1 Рогалевич В.В., Кудрявцев С.В. Концентрация напряжений

Рогалевич В.В., Кудрявцев С.В. Концентрация напряжений вблизи круговых отверстий в гофрированных стенках балок // Известия ВУЗов. Строительство. – 2008. – №11 – 12. – С. 8-13.
1
УДК 624.072.2:624.042.68
В.В. РОГАЛЕВИЧ, д-р физ.-мат. наук, проф., С.В. КУДРЯВЦЕВ, асп.
(Уральский государственный технический университет – УПИ)
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ВБЛИЗИ КРУГОВЫХ
ОТВЕРСТИЙ В ГОФРИРОВАННЫХ СТЕНКАХ БАЛОК
Определены коэффициенты концентрации напряжений вблизи отверстия в гофрированной стенке для случаев чистого и поперечного изгиба балок. Приведены значения коэффициентов концентрации в зависимости от параметров гофров и относительного диаметра отверстия, а также формулы для определения нормальных и касательных напряжений в гофрированных стенках балок, ослабленных круговым отверстием.
Целью
данной
работы
является
изучение
напряженно-
деформированного состояния вблизи круговых отверстий в гофрированной
стенке балки и определение коэффициентов концентрации напряжений в
опасных точках. Под круглым отверстием следует понимать его проекцию
на осевую плоскость балки.
Балка с гофрированной стенкой – это конструкция, состоящая из
поясов произвольного сечения (стального листа, прямоугольных стальных
труб, железобетонных элементов) и тонкой металлической стенки, которая
в поперечном направлении изогнута (гофрирована). На рис. 1 показана
стенка с треугольным профилем гофрирования.
В настоящее время такие конструкции используются в качестве балок перекрытий в многоэтажных жилых домах, большепролетных балок
покрытия в промышленных зданиях, элементов купольных конструкций в
административных зданиях [1]. В покрытиях промышленных и в каркасах
гражданских зданий по эксплуатационным причинам требуется прокладка
систем вентиляции, отопления, водопровода и других трубопроводов, для
2
чего необходимо выполнять отверстия в гофрированных стенках балок.
Около отверстий возникает концентрация напряжений, причем наибольшие напряжения могут в несколько раз превышать так называемые «средние напряжения», что неизбежно вызовет разрушение конструкции.
В связи с этим для некоторых случаев концентрации напряжений
были получены строгие решения двумерных задач теории упругости и определены коэффициенты концентрации напряжений.
Под коэффициентом концентрации напряжений понимают отношение максимальных напряжений в элементе (или его части) к номинальному
напряжению в элементе под действием той же нагрузки.
Согласно теории упругости распределение напряжений в гомогенном теле в случае плоского напряженного состояния зависит только от
геометрических параметров тела и не зависит от характеристик материала.
Концентрация напряжений вокруг круглых отверстий в плоских
стенках балок при изгибе была изучена Хоулэндом и Стивенсоном
(1933 г.), которые математически получили значения коэффициента концентрации нормальных напряжений Kσ для одиночного отверстия, центр
которого совпадает с нейтральной осью балки. Численные значения Kσ
приведены в справочнике [2] в зависимости от отношения d/hw (рис. 2).
Максимальная концентрация напряжений возникает на контуре отверстия
в точке В (KσB = 2). При этом было установлено, что отверстие не ослабляет балку при соотношении d/hw  0,45 . В этом случае на кромке пластинки
KσA = 1.
Решение для балки с круглым отверстием, центр которого расположен произвольно по высоте балки, было получено Нейманом (1937 г.) и
приведено в справочнике [3]. Испытания методом фотоупругости, выполненные Райэном и Фишером (1938 г.) и Фрохтом и Левеном (1951 г.), показали хорошее совпадение с теоретическими результатами Неймана, Хоулэнда и Стивенсона [2].
3
В случае чистого изгиба балки кольцевые нормальные напряжения
на контуре отверстия следует определять по формуле Неймана
σθ  
где
M r
(sinθ  sin 3 θ) ,
Ix
(1)
M – изгибающий момент в ослабленном сечении;
Ix – момент инерции сплошного сечения балки;
r – радиус отверстия; θ – полярная координата точки контура.
Максимальные напряжения возникают в точке B с координатой
θ= π/2. В этом случае коэффициент концентрации напряжений Kσ B = 2.
Значение коэффициента концентрации, вычисленное по формуле (1) совпадает с результатами Хоулэнда и Стивенсона.
Для случая поперечного изгиба балки сосредоточенной силой кольцевые нормальные напряжения по контуру отверстия
hw2
M r
Q 2
σθ  
(sin θ  sin 3 θ)  [r (sin 2 θ  sin 4 θ) 
sin 2 θ] ,
Ix
Ix
2
где
(2)
Q – поперечная сила в сечении; hw – высота стенки балки.
Отличительной особенностью балок с гофрированной стенкой явля-
ется практически полное восприятие изгибающего момента поясами, причем нормальные напряжения по высоте стенки значительны на участках
вблизи поясов и сходят на нет на расстоянии chw от поясов [1, 4, 5].
Коэффициент с определяется по эмпирической формуле
c a
hw
f
,
(3)
причем a, hw и f следует подставлять в формулу в см.
Вследствие влияния отверстия в местах сопряжения стенки балки с
поясом нормальные напряжения могут возрасти и привести к возникновению зоны пластических деформаций, что недопустимо.
Нормальные напряжения на уровне поясных швов в ослабленной отверстием гофрированной стенке балки определяются по формуле
4
σw 
где
M hw

