точно
решаемые одномерные и двумерные модели.
VIII. Фазовый переход в пространстве 4- измерений
Фазовый переход в четырехмерном пространстве Эвклида.
Уравнения Судакова в четырехмерном пространстве. Гипотеза универсальности и гипотеза Вильсона. Вычисление
критических индексов в трехмерном пространстве.
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ
ПРОЦЕССОВ
IX.
Диаграммная техника
Запаздывающая, причинная и опережающая функции Грина.
Квантово-механическое усреднение двухкомпонентных временных функций Грина. Система уравнений Келдыша и переход к уравнениям для функции распределения.
X.
Уравнения КадановаБейма
Аппроксимация Хартри и уравнение Больцмана. Обобщённое уравнение Больцмана. Квазиравновесные явления и распространение звука.
XI.
Флуктуационно-диссипационная теорема
Формулы Кубо для линейного отклика. Соотношения ЧелленаВельтона. Флуктуационно-диссипационная теорема
для ток-токового коррелятора. Формула Найквиста. Белый
шум.
XII.
Диффузионные процессы при низкой температуре
Вычисление коррелятора плотность-плотность. Уравнения
электродинамики в металлах. Аномальный скин-эффект и
эффект Кондо. Диффузоны, купероны и теплопроводностные моды. Соотношение Эйнштейна. Вычисление четырёхтоковых корреляторов. 1 / f -шум при низких температурах.
3
XIII. Неравновесные флуктуации параметра порядка
Вычисление третьего коэффициента в нестационарных
уравнениях ГинзбургаЛандау. Динамический критический
индекс и попытки его вычисления.
XIV. Неравновесные процессы в сверхпроводниках
Вычисление аномальных функций Грина. Квантовая теория
туннельного эффекта. Туннельный ток между сверхпроводником и нормальным металлом. Микроскопическая теория
эффекта Джозефсона.
Литература
1. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы
квантовой теории поля в статистической физике. — М.:
Наука, 1962.
2. Зайцев Р.О. Диаграммные методы в физике твердого тела:
учеб. пособие. — М.: МФТИ, 1990.
3. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Т.
2. — М.: Наука, 1978.
4. Зайцев Р.О., Орлов В.Г. Теория высокотемпературной
сверхпроводимости: учеб. пособие. — М.: МФТИ, 1993.
5. Покровский В.Л., Паташинский А.З.. Флуктуационная теория фазовых переходов. — M.: Haука, 1992.
6. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая механика
магнитоупорядоченных систем. — М.: Наука, 1987.
7. Зайцев Р.О., Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и ферромагнетизма. — М.: УРСС, 2004.
8. Зайцев Р.О., Введение в современную статистическую физику. — М.: УРСС, 2006.
4
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КУРСА
- потенциал:
   0  T ln S 1/ T  0 .
Температурная S -матрица:
 

S    T ( ord ) exp   H int  ' d '  .
 0

Теорема Майера о разложении по связанным <...>0c диаграммам:
Аналитические
G R  :
  0  T

свойства
запаздывающей
S 1/ T 
0c

1 .
функции
Грина
G R   i   G i n    i ,  n  0,   0 ,
где G i n  — температурная (мацубаровская) функция Грина.
Теорема Ландау о связи между запаздывающей и причинной
функциями Грина:
a) для ферми-возбуждений:

Re G  Re G R , Im G  th
Im G R  ,
2T
б) для бозе-возбуждений:

Re G  Re G R , Im G  cth
Im G R  .
2T
КОЛЬЦЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Поляризационный оператор:
dp n F p  q   n F p 
,
  q   
23 i  p  q   p 
где n F p  — распределение Ферми для частиц с энергией
p  , отсчитанной от энергии Ферми;   2nT .
5
Кольцевые диаграммы до 6-го порядка.
Корреляционная поправка для электронейтральной плазмы:
e2
dq ( e  2Z 2  i ) 2
  T  dT   2 2
.
q [q  4( e  2Z 2  i )]

0
Для электронов в металле следует учесть также однопетлевую
обменную поправку:
dp dp n p n p 
1  4e 2V  1 2 F 1 F 2 .
6
2
0 2  p1  p 2 
Двухпетлевая поправка с логарифмической точностью определяет при T  0 вторую корреляционную поправку
 2  V
p0  4
3m
4
1  ln 2 ln
p0
4me 2
,
где 1/ — обратный радиус экранирования:  2  4e 2 mp 0 /  3 ,
p0 — импульс Ферми.
6
ГАЗОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Графическое изображение интегральных уравнений.
Уравнение для вершинной части (p1,p2;p3,p4) при заданной
суммарной
частоте
и
импульсе
1  2  3  4  s0
p1  p 2  p 3  p 4  s удобно записать через относительные импульсы 2k  p1  p 2 и 2k '  p 3  p 4 :
s 0 ,s k  k '  V k  k '  
где
K0 
dp
23
V k  p K s 0 ,s p s 0 ,s p  k ' ,
1  n F p  s / 2  n F p  s / 2
.
 is0  p  s / 2  p  s / 2
Компоненту Фурье от парного потенциала Vp можно исключить с помощью уравнения для амплитуды рассеяния f k, k ' :
dp V k 'p  f k ' , p 
4
.
f k ' , k   
m
23 k '2  p 2  i
В длинноволновом пределе p0f <<  получаем простейшую заV k  k ' 


