На правах рукописи Булгакова Наталья Сергеевна КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛОМАССООБМЕН

На правах рукописи
Булгакова Наталья Сергеевна
КОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛОМАССООБМЕН
ПРИ МОДУЛЯЦИИ ГРАНИЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
В ПОРИСТОМ ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
Специальность 01.04.14 – Теплофизика и теоретическая теплотехника
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Махачкала-2011
Работа выполнена в учреждении Российской академии наук «Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра».
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук
Рамазанов Мукамай Магомедович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
академик РАЕН
Каракин Андрей Владимирович
доктор технических наук, профессор
Джаватов Джават Курбанович
Ведущая организация:
УРАН «Институт Океанологии РАН»
Защита состоится _27___октября__ 2011 г. в _15_ часов на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 002.071.01 при
учреждении Российской академии наук «Институт проблем геотермии
Дагестанского научного центра» по адресу: 367030, г. Махачкала, пр.
И.Шамиля, 39а, актовый зал.
C диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УРАН ДНЦ
Автореферат разослан “_14__” ____сентября__ 2011 г.
Ученый секретарь Объединенного
диссертационного совета ДМ 002.071.01
д.т.н.
2
Базаев А.Р.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.
Одним из механизмов теплообмена является тепловая конвекция. В земных условиях флюиды представляют собой многокомпонентные смеси, в которых плотностная неоднородность, вызывающая конвекцию, обуславливается кроме температурной еще и концентрационной неоднородностью, а градиенты температуры и концентрации далеко не всегда оказываются постоянными. Наличие примеси и переменного параметра в гидродинамической системе
может существенно повлиять на ее устойчивость. Понимание свойств конвекции
и характера влияния различных осложняющих факторов на устойчивость способствует созданию и совершенствованию методов управления устойчивостью течений и равновесия. Актуальность работы обусловлена важностью изучения новых механизмов гидродинамической неустойчивости и способов воздействия
на устойчивость равновесий и течений жидкостей и газов с помощью различных внешних факторов, например, таких как модуляция граничных условий.
Рассмотренные в представленной работе вопросы связаны, например, с
проблемой теплоизоляции пористыми материалами, которая призвана уменьшать тепловой поток. Передача теплоты происходит через каменный остов
материала вследствие теплопроводности и через поры, заполненные воздухом,
путем конвекции. Температура окружающей среды периодически меняется в
зависимости от скорости ветра, смены дня и ночи, поэтому при расчете коэффициента теплопроводности теплоизолятора желательно учитывать колебания
температуры на его границах.
С развитием новых технологий наблюдается устойчивая тенденция к
поиску оптимальных условий выращивания кристаллов наилучшего качества.
Причем, управление конвективным движением расплава желательно бесконтактным способом, так как вращательные механизмы вносят элемент случайных возмущающих воздействий на процесс роста кристалла и являются источниками загрязнений. Результаты исследований влияния модулируемых параметров на конвективную устойчивость гидродинамической системы и развитие нелинейных режимов конвекции могут быть использованы применительно к задачам выращивания кристаллов.
Кроме того, конвективный теплообмен играет важную роль в формировании месторождений термальных вод конвекционного типа, а также газогидратных залежей. Геотермальные системы конвекционного происхождения,
располагаются в районах современных, или недавно потухших вулканов, а
вулканическая деятельность имеет свой характерный период флуктуаций, что
естественно отражается на гидротермальной активности. Поэтому наличие
конвекции в данный момент может зависеть от градиента температуры, который существовал 100 тыс лет назад. В этой связи, данная работа важна для
описания процессов, происходящих при фильтрации жидкости в пористых
пластах при наличии переменного геотермального градиента.
3
Цели работы:
1. Изучение влияния периодически меняющегося градиента температуры на возникновение конвекции в горизонтальном слое бинарной смеси.
2. Изучение влияния модуляции градиента температуры (концентрации)
на возникновение конвекции в пористом прямоугольнике, насыщенном бинарной смесью, а также трехкомпонентной изотермической смесью.
3. Изучение влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смесей.
4. Выявление закономерностей влияния модуляции граничных условий на
развитие нелинейных режимов конвекции смеси в пористом прямоугольнике.
Научная новизна работы
1. Исследована конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси, на границах которого концентрация легкого компонента постоянна,
а температура изменяется с частотой  , при условии отсутствия перекрестных эффектов. В данной постановке задача решена впервые. Построены карты
устойчивости в плоскости частота - амплитуда модуляции для различных пар
значений теплового и диффузионного чисел Рэлея.
2. Показано, что скин-эффект является стабилизирующим фактором при
больших частотах и дестабилизирует равновесие с уменьшением частоты. При
достаточно малых частотах влияние скин-эффекта не сказывается.
3. Получено, что в случае фильтрационной конвекции бинарной, а так же
трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике, модуляция граничных условий играет только дестабилизирующую роль (в отличии
от конвекции в полости, где были выявлены области параметрической стабилизации для надкритических диффузионного и теплового чисел Рэлея).
4. Получены численные данные о структуре течений и термоконцентрационных полей для надкритических режимов конвекции бинарной и
трехкомпонентной изотермической смесей в вертикальном пористом прямоугольнике при стационарных и модулируемых граничных условиях. Показаны
зависимости чисел Нуссельта от времени для различных параметров задачи.
Автор защищает
1. Результаты исследования влияния периодической модуляции градиента температуры на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости и в пористом прямоугольнике.
2. Результаты исследования влияния периодической модуляции градиента концентрации на конвективную устойчивость трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике.
3. Результаты исследования влияния скин-эффекта на конвективную
устойчивость смеси в горизонтальной полости и в пористом прямоугольнике.
4. Результаты численного исследования структур течений и термоконцентрационных полей для надкритических режимов конвекции бинарной
и трехкомпонентной изотермической смесей в вертикальном пористом прямоугольнике при стационарных и модулируемых граничных условиях.
Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными предельными случаями, а также адекватностью
4
методов исследования и согласием результатов, полученных с помощью разных подходов.
Практическая ценность.
Проведенные исследования вносят вклад в развитие теории конвекции и
научных основ ее приложений: задачи выращивания кристаллов; задачи теплоизоляции; описание процессов, происходящих при фильтрации жидкости в
