МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОДНОГО И СОЛЕВОГО

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОДНОГО И СОЛЕВОГО РЕЖИМОВ
ПОЧВ С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ
Беданокова С.Ю.
(Россия, г. Майкоп)
В настоящее время достигнут определенный успех в разработке
компьютерно реализуемых математических моделей процессов фильтрации
в пористых средах с фрактальной организацией и памятью. В основе этих
моделей лежат дифференциальные уравнения дробного порядка как по
временной, так и по пространственной переменной, и их разностные аналоги.
Коллоидное капиллярно-пористое тело поликапиллярной структуры,
в особенности та его часть, которая образует эффективное поровое
пространство, является примером системы, близкой к фрактальной.
Значительный
интерес
представляет
разработка
физически
обоснованных математических моделей, учитывающих влияние фрактальной
структуры почвы на их водный и солевой режимы.
Влажность почвы является одним из наиболее быстро изменяющихся во
времени t свойств почвы.
На важность математического моделирования процессов поступления
влаги и растворимых солей в почву, их перераспределение, расходование
и совместное движение обратили внимание многие исследователи:
Аверьянов С.Ф. [1], Нахушев А.М. [5], Сербина Л.И. [9], Нерпин С.В. [6],
Полубаринова-Кочина П.Я. [7], [8]. Основы рассмотрения водного режимов
были заложены Г.Н. Высоцким.
Водно-солевой режим почв выступает важнейшей подсистемой системы
автоматизированного проектирования мелиоративных и водохозяйственных
систем [1], [2].
Известно,
что
почвенный
раствор
представляет
собой
структруированные фрактальные коллоидные образования, наличие
которых существенно влияет на многие свойства почв, в том числе на
их инфильтрационные и фильтрационные характеристики. Известно
также влияние влажности, одной из важнейших характеристик почв, на
фрактальные свойства почвенных коллоидов [10], [11].
В работе предложены математические модели водного режима в
почвах, содержащих фрактальные коллоидные структуры, и алгоритмы
их исследования. На основе модификации известной в физике почв схеме
М. Аллера, приводящей к уравнению диффузии, которая дает истолкование
наличия потоков против потенциала влажности, и посредством введения
понятия фрактальной скорости изменения влажности получено основное
уравнение движения влаги:
i
∂ h
∂w(x, t)
α
α ∂w(x, τ )
∂0t w(x, τ ) =
D(w)
+ kµ ∂0t
, 0 < α ≤ 1,
∂x
∂x
∂x
75
где w(x, t) – влажность (в долях единицы) в точке x слоя 0 ≤ x ≤ r
α
в момент времени t от начального t = 0 до расчетного t = T , ∂0t
–
регуляризованный оператор Римана-Лиувилля порядка α ∈]0, 1], D(w) –
коэффициент диффузитивности, kµ – обобщенный коэффициент Аллера;
а сопутствующие ему локальные и нелокальные краевые условия заданы
формулами:
Zr
α
∂0t
w(x, t)dx = δ (α) (t), 0 < α ≤ 1;
0
wx (r, t) = ψr (t);
wx (0, t) − wx (r, t) = f1 (t);
wx (0, t) = f0 (t).
где wx (x, t) = ∂w(x,t)
∂x .
α
Здесь и далее регуляризованный оператор Римана-Лиувилля ∂0t
или
оператор дробного в смысле М. Капуто [13] дифференцирования порядка α
по временной переменной t.
Пусть L[0, T ] – множество функций ϕ(t), абсoлютно суммируемых на
α
временном сегменте [0, T ] ; [α] – целая часть действительного числа α; D0t
–
оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля интегродифференцирования
порядка | α | с началом в начальный момент времени t = 0, а с концом в
текущий момент t > 0, который действует на функцию ϕ(t) ∈ L[0, T ] по
формуле (см.[4, c.28])

Rt ϕ(τ )dτ


1

 Γ(−α) (t−τ )α+1 , α < 0,
α
0
D0t ϕ =
ϕ(t), α = 0,



 ∂ [α]+1 Dα−[α]−1 ϕ, α > 0,
∂t[α]+1 0t
где
Γ(z) =
∞
X
(−1)k
k=0
1
+
k! z + k
Z∞
tz−1 exp(−t)dt, z 6= 0, −1, −2, ...
