исследование возможностей применения графического метода

Министерство образования Республики Беларусь
Отдел образования Новополоцкого горисполкома
ГУО «Гимназия №1 г. Новополоцка»
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
ПРИМЕНЕНИЯ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА
К РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ
Учащаяся 11 «Б» класса Близнёва Анна
Руководитель –
Пашкович Татьяна Саввична,
учитель математики и
информатики высшей
категории
Новополоцк, 2013
1
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Ход работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Примеры решения задач. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Задача 1……………………. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Задача 2…………………... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Задача 3………………………... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Задача 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Задача 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Текстовые задачи в тестах. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Краткие решения задач . . . .. . ………... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Рекомендации для успешного решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . .
Заключение………….. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Список использованных источников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложение 1………………………………………………………..
Приложение 2………………………………………………………..
Приложение 3………………………………………………………..
3
4
6
6
7
9
12
14
16
20
26
27
28
29
31
32
2
Введение
Актуальность темы связана с необходимостью выработки навыка
быстрого решения текстовых задач в условиях ограниченного времени при
различных видах контроля знаний учащихся, например, тестирования.
Цель: Изучить графический метод решения текстовых задач, сравнить его с
другими методами (арифметическим (по действиям) и алгебраическим
(с помощью уравнений, неравенств и их систем)
Задачи:
1. провести сравнительный анализ различных методов решения текстовых
задач на примере типичной (тестовой) задачи;
2. отработать приемы применения графического метода на серии задач;
3. подобрать примеры текстовых задач в тестах;
4. обучить этому методу учащихся11 класса;
5. провести исследование преимуществ данного метода.
6. провести тестирование в 11 классе с использованием этого метода;
7. провести анализ результатов;
Объект исследования: Текстовые задачи.
Предмет исследования: Графический метод решения текстовых задач.
Гипотеза: Графический метод решения определённого вида текстовых задач
является более рациональным при выполнении тестовых заданий
Практическая
значимость:
практическая
значимость
определяется
возможностью использования материалов исследования, при проведении
уроков факультативных занятий по математике, а так же для самостоятельной
работы учеников.
3
ХОД РАБОТЫ
Для разыскания истины вещей
необходим метод.
Р. Декард
Умение решать задачи (и формулировать их, и уточнять) необходимо не
только школьникам, но и экономисту, и врачу, и юристу, и военачальнику, и
многим другим. А для успешного решения, как говорил Декарт, необходим
метод.
Многие ошибки и неудачи происходят из-за того, что задача не
понятна, не изучена. Не зря говорят: «Не зная броду, не суйся в воду».
Необходимость изучения задачи понятна еще с начальной школы.
В ходе работы были изучены графические методы решения текстовых
задач. Проведён сравнительный анализ различных методов решения текстовых
задач на примере нескольких задач.
Отработаны приемы
применения
графического метода на серии задач. Проведено тестирование в 11 классе с
использованием этого метода. Сделан анализ результатов.
Геометрический
метод
решения
таких
задач позволяет
провести
параллель с физикой, где использование системы координат достаточно часто
применяется при решении физических задач.
Графическое представление условия задачи может помочь в решении
задач различных уровней сложности. С помощью графиков рационально
решаются задачи, в которых описывается некоторый процесс: движение, работа
и т.д. В данной работе упор мы сделали на задачи на движение.
В школьных задачах, как правило, описываются процессы с постоянной
скоростью
протекания.
Поэтому,
независимо
от
вида
процесса,
его
характеристики связаны одной и той же линейной зависимостью: результат
процесса равен произведению скорости и времени его протекания. Формулы
этой зависимости имеют вид: S=v, A=vt. График такой зависимости удобно
изображать в системе координат: горизонтальная ось – ось времени,
вертикальная – ось результата процесса (например, пройденный путь, работа).
4
Графиком линейной зависимости служит прямая. Угол наклона прямой к
оси абсцисс характеризует скорость процесса, а модуль тангенса этого угла
численно равен значению скорости протекания процесса.
Изображая графики процессов, можно находить зависимости между
величинами, применяя геометрические знания, а можно решать задачу
привычным способом. Построенная модель зависимости между величинами
помогает увидеть отношения между этими величинами. На этих двух подходах
основано использовании графиков при решении текстовых задач. [1]
Задачи приведенные дальше будут решены графическим методом, с
достаточно подробным чертежом, описанием решения.
На факультативе были предложены для решения некоторые задачи. При
этом рассматривался алгебраический метод, а потом геометрический метод.
Засекали время, потраченное на решение текстовых задач. При этом, когда
отработали геометрический метод на его применение уходило гораздо меньше
времени, чем на решение задач алгебраическим методом. После нескольких
занятий провели анкетирование.
1) Вызывают ли у вас затруднения текстовые задачи?
1.1 До проведенных занятий: а) да – 71%, нет – 29%
1.2 После проведённых занятий: а) да – 25%, нет – 75%
2) Решили ли Вы текстовую задачу на пробном тестировании?
а) да – 23%; нет – 77%
3) Какой метод решения задач Вы выберите, если будет предложена задача
такого типа?
а) алгебраический – 12%; б) геометрический – 64% ; в) не знаю – 24%
(Приложение 1)
После этого учащимся были предложены задачи для самостоятельной работы.
(Приложение 2)
70% - решили эти задачи, используя геометрический метод, 15% - использовали
алгебраический метод решения задач, 15% - задачи не решили. (Приложение 3).
5
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1 (эта задача была представлена на пробном тестировании в
2013 году)
Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 мин. Увеличив после этого
скорость на 10 км/ч, он наверстал опоздание за 80 км. Определите
первоначальную скорость мотоциклиста. [3]
Решение:
Пусть АО – график движения мотоциклиста до шлагбаума. АС – время
остановки АС=24 мин=0,4 ч. СВ – график движения мотоциклиста после
остановки. Планируемая скорость движения v1= tg α, скорость с которой он
двигался v2= tg β. Так как v1=v2-10, то
S
B
tg α=tg β-10.
Треугольник ABD – прямоугольный:
А
α
0.4 ч C
O
β
t
D
t
Треугольник BCD – прямоугольный:
t=-2 или t=1,6
По смыслу задачи получим, что t = 1,6.
6
Значит,
=40 (км/ч)
Ответ: 40 км/ч.
Решение 2 (алгебраический метод)
Пусть х км/ч первоначальная скорость мотоциклиста. Исходя, из условия
задачи составим и решим уравнение:
80
80
2

