Теория нечётких множеств - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ПЛАТОНОВ М. Л.
ТЕОРИЯ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ – 010100.62 «МАТЕМАТИКА»
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ – «АЛГЕБРА, ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА»
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2011
ПЛАТОНОВ М. Л. ТЕОРИЯ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения по направлению подготовки
010100.62 «Математика» и профилю подготовки «Алгебра, теория чисел, математическая
логика». Тюмень, 2011. 35 стр.
Рабочая программа дисциплины составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО и ООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теория нечётких
множеств [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Кутрунов В. Н., д. ф.-м. н., профессор, заведующий
кафедрой алгебры и математической логики
© Тюменский государственный университет, 2011
© Платонов М. Л., 2011
2
1.
Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы
алгебры и теории чисел.
Работа над материалом учебной дисциплины «Нечёткие множества»
позволяет реализовать следующие цели и задачи:
Цели преподавания дисциплины.
Цели преподавания учебной дисциплины «Теория нечётких множеств» можно
сформулировать следующим образом:






Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в соответствии с
требованиями
государственного
образовательного
стандарта
высшего
профессионального образования и учебному плану по направлению 010100.62
«Математика».
Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам теории
нечётких множеств, нечёткой логики и моделирования нечётких процессов;
Формирование теоретических знаний и практических навыков решения задач,
необходимых в дальнейшей учебной и последующей профессиональной
деятельности;
Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта
творческой и исследовательской деятельности, необходимого для решения научных
задач теоретического и прикладного характера;
Повышение интеллектуального уровня;
Формирование
научного
мировоззрения,
математического
мышления,
представлений о значимости математики как части современной человеческой
культуры, в развитии цивилизации, о математике как форме описания и методе
познания действительности.
Задачи изучения дисциплины.
Основными задачами изучения дисциплины являются:






Изучить материал учебной дисциплины;
Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала
учебной дисциплины;
Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и практических задач
различного уровня сложности;
Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов и
результатов;
Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний, широкому их
использованию в практической и будущей профессиональной деятельности.
Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Теория нечётких множеств» принадлежит к числу дисциплин
по выбору из вариативной части профессионального цикла 3-ой базовой
части ФГОС ВПО по направлению 010100.62 «Математика».
Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения
материала учебной дисциплины «Теория нечётких множеств», могут быть
использованы во всех видах деятельности в соответствии с федеральным
государственным
образовательным
стандартом
и
основной
образовательной программой высшего профессионального образования по
направлению подготовки 010100.62 «Математика».
3
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Теория нечётких множеств” в
соответствии с целями основной образовательной программы и задачами
профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, должен
обладать следующими компетенциями:
Общекультурными компетенциями:
 способностью применять знания на практике (ОК-6);
 способностью приобретать новые знания, используя современные
образовательные и информационные технологии (ОК-8);
 навыками работы с компьютером (ОК-12);
 базовыми знаниями в областях информатики и современных
информационных технологий, навыки использования программных
средств и навыки работы в компьютерных сетях, умение создавать
базы данных и использовать ресурсы Интернет (ОК-13);
 способностью к анализу и синтезу (ОК-14);
Профессиональными компетенциями:
 умением понять поставленную задачу (ПК-2);
 умением формулировать результат (ПК-3);
 умением строго доказать утверждение (ПК-4);
 умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать
результат (ПК-5);
 умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного
результата (ПК-6);
 умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
 умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
 знанием корректных постановок классических задач (ПК-9);
 пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
 пониманием того, что фундаментальное знание является основой
компьютерных наук (ПК-12);
 способностью передавать результат проведенных физикоматематических и прикладных исследований в виде конкретных
рекомендаций, выраженных в терминах предметной области
изучавшегося явления (ПК-15);
 выделением главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16);
 владением методом алгоритмического моделирования при анализе
постановок математических задач (ПК-19);
 владением методами математического и алгоритмического
моделирования при решении прикладных задач (ПК-20);
 владением методами математического и алгоритмического
моделирования при анализе теоретических проблем и задач (ПК-21);
 владением
проблемно-задачной
формой
представления
математических знаний (ПК-22);
 владением методами математического и алгоритмического
моделирования при анализе управленческих задач в научнотехнической сфере (ПК-24);
 умением точно представить математические знания в устной форме
(ПК-27);
4

возможностью преподавания физико-математических дисциплин и
информатики в средней школе и средних специальных
образовательных
учреждениях
на
основе
полученного
фундаментального образования (ПК-29).
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате освоения материала учебной дисциплины «Теория нечётких
множеств» студент должен
знать:



уметь:

сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные методы теории нечётких множеств и нечёткого моделирования.
самостоятельно использовать теоретические и практические знания для решения
задач различных типов и различных уровней сложности, как в рамках изучаемой
дисциплины, так и в других дисциплинах, использующих материалы данной
дисциплины;
анализировать полученные результаты.

владеть:
 символикой изучаемой дисциплины;
 терминологией изучаемой дисциплины;
 навыками практического использования математического аппарата дисциплины

2.
для решения различных задач, возникающих в дальнейшей учебной и
профессиональной деятельности;
навыками научного творчества.
Структура и трудоёмкость дисциплины.
Дисциплина изучается в 7-ом семестре. Форма промежуточной аттестации – зачёт.
Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единицы – 108 часов
аудиторных занятий, в том числе:
 Лекционных занятий 36 часов (1 зачётная единица);
 Практических занятий 36 часов (1 зачётная единица);
 Самостоятельная работа студента 36 часов (1 зачётная единица).
5
3.
Тематический план.
Таблица 1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
3
Итого количество баллов
Из них в активной и
интерактивной форме
Итого часов по теме
2
Самостоятельная
работа студента
1
1.
1.1.
