Поляков Янукович Сб вопр и задач по мех 5гидромеханика

5. ГИДРОМЕХАНИКА
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Краткая теория и методические указания
Во многих задачах гидромеханики используется приближение
идеальной жидкости, т. е. абсолютно невязкой и абсолютно
несжимаемой.
В задачах, связанных с определением гидростатического давления,
используется закон Паскаля и следствия из него. Сделав схематический
чертеж, нужно изобразить на нем уровни, занимаемые жидкостью по
условию задачи. Поверхность нулевого уровня выбирается так, чтобы
она проходила по самой нижней границе раздела сред. Затем на
основании следствия из закона Паскаля составляют уравнение
равновесия жидкости. Если по условию задачи происходит переливание
жидкости из одной части сосуда в другую, то к данному уравнению
можно добавить условие несжимаемости жидкости ∆V1 = ∆V2 , где ∆V1 и
∆V2 – соответственно уменьшение объема жидкости в одной части
сосуда и увеличение его в другой части. Затем составленную систему
уравнений решают относительно искомой величины.
Задачи на равновесие тел в жидкости или газе решают по такому же
плану, как и задачи на статику с учетом силы Архимеда.
Если по условию задачи тело движется с постоянным ускорением в
жидкости или газе, нужно составить уравнение движения на основании
второго закона Ньютона и решать как задачу по динамики.
Стационарным называется такое течение жидкости, при котором в
любом сечении выделенного объема скорость жидкости остается
постоянной. Для стационарного движения идеальной жидкости имеет
ρv 2
место уравнение Бернулли: p + ρgh +
= const, где p – статическое
2
давление; ρgh – гидростатическое давление; ρv 2 2 – динамическое
давление. Из уравнения Бернулли следует, что скорость вытекания
жидкости из малого отверстия равна v = 2 gh , где h – высота
поверхности жидкости над отверстием (формула Торричелли). Так как
через любое поперечное сечение трубы проходят равные объемы
жидкости, то S1v1 = S 2v2 , где v1 и v2 – скорости жидкости в двух
136
сечениях трубы площадью поперечного сечения S1 и S 2 . Данное
выражение называется уравнением неразрывности для несжимаемой
жидкости.
Всем реальным жидкостям и газам присуще внутреннее трение
(вязкость). Сила трения между слоями вязкой жидкости определяется
законом Ньютона, и модуль этой силы определяется площадью
соприкосновения двух соседних слоев S с различной скоростью,
градиентом скорости движения жидкости в направлении, нормальном к
течению (вдоль радиуса) dv / dr и коэффициентом пропорциональности,
называемой динамической вязкостью жидкости η. Скорость частиц
жидкости изменяется от нуля вблизи стенок трубы до максимума на ее
оси. Жидкость при этом оказывается как бы разделенной на тонкие
цилиндрические слои, которые скользят относительно друг друга не
перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным. В этом случае
закон изменения скорости вдоль радиуса R трубы имеет вид
2
v = v0 1 − ( r / R )  , где υ0 – скорость жидкости на оси трубы при r = 0 ;