мену V p1  p 3   4 2 / m Re f p 3 , p1  .
Для отрицательной амплитуды рассеяния имеем куперовскую
неустойчивость с энергией связи   2 exp  / 2 p0 f  , где p0
— импульс Ферми,  — величина порядка энергии Ферми.
7
УРАВНЕНИЯ ГОРЬКОВА
Графическое изображение уравнений Горькова.
i   p  G G  p  F  p  1 ,  i   p  G F  p  *G  p  0 ,
где G  ,   2n  1T ,  p  p 2 / 2m   .
  * 
  F  p dp .
gT
23 

РАССЕЯНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛН
Амплитуда рассеяния спиновых волн, вычисленная в борновском приближении, определяется компонентой Фурье от обменного интеграла J(k).
( p1, p2; p3, p4) = J(p3  p1) J(p4  p1) + J(p3) + J(p4).
8
Борновские амплитуды рассеяния спиновых волн.
РАССЕЯНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЙ В МОДЕЛИ ХАББАРДА
Амплитуда рассеяния ферми-возбуждений с противоположными спинами, вычисленная в борновском приближении, определяется компонентой Фурье от интеграла перескока t p  . В предельном случае бесконечного отталкивания в одной и той же
ячейке амплитуда рассеяния пропорциональна первой степени
интеграла перескока: ( p1, p2; p3, p4) =  t(p3)  t(p4).
Для конечной энергии Хаббарда U имеем две ветви электронного спектра, разделенные щелью:
9
U  tp
1
U 2  t p2  2Utp 1  ne    .
2
2
Электронная плотность 0  ne  2 и химический потенциал 
 p  

связаны между собой через уравнение состояния:
ne  2
Ap  n F  p ,

p ,  
 
где

1
Ap   1 
2



.
2
2
U  t p  2Ut p 1  n e  

t p  U 1  n e 
В пределе U  tp заполняется только нижняя подзона. Уравнение состояния для ne  1 имеет простейший вид:
 
ne  2  ne  n F  p , где p=(1ne/2)tp  .
p
Температура перехода в сверхпроводящее состояние имеет конечную величину для положительных значений химического
потенциала, что соответствует электронным концентрациям
2 / 3  ne  1 .
ПАРКЕТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Уравнение Судакова  случай p1  p2  p3  p4  pmax :
10
pmax
 p   g  3   2  p '
p
dp'
, где  = 1/82.
p'
Уравнение для угловой вершинной части Y ( p  q  pmax ) и
для поляризационного оператора (q):
pmax
  p   1     p'  p'
p
pmax
dp'
dp'
,  q     2  p '
.
p'
p'
q
ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА МЕТАЛЛОВ
Обобщенное уравнение Хартри–Фока–Дайсона:
1

G1  p,    G0  p,       p  ,

   p   f t   ,    p  


T

 
, , ,  ,q

g  ,  ; ,   t ,  p  G   q  .

Уравнение состояния:

n   T , , H   T  D  p e i , где D  p    f   G   p   .

,p
Определение магнитного момента:
M T , , H    B  n  T , , H  .

11


КВАНТОВОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
G
G   
G

G   
,
G   

r, t; r ' , t '  i   r ' , t '  r, t  ,
G

r, t; r' , t '  i   r, t  r' , t ' ,
G



r, t; r' , t '  t  t 'G
r, t; r', t '  t 't G
r, t; r' , t ' ,
G



r, t; r' , t '  t  t 'G
r, t; r' , t '  t 't G
r, t; r' , t ' .
G
d
,
2
r

r
 
G,p t , R    e i  ipr G,p  t  , R  ; t  , R   drd .
2
2
2
 2
0


1 


G 0,1 G1,2   z  4  X1  X 2     z 1,3G3,2 d 4 X 3 ,



1 


G*0 0,2 G1,2   z  4   X1  X 2    G(1,3)(3,2) z d 4 X 3 ,
nt , R, p   i  G,p t , R 




G 0,2  G 0 0,1
0
*
1
1
 1

 i   r  R  .
 t m

В отсутствие внешних полей и взаимодействий:

G0 p  
 
 
nF p
 1  nF p


    p  i    p  i

  2i 1  n F  p     p



  
 
  .