1
– гамма-функция Эйлера. Тогда по определению
α
∂0t
ϕ
=
n
α−n ∂ ϕ
,
D0t
∂tn
n − 1 < α ≤ n = 1, 2, ...
Если n = 1, 0 < α ≤ 1, то (см. [12, c. 236])
α
α
∂0t
ϕ = D0t
ϕ−
ϕ(0) −α
t .
Γ(1 − α)
α
Выражение ∂0t
ϕ часто называют производной Капуто от функции ϕ(t)
порядка α.
76
Для прогнозирования динамики объемной влажности почвы Θ = Θ(x, t)
(запас влаги в точке x в момент времени t) предложим линейное уравнение
смешанного типа
2
∂ 2Θ
p ∂ Θ
= c0 sign(t∗ − t) |t∗ − t|
,
∂t2
∂x2
с нелокальным краевым условием
∂
D0
∂t
0 < t < T,
Zr
Θ(x, t)dx = cr |t − t∗ |p sign(t∗ − t),
0
где c0 , p, D0 и cr – параметры модели, t∗ – время, когда объемная влажность
достигает максимально допустимое значение.
Задача нахождения влагосодержания слоя δ(t) по начальному условию
δ(0) = δ0 эквивалентно сведена к линейному интегральному уравнению
Вольтерра второго рода
−α
−α
δ(t) − D0t
c(τ )δ(τ ) = δ0 + D0t
f (τ )
−α
с оператором Римана-Лиувилля D0t
, которое входным данным δ0 , c(t), f (t)
сопоставляет единственное решение δ(t), определяемое методом итерации с
любой наперед заданной точностью.
В случае, когда c(t) = c = const, влагосодержание почвенного слоя в
любой момент времени вычисляется по следующей формуле
d
δ(t) =
dt
Zx
F (η)Eα [c(t − η)α ]dη,
0
где
1
−α
F (t) = δ0 + D0t
f = δ0 +
Γ(α)
Eα [z] =
∞
X
k=0
Zt
0
ϕ(τ )dτ
,
(t − τ )1−α
zk
≡ E1/α [z; 1]
Γ(1 + αk)
– функция Миттаг-Леффлера [3, c.117].
Теорема 1. Для почв с фрактальной организацией с коэффициентом
диффузитивности D(w) = β(1 + γw), β = const, γ = const и с нелокальным
краевым условием wx (0, t) − wx (r, t) = ε в качестве математической модели
влагосодержания почвенного слоя 0 ≤ x ≤ r можно принять уравнение
α
∂0t
δ(τ ) − εβγδ(t) = βε
с начальным условием δ(0) = δ0 , единственное решение которого задается
формулой
δ(t) = δ0 Eα [εβγtα ] + βεtα E1/α [εβγtα ; α + 1].
77
В этой теореме функция
E1/α [z; α + 1] =
∞
X
k=0
zk
Γ(α + 1 + αk)
– означает функцию типа Миттаг-Леффлера.
Из теоремы 1 следует, что суммарную инфильтрацию Q(t, α) можно
вычислить по обобщенной формуле
β 2 ε2 γ 2α
βε(δ0 γ + 1) α
t +
t ,
Q(t, α) =
Γ(α + 1)
Γ(2α + 1)
которая существенным образом обобщает известное уравнение Филипа.
Рассмотрим уравнение Аллера
µ
¶
∂w
∂
∂w
∂ 2w
=
D
+A
,
∂t
∂x
∂x
∂x∂t
и проведен анализ еҷ чувствительности по Адамару. Основным результатом
этого параграфа является
Теорема 2. Для почв с фрактальной организацией и с постоянным
коэффициентом диффузитивности и коэффициентом Аллера, с уравнением
движения влаги
α
∂0t
w(x, τ )
2
∂ 2 w(x, t)
α ∂ w(x, τ )
=D
+ kµ ∂0t
,
∂x2
∂x2
начальным условием w(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ r, и граничным условием
второго рода wx (0, t) = f1 (t), wx (r, t) = 0, 0 < t < T в качестве
математической модели влагосодержания почвенного слоя 0 ≤ x ≤ r можно
принять решение задачи Коши δ(0) = δ0 для уравнения
α
α
∂0t
δ(τ ) = −Df1 (t) − kµ ∂0t
f1 (τ ),
единственное и устойчивое решение которого задается формулой
−α
δ(t) = δ0 − DD0t
f1 (τ ) − kµ [f1 (t) − f1 (0)].
