МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра теоретической физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет
Кафедра теоретической физики
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ
(Программа курса)
Новосибирск
2010
1
Учебный курс «Квантовая теория рассеяния и излучения» является частью профессионального цикла подготовки бакалавра физики. Дисциплина изучается студентами четвертого курса
физического факультета. Программа курса подготовлена в соответствии с требованиями образовательного стандарта третьего поколения.
Цели курса – дать представление об основных понятиях, идеях и методах теории релятивистских уравнений, квантовой теории рассеяния и излучения света, научить студентов делать
простейшие оценки и решать элементарные задачи из этих разделов физики, сформировать общекультурные и профессиональные навыки физика-исследователя. Односеместровый курс «Квантовая теория рассеяния и излучения» состоит из лекционных и практических занятий, сопровождаемых регулярной индивидуальной работой преподавателя со студентами в процессе сдачи семестровых домашних заданий, а также самостоятельной работой.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических часов (из них 72 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 36 часов лекционных и 36
часов практических занятий, а также 36 часов самостоятельной работы.
Автор
канд. физ.-мат. наук, доцент Р. Н. Ли,
Программа учебного курса подготовлена в рамках реализации Программы развития НИУНГУ на 2009–2018 г. г.
 Новосибирский государственный
университет, 2010
2
Приложение № 2.
Примерная программа учебного курса (учебной дисциплины)
Программа курса «Квантовая теория рассеяния и излучения» составлена в соответствии
с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного
специалиста бакалавра по профессиональному циклу дисциплин (Б.3) по направлению «011200
Физика», а также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по
реализации Программы развития НГУ.
Автор (авторы) к.ф.-м.н., доцент Ли Роман Николаевич
Факультет: физический
Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)
Дисциплина (курс) «Квантовая теория рассеяния и излучения» имеет своей целью:
Дать набор базовых знаний по теме курса. Позволить получить достаточные навыки для решения
реальных задач по рассеянию частиц, излучению и рассеянию света. Обеспечить базу для дальнейшего обучения, и, в частности, для курса «Квантовая физика».
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Курс относится к циклу общефизических дисциплин. Курс опирается на многие курсы, которые проходились студентами на предыдущих годах обучения. Из физических дисциплин это,
прежде всего, квантовая механика, электродинамика, специальная теория относительности. Из математических дисциплин это, прежде всего, методы математической физики, теория алгебр групп
Ли, теория дифференциальных уравнений. Кроме того, требуется, конечно, знание основ линейной
алгебры, математического и функционального анализа, умение применять свои знания для решения конкретных задач. Курс является естественным продолжением курса «квантовая механика»,
который читается в 5-6 семестрах на третьем году обучения. Часть курса, посвященная релятивистским уравнениям, является важной не только для будущих специалистов в области физики
высоких энергий. Оказывается, что релятивистские уравнения естественно появляются и в области
физики твердых тел. Например, некоторые необычные свойства графена естественно объясняются
с помощью уравнения Дирака для квазичастиц. Вторая и третьи части курса, посвященные рассеянию и излучению, важны для понимания современных методов исследования структуры вещества
и принципов функционирования некоторых физических приборов.
Освоение данного курса необходимо как предшествующее для курса «Квантовая физика»,
который читается во втором семестре пятого года обучения. Представление чисел заполнения,
теория рассеяния и излучения, рассматриваемые в данном курсе существенно помогут обучающимся в овладении основами квантовой физики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

общекультурные компетенции: ОК-1, ОК-5, ОК-17, ОК-18, ОК-20, ОК-21;

профессиональные компетенции: ПК-1 –ПК-4 , ПК-5, ПК-10.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать основные принципы релятивистской волновой механики, теории рассеяния частиц,
теории рассеяния и излучения света. Представлять характерные масштабы атомных явлений.
3

Уметь решать типичные задачи по темам курса, делать оценки различных физических величин.