Практические
занятия
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа
(часов)
Лекционные
занятия
№
недели семестра
Тематический план
4
5
6
7
8
9
1-2
4
4
4
12
4
0-3
3-4
5-6
4
4
4
4
4
4
12
12
4
4
0-3
0-5
7-8
4
4
4
12
4
0-8
16
16
16
48
16
0-19
9-10
11-12
13-14
4
4
4
12
4
4
4
12
4
4
4
12
12
12
12
36
4
4
4
12
0-7
0-10
0-14
0-31
15-16
17-18
4
4
8
36
18
4
4
8
36
18
4
4
8
36
12
2
24
108
4
4
8
36
0-19
0-31
0-50
0-100
1 семестр
Модуль 1.1.
Основные понятия теории нечётких
множеств
Операции над нечёткими множествами
Нечёткие отношения
Нечёткая и лингвистическая переменные.
Нечёткие величины, числа и интервалы.
Всего по модулю 1.1.
Модуль 1.2.
Основы нечёткой логики
Системы нечёткого вывода.
Язык нечёткого управления FCL
Всего по модулю 1.2.
Модуль 1.3.
Основы общей теории нечёткой меры
Нечёткие сети Петри
Всего по модулю 1.3.
Итого по семестру (часов, баллов):
Из них в интерактивной форме (часов)
Электронный
практикум
Электронные
аттестующие
средства
Информационные системы и
технологии
Электронные
обучающие тесты
контрольная работа
Письменные
работы
тест
коллоквиум
№ темы
собеседование
Устный опрос
Итого количество баллов
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1 семестр
Модуль 1.1.
Тема №1.1.1.
Тема №1.1.2.
Тема №1.1.3.
Тема №1.1.4.
Всего по модулю 1.1.
Модуль 1.2.
Тема №1.2.1.
Тема №1.2.2.
0-0,5
0-0,5
0-1
0-1
0-3
0-0,5
0-0,5
0-1
0-2
0-3
0-0,5
0-0,5
0-0,5
0-1
0-2,5
0-1
0-1
0-1
0-3
0-1
0-1
0-1
0-1
0-2
0-0,5
0-0,5
0-0,5
0-1
0-2,5
0-0,5
0-0,5
0-0,5
0-1
0-2,5
0-0,5
0-0,5
0-0,5
0-1
0-2,5
0-3
0-3
0-5
0-8
0-19
0-1
0-2
0-1
0-1
0-1
0-1
0-1
0-1
0-7
0-10
6
Тема №1.2.3.
Всего по модулю 1.2.
Модуль 1.3.
Тема №1.3.1.
Тема №1.3.2.
Всего по модулю 1.3.
Итого
0-1
0-3
0-6
0-9
0-1
0-3
0-3
0-7
0-1
0-3
0-1
0-3
0-1
0-3
0-14
0-31
0-2
0-4
0-6
0-12
0-5
0-6
0-11
0-23
0-2
0-4
0-6
0-11,5
0-4
0-5
0-9
0-18
0-2
0-4
0-6
0-11,5
0-2
0-4
0-6
0-11,5
0-2
0-4
0-6
0-11,5
0-19
0-31
0-50
0-100
Таблица 3.
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
обязательные
дополнительные
1 семестр
Модуль 1.1.
Основные понятия теории нечётких
множеств
Операции над нечёткими
множествами
Нечёткие отношения
Нечёткая и лингвистическая
переменные. Нечёткие величины,
числа и интервалы.
1-2
3-4
5-6
Проработка лекций
Работа с основной
литературой
Решение типовых задач
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернетресурсами
7-8
Всего по модулю 1.1.:
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
Модуль 2
Основы нечёткой логики
Системы нечёткого вывода.
9-10
11-12
1.2.3.
Язык нечёткого управления FCL
13-14
1.3.
Модуль 3
1.3.1.
Основы общей теории нечёткой меры
1.3.2.
Нечёткие сети Петри
Проработка лекций
Работа с основной
литературой
Решение типовых задач
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернетресурсами
Всего по модулю 1.2.:
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернетресурсами
0-3
4
0-3
4
0-5
4
0-8
16
0-19
4
4
0-7
0-10
4
0-14
12
0-31
4
0-19
4
0-31
8
36
0-50
0-100
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3
1.3.1.
1.3.2.
Дипломная работа
Производственная практика
1.1.4.
Наименование дисциплины
1.1.3.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1.2.
№
п/п
Проработка лекций
Работа с основной
литературой
17-18
Решение типовых задач
Всего по модулю 1.3.:
ИТОГО:
15-16
4
1.1.1.
4.
Количество баллов
Модули и темы
Виды СРС
Объём часов
№
Неделя семестра
Планирование самостоятельной работы студента
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7
5.
Содержание дисциплины.
Тема №1.1.1. Основные понятия теории нечётких множеств.
Определение нечёткого множества.
Основные характеристики нечётких множеств.
Основные типы функций принадлежности: кусочно-линейные функции
принадлежности, Z-образные и S-образные функции принадлежности, Побразные функции принадлежности.
Некоторые рекомендации по построению функций принадлежности:
прямые методы построения функций принадлежности, косвенные методы
построения функций принадлежности.
Тема №1.1.2. Операции над нечёткими множествами.
Равенство и доминирование нечётких множеств.
Операции пересечения, объединения и разности нечётких множеств.
Альтернативные операции пересечения и объединения нечётких множеств.
Нечёткие операторы
Некоторые дополнительные операции над нечёткими множествами.
Тема №1.1.3. Нечёткие отношения.
Нечёткое отношение и способы го задания. Способы задания нечётких
отношений.
Основные характеристики нечётких отношений.
Операции над нечёткими отношениями. Композиция бинарных нечётких
отношений.
Нечёткое отображение. Принцип обобщения в теории нечётких множеств.
Свойства бинарных нечётких отношений, заданных на одном универсуме.
Операция транзитивного замыкания бинарного нечёткого отношения.
Некоторые специальные виды бинарных отношений, заданных на одном
базисном множестве.
Тема №1.1.4. Нечёткая и лингвистическая переменные. Нечёткие величины,
множества и интервалы.
Определения нечёткой и лингвистической переменных.
Нечёткие величины, числа и интервалы. Операции над нечёткими числами и
интервалами.