 ; х=40км/ч.
x
x  10 5
На первый взгляд алгебраическое решение достаточно простое. Но по
опросу учащихся с задаче справились только лишь 23% учеников.
Задача 2 Из пункта М в пункт N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа
выехал велосипедист, а еще через час – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и
мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время
оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от M к N. На
сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход
прибыл в пункт N на 1 час позже мотоциклиста?[3]
Решение:
А
а
С
в
В
Пусть АС=а, СВ=в, р, v,m – соответственно скорости пешехода, велосипедиста
и мотоциклиста, х – искомое время. Используя условия задачи составим
уравнения:
𝑎 𝑎
𝑎 5
= +2= +
𝑝 𝑣
𝑚 2
7
𝑏 𝑏
𝑏
= +𝑥 = +1
𝑝 𝑣
𝑚
1
1
1
1
Из второго уравнения находим: 𝑏 ( − ) = 𝑥, 𝑏 ( − ) = 1
𝑝
𝑣
𝑝
𝑚
Разделим почтенно равенства, получим: 𝑥 =
1 1
−
𝑝 𝑣
1 1
−
𝑝 𝑚
Аналогично преобразуем первое уравнение системы:
1 1
−
𝑝 𝑣
1 1
−
𝑝 𝑚
2
4
= 2,5 = 5,
значит х=4/5 ч.
Ответ: 4/5 ч.
Решение 2
Пусть Р1V1=2 ч, V1M1=0,5 ч, МР=1 ч, VР=х ч – искомое расстояние.
1) Рассмотрим треугольник VOP подобный треугольнику V1OP1
8
𝑉𝑃
𝑃𝑂
=
𝑉1 𝑃1 𝑃1 𝑂
𝑥 𝑃𝑂
=
2 𝑃1 𝑂
2) Рассмотрим треугольник MOP подобный треугольнику M1OP1
𝑀𝑃
𝑃𝑂
=
𝑀1 𝑃1 𝑃1 𝑂
𝑃𝑂
1
=
𝑃1 𝑂 2,5
Получаем
𝑥
2
=
1
2,5
4
𝑥 = ч = 48 мин
5
Ответ: 45 мин
Задача 3
Грибник и рыболов находятся на расстоянии 220 метров от охотника.
Когда охотник догнал грибника, рыболов отставал от них на 180 метров.
На каком расстоянии от рыболова был грибник, когда охотник догнал
рыболова?
Приведем три решения этой задачи. [5]
Решение 1
Обозначим
через
vор
скорость сближения охотника с
О.
220
Р.Г.
x
О.Р
Г
180
Р
Г.О
рыболовом, через vог – скорость сближения охотника с грибником. Сначала
9
рассмотрим движение с момента, когда охотник был на расстоянии 220 метров
от грибника и рыболова. Когда охотник догнал грибника, он преодолел
разность расстояния между ними, равную по условию 220 метров, а также
разность расстояния между ним и рыболовом, обогнав при этом последнего на
180 метров. Таким образом, скорости vог соответствует путь в 220 метров, а
скорости vор – 400 метров (220+180). Таким образом
v ог 220 11