пористых пластах при наличии переменного геотермального градиента и т.д.
Полученные результаты имеют практическую значимость, поскольку
при исследовании конвективной устойчивости гидротермальной системы в
реальных условиях необходимо учитывать такие факторы, как нестационарные (модулированные по частоте и амплитуде) тепловые потоки, резкие колебания температуры окружающей среды.
Результаты, полученные в работе, углубляют представление о нелинейных режимах конвекции при нестационарных граничных условиях.
Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации,
докладывались на следующих научных школах и конференциях:
Международная научная конференция, посвященная 275-летию РАН и
50-летию ДНЦ РАН.- Махачкала: РАН ДНЦ, 1999.
Международная конференция "Возобновляемая энергетика: проблемы и
перспективы", Махачкала,2005.
Конференция, посвященная 70-летию со дня рождения Магомедова К.М.
«Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов», Махачкала, 2006.
II Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов.», Махачкала, 2008.
Международная конференция «Мухтаровские чтения»: «Современные
проблемы математики и смежные вопросы». Махачкала, 2010.
II Международная конференция «Возобновляемая энергетика: проблемы
и перспективы». Махачкала, 2010.
III Школа молодых ученых «Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала. 2010.
Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [1-16].
Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (131 наименование) и приложения. В работе содержатся 47 рисунков. Общий объем диссертации 159
страниц.
Содержание работы
Введение включает в себя общую характеристику работы, обоснование
научной и практической значимости.
В первой главе приводится краткий обзор небольшой части работ посвященных свободной конвекции жидкости и газа, имеющих отношение к проблемам, рассматриваемым в настоящей работе. Конвекция в плоском горизонтальном слое жидкости (газа), подогреваемом снизу, или конвекция Рэлея-Бенара,
является типом конвекции, который рассматривается чаще всего. Литература
5
по конвекции Рэлея—Бенара ведет свою историю с книги Чандрасекара [S.
Chandrasekhar, 1961], в которой ряд линейных задач об устойчивости были
рассмотрены очень подробно. Далее вышли такие монографии, как «Устойчивость течений жидкости» Джозефа [Д.Джозеф, 1981] и «Гидродинамическая
устойчивость» Дрейзина и Рейда [P. G. Drazin, W. H. Reid, 1981], которые продолжили линию систематизации различных аспектов теории устойчивости, а
книга Гершуни и Жуховицкого «Конвективная устойчивость несжимаемой
жидкости» [Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., 1972] была посвящена разнообразным конвективным явлениям (не только в горизонтальных слоях). Исследования конвекции на их различных этапах приведены также в ряде обзоров,
например, Кошмидера [E. L. Koschmieder, 1974; 1975], Норман и Помо [С.
Normand, Y. Pomeau, 1977], Буссе [F. H. Busse, 1978, 1984] и Берингера [R. P.
Behringer, 1985]. Имеются также подробные обзоры общих закономерностей
формирования структур — например, опубликованные Ньюэллом с соавторами [А. С. Newell, 1988, 1989; А. С. Newell, T. Passot, J. Lega, 1993].
Большую роль конвективный тепло- и массоперенос играет в процессе
концентрации рудных и углеводородных компонентов в формировании соответствующих месторождений, при этом важное значение имеет структура и
режим конвекции [С.Л. Лопатников, 1995]. Однако в большинстве работ
рассматривалась чистая жидкость. Поскольку в земных условиях, мы имеем дело
со смесями, представляется очень важным исследование устойчивости с учетом влияния наличия примеси. При этом имеются две причины появления
конвективной силы — неоднородности температуры и концентрации, а также
два диссипативных механизма — теплопроводность и диффузия. Это приводит к появлению качественно новых эффектов. В отличие от чистой среды,
равновесие смеси может оказаться неустойчивым относительно колебательных
возмущений. Конкуренция диффузии и теплопроводности приводит к тому,
что при определенных условиях оказываются конвективно-неустойчивыми
такие состояния равновесия, при которых градиент плотности направлен вниз
(внизу среда более плотная). Д.А. Нилдом (1968 г.) решена задача о конвективной устойчивости бинарной смеси в пористой среде, Х. Брандом (1982 г.)
исследована конвективная неустойчивость бинарных смесей в пористой среде
при подогреве снизу или сверху. Систематизация работ по конвекции бинарной смеси в полости проведена в главе 7 книги [Гершуни Г.З., Жуховицкий
Е.М., 1972].
С точки зрения геотермических отложений воды в пористой горной породе интересен вид течения, возникающего при переносе энергии сквозь пористое твердое тело, насыщенное жидкостью. Разность температур вызывает
выталкивающую силу и приводит к циркуляции жидкости сквозь пористую
среду. Скорости, вызванные выталкивающей силой, большей частью очень
малы из-за большого влияния вязкости на течение в узких каналах. Теории
конвекции жидкости в пористых средах посвящено большое количество работ
как зарубежных так и отечественных авторов. Каноническая задача о конвективной устойчивости жидкости в горизонтальном пористом слое впервые теоре6
тически решена в работе [Horton C.W. and Rogers F.T., 1945], а затем в работе
[Lapwood E.R., 1948]. Ее решение приведено и в [Гершуни Г.З., Жуховицкий
Е.М., 1972; Теркот Д., Шуберт Дж., 1985]. Гравитационная конвекция является одним из механизмов циркуляции флюидов в земной коре, для которого
требуются относительно хорошая проницаемость и большие градиенты температуры. Другими важнейшими механизмами флюидодинамических процессов
в верхней коре являются дилатансия и компакция [Каракин А.В., Курьянов
Ю.А., Павленкова Н.И., 2003]. Дилатансионнный эффект связан со сдвиговым
напряжением трещиноватых пороупругих слоев. Вязкая консолидация (компакция) связана с динамикой поровязких сред. Эти механизмы существенным
образом влияют на распределение рудных месторождений.
Наличие переменного параметра в гидродинамической системе может
существенно повлиять на ее устойчивость. Явление параметрического резонанса в различных механических системах хорошо изучено. Тем не менее,
специфика различных задач вносит в результаты свои особенности. Кроме
того, решение новых задач представляет интерес и с точки зрения количественных оценок различных величин, что важно для практических приложений.
Во второй главе изучается влияние модуляции градиента температуры
на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси. Рассматривается горизонтальная полость, заполненная бинарной смесью. Температура на одной из границ, а вместе с ней и ее градиент модулируется с частотой  . Концентрация легкого компонента на границах постоянна.
Используются уравнения тепловой конвекции в приближениях Буссинеска:
v
1
 (v)v   p  v  g ( 1T   2 C ) 
t
0
(2.1)
T
 vT  T
t
C
 vC  DC
t
divv  0
Здесь v - поле скоростей, p-давление в смеси, отсчитываемое от гидроста-
 0 , - кинематическая вязкость,  - температуропроводность, D- коэффициент диффузии,  - единичный вектор направлентического, соответствующего
ный против поля тяжести,
трационного расширения.
1 и  2 - коэффициенты температурного и концен-
Границы слоя предполагаются свободными плоскими:
7
z  0 : T  T1 , C  C1
(2.2)
z  L : T  T2  T0 sin t , C  C2
v x v y