r – текущее расстояние вдоль радиуса ( 0 ≤ r ≤ R ).
Объемный расход жидкости при ламинарном течении в
цилиндрической трубе радиусом R определяется формулой Пуазейля.
Два физических процесса называются подобными, если они
подчиняются одним и тем же физическим законам. При этом величины,
характеризующие подобные явления, получаются путем умножения их
на так называемые числа подобия – безразмерные величины, одинаковые
для всех однородных величин. В частности, характер течения жидкости
определяется значением безразмерной величины, носящей название
числа Рейнольдса Re . Число Re характеризует соотношение между
силами трения и давления. При малых значениях числа Re течение
носит ламинарный характер. Начиная с некоторого значения,
называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер.
При определении сил, действующих на тело в потоке жидкости или
газа, число Re также служит критерием подобия. Так, при небольших
значениях числа Re , когда сопротивление жидкости или газа
обусловлено только силами трения, модуль силы сопротивления среды
движению тела описывается формулой Стокса, линейно зависящей от
скорости тела.
Основные законы и формулы
Скалярная физическая величина, равная отношению модуля силы F,
137
действующей перпендикулярно поверхности,
поверхности, называется давлением:
p=
к площади
S этой
F
.
S
Гидростатическое давление внутри жидкости на глубине h
p = ρgh,
где ρ – плотность жидкости.
Полное давление внутри покоящейся жидкости на глубине h
pп = p0 + ρgh ,
где p0 – атмосферное давление.
Уравнения гидростатики Эйлера
ax −
1 ∂p
1 ∂p
1 ∂p
= 0, a y −
= 0, az −
= 0.
ρ ∂x
ρ ∂y
ρ ∂z
где ρ – плотность жидкости, a x , a y , a z – ускорения, которые способны
сообщить массовые силы.
Закон Паскаля
z+
p
= const,
γ
где z – геометрическая высота, p γ – пьзометрическая высота, γ = g ρ –
удельный вес жидкости.
В сообщающихся сосудах с двумя жидкостями, имеющими разную
плотность, высоты столбов жидкостей над уровнем из раздела обратно
пропорциональны их удельным весам
h2 γ1
.
=
h1 γ 2
Сила Архимеда, приложенная к центру масс вытесненной телом
жидкости (или газа) и направленная по нормали к открытой поверхности
жидкости
FA = ρж gVт ,
где ρж – плотность жидкости, Vт – объем погруженной в эту жидкость
часть тела.
Уравнение Бернулли
ρgh + p +
ρv 2
= const,
2
где ρ – плотность жидкости, v – скорость движения жидкости в данном
138
сечении трубы, h – высота данного сечения трубы над некоторым
уровнем, p – давление.
Формула Торричелли
v = 2 gh .
Сила вязкого трения– формула Ньютона
Fтр = ηS
dv
,
dr
где η – коэффициент трения жидкости или газа (динамическая вязкость),
S – площадь взаимодействующих слоев, dv / dr – градиент скорости в
направлении, перпендикулярном направлению движения жидкости.
Формула Стокса
Fc = k ηυl ,
где k – коэффициент пропорциональности, определяемый формой тела;
υ – скорость движения тела в жидкости; l – характерный размер тела.
Для движения тела в форме шара l = R (радиус шара), k = 6π , формула
Стокса принимает вид:
Fc = 6πηRv ,
где R – радиус шарика, v – скорость шарика.
При ламинарном движении объем жидкости (газа), протекающий за
время t через капиллярную трубку радиусом r и длиной l , определяется
формулой Пуазейля
πr 4t ∆p
,
V=
8l η
где ∆p – разность давлений на концах трубки.
Характер движения жидкости (газа) определяется безразмерным
числом Рейнольдса
Re =
Dvρ Dv
,
=
η
ξ
где D – величина, характеризующая линейные размеры тела,
обтекаемого жидкостью (газом), v – скорость течения. Отношение
ξ = η / ρ называется кинематической вязкостью.
Контрольные вопросы
1. В сообщающихся сосудах находится вода. Затем в один из них
помещают кусок дерева. Станут ли различаться при этом уровни воды в
сосудах?
139
2. На чашках равноплечих весов стоят два одинаковых стакана, до
краев наполненные водой. В одном стакане плавает кусок пенопласта, а в
другом – кусок дерева. Будут ли уравновешены весы?
3. Кусок льда, содержащий пузырек воздуха, плавает в стакане с
водой. Изменится ли уровень воды в стакане, если лед растает?
4. Кусок льда, содержащий свинцовую пулю, плавает в стакане с
водой. Изменится ли уровень воды в стакане, если лед растает?
5. К равноплечим весам подвешены алюминиевый и медный грузы,
имеющие одинаковые массы. Нарушится ли равновесие весов, если
грузы полностью погрузить в воду?
6. Медная кружка плавает в сосуде с водой. Изменится ли уровень
воды в сосуде, если кружка опрокинется и утонет?
7. В сосуде с водой плавает шарик, наполовину погруженный в воду.
Какое ускорение необходимо сообщить сосуду, чтобы шарик полностью
погрузить в воду?
8. В сосуд с водой одновременно опускаются медный и алюминиевый
шарики одинаковой массы. Какой из них упадет на дно раньше?
9. Сформулируйте уравнение неразрывности.
10. Показать, что при установившемся течении идеальной жидкости
для любой трубки тока выполняется соотношение ρv1dS1 = ρv2dS2 , где ρ –
плотность жидкости, v1 и v2 - скорости жидкости в торцевых сечениях
трубки, площади которых dS1 и dS2 соответственно.
11. Запишите уравнение Бернулли.
12. Какую силу сопротивления испытывает падающий в вязкой
жидкости или газе шарик?
13. Для какого движения справедлив закон Стокса?
14. Выведите формулу Торричелли.
Примеры решения задач
Задача 1
Шар диаметром 1 м плавает в воде ( ρ = 1000 кг/м3), погрузившись в
нее на 20 см. Найти минимальную работу, которую надо совершить,
чтобы погрузить шар в воду до диаметральной линии.
Решение.
В качестве исходного (нулевого) положения шара примем его
равновесное положение 1 (рис. 5.1), когда он погружен на глубину h, а
сила Архимеда FA1 уравновешена силой тяжести mg . При погружении
шара до диаметральной линии внешняя сила совершает работу против
140
возрастающей силы Архимеда на
пути в пределах от 0 до ( R − h ) .
Сила
тяжести
будет
способствовать
погружению.
Поэтому искомая работа будет
равна
Рис. 5.1
2
R −h
1
0
A12 = ∫ dA = ∫ Fy dy ,
(5.1)
где Fy = FAy 2 − mg – выталкивающая сила при погружении шара от
первоначального положения (глубина h ) до глубины h + y; FAy 2 = ρV y g –
сила Архимеда при погружении шара до глубины ( h + y ) .
Объем V y погруженной части шара будет равен объему шарового
сегмента высотой h + y. Тогда в соответствии с рисунком запишем:
π(h + y)
Vy =
3R − ( h + y )  .
3
2
Силу тяжести mg определим из условия равновесия шара в воде до
начала погружения:
mg = FA1.
Поскольку FA1 = ρV1g , то сила тяжести шара будет равна:
mg = ρV1g ,
πh 2
( 3R − h ) – объем погруженного в воду шарового сегмента
3
высотой h.
где V1 =
С учетом сказанного, выталкивающая сила при погружении шара до
глубины h + y будет равна:
{
}
πρg
( h + y )2 3R − ( h + y )  − h2 ( 3R − h ) =
3
πρg 
2
3
=
3R ( h + y ) − ( h + y ) − h 2 ( 3R − h )  .


3 
Fy =
Следовательно, искомая работа A12 в соответствии с выражением
(5.1) будет равна:
R−h
R −h

πρg  R − h
2
3
2
A12 =
3
R
h
+
y
d
y
−
h
+
y
d
y
−
h
3
R
−
h
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫ dy  =

3 
0
0
0

141

3
πρg  ( h + y )
=
3R
3 
3

R −h
0
(h + y)
−
4
4 R−h
− h ( 3R − h ) y
2
R −h
0
0

=



πρg   R 3 h3   R 4 h 4  2
− −
−  − h ( 3R − h )( R − h )  =
3R 
3   3
3   4
4 

=
=
πρg  4
4 R − 4 Rh3 − R 4 + h 4 − 4h 2 ( 3R − h )( R − h )  =

12 
πρg  4
=
3R − 4 Rh3 + h 4 − 4h 2 ( 3R − h )( R − h )  =

12 
{
)}
(
πρg
3R 4 − h 2  4 Rh − h 2 + 4 3R 2 − Rh − 3Rh + h 2  =


12
πρg
=
3R 4 − h 2  4 Rh − h 2 + 12 R 2 − 4 Rh − 12 Rh + 4h 2  =


12
πρg
=
3R 4 − 3h 2  4 R 2 − 4 Rh + h 2  =


12
=
{
}
{
=
}
3πρg  4
πρg  4
2
2
R − h 2 ( 2 R − h )  =
R − h 2 ( 2 R − h )  .




12 
4 
Подставляем численные данные из условия задачи:
A12 =
3,14 ⋅103 ⋅10  4
2
2
0,5
−
0,
2
2
⋅
0,5
−
0,
2
≈ 300 Дж.
(
)


4
Ответ: A12 = 300 Дж.
Задача 2
Из брандспойта с выходным сечением 1,0 см2 бьет вертикально вверх
струя жидкости, расход которой составляет 1,0 л/с. Найти площадь
поперечного сечения струи на высоте 3,2 м над концом брандспойта.
Решение.
Объемный расход жидкости для первого и второго сечения с учетом
уравнения неразрывности
QV = v1S1 = v2 S 2 ,
(5.2)
откуда искомая площадь
S2 =
QV
.
v2
(5.3)
Скорость во втором сечении определим из уравнения Бернулли.
Считая, что атмосферное давление у выходного отверстия брандспойта и
142
на высоте h одинаково ( p1 = p2 = p ), для первого и второго сечений
запишем:
v12
p
v2
p
,
+
= 2 +h+
2 g ρg 2 g
ρg
откуда
v2 = v12 − 2 gh .
Тогда, подставляя полученное выражение в формулу искомой
величины (5.3) с учетом v1 = QV / S1 (согласно (5.2)), получаем
S2 =
QV
v12 − 2 gh
=
QV
.
2
 QV 

 − 2 gh
S
 1 
Подставляем численные данные из условия задачи:
S2 =
10−3
2
 10−3 
 −4  − 2 ⋅10 ⋅ 3, 2
 10 
= 1, 7 см2.
Ответ: S 2 = 1,7 см2.
Задача 3
Если в бак цилиндрической формы с площадью основания 20 м2 и
объемом 400 м3 налита жидкость и он имеет в дне отверстие площадью
9,2 ⋅ 10–4 м2, Найти время, необходимое для полного опустошения бака.
Решение.
Очевидно, что скорость вытекания воды в отверстие v2 будет уменьшаться по мере падения уровня воды в баке. По
этой причине объемный расход QV = S2v2 также
будет величиной изменяющейся. Выделим элемент
толщиной dy , находящийся на высоте y от дна бака
и имеющий объем dV = S1dy (рис. 5.2). Тогда время
h0
опустошения бака найдем как интеграл ∆t = ∫ dt ,
0
где
опустошения
объема
dt – время
dV ,
находящегося на высоте y от дна бака. Объемный
расход, с одной стороны, равен QV = S2v2 , а с
другой стороны, QV = dV / dt . Скорость v2
143
Рис. 5.2
определим, пользуясь уравнением Бернулли для сечений S1 и S 2 :
ρgy =
ρv22
,
2
откуда интересующая нас скорость
υ2 = 2gy .
Тогда, приравнивая выражения для расхода, можем записать:
S1dy
= S2 2 g y1/ 2 ,
dt
откуда
dt =
S1
y −1/ 2dy.
S2 2 g
Подставляя это выражение в формулу искомой величины, получаем
h0
S1 h0 −1/ 2
S1
∆t = ∫ dt =
dy =
⋅ 2 y1/ 2
∫ y
S2 2 g 0
S2 2 g
0
h0
0 =
2 S1 h0
S2 2 g
=
S1
S2
2h0
,
g
или, с учетом того, что h0 = V0 / S1 , запишем окончательное выражение
искомой величины в следующем виде:
∆t =
S1
S2
2V0
1
=
gS1 S2
2S1V0
.
g
Подставляем численные данные:
∆t =
Ответ: ∆t ≈ 12 часов.
1
9,2 ⋅10−4
2 ⋅ 20 ⋅ 400
≈ 12 часов.
9,8
Задача 4
Дождевая капля диаметром 0,6 мм (ρ1 = 1000 кг/м3) падает в воздухе
(ρ2 = 1,3 кг/м3, η = 10–5Па ⋅ с). Найти наибольшую скорость, которая она
может достичь.
Решение.
r
При начале падения капли под действием силы тяжести mg ,
r
v , возрастает сила
направленной вниз, по мере увеличения ее скорости
r
сопротивления движению капли в воздухе Fст , направленной вверх.
Соответственно, уменьшается ускорение rкапли, но ее скорость
продолжает увеличиваться, а значит и сила Fст , до тех пор, пока сумма
r
r
r
Fст и силы Архимеда FA не станет равной mg . . В этот момент ускорение
капли становится равной нулю, а скорость становится постоянной. В
проекциях на ось OY можно записать:
144
Fст + FА − mg = 0.
(5.4)
При выполнении условия (5.4) скорость капли будет максимальной.
Модуль силы сопротивления в соответствии с формулой Стокса для
шара радиусом R имеет вид:
(5.5)
Fст = 6πηvR.
Модуль силы Архимеда записывается следующим образом:
4
FА = ρ2 gV = πR3ρ2 g ,
3
(5.6)
4
3
где V = πR 3 – объем капли в виде шара.
Наконец, модуль силы тяжести
mg = ρ1gV =
4 3
πR ρ1g .
3
(5.7)
Подставляя выражения (5.5)–(5.7) в уравнение (5.4), получаем:
4
4
6πηRv + πR3ρ2 g − πR3ρ1g = 0.
3
3
Проведя необходимые преобразования, запишем:
9ηv + 2 R 2ρ2 g − 2 R 2ρ1g = 0 ,
Откуда
v=
выражение
2 R ( ρ1 − ρ2 ) g
≈20 м/с.
9η
для
искомой
скорости
примет
вид:
2
Ответ: v =
2 R 2 ( ρ1 − ρ2 ) g
9η
≈20 м/с.
Задача 5
В дне цилиндрического сосуда диаметром D = 0,5 м
имеется круглое отверстие диаметром d = 1 см (рис. 5.3).
Найти зависимость скорости понижения уровня воды в
сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой
скорости для высоты h = 0, 2 м. Воду считать идеальной
несжимаемой жидкостью.
Рис. 5.3
Решение.
πD 2
. Скорость понижения
4
воды в сосуде – это скорость течения жидкости v1 в сечении S1 . Площадь
Площадь поперечного сечения сосуда S1 =
145
πd 2
поперечного сечения отверстия S 2 =
. Скорость вытекания воды из
4
отверстия – это скорость течения жидкости v2 в сечении S 2 . Согласно
уравнению Бернулли:
ρv12
ρv 2
+ ρgh = 2 .
2
2
Так как плотность воды постоянна, что следует из условия о ее
несжимаемости, уравнение Бернулли можно переписать:
v12 + 2 gh = v22 .
Используем уравнение неразрывности струи жидкости:
v1S1 = v2 S2 .
Отсюда найдем зависимость v2 = v1
S1
. Подставим данное выражение в
S2
уравнение Бернулли и получим:
v1 =
Так как d 4 =
S 2 2 gh
S12
− S 22
=
d 2 2 gh
D −d
4
D 4 , то приближенно v1 =
4
.
d 2 2 gh
. Отметим, что если
D2
d = D, то v1 = 2 gh . При h = 0, 2 м скорость v1 = 0,8 мм/с.
Ответ: v1 =
d 2 2 gh
D2
, v1 = 0,8 мм/с.
Задача 6
По трубе длиной 10 м течет вязкая жидкость (η = 10–3 Па ⋅ с) со
скоростью 2 м/с вдоль оси потока. Найти силу трения, которую
испытывает труба со стороны жидкости.
Решение.
Сила трения, которую испытывает труба со стороны жидкости, в
соответствии с законом Ньютона будет равна:
Fтр = −ηS
где
S = 2πRl – площадь
стенки
dv
,
dr
трубы;
(5.8)