.
v ор 400 20
Теперь рассмотрим движение с момента встречи охотника и рыболова.
Когда охотник догнал грибника, он преодолел разность расстояния между
ними, то есть искомое расстояние, а также обогнал рыболова на 180 метров.
Значит, скорости vог соответствует искомый путь, скорости vор – равный 180
метров. Таким образом, когда охотник догнал рыболова, рыболов и грибник
были на расстоянии 180 
11
 99м  .
20
Ответ: 99 метров.
Решение 2
Обозначим через vо, vг,
vр
скорости
О.
220
Р.Г.
x
О.Р
охотника,
Г
180
Р
Г.О
грибника и рыболова соответственно. Тогда время за которое охотник догнал
грибника, равно
соответственно
220
.
vо - vг
За это
время рыболов и
грибник
прошли
220
220
vр ,
v г - количество пути, после чего расстояние
vо - vг
vо - vг
между ними было
220
v г  v р  , что по условию равно 180 метрам. Таким
vо - vг
образом, имеем уравнение
220
v г  v р   180 (1).
vо - vг
10
Рассуждая аналогично, получим, что расстояние между рыболовом и
грибником в момент, когда охотник догнал рыболова, было равно
220
v г  v р 
vо - vр
(2).
Из уравнения (1) выразим vр: v р 
значение в выражение (2):

400vг  180vо
, и подставим его
220
220
220 180

v г  v р  
vг  vр  
400v г  180v о
400v о  v г 
vо 
220
220  180
 99м 
400
Ответ: 99 метров.
Решение 3
В
прямоугольной
системе
координат
построим
C
n
графики
движений
рыболова
S, м
B
m
грибника,
и
охотника
A
180
x
E
D
(считаем, что они идут с
постоянными
скоростями). На чертеже
точки
220
пересечения
графиков соответствуют
O
t
встречи объектов в какойто момент времени. Для любой точки графика с координатами (x;y) x – это
момент времени, в который объект находится на расстоянии y от начальной
точки.
11
В данной задаче за начальную точку возьмем точку, в которой находился
охотник, когда он был на расстоянии 220 метров от рыболова и грибника. Здесь
OA=220 метров, CD=180 метров, BE – искомый отрезок (обозначим его за x).
Ход решения:
1)
OAC~ EBC – по двум углам:
C – общий,
AOC= BEC – как накрест
лежащие при параллельных прямых. Из подобия следует:
BE BC
x
n



(1)
AO AC
220 n  m
2)
BAE~ CAD – по двум углам:
A – общий,
AEB= ADC – как накрест
лежащие при параллельных прямых. Из подобия следует:
BE AB
x
m