0
z
z
где L- толщина полости.
Подставив возмущенные величины Ts  T  , C s  C  , p s  p  ( Ts ,
C s , p s - решения системы (2.1) при механическом равновесии, v - малая скорость) в уравнения, взяв rot rot от первого уравнения и спроецировав полученные уравнения на ось Z, обезразмерим и линеаризуем систему (2.1) в
окрестности механического равновесия, опуская штрихи, получим:

v z  v z  R xy T  Rd  xy C
t
(2.3)
Qs 
T 
P
 1  
 v z  T
t 
z 
C
Pd
 v z  C
t


g AL4
g 2 BL4 ,
P  , Pd  ,
R 1
, Rd 

D

D
2
2
2
2
T
  0 ,  xy   x   y
A L
Qs (t , z )  Q1 ( z ) sin t  Q2 ( z ) cos t ,
z  0, L : vz  0,
Q1 ( z)  q1shz cos z  q2 chz sin z , Q2 ( z)  q1chz sin z  q2 shz cos z
q1  sh cos S , q2  ch sin  S , S  sh 2 cos 2   ch 2 sin 2 
  L2  - безразмерная амплитуда модуляции,    P 2
Используя метод Галеркина-Бубнова, представим решение в виде:

v z  eikr Wm t sin  m z
m 1
Ce

ikr
 g t sin  m z
m 1
m

  eikr  f m t sin  m z
m 1
(2.4)
kr  k1 x  k2 y
где k1 и k 2 - вещественные волновые числа, характеризующие периодичность возмущений вдоль x и y; f n ,Wn , g n - соответственно амплитуды температуры, скорости и концентрации.
Подставив (2.4) в (2.5), получим бесконечную систему уравнений :
8
 Wn (t )  (k 2  (n) 2 )Wn (t ) 
k2
Rfn (t )  Rd g n (t )   0
2
k 2  n 

n
(2.5)

Pf n (t )  Wn (t )    Wm (t )Gmn   k 2  n  f n (t )
m 1

2

Pd g n (t )  Wn (t )   k 2  n  g n (t )
2
1
Gmn  2 sin mz sin nz
0
Qs ( z, t )
z
z
Здесь P , Pd – числа Прандтля, k - волновое число, характеризующие периодичность возмущений вдоль x и y,  - безразмерная амплитуда модуляции,
R , Rd - числа Рэлея,
Для чисел Прандтля, характеризующих газовую смесь: P  0.75, Pd  1.5 ,
взаимное расположение линий на плоскости ( ' , R' ):
R
R
A
Рис. 2.1. Карта устойчивости в
плоскости ( ' , R' ).
5
R
III
K
B
3
M
II
-8
-6
1 E
-4
-2
0
-1
d
2
Rd
I
C
d
Ломаная линия ABC служит границей устойчивости бинарной смеси при
отсутствии модуляции. Причем при пересечении луча ВА снизу вверх имеет место
колебательная неустойчивость, а при пересечении луча ВС– монотонная.
Rd k 2
Rk 2

