УДК 616.8 – 073.75 В. Т. Пустовойтенко, Г. А. Медведев

УДК 616.8 – 073.75
В. Т. Пустовойтенко, Г. А. Медведев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СООТНОСИТЕЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ САГИТТАЛЬНОГО
ДИАМЕТРА ПОЗВОНОЧНОГО КАНАЛА ПАЦИЕНТА
Возрастные изменения шейного отдела позвоночника являются одной
из актуальных проблем ортопедии, вертебрологии, неврологии, травматологии и нейрохирургии. Дегенеративные изменения позвоночника приводят к уменьшению размеров позвоночного канала, сдавлению спинного
мозга и развитию компрессионной цервикальной миелопатии. Выявлена
прямая зависимость между структурными изменениями шейного отдела
позвоночника и выраженностью неврологических расстройств при сужении (стенозе) позвоночного канала. При стенозе шейная миелопатия наблюдается чаще, чем при нормальных значениях позвоночного канала.
Решающим средством для оценки состояния позвоночного канала являются радиологические признаки. Первоначально оценка осуществляется по
рентгенограммам, при этом устанавливают степень дегенеративных изменений и диаметр позвоночного канала в миллиметрах. Величина переднезаднего (сагиттального) размера колеблется от 13 до 25 мм, в среднем составляя 17 – 18,5 мм. Цифры варьируют вследствие различной степени
проекционного увеличения рентгеновского изображения. Абсолютные
значения размеров позвоночного канала не всегда точны, так как зависят
от расстояния рентгеновская трубка – объект исследования, от ширины
плеч пациента, особенностей телосложения и др.
Предложено понятие «относительный диаметр» 1. Он рассчитывается как отношение передне-заднего диаметра позвоночного канала к передне-заднему размеру тела позвонка на этом же уровне. Диаметр тела позвонка измеряется по средней линии от передней до задней его поверхности. В норме относительный диаметр равен единице, меньшие значения
его показывают то или иное сужение позвоночного канала. Для более объективной оценки размера позвоночного канала мы предлагаем использовать длину шейного отдела позвоночника: расстояние от вершины зубовидного отростка второго шейного позвонка С2 до задне-нижнего края
седьмого позвонка С7. В таком случае получим соотносительный диаметр
позвонка в зависимости от длины шейного отдела позвоночника.
Рассмотрим возможность определения диаметра позвонков по измерениям длины шейного отдела. Предположим, что имеется совокупность N
наблюдений пар длина шейного отдела, диаметр позвонка. В дальней-
шем для краткости будем обозначать символом х длину шейного отдела и
символом у диаметр позвонка. Тогда имеющиеся для анализа наблюдения
составят выборку (хj, уj), 1  j  N . Здесь j – номер наблюдения.
Предполагается, что между длиной шейного отдела х и диаметром позвонков у имеется математическая зависимость у  f (х), пока неизвестная,
и задачей является найти эту зависимость при помощи имеющихся наблюдений. Поскольку наблюдениями являются пары чисел (хj, уj), то для общего анализа удобно выборку наблюдений представить на плоскости в координатах (х, у). На рисунке 1 показана выборка, состоящая из 203 наблюдений диаметров позвонков С2 в зависимости от длины шейного отдела.
Диаметр позвонка, у
30
25
20
15
50
75
100
125
150
175
200
225
Длина шейного отдела, х
Рисунок 1. Данные 203 наблюдений диаметров позвонков С2.
Из рисунка 1 ясно видно, что наблюдения не концентрируются вдоль
какой-либо линии, как было бы, если существовала бы взаимно однозначная математическая зависимость у  f (х), а образуют кластер в форме облака. В разных наблюдениях один и тот же диаметр позвонка соответствует различным длинам шейного отдела и наоборот. Это означает, что зависимость между длиной шейного отдела и диаметром позвонков является
случайной. Вместе с тем очевидна и тенденция возрастания диаметров позвонков с ростом длины шейного отдела. Поэтому естественно предположить, что зависимость между длиной шейного отдела и диаметром позвонков имеет как детерминированную (систематическую) компоненту f (х),
так и некоторую случайную компоненту . Так что более обоснованной зависимостью между длиной шейного отдела и диаметром позвонков является следующая у  f (х)  . Для выяснения степени систематической зависимости между наблюдениями на практике обычно используется коэффициент корреляции. В нашем случае коэффициент корреляции показывает долю (систематической) линейной связи между длиной шейного отдела
и диаметрами позвонков (при полной линейной зависимости коэффициент
корреляции равен 1). Дополнительная (до единицы) доля соответствует
случайной связи между длиной шейного отдела и диаметрами позвонков.
Коэффициенты корреляции между массивами хj, 1  j  N и уj, 1  j  N
выборки (хj, уj), 1  j  N вычисляются следующим образом. Пусть Х –
случайная величина (СВ), выборочные значения которой образуют выборку хj, 1  j  N, а Y – случайная величина, выборочные значения которой
образуют выборку уj, 1  j  N. Тогда коэффициент корреляции между Х
и Y вычисляется по формуле 2:
{Ковариация СВ X и Y )}