(2)
CD AC 180 m  n
3) Сложим уравнения (1) и (2), получим:
x
x
x

1
220 180
220  180
400
x  99
Ответ: 99 метров.
Задача 4
Из пункта O в пункт N вышел пешеход. Одновременно с ним из
пункта N в пункт O выехал велосипедист, который встретил пешехода
через 50 минут после своего выезда из N. Сколько времени понадобится
пешеходу для того, чтобы пройти весь путь, если известно,
что
велосипедист проделал бы весть путь на 4 часа быстрее пешехода. [6]
12
Решение:
Построим
график
зависимости
пройденного
пешеходом
и
велосипедистом пути от времени. Пусть p(x) – зависимость пройденного
пешеходом
пути
от
времени
x,
w(x)
-
зависимость
пройденного
велосипедистом пути от времени x. Обозначим BC через x. Тогда NK=OB=5/6
ч, CD=4 ч, KT=x, KL=x+4.
y
N
K x T
5/6
L
4
w(x)
p(x)
M
O
5/6
B x C
4
D
x, ч
Ход
решения:
1)
MBC~ MKN – по двум углам:
MBC= MKN=90о,
KMN= BMC – как
вертикальные.
Из подобия следует:
NK KM

(1)
BC BM
2)
MLK~ MBO – по двум углам:
углы при параллельных прямых,
KLM= MOB – как накрест лежащие
MBO= MKL=90о. Из подобия следует:
KL KM

(2)
OB BM
13
3) Из равенств (1) и (2) получаем:
4) Подставим значения:
NK KL

BC OB
5/6 x  4
1

x
x
5/6
6
5) Так как OD=(x+5/6+4) – время прохождения пути пешеходом, то он проделал
его за 5 часов.
Ответ: 5 часов.
Задача 5
Три пловца должны проплыть из пункта A в пункт B и обратно.
Сначала стартует первый, через 5 секунд – второй, еще через 5 секунд –
третий. На пути из A до B прошли некоторую точку C одновременно.
Третий пловец, доплыв до B и сразу повернув назад, встречает второго в 9
метрах от B, а первого – в 15 метрах от B. Найдите скорость третьего
пловца, если расстояние между A и B равно 55 метров. [5]
Решение:
Построим график зависимости пройденного
пути от времени. Пусть p(x) – зависимость пути,
пловец, от времени x, w(x) – зависимость пути,
пловец, от времени x, m(x) – зависимость пути,
пловец, от времени x. AD=DE=5 с, AB=55
пешеходами и лыжником
который проплыл первый
который проплыл второй
который проплыл третий
м, BT=15 м, BM=9 м.
y, м
H
B
I
J
w(x)
9
p(x)
M
K
6
T
L
C
40
m(x)
A
5
D
5
E
F
G
x, с
14
Ход решения:
1) DKG~ IKH – по двум углам: DKG= IKH – как вертикальные углы,
KDG= KIH – как накрест лежащие при параллельных прямых. Пусть h1, h2 –
высоты этих треугольников соответственно. Из подобия следует:
DG h 1
DE  EF  FG 46
5  2EF 46
(1)





HI h 2
HI
9
HI
9
2) ALG~ JLH – по двум углам: ALG= JLH – как вертикальные углы,
LAG= LJH – как накрест лежащие при параллельных прямых. Пусть h3, h4 –
высоты этих треугольников соответственно.
Из подобия следует:
AG h 3
AD  DE  EF  FG 40
5  EF 8




