1. Развитие геометрии с древнейших времен до нашего времени

1. Развитие геометрии с древнейших времен до нашего времени
Мы завершаем курс геометрии основной школы. Он обладает полнотой в том смысле,
что в нем изложены важнейшие предложения элементарной геометрии, как планиметрические,
так и стереометрические. При этом планиметрию мы излагали систематически, ее теоремы
доказывали. А теоремы стереометрии мы, как правило, не доказывали, а лишь аргументировали
теми или иными наглядными соображениями. Эти теоремы будут доказаны в систематическом
курсе стереометрии в старших классах.
Мы надеемся, что вы поняли, сколь удивительно многообразна геометрия: в ней
сочетаются и строгость логических выводов, и живость наглядной картины, и польза
практических применений. Вот как говорил о геометрии, обращаясь к старшеклассникам,
академик А.Д.Александров:
“Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех
наук вообще, и заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со
строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и
организованное строгой логикой.
Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или
определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая
формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон, нет и
подлинной геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика - привилегия
науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины - “лед и пламень не столь
различны меж собой”. Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и
надо изучать: соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины - со строгими
формулировками и доказательствами.”
Древнейшая из наук - геометрия - развивается и обогащается новыми методами и
результатами уже более двух с половиной тысячелетий. С ее историей вы знакомились в
течение всего трехлетнего курса геометрии этом учебнике: вы узнали имена самых великих
геометрах Древней Греции - Фалеса, Пифагора, Евклида, Архимеда, узнали об их результатах.
В Древней Греции была создана классическая элементарная геометрия. А в истории такого
важного раздела геометрии как тригонометрия мы встречаемся и с главным произведением
знаменитого астронома древности Птолемея (2 век), и с открытиями средневековых ученых
Персии (Ирана) и Средней Азии, и с трудами крупнейшего ученого 18 века Леонарда Эйлера.
Новые идеи и методы обогатили геометрию и в 17 веке (метод координат Р.Декарта и
П.Ферма), и в 19 веке (векторный метод и теория преобразований). Именно тогда статичная
классическая геометрия стала динамичной.
Кардинальным переворотом не только в геометрии, но и в во всей математике, стало
открытие Николаем Ивановичем Лобачевским (1792 – 1856), Карлом Гауссом (1777 – 1855) и
Яношем Бойяи (1802 – 1860) неевклидовой геометрии. Если до середины 19 века была лишь
одна геометрия - евклидова геометрия, основы которой изложены в “Началах” Евклида, то в
середине этого века рядом с геометрией Евклида появилась еще одна геометрия - геометрия
Лобачевского. Затем возникли и другие геометрии: отделилась от евклидовой геометрии
проективная геометрия, истоки которой связаны с изображением на плоскости
пространственных фигур, сложилась многомерная геометрия, точки и векторы в которой
имеют любое число координат, и еще многие геометрии. Из науки о фигурах в одном
трехмерном евклидовом пространстве геометрия за какие-нибудь 40-50 лет превратилась в
совокупность разнообразных теорий, лишь в чем-то сходных со своей прародительницей геометрией Евклида.
Но в последние два-три столетия геометрия обогащалась не только такими теориями,
которые применяют достаточно сложные аналитические методы. Геометры стали замечать и
исследовать такие факты, которые, казалось бы, “лежали на поверхности” - их могли бы
увидеть и изучить и во времена Пифагора, но не увидели! Например, если вы у любого
выпуклого многогранника найдете сумму числа вершин и граней В+Г, а затем вычтете из него
число ребер Р, то получится, что
В+Г-Р=2!
(1)
Проверьте равенство (1) на призмах, пирамидах, правильных и полуправильных
многогранниках. Доказал
равенство (1) Эйлер средствами классической элементарной
геометрии, и эта теорема Эйлера стала одним из первых результатов еще одной ветви
геометрии - топологии (которая сейчас, по существу, отделилась от геометрии и является
самостоятельным разделом современной математики). В топологии изучают те свойства фигур,
которые сохраняются (инвариантны) при взаимно однозначных и взаимно непрерывных
преобразованиях фигур. Ясно, что если мы “раздуем” один из архимедовых многогранников
(рис.1, а) до сферической поверхности футбольного мяча (рис.1, б), то грани многогранника
станут областями на сфере - кусками покрышки мяча, его ребра станут сетью дуг на сфере, по
которым сшиты куски покрышки, а вершины станут точками на сфере, в которых сходятся
более двух дуг сети - узлами сети.