r2 
v = v0 1 − 2  – зависимость
 R 


изменения скорости вдоль радиуса трубы, v0 – скорость жидкости на оси
146
трубы при r = 0, R – радиус трубы, произвольное расстояние вдоль
радиуса ( 0 ≤ r ≤ R ).
Определим значение градиента скорости жидкости на стенке трубы
(при r = R):
dv d  
r 2 
2v
 2r 
= v0  1 − 2   = v0  − 2 
=− 0 .


dr dr   R  
R
 R  r=R
Подставим полученные выражения площади S и градиента dv/dr в
выражение (5.8) искомой величины:
 2v 
Fтр = −η2πRl  − 0  = 4πηlv0 =0,25 Н.
 R 
 2v 
Ответ: Fтр = −η2πRl  − 0  = 4πηlv0 =0,25 Н.
 R 
Задача 7
В боковую поверхность сосуда, стоящего на столе, вставлен
горизонтальный капилляр с внутренним радиусом 1 мм и длиной 4,5 см
на высоте 80 см от дна сосуда, а в сосуд налито машинное масло
( ρ = 900 кг/м3,
η = 0,5 Па ⋅ с), уровень которого поддерживается
постоянным на высоте 1 м выше капилляра. Найти расстояние по
горизонтали, на которое улетает струя масла от сосуда.
Решение.
Так как при неизменном уровне h1
масла
над
капилляром,
модуль
скорости v0 вытекания струи из
капилляра будет неизменным, а
направление ее горизонтальным, то
искомое расстояние равно:
l = L + v0t ,
(5.9)
где t – время полета струи от конца
Рис. 5.4
капилляра до горизонтальной поверхности.
Вдоль вертикальной оси OY струя проходит пуль h2 под действием
ускорения свободного падения g = const без начальной скорости (т. к.
r
скорость v0 направлена горизонтально, то вертикальная ее составляющая
равна нулю). Следовательно, указанный путь будет равен:
gt 2
,
h2 =
2
Откуда время полета:
147
2h2
.
g
t=
(5.10)
Модуль скорости вытекания масла из капилляра v0 определим из
следующих соображений. По уровню неразрывности объемный расход
QV = Sv0 = πR 2v0 .
С другой стороны, в соответствии с формулой Пуазейля, объемный
расход вязкой жидкости, протекающей через капиллярную трубку
QV =
πR 4 ∆p
,
8ηL
где ∆p = ρgh1 – гидравлическое давление масла над капилляром.
Приравнивая выражения для расхода, получаем
πR 4ρgh1
πR v0 =
,
8ηL
2
откуда скорость
v0 =
ρgh1R 2
.
8ηL
(5.11)
Подставив выражение (5.10) и (5.11) в искомую величину (5.9), получим
ρgh1R 2 2h2
ρh1R 2
l = L+
⋅
= L+
2 gh2 = 6,5 см.
8ηL
g
8ηL
ρgh1R 2 2h2
ρh1R 2
Ответ: l = L +
⋅
= L+
2 gh2 = 6,5 см.
8ηL
g
8ηL
Задача 8
Железный шарик ( ρ1 = 7,9 ⋅103 кг/м3) диаметром 5,0 мм падает в
касторовом масле ( ρ2 = 0,9 ⋅102 кг/м3, η = 1,0 Па ⋅ с).
Рейнольдса при установившемся движении шарика.
Решение.
Формула для числа Рейнольдса имеет вид
Re =
vρ2 D
,
η
Найти
число
(5.12)
где v – установившаяся скорость движения шарика; D – его диаметр.
Скорость движения шарика станет установившейся, когда сила
тяжести будет уравновешена суммой силы сопротивления движения
Стокса и силой Архимеда. В этом случае ускорение шарика будет равно
нулю. В проекции на ось OY можно записать:
148
Fс + FА − mg = 0 .
(5.13)
Формула для силы Стокса имеет вид:
Fс = 6πηvR .
(5.14)
Модуль силы Архимеда записывается следующим образом:
FА = ρ2 gV =
4 3
πR ρ2 g ,
3
(5.15)
4
3
где V = πR 3 – объем капли в виде шара.
Наконец, модуль силы тяжести
mg = ρ1gV =
4 3
πR ρ1g .
3
(5.16)
Подставляя выражения (5.14)–(5.16) в уравнение (5.13), получаем:
4
4
6πηRv + πR3ρ2 g − πR 3ρ1g = 0 .
3
3
Проведя необходимые преобразования, запишем:
9ηv + 2 R 2ρ2 g − 2 R 2ρ1g = 0,
откуда выражение для искомой скорости примет вид
2 R 2 ( ρ1 − ρ2 ) g
v=
9η
Подставив выражение скорости в выражение (5.12), получим
Re =
Ответ: Re =
D 3 (ρ1 − ρ2 )ρ2 g
D 3 (ρ1 − ρ2 )ρ2 g
18η2
18η2
= 0,44.
= 0,44.
Задачи для самостоятельного решения
5.1. Полый металлический шар, внешний и внутренний диаметры
которого d1 и d 2 , плавает на поверхности жидкости. Плотность металла
ρ1 , плотность жидкости ρ2 . Какой груз нужно добавить внутрь шара,
чтобы он плавал внутри жидкости? Сжимаемость шара можно
пренебречь.
Ответ: m =
π 3
d1 ( ρ 2 − ρ1 ) + d 23ρ1  .