 K σA ,
Ic 2
(4)
KσA – коэффициент концентрации напряжений в точке А (рис. 2);
2
3
Ah
t h
I c – момент инерции сечения балки; I c  f f  β w w ;
2
12
Af – площадь поперечного сечения пояса балки; hf – расстояние между центрами тяжести поясов; tw – толщина гофрированной стенки;
β – коэффициент, устанавливающий отношение моментов инерции
гофрированной и плоской стенок одинаковой толщины;
β  ν  2c  (1  ν)  (1  c  0,4c 2 ) ;
ν – параметр, зависящий от геометрических характеристик гофра;
ν
1
f
1  
a
2
1

2
f
1    1 μ2
a

  tf 

w
2
;

f – высота гофра; μ – коэффициент Пуассона, равный 0,3.
Значения касательных напряжений в гофрированной стенке, ослабленной отверстием, следует определять по формуле
τ xy 
где
Q
 K τC ,
hw t w
(5)
KτC – коэффициент концентрации напряжений в точке C (рис. 2).
В данной работе методом конечных элементов выполнен расчет пол-
номасштабных моделей балок с плоской и гофрированной стенкой различной геометрии. Всего рассчитано 8 типов балок. Пролет всех балок равнялся 6м, высота стенки – 560мм, толщина стенки – 3мм, шаг гофров –
150мм. Высота гофров f принималась 0, 5, 10, 20, 40, 60, 80 и 100 мм. Случай f = 0 соответствует плоской стенке. Пояса балок из листа шириной
200мм и толщиной 8мм. Геометрические параметры гофров и поясов были
подобраны таким образом, чтобы обеспечивалась общая и местная устойчивость гофрированной стенки и поясов балки. Расчетная схема балки
представлена на рис. 3.
5
Для каждой из восьми балок рассмотрено три случая:
- отверстие в стенке отсутствует;
- в стенке выполнено круговое отверстие в зоне чистого изгиба;
- в стенке выполнено круговое отверстие в зоне поперечного изгиба.
Для каждой балки и каждого случая расположения отверстия расчет
проведен в программе Cosmos (COSMOSWorks® 2006) при диаметре d отверстия равном 100, 200 и 300мм. Балки моделировались в натуральную
величину. Расчетная модель ограничивалась в перемещениях по нижней
грани левого опорного ребра в направлении осей x и y, а правого – в направлении оси y (см. рис. 1). Разбивка модели на конечные элементы производилась автоматически. Использовались конечные элементы четырехугольного и треугольного очертаний. Размер конечных элементов составлял около 20мм по самой длинной стороне. Материал балок – сталь С245.
Для вычисления коэффициента концентрации напряжений определялись нормальные и касательные напряжения в сечениях 1-1 и 2-2, а также
устанавливался характер распределения напряжений по высоте стенки и по
контуру отверстия. Для случая, когда отверстие расположено в зоне чистого изгиба – сечение 1-1 (M1 = 200 кНм, Q1 = 0 кН), коэффициент концентрации определялся в точках А и В (см. рис 2) для балки с плоской стенкой
и в точке А для балок с гофрированной стенкой. Для случая, когда отверстие находится в зоне поперечного изгиба – сечение 2-2 (M2 = 105 кНм,
Q2 = 100 кН), коэффициент концентрации определялся в точках А, В и С
(см. рис 2) для балок с плоской стенкой и в точках А и С (θ = 450) для балок с гофрированной стенкой.
Значения коэффициентов концентрации напряжений в случае расположения отверстия в зоне чистого изгиба приведены в табл. 1, в зоне поперечного изгиба – в табл. 2.
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:
6
1.
Значения коэффициентов концентрации напряжений и напряжения,
полученные численным расчетом, в случае балки с плоской стенкой
( f/a = 0) совпадают с результатами, полученными по формулам (1) и
(2). Различие не превышает 5%.
2.
Для балок с гофрированной стенкой при расположении отверстия в
зоне чистого изгиба на контуре отверстия существенного увеличения
напряжений не происходит. Нормальные напряжения в гофрированной стенке на уровне поясных швов достигают максимального значения (KσA = 1,22) при f/a = 40/150 и d/hw = 100/560, минимального