Если градиент влажности представим в виде
f1 (t) =
n
X
Aj tεj , Aj = const, ε = const,
j=0
то δ(t) определяется формулой
n
n−1
δ(t) = δ0 − Dtα E1/ε
[λtε ; 1 + α] − λkµ tε E1/ε
[λtε ; 1 + ε],
если же f1 (t) = E1/ε [λtε ; 1], то
δ(t) = δ0 − Dtα E1/ε [λtε ; 1 + α] − λkµ tε E1/ε [λtε ; 1 + ε],
78
δ(t) = δ0 − (D + λkµ )tα E1/α [λtα ; 1 + α],
Здесь
n
E1/ρ
[z; z0 ]
=
n
X
k=0
ε = α.
zk
Γ(z0 + kρ)
– полином Миттаг-Леффлера.
Рассмотрим математическую модель движения влаги с заданной
разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя
0 ≤ x ≤ r.
Теорема 3. Единственное решение w(x, t) начально-краевой задачи:
w(0, t) = f0 (t),
∂w ¯¯
∂w ¯¯
= f1 (t),
= 0,
¯
¯
∂x x=0
∂x x=r
Zr
w(x, 0)dx = δ0 ,
0
для уравнения
α
∂0t
δ(τ )
∂ 2w
α
kµ f1 (τ )
= rD 2 − ∂0t
∂x
задается формулой
x2 α
w(x, t) = f0 (t) + f1 (t)x +
∂ kµ f1 (η)+
2rD 0t
3x2 d
+ 3
r dt
Zt
α
F01
(η)Eα
0
h
i
F01 (t) 2
α
2D(t − η) dη −
x,
2rD
где
α
kµ f1 (η) +
F01 (t) = 3Df1 (t) + ∂0t
6D
f0 (t).
r
Линеаризованное уравнении Ричардса
2
∂ 2u
p∂ u
+ sign y · |y|
= 0,
∂y 2
∂x2
с нелокальным условием
0 < x < r,
Zr
ux (r, y) − ux (0, y) = λ
u(x, y)dx,
T − ≤ y ≤ T+ ,
0
где
√
√
y = (t − t∗ ) c0 , u(x, y) = Θ(x, t∗ + y/ c0 ),
√
√
λ = const > 0, T− = −t∗ c0 , T+ = T − t∗ c.
79
Основной результат формулируется следующим образом: уравнение
δ 00 (y) + λyδ(y) = 0,
T − ≤ y ≤ T+
представляет собой уравнение движения запаса почвенной влаги и его решение
можно записать в виде
(
"
#
2
0
Γ (1/3) 1/6 1/3
2δ (0)
δ(y) =
3
3 δ(0) + √
Ai (z)+
3
2Γ(2/3)
λ
#
)
"
0
√
δ(0) 2δ (0)
3
+ 3 √
− √
Bi (z) ,
3
3
3
3
√
где z = −y 3 λ, Ai (z) и Bi (z) – функции Эйри первого и второго рода
соответственно:
"
#
∞
3k
X
z
z
1
Ai (z) =
−
,
k+1/3 Γ(k + 1) Γ(k + 2/3)
2/3 Γ(k + 4/3)
9
9
k=0
"
#
∞
3k
X
1
z
z
Bi (z) =
+
.
k+1/3 Γ(k + 1) Γ(k + 2/3)
2/3 Γ(k + 4/3)
9
9
k=0
Функцию Эйри первого рода можно записать и в следующем виде
[6, c.175]:
∞
+ 1)) ³ z ´k
2 X sin( 2π
3 ´(k ³
³
´
, | z |< ∞.
Ai (z) = 7/6
3 k=0 Γ k+2 Γ k+3 32/3
3
3
В качестве уравнения движения солей предложим дифференциальное
уравнение дробного порядка следующего вида:
∂u
α
α−n ∂u(ξ, t)
= Df ∂0x
u(ξ, t) − aD0x
+ F [u],
∂t
∂ξ
где u = u(x, t) – концентрация c(x, t) почвенного раствора в точке x
почвенного слоя 0 ≤ x ≤ r в момент времени t ≥ 0; a = c0 /m1 –
фактическая скорость движения воды в порах грунта; c0 – постоянная
скорость фильтрации; m1 – порозность; um – предельная концентрация
насыщения; F (u) = b(um − u) или F (u) = b[um − δ(t)];
1
δ(t) =
r
Zr
u(x, t)dx
0
– среднее солесодержание почвенного слоя мощности r; Df и b – коэффициент
фрактальной диффузии и коэффициент растворимости соответственно;
предполагается, что число α принадлежит полусегменту ]n − 1, n], n = 1, 2, ...
