1.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с

ТЕМА: Исследование функции с помощью производной. Нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции.
ЦЕЛЬ:
Отработать навыки нахождения экстремумов функции, промежутков
монотонности функции, промежутков выпуклости, точек перегиба графика функции.
Отработать навыки нахождения наибольшего и наименьшего значения функции
аналитически и с помощью программы Microsoft Excel.
1.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью
программы Microsoft Excel
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
с помощью
программы Microsoft Excel рассмотрим на примере.
Пример
На отрезке [-3; 3] найти наибольшее значение функции
f(x)=2x3-3x2-12x+10 с помощью программы Microsoft Excel.
Решение:
1. В рабочем листе Excel в ячейку А1 введите произвольное значение 0,3, в
ячейку А2 введите формулу:
2. Активизируйте команду - Поиск решения. При этом появится диалоговое
окно. Укажите необходимые условия, перечисленные в данном окне. Для
решения поставленной задачи запишите следующие условия:
3. Нажмите на кнопку «Выполнить» данного диалогового окна.
4. В ячейках А1 появится значение -1, в А2 - значение 17
5. Запишите ответ следующим образом: max f(x) = f(-1) = 17
[−𝟑; 𝟑]
2.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном
отрезке аналитически
Алгоритм выполнения задания
1. Найти производную заданной функции.
2. Найти критические точки функции.
3. Определить, какие из критических точек принадлежат заданному
промежутку.
4. Найти значение функции на концах промежутка и в критических точках,
принадлежащих этому промежутку.
5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
6. Записать ответ.
3.Нахождения экстремумов функции
Определение
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна
нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
Необходимое условие экстремума
Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует
производная f ', то она равна нулю: f '(х0) = 0
Упрощённые формулировки признаков максимума и минимума функции
Если при переходе через точку х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0
есть точка максимума.
Если при переходе через точку х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.
Определение
Точки минимума и максимума называются экстремальными точками.
Определение
Значения функции в экстремальных точках называются экстремумами функции.
Алгоритм нахождения экстремумов функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Найти область определения функции.
Найти производную данной функции.
Найти критические точки функции.
Отметить критические точки на числовой прямой.
Определить знак производной в каждом промежутке.
Записать экстремальные точки функции.
Найти значение функции в экстремальных точках.
Записать ответ.
4. Нахождение промежутков монотонности функции
Достаточный признак возрастания функции
Если f '(х) ›0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.
Достаточный признак убывания функции
Если f '(х) ‹ 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Алгоритм нахождения промежутков монотонности функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Найти область определения функции.
Найти производную данной функции.
Найти критические точки функции.
Отметить критические точки на числовой прямой.
Определить знак производной в каждом промежутке.
Записать промежутки возрастания и убывания функции.
Записать ответ.
5.Исследование графика функции на выпуклость и точки перегиба
Определение
График дифференцируемой функции у= f(х) называется выпуклым вниз (вогнутым)
на интервале (а;в), если он расположен выше любой ее касательной на этом
интервале.
Определение
График дифференцируемой функции у= f(х) называется выпуклым вверх на
интервале (а;в), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.
Определение
Точка графика непрерывной функции у= f(х), отделяющая его части разной
выпуклости, называется точкой перегиба.
Теорема
Если функции у= f(х) во всех точках интервала (а;в) имеет отрицательную вторую
производную, то график функции в этом интервале выпуклый вверх.
Если функции у= f(х) во всех точках интервала (а;в) имеет положительную вторую
производную, то график функции в этом интервале выпуклый вниз.
Достаточное условие существования точек перегиба
Если вторая производная при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или
не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба.
Алгоритм исследования графика функции на выпуклость и точки перегиба
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Найти область определения функции.
Найти первую производную функции.
Найти вторую производную.
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Отметить, полученные точки на числовой прямой.
Определить знак второй производной в каждом промежутке.
Записать промежутки выпуклости и точки перегиба.
После завершения практической работы сделать вывод о результатах.