( ) u

Поперечные колебания бесконечной одноатомной цепочки
…
↑ ur–1
↑ ur
↑ ur+1
m
m
m
r–1
r
r+1
|← L →|
…
В приближении закона Гука сила, действующая на r-й атом:
Fr = f ⊥ ( ur +1 − ur ) − f ⊥ ( ur − ur −1 ) = f ⊥ ( ur +1 + ur −1 − 2ur )
Здесь f ⊥ – поперечная силовая постоянная (только соседние связи).
Уравнение Ньютона для r-го атома:
m ( d 2ur dt 2 ) = f ⊥ ( ur +1 + ur −1 − 2ur ) , r = … − 2, − 1, 0, 1, 2 …
Как и при рассмотрении продольных смещений, ищем решение в виде
монохроматической волны (нормальное колебание):
ur ( t ) = Ae (
i krL −ωt )
(ω – частота волны, k – волновое число: k = 2π
λ , λ – длина волны)
Подставляем в уравнение Ньютона и сокращаем ur ≠ 0 и получаем закон
дисперсии частоты ω = ω ( k ) (с учетом ω > 0 ):
⊥
ω ⊥ ( k ) = ωmax
sin ( kL 2 )
,
⊥
ωmax
= 2 f⊥ m
Снова имеем непрерывный спектр колебаний (зону) ∀ω ∈ ⎡ 0,
⎣
При малых k ( kL
•
⊥
где cs = L
⊥ ⎤
ωmax
⎦
⊥
sin ( kL 2 ) ≈ cs⊥ k ,
1): ω ⊥ ( k ) = ωmax
f ⊥ m – поперечная скорость звука
Полная дисперсионная диаграмма одноатомной цепочки с учетом
продольных и поперечных колебаний ( f = 4 f ⊥ ):
ω
−π L
0
k
→
π L
L – продольная ветвь (longitudinal), T – поперечная (transversal)
[−π
L ; π L ] – первая зона Бриллюэна (ЗБ).
В случае двухатомной цепочки аналогично можно выделить четыре ветви
дисперсии: продольную и поперечную акустические ветви (LA, TA), а
также продольную и поперечную оптические ветви (LO, TO):
ω
−π 2 L
0
LO
k
→
π 2L
•
первая ЗБ: [ − π 2 L ;
π 2 L ] (т.к. период цепочки равен 2L).
•
спектр частот состоит из трех зон (TA+LA, TO, LO), которые при
определенных соотношениях параметров могут перекрываться.
Плотность состояний (density of states, DOS)
Рассмотрим число колебаний (нормальных мод), приходящихся на
интервал значений волнового числа ( k , k + dk ) в одноатомной цепочке:
dN (k ) = g ( k ) dk
Здесь g ( k ) – плотность состояний.
При каждом k ≠ 0 имеются две волны (+k и –k) ⇒ g ( k ) = const
Удобно нормировать ее на длину звена цепочки и на «единицу длины»
зоны Бриллюэна (аналог нормировки на фазовый объем в статистике):
2 dk
dk
=
dN (k ) =
L ( 2π / L ) π
⇒
g (k ) =
1
π
π /L
Тогда :
1 2π 2
∫ dN (k ) = ∫ g ( k ) dk = π L = L
−π / L
Можно выразить плотность состояний через частоту:
dN = g (ω ) dω = g ( k ) dk
⇒
dk 1 dk
=
g (ω ) = g ( k )
d ω π dω
Подставляя закон дисперсии для одноатомной цепочки (k > 0):
ω ( k ) = ωmax sin ( kL 2 )
2
⇒ k (ω ) = arcsin (ω ωmax ) ⇒
L
dk
2
=
2
dω Lω
max 1 − ( ω ωmax )
⇒
g (ω ) =
2
π Lωmax 1 − (ω ωmax )
2
Видно, что плотность состояний имеет особенность на верхнем пределе
частоты (на границе зоны Бриллюэна) – обращается в бесконечность.
Типичные примеры особенностей плотности состояния для простой
трехмерной кубической решетки с различными параметрами.
Montroll E.W., Potts R.B., Phys. Rev. 100, 525 (1955)