R - МАИ

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 69
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 531.383:532.516
Моделирование волн деформаций в физически нелинейной
оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость
Блинков Ю. А.1*, Иванов С. В.2**, Могилевич Л. И.3***
1
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского,
ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Россия
2
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина
Ю.А., ул Политехническая, 77, Саратов, 410054, Россия
3
Московский государственный университет путей сообщения (Поволжский
филиал), ул. Астраханская, 1а, Саратов, 410790, Россия
*e-mail: [email protected]
**е-mail: [email protected]
***е-mail: [email protected]
Аннотация
Настоящая
работа
посвящена
компьютерному
моделированию
распространения нелинейных волн деформации в геометрически и физически
нелинейных цилиндрических оболочках содержащих вязкую несжимаемую
жидкость.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, нелинейные волны деформации,
гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, солитон
Введение
Для моделей, описываемых уравнениями в частных производных, не всегда
удается построить аналитические решения и в этом случае для их исследования
можно применять численные эксперименты на соответствующих разностных
схемах. Так, для построения разностных схем из первоначально заданных базовых
разностных
соотношений,
аппроксимирующих
исходную
систему
дифференциальных уравнений, строится базис Грѐбнера разностного идеала. Из
этого базиса, иногда в нелинейном и всегда в линейном случае, можно извлечь
разностную схему, которую иногда невозможно построить традиционными
методами генерации разностных схем. Зачастую такие разностные схемы
обладают уникальными свойствами, хорошо передающими физику процессов,
описываемых исходными дифференциальными уравнениями.
Настоящее исследование посвящено анализу распространения нелинейных
волн
деформаций
цилиндрической
в
геометрически
оболочке,
и
содержащей
физически
вязкую
нелинейной
несжимаемую
упругой
жидкость.
Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке без взаимодействия с
жидкостью ранее исследованы с позиций теории солитонов. Наличие жидкости
потребовало разработки новой математической модели и компьютерного
моделирования процессов, происходящих в рассматриваемой системе.
В представленной работе техника базисов Грѐбнера будет использована для
анализа распространения нелинейных волн деформаций в упругих геометрически
и физически нелинейных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую
несжимаемую жидкость.
2. Постановка задачи гидроупругости и построение математической
модели методом возмущений
Волновые
процессы
в
упругой
цилиндрической
оболочке
без
взаимодействия с жидкостью ранее исследованы в [1,2]. Получим уравнение
динамики, описывающее волну деформации, с учетом наличия жидкости в
оболочке с помощью асимптотических методов для решения связанной задачи
гидроупругости с соответствующими граничными условиями. Рассмотрим
бесконечно длинную упругую цилиндрическую оболочку, внутри которой
находится
вязкая
несжимаемая
жидкость.
Уравнения
движения
вязкой
несжимаемой жидкости и уравнения неразрывности в цилиндрической системе
координат r , , x записываются в случае осесимметричного течения в виде [3].
Vr
V
V 1 p
 Vr r  Vx r 
t
r
x  r
Vx
V
V
1 p
 Vr x  Vx x 
t
r
x  x
Vr Vr Vx
 
r
r
x
  2V 1 Vr  2Vr Vr 
=   2r 
 2  2 ,
r r
x
r 
 r
2
2
  V 1 Vx  Vx 
=   2x 
 2 ;
r r
x 
 r
(1)
= 0.
На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости
Vr = 
W
U
, Vx =
при r = R1  W
t
t
(2)
Здесь t — время; Vr ,Vx — проекции вектора скорости жидкости на оси
цилиндрической системы координат; p — давление;  — плотность;  —
кинематический коэффициент вязкости; U — продольное упругое перемещение
оболочек по оси x ; W — прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; R1
— внутренний радиус оболочки.
Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в
перемещениях для модели Кирхгофа-Ляве, считаем материал нелинейно-упругим
с кубической зависимостью интенсивности напряжений  1 от интенсивности
деформаций e1 [4,5].
1 = Ee1  me13.
(3)
Здесь E — модуль Юнга; m — константа материала, определяемая из
опытов на растяжение или сжатие.
Уравнения динамики геометрически и физически нелинейной оболочки с
учетом (3) записываются в виде [5].
2
2
Eh0   U 1  U  1  W  h02   2W
 
  
  
1  02 x  x 2  x  2  x  24  x 2


2
4 m   U W  U W 
 2U
  
 0 h0 2 = qx ,


3 E   x R 
x R 
t
Eh0 h02  2
1  02 12 x 2
  2W
 x 2

 U   0
1 
 
x   R


 1  U  2 1  W  2 h 2   2W
 
  
  0  2
 2  x  2  x  24  x
2
W  4 m   U W  U W 
 2 1 
  


R  3 E   x R 
x R 
2
2
  W  U 1  U  1  W  h02   2W
 
 



  
x  x  x 2  x  2  x  24  x 2


 0
2

W
  0 1 
R


2

 

2
 U 
 

x 


(4)
2
W   4 m   U W  U W  
 2W
1





h
= qn .