  1 nF pi   nFpi 
2in F  p     p
p
12
p

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ МЕТАЛЛА
ИЛИ ПОЛУПРОВОДНИКА
4
j,
c
1 A
1 A 

e   
, j     
,
c t
c t 

 
1
A 


 D   div
 , h  rot A .
t
t
c
t 

div e  4   2    , rot h 
Соотношение Эйнштейна:
 2 D  4 .
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГИНЗБУРГА–ЛАНДАУ
A T  Tc   
1
2
     B   
4m

1  

 2ie    0 ,

4mD  t
4mD

E
ie
rot h  4 j 
, j   E 
 *   *  * ,
t
2m
A

h  rot A, E  ~ 
, div E  4  4 ~   ,
t
D
 
A 
ie


 D div   
 * 0   *0  * ,

t t
t  2m



    2ieA ,  0   2ie ,
 div j  0, c   1 .
t
t




13

ЗАДАЧИ
1. Вычислить поляризационный оператор и радиус экранирования низкотемпературной плазмы.
2. Определить пространственную и временную дисперсию
поляризационного оператора для трехмерного электронного
газа высокой плотности.
3. Определить пространственную и временную дисперсию
поляризационного оператора для одномерного электронного газа в низкотемпературном пределе. Проанализировать
возникающие особенности.
4. Доказать, что в газовом пределе уравнение состояния неидеального ферми-газа не меняется.
5. Вычислить амплитуду тока Джозефсона для случая контакта двух одинаковых сверхпроводников.
6. Вычислить амплитуду туннельного тока для случая контакта из двух различных несверхпроводящих металлов.
7. В логарифмическом приближении выразить температуру
сверхпроводящего перехода через амплитуду рассеяния в
"пустой" решетке.
8. Определить температурную зависимость спиновой магнитной восприимчивости (найтовский сдвиг) в сверхпроводящей фазе.
9. Вычислить амплитуду рассеяния спиновых волн в приближении Борна–Дайсона.
10. Определить спектр ферми-возбуждений для модели Хаббарда в нулевом приближении самосогласованного поля.
Вычислить величину корреляционной щели.
11. Найти уравнение состояния для модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием. Определить магнитную восприимчивость.
12. Записать уравнение состояния для модели Хаббарда с вырождением. Рассмотреть случай квадратной, треугольной и
ОЦК-решётки.
13. Произвести обобщение результатов предыдущей задачи на
случай конечного магнитного поля. Определить спиновую
14
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
восприимчивость и записать условие ферромагнитной неустойчивости. Сравнить с критерием Стонера.
Произвести вычисление амплитуды рассеяния двух возбуждений с противоположными спинами в модели Хаббарда с
бесконечным отталкиванием.
Используя результаты предыдущей задачи, обсудить условия возникновения куперовской неустойчивости.
Определить функцию Грина электронного ферми-газа в однопетлевом приближении для случая бесконечной энергии
Хаббарда. Сравнить с нульпетлевым приближением.
Определить функцию Грина электронной системы, резонирующей между одно- и двухчастичными состояниями, в
предположении о бесконечной энергии Хаббарда. Установить связь с проблемой ферромагнетизма никеля.
Определить функцию Грина электронной системы, резонирующей между двух- и трехчастичными состояниями, в
предположении о бесконечной энергии Хаббарда. Установить связь с проблемой ферромагнетизма железа.
Для гейзенберговского ферромагнетика вычислить термодинамическую и запаздывающую функции Грина для спиновых операторов.
Определить критические индексы в трёхмерной модели
Изинга и Гейзенберга с помощью -разложения.
Соотношения подобия в случае сильного критического поля. Вычисление критического индекса .
Произвести вычисление ток-токового коррелятора с учётом
пространственной и временной дисперсии. Установить
связь с аномальным скин-эффектом.
Произвести вычисление сверхпроводящего тока при наличии пространственной дисперсии (эффект Пиппарда).
Оценить возможность возрастания температуры сверхпроводящего перехода за счёт особенности Ван-Хова для квадратной и ОЦК-решётки.
Произвести вычисление туннельного тока через контакт
между сверхпроводником, изолятором и нормальным металлом (SIN-контакт).
15
26. Произвести вычисление туннельного тока через контакт
между двумя сверхпроводниками (SIS-контакт).
27. Произвести вычисление джозефсоновского тока через контакт между двумя сверхпроводниками.
28. Произвести вычисление оператора пространственной зависимости сверхпроводящего параметра порядка. Оценить величину эффекта близости на границе сверхпроводника с
нормальным металлом.
29. Получить граничные условия к уравнению Гинзбурга–
Ландау.
30. Произвести обобщение уравнений Гинзбурга–Ландау на
случай временной зависимости параметра порядка.
Срок сдачи задания: 09.12–16.12 2012 г.
Подписано в печать 31.05.2012. Формат 6084 116. Бумага офсетная. Печать
офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0.Тираж 60 экз. Заказ № 139
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Московский физико-технический институт (государственный университет)”
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
16
17