R  2
,
R

d
(k   2 ) 3
(k 2   2 ) 3
Чтобы выявить критерий устойчивости, следуя теории Ляпунова-Флоке,
необходимо найти периодические и квазипериодические решения системы
(2.5), которые разделяют растущие и затухающие возмущения равновесия.
Система линеаризованных уравнений малых возмущений равновесия решалась численно с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности. В
области равновесия смеси при отсутствии модуляции (угол АВС, рис. 2.1.),
каждой точке ( ' , R' ), на плоскости амплитуда-частота модуляции соответ-
R
d
ствует нейтральная кривая, ниже которой возмущения затухают, выше –
нарастают. Данная область в пределе низких частот разбита на подобласти,
которым соответствуют нейтральные кривые одинакового типа: «целого» (период колебаний соответствует периоду модуляции), «полуцелого» (период
колебаний вдвое больше периода модуляции) и «смешанного» типа, которые
состоят из чередующихся участков «целого» и «полуцелого» типа.
9
Для случая гармонической модуляции в приближении малых частот методом малого параметра можно найти кривую МК, разделяющую область
ниже АВС на подобласти с нейтральными кривыми полуцелого и смешанного
типа. Точкам области между лучом ЕС и осью R  (области I на рис. 2.1.) соответствуют на плоскости (r ,1 w) нейтральные кривые целого типа, точкам
области II (ограниченной кривой КМЕ и осью R  ) – нейтральные кривые
полуцелого типа, точкам области III – нейтральные кривые смешанного типа.
Где r, w - приведенные амплитуда и частота модуляции: w   , r  R .
k2  2
r
a
б
r
r
с
16
16
12
12
12
8
8
4
4
8
4
0
1
2
1/w
0
1
2
3
1/w
0
2
4
6
1/w
Рис. 2.2. Нейтральные кривые, соответствующие на рис.2.1: а) обла'
'
сти I ( R ' =-1.1, Rd =2), б) области II ( R ' =1 Rd =-2), с) области III ( R ' =2.3
'
Rd =-2). Области неустойчивости заштрихованы, сплошные линии соответствуют нейтральным кривым целого типа, штриховые – нейтральным кривым полуцелого типа (светлые линии относятся к случаю приближения малой
частоты модуляции).
Рассмотрим область над ломанной АВС (рис. 2.1), где при отсутствии
модуляции механическое равновесие не устойчиво. Расчеты показали, что в
этой области модуляция градиента температуры может привести к стабилизации механического равновесия, т.е. к параметрической стабилизации. А именно, каждой точке над ломаной АВС, на плоскости (r ,1 w) соответствует область параметров, для которых механическое равновесие стабилизируется, т.е.
становится устойчивым, причем стабилизация наступает для больших частот.
Для точек выше луча ЕС указанная область ограничена снизу целыми
нейтральными кривыми, сверху – полуцелыми, параметрическая стабилизация возможна только тогда, когда частота превосходит фиксированное значение, зависящее от параметров. Над отрезком ВЕ основная область параметрической стабилизации существует для всех частот, однако с уменьшением частоты эта область быстро сужается, т.е. в этом случае нет определенной критической частоты. Над лучом ВА, область стабилизации ограничена снизу
нейтральной кривой, соответствующей квазипериодическим решениям, а
сверху нейтральной кривой «полуцелого» типа, при этом параметрическая
стабилизация возможна лишь для частот w  2 (рис. 2.3).
10
При определенных соотношениях между амплитудой и частотой модуляции появляются резонансные области динамической неустойчивости, связанные с параметрическим возбуждением. При колебаниях температуры на
границах градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат. Модуляции градиента в основном сосредоточены в приграничном слое,
толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скинэффект). С целью выявления влияния скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси, задача решена также в приближении малой частоты модуляции, когда не учитывается скин-эффект. В этом случае, нейтральные кривые
сместились вниз по оси амплитуд (рис. 2.3, светлые линии), т.е. скин-эффект
приводит к увеличению критической амплитуды наступления стабилизации.
r
r
a
r
b
16
16
c
16
12
12
12
8
8
4
4
8
0
0.4
0.8
1/w
4
0
1
2
1/w
0
1
2
1/w
Рис. 2.3. Области параметрической стабилизации в плоскости
(r ,1 w) выше границы устойчивости АВС (рис. 2.1): а) над ЕС ( R ' =-0.9
Rd' =2), б) над ВЕ ( R ' =3.2 Rd' =-2), с) над ВА ( R ' =4 Rd' =-3). Штрихпунктирные линии – квазипериодические нейтральные кривые, остальные обозначения те же, что на рис. 2.2.
В области равновесия смеси (ниже АВС рис. 2.1), нейтральные кривые,
соответствующие областям I, II, III, на плоскости (r ,1 w) со стороны больших
частот смещаются вниз (рис. 2.2– светлые линии), затем проходят немного
выше и, при низких частотах, в приведенном на фигурах масштабе, сливаются
с нейтральными кривыми, полученными при решении задачи с учетом скинэффекта.
Из приведенных рисунков видно, что учет скин-эффекта изменяет
нейтральную кривую: при больших частотах скин-эффект играет стабилизирующую роль, которая сменяется на дестабилизирующую с уменьшением частоты, и в пределе малых частот полностью исчезает.
Рассмотрен также случай P=5, Pd=10. Эти значения являются искусственными, и были взяты лишь для того, чтобы на основе сравнения с результатами аналогичной задачи для пористого слоя, насыщенного бинарной смесью (куда входит отношение их фильтрационных аналогов) выявить качественные особенности влияния силы инерции. В естественных условиях
насыщенных пористых сред сила инерции при фильтрации жидкостей обычно
мала, поэтому для ограничения влияния инерции, значения чисел Прандтля в
задаче о конвекции в полости были увеличены, сохраняя их отношение. Рас11
четы показали, что большинство результатов (для данных параметров) качественно совпадает со случаем пористой среды. Существенным отличием является то, что в данном случае на плоскости частота-амплитуда модуляции имеется область параметрической стабилизации, которая возникает лишь над той
частью границы, где при отсутствии модуляции неустойчивы монотонные
возмущения, что связано с наличием силы инерции.
В третьей главе изучается влияние модуляции граничных условий на
конвективную устойчивость смеси в пористом прямоугольнике. Первый параграф данной главы посвящен выявлению условий возникновения фильтрационной конвекции бинарной газовой смеси, насыщающей пористый массив
прямоугольного сечения при модуляции граничной температуры около некоторого среднего значения.
Систему уравнений конвекции бинарной смеси в пористой среде в приближении Дарси-Буссинеска без учета перекрестных эффектов и граничные
условия можно записать в виде [Бедриковецкий П.Г., Полонский Д.Г., Шапиро
А.А., 1993]:

u  p  0 g( 1  1T  2C )
k
T
Ñm
 C p0uT  T
t
C
m
 uC  DC
t
divu  0
(3.1)
z  0 : T  T1 , C  C1 , u x  0
z  L : T  T2  T0 sin t , C  C2 , u z  0
T C