6
149
5.2. Какова подъемная сила 1 м3 гелия, идущего на наполнение
дирижаблей, если плотность гелия относительно воздуха равна 0,137 и
плотность воздуха ρ = 1,3 кг/м3.
Ответ: F ≈ 11, 2 Н.
5.3. Баллон сферического аэростата имеет объем 700 м3, наполнен
водородом плотностью 0,09 кг/м3. Масса корзины, оболочки, всех
принадлежностей и двух пассажиров 447 кг. Сколько надо добавить
балласта ∆m, чтобы аэростат уравновешивался вблизи поверхности
Земли при нормальном давлении?
Ответ: ∆m ≈ 400 кг.
5.4. Тонкая палочка одним концом прикреплена к
стенке сосуда, а другим погружена в воду. Палочка
может
свободно
вращаться
относительно
горизонтальной оси шарнира A, находящегося над
Рис. 5.5
уровнем жидкости (рис. 5.5). Найти плотность ρ материала палочки,
если при равновесии в воду не погружена 1 n часть палочки.
Капиллярные силы не учитывать.
Ответ: ρ = 1 − 1/ n 2 .
5.5. Поезд, в составе которого имеется закрытая цистерна с нефтью,
двигался со скоростью v0 , а затем в результате торможения начал
двигаться равномерно замедленно и, пройдя отрезок пути S ,
остановился. Найти зависимость силы давления нефти на заднюю Fз и
переднюю Fп стенки цистерны от времени торможения поезда. Цистерну
считать прямоугольным параллелепипедом с длиной l , шириной a и
высотой h; плотность нефти равна ρ .
ρah 
v02t 
ρah 
v02t 
Ответ: Fп =
 gh +
 , Fз =
 gh −
.
2 
S 
2 
S 
5.6. Цистерна наполнена водой (плотность 1 г/см3) и нефтью
(плотность 0,9 г/см3). Какова будет вначале скорость v истечения воды
из отверстия в дне, если высота слоя воды h1 = 1 м, а слоя нефти h2 = 4 м?
Вязкостью пренебречь.
(
)
Ответ: v = 2 g h1 + 0,9h2 ≈ 9,5 м/с.
150
5.7. Две манометрические трубки установлены
на горизонтальной трубе переменного сечения в
местах, где сечения трубы равны S1 и S 2 . По
Рис. 5.6
трубе течет вода. Найти объем воды, протекающий в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней
воды в манометрических трубках равна ∆h.
Ответ: Q = S1S 2
2g ∆h
S22 − S12
.
5.8. Прямоугольная коробка плавает на поверхности воды, погружаясь
под действием собственного веса на глубину h. Площадь дна коробки
равна S , высота H . Через какое время коробка утонет, если в центре дна
ее проделать малое отверстие площадью σ и с помощью боковых
направляющих сохранять неизменной ориентацию коробки?
Ответ: t =
S H −h
.
σ 2 gh
5.9. На горизонтальной поверхности стола стоит цилиндрический
сосуд, в который налита вода до уровня H (относительно поверхности
стола). На какой высоте h (относительно поверхности стола) надо
сделать малое отверстие в боковой стенке сосуда, чтобы струя воды
падала на поверхность стола на максимальном расстоянии?
Ответ: h = H / 2 .
5.10. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого
имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии h1 = 25 см от дна
сосуда и на расстоянии h2 = 16 см от уровня воды. Уровень воды в сосуде
поддерживается постоянным. На каком расстоянии S от отверстия (по
горизонтали) струя воды падает на стол?
Ответ: S = 0, 4 м.
5.11. В сосуд льется вода, причем за 1 с наливается 0,2 л воды. Каков
должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем
держалась на постоянном уровне, равном h = 8,3 см?
Ответ: d = 1, 4 ⋅ 10−2 м.
5.12. На тележке стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой
(плотность 1 г/см3). Высота воды в сосуде 1 м. В сосуде с
151
противоположных сторон по ходу тележки сделано два крана с
отверстиями площадью 10 см2 каждое, одно на высоте h1 = 25 см над
дном сосуда, а другое на высоте h2 = 50 см. Какую горизонтальную силу
F нужно приложить к тележке, чтобы она осталась в покое при
открытых кранах?
Ответ: F = 2 S ρg ( h1 − h2 ) = – 4,9 Н, т. е. силу нужно приложить со стороны
отверстия, расположенного выше.
5.13. Цилиндр, наполненный водой, равномерно вращается со
скоростью 1 об/с вокруг вертикальной оси, увлекая за собой и воду. К
гладкому горизонтальному стержню, расположенному по диаметру
цилиндра и погруженному в воду, прикреплен кубик с ребром в 2 см,
сделанный из материала с плотностью ρ = 2 г/см3. Кубик прикреплен так,
что может скользить по стержню и удерживаться пружинкой на
расстоянии 50 см от оси цилиндра. Найти силу натяжения пружинки T .
Ответ: T ≈ 0,16 Н.