Владеть в достаточном объеме математическими приемами, необходимыми для решения задач и выполнения оценок.
4. Структура и содержание дисциплины: курс «Квантовая теория рассеяния и излучения»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
Семестр
Неделя семестра
№
п/п
Раздел
дисциплины
1
Уравнение КлейнаГордона, Лоренцинвариантность, калибровочная инвариантность, дискретные
симметрии C,P,T
7
1
2
Сохраняющийся ток,
проблемы
с вероятностной интер
претацией,
Нерелятивистское разложение, релятивистские поправки к спектру в кулоновском поле.
Уравнение Дирака, калибровочная инвари
антность, дискретные
симметрии C,P,T
Лоренцинвариантность, преобразование волновой
функции, сохраняющийся ток
Парадокс Клейна, невозможность одночастичной интерпретации
для уравнения Дирака.
Море Дирака, позитроны.
7
3
4
5
6
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
1 час
лекций
1 часа
семинаров
Самостоятельная работа студентов (в том
числе индивидуальная сдача семестровых домашних заданий),
2 час.
7
2
1 часа
лекций
1 часа
семинаров
2 час.
7
3
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
2 час.
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
7
7
4
4
2 час.
Формы текущего контроля успеваемости
(по неделям
семестра)
Форма промежуточной
аттестации
(по семестрам)
В начале каждого очередного занятия
проверка задач, заданных
на дом.
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Спиральность, сохранение спиральности в
ультрарелятивизме,
движение спина в э/м
поле
Нерелятивистское разложение, томасовская
прецессия, тонкое расщепление уровней атома водорода.
Вторичное квантование, представление чисел заполнения, операторы рожденияуничтожения, наблюдаемые в представлении чисел заполнения,
ψ-оператор, каноническое квантование .
Общая постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния,
дифференциальное и
полное
сечение рассеяния.
7
Борновское приближение. Условия применимости. Второе борновское приближение.
Нерелятивистское рассеяние в кулоновском
поле в борновском
приближении.
Релятивистское рассеяние в кулоновском
поле – формула Мотта.
Сохранение спиральности в ультрарелятивизме.
Условие унитарности,
оптическая теорема
Рассеяние в центральном поле, фазы рассеяния, парциальные амплитуды и сечения.
Условие конечности
сечения.
Рассеяние в кулоновском поле, формула
Резерфорда.
5
7
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
2 час.
7
6
3 часа
лекций
1 час
семинаров
2 час.
Контрольная
работа по
пройденному
материалу.
7
7
1 час
лекций
2 часа
семинаров
2 час.
Разбор контрольной работы
7
8
1 час
лекций
2 часа
семинаров
2 час.
1 час
лекций
1 час
семинаров
7
9
1 час
лекций
2 час.
10
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
5
2 час.
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Рассеяние медленных
частиц, длина рассеяния. Рассеяние на мелком и виртуальном
уровне. Эффективный
радиус взаимодействия.
Резонансное рассеяние
на квазидискретной
уровне. Рассеяние
быстрых частиц
Рассеяние с учетом
спина. Поляризационное состояние, поляризационная матрица
плотности. Борновское
приближение. Изменение поляризации при
релятивистском рассеянии в кулоновском
поле.
Каноническое квантование электромагнитного поля. Фотоны,
представление чисел
заполнения. Сферические волны, электрический и магнитный тип,
P-четность.
Излучение света при
переходах в атоме.
Время жизни возбужденного состояния.
Дипольное приближение. Мультипольное
разложение.
Правила отбора. Оценки матричных элементов и ширин. Индуцированное излучение.
Рассеяние света.
Комптоновское рассеяние, томсоновский
предел, рэлеевское рассеяние.
Рассеяние релятивистских заряженных частиц во втором
порядке теории возмущений.
7
7
7
11
2 часа
лекций
2 часа
семинаров
2 час.
12
1 час
лекций
2 часа
семинаров
2 час.
1 часа
лекций
1 часа
семинаров
13
2 часа
лекций
1 час
семинаров
2 час.
14
1 час
лекций
1 час
семинаров
2 час.
1 час
лекций
2 часа
семинаров
1 часа
семинаров
Контрольная
работа по
пройденному
материалу.
15
1 час
лекций
16
1 час
лекций
1 часа
семинаров
3 час.
1 час
лекций
1 час
семинаров
3 часа.
6
Разбор контрольной работы
2 час.
Экзамен
Ит
ог
о
36
часов
36
часов
36
часов
Содержание отдельных разделов и тем.
1. Релятивистские волновые уравнения.
1.1 Введение.
Тонкая структура спектра атома водорода и однозарядного иона гелия в опытах Майкельсона и
Пашена (см. рисунок ниже). Причина тонкой структуры — релятивистские эффекты. Релятивистские волновые уравнения как попытка объединить принципы квантовой механики и специальной
теории относительности.
1.2 Уравнение Клейна-Фока-Гордона
Нерелятивистская связь между энергией и импульсом свободной частицы и уравнение Шрединге 2  p2  m2  и соответствующее ему уравнение (Уравнера. Релятивистский закон дисперсии
ние Клейна-Фока-Гордона):
2
2