 0, u x  0
x x
Здесь u - поле скоростей, p - давление в смеси, отсчитываемое от гидростатического, соответствующего  0 ,  - динамическая вязкость,  эффективная теплопроводность пористой среды, С m - эффективная теплоемкость единицы объема пористой среды, C p - теплоемкость смеси при постоянном давлении, D – коэффициент диффузии, k - проницаемость, m- пористость,  - единичный вектор, направленный против поля тяжести.
x   L; L :
После обезразмеривания (масштабы: L - толщины пористой среды, AL 2
температуры, 0 gk1 AL  - скорости, m С p Cm gkA1 - времени, BL концентрации, 0 g1 AL2 -давления ( A, B - градиенты температуры и концентрации)), линеаризации системы (3.1) относительно механического равновесия (подставляя возмущенные величины Ts  T  , C s  C  , ps  p , u - ма-
12
лая скорость), введем функцию тока  , исключив давление и опустив штрихи, получим:


T R d C
ux 
uz  
  

z
x
x LeR x
2
2

Q

gk

AL
C
T 
1
 gk 2 BL 2
s 
0
1
p
 1 
u z  T
R
, Rd  0
t 
z 
R

D
1 C
1
uz 
C
b t
LeR
Le 

 0C p D
, Le 

 0C p D
Qs – функция от вертикальной координаты и времени, определенная
аналитически при нахождении установившегося решения при механическом
равновесии.
Методом Галеркина-Бубнова получим систему амплитудных уравнений:
n
 
 Rd
Rd



f n( t )   n  n  f n ( t )  n
g n ( t )    mGmn  f m ( t ) 
g m ( t ) (3.2)
R
LeR
LeR



m 1
 
1
Rd

g n ( t )   n
 n g n ( t )  n f n ( t )
b
 LeR LeR 
 n  ( k )2  n2 ,  n  (k ) ,
2
f n ,Wn , g n - соответственно амплитуды
n
температуры, скорости и концентрации.
Для случая наличия примеси на рис. 3.1 приведена карта устойчивости
'
на плоскости ( R , Rd ) при отсутствии модуляции.
R
A
2
B
-2
0
-1
Rd
Рис. 3.1. Карта устойчивости бинарной смеси при стационарных
граничных условиях.
( R   R , Rd   Rd ).
4 2
4 2
1
-2
C
Область устойчивости расположена внутри угла АВС, причем
при пересечении луча ВА имеет место монотонная неустойчивость, а
при пересечении луча ВС– колебательная.
Были найдены периодические решения системы (3.2), которые разделяют
растущие и затухающие возмущения равновесия. Отдельно рассмотрен случай
газа без примеси.
13
Изучен сценарий изменения структуры нейтральных кривых, разделяющих нарастающие и затухающие возмущения, в плоскости амплитуда частота
модуляции, в зависимости от теплового и диффузионного чисел Рэлея. При
наличии примеси, характер изменения структуры нейтральных кривых аналогичен случаю чистого газа, что связано с большим значением b для газовых
смесей ( b  1 ), при b ~ 1 наличие примеси влечет за собой качественное
изменение результатов [Рамазанов М.М., 1999,2001].
Если температура вдоль смеси не меняется, то единственной причиной,
вызывающей конвекцию, является неоднородность концентрации. Случай бинарной изотермической смеси аналогичен обычной тепловой конвекции однородной среды (роль теплопроводности играет диффузия). В трехкомпонентных
изотермических системах при определенных условиях возникают конвективные потоки, наложение которых на молекулярный перенос приводит к неустойчивости механического равновесия смеси при диффузии [Косов В.Н.,
Жаврин Ю. , 1990, В.Н. Косов. В.Д. Селезнев, Ю.И. Жаврин, 2000]. Во втором
параграфе описаны результаты численного исследования фильтрационной
конвекции трехкомпонентной изотермической смеси, насыщающей пористый
массив прямоугольного сечения при модуляции градиента концентрации одной из компонент около некоторого среднего значения. В случае присутствия
третьей компоненты примеси картина в плоскости амплитуда-частота модуляции такова, что критическая амплитуда с уменьшением частоты стремится к
постоянному значению, и для трехкомпонентной смеси область равновесия
разбита в пределе низких частот на три подобласти, которым соответствуют
нейтральные кривые одинакового типа. Исследовано влияние концентрационного скин-эффекта на конвективную устойчивость смеси. Проведен сравнительный анализ случаев бинарной и трехкомпонентной изотермических смесей.
Таким образом, в главе 3 на основе линеаризованной системы дифференциальных уравнений, описывающих свободную конвекцию бинарной (или
трехкомпонентной изотермической смеси) смеси были получены условия возникновения конвективных потоков в условиях периодической модуляции параметра. С увеличением амплитуды возмущений, возникают нелинейные механизмы, которые могут быть исследованы лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Конечные возмущения в надкритических условиях
при стационарных граничных условиях, вообще говоря, демонстрируют довольно сложное поведение. Основным предметом обсуждения в четвертой
главе является вопрос о влиянии периодически модулируемого параметра в
системе на развитие конечных возмущений.
Для случая фильтрационной конвекции бинарной смеси, насыщающей
пористый массив прямоугольного сечения при модуляции градиента температуры, нелинейная, обезразмеренная система (3.1), после введения функции
тока u x 
14