Нечёткие числа и интервалы в форме (R-L)-функций. Операции над
нечёткими числами и интервалами (R-L)-типа.
Треугольные нечёткие числа и трапециевидные нечёткие интервалы.
Операции над треугольными нечёткими числами и трапециевидными
интервалами.
Тема №1.2.1. Основы нечёткой логики.
Понятие нечёткого высказывания и нечёткого предиката. Нечёткие
предикаты.
Основные логические операции над нечёткими высказываниями:
отрицание, конъюнкция и дизъюнкция нечётких высказываний. Нечёткая
импликация. Нечёткая эквивалентность.
Правила нечётких продукций. Прямой и обратный методы вывода
заключений
Тема №1.2.2. Системы нечёткого вывода.
Базовая структура систем нечёткого вывода. Нечёткие лингвистические
высказывания. Правила нечётких продукций в системах нечёткого вывода.
Алгоритм вывода в системах нечёткого вывода.
8
Основные этапы нечёткого вывода: формирование базы правил систем
нечёткого
вывода,
фаззификация,
агрегирование,
активизация,
аккумуляция, дефаззификация. Метод центра тяжести. Метод центра
тяжести для одноточечных множеств. Метод центра площади. Метод левого
модального значения. Метод правого модального значения.
Основные алгоритмы нечёткого вывода: алгоритм Мамдани, алгоритм
Цукамото, алгоритм Ларсена, алгоритм Сугено. Упрощённый алгоритм
нечёткого вывода.
Примеры использования систем нечеткого вывода в задачах управления.
Нечёткая модель управления смесителем воды при принятии душа:
содержательная постановка задачи, построение базы нечётких
лингвистических правил, фаззификация входных переменных. Нечёткая
модель управления кондиционером воздуха в помещении: содержательная
постановка задачи, построение базы правил нечёткого вывода,
фаззификация входных переменных. Нечёткая модель управления
контейнерным краном: содержательная постановка задачи, формирование
базы правил системы нечёткого вывода. Фаззификация входных
переменных.
Тема № 1.2.3. Язык нечёткого управления – FCL.
Концептуальные
основы
нечёткого
моделирования.
Интеграция
программируемых перенос программ нечёткого управления
Базовая нотация языка нечёткого управления FCL. Основные элементы
языка FCL: нотация правил продукций, ключевые слова языка, интерфейс
функционального блока, фаззификация, дефаззификация, блок правил.
Пример записи модели нечёткого управления с использованием нотации
языка FCL. Необязательные параметры.
Согласованность классов языка FCL. Список проверки данных.
Примеры разработки и записи нечётких моделей на языке FCL: нечёткая
модель управления смесителем воды при принятии душа, нечёткая модель
управления кондиционером воздуха в помещении, нечёткая модель
управления контейнерным краном.
Тема №1.3.1. Основы общей теории нечёткой меры.
Нечёткие меры и их основные свойства. Общее определение нечёткой
меры. Меры доверия и правдоподобия. Меры возможности,
необходимости и вероятности. Λ-нечёткие меры. Классификация
пространств с нечёткими мерами.
Нечёткий интеграл и примеры его вычисления.
Тема №1.3.2. Нечёткие сети Петри.
Базовый формализм классических сетей Петри. Свойства сетей Петри и
задачи их анализа.
Основные подклассы нечётких сетей Петри. Обобщённые нечёткие
временные сети Петри. Классификация нечётких сетей Петри.
Использование нечётких сетей Петри для представления правил нечётких
продукций.
6.
Темы практических занятий.
Тема №1.1.1. Матрицы и детерминанты. Решение практических и теоретических
задач различных типов и уровней сложности.
Тема №1.1.1. Основные понятия теории нечётких множеств.
9
Определение нечёткого множества.
Основные характеристики нечётких множеств.
Основные типы функций принадлежности: кусочно-линейные функции
принадлежности, Z-образные и S-образные функции принадлежности, Побразные функции принадлежности.
Некоторые рекомендации по построению функций принадлежности:
прямые методы построения функций принадлежности, косвенные методы
построения функций принадлежности.
Тема №1.1.2. Операции над нечёткими множествами.
Равенство и доминирование нечётких множеств.
Операции пересечения, объединения и разности нечётких множеств.
Альтернативные операции пересечения и объединения нечётких множеств.
Нечёткие операторы
Некоторые дополнительные операции над нечёткими множествами.
Тема №1.2.1. Нечёткие отношения.
Нечёткое отношение и способы го задания. Способы задания нечётких
отношений.
Основные характеристики нечётких отношений.
Операции над нечёткими отношениями. Композиция бинарных нечётких
отношений.
Нечёткое отображение. Принцип обобщения в теории нечётких множеств.
Свойства бинарных нечётких отношений, заданных на одном универсуме.
Операция транзитивного замыкания бинарного нечёткого отношения.
Некоторые специальные виды бинарных отношений, заданных на одном
базисном множестве.
Тема №1.2.2. Нечёткая и лингвистическая переменные. Нечёткие величины,
множества и интервалы.
Определения нечёткой и лингвистической переменных.
Нечёткие величины, числа и интервалы. Операции над нечёткими числами и
интервалами.
Нечёткие числа и интервалы в форме (R-L)-функций. Операции над
нечёткими числами и интервалами (R-L)-типа.
Треугольные нечёткие числа и трапециевидные нечёткие интервалы.
Операции над треугольными нечёткими числами и трапециевидными
интервалами.
Тема №1.2.3. Основы нечёткой логики.
Понятие нечёткого высказывания и нечёткого предиката. Нечёткие
предикаты.
Основные логические операции над нечёткими высказываниями:
отрицание, конъюнкция и дизъюнкция нечётких высказываний. Нечёткая
импликация. Нечёткая эквивалентность.
Правила нечётких продукций. Прямой и обратный методы вывода
заключений
Тема №1.2.4. Системы нечёткого вывода.
Базовая структура систем нечёткого вывода. Нечёткие лингвистические
высказывания. Правила нечётких продукций в системах нечёткого вывода.
Алгоритм вывода в системах нечёткого вывода.