0 0
R   3 E   x R 
x R  
t 2

Здесь  0 — плотность материала оболочки;  0 — коэффициент Пуассона;
R
— радиус срединной поверхности оболочки; h0 — толщина оболочки
( h0 /2 = R  R1 ) ; c0 = E/[ 0 (1  02 )] — скорость звука в материале оболочки; qx , qn —
напряжения со стороны жидкости.
Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочки W  R  ,
то можно считать, что поверхностные напряжения со стороны жидкости
определяются формулами
  V V
qx =    x  r
x
  r
V 


 , qn =  p  2  r  .
r  r = R

 r = R
Принимая за характерную длину — длину волны
(5)
l,
перейдем к
безразмерным переменным для исследования уравнений (4)
W = wmu3 , U = umu1 , t * =
c0
x
t , x* = .
l
l
(6)
Положим
um
l
h0
R
wm
R
E
m
=  = o(1),
= O( ),
= O( ),
R
l
= O( ),
g
= O( 1/2 ),
R
c0
= O( 3/2 ).
(7)
где   1 — малый параметр в задаче (4).
Применим метод двухмасштабных асимптотических разложений, вводя
независимые переменные в виде
 = x*  ct * ,  = t * ,
(8)
где c — безразмерная неизвестная скорость волны,  — внутренняя
переменная, а зависимые переменные представим в виде разложения по малому
параметру 
u1 = u10  u11   u3 = u30  u31  
(9)
Для определения правой части уравнения (4) ведем безразмерные
переменные и параметры
c
Vr = wm 0 vr ,
l
c
r
c
x
c0lwm
Vx = wm 0 vx , r* =
, t* = 0 t , x* = , p =
P,
R1
R1
l
l
R13
(10)
R1
wm
1/2
=
= O(  ),  =
= O ,   1,   1.
l
R1
Подставляя (10) в уравнения гидродинамики (1) и граничные условия (2),
представим безразмерные скорость и давление в виде разложения по малому
параметру 
vx = vx0  v1x  , vr = vr0  v1r  , P = P0  P1  
(11)
С принятой точностью по  , ,  положим R1  R и окончательно получим
2
2
2
 2u10 um 1  0 u10  2u10 1  R  0 1  0  4u10





 l
2
  2   l 
2
 4
2
2
2
2m  um 
2
2  u   u10


  1  0  0  1  0  10 
2
E  l 
   
2

 2 1  20 
2
  hlR c
0 0
1 0
(12)
u10
= 0.

Легко видеть, что замена
u10
= c ,  = c1 , t = c2

(13)
позволяет записать уравнение (12) в виде

  3

 6
 3   1 2
  = 0.
t
 

(14)
Здесь  = 1 (при 0 < 1/2 — неорганические материалы),  = 1 (при 0 > 1/2
— живые организмы) и  = 0 (при 0 = 1/2 — резина).
Постоянные c, c1 , c2 ,  1 определяются при подстановке (13) в (12) и имеют вид

c2 =  2 1  20 
2

1/3
 l 

l
2
 ,
, c1 = c2  
 0 h0R1c0
  R  02 1  02 
2
2
2
R2 2 2
2m  u m 
2
2 c c1
c=6
0 c1 ,  1 =
.
  (1  0  0 ) 1  0
lu m
E  l 
c2
В случае отсутствия жидкости последнее слагаемое в уравнении (14)
исчезает и оно переходит в МКдВ и имеет точное частное решение в виде
солитона

k2
1 1 k
2
1
6
где   k  k 3t
(15)
ch 
Эти решения при t = 0 можно взять в качестве начальных условий при
решении задачи Коши для уравнения (14).
3. Компьтерное моделирование
В работах [6,7,8] развит подход к построению разностных схем, основанный
на построение переопределенной системы разностных уравнений, получаемой из
аппроксимации интегральных законов сохранения и интегральных соотношений,
связывающих искомые функции и их производные.
Запишем уравнение (14) в интегральной форме


(3 2 
1
3
 3   ) dt   d    dt d = 0

(16)
для любой области  . Для перехода к дискретной формулировке
сопоставим u nj =  (tn , j ) и выберем в качестве базового контур, показанный на рис.
1.
Рис. 1. Базовой контур для уравнения (16)
Добавим интегральные соотношения
 j 1

u d
 j 1

= u (t , j 1 )  u (t , j ),
j
u d
= u (t , j 1 )  u (t , j ).
(17)
j
Используя для интегрирования по времени и по четным производным по 
формулу трапеций, а по нечетным производным по  формулу среднего значения,
и полагая tn1  tn =  ,  j 1  j = h , перепишем соотношения (16),(17) в виде
 2u

u

3
2n
j
1



n 1
n
n 1
3 n 1
j
3n
j 2
3 n 1
j 2
 u 2 j  u 2 j 2  u 2 j 2 
3n
j
u
u
n 1
u
n 1
 2 
 u j  u j  u j  2  u j 2 
n
n
(18)
 (u nj11  u nj1 )  2h   (u nj11  u nj1 )  h = 0,
h
= u nj1  u nj ,
2
n
n
n
u j 1  2h = u j 2  u j .
(u j 1  u j ) 
n
n
За счет выбора допустимого лексикографического упорядочения сначала по
функциям u  u  u , затем по переменным n, j получена следующая разностная
схема для уравнения (14), аналогичная схеме Кранка-Николсона для уравнения
теплопроводности
u nj 1  u nj

n 1
n 1
n
n
(u 2 j 1  u 2 j 1 )  (u 2 j 1  u 2 j 1 )


4h
(u nj12  2u nj11  2u nj11  u nj12 )  (u nj 2  2u nj1  2u nj1  u nj 2 )
3
4h 3
n 1
n 1
n

n
(u 3 j 1  u 3 j 1 )  (u 3 j 1  u 3 j 1 )
 1
12h
n 1
u j  u nj

= 0.
2
(19)
Полученные неявные разностные схемы имею квадратичную и кубическую
нелинейность для следующего временного слоя. При построении решения
использована следующая линеаризация
vk31 = vk31  vk3  vk3 = (vk 1  vk )(vk21  vk 1vk  vk2 )  vk3  vk 1  3vk2  2vk3 .
vk21 = vk21  vk2  vk2 = (vk 1  vk )(vk 1  vk )  vk2  vk 1  2vk  vk2 .
Шаг по времени t брался равным половине шага по переменной  .
Программа расчета была написана на языке Python с использованием пакета SciPy
[9].
Результаты проведенного компьютерного моделирования представлены на
рис. 2-4. Расчеты позволяют сделать следующие выводы. Наличие жидкости в
оболочке приводит к существенному изменению характера распространения в ней
продольных волн деформаций. Если в оболочке нет жидкости (эквивалентно
условию
 = 0 ),
уединенная
волна
(солитон)
движется,
сохраняя
свою
первоначальную форму и скорость (см. рис. 2).
Наличие жидкости в оболочке из неорганических материалов (  = 1 ) ведет к
росту амплитуды волны (см. рис. 3). Таким образом, можно утверждать, что
жидкость способствует постоянной дополнительной «подпитке» энергией (из
источника первоначального возбуждения), обеспечивающей рост амплитуды.
Рис. 2. График численного решения уравнения (14) с начальным условием (15) при
 = 0.0 ,  1 = 6.0 , k = 0.2 и для t = 0.040.08
Рис. 3. График численного решения уравнения (14) с начальным условием
(15) при  = 1.0 ,  1 = 6.0 , k = 0.2 и для t = 0.02.00
Наличие жидкости в оболочке из органических материалов (живые
организмы, что соответствует  = 1 ) ведет к быстрому уменьшению амплитуды
волны, то есть к еѐ затуханию (см. рис. 4). Для поддержки процесса
распространения волны необходимо периодическое еѐ возбуждение.
Рис. 4. График численного решения уравнения (14) с начальным условием
(15) при  = 1.0 ,  1 = 6.0 , k = 0.2 и для t = 0.02.00
4. Заключение
Проведенное моделирование с использованием компьютерной алгебры
позволило выявить особенности поведения волн деформаций в геометрически и
физически нелинейной упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую
несжимаемую жидкость.
Использование базиса Грѐбнера для генерации разностной схемы при
численном решении задачи Коши для нелинейного уравнения в частных
производных третьего порядка по пространственной переменной, позволило
получить результат расчета без осцилляций вызываемых численной реализацией.
Численная схема также была протестирована на точном решении для  = 0 (см.
рис. 2).
Полученный расчет показал влияние вязкой несжимаемой жидкости на
поведение нелинейной волны деформации в оболочке в зависимости от величины,
характеризующей материал оболочки — коэффициента Пуассона:
 рост амплитуды волны для неорганических материалов,
 падения амплитуды волны для живых организмов,
 отсутствие влияния жидкости для несжимаемых материалов, таких как резина.
 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-01-00049а
Библиографический список
1. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны деформаций в
цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995.
Т. 3, No 1. С. 52–58.
2. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических
оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999.
С. 132.
3. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. С. 840.
4. Каузерер К. Нелинейная механика. М.: Иностранная литература, 1961. С. 240.
5. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.:
Наука, 1979. С. 320.
6. Блинков Ю. А., Мозжилкин В. В. Генерация разностных схем для уравнения
Бюргерса построением базисов Грѐбнера // Программирование. 2006. Т. 32, No 2.
С. 71–74.
7. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Gröbner bases and generation of
difference schemes for partial differential equations // Symmetry, Integrability and
Geometry:
Methods
and
Applications.
2006.
Vol.
2.
P.
26.
http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/Paper051/index.html.
8. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes
equations // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer Berlin / Heidelberg,
2009. Vol. 5743 of Lecture Notes in Computer Science. pp. 94–105.
9. SciPy. http://www.scipy.org/