5.14. В боковой стенке сосуда имеется
отверстие, нижний край которого находится на
высоте h. При каком горизонтальном ускорении
a сосуда налитая в него жидкость не будет
Рис. 5.7
выливаться из отверстия, если в покоящемся сосуде (при закрытом
отверстии) жидкость была налита до высоты H (рис. 5.7)?
Ответ: Сосуд должен иметь ускорение a ≤ 2 g ( H − h) / l , направленное вправо.
Рис. 5.8
5.15. Трубка Пито установлена на оси
газопровода,
площадь
внутреннего
сечения которого равна S . Пренебрегая
вязкостью,
найти
объем
газа,
проходящего через сечение трубы в
единицу времени, если разность уровней
в жидкостном манометре равна ∆h , а
плотность
жидкости
и
газа
–
соответственно ρ0 и ρ.
Ответ: Q = S 2 g ∆h ρ0 ρ.
5.16. Стальной шарик диаметром 1 мм и плотностью 7700 кг/м3 падает
с постоянной скоростью 0,185 см/с в большой сосуд, наполненный
152
касторовым маслом плотностью
вязкость касторового масла η .
900 кг/м3.
Найти
динамическую
Ответ: η = 2 Н ⋅ с/м2.
5.17. Пробковый шарик радиусом 5 мм и плотностью 200 кг/м3
всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом плотностью
900 кг/м3. Чему равна динамическая вязкость касторового масла η в
условиях опыта, если шарик всплывает с постоянной скоростью 3,5 см/с?
Ответ: η = 1,1 Н ⋅ с/м2.
5.18. В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный
капилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм и длина l = 1,5 см. В
сосуд налит глицерин плотностью ρ = 1200 кг/м3, динамическая вязкость
которого в условиях опыта равна η = 1 Н ⋅ с/м2. Уровень глицерина в
сосуде поддерживается постоянным на высоте h = 0,18 м выше
капилляра. Сколько времени t потребуется на то, чтобы из капилляра
вытекло 5 см3 глицерина?
Ответ: t = 1,5 мин.
5.19. Цилиндрический сосуд высотой h с площадью основания S
наполнен водой. В дне сосуда открыли отверстие с площадью s = S .
Пренебрегая вязкостью воды, определить, через сколько времени вся
вода вытечет из сосуда?
Ответ: τ ≈ ( S s ) 2h g .
5.20. Горизонтально расположенная трубка AB длины l вращается с
постоянной угловой скоростью ω
вокруг неподвижной вертикальной
Рис. 5.9
оси O , проходящей через конец A . В трубке находится идеальная
жидкость. Конец A трубки открыт, а в закрытом конце B имеется очень
малое отверстие (рис. 5.9). Найти, с какой скоростью относительно
трубки будет вытекать жидкость в зависимости от «высоты» ее столба h .
Ответ: v = ωh 2l h − 1 .
5.21. С противоположных сторон широкого вертикального сосуда,
наполненного водой, открыли два одинаковых отверстия, каждое
153
площадью S = 0,50 см2. Расстояние между ними по высоте ∆h = 51 см.
Найти результирующую силу реакции вытекающей воды.
Ответ: F = 2ρgS ∆h = 0,50 Н.
5.22. В боковой стенке широкого цилиндрического вертикального
сосуда высотой h = 75 см сделана узкая вертикальная щель, нижний
конец которой упирается в дно сосуда. Длина щели l = 50 см, ширина
b = 0,1 мм.
Закрыв
щель,
сосуд
наполнили
водой.
Найти
результирующую силу реакции вытекающей воды непосредственно
после того, как щель открыли.
Ответ: F = ρgbl ( 2h − l ) = 5 Н.
5.23. В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R
вставлен горизонтальный капилляр внутренним радиусом r и длиной l.
В сосуд налито касторовое масло плотностью ρ , динамическая вязкость
которого равна η . Найти зависимость скорости v понижения уровня
касторового масла в цилиндрическом сосуде от высотой h этого уровня
над капилляром.
r 4ρgh
Ответ: v =
.
8ηlR 2
5.24. Стальной шарик, плотность которого ρ1 = 7700 кг/м3, падает в
широком сосуде, наполненном трансформаторным маслом, плотность
которого ρ2 = 900 кг/м3 и динамическая вязкость η = 0,8 Н ⋅ с/м2. Считая,
что закон Стокса имеет место при Re ≤ 0,5 (если при вычислении Re в
качестве величины D взять диаметр шарика), найти предельное
значение диаметра шарика.
Ответ: D = 4,6 мм.
5.25. Вода течет по трубе, причем за 1 с через поперечное сечение
трубы протекает 200 см3 воды. Динамическая вязкость воды в условиях
опыта равна 0,001 Н⋅с/м2. При каком предельном значении диаметра
трубы движение воды остается ламинарным? Ламинарное движение в
цилиндрической трубе сохраняется при Re ≤ 3000 (если при вычислении
Re в качестве величины D взять диаметр трубы).
Ответ: D ≤ 0, 085 м.
154