Механика твердого тела

ТЕМА 4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. Кинематика вращательного движения
В курсе теоретической механики доказывается, что плоское движение
твердого тела можно представить в виде суперпозиции поступательного и
вращательного движения относительно определенной оси. При вращении
твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся по
окружностям, центры которых расположены на одной прямой, называемой
осью вращения; быстрота вращения характеризуется угловой скоростью.
Если за равные промежутки времени t тело поворачивается на один и тот
же угол  , вращение называется равномерным, а величина


t
(4.1)