и пропорционален (или равен) фрактальной размерности почвенного слоя.
80
Рассмотрим модельный вариант стационарного распределения солей в
почвенном слое, в основе которого лежит уравнение
α
u(ξ) − ωα u0 (x) = 0,
∂0x
0 ≤ x ≤ r,
где ωα = a/Df .
Получена эффективная формула
u0 (x) = v(x) = Eα−1 [ωα xα−1 ]c1 + xE1/(α−1) [ωα xα−1 ; 2]c2 ,
позволяющая определить градиент концентрации солей в любой точке x почвы
с фрактальной размерностью α ∈]2, 3[. Здесь c1 = v(0), c2 = v 0 (0),
E1/(α−1) [z; 2] =
n=∞
X
k=0
zk
Γ(2 + k(α − 1))
– функция, названная М.М. Джрбашяном [3, c.117] функцией типа МиттагЛеффлера.
Исследуем нестационарную математическую модель солепереноса, для
которой уравнение
α
u(ξ, t) − aux ,
δ 0 (t) = Df ∂0x
1<α<2
с граничным условием
Df ux (0, t) = ϕ(t),
0≤t≤T
является базовым.
Результатом этого является следующая формула:
½
¾
τ E1/β [λxβ ; 2 + β] ³ x ´β+1
Df t
exp β+1
u(x, t) =
,
E1/β [λrβ ; 3 + β] r
r E1/β [λrβ ; 3 + β]
определяющая распределение солей в почвенном слое мощности r.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аверьянов С.Ф. Борьба с засолением орошаемых земель. – М.: Колос,
1978. – 288 с.
2. Веригин Н.Н., Шержуков Б.С., Шапинская Г.П. К расчету промывания
засоленных почв при действии дренажа // Тр. коорд. совещ. по
гидротехн.35. 1967. С.27-36.
3. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления
функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 672 с.
4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш.шк.,
1995. – 301 с.
81
5. Нахушев А.М. О некоторых способах линеаризации уравнений движения
грунтовых вод и почвенной влаги // В.меж.сб. Краевые задачи для
уравнений смешанного типа и родственные проблемы функционального
анализа и прикладной математики.Вып. 2. Нальчик: КБГУ, 198 С.
6. Нерпин С.В., Чудковский А.Ф. Энерго и массообмен в системе растениепочва-воздух. Л.: Гидрометиздат, 1975. – 358 с.
7. Полубаринова-Кочина
П.Я.,
Пряженская
В.Т.,
Эмих
Математические методы в вопросах орошения. М.: Наука, 1969.
В.Н.
8. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука,
1977.
9. Сербина Л.И. Об одной математической модели переноса субстанции во
фрактальных средах // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. №9.
С. 17–28.
10. Федотов Г.Н., Третьяков Ю.Д., Иванов В.К., Куклин А.И., Пахомов
Е.И., Исламов А.Х., Початкова Т.Н. Фрактальные коллоидные
структуры в почвах различной зональности // ДАН. 2005. Т. 405. №3.
С. 351-354.
11. Федотов Г.Н., Третьяков Ю.Д., Иванов В.К., Куклин А.И., Пахомов
Е.И., Исламов А.Х., Початкова Т.Н. Влияние влажности на
фрактальные свойства почвенных коллоидов // ДАН. 2006. Т. 409.
№2. С. 199-201.
12. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. – 272 с.
ABSTRACT
This work presents essentially new mathematical models of dynamics of aqueous and saline condition of soils containing fractal colloidal structures as well as
the algorithms of their study.
АННОТАЦИЯ
В данной работе предложены принципиально новые математические
модели динамики водного и солевого режимов в почвах, содержащих
фрактальные коллоидные структуры, и алгоритмы их исследования.
c С.Ю. Беданокова, 2009
°
82