{Дисперсия СВ X }  {Дисперсия СВ Y }
N

1
  x j  N
j 1

N

1
  xk  N
k 1
N
N

1
x
 i  y j  N
i 1 
2
 N
 xi 
i 1 
N

y
 i 
i 1 

1
  y j  N
j 1
N

y
 i 
i 1 
2
.
Значения коэффициентов корреляции в последней строке таблицы 1
показывают, что систематическая зависимость объясняет не более 46,15%
информации (а для позвонков С4 только 30,9%), содержащейся в наблюдениях, а остальная часть объясняется случайной зависимостью.
В дальнейшем все числовые результаты будут представлены для выборки, состоящей из 203 наблюдений для шести шейных позвонков C2 
C7, то есть для каждого позвонка имеется выборка (хj, уj), 1  j  203 .
Описательная статистика этих выборок представлена в таблице 1.
Таблица 1.
Описательная статистика выборок наблюдений
Длина
Диаметры позвонков, у
шейного
C2
C3
C4
C5
C6
C7
отдела, х
Выборочное
148,53 23,82 20,81 19,79 19,34 19,05 18,86
среднее (мм)
Стандартное
15,56
2,74
2,67
2,69
2,68
2,46
2,29
Отклонение (мм)
Выборочная
242,08
7,50
7,14
7,25
7,20
6,03
5,22
дисперсия
Минимум (мм)
74
15
13
12
12
12
11
Максимум (мм)
216
31
28
27
27
27
25
Разброс (мм)
142
16
15
15
15
15
14
Коэффициент
0,4384 0,3106 0,3090 0,3213 0,3458 0,4615
корреляции
Поскольку случайные отклонения  диаметра позвонков у от систематической компоненты f(х) непредсказуемы, то они будут вносить ошибки
при расчете диаметра позвонков через длину шейного отдела по формуле
f(х). Будем искать такую функцию f (х), чтобы эти ошибки были минимальными. Для этого воспользуемся часто применяемым при статистической обработке методом наименьших квадратов 3. В этом методе сначала
задается функция f (х) с точностью до коэффициентов, а затем эти коэффициенты определяются таким образом, чтобы минимизировать ошибку.
Выберем функцию f (х) в наиболее простой форме: f (х)  ах. Здесь а –
коэффициент, подлежащий определению с помощью имеющейся выборки
наблюдений (хj, уj), 1  j  N . Для наблюдения с номером j ошибка определяется величиной разности уj  f (хj)  уj  ахj. В методе наименьших
квадратов такие ошибки возводятся в квадрат, после чего эти квадраты
суммируются по всем элементам выборки и коэффициент а выбирается таким образом, чтобы полученная сумма квадратов была минимальной. То
есть относительно коэффициента а надо решать уравнение
1
N
N
( y
j
минимум.
 ax j ) 2 

a
j 1
Отсюда следует, что коэффициент а находится из уравнения
N
a
N
N

x 2j 

j 1
N

x j y j  0, то есть а 
xj yj
x
j 1
j 1
2
j.
j 1
Такой выбор коэффициента а обеспечивает минимальную суммарную
квадратичную ошибку, вычисляемую по формуле:

( y j  ax j )2 
y 2j  

j 1
j 1

N
N



xj yj 

j 1

N
2

N
x
2
j.
j 1
Абсолютная ошибка определения диаметра позвонка через длину
шейного отдела по формуле f (х) для наблюдения (хj, уj) вычисляется по
формуле уj  ахj, а относительная ошибка (в процентах) применения этой
формулы вычисляется по формуле
| y j  ax j |
yj
 100% .
Так что средние значения абсолютной и относительной ошибок вычисляются по формулам
1
N
N

j 1
| y j  ax j |
и
1
N
N

j 1
| y j  ax j |
yj
100%
Таким образом, простая пропорциональная оценка имеет вид:
Диаметр шейного позвонка у =
= Коэффициент аДлина шейного отдела х
Для разных позвонков в этой формуле нужно использовать разные коэффициенты. Значения этих коэффициентов, вычисленные по 203 наблюдениям, приводятся в таблице 1. В этой же таблице приводятся средние абсолютные ошибки (в мм) и средние относительные ошибки (в %) при использовании такой оценки.
Таблица 2.
Параметры и точности пропорциональной оценки
Коэффициент
Позвонок
пропорциональности а
C2
C3
C4
C5
C6
C7
0,159
0,139
0,132
0,129
0,127
0,126
Средняя
Средняя
абсолютная относительная
ошибка (в мм) ошибка (в %)
2,198
9,35
2,235
10,84
2,209
11,35
2,119
11,11
1,947
10,31
1,702
9,06
Заметим, что минимизируемая сумма квадратов имеет смысл оценки
дисперсии ошибок. (Дисперсия – это величина, которая характеризует точность оценивания: чем меньше дисперсия, тем точнее результат оценивания.) Корень из дисперсии ошибок называется стандартной ошибкой и используется также для определения точности.
1 N
Дисперсия пропорциональной оценки 
( y j  ax j ) 2 .