 (2)
HJ h 4
HI  IJ
15
HI
3
3) Из равенств (1),(2) следует:
5  2EF 46 8
5  2EF 23

/ 

5  EF
9 3
5  EF 12
60  24EF  115  23EF
EF  55
Следовательно скорость первого пловца:
55 м
 1 м/с
55 с
Ответ: 1 м/с
15
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ В ТЕСТАХ
1. Два станка сделали 220 деталей, к тому моменту 1) 88
как включили третий станок. Когда третий
станок сделал столько деталей, сколько их сделал
2) 121
первый, второй сделал на 180 деталей меньше.
На сколько больше деталей сделал первый станок
в тот момент, когда третий сделал столько 3) 150
деталей, сколько сделал второй? [4]
4) 55
5) 99 *
2. Из пункта М в пункт N вышел пешеход. Вслед за
ним через 2 часа выехал велосипедист, а еще
через час – мотоциклист. Пешеход, велосипедист
и мотоциклист двигались равномерно и без
остановок. Через некоторое время оказалось, что
все трое преодолели одинаковую часть пути от M
к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт
N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в
пункт N на 1 час позже мотоциклиста? [5]
1) 48
2) 40 *
3) 50
4) 25
5) 28
3. Из поселка в одном и том же направлении 1) 20 *
выехали последова-тельно с интервалом в 1 час
три велосипедиста. Первый ехал со скоростью 12
2) 30
км/ч, второй 10 км/ч, а третий, имея более
высокую скорость, догнал сначала второго
велосипедиста, а еще через 2 часа – первого. 3) 80
Какова скорость третьего велосипедиста? [1]
4) 40
5) 52
4. Два спортсмена начинают бег одновременно –
первый из пункта A в пункт B, второй – из B в A.
Они бегут с неодинаковыми, но постоянными
скоростями и встречаются на расстоянии 300
метров от пункта A. Пробежав дорожку до конца,
каждый из них тотчас поворачивает назад и
встречает другого на расстоянии 400 метров от
пункта B. Найдите длину AB (в метрах).
1) 600
2) 400
3) 500 *
4) 650
5) 1000
16
5.
На реке расположены пункты A и B.
Одновременно из этих пунктов навстречу друг
дугу
отходят
два
одинаковых
катера,
обмениваются почтой и возвращаются обратно.
Катер, вышедший из A, возвращается обратно
через час после выхода. Если бы катер,
отправляющийся из A, вышел на 15 минут
раньше катера, вышедшего из B, то встреча
произошла бы на равном расстоянии от обоих
пунктов. Через сколько часов возвращается
катер, вышедший из B?
6. Из пункта A в пункт B одновременно выехали
два автомобиля с одинаковой скоростью. Первый
повернул обратно, как только встретился с
пешеходом, вышедшим из B в 8:00, а второй
доехав до B в 9:00, вернулся в A через 10 минут
после возращения в A первого автомобиля. Во
сколько раз скорость автомобиля больше
скорости человека?
1) 2
2) 1,5 *
3) 3,5
4) 4
5) 1
1) 6
2) 10
3) 12
4) 11 *
5) 16
7. Три мотоциклиста проезжают с постоянными, но
различными скоростями один и тот же участок
AB дороги. Сначала пункт A проехал первый
мотоциклист, а спустя 5 секунд в том же
направлении второй и третий. Через некоторое
время первого мотоциклиста обогнал третий, а
через 10 секунд – второй. За какое время (в
секундах) первый проходит весь путь (AB), если
второй проехал это расстояние за 1 минуту, а
третий – за 40 секунд?
8. Из пункта А в пункт С, находящийся на
расстоянии 80 километров от А, выехал
мотоциклист. Навстречу ему из пункта В,
находящегося между А и С на расстоянии 5
километров от С, выехал велосипедист, а из
пункта С – автомобиль. Через сколько минут
встретились мотоциклист и велосипедист, если
известно, что это произошло через 20 минут
после
того,
как
автомобиль
догнал
велосипедиста, а мотоциклист до встречи с
автомобилем провел в пути вдвое больше
1) 70
2) 80 *
3) 60
4) 75
5) 50
1) 32,5
2) 18,5
3) 16,5
4) 40,5
5) 37,5 *
17
времени, чем велосипедист до того, как его
догнал автомобиль?
9. Первым отправился по намеченному пути
путешественник A. Второй путешественник Б
отправился следом за А через 45 минут со
скорость
v2 ,
намериваясь
догнать
путешественника А, скорость которого v1. Через
сколько
минут
после
отправления
путешественника А с тур базы должен выехать
велосипедист В, чтобы догнать А, одновременно
с Б, если известно, что В поедет со скоростью v3?
1)
(v 3 - v1 )v 2
45(v 2 - v1 )v 3
2)
(v 3 - v1 )v 2
(v 2 - v1 )v 3
3)
5(v 3 - v1 )v 2
(v 2 - v1 )v 3
4)
9(v 3 - v1 )v 2
(v 2 - v1 )v 3
5)
45(v 3 - v1 )v 2
*
(v 2 - v1 )v 3
10. Два туриста вышли навстречу друг другу из 1) 4;2
пунктов А и В. Первый из них вышел на полчаса
раньше второго, и при встречи оказалось, что он
2) 6;4 *
прошел на 12 километров меньше, чем второй.
Первый пришел в пункт В через 8 часов, второй –
в пункт А – через 9 часов после встречи. Найдите 3) 4;10
скорости туристов (км/ч). [1]
4) 6;10
5) 2;4
11. Два пешехода вышли одновременно навстречу
друг к другу и встретились через 3ч. За какое
время пройдёт всё расстояние первый, если он
пришел в то место, из которого вышел второй, на
2,5 ч позже, чем второй пришел в то место,
откуда вышел первый?
1) 7,5; *
2) 5;
3) 10;
4) 11,5;
5) 5.
12. Из города А в город В вышел пешеход. Через
некоторое время после этого из города В в город
А выехал велосипедист, а ещё через час вслед за
велосипедистом выехал мотоциклист. Все
участники ехали равномерно и встретились в
одной точке. Пешеход пришел в город В через 6
ч после выезда мотоциклиста из города В, а
мотоциклист прибыл в город А через 4 ч после
1) 120;
2) 48;
3) 36;
18
выезда пешехода из города А. Через сколько
минут после мотоциклиста велосипедист прибыл
в город А?
4) 40; *
13. Из пункта А в пункт В вышел пассажирский
поезд. Через 3 ч вслед за ним вышел скорый
поезд. Скорый поезд догнал пассажирский в
середине пути из А в В. В момент прибытия
скорого поезда в В поссажирский поезд прошел
13/16 всего пути. Сколько часов потребуется
пассажирскому поезду на прохождение всего
пути?
1) 22 ч;
5) 116.
2) 15 ч;
3) 12 ч;
4) 18 ч;
5) 16 ч. *
14. Два туриста идут навстречу друг другу – один
из пункта А, другой – из пункта В. Первый
вышел на 6 ч позже, чем второй. При встрече
оказалось, что он прошел на 12 км меньше
второго. Продолжая путь с той же скоростью,
первый турист пришел в В через 8 ч, а второй – в
А через 9 ч после встречи. Определить скорость
первого туриста
1) 6; *
2) 5,5;
3)4;
4) 6,5;
5) 5,75
15. Расстояние между пунктами А и В 100 км. Из А
в В одновременно выезжают два автомобиля.
Первый проезжает за 1 ч на 10 км больше
другого и прибывает в В на 50 мин раньше.
Определить
скорость
(в
км/ч)
первого
автомобиля.
1) 50;
2) 40; *
3) 35;
4) 39.
19
КРАТКИЕ РЕШЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ
Задача 1:
Краткое решение:
x
n

220 n  m
x
m

180 n  m
S, д
n
180
x
x


1
220 180
m
x
Откуда х = 99.
Ответ: 99 деталей.
220
O
Задача 2:
Краткое решение:
x 1
2
  x  ч,
2 3
3
t
S
t0
В
16
х = 40 мин.
Ответ: 40 минут.
А
Задача 3:
Краткое решение:
Обозначим: v – скорость
третьего велосипедиста.
t0
t, ч
25
III
S, м
12(4+t)=v(t+2)=y,
I
II
10(1+t)=vt=x.
Разделим
уравнение
получим:
на
первое
второе,
64  t  t  2

,
51  t 
t
откуда t = 1
y
x
1
1
t
2
20
t, ч
Подставим во второе уравнение t = 1, получим v = 20.
Ответ: 20 км/ч.
Задача 4:
Краткое решение:
S, м
х
x
v 300  x  100 v2
 2,
  x  200
300 v1
x  400
v1
400
АВ = 500 м.
Ответ: 500 метров
300
х - 100
А
t
Задача 5:
Краткое решение:
Треугольники AEC
и DEB подобны с
коэффициентом
подобия 3/2.
S, м
B
D
5 частей
Следовательно:
BD 3
  BD  1,5 .
AC 2
Катер, вышедший
из В возвращается
через 1,5 часа.
Ответ 1,5 часа.
Задача 6
Краткое
решение:
1 часть
E
4 части
S, м A
1/4
В
1
55
5
C
t, ч
8.00
Одно и тоже расстояние
пешеход проходит за 55
минут, а автомобиль – за
5 минут, следовательно,
скорость автомобиля в
11 раз больше.
Ответ: В 11 раз.
21
5
А
9.00
10
t
Задача 7:
Краткое решение:
p 40 x t 0  10 z 5  t 0
, 
, 
.

z t0 p
x 15  t 0
60
S, м
II
III
I
B
Выполним почленное умножение
этих равенств, получим:
p
2 t 0  10 5  t 0