   m    0


Лоренц-инвариантность уравнения. Присутствие отрицательно-частотных решений в общем решении уравнения Клейна-Фока-Гордона
dp 
  t x   
C p e  i t ipx  C2  p  ei t ipx 
3  1  
 2 
Уравнение Клейна-Фока-Гордона во внешнем электромагнитном поле, процедура удлинения производной i   eA . Калибровочная инвариантность уравнения Клейна-Фока-Гордона. Получение
спектра уравнения в кулоновском поле из нерелятивистского спектра с помощью замен
 2  m2

2
2
E
 Z  Z  l   l  1  2    Z   1  2
2m
m
Тонкая структура спектра в нерелятивистском разложении
7
m Z  m Z   1
3 
  m

 

2
3
2n
2n  l  1  2 4n 
2
4
Разница уровней энергии
m Z   1
1  m Z 
 2 p   2s 



16  1  2 1  1  2 
12
и сравнение с экспериментально наблюдаемым значением в водороде и в пионном атоме.
Дискретные симметрии уравнения Клейна-Гордона: зеркальная симметрия (пространственная
четность) P, обращение времени T, зарядовое сопряжение C:
   x      x     t x 

P   A0  A0  x   A0  t   x 
 A  x   A  x    A  t x 

4
4



   x    x    x
C 



 A  x  A  x   A  x
   x      x      t  x 

T   A0  x   A0  x   A0  t  x 
 A  x   A  x    A  t  x 

Сохраняющийся ток

jem
 ej   e  i   2eA  
и заряд
Q   dx j 0  x 
Неопределенность знака нулевой компоненты , невозможность ее интерпретации как плотности
вероятности.
Нерелятивистское приближение — уравнение Шредингера. Первая релятивистская поправка
 i  eA 

4
8m3
Отличие  от шредингеровской волновой функции за счет релятивистской поправки.

eimt  it  eA0 
1 
 Ш
2m 
2m 
1.3 Уравнение Дирака
Исторические причины, побудившие Дирака построить уравнение: решения с отрицательной
энергией, неположительность плотности в уравнении Клейна-Гордона. Наличие спина у электрона, нетривиальное преобразование спина при преобразованиях Лоренца. Введение уравнения Дирака, как уравнения первого порядка по производным
 

i t   p   m   0
решения которого подчиняются уравнению Клейна-Фока-Гордона. Коммутационные свойства
матриц  и  :
 2  1
 i j   j i  2 ij 
 i    i  0
Релятивистский вид уравнения Дирака,  -матрицы
8
1
0
 0
0 
   
 0 1
 


0
Алгебра  -матриц.
Уравнение Дирака во внешнем электромагнитном поле
   i  eA  m  0



Описание частиц со спином 1/ 2 и с произвольным магнитным моментом.
Сохраняющийся ток для уравнения Дирака

jem
 ej   e      † 0
Положительность нулевой компоненты.
Общее решение свободного уравнения Дирака
dp
C p e  ipxu  p   C2  p  eipx v  p  
  x  
3  1 
 2 
Явный вид спиноров
  
 p 



u p     m  p
 v p     m    m 



 
 m 
  
Наличие решений с отрицательной энергией.
Рассеяние на прямоугольном барьере. Парадокс Клейна: при высоте барьера
V    m , получаем парадоксальную ситуацию. Отраженный ток больше падающего, а прошедший направлен в другую сторону (см. рисунок ниже).
Море Дирака. Заполненность состояний с отрицательной энергией. Интерпретация дырок в море
как частиц с положительным зарядом — позитронов. Понятие античастицы. Процесс аннигиляции
электрона и позитрона. Недостатки картины моря Дирака: ненаблюдаемость заряда отрицательночастотных электронов в море и отсутствие взаимодействия их между собой, неприменимость к бозонам.
9
Дискретные симметрии уравнения Дирака
  x      x    0  t   x 