Основные этапы нечёткого вывода: формирование базы правил систем
нечёткого
вывода,
фаззификация,
агрегирование,
активизация,
10
аккумуляция, дефаззификация. Метод центра тяжести. Метод центра
тяжести для одноточечных множеств. Метод центра площади. Метод левого
модального значения. Метод правого модального значения.
Основные алгоритмы нечёткого вывода: алгоритм Мамдани, алгоритм
Цукамото, алгоритм Ларсена, алгоритм Сугено. Упрощённый алгоритм
нечёткого вывода.
Примеры использования систем нечеткого вывода в задачах управления.
Нечёткая модель управления смесителем воды при принятии душа:
содержательная постановка задачи, построение базы нечётких
лингвистических правил, фаззификация входных переменных. Нечёткая
модель управления кондиционером воздуха в помещении: содержательная
постановка задачи, построение базы правил нечёткого вывода,
фаззификация входных переменных. Нечёткая модель управления
контейнерным краном: содержательная постановка задачи, формирование
базы правил системы нечёткого вывода. Фаззификация входных
переменных.
Тема №. Язык нечёткого управления – FCL.
Концептуальные
основы
нечёткого
моделирования.
Интеграция
программируемых перенос программ нечёткого управления
Базовая нотация языка нечёткого управления FCL. Основные элементы
языка FCL: нотация правил продукций, ключевые слова языка, интерфейс
функционального блока, фаззификация, дефаззификация, блок правил.
Пример записи модели нечёткого управления с использованием нотации
языка FCL. Необязательные параметры.
Согласованность классов языка FCL. Список проверки данных.
Примеры разработки и записи нечётких моделей на языке FCL: нечёткая
модель управления смесителем воды при принятии душа, нечёткая модель
управления кондиционером воздуха в помещении, нечёткая модель
управления контейнерным краном.
Тема №1.2.5. Основы общей теории нечёткой меры.
Нечёткие меры и их основные свойства. Общее определение нечёткой
меры. Меры доверия и правдоподобия. Меры возможности,
необходимости и вероятности. Λ-нечёткие меры. Классификация
пространств с нечёткими мерами.
Нечёткий интеграл и примеры его вычисления.
Тема №1.3.1. Нечёткие сети Петри.
Базовый формализм классических сетей Петри. Свойства сетей Петри и
задачи их анализа.
Основные подклассы нечётких сетей Петри. Обобщённые нечёткие
временные сети Петри. Классификация нечётких сетей Петри.
Использование нечётких сетей Петри для представления правил нечётких
продукций.
7.
Темы лабораторных работ (лабораторный практикум).
Учебным планом не предусмотрены.
8.
Темы курсовых работ.
Учебным планом не предусмотрены.
11
9.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
a. Текущая аттестация:
 Контрольные работы. По завершении каждого модуля проводятся контрольные
работы, содержащие задания различных типов и уровней сложности и
способствующие контролю практической составляющей материала дисциплины
(во время аудиторных занятий).
 Коллоквиумы. По завершении каждого модуля проводятся коллоквиумы,
содержащие вопросы различных типов и уровней сложности и способствующие
контролю теоретической составляющей материала дисциплины (во время
внеаудиторных занятий).
 Тестирование (письменное или компьютерное) по темам и модулям дисциплины.
b. Промежуточная аттестация:
 Тестирование по дисциплине;
 Зачёты и экзамен (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения
всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы. Экзамены
оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо,
отлично в соответствии с интервальной шкалой перевода 100-балловой системы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балловой) и традиционной (4-балловой) систем
оценок.
Перечень типовых заданий контрольных работ:
1. Постройте объединение нечётких множеств:
𝐴 = {(𝑥1 ; 0,7), (𝑥2 ; 0,5), (𝑥3 ; 0,3), (𝑥4 ; 0), (𝑥5 ; 0), (𝑥6 ; 0,2)} и 𝐵 =
{(𝑥1 ; 0), (𝑥2 ; 0,3), (𝑥3 ; 0,6), (𝑥4 ; 0,9), (𝑥5 ; 1,0), (𝑥6 ; 0), (𝑥7 ; 0,2), (𝑥8 ; 0,7)}.
2. Постройте график функции принадлежности объединения нечётких множеств,
графики функций принадлежности которых имеют вид, указанный на рисунке.
3. Постройте пересечение нечётких множеств:
𝐴 = {(𝑥1 ; 0,1), (𝑥2 ; 0,3), (𝑥3 ; 0,5), (𝑥4 ; 0,9), (𝑥5 ; 0,4), (𝑥6 ; 0,2)} и 𝐵 =
{(𝑥1 ; 1,0), (𝑥2 ; 0,7), (𝑥3 ; 0,4), (𝑥4 ; 0,1), (𝑥5 ; 0), (𝑥6 ; 0,6), (𝑥7 ; 0,7), (𝑥8 ; 0,9)}.
4. Постройте график функции принадлежности пересечения нечётких
множеств, графики функций принадлежности которых имеют вид,
указанный на рисунке.
5. Постройте носитель нечёткого множества:
12
𝐴 = {(𝑥1 ; 0,7), (𝑥2 ; 0,5), (𝑥3 ; 0,3), (𝑥4 ; 0), (𝑥5 ; 0), (𝑥6 ; 0,2)}.
6. Постройте пересечение 𝐴 ∩ 𝐴 для случая нечёткого множества:
𝐴 = {(𝑥1 ; 0,7), (𝑥2 ; 0,5), (𝑥3 ; 0,3), (𝑥4 ; 0), (𝑥5 ; 0), (𝑥6 ; 0,2)}
7. Постройте график функции принадлежности дополнения нечёткого
множества, график функции принадлежности которого имеет вид,
указанный на рисунке:
8. По данному графику функции принадлежности нечёткого множества A и
заданной величиной 𝛼 = 2 постройте графики функций принадлежности
нечётких множеств Con A и Dil A.
9. По заданной функции принадлежности нечёткого отношения
0 0,3 0,7
𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) = (0,1 0,2 0 )
0,4 0 0,8
Найти его носитель и множество уровня 𝛼 = 0,4.
10. Найдите функцию принадлежности объединения нечётких отношений, если
0,1 0,2 0,3
0,3 0,5 0
𝜇𝐴 (𝑥, 𝑦) = ( 0 0,4 0,6) и 𝜇𝐵 (𝑥, 𝑦) = (0,7 1 0,5).
0,7 1
0
0 0,4 0,8
11. Найдите функцию принадлежности объединения нечётких отношений, если
1 0,8 0,4
0,1 0,5 0
𝜇𝐴 (𝑥, 𝑦) = (0,2 0,3 0,7) и 𝜇𝐵 (𝑥, 𝑦) = ( 0
1 0,3).
0,6 0
1
1 0,9 1
12. Найдите дополнение отношения, заданного функцией принадлежности
0,5 1
𝜇𝑅 = (
).
0 0,7
13. Найдите обратное отношение к отношению, заданному функцией
0,4 1
принадлежности 𝜇𝑅 = (
).
0,3 0,6
14. Найдите максиминную композицию нечётких отношений, если их функции
принадлежности заданы следующим образом:
0,1 0,2 0,3
0,3 0,5 0
𝜇𝐴 (𝑥, 𝑦) = ( 0 0,4 0,6) и 𝜇𝐵 (𝑥, 𝑦) = (0,7 1 0,5).
0,7 1
0
0 0,4 0,8
15. Найдите минимаксную композицию нечётких отношений, если их функции
принадлежности заданы следующим образом:
13
0,1 0,2 0,3
0,3 0,5 0
𝜇𝐴 (𝑥, 𝑦) = ( 0 0,4 0,6) и 𝜇𝐵 (𝑥, 𝑦) = (0,7 1 0,5).
0,7 1
0
0 0,4 0,8
16. Найдите максмультипликативную композицию нечётких отношений, если их
функции принадлежности заданы следующим образом:
0,34 0 0,6
1 0,5 0
𝜇𝐴 (𝑥, 𝑦) = ( 0,3 1 0 ) и 𝜇𝐵 (𝑥, 𝑦) = ( 0 0,4 0,1).
0,6 1 0,8
0,6 0,9 1
17. Найдите первую и вторую проекции нечёткого отношения, функция
принадлежности которого имеет вид
0,5 0 0,3
𝜇𝐴 (𝑥, 𝑦) = (0,1 0,6 0,8).
0,4 1 0,2
18. Найдите декартово произведение первой и второй проекций нечёткого
отношения, функция принадлежности которого имеет вид
0,5 0 0,3
(𝑥,
𝜇𝐴 𝑦) = (0,1 0,6 0,8).
0,4 1 0,2
19. Найти функцию принадлежности реакции системы на множество A нечётких
управлений с функцией принадлежности 𝜇𝐴 (𝑥), график которой приведён
на рисунке, если эта реакция описывается отображением 𝜑(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥 2 −
5.
20. Пусть на базисном множестве 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 } задано нечёткое
множество
𝐴 = {(𝑥1 ; 0,3), (𝑥2 ; 0,7), (𝑥3 ; 1), (𝑥4 ; 0), (𝑥5 , 0,2), (𝑥6 ; 0,6), (𝑥7 ; 0,8)}
и известно отображение 𝑓(𝑥) этого множества в множество 𝑌 =
{𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , 𝑦4 }, которое задано в виде таблицы:
𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥3 )
𝑓(𝑥4 )
𝑓(𝑥5 )
𝑓(𝑥6 )
𝑓(𝑥7 )
{𝑦2 }
{𝑦2 , 𝑦4 }
{𝑦1 }
{𝑦3 }
{𝑦1 }
{𝑦2 }
{𝑦4 }
Найти образ множества A при этом отображении.
21. Определите, какой вид линейности имеет нечёткое отношение
предпочтения, если матрица его функции предпочтения имеет вид:
1 0,5 0,7 1
0,3 1 0,9 0,3
𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) = (
).
0,2 0,6 1 0.8
0,1 0,8 0,3 1
22. Используя определение нечёткого отношения строгого предпочтения
𝜇𝑅𝑆 (𝑥, 𝑦), докажите, что
𝑠𝑢𝑝{𝜇𝑅𝑆 (𝑥, 𝑦)} = 𝑠𝑢𝑝{𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) − 𝜇𝑅 (𝑦, 𝑥)}
𝑦∈𝑌
𝑦∈𝑌
23. Найдите подмножество максимальных недоминируемых альтернатив
множества 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 𝑥3 , 𝑥4 }, если на нём задана следующая матрица
принадлежности 𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) нечёткого отношения предпочтения 𝑅:
14
1 0,3 0,7 0,9
0,6 1 0,8 0,3
𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) = (
).
0,2 0,3 1 0,6
0,4 0,8 0,1 1
Какая альтернатива имеет наибольшую степень недоминируемости?
24. Докажите, что в случае сильной линейности нечёткого отношения
предпочтения на множестве 𝑋 для любой чётко недоминируемой
альтернативы 𝑥 равенство 𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) = 1 выполняется для любой другой
альтернативы 𝑦 ∈ 𝑋.
25. Докажите, что в случае сильной линейности нечёткого отношения
предпочтения на множестве 𝑋 для любой альтернативы 𝑦 из множества
чётко недоминируемых альтернатив условие 𝜇𝑅𝐼 (𝑥, 𝑦) > 0 выполняется для
любой другой альтернативы 𝑥 ∈ 𝑋.
26. Покажите, что если (𝑥0 , 𝑦0 ) и (𝑥1 , 𝑦1 ) - две седловые точки функции 𝜑(𝑥, 𝑦),
то (𝑥0 , 𝑦1 ) и (𝑥1 , 𝑦0 ) также являются седловыми точками этой функции,
причём
𝜑(𝑥0 , 𝑦1 ) = 𝜑(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝜑(𝑥1 , 𝑦1 ) = 𝜑(𝑥1 , 𝑦0 ).
27. Докажите, что если 𝑥 является чётко недоминируемой альтернативой на
множестве (𝑋, 𝜇𝑅 ), то пара (𝑥, 𝑥) представляет собой седловую точку
функции 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) − 𝜇𝑅 (𝑦, 𝑥).
28. Определите чётко недоминируемые альтернативы на множестве 𝑋 =
{𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 }, если на нём задана следующая матрица принадлежности
𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) транзитивного нечёткого отношения предпочтения 𝑅:
1 0,6 0,7 0,4
0,2 1 0,3 0,3
𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦) = (
).
0,3 0,7 1
0
0,7 0,8 0,9 1
29. Каким образом следует изменить матрицу принадлежности 𝜇𝑅 (𝑥, 𝑦)
транзитивного нечёткого отношения предпочтения 𝑅 в предыдущем
примере, чтобы на множестве 𝑋 существовало подмножество чётко
недоминируемых альтернатив {𝑥1 , 𝑥4 }?
30. Методом многокритериальной оценки альтернатив решите задачу выбора
старосты группы, если наиболее подходящими кандидатами вам
представляются: x1 – отличник учёбы, x2 – способный организатор, x3 –
хороший спортсмен, пользующийся авторитетом студентов.
В качестве равнозначных критериев оценки кандидатов выберите: с1 –
успеваемость, c2 – учебную дисциплину, c3 – организаторские способности,
c4 – уважение студентов.
Путём экспертной оценки кандидатам выставлены следующие оценки по
каждому критерию соответственно: x1 – 1; 0,9; 0,6; 0,5; x2 – 0,7; 0,7; 0,9; 0,6;
x3 – 0,6; 0,8; 0,8; 0,9.
31. Решите предыдущую задачу в предположении неравнозначности критериев
оценки, выбрав самостоятельно их значимость. Для упрощения задачи
объедините критерии с1 и с2, рассматривая их как единый критерий.
Перечень теоретических вопросов к зачёту:
32. Сформулируйте определение нечёткого множества и поясните его основной
смысл.
33. В чём состоит принципиальное отличие нечёткомножественного описания
определённой ситуации от её вероятностного описания?
15
34. Раскройте смысл и сущность функции принадлежности как основной
характеристики нечёткого множества.
35. Постройте график функции принадлежности нечёткого множества чисел,
значительно больших нуля.
36. Постройте график функции принадлежности нечёткого множества чисел,
значительно меньших десяти.
37. Постройте график функции принадлежности нечёткого множества чисел,
близких к шести.
38. Постройте график функции принадлежности нечёткого множества чисел,
значительно отличающихся от шести.
39. Дайте определения и раскройте сущность понятий нормального и
субнормального множеств.
40. Дайте определение понятия носителя нечёткого множества и раскройте его
сущность.
41. Раскройте сущность включения одного нечёткого множества в другое.
Проиллюстрируйте это с использованием графиков функций принадлежности.
42. Дайте определение операции объединения нечётких множеств. Приведите график
функции принадлежности объединения нечётких множеств по графикам функций
принадлежности объединяемых нечётких множеств.
43. Дайте определение операции пересечения нечётких множеств. Приведите график
функции принадлежности пересечения нечётких множеств по графикам функций
принадлежности пересекаемых нечётких множеств.
44. Дайте определение дополнения нечёткого множества и поясните правило
вычисления его функции принадлежности.
45. Поясните, в чём состоит принципиальное отличие результата пересечения
𝐴 ∩ 𝐴 для четких и нечётких множеств.
46. Дайте определение разности нечётких множеств.
47. Дайте определение декартова произведения множеств и раскройте его
сущность.
48. С помощью геометрической иллюстрации покажите способ определения
значений функции принадлежности декартова произведения нечётких
множеств и объясните их смыл.
49. Дайте определение выпуклой комбинации нечетких множеств.
50. Дайте определение и объясните сущность операции сжатия нечёткого
множества. Что может физически означать это сжатие?
51. Дайте определение и объясните сущность операции растяжения нечёткого
множества. Что физически может означать это растяжение?
52. Раскройте сущность понятия множества уровня 𝛼 заданного нечёткого
множества.
53. Приведите правила нахождения объединения и пересечениямножеств
уровня.
54. Дайте определение нечёткого отношения и приведите примеры нечётких
отношений.
55. Покажите, в чём состоит принципиальная разница между отношением 𝑥 ≥
𝑦 и нечётким отношением 𝑥 ≫ 𝑦.
56. Дайте геометрическую интерпретацию отношениям 𝑥 ≥ 𝑦 и 𝑥 ≫ 𝑦.
57. Раскройте сущность понятия носителя нечёткого отношения.
58. Раскройте сущность понятия множества уровня нечёткого отношения.
59. Дайте определения операций объединения и пересечения двух нечётких
отношений.
16
60. Дайте определение дополнения нечёткого отношения.
61. Дайте определение обратного отношения.
62. Каким образом определяется функция максиминной композиции нечётких
отношений?
63. Как определяется функция принадлежности минимаксной композиции
нечётких отношений?
64. Как определяется функция принадлежности максмультипликативной
композиции нечётких множеств?
65. Дайте определение проекции нечёткого отношения.
66. В каком случае нечёткое отношение является рефлексивным? Приведите
пример рефлексивного нечёткого отношения.
67. В каком случае нечёткое отношение является антирефлексивным?
Приведите пример антирефлексивного нечёткого отношения.
68. Какое нечёткое отношение называется симметричным? Приведите пример
симметричного нечёткого отношения.
69. Какое нечёткое отношение называется антисимметричным? Приведите
пример антисимметричного нечёткого отношения.
70. Приведите определение свойства транзитивности нечёткого отношения.
71. В чём может состоять природа нечёткости отображений?
72. Какие виды нечёткости возможны при анализе задач с нечёткими
отображениями?
73. Приведите пример физической интерпретации нечёткого множества X
управлений в множество Y.
74. Какая информация необходима для определения реакции Y системы на
нечёткое управление X?
75. Каким образом определяется образ нечёткого подмножества A данного
множества X с функцией принадлежности 𝜇𝐴 (𝑥) при заданном его
отображении 𝜑(𝑥) на множество Y?