1 t0  5
t0
3
15  t 0
20
z 1
   65  m  80
65  m p 4
Ответ: 80 секунд.
x
z
A
5
t0
AN = NK = x. Значит,
CLB= LFM,
следовательно, CB = MF =
5.
BMFA – трапеция, LE –
средняя линия. Поэтому
LE = (75+5)/2=40.
60
S, км
С
5
L
B
M
D
F
75
Треугольники LDE и MDF
подобны. Следовательно,
E
DE LE 40


8
DF MF
5
DF = n, EF = AE = 7n.
t, ч
40
Задача 8
Краткое решение:
m
10
20
A
x
N
x
K
R
t, м
AD ED

,
AR NR
15n 8n

,
AR 20
AR 
15n  20 75

8n
2
22
Ответ: 35,5 минут.
Задача 9
Краткое решение:
S0 S0

 45 ,
v1 v2
(1)
S0 S0

x
v2 v3
(2)
S
В
S0
S0
А
Из равенства (1) следует,
что
45v1v2
S0 
v1  v2
В
(3)
Подставив в равенство (2)
выражение (3), получим
x
Б
А
45
x
t, мин
45v3  v2 v2
v2  v1 v3
Ответ:
45v3  v2 v2
v2  v1 v3
S, км
8
6+t0
Задача 10
Краткое решение:
B
6  t0 8
  t0  6
9
t0
S 0  12 8 4
   S 0  36
S0
6 3
S0+12
36:6 = 6 (км/ч) – скорость первого туриста;
48:12 = 4 (км/ч) – скорость второго туриста.
Ответ: 6 км/ч, 4 км/ч.
S0
Задача 11
Краткое решение:
Необходимо рассмотреть пары
подобных треугольников: ВОМ и
B1ON
S, км
3A ч
t ч t0
6
М
2,5 9ч
t, ч
В
А1
и треугольники ОМА1 и ONA
O
Получим:
t= -4,5 или t = 2. По смыслу
задачи получаем, что t = 2.
А
В1
3ч
N
23
Задача 12
Краткое решение:
Необходимо рассмотреть пары
подобных треугольников: MOP1 и
M1OP
𝑀𝑃1
𝑀𝑂
=
𝑃𝑀1 𝑂𝑀1
и треугольники VOM и V1OM1
𝑉𝑀
𝑀𝑂
=
𝑉1 𝑀1 𝑂𝑀1
Получим:
6 1
2
= ; 𝑥= ч
4 𝑥
3
S, км
1ч
М
6 ч
P1
V
O
P
V1
M1
xч
4ч
t, ч
Задача 13
Краткое решение:
О – момент встречи, значит AR= 0,5
АВ, АТ=13/16 АВ и ТВ=3/16 АВ.
Треугольник РОС равен
треугольнику Р1ОС1.
Треугольник РОК подобен
треугольнику Р1МС1, тогда
ОК
АК
=
, получим АК=8 ч.
С1 М
С1Р1
S, км
3 ч P1
C1
В
T
M
R
O
P
А
3ч
С
K
t, ч
24
Задача 14
Краткое решение:
Треугольники МОТ1 и NOT
подобны
𝑀𝑇1 𝑀𝑂
=
𝑇𝑁
𝑁𝑂
Треугольники B1NO и BMO
подобны
𝐵𝑀 𝑀𝑂
=
𝐵1 𝑁 𝑂𝑁
8
𝑡+6
Получаем =
, t= -10 или t=6.
𝑡
9
Подставляем значение t и
находим, что х =36 км.
𝑂𝑁 36
𝑣1 = 𝑡𝑔𝛼 =
=
= 6 км/ч
𝑇𝑁
6
t+6
ч
S, км
М
8ч
Т1
В
x+12
ч
O1
O
xч
А
tч
6ч Т
N
9ч
В1
t, ч
Задача 15
Краткое решение:
𝑣1 = 𝑡𝑔𝛽; 𝑣2 = 𝑡𝑔𝛼; 𝑡𝑔𝛽
= 𝑡𝑔𝛼 + 10
Треугольник АА1N –
прямоугольный
𝐴1 𝑁
𝑡𝑔𝛽 =
𝐴𝑁
Треугольник АА2M –
прямоугольный
𝐴2 𝑀
𝑡𝑔𝛼 =
𝐴𝑀
Подставим в уравнение и получим,
что t=15/6 или t=-20/6. Значит
t=15/6 ч.
S, км
A1
A2
В
100 км
β
А
α
tч
N
5/6 ч М
t, ч
25
РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УСПЕШНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Проанализировав литературу можно выделить некоторые рекомендации
для успешного решения задач.
1. Узнать, что дано: какие заданы объекты, как они связаны между собой.
Вспомните, что о них известно (их свойства и признаки).
2. Разделить всё, что дано, на отдельные части – их называют условием
задачи.
3. Понять, что надо найти или доказать: какие объекты требуется
определить, как они связаны между собой, как они связаны с данными
объектами, какое свойство надо установить.
4. Разделить все, что надо найти, на отдельные части – их называют
требованиями, или вопросами, задачи.
5. Понять, как выглядит конечный результат, что он собой представляет, от
чего зависит
6. Убедится, что понятны каждое слово, каждый термин текста задачи.
Заменить математические термины их определениями.
7. Если данные или искомые элементы не обозначены, необходимо ввести
обозначения для символьной записи всех условий и требований задачи.
8. Построить модель задачи: нарисовать схему, сделать чертеж. Чертеж
должен быть точным, не мелким, не для частного случая. В чертеж
вносится все, что дано в условии, и все что известно про данные и
искомые элементы. Желательно выделить данные элементы, например,
обвести их пожирнее или отметить другим цветом.
9. Определить, при каких ограничениях задача имеет смысл.
Нелегко искать нужную вещь в темноте. Бывает, и не найдешь. А
с
фонариком - совсем другое дело. Освоив рекомендации легче вести
поиск решения задачи. Проверено на практике. [2]
26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вывод: графический метод решения текстовых задач во многих случаях
является наиболее рациональным, значительно упрощает решение, ведет к
быстрому получению ответа. Необходимо отметить, что ни один метод не
является универсальным. Важно иметь навыки решения задач и выбирать в той
или иной ситуации рациональный метод решения.
27
Список использованных источников
1. Пирютко О.Н.. – Графический метод решения текстовых задач. Минск:
Новое знание, 2010.
2. Финкельштейн М.В.. Что делать, когда решить задачу не удается. / М.В.
Финкельштейн. – 4-е издание- Илекса, Москва, 2008.
3. Арефьева И.Г. Математика. Пособие – репетитор. /И.Г. Арефьева.Минск: Аверсев, 2008.
4. Федорако Е.И. – Практикум по математике для подготовки к
централизованному тестированию. /Е.И. Федорако. – 3-е издание –
Мозырь: Белый Ветер, 2012.
5. Садовничий Ю. В Математика. Конкурсные задачи по алгебре с
решениями. Часть6. Решение текстовых задач. Учебное пособие.-3-е изд.,
стер.- М .: Издательский отдел УНЦ ДО, 2003г. (серия «В помощь
абитуриенту»)
6. М.В. Лурье, Б.И. Александров Задачи на составление уравнений. Учебное
руководство.- М. : Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1990г.
28
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Результаты анкетирования
4) Вызывают ли у Вас затруднения текстовые задачи?
1.1 До проведенных занятий: а) да – 71%, нет – 29%
1.2 После проведённых занятий: а) да – 25%, нет – 75%
29
2) Решили ли Вы текстовую задачу на пробном тестировании?
а) да – 23%; нет – 77%
3) Какой метод решения задач Вы выберите, если будет предложена задача
такого типа?
а) алгебраический – 12%; б) геометрический – 64%; в) не знаю – 24%
30
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1) Из пункта А в В вышел первый спортсмен. Одновременно с ним из
пункта В в пункт А вышел второй спортсмен. Они встретились в полдень.
Первый спортсмен достиг противоположного пункта в 16 ч, второй в 21
ч. Определить в какое время они вышли из своих пунктов.
2) Из города А со скоростью 48 км/ч выехал мотоциклист. Через 50 мин в
том же направлении со скоростью 63 км/ч выехал автомобиль. Через
сколько времени после выезда автомобиль окажется на 42 км дальше
мотоцикла?
3) Из города А в город В выезжает велосипедист, а через 3 часа после этого
из города В навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость первого в 3
раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист
встречаются на середине пути между А и В. Сколько минут в пути до
встречи был велосипедист?
31
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
РЕЗУЛЬТАТЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
32