P   A0  A0  x   A0  t   x 
 A  x   A  x    A  t x 

  x      x    1 3   t  x 

T   A0  x   A0  x   A0  t  x 
 A  x   A   x    A  t  x 

   x      x   i 2   x 

C 



 A  x  A  x   A  x
Физический смысл зарядового сопряжения: отрицательно-частотное решение уравнения Дирака
является C -сопряжением волновой функции позитрона.
Лоренц-инвариантность уравнения Дирака. Закон преобразования волновой функции
  x      x   S      1 x 
Определяющее свойство матрицы S   

S      S 1       1   

и ее явный вид. Оператор спина  как генератор поворотов. Поведение тока и других билинейных форм при преобразованиях Лоренца:
1
2
j   x   j    x    †   1 x  S † 0  S   1 x 
    1 x        1 x     j   1 x  
Нерелятивистское разложение уравнения Дирака
   2   4


0
i Ш  


eA

i



E
 Ш


t
8m3
 2m

2

e
p4
e
e
ie

 eA0 
 H  3  2 divE  2   E  p   2   rotE Ш
2m
8m 8m
4m
8m
 2m

10
 
  

Значение гиромагнитного соотношения g  2 . Физический смысл релятивистских поправок:
4
член  8pm3 соответствует разложению кинетической энергии, Член  8me 2 divE можно качественно
объяснить квантовым дрожанием — невозможностью локализовать частицу на расстояниях меньше, чем комптоновская длина волны  mс . Связь членов  4 me 2  E  p  8iem2   rotE с индецированным магнитным полем Hind  E  v . Отличие коэффициента от наивно вычисленного.
Классическое движение спина во внешнем поле. Релятивистское представление спина 4-вектором
и антисимметричным тензором. Кинематическое S  u  0 и динамическое S    H уравнения
движения 4-вектора спина. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди
ge 
eg 

F S    1 u   u F  S 
S 
2m
m 2 
Нерелятивистское разложение уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди. Прецессия Томаса.
Выражение 4-вектора спина через волновые функции
S     5
Спиральность— проекция спина на направление движения:
p  2 p
0 1
Сохранение спиральности в случае свободного движения. Киральность  5  
 . Совпадение
1 0
киральности и спиральности для свободного ультрарелятивистского движения. Сохранение киральности в пределе нулевой массы для уравнения во внешнем поле.
Движение в центральном поле. Несохранение орбитального момента и сохранение полного момента, сохранение P-четности. Собственные функции полного момента с определенной четностью:
 f  r   n  
 
    n     n    n  
 ig  r    n  
где   n    jlm  n  — собственная функция операторов j2  l 2  jz . Явный вид шаровых спиноров
 jlm  n  .
Спектр атома водорода

m
1
 Z  2
 nr   2
m Z  3m Z 
m Z 
 m


…
2n
8n 4
n3  2 j  1
2
4
4
Тонкая структура уровней с одинаковыми n , но разными j .
1.4. Вторичное квантование
Представление чисел заполнения для волновой функции нескольких тождественных частиц:
n1 n2 …
Операторы рождения и уничтожения
ai … ni …  ni … ni  1…
ai† … ni …  ni  1 … ni  1…
Коммутационные соотношения
†

 ai  a j    ij


11
Оператор числа частиц N̂  a1†a1E1  a2†a2 E2  и энергии Ĥ  a1†a1E1  a2†a2 E2 Выражение
оператора энергии через ˆ -оператор
Hˆ   dxˆ †Hˆ
ˆ  x    ak k  x 
k
Одночастичные и двухчастичные операторы в представлении чисел заполнения.
Вторичное квантование для уравнения Дирака. Антикоммутационные соотношения для операторов рождения-уничтожения:






a p  a†p      pp   

Оператор уничтожения электрона в море Дирака как оператор рождения позитрона. ˆ -оператор
1 
 ipx
ˆ  
 bp†  v p eipx 
 a p  u p e

2 V
p 
Позитрон. Отрицательная внутренняя P -четность системы фермион-антифермион.
Полная P -четность для фермионов Pff   1
l 1
и бозонов Pbb   1 .
l
Зарядовая четность системы частица-античастица
l s
C   1
Позитроний. Распады орто- и парапозитрония. Оценка вероятностей распада:
3
W орто
 
me  w m  e  m 6
 aB 
4
5
W пара me  w m
6
3
2. Теория рассеяния.
2.1 Постановка задачи.
Определение сечения рассеяния, как коэффициента пропорциональности между потоком налетающих частиц и числом частиц, рассеянных в единицу времени
N  j
Задача вычисления сечения рассеяния по заданному потенциалу V  r  в уравнении Шредингера
p2
 V r 
2m
Получение асимптотики волновой функции в виде «плоская плюс расходящаяся волна»
eikr
   пад  расс  eikz  f  n 

r
с помощью причинной функции Грина свободного уравнения.
Выражение амплитуды рассеяния f  n  через решение уравнения Шредингера
H
f n   

m
  ik  nr    

d
r
e
V  r   r  
2
2
Выражение дифференциального сечения рассеяния через амплитуду
2
d
 f  
d
12
2.2. Борновское приближение
Борновская амплитуда — первый порядок теории возмущений по потенциалу
m
fB n   
 dreiqrV  r    m 2 V  q 
2
2
2
Формула Ферми для вероятности перехода в единицу времени в непрерывном спектре за счет возмущения V
2
2 
dW 
  E f  Ei  V fi d
Связь нормировки фазового объема d и нормировки конечных волновых функций
 dx 
å

     
Дифференциальное сечение
2
dW
m2
d 
 2 4 V q d 
j
4
Условия применимости борновского приближения из малости поправки к волновой функции.
Условие применимости для медленных частиц ( ka 1 )
2
U
ma 2
Условие применимости для быстрых частиц ( ka
1)
2
k
ma
Условие применимости борновского приближения для кулоновского потенциала
2
k
2
Ze
v
m
Борновское сечение рассеяния нерелятивистской частицы в кулоновском поле
U
2
d B  Ze 2 
1

2 
4
d   2mv  sin   2 
Совпадение с классической формулой. Совпадение с точной квантовой формулой.
Релятивистское рассеяние в кулоновском поле из правила Ферми. Усреднение по поляризациям
начальных частиц, суммирование по поляризациям конечных. Сечение рассеяния (формула Мотта)
d Мотт 4  Z  
2
2 

1   sin 
4
d
q
2

Сравнение с нерелятивистской формулой. Подавление рассеяния назад множителем 1   2  в уль2
2
трарелятивизме. Сохранение спиральности в ультрарелятивизме и сохранение углового момента,
как причина этого подавления.
2.3 Условие унитарности для амплитуды рассеяния и оптическая теорема.
Вывод условия унитарности для амплитуды рассеяния
f  n ' n   f   n n ' 
ik
 d  f   n '', n ' f  n '' n 
2
и оптической теоремы
Imf  n n  
k
 d  f   n   n  f  n   n   k 
4
4
13
Вещественность борновской амплитуды вперед. Связь различных порядков борновского разложения.
2.4 Рассеяние в центральном поле.
Парциальное разложение волновой функции по сферическим гармоникам
   ClmYlm    Rkl  r 
Азимутальная симметрия и отсутствие гармоник с m  0 .
Разложение плоской волны
eikz    2l  1 il Pl  cos   jl  kr  ,
асимптотика членов суммы при больших r .
Связь коэффициентов разложения Al волновой функции
   Al Pl  cos  Rkl  r 
с асимптотикой радиальной волновой функции. Определение фаз рассеяния через эту асимптотику


l
 kl  rRkl 2sin  kr    l  
2


Выражение амплитуды рассеяния через фазы рассеяния
1
f   
  2l  1 Sl  1 Pl  cos    Sl  e2il
2ik
Определение парциальных амплитуд
e2il  1
1
fl 
  k cot  l  ik 
2ik
и парциальных сечений.
Конечность полного сечения в классическом и квантовом случае. Конечность сечения для степенного падения потенциала с показателем больше 2. Конечность фаз рассеяния и случай кулоновского потенциала.
2.5 Рассеяние медленных частиц
Особенности рассеяния частиц с малыми импульсами ka 1 . Решение радиального уравнения
l  l  1 2m