76. Как определяется функция принадлежности образа нечёткого множества
при данном его отображении?
77. Каким образом определяется реакция системы в случае, когда отображение
зависит от нескольких переменных?
78. Чем обусловлена необходимость решения многих практических задач в
условиях неопределённости?
79. Объясните сущность понятия неопределённости, его природу и основные
источники.
80. С помощью чего можно символически охарактеризовать общую постановку
задачи принятия решений.
81. Назовите основные компоненты кортежа, который используется для общей
характеристики задачи принятия решений.
82. Что представляет собой множество альтернатив как компонент кортежа,
используемого при постановке и характеристике задачи принятия решений?
83. Что принято понимать под средой задачи принятия решений?
84. Какие виды условий принятия решений могут иметь место в зависимости от
характера соответствующей среды?
85. Что представляет собой система предпочтений лица, принимающего
решения, и на основании каких факторов она формируется?
86. Сформулируйте, что представляет собой совокупность действий над
множеством альтернатив и приведите примеры подобных структур.
17
87. Приведите общую схему классификации неопределённостей.
88. В чём состоят особенности и природа физической и лингвистической
неопределённости?
89. Приведите классификацию лингвистических неопределённостей, поясните
их сущность и дайте примеры.
90. Раскройте сущность понятия лингвистической переменной.
91. Какими могут быть основные особенности лингвистической переменной?
92. С помощью каких элементов можно полностью охарактеризовать
лингвистическую переменную?
93. Что представляет собой терм-множество?
94. С помощью каких правил формируются значения лингвистической
переменной?
95. Приведите пример терм-множества значений некоторой лингвистической
переменной.
96. В чём состоит принципиальное отличие подходов к описанию и
формализации неопределённостей с позиций теории вероятностей и с
позиций теории нечётких множеств?
97. Раскройте основные различия в понятийной основе теории вероятностей и
теории нечётких множеств при их использовании для описания
неопределённостей.
98. Раскройте основные различия в способе описания исходных данных в
методах теории вероятностей и методах теории нечётких множеств при их
использовании для формализации неопределённостей.
99. Какое значение имеет количество рассматриваемых объектов при выборе
методов исследования и обращении к теории вероятностей или к теории
нечётких множеств?
100.
Каковы возможности учёта человеческого фактора и описания его
особенностей при использовании методов теории вероятностей и методов
теории нечётких множеств?
101.
Приведите основные способы формирования операций при
использовании различных подходов к формализации неопределённостей.
102.
Каким образом круг прикладных задач влияет на выбор методов
формализации неопределённостей?
103.
приведите возможные источники нечёткости, встречающиеся в
задачах математического программирования.
104.
В чём состоит сущность первого подхода к решению задач нечёткого
математического моделирования?
105.
В чём состоит сущность второго подхода к решению задач нечёткого
математического моделирования?
106.
В чём состоит сущность подхода Беллмана-Заде к решению задач
нечётко определённой цели?
107.
Что собой представляет нечёткое решение задачи достижения
нечётко поставленной цели?
108.
Каким
образом
находится
решение
задачи
нечёткого
математического программирования при наличии нескольких нечётких
целей и нескольких ограничений?
109.
Приведите общую классификацию задач нечёткого математического
программирования.
18
110.
Какой подход применяется для решения нечёткой задачи
математического программирования в случае чёткой функции цели и
нечётких ограничений?
111.
Охарактеризуйте подход к задачам нечёткого математического
программирования, в которых допускается смягчение заданных
ограничений.
112.
Поясните смысл функции принадлежности 𝜇𝐶 подмножества 𝐶 ⊂ 𝑋
множества допустимых альтернатив 𝑋 в задаче рационального выбора
альтернатив.
113.
Какие возможные случаи охватывает наличие нечёткого отношения
предпочтения на данном множестве альтернатив?
114.
Какие разновидности отношения предпочтения можно выделить из
обычного отношения на множестве альтернатив.
115.
В чём состоит сущность отношения строго предпочтения?
116.
Приведите аналитическое выражение для определения отношения
строго предпочтения и поясните его.
117.
В чём состоит сущность отношения безразличия?
118.
Приведите аналитическое выражение для определения отношения
безразличия и поясните его.
119.
Поясните смысл понятия доминирования.
120.
Какая альтернатива называется недоминируемой?
121.
Покажите взаимосвязь понятия недоминируемости альтернативы с
располагаемой в данной задаче информацией.
122.
Покажите взаимосвязь понятия недоминируемости альтернативы с
характером отношения на данном множестве альтернатив.
123.
В чём состоит принципиальное отличие нечёткого отношения
предпочтения от обычного отношения предпочтения?
124.
Раскройте сущность функции принадлежности нечёткого отношения
предпочтения.
125.
Какие разновидности отношения предпочтения можно выделить из
нечёткого отношения на множестве альтернатив?
126.
Поясните сущность нечёткого отношения безразличия и приведите
аналитическое выражение для его определения.
127.
Приведите выражение для вычисления функции принадлежности
нечёткого отношения безразличия.
128.
Поясните сущность нечёткого отношения квазиэквивалентности и
приведите аналитическое выражение для его определения.
129.
Приведите выражение для вычисления функции принадлежности
нечёткого отношения квазиэквивалентности.
130.
Поясните сущность нечёткого отношения строгого предпочтения и
приведите аналитическое выражение для его определения.
131.
Приведите выражение для вычисления функции принадлежности
нечёткого отношения строгого предпочтения.
132.
Дайте определение линейности отношения на множестве.
133.
При каких условиях нечёткое отношение предпочтения на множестве
не является линейным?
134.
Сформулируйте определение степени линейности нечёткого
отношения предпочтения на множестве.
19
135.
В чём состоит смысл выражения “нечёткое отношение предпочтения
на множестве является 0,8-линейным”?
136.
Сформулируйте определение сильной линейности нечёткого
отношения на множестве.
137.
Какими способами можно аналитически описать свойство сильной
линейности нечёткого отношения предпочтения?
138.
