К теории устойчивости оболочек

Вестник ДВО РАН. 2006. № 4
Научные сообщения
В.В.ПИКУЛЬ
К теории устойчивости оболочек
Предложен метод построения физически состоятельной теории устойчивости оболочек. Приведены примеры определения критических сил потери устойчивости цилиндрической оболочки при действии осевого, бокового и всестороннего давления. Физически состоятельная теория устойчивости оболочек находится в полном
соответствии с экспериментальными данными.
On shell stability theory. V.V.PIKUL (Far Eastern State Technical University, Vladivostok).
A method of construction of physically consistent theory of shell stability is suggested in the work. Examples of estimation of instability crippling load for cylindrical shell under the influence of thrust, lateral and uniform pressure are
provided. Physically consistent theory of shell stability is in full compliance with experimental data.
Потеря устойчивости исходной формы равновесия под воздействием внешних
сил является основной причиной разрушения оболочечных конструкций, изготовленных
из современных конструкционных материалов. Разрушение при этом происходит внезапно и практически мгновенно, что, как правило, сопровождается большими человеческими
жертвами. Достаточно вспомнить произошедшие уже в нашем веке обрушения оболочечных перекрытий аквапарков, рынков и спортивных сооружений.
Фундаментальная проблема теории устойчивости оболочек. К настоящему времени разработано большое количество всевозможных вариантов теории оболочек, многие из
которых при определенных условиях входят в противоречие с законами природы, т.е. являются физически несостоятельными [5]. Наглядной иллюстрацией последствий физически несостоятельного подхода в механике оболочек может служить проблема приведения
теории устойчивости оболочек в соответствие с экспериментальными данными. Эта проблема возникла почти сто лет тому назад, после появления первых теоретических исследований устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии (1908 г., Р.Лоренц;
1910 г., С.П.Тимошенко). Особенно разительным является расхождение теории с экспериментом при сжатии круговой цилиндрической оболочки осевыми силами. Применительно
к тонкостенной изотропной оболочке с отношением h/R в пределах 1/250 – 1/2500 (h – толщина, R – радиус срединной поверхности), критическое давление pk, определяемое теорией, в 4–10 раз превосходит экспериментальные результаты. Проанализированы, казалось
бы, все возможные причины наблюдаемых расхождений теории с экспериментом, придумано этому правдоподобное объяснение [1–4, 7, 8], но проблема оставалась неразрешенной. За прошедшие десятки лет актуальность этой проблемы не только не уменьшилась,
но еще более возросла из-за появления принципиально нового поколения высокопрочных
конструкционных материалов.
Причины расхождения теории с экспериментом. Основной причиной расхождения
теории устойчивости оболочек с экспериментальными данными считается необычайно
высокая чувствительность оболочек к несовершенству формы их поверхности. И хотя это
утверждение представляется правдоподобным, остается сомнение в его справедливости.
ПИКУЛЬ Владимир Васильевич – доктор физико-математических наук (Дальневосточный государственный технический университет, Владивосток).
81
Подойдем к выяснению причин расхождения теории с экспериментом, исследуя физическую состоятельность теории
устойчивости оболочек. В отличие от пластины, при сжатии
которой плоская форма равновесия срединной поверхности
сохраняется вплоть до потери устойчивости (рис. 1), форма
равновесия оболочки претерпевает существенные изменения еще до потери устойчивости (рис. 2а). При классической постановке задач устойчивости перемещения срединной поверхности отсчитывают от ее недеформированного
положения [2]. Уравнения устойчивости оболочек и соответствующие им краевые и начальные условия связывают
Рис. 1. Пластина, сжатая в одном между собой бесконечно малые величины перемещений,
деформаций и силовых факторов, что выходит за пределы
направлении
возможностей теории оболочек, из которых они выведены.
Приведение теории устойчивости оболочек в соответствие
с уравнениями механики сплошных сред и теорией оболочек снимает существующее расхождение теории устойчивости с результатами экспериментальных исследований.
Постановка задачи исследования устойчивости оболочек. В момент потери устойчивости оболочки наряду с основной формой равновесия срединной поверхности появляется другая форма равновесия, бесконечно близкая к основной. Радиальные перемещения
срединной поверхности оболочки первой основной формы равновесия в момент потери
устойчивости обозначим через w0, а второй смежной формы – через w. Тогда бесконечно
малые отклонения срединной поверхности второй формы равновесия от первой основной
в момент потери устойчивости δw определятся из следующего равенства:
δw = w – w0 .
(1)
Именно эти бесконечно малые отклонения срединной поверхности оболочки от основной формы равновесия отвечают реальной критической нагрузке, вызывающей потерю
устойчивости оболочки.
При классической постановке задач устойчивости оболочек в соответствие критической
нагрузке ставят радиальные перемещения w, что противоречит уравнениям устойчивости.
Тем не менее до настоящего времени считается, что найденная в результате такого решения нагрузка является критической. Она получила название верхней критической нагрузки.
Согласуем теорию устойчивости оболочек с уравнениями механики сплошных сред и
теорией оболочек, поставив реальную критическую нагрузку в соответствие с бесконечно
малыми отклонениями срединной поверхности от основной формы равновесия. В рамках настоящей статьи будем в неявном виде пользоваться криволинейной ортогональной
системой координат, основную координатную поверхность которой совместим со срединной поверхностью оболочки, а координатные линии – с ее линиями главной кривизны.
В качестве третьих координатных линий примем радиальные к срединной поверхности
направления от центров кривизны.
К построению физически состоятельной теории устойчивости оболочек. При исследовании устойчивости оболочек используются динамические и статические критерии
устойчивости [3]. Уравнения устойчивости оболочек чаще всего выводят из нелинейных
уравнений теории оболочек, используя статический критерий Эйлера. Уравнения устойчивости оболочек и соответствующие им краевые условия определяют отклонения срединной поверхности оболочки от основной формы равновесия в момент потери устойчивости,
связывая между собой бесконечно малые величины перемещений, деформаций и силовых
факторов. Складывается парадоксальная ситуация. Уравнения механики деформируемого
твердого тела, которые обеспечивают наивысшую точность механике оболочек, выведены
путем отбрасывания малых величин высшего порядка малости, а при построении теории
82
оболочек допускается 5%-ная погрешность [6]. Уравнения же устойчивости,
выводимые из нелинейных уравнений
теории оболочек, связывают между собой величины высшего порядка малости,
которые отбрасываются уже на уровне
построения точных уравнений механики
деформируемого твердого тела. Тем самым этими уравнениями закладывается Рис. 2. Цилиндрическая оболочка, сжатая осевыми силами вдоль образующей: а – оболочка под действием осевых
физическая несостоятельность теории сжимающих сил, б – расчетная схема
устойчивости оболочек.
Физически состоятельные уравнения
можно получить из уравнений классической теории устойчивости, исключив из
них функции, относящиеся к основной
форме равновесия, которые предшествуют потере устойчивости оболочек. Для
этого воспользуемся специфической закономерностью деформирования оболочек, согласно которой радиальные пере- Рис. 3. Цилиндрическая оболочка, сжатая боковым давмещения ее срединной поверхности, лением: а – оболочка под действием бокового давления,
вызванные действующими силами, мо- б – расчетная схема
гут быть компенсированы перемещениями от воздействия фиктивных сил, приложенных в ортогональных к действующим силам
направлениях (рис. 2, 3).
Из равенства (1) следует, что с точностью до величин высшего порядка малости радиальные перемещения двух смежных форм равновесия в момент потери устойчивости
оболочки равны друг другу:
w = w0.
(2)
Радиальные перемещения срединной поверхности w0, соответствующие основной
форме равновесия оболочки, могут быть вызваны действующими либо фиктивными силами. Отсюда следует, что радиальные перемещения w0 и связанные с ними функции, входящие в уравнения устойчивости, могут быть выражены через фиктивные силы. Выразив
функции, относящиеся к основной форме равновесия, через фиктивные силы, избавим
уравнения устойчивости от бесконечно малых величин и тем самым придем к физически
состоятельным уравнениям устойчивости оболочек.
Такие уравнения по форме полностью совпадают с классическими уравнениями устойчивости. Различие заключается в содержании и условиях нагружения. Все бесконечно малые величины следует рассматривать как конечные функции, описывающие соответственно перемещения, деформации и силовые факторы второй смежной формы равновесия,
которые отсчитываются от недеформированной системы координат. В нагрузку, вызывающую потерю устойчивости оболочки, включаются дополнительно к действующим фиктивные силы. При таких изменениях уравнения устойчивости приобретают физическую
состоятельность и способность определять реальные критические силы.
Использование предлагаемого метода приведения уравнений устойчивости оболочек к физически состоятельному виду рассмотрим на примере круговой цилиндрической оболочки.
Сопоставление физически состоятельной теории устойчивости цилиндрических
оболочек с экспериментом. Рассмотрим круговые цилиндрические оболочки, изготовленные из изотропных материалов. С одной стороны, задачи устойчивости цилиндрических оболочек имеют наибольшее практическое значение, и поэтому они исследованы
83
наиболее полно. С другой стороны, на примере исследования устойчивости изотропных
цилиндрических оболочек можно проследить все основные особенности задач устойчивости тонкостенных оболочек. Будем полагать, что оболочки имеют идеально правильные
формы своих поверхностей.
С помощью предлагаемого метода приведения уравнений устойчивости оболочек к
физически состоятельному виду получим расчетные формулы для определения реальной
критической нагрузки при осевом сжатии, боковом и всестороннем давлениях для изотропной цилиндрической оболочки средней длины. Во всех рассмотренных случаях имеет
место полное совпадение теории устойчивости оболочек с экспериментальными данными. Весьма показателен случай потери устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии (рис. 2).
Осевое сжатие цилиндрической оболочки. Для оболочек средней длины с достаточной для практики точностью можно пренебречь краевым эффектом. Тогда радиальные
перемещения срединной поверхности оболочки, входящие в формулу (2), определятся
уравнениями безмоментной теории оболочек [6]. Применительно к цилиндрическим оболочкам, находящимся под воздействием осевого давления, радиальные перемещения срединной поверхности оказываются равными:
w = νpR/E;
w0 = qf R2/(Eh),
(3.1)
где p – плотность распределения сжимающих сил P по площади торцевой поверхности
оболочки; qf – фиктивное боковое давление (рис. 2б); E – модуль нормальной упругости;
ν – коэффициент Пуассона изотропного материала оболочки; h – толщина, а R – радиус
срединной поверхности оболочки.
Величина фиктивного бокового давления находится из формулы (2) с помощью равенств (3.1):
qf =νph/R.
(3.2)
В результате расчетная схема для нахождения критической осевой силы при сжатии
цилиндрической оболочки включает в себя кроме осевых сил фиктивное компенсирующее давление qf , определяемое формулой (3.2) (рис. 2б).
Расчетную формулу, соответствующую расчетной схеме (рис. 2б), получим применительно к цилиндрической оболочке средней длины, потеря устойчивости которой сопровождается появлением большого количества n полных волн по окружности оболочки. В этом случае
можно воспользоваться приближенными решениями классической теории. При комбинированном нагружении цилиндрической оболочки сжимающими осевыми силами и внешним боковым давлением критические нагрузки приближенно определяются формулами [2]:
pk / pв + qk / qв = 1,
(3.3)
где pk, qk – критические величины осевой силы и бокового давления при комбинированном нагружении оболочки; pв, qв – верхние критические величины осевой силы и бокового давления при раздельном нагружении оболочки, определяемые классической теорией
устойчивости,
pв Eh / R
3( 1 N2 )
;
qв 0 ,855ER / l ¥ h ´
¦ µ
( 1 v 2 )0 ,75 § R ¶
2 ,5
.
(3.4)
Формулы (3.3) и (3.4) с помощью фиктивного компенсирующего давления (3.2) сводятся к следующей расчетной формуле:
Eh / R
pk .
(3.5)
2
; 1 0,675N 4 ( 1 N )R 2 / h2 l / R = 3( 1 N2 )
84
Сопоставим расчеты по формуле (3.5) с экспериментальными результатами исследования устойчивости цилиндрической оболочки, сжатой осевыми силами. Воспользуемся
данными, полученными методом статистической обработки известных экспериментальных результатов с 99%-ной вероятностью определения критических сил p99 [2]. Относительную длину оболочки l /R примем равной единице, а коэффициент Пуассона ν = 0,3.
Для наглядности приведем результаты расчетов верхней критической осевой силы pв,
определяемой классической теорией, сопоставив ее с экспериментальными данными.
Сопоставление теории с экспериментом. Результаты сопоставления, представленные в таблице, свидетельствуют о полном совпадении теории с экспериментом (pk / p99)
в случае физически состоятельного подхода к задачам устойчивости оболочек и об абсолютном расхождении (pв / p99) в противном случае.
R/h
pk , Eh/R
p99 , Eh/R
pk /p99
pв , Eh/R
pв /p99
250
0,147
0,14
1,05
0,605
4,32
500
0,112
0,12
0,93
0,605
5,04
750
0,094
0,10
0,94
0,605
6,05
1000
0,083
0,08
1,04
0,605
7,56
1500
0,070
0,07
1,00
0,605
8,64
2000
0,061
0,065
0,94
0,605
9,31
2500
0,056
0,06
0,93
0,605
10,08
Сжатие цилиндрической оболочки боковым давлением. Проверим предлагаемый
метод приведения уравнений устойчивости оболочек к физически состоятельному виду
на примере устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем давлении, равномерно распределенном по боковой поверхности. При действии на цилиндрическую оболочку
внешнего бокового давления q в теории устойчивости исходную форму равновесия принимают соответствующей безмоментному напряженному состоянию (рис. 3а). Для компенсации радиальных перемещений, вызванных боковым давлением, следует к торцам
цилиндрической оболочки приложить компенсирующие осевые силы Pf (рис. 3б). Фиктивные компенсирующие силы Pf найдем из равенства (2), в котором перемещения от воздействия бокового давления равны:
w = – q R2/(Eh),
(3.6)
а перемещения от действия компенсирующих осевых сил:
w0 = – ν pf R/E.