 2r    k 2 
 2 V  r    0
2
r


методом сшивки. Определение параметрической зависимости от k у фаз рассеяния:
 l  tan  l  k 2l 1
Преобладание рассеяния частиц с l  0 (S-волна). Длина рассеяния  как асмиптотика амплитуды
f     
  4 2
Резонансное рассеяние медленных частиц. Большая длина рассеяния при наличии в системе мелкого уровня. Связь длины рассеяния с декрементом затухания волновой функции связанного состояния   1   . Резонансная форма сечения
4
2 2  m
 2

  k2
 E
Понятие рассеяния на виртуальном уровне — случай большой отрицательной длины рассеяния.
Эффективный радиус взаимодействия из разложения
k cot  0  1    r0 k 2  2
14
Выражение для эффективного радиуса взаимодействия через волновую функцию «нулевого уровня»:
r0  2  dr 1   02  
2.5 Резонансное рассеяние на квазидискретном уровне.
Разложение коэффициента при сходящейся волне вблизи (комплексной) энергии квазидискретного состояния
Bl  E    E  E0  i  2 bl  …
Резонансная форма фазы рассеяния и амплитуды

E  E0  i  2 2il 0
2i  2
l 1 b
Sl 
e
 e2il 0 
e2il 0  e2il 0   1 l
E  E0  i  2
E  E0  i  2
bl
f    f  0   
 2l  1 
2k  E  E0  i  2 
Характерная форма сечения вблизи резонанса.
2.6. Рассеяние быстрых частиц.
Условия применимости приближения:
ka 1
e2il 0 Pl  cos  
k2

2m
Сравнение с условиями применимости борновского приближения. Поиск решение уравнения
Шредингера в виде
  eikz F  r 
с медленно меняющейся функцией F . Области справедливости полученного решения.
Эйкональная амплитуда рассеяния
ik
f    
 d  eiq  dz  z F  z    k  d  eiq  S     1 
2
2 i
где
 i 

S     e 2i     exp    dzU  z   
 v 

Полное сечение
4

Imf  0   2 Re  d  1  S      4  d  sin 2    
k
Связь  l в фазовой теории с     . Характерные моменты, дающие вклад в сечение.
2.7 Рассеяние с учетом спина
Постановка задачи для частиц со спином. Спиновое состояние начальных частиц. Детектируемое
спиновое состояние. Матричная амплитуда рассеяния fˆ   , ее физический смысл. неполяризованное сечение рассеяния
d unpol tot 1
†
 Sp fˆ   fˆ  
d
2
E
U
2
Поляризационная матрица плотности. Статистическое описание квантовой системы. Выражение
вероятности обнаружить систему в состоянии  через матрицу плотности  :
W       
   w     

Основные свойства матрицы плотности
Sp   1  †  
15
Sp  2  1
Спиновая матрица плотности
1
1    
2

Физический смысл  как вектор удвоенного среднего спина. Физическая матрица плотности рассеявшихся частиц
†
 f  fˆ   i fˆ  
Вычисление матрицы fˆ   в борновском приближении.
   w     † 
3. Излучение и рассеяние света.
3.1 Каноническое квантование электромагнитного поля.
Лагранжиан электромагнитного поля. Энергия электромагнитного поля. Сопряженный импульс.
Канонические коммутационные соотношения. Оператор поля
A   2V ck ek eikr  ck† ek eikr 
k
Коммутационные соотношения для операторов рождения-уничтожения. Многофотонное состояние в представление чисел заполнения 0k1 , 2k2 ,1k3 ,... . Фотоны.
Сферические волны электрического и магнитного типов. Шаровые функции
k
E
Yjm
kY jm
k  
j ( j  1)
k2
k k Y jm
j ( j  1)
P-четность. Поляризация фотонов. Спиральные состояния, оператор спиральности
i ijk pi k
e  e j
p
Смешанное поляризационное состояние, параметры Стокса, поляризационная матрица
 1  3 1  i 2 0 
1
   1  i 2 1  3 0 
2
0
0 
 0
3.2 Излучение света
Оператор взаимодействия электромагнитного поля с сохраняющимся током
Vˆ  e  ( j·Aˆ )dx
M
Yjm
k  
Испускание и поглощение. Формула Эйнштейна
W (изл ) N n  1

W ( погл )
Nn
Связь числа фотонов и спектральной интенсивности излучения
8 3c 2
Nk e 
Ik e
3