Приведите определение свойства слабой линейности нечёткого
отношения предпочтения на множестве альтернатив.
139.
Приведите пример матрицы функции принадлежности сильно
линейного нечёткого отношения предпочтения.
140.
Приведите пример матрицы функции принадлежности 0,6-линейного
нечёткого отношения предпочтения.
141.
Приведите пример матрицы функции принадлежности слабо
линейного нечёткого отношения предпочтения.
142.
В чём состоит сущность подхода к решению задачи рационального
выбора альтернатив при нечётко описанном отношении предпочтения?
143.
Какой характеристикой выступает для пары (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 функция
принадлежности 𝜇𝑅𝑆 (𝑥, 𝑦) нечёткого отношения строгого предпочтения?
144.
В чём состоит смысл понятия нечёткого подмножества
недоминируемых альтернатив. Покажите процедуру его нахождения.
145.
Какие элементы множества 𝑋 называются максимальными
недоминируемыми альтернативами?
146.
Приведите определение чётко недоминируемой альтернативы.
147.
По какому отношению предпочтения могут быть сравнимы между
собой чётко недоминируемые альтернативы?
148.
Докажите, что любые две чётко недоминируемые альтернативы
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑋 связаны между собой соотношением безразличия 𝜇𝑅𝐼 (𝑥1 , 𝑥2 ) со
степенью, не меньшей, чем 0,5.
149.
Сформулируйте определение α-линейности нечёткого отношения
предпочтения и раскройте его смысл.
150.
В чём состоит смысл понятия сильной линейности нечёткого
отношения строгого предпочтения?
151.
Приведите определение седловой точки функции двух переменных.
152.
Сформулируйте определение антисимметрической функции двух
переменных.
153.
Приведите свойства антисимметрической функции двух переменных,
связанные с её седловыми точками.
154.
Сформулируйте, в чём состоит постановка задачи выбора и
многокритериальной нечёткой оценки альтернатив.
155.
Какая альтернатива из рассматриваемого их множества должна быть
решением задачи многокритериальной оценки?
156.
Приведите решающее правило выбора наилучшей альтернативы в
многокритериальной задаче при разнозначных критериях оценки.
157.
Приведите решающее правило выбора наилучшей альтернативы в
многокритериальной задаче при неравнозначных критериях оценки.
158.
Раскройте сущность весовых коэффициентов и их предназначение в
многокритериальной задаче при неравнозначных критериях оценки.
159.
Приведите пример шкалы оценок относительной важности
критериев в задаче многокритериальной оценки альтернатив.
20
160.
В чём состоит задача многокритериального выбора альтернатив при
нечётком отношении предпочтения?
161.
Сформулируйте постановку задачи многокритериального выбора
альтернатив при нечётком отношении предпочтения.
162.
Какие альтернативы можно считать эффективными?
163.
Каким образом множество эффективных альтернатив в задаче
многокритериального выбора при нечётком отношении предпочтения
можно сузить до подмножества чётко недоминируемых альтернатив?
164.
Приведите общую процедуру решения многокритериальной задачи
рационального выбора недоминируемых альтернатив.
10. Образовательные технологии.
a. Аудиторные занятия:
 лекционные
и
практические
занятия
(коллоквиумы,
семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к
каждому практическому занятию.
 активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме,
компьютерные симуляции, компьютерное моделирование и практический
анализ результатов, работа студенческих исследовательских групп, вузовские и
межвузовские видеоконференции).
b. Внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и
уровня сложности, подготовка к аудиторным занятиям, подготовка к
коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов,
подготовка индивидуальных заданий: решение задач, выполнение
самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных
испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации);
 индивидуальные консультации.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и
проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями обучения
(различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного обучения,
дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные
информационные технологии обучения (самостоятельное изучение студентами учебных
материалов в электронной форме, выполнение студентами электронных практикумов, различные
демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении
части теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а
также современные информационные технологии обучения (системы поиска информации, работа
с учебно-методическими материалами, размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное практическое
занятие, работа в малых группах, групповая дискуссия, практические занятия в диалоговом
режиме, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной
форме.
21
11. Учебно-методическое
дисциплины.
и
информационное
обеспечение
a) Основная литература.
1.
2.
3.
4.
Батыршин И. З. Основные операции нечёткой логики и их обобщения –
Казань: Отечество, 2001.
Дьяконов В. П. MATLAB: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001.
Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные
нейронные сети – М.: Физматлит, 2001.
Леоненков А. В. Нечёткое моделирование с среде MATLAB и fuzzyTECH – СПб.:
БХВ-Петербург, 2005.
b) Дополнительная литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Аверкин А. Н. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного
интеллекта / Под ред. Д. А. Поспелова. – М.: Наука, 1986.
Городецкий В. И. Прикладная алгебра и дискретная математика Часть 3.
Формальные системы логического типа – М.: МО СССР, 1987.
Дюбуа Д., Прад Г. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний
в информатике – М.: Радио и связь, 1990.
Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию
приближённых решений – М.: Мир, 1976.
Котов В. Е. Сети Петри – М.: Наука, 1984.
Кофман А. Введение в теорию нечётких множеств – М.: Радио и связь, 1982.
Лескин А. А., Мальцев П. А., Спиридонов А. М. Сети Петри в моделировании и
управлении – М.: Наука, 1989.
Нечёткие множества и теория возможностей / Под ред. Р. Р. Ягера. – М.: Радио
и связь, 1986.
Новиков П. С. Элементы математической логики – М.: Наука, 1973.
Прикладные нечёткие системы / Под ред Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. – М.:
Мир, 1993.
c) Программное обеспечение и интернет-ресурсы.
1.
2.
3.
4.
5.
http://www.tmnlib.ru
http://lib.mexmat.ru
http://tonbext.tonb.ru
http://matlab.exponenta.ru
http://window.edu.ru
12. Технические
средства
и
материально-техническое
обеспечение дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том числе,
оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютерам с
пакетами прикладных программ Microsoft Office, Maple, Matlab, MathCad.
22