N j 1
Стандартная ошибка пропорциональной оценки 
1
N
N
 ( y j  ax j ) 2 .
j 1
Для рассматриваемой выборки из 203 наблюдений диаметров шейных
позвонков в зависимости от длины шейного отдела, получаются результаты, представленные в таблице 3.
Таблица 3.
Дисперсия и стандартная ошибка пропорциональной оценки
Позвонки
C2 C3 C4 C5 C6 C7
Дисперсия оценки
7,68 8,21 8,05 7,76 6,58 4,92
Стандартная ошибка оценки (мм) 2,77 2,87 2,84 2,79 2,56 2,22
В качестве примера данные таблицы 2 для позвонка С2 иллюстрируются рисунком 2. На этом рисунке маркерами представлены данные 203
наблюдений. Прямой линией показаны значения пропорциональной оценки диаметра позвонка по данным измерения длины шейного отдела.
Диаметр позвонка С2, y
30
25
20
15
10
50
75
100
125
150
175
200
225
Длина шейного отдела, x
Рисунок 2. Наблюдения диаметров позвонков С2 и их оценка
Как мы убедились, между длинами шейного отдела и диаметрами
шейных позвонков зависимость преимущественно случайная. Поэтому
представляет интерес выяснить вероятностные свойства длин шейного отдела и диаметров шейных позвонков. Основной характеристикой случайной величины является распределение вероятностей ее значений. На практике оценкой такого распределения вероятностей является гистограмма
4. Гистограмма, приведенная на рисунке 3, показывает частоту встречаемости тех или иных значений случайной длины шейного отдела при ее неоднократных наблюдениях.
37
34
24 25
19
13
4
1 1
10
4 5
1
3
1 1
1
1
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
1
17
Интервалы длин шейного отдела
Рисунок 3. Частота встречаемости длины шейного отдела
по 203 наблюдениям.
На гистограмме рисунка 3 частота встречаемости значения длины
шейного отдела показана в интервалах шириной 5 мм по результатам 203
наблюдений. Числа (в мм), приведенные внизу рисунка, относятся к правым концам интервалов, под которыми они указаны.
В таблице 4 представлены данные для построения гистограмм частот
наблюдения диаметров шейных позвонков C2 – С7.
Таблица 4.
Частота встречаемости диаметров шейных позвонков
на основе 203 наблюдений
Диаметр Частота встречаемости диаметров шейных
позвонка
позвонков на основе 203 наблюдений
(мм)
C2
C3
C4
C5
C6
C7
11
1
12
1
3
2
13
1
1
2
1
2
14
3
2
2
15
1
5
7
7
7
7
16
1
3
5
12
15
13
17
1
12
17
20
25
26
18
3
19
33
43
32
42
19
4
13
27
18
35
32
20
18
46
41
35
34
40
21
11
30
16
26
21
17
22
19
23
16
8
7
6
23
31
18
17
18
17
8
24
26
15
10
3
3
4
25
35
9
4
5
3
26
23
5
4
2
27
13
2
1
1
2
28
10
2
29
4
30
2
31
1
Разброс 16 мм 15 мм 15 мм 15 мм 15 мм 14 мм
Данные, представленные в таблице 4 говорят о том, что диаметры
шейных позвонков располагаются в интервалах значений примерно одинаковой длины (в среднем 15 мм). Однако по абсолютной величине в среднем диаметр позвонка уменьшается с ростом его номера от С2 до С7. Это
видно из таблицы 1 (см. первую строку этой таблицы).
Таким образом, нами проанализирована наблюдаемая на практике более чем на половину случайная зависимость между длиной шейного отдела
позвоночника и диаметрами шейных позвонков С2 – С7 (см. таблицу 1).
Показано, что диаметр позвонков не обязательно измерять по рентгенограммам, а можно оценивать с помощью измерений длины шейного отдела
позвоночника, что является более простой процедурой. Это можно делать,
в частности, с помощью пропорциональной оценки (см. таблицу 2).
На основании изложенного можно сделать следующие выводы:
1. Зависимость между длиной шейного отдела и диаметром позвонков
является, в основном, случайной, так как систематическая компонента
объясняет не более 50% этой зависимости (см. таблицу 1).
2. Характер случайности характеризуется гистограммами частот встречаемости длин шейного отдела и диаметров шейных позвонков, характеризующие их вероятностные свойства (см. рисунок 3 и таблицу 4).
3. Предложен достаточно простой способ определения соотносительного
диаметра позвонков, обеспечивающий среднюю точность оценивания
около 2 мм (см. таблицу 2).
1.
2.
3.
5.
Литература
Pavlov H., Torg J. S., Robie B. Jahre C. Cervical spinal stenosis: determination with vertical body ratio method // Radiology, 1987, V. 164, P. 771 –
775.
Справочник по прикладной статистике. Том 1. / Под ред. Э. Ллойда и У.
Лидермана. – М.: Финансы и статистика, 1990. – 510 с.
Медведев Г. А., Морозов В. А. Практикум на ЭВМ по анализу временных рядов. – Минск: Университетское, 2001.  192 с.
Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.
Республиканский научно-практический центр
травматологии и ортопедии.
Белорусский государственный университет.