и исключения давления примет вид:
uz  
z
x
   sign ( R)
R C
T
 d
x Le R x
T
T
T  Qs 
1
 ux
 uz
 1 
T
u z 
t
x
z 
z 
R
1 C
C
C
1
 ux
 uz
 uz 
C
b t
x
z
Le R
Граничные условия:
x  1;1 :
(4.1)
T
C
 0,
 0,   0 ,
x
x
z  0;1 : T  0, C  0,  0
Le - число Льюиса, R, Rd - число Рэлея и его диффузионный аналог.
Задача решена конечно-разностными методами, с использованием неявной разностной схемы расщепления для уравнений переноса в сочетании с
методом переменных направлений с постоянными параметрами для уравнения
Пуассона [Клейн И.С., Полежаев В.И, 1978]. Полученная разностная схема
решалась методом продольно-поперечной прогонки, с проверкой невязок на
каждом временном шаге. В качестве начального условия было выбрано распределение
температуры
и
концентрации
T ( x, z)  a1 cos x sin z ,
C( x, z)  a2 cos x sin z , в отсутствии конвекции  ( x, z )  0 . Построены зави-
симости безразмерного потока тепла (число Нуссельта) от времени при различных режимах конвекции.
Расчеты показали, что при стационарных граничных условиях граница
устойчивости (рис. 3.1), полученная по линеаризованным уравнениям достаточно точно разделяет установившиеся и затухающие решения нелинейной
задачи. Выявлено, что при модуляции градиента температуры, линейная теория завышает критическую амплитуду потери устойчивости, т. е. дает границу
условной устойчивости (устойчиво относительно бесконечно малых возмущений, и не устойчиво относительно конечных).
Например, по линейной теории, для точки Rd =-0.5, R =0.5 при частоте
модуляции 1 w =1.5 критическая амплитуда, выше которой возмущения нарастают равна r=5.564. Расчеты по нелинейной системе уравнений, показали, что
для 1 w =1.5 при r=4.6, через определенный промежуток времени возникает
трех ячеистое движение (рис. 4.1), при увеличении амплитуды модуляции, с
течением времени происходит перестройка режимов конвекции, изменяется
количество ячеек и направление движения (рис. 4.2).
'
15
1
Nu
0.8
0.6
0
-1
0
1
-1
0
1
1
0.4
0.2
t
0.0
0
200
400
600
800
0
Рис. 4.1. Зависимость усредненного числа Нуссельта от времени, справа показаны линии тока и под ними изотермы при Rd' =-0.5 R =0.5, 1 w =1.5 и r=4.6.
1
1
Nu
20
15
10
0
-1
1
0
1
0
-1
1
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
5
t
0
0
200
400
600
800
Рис. 4.2. Зависимость усредненного числа Нуссельта от времени, справа
показаны линии тока и под ними изотермы в различные моменты времени,
Rd' =-0.5 R =0.5, 1 w =1.5 и r=5.5.
Получено, что для каждой пары надкритических чисел Релея в случае
постоянных граничных условий существует несколько стационарных режимов, отличающихся либо количеством конвективных ячеек, либо направлением движения. Модуляция градиента температуры приводит к тому, что число
Нуссельта при малых амплитудах модуляции колеблется около установившихся решений, с увеличением амплитуды модуляции, возмущения установившихся движений нарастают, и в результате их слияния образуется единственное решение. При дальнейшем возрастании амплитуды модуляции может меняться число конвективных ячеек и происходить инверсия движений в различные моменты времени. При подогреве сверху имеется область установившихся
колебательных возмущений, в которой тепловой поток направлен вниз, при
этом возникает двух ячеистая концентрационная конвекция. В этой области
модуляция градиента температуры с достаточной амплитудой вызывает периодические потоки тепла вверх.
Для случая конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при стационарных граничных условиях в параграфе
16
3.2 по линейной теории построена карта устойчивости на плоскости диффузионных чисел Рэлея (рис. 4.3)
A
Рис. 4.3 Карта устойчивости трехкомпоRd
нентной изотермической смеси при стациK
онарных граничных условиях.
3
III
1
Rd' 1 
B
2
Rd 1
4
2
Rd 2
, Rd 2 
4 2
, Rd 1 , Rd 2 - диф-
фузионные числа Рэлея
При пересечении луча ВА снизу вверх
1 E
имеет место колебательная неустойчивость,
а при пересечении луча ВС – монотонная.
Rd
0
Над ломаной АВС, имеет место неустойчи0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
вость для всех частот и амплитуд.
I
C
Численный расчет на основе нелинейной системы дифференциальных уравнений,
описывающих концентрационную конвекцию изотермической трехкомпонентной смеси в пористом прямоугольнике, показал, что на карте диффузионных чисел Релея (рис. 4.3) при стационарных граничных условиях имеется
область подкритической неустойчивости, которая изображена на рис. 4.3 (заштрихованная область угла АВС). Для остальных пар значений диффузионных
чисел Релея ниже АВС в отсутствии модуляции, решения нелинейной задачи
полностью подтверждают линейную теорию, т.е. при всех начальных условиях
возмущения затухают. Например, при Rd 2 =-1 R d 1 =1.9 (область подкритиM
II
2
ческой неустойчивости), в отсутствии модуляции, для разных начальных условий имеются два стационарных течения (линии 1 и 2, рис. 4.4) и одно затухающее (линия 3, рис. 4.4), причем течения 1 и 2 двух ячеистые и разнонаправленые.
1
1
NuD
1
2
1
0.4
2
0
0
-1
0
1
-1
0
1
1
-1
1
0
1
0
1
0.2
3
t
0.0
0
200
400
600
800
0
0
-1
Рис. 4.4. Зависимость усредненного диффузионного числа Нуссельта от
времени ( Rd 2 =-1 R d 1 =1.9), справа показаны линии тока и изолинии концентрации примеси, соответствующие соответственно линиям (1), (2).
17
NuD
NuD
1.2
a
NuD
b
c
0.4
0.8
0.3
0.8
0.2
1
0.4
0.4
2
1
0.1
2
3
0.0
0
0
d
100
t
200
300
400
3
0.0
0
0
t
100
200
300
400
1
1
-1
0
-1
1
0
1
1
1
-1
0
1
200
300
400
0
-1
0
1
-1
0
1
1
0
0
t
100
1
0
0
0.0
0
0
-1
0
1
Рис. 4.5. Зависимость усредненного диффузионного числа Нуссельта от
времени ( Rd 2 =-1 R d 1 =1.9): a) при частоте модуляции градиента концентрации w=1 и r=0.1, b) при w=1 и r=0.5, c) при w=1 и r=1. (линии 1,2,3 соответствуют различным начальным условиям).d) линии тока и изолинии концентрации при w =1, r=1 в различные моменты времени ( Rd 2 =-1 R d 1 =1.9).