а)
б)
Рис.1
И число таких областей на сфере равно числу граней многогранника, число дуг сети
равно числу ребер многогранника, а число узлов сети равно числу вершин многогранника.
Поэтому равенство (1) верно не только для выпуклых многогранников, а и для тех сетей на
сфере, которые разбивают сферу на области, ограниченные одной замкнутой кривой.
Из равенства (1) можно вывести разнообразные следствия. Например, из него легко
вытекает, что существует всего пять типов правильных многогранников. Можно получить из
него (но сложнее) и классификацию полуправильных многогранников.
Еще один пример неожиданных фактов, обогативших современную геометрию. В
середине 19 века в геометрии появились односторонние поверхности. Первый пример такой
поверхности построил немецкий геометр Август Мёбиус (1790-1868). Он взял обыкновенную
прямоугольную полоску бумаги (рис.2, а), один раз ее “перекрутил” (рис.2, б), а затем “склеил”
(рис.2, в).
а)
б)
в)
Рис.2
Получившуюся поверхность называют “листом (или лентой) Мёбиуса”. (Склейте и вы
“лист Мёбиуса”.) Если полоску склеить, не перекручивая, то получится обычная боковая
поверхность цилиндра (рис.3, а), которую можно закрасить снаружи одной краской, а изнутри другой (рис.3, б).
а)
б)
Рис.3
Боковая поверхность цилиндра - двусторонняя. И все поверхности, которые мы до сих
пор рассматривали, - двусторонние. А “лист Мёбиуса” так, как боковую поверхность цилиндра,
двумя красками закрасить нельзя: начав красить его какой-либо краской, мы, не задевая его
края, закрасим весь “лист Мёбиуса” (рис.4).
Рис.4
“Лист Мёбиуса” - односторонняя поверхность. И еще на одно свойство “листа Мёбиуса”
обратим ваше внимание: его краем является одна замкнутая кривая (рис.5,а). А край боковой
поверхности цилиндра состоит их двух замкнутых кривых (рис.5,б).
а)
б)
Рис.5
То обстоятельство, что “лист Мёбиуса” - односторонняя поверхность имеет сейчас
разнообразные технические применения. Свойства “ленты Мёбиуса” мог бы применить и
Архимед, но он не обратил на них внимания (или мы об этом не знаем).
Сейчас, изучая различные поверхности, всегда выясняют (если это не ясно, из какихлибо соображений, заранее) является ли эта поверхность односторонней или двусторонней. Эти
свойства поверхностей также являются их топологическими свойствами.
Но, оказывается, можно расширять своё знакомство с геометрией и не покидая
элементарную геометрию, и даже оставаясь в одной из ее областей, например, в геометрии
треугольника. Мы изучали различные “замечательные точки” треугольника. Естественно
поставить вопрос, в каком случае отрезки АА1, ВВ1 и СС1, идущие из вершин треугольника АВС
до его противоположных сторон, проходят через одну точку (рис.6)?
Рис.6
Ответ на этот вопрос дает теорема, которую доказал в 1678 году итальянский математик
Джованни Чева (1648-1734). Эти отрезки проходят через одну точку тогда и только тогда, когда
выполняется равенство
AB1 CA1 BC1
(2)
∗
∗
= 1.
B1C A1 B C1 A
Получите из этого равенства известные вам теоремы о замечательных точках
треугольника и постарайтесь найти новые для вас утверждения. И до сих пор в геометрии
треугольника находят всё новые результаты.
Недаром знаменитый немецкий геометр Давид Гильберт (1862-1943) в предисловии
своей знаменитой книги “Наглядная геометрия”, обращаясь к ее читателю, написал: “Пусть
читатель прогуливается в огромном саду геометрии, в котором каждый может подобрать себе
такой букет, какой ему нравится”.