Электрическое дипольное излучение. Дифференциальная
dW
3

n  d fi
d  2 c3
16
2
и полная вероятность
2
4 3
d fi
3
3 c
Магнитное дипольное излучение. Вероятность излучения
2
4 3
W

fi
3 c3
Электрическое мультипольное излучение. Магнитное мультипольное излучение. Излучение атомов. Характерные масштабы атомных энергий, параметрическая малость высших мультипольностей:
W
WEj ~  2 j 1  aB / c 
2j
WMj ~  2WEj
Правила отбора по полному моменту и по четности. Дополнительные правила отбора по орбитальному моменту и спину.
Эффекты Штарка и Зеемана. Фотоэффект и радиационная рекомбинация.
3.3 Рассеяние света
Рэлеевское рассеяние, предельное поведение при малых частотах. Рассеяние света свободной заряженной частицей (комптоновское рассеяние), угловое распределение, томсоновский предел.
Вынужденное излучение в лазерной волне, кратные гармоники.
Фотон, как переносчик электромагнитного взаимодействия. Амплитуда рассеяния двух заряженных частиц.
Примерный план семинарских занятий
1. Уравнение Клейна-Фока-Гордона. Спектр в магнитном поле. Одномерное рассеяние на барьере.
2. Уравнение Дирака. Алгебра γ-матриц. Уровни энергии релятивистского электрона в кулоновском поле. Падение на центр.
3. Аномальный магнитный момент. Нерелятивистское разложение. Спин-орбитальное взаимодействие.
4. Дискретные симметрии. Относительная внутренняя четность частицы-античастицы.
Примеры вычислений в представлении чисел заполнения.
5. Борновское приближение. Правило Ферми. Нормировка начальных и конечных волновых
функций.
6. Вычисление борновских сечений в различных потенциалах. Релятивистский случай.
7. Формула Мотта. Поворот спина при рассеянии. Поляризация во втором борновском приближении.
8. Точное и приближенное вычисление фаз рассеяния в различных потенциалах. Рассеяние
быстрых частиц на непроницаемой и поглощающей сфере.
9. Рассеяние медленных частиц. Длина рассеяния и эффективный радиус взаимодействия. Резонансное рассеяние на дискретном, виртуальном и квазидискретном уровне.
10. Излучение. Оценки вероятностей. Правила отбора. Вычисление вероятностей переходов.
11. Рассеяние света. Эффект Комптона во втором порядке теории возмущений. Угловое распределение.
5. Образовательные технологии
Материал лекционного курса увязывается с передовыми исследованиями всюду, где это
допускается уровнем знаний и подготовки студентов. Специально указываются темы, активно обсуждающиеся в текущей профессиональной научной литературе. Все семинарские занятия проводятся в интерактивной форме. Во время семинарских занятий поощряется система соревнования.
Первый, решивший задачу, излагает ее для всей группы. Существенным элементом образователь17
ных технологий является не только умение студента найти решение поставленной задачи, но и донести его до всей аудитории. Умение сходу отвечать на вопросы сокурсников и преподавателя
развивает профессиональные навыки, которые будут незаменимы в дальнейшей профессиональной деятельности.
В качестве вспомогательного материала для студентов предлагается конспект лекций в
электронном виде на сайте кафедры. Конспект выполнен с использованием современных вебтехнологий и удобен в использовании. Также доступна версия конспекта, готовая для печати. Круг
вопросов, освещаемый данным пособием несколько шире обсуждаемого на лекциях, что позволяет
интересующемуся студенту расширить свой кругозор.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Домашние задания по курсу «Введение в физику твердого тела» (5-й семестр).
Задание № 1 (сдать до 15 октября)
1. π-мезоатом: Определить уровни энергии скалярной частицы в поле тяжелого ядра. Сравнить с
нерелятивистским результатом. Вычислить явно первую релятивистскую поправку. Сравнить получившуюся тонкую структуру с экспериментальным наблюдением переходов между n=5 и n=4 в
 -мезонном атоме титана (см. рисунок ниже). Сравнить со спектром релятивистского электрона в
кулоновском поле.
2. Симметрии уравнения Дирака: Выяснить, какие из указанных ниже наблюдаемых сохраняются для свободного электрона. Какие величины коммутируют с гамильтонианом в пределе нулевой массы и/или в случае движения электрона в центральном потенциале?
p, l, l 2 , s, s 2 , j  l  s, j 2 ,   Σp,  5 , I ( I (r )   (r )), P  I