значения (KσA = 0,98) при f/a = 10/150 и d/hw = 300/560.
3.
При расположении отверстия в зоне поперечного изгиба на контуре
отверстия существенной концентрации нормальных напряжений
также не происходит. Нормальные напряжения в гофрированной
стенке на уровне поясных швов достигают максимального значения
(KσA = 1,32) при f/a = 100/150 и d/hw = 300/560, минимального значения (KσA = 0,93) при f/a = 80/150 и d/hw = 200/560.
Зоны повышенной концентрации касательных напряжений расположены на контуре отверстия под углом θ = 450 к продольной оси балки. Касательные напряжения на контуре отверстия достигают максимального значения (KτС = 12) при f/a = 100/150 и d/hw = 300/560,
минимального значения (KτС = 2,08) при f/a = 80/150 и d/hw = 100/560.
4.
Значения нормальных и касательных напряжений в гофрированных
стенках балок, ослабленных круговым отверстием, рекомендуется
определять по формулам (4) и (5) с учетом коэффициентов концентрации напряжений, приведенных в табл. 1 и 2.
5.
После накопления числовой информации можно сделать более конкретный вывод о выборе рациональных параметров гофрирования
при заданном диаметре отверстия.
7
y
z
x
Рис. 1. Модель балки с гофрированной стенкой, ослабленной круговым
отверстием
A
hw
B (θ=900)
C (θ=450)
d r
θ
Нейтральная
ось
a
Рис. 2. Участок гофрированной стенки, ослабленный круговым отверстием
8
Ребро жесткости
1000
2000
P = 100кН
1
P = 100кН
1000
950
2
1050
6000
Отверстие
P = 100кН
1
2
P = 100кН
Эп. M
M1 =200 кНм
Эп. Q
M2 =105 кНм
Q1 = 0 кН
Q2 = 100 кН
Рис. 3. Расчетная схема балки с гофрированной стенкой
9
Таблица 1
d/hw
Коэффициент
f/a
концентрации
100/560
200/560
300/560
KσA
1,0
1,0
1,01
KσB
1,95
1,98
2,10
5/150
KσA
1,02
1,03
1,10
10/150
KσA
1,01
1,0
0,98
20/150
KσA
1,07
1,08
1,04
40/150
KσA
1,22
1,17
1,20
60/150
KσA
1,13
1,10
1,18
80/150
KσA
1,10
1,02
1,13
100/150
KσA
1,07
1,0
1,11
0
Табл. 1. Значения коэффициентов концентрации напряжений при
расположении отверстия в зоне чистого изгиба
10
Таблица 2
d/hw
Коэффициент
f/a
0
5/150
10/150
20/150
40/150
60/150
80/150
100/150
концентрации
100/560
200/560
300/560
KσA
1,0
1,0
1,01
KσB
1,97
2,09
2,08
KτС
2,03
2,45
3,27
KσA
1,03
1,08
1,0
KτС
2,27
3,01
3,66
KσA
1,09
1,06
1,07
KτС
2,38
3,32
4,29
KσA
1,05
1,01
1,04
KτС
2,45
4,01
6,87
KσA
1,11
0,97
1,07
KτС
2,46
4,31
8,74
KσA
1,11
1,07
1,15
KτС
2,23
4,36
9,30
KσA
1,05
0,93
1,06
KτС
2,08
4,03
10,30
KσA
1,14
1,06
1,32
KτС
2,28
4,48
12,0
Табл. 2. Значения коэффициентов концентрации напряжений при
расположении отверстия в зоне поперечного изгиба
11
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Расчет двутавровой балки с гофрированной стенкой на изгиб в своей
плоскости под действием статических нагрузок (Часть 1: Методика расчета) / Кудрявцев С.В.; ГОУ ВПО «Урал. гос. техн. ун-т - УПИ». Екатеринбург, 2007. 17 с.: ил. Библиогр.: 20 назв. Рус. Деп. в ВИНИТИ
20.07.07, № 749-В2007.
2. Peterson’s stress concentration factors / Walter D. Pilkey – 2nd ed. – New
York : John Wiley & Sons, 1997. – 524 p.
3. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных
зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. Книга 2 / Под ред.
А.А. Уманского. – М.: Изд-во литературы по строительству. 1973. – 417 с.
4. Максимов Ю.С. Исследование несущей способности стальных двутавровых балок с вертикально гофрированной стенкой / Ю.С. Максимов,
Г.М. Остриков, В.В. Долинский. // Строительная механика и расчет сооружений. – 1983. – № 1. – C. 68-70.
5. Расчет двутавровой балки с гофрированной стенкой на изгиб в своей
плоскости под действием статических нагрузок (Часть 2: Расчет методом конечных элементов) / Кудрявцев С.В.; ГОУ ВПО «Урал. гос. техн.
ун-т - УПИ». Екатеринбург, 2007. 11 с.: ил. Библиогр.: 11 назв. Рус.
Деп. в ВИНИТИ 20.07.07, № 750-В2007.
12