(3.7)
В результате фиктивное компенсирующее давление оказывается равным:
pf = qR/(νh).
(3.8)
Расчетную формулу, соответствующую расчетной схеме, представленной на рис. 3б,
найдем исходя из приближенных решений классической теории применительно к цилиндрической оболочке средней длины (3.3), (3.4) с помощью осевого компенсирующего давления pf (3.8):
N Eh 2 / R 2
qk .
(3.9)
; 1 0,675N 4 ( 1 N2 )R 2 / h2 l / R = 3( 1 N2 )
В монографии [2] представлены экспериментальные значения критического давления
по данным различных авторов в зависимости от параметра ϑ = π R /( nl ). Наибольшее отклонение значений бокового давления от формул классической теории в сторону уменьшения составило 32% при ϑ = 0,22. При ϑ = 0,22, R/l = 1 и R/h = 125 критическое давление,
определенное по формуле (3.9), меньше классического значения на 31,1%. Следовательно,
и в этом случае физически состоятельный подход к задаче устойчивости оболочки позволил
получить достаточно хорошее соответствие теории с экспериментальными результатами.
85
Устойчивость тонкой цилиндрической оболочки при всестороннем давлении.
Большое практическое значение имеет решение задачи устойчивости цилиндрической
оболочки при всестороннем давлении. При всестороннем давлении радиальные перемещения цилиндрической оболочки равны
w = – (1 – 0,5ν)q R2/(Eh),
где q – плотность всестороннего давления. Для компенсации этих перемещений к торцам
оболочки следует приложить фиктивную осевую силу, плотность которой определяется
по тем же правилам, что и при боковом давлении
pf = (1 – 0,5ν) qR/(νh).
Учитывая осевое давление, действующее на оболочку при всестороннем давлении, находим, что расчетная величина осевого давления pр оказывается равной
pp = qR/(νh).
На основании равенства (3.10) имеем
pk = qkR/(νh),
(3.10)
(3.11)
где pk – плотность критического осевого давления; qk – критическое боковое давление.
Расчетная формула, определяющая реальное критическое давление при всестороннем
сжатии цилиндрической оболочки средней длины, находится с помощью формул (3.3),
(3.4) и (3.11):
ν Eh 2 / R 2
.
qk =
(3.12)
[ 1 + 0,675ν 4 ( 1 − ν2 )R 2 / h2 l / R ] 3( 1 − ν2 )
Формула (3.12) полностью совпадает с формулой (3.9), и в этом нет ничего удивительного, так как экспериментальные величины критического давления при всестороннем и
боковом сжатиях цилиндрической оболочки слабо отличаются друг от друга [2].
Выводы. Решена фундаментальная проблема приведения теории устойчивости оболочек
в полное соответствие с экспериментальными данными. Выявлена причина расхождения
теории с экспериментом, заключающаяся в физической несостоятельности классической
теории устойчивости оболочек. Предложен метод построения физически состоятельной теории устойчивости оболочек, который позволяет для определения реальных критических
сил использовать теоретический материал по устойчивости оболочек, накопленный за столетнюю историю развития теории устойчивости. С помощью этого метода получены расчетные формулы применительно к изотропной цилиндрической оболочке средней длины
при ее нагружении осевыми силами, боковым и всестороннем давлением. Показано, что
физически состоятельная теория устойчивости оболочек полностью соответствует экспериментальным данным. Результаты исследования устойчивости оболочек при физически
состоятельном подходе свидетельствуют об ошибочности существующего представления о
наличии верхней и нижней критических сил в механике устойчивости оболочек.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.
2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
3. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.
4. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.
5. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития // Изв. АН. Механика
твердого тела. 2000. № 2. С. 145–168.
6. Пикуль В.В. Современные проблемы науки в области прикладной механики: учебник: в 2 ч. Владивосток:
Изд-во ДВГТУ. Ч. 1. Механика деформируемого твердого тела. 2003. 263 с.; Ч. 2. Механика оболочек. 2005. 524 с.
7. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового
корпуса. Л.: Судостроение, 1967. 488 с.
8. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. 320 с.
86