При модуляции градиента концентрации с малыми амплитудами, числа
Нуссельта колеблются вокруг соответствующих стационарных решений (рис.
4.5a). Течения по-прежнему двух ячеистые и противоположно направленные.
Для амплитуд порядка 0.5 при любых начальных условиях возмущения затухают (рис. 4.5b). При дальнейшем увеличении амплитуды, для любых начальных условий имеется единственное решение (рис. 4.5c), при этом с течением
времени течения могут быть как двух ячеистыми, так и четырех ячеистыми,
возможна и смена направлений движения (рис. 4.5d).
В надкритической области (над ломанной ABC , рис. 4.3), прилегающей к границе устойчивости при Rd 2  2 , при постоянных граничных
условиях имеется стационарное (1) и установившееся колебательное (2) движение (рис. 4.6), соответствующие различным начальным условиям. Движения
двух ячеистые сонаправленные. При возрастании R d 1 движения только стационарные противоположно направленные.
При
Rd 2  2 для различных начальных условий вблизи границы
устойчивости имеется два двух ячеистых противоположно направленных ста18
ционарных решения. При движении вверх по оси R d 1 получаем по две пары
разнонаправленных движений, причем одна пара (1), (2) соответствует двух
ячеистому движению, а вторая (3), (4) – четырех ячеистому (рис. 4.7).
2
1
1
1
NuD
1
0.8
0
0
-1
1
0
1
0
1
1
-1
0
1
-1
0
1
0.4
2
t
0.0
0
200
400
600
0
0
800
-1
Рис. 4.6. Зависимость усредненного диффузионного числа Нуссельта от
времени при постоянных граничных условиях, (1) – стационарное движение,
(2) - установившееся колебательное ( Rd 2  3, R d 1 =3.2), справа линии тока и под ними изолинии, соответственно для линий (1) и (2).
NuD
1
3
1
1
1
2
1.2
0
0
-1
1
3
0
1
0
1
-1
1
0
1
0
1
4
0.8
t
0.4
0
200
400
600
800
0
0
-1
-1
Рис. 4.7. Зависимость диффузионного числа Нуссельта от времени при
постоянных граничных условиях, (1,2) – стационарное двух ячеистое движение, (3,4) - стационарное четырех ячеистое ( Rd 2 =2 R d 1 =1). Справа линии
тока и под ними изолинии, соответственно для линий (1) и (3). Для линий (2) и
(4) течения противоположны соответственно (1) и (3).
Модуляция градиента концентрации при надкритических числах Релея
приводит к тому, что для любых частот при малых амплитудах модуляции
появляются колебания около стационарных или установившегося колебательного решений (рис. 4.8a, b), число ячеек при этом соответствует их числу при
постоянных граничных условиях (рис. 4.6, 4.7). С возрастанием амплитуды
модуляции возмущения исходных движений нарастают, и в результате возникает одно установившееся решение (рис 4.8c,d). При этом линии (1), (2) рис.
4.8a, сливаясь, принимают вид зависимости на фиг. 4.8c, а линии (1)-(4) рис.
19
4.8b переходят в одно установившееся решение (рис. 4.8d). Количество конвективных ячеек сохраняется на всем временном диапазоне.
В случае достаточно больших амплитуд модуляции с течением времени
может меняться число конвективных ячеек и происходить инверсия движений.
В Приложении 1 приведена программа расчета зависимости теплового
потока от времени, функции тока и изотерм, составленная на языке программирования Дельфи.
NuD
NuD
b
a
1.6
1
1.2
1.2
2
1
3
0.8
0.8
4
0.4
0.4
2
t
0.0
0
200
400
600
0.0
800
0
100
NuD
NuD
d
c
1.6
t
200
4.0
1.2
3.0
1
0.8
2.0
2
0.4
1.0
0.0
0.0
0
200
400
600
800
t
0
100
200
t
Рис. 4.8. Зависимость усредненного диффузионного числа Нуссельта от
времени при модуляции граничных условий a) при Rd 2  3,
R d 1 =3.2 с ча-
стотой 1/w=10 и амплитудой r=0.05, (1) – вокруг стационарного режима, (2)
- около установившегося колебательного; b) при Rd 2 =2 R d 1 =1 с частотой
1/w=1 и амплитудой r=0.1; с) при Rd 2  3,
R d 1 =3.2 с частотой 1/w=10 и
амплитудой r=0.1; d) при Rd 2 =2 R d 1 =1 с частотой 1/w=1 и амплитудой
r=1.
20
Заключение
1. Обнаружено, что модуляция равновесного градиента температуры в
полости, заполненной бинарной смесью может, как дестабилизировать механическое равновесие смеси (в сравнении со случаем стационарных граничных
условий), так и стабилизировать его, что можно объяснить наличием силы
инерции. Показано, что точкам области равновесия смеси (при отсутствии модуляции), на плоскости амплитуда-частота модуляции
соответствует
нейтральная кривая, ниже которой возмущения затухают, выше – нарастают.
Имеются нейтральные кривые: «целого» типа (период колебаний соответствует периоду модуляции), «полуцелого» типа (период колебаний вдвое больше
периода модуляции), и «смешанного» типа, которые состоят из чередующихся
участков «целого» и «полуцелого» типа.
2. Показано, что в области параметрической стабилизации скин-эффект
приводит к увеличению критической амплитуды наступления стабилизации. В
области равновесия смеси (при отсутствии модуляции), скин-эффект является
стабилизирующим фактором при больших частотах и дестабилизирует равновесие с уменьшением частоты. При достаточно малых частотах влияние скинэффекта не сказывается.
3. В случае конвекции бинарной смеси в пористом прямоугольнике, модуляция градиента температуры играет только дестабилизирующую роль (в
отличие от случая бинарной смеси в полости). Выявлено, что структуры
нейтральных кривых в случаях отсутствия и наличия примеси в газах качественно совпадают.
4. В случае фильтрационной конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике, модуляция градиента концентрации
играет только дестабилизирующую роль. Над границей устойчивости (при
отсутствии модуляции) сохраняется неустойчивость для всех частот и амплитуд. В области равновесия смесей при стационарных граничных условиях,
структуры нейтральных кривых в случаях бинарной и трехкомпонентной изотермических смесей качественно различны. Для трехкомпонентной изотермической смеси эта область разбита на три подобласти, которым соответствуют
нейтральные кривые одинакового типа.
5. Для случая постоянных граничных условий построены зависимости