3. Трансформационные свойства спиральности: В лабораторной системе электрон с отрицательной спиральностью движется с импульсом p под углом θ к оси x. Какова вероятность обнару-
18
жить положительную спиральность электрона в системе, движущейся со скоростью β вдоль оси x?
Каков ответ если электрон заменить на фотон?
Задание № 2 (сдать до 25 ноября)
4. Релятивистское рассеяние: Определить борновское сечение рассеяния релятивистской скалярной частицы на ядре. Сравнить с сечением рассеяния частицы со спином 1/2. Как учесть конечный радиус ядра?
5. Быстрые и медленные частицы: Определить фазу рассеяния δ0 в потенциале -U0e-r/a. Определить сечение рассеяния медленных частиц. Определить сечение рассеяния быстрых частиц.
Проанализировать полученные результаты, определить условия применимости.
6. Фазовая теория, 2d: Вычислить фазы рассеяния нерелятивистских бесспиновых частиц в поле
соленоида. Используя полученные фазы, вычислить сечение рассеяния.
7. Рассеяние с учетом спина: Потенциал взаимодействия двух частиц со спином 1/2 равен U(r1-r2)=g (s1s2)δ(r1-r2). Найти в борновском приближении сечение рассеяния, если в начальном состоянии угол между спинами равен θ. Рассмотреть случаи различных и тождественных частиц.
8. Рассеяние нейтронов: Пучок нерелятивистских частично поляризованных нейтронов с импульсом p и вектором среднего спина s рассеивается в кулоновском поле. Определить в борновском приближении дифференциальное сечение и средний спин рассеянных частиц при рассеянии
с передачей импульса q=p'-p.
Задание № 3 (сдать до 25 декабря)
9. Атомное излучение: Определить мультипольности и оценить вероятности переходов между
уровнями с n=2 и n=1 атома водорода с учётом их тонкой структуры. Объяснить большую величину времени жизни, τ≈1/7 сек., уровня 2s1/2, определяемую двухфотонным переходом 2s1/2 → 1s1/2.
Как изменится это время жизни при включении слабого электрического поля (с учётом лэмбовского расщепления 2s1/2 и 2p1/2 уровней)? Найти величину поля, меняющую это время вдвое. Как
влияет на ответ скорость включения поля?
10. Сечение рекомбинации: Найти сечение неупругого процесса, при котором быстрый (но нерелятивистский) электрон сталкивается с протоном, испускает фотон и захватывается в 1sсостояние. Какой вклад в полное сечение рекомбинации дают возбужденные конечные состояния атома?
11. Фоторасщепление дейтрона: Потенциал взаимодействия протона и нейтрона зависит от
полного спина и характеризуется двумя длинами рассеяния: aS=0=-23.7 ферми и aS=1=5.39 ферми.
Дейтрон — слабосвязанное состояние протона и нейтрона с L=0, S=1. Вычислить сечение фоторасщепления дейтрона. Какова мультипольность перехода? Почему в околопороговой области
нужно учитывать магнитодипольный переход?



Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий).
Преподаватель, как правило, задает студенту несколько дополнительных вопросов, направленных на определение степени понимания студентом задачи. Неспособность студента быстро ответить на технические вопросы по представленному решению считаются попыткой сдать списанную задачу.
Для допуска к экзамену необходимо сдать все задачи из Задания.
19

Приём заданий прекращается в конце зачетной недели!
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
Библиографический список
1. В.Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002.
2. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика, М.: Наука, 1989.
3. В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган Задачи по квантовой механике. М.: Наука,
1992.
4. В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович. Квантовая механика (конспект лекций, части 1, 2).
5. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лившиц, Л.П. Питаевский. Квантовая электродинамика. М.: Наука,
2001.
б) дополнительная литература:
1. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике.
2. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. Квантовая теория поля, 1т. М.: Мир, 1984.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. http://www.inp.nsk.su/students/theor/TreeofKnowledge, гипертекстовая версия конспекта лекций и другие вспомогательные материалы.
2. Веб-страница корнеллского архива препринтов по квантовой физике
http://arxiv.org/list/quant-ph/new.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не требуется.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года.
20