XXVII сессия Российского акустического общества, посвященная памяти ученых-акустиков ФГУП «Крыловский государственный научный центр» А. В. Смольякова и В. И. Попкова Санкт-Петербург,16-18 апреля 2014 г. А.Н. Соколов Крыловский государственный научный центр an.cokolov@gmail.com Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью Аннотация Исследуются колебания упругой цилиндрической оболочки, армированной кордом и заполненной идеальной сжимаемой жидкостью. Рассматривается случай ортотропной оболочки, когда нити корда укладываются симметрично относительно меридиана оболочки. На основе классических уравнений ортотропной оболочки получено дисперсионное уравнение совместных колебаний оболочка-жидкость. Для описания колебаний в низкочастотной области предложена приближенная одномерная модель. Произведен анализ дисперсионных кривых по оболочечной и приближенной моделям, для оболочки с арамидным кордом. Ключевые слова: ортотропная оболочка, дисперсионные кривые. ВВЕДЕНИЕ Армированные цилиндрические оболочки получили широкое распространение в технике. Одной из основных сфер их применения являются гидравлические системы, где такие оболочки применяются в качестве гибких вставок. Математическому описанию колебаний армированных оболочек с жидкостью посвящено множество работ [1-7]. Однако в практике инженерных расчетов элементы гидравлических систем принято рассматривать на основе балочной модели [8-11]. В связи с этим в настоящей работе предлагается приближенная одномерная модель армированной оболочки с жидкостью. 1. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ АРМИРОВАННОЙ СЛОЯ Армированная оболочка, как правило, представляет собой многослойный композит, состоящий из слоев наполнителя и корда (см. рисунок 1). XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 2 _________________________________________________________________________________________ Рис. 1. Армированная оболочка Для компенсации распорных усилий, возникающих в оболочке под действием внутреннего давления, нити корда укладываются под углом ± θ к меридиану оболочки. В системе координат ( x, ϕ ) (см. рисунок 2) такая оболочка, обладает свойством ортотропности. Рис. 2. Армированный слой Представляя оболочку однородной, определим ее упругие постоянные. Для этого рассмотрим элемент, состоящий из нитей корда с наполнителем (см. рисунок 3). Рис. 3. Композит Упругие постоянные такого композита по главным направлениям упругости - 1, 2 согласно [12] вычисляются по формулам E1 = EbVb + E m (1 − Vb ) , (1) _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 3 _________________________________________________________________________________________ 1 Vb (1 − Vb ) = + , E 2 Eb Em ν 12 = ν bVb + ν m (1 − Vb ) , ν 21 = ν 21 E2 , E1 1 Vb (1 − Vb ) = + , G Gb Gm где Eb , Gb , ν b - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона нити корда, а E m , Gm , ν m - соответствующие параметры наполнителя; Vb - объемная доля корда. Плотность композита определяется из выражения ρ s = ρ bVb + ρ m (1 − Vb ) , где ρ b и ρ m - плотность нитей корда и наполнителя соответственно. Для оболочки с углом укладки нитей корда ± θ упругие параметры обобщенного закона Гука в системе координат ( x, ϕ ) рисунка 2 имеют вид [13] ′ ) sin 2 θ cos 2 θ + B22 ′ sin 4 θ , B11 = B11′ cos 4 θ + 2( B12′ + 2 B66 ′ ) sin 2 θ cos 2 θ + B22 ′ cos 4 θ B22 = B11′ sin 4 θ + 2( B12′ + 2 B66 ′ − 2( B12′ + 2 B66 ′ )]sin 2 θ cos 2 θ B12 = B12′ + [B11′ + B22 (2) ′ + [B11′ + B22 ′ − 2( B12′ + 2 B66 ′ )]sin 2 θ cos 2 θ B66 = B66 где B11' = E1 E2 ν E ν E ' , B22 = , B66' = G , B12' = 2 1 = 1 2 , 1 −ν 1ν 2 1 −ν 1ν 2 1 −ν 1ν 2 1 −ν 1ν 2 здесь E1 , E2 , ν 1 , ν 2 - параметры композита по главным направлениям упругости, вычисляемые по формулам (1). 2. КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЖИДКОСТЬЮ Для описания ортотропной оболочки воспользуемся классическими уравнениями в перемещениях [13]. Колебания жидкости, заполняющей оболочку, описываются волновым уравнением в цилиндрических координатах [14]. На границе контакта оболочки с жидкостью задается равенство радиальных скоростей [15]. _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 4 _________________________________________________________________________________________ Рис. 4. Система координат оболочки Таким образом, с учетом обозначений, принятых на рисунке 4, колебания рассматриваемой системы описываются уравнениями (3) с граничным условием (4). L11u + L12 v + L13 w = ρ s h ∂ 2u , ∂t 2 L21u + L22 v + L23 w = ρ s h ∂ 2v , ∂t 2 ∂2w ∂Φ , L31u + L32 v + L33 w = − ρ s h 2 + ρ f ∂t ∂t (3) ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ ω 2 + 2 + + + Φ = 0. ∂x 2 ∂r r ∂r r 2 ∂ϕ 2 c 2f ∂w ∂Φ =− ∂t ∂r . (4) r=R Здесь L11 = C11 ∂ 2 C 66 ∂ 2 + , ∂x 2 R 2 ∂ϕ 2 L12 = L21 = C12 + C 66 ∂ 2 , R ∂x∂ϕ (5) L13 = L31 = 1 ∂ C12 , R ∂x 2 2 4 1 1 ∂ ∂ L22 = C66 + 2 D66 2 + 2 C 22 + 2 D22 2 , R R R ∂x ∂ϕ _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 5 _________________________________________________________________________________________ L23 = L32 = D ∂3 1 C 22 ∂ 1 ∂3 − ( D12 + 4 D66 ) 2 − 223 R R ∂ϕ R ∂x ∂ϕ R ∂ϕ 3 D22 ∂ 4 1 2 ∂4 ∂4 ( 2 ) C + D + D + D + 22 11 12 66 R2 ∂x 4 R 2 ∂x 2 ∂ϕ 2 R 4 ∂ϕ 4 L33 = h3 где Cik = hBik , Dik = B . 12 ik В (3) – (5) приняты следующие обозначения: ρ s - плотность резинокордной оболочки, h - толщина оболочки, R - радиус срединной плоскости оболочки, ρ f плотность жидкости, c f - скорость звука в жидкости, ω - круговая частота, Bik упругие параметры обобщенного закона Гука в цилиндрической системе координат оболочки, вычисляемые по формулам (2). Решение системы (3) представляется в виде u = ∑U n cos(nϕ ) e −i (ωt −k z z ) , n v = ∑Vn sin(nϕ ) e −i (ωt −k z z ) , n w = ∑ Wn cos(nϕ ) e − i ( ωt − k z z ) (6) , n Φ = ∑ J n (k r r )Φ n cos(nϕ ) e −i (ωt −k z z ) , n где J n (k r r ) — функции Бесселя порядка n . Подставляя (6) в (5), (4), (3) получаем систему линейных алгебраических уравнений a11 a 21 a31 0 a12 a 22 a32 0 a13 a 23 a33 a 43 0 U n 0 Vn =0, a34 Wn a 44 Φ n где a11 = −(k z2 C11 + n 2 C 66 − ρ s hω 2 ) , a12 = ik z n(C12 + C66 ) , a13 = ik z C12 , R 4 1 a 21 = −ik z n(C12 + C 66 ) , a 22 = −k z2 C 66 + 4 D66 − n 2 C 22 + 2 D22 + ρ s hω 2 , R R a 23 = [ ] 1 nC 22 − k z2 n( D12 + 4 D66 ) − D22 n 3 , R _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 6 _________________________________________________________________________________________ a32 = − a33 = [ ] 1 nC 22 − k z2 n( D12 + 4 D66 ) − D22 n 3 , R 1 C 22 + D11k z4 + 2k z2 n 2 ( D12 + 4 D66 ) + D22 n 4 − ρ s hω 2 2 R a34 = −iωρ f J n (λ ) a 43 = −iω , a 44 = − 1 (nJ n (λ ) − λJ n+1 (λ )) . R где k z2 = k 2f − (λ / R) 2 , λ = k r R . Приравнивая нулю определитель системы, получим дисперсионное уравнение a11 a det 21 a31 0 a12 a 22 a32 0 a13 a 23 a33 a 43 0 0 = 0, a34 a 44 (7) 3. ПРИБЛИЖЕННАЯ МОДЕЛЬ Как известно, в системе ортотропная цилиндрическая оболочка с жидкостью в низкочастотной области распространяющимися являются четыре типа волн – плоская волна в жидкости, продольная, изгибная и крутильная волна в оболочке [3]. Рассмотрим данные виды колебаний в одномерном приближении. 