безразмерного потока тепла (число Нуссельта) от времени при различных режимах конвекции. Для каждой пары надкритических чисел Релея существует
несколько стационарных режимов, отличающихся либо количеством конвективных ячеек, либо направлением движения. При подогреве сверху имеется
область установившихся колебательных возмущений, в которой тепловой поток направлен вниз, при этом возникает двух ячеистая концентрационная конвекция.
6. Для случая фильтрационной конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при стационарных граничных условиях имеет место эффект подкритической неустойчивости. То есть, на карте
21
диффузионных чисел Релея в области устойчивости смеси имеется подобласть, где одновременно устойчивы два стационарных решения, отличающихся направлением циркуляции, и механическое равновесие, в зависимости от
начальных условий реализуется одно из этих решений.
7. При модуляции граничных условий для случаев как бинарной, так и
трехкомпонентной смесей, линейная теория завышает критическую амплитуду
потери устойчивости, т. е. дает границу условной устойчивости (устойчиво
относительно бесконечно малых возмущений, и не устойчиво относительно
конечных). Модуляция градиента температуры приводит к тому, что число
Нуссельта (тепловое и диффузионное) при малых амплитудах модуляции колеблется около установившихся решений, с увеличением амплитуды модуляции, возмущения установившихся движений нарастают, и в результате их слияния образуется единственное решение. При дальнейшем возрастании амплитуды модуляции может меняться число конвективных ячеек и происходить
инверсия движений в различные моменты времени.
Основные публикации по теме диссертации
1. Магомедов К.М., Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. О задачах конвективной устойчивости жидкости в геотермальных резервуарах // Журн.
«Вестник ДНЦ РАН»,1999, №5. С.46-50. (из перечня ВАК)
2. Рамазанов М.М., Зульпукарова З.З., Булгакова Н.С. Влияние адсорбции на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальном пористом слое// Журн. "Вестник ДНЦ РАН", 2001, № 11. С.1-5. (из перечня
ВАК)
3. Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. Конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси при низкочастотной модуляции градиента
температуры.// Журн. "Вестник ДНЦ РАН", 2007, №28. С. 18-24. (из перечня ВАК)
4. Булгакова Н.С., Рамазанов М.М. Конвективная устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси при модуляции градиента температуры// Изв.
РАН.МЖГ , №3. 2010. С. 22-32. (из перечня ВАК)
5. Булгакова Н.С. Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость
бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничной температуры.// Известия вузов Северокавказского региона: Естественные науки.
№ 1 (153). Ростов-на-Дону, 2010. С. 26-30. (из перечня ВАК)
6. Булгакова Н.С. Конвективная устойчивость трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента
одной из компонент.// Вестник ДНЦ. №38. 2010. С.13-20. (из перечня ВАК)
7. Булгакова Н.С. Конвективная устойчивость бинарной смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента температуры.// Известия вузов Северокавказского региона: Естественные науки. Ростов-на-Дону 2011.
№3. С. 22-26. (из перечня ВАК)
8. Булгакова Н.С. Условие возникновения и нелинейные режимы конвекции трехкомпонентной изотермической смеси в пористом прямоугольни22
ке при условии модуляции градиента концентрации// (в печати, Изв. РАН
МЖГ) (из перечня ВАК)
9. Булгакова Н.С. Нелинейные режимы конвекции бинарной смеси в пористом прямоугольнике при модуляции градиента температуры// (в печати,
«Вестник» ДНЦ РАН) (из перечня ВАК)
10. Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. О задачах устойчивости жидкости в
геотермальных резервуарах// Тез. докл. Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала: РАН
ДНЦ, 1999.- С.129-130.
11. Булгакова Н.С.Конвективная устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости при модуляции граничных температур// Материалы международной конференции "Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы", Махачкала, 2005.С.283-287.
12. Булгакова Н.С. Влияние низкочастотной модуляции градиента температуры на конвективную устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси// Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов. Материалы конференции, посвященной 70-летию со дня рождения Магомедова
К.М. Махачкала, 2006, С. 226-230.
13. Булгакова Н.С. Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость
горизонтального слоя бинарной смеси при модуляции граничных температур// Актуальные проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов. Материалы II Школы молодых ученых. 18-22 сентября 2008 г. Махачкала:
АЛЕФ, 2008, С. 247-253.
14. Булгакова Н.С. Влияние модуляции граничной температуры на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальной полости// Современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы Международной конференции, Махачкала, 2010. С. 26-28.
15. Булгакова Н.С. Численное исследование влияния переменного градиента температуры на конвективную устойчивость бинарной газовой смеси в
пористом прямоугольнике// Материалы II Международной конференции
«Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы». Махачкала, 2010.
С. 354-360.
16. Булгакова Н.С. Конвекция трехкомпонентной изотермической смеси в
пористом прямоугольнике в условиях переменного градиента концентрации
одной из компонент// Материалы II Школы молодых ученых «Актуальные
проблемы освоения возобновляемых энергоресурсов». Махачкала. 2010.
С.247-252.
23
Подписано в печать 02.09.2011г.
Формат 60х841/16. Печать ризографная. Бумага офсетная.
Гарнитура «Таймс». Усл. п. л. 1. Тираж 100 экз.
Отпечатано в типографии АЛЕФ, ИП Овчинников М.А.
Тел.: +7-928-264-88-64, +7-903-477-55-64, +7-988-2000-164
24