3.1. Продольные колебания Для описания совместных продольных колебаний ортотропной оболочки с жидкостью воспользуемся уравнением [16]. ∂4P ∂2P + α +β ⋅P = 0, ∂x 4 ∂x 2 (8) где α = ω 2 ( Aρ f + S11 ρ s ) , β = ω 4 ρ f ρ s ( AS11 − 2 BS122 ) ( ) R 2 ( R + h) 2 ln(1 + h / R) + ( R + h / 2)h 2 RS 22 2S 22 (1 + h / R) A= + + , B= , ρf h (2 + h / R ) 2h 2 ( R + h / 2) 2 c 2f здесь S11 = B22 / B# , S 22 = B11 / B# , S12 = − B12 / B# , S 66 = 1 / B66 , B# = B11 B22 − ( B12 ) 2 . Подставляя P = e λ в (8), получаем дисперсионное уравнение λ4 + αλ 2 + β = 0 , из решения которого, находим выражения для волновых чисел _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 7 _________________________________________________________________________________________ λ1*, 2 = ± (−α + α 2 + 4β ) / 2 λ * 3, 4 , (9) = ± (−α − α + 4 β ) / 2 2 Первые два корня соответствуют прямой и обратной продольной волне в оболочке, вторые два – плоской волне в жидкости. 3.2. Изгибные колебания Для описания изгибных колебаний будем использовать уравнение Тимошенко для ортотропной балки B11 (1 − ν 12ν 21 ) J B11 (1 − ν 12ν 21 ) ∂ 2 w ρ 2 Jω 4 ∂4w 2 2 ρ ω + J 1 + − S − ω ρ ∂x 2 χB66 χB66 ∂x 4 w = 0 , (10) где ρ - эффективная плотность; J - момент инерции сечения; S - площадь поперечного сечения оболочки; χ - коэффициент сдвига. Упругие постоянные «ортотропной балки Тимошенко» определяются из выражений Выражение для эффективной плотности имеет вид ρ = ρs + ρf (1 + h / R )2 − 1 , Выражение для коэффициента сдвига ортотропной балки с кольцевым сечением согласно [17] имеет вид χ= 6 B11 (1 − ν 12ν 21 )(1 − m 4 )(1 + m 2 ) , B66ν 12 (2m 6 + 18m 4 − 18m 2 − 2) − B11 (1 − ν 12ν 21 )(7m 6 − 27m 4 − 27m 2 − 7) где m = R /( R + h) , ν 12 = B12 / B11 , ν 21 = B12 / B22 . В балке, описываемой уравнением (10), распространяется две волны, однако вторая волна в низкочастотной области является неоднородной. Выражение для волнового числа первой волны имеет вид 2 B11 (1 − ν 12ν 21 ) 4 B (1 − ν ν ) S B (1 − ν 12ν 1 − + 11 2 12 21 + 1 + 11 χ ⋅ B66 χ ⋅ B66 ω ρ⋅J ω2ρ kb = ⋅ 2 B11 (1 − ν 12ν 21 ) (11) . 3.3. Крутильные колебания Наиболее известными приближенными теориями крутильных колебаний стержней являются теории Кулона, Сен-Венана и Тимошенко, однако для кольцевого сечения все эти теории дают одинаковый результат [18]. Поэтому крутильные колебания будем рассматривать на основе технической теории. _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 8 _________________________________________________________________________________________ ∂ 2φ − k t2φ = 0 , ∂x 2 где kt2 - волновое число крутильных волн. kt = ω 2ρs B66 (12) , где ρ s - плотность оболочки. 4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ Численные эксперименты проводились при значениях параметров, представленных в таблице 1 Таблица 1. Параметры оболочки и жидкости Плотность наполнителя ρ m (кг/м3) 1200 Плотность корда ρ b (кг/м3) 1300 Плотность жидкости ρ f (кг/м3) 1000 Скорость звука в жидкости c f (м/с) 1500 Модуль Юнга корда Eb (Па) 2·1011 Модуль Юнга наполнителя Em (Па) 1·109 Коэффициент Пуассона наполнителя ν m 0.4 Коэффициент Пуассона корда ν b Угол укладки корда θ (град) 0.3 Объемная доля корда Vb Толщина оболочки h (м) 0.24 0.005 Внутренний радиус R (м) 0.05 52 На рисунках 4-6 представлены дисперсионные кривые, полученные по оболочечной модели (S00, S01, S02, S11) и по приближенной модели (B00, B01, B02, B11). По оси ординат отложены величины волнового числа, по оси абсцисс – безразмерная частота. _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 9 _________________________________________________________________________________________ K S00 S01 B00 B01 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Частота 0.9 1 Частота Рис. 5. Дисперсионные кривые продольных волн K S02 1 B02 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Рис. 6. Дисперсионные кривые крутильных волн _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 10 _________________________________________________________________________________________ K S11 B11 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Частота Рис. 7. Дисперсионные кривые изгибных волн Из рисунков видно, что приближенная модель удовлетворительно описывает дисперсионные ветви, соответствующие продольной и крутильной волнам в оболочке. Дисперсионные ветви, соответствующие плоской волне в жидкости совпадают вплоть до частоты 0.15, а далее расходятся. Модель, описывающая изгибные колебания дает хорошее совпадение с оболочечной только на самых низких частотах (до 0.8) и требует доработки. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Предложена приближенная модель, описывающая колебания армированной оболочки с жидкостью в низкочастотной области. На основе анализа дисперсионных кривых, полученных по оболочечной и упрощенной моделям, определяются границы применимости последней. ЛИТЕРАТУРА 1. I. Mirsky. Vibrations of orthotropic, thick, cylindrical shells. The Journal of the Acoustical Society of America, 36(1):41–51, 1964. 2. Г.И. Пшеничнов. Свободные колебания наполненных жидкостью соосных ортотропных цилиндрических оболочек. In Трды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, 1973. 3. C. W. Bert, T. L. C. Chen. Wave propagation in fluid-conveying piping constructed of composite material. Journal of Pressure Vessel Technology, 97(3):178–184, August 1975. 4. R.N. Shvets, R.A. Marchuk. Nonaxisymmetric elastic wave propagation in an orthotropic cylindrical shell interacting with a fluid. Soviet Applied Mechanics, 15(2):134–138, 1979. 5. R.J. Pinnington. Axisymmetric wave transfer functions of flexible tubes. Journal of Sound and Vibration, 204(2):291 – 310, 1997. _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью XXVII сессия РАО, Санкт-Петербург, 16-18 апреля 2014 г. 11 _________________________________________________________________________________________ 6. G.R. Gulgazaryan, L.G. Gulgazaryan, and R.D. Saakyan. The vibrations of a thin elastic orthotropic circular cylindrical shell with free and hinged edges. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 72(3):312 – 322, 2008. 7. Vijay S. Prakash, Venkata R. Sonti. Asymptotic expansions for the structural wavenumbers of isotropic and orthotropic fluid-filled circular cylindrical shells in the intermediate frequency range. Journal of Sound and Vibration, 332(16):3696 – 3705, 2013. 8. de Jong CAF. Analysis of pulsations and vibrations in fluid-filled pipe systems. PhD thesis, Eindhoven University of Technology, Department of Mechanical Engineering, Eindhoven, The Netherlands, 1994. 9. A.S. Tijsseling. Fluid-structure interaction in liquid-filled pipe systems: a review. Journal of Fluids and Structures, 10:109 – 146, 1996. 10. Matej Tadina and Miha Boltezar. Vibrations of a 3-dimensional piping system. Journal of Mechanical Engineering, 53(6):386–398, 2007. 11. Н.А. Кузнецов, В.И. Попков, С.В. Попков, В.В. Черноберевский. Сопротивления гибких вставок устанавливаемых в трубопроводы с жидкостью. Труды «ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова», Судовая акустика, 12(296):19–31, 2002. 12. Artur K. Kaw. Mechanics of Composite Materials, Second Edition. CRC Press LLC, 2005. 13. С.А. Амбарцумян. Общая теория анизотропных оболочек. "Наука" М., 1974. 14. Jeong Ho You, K. Inaba. Fluid-structure interaction in water-filled thin pipes of anisotropic composite materials. Journal of Fluids and Structures, 36(0):162 – 173, 2013. 15. Е. Скучик. Основы акустики. Мир, Москва, 1976. 16. Е.Л. Шендеров. Излучение и рассеяние звука. "Судостроение" Л., 1989. 17. Sangiahnadar Dharmarajan, Hugh McCutchen. Shear coefficients for orthotropic beams. Journal of Composite Materials, 7(4):530–535, 1973. 18. Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963. _________________________________________________________________________________________ А.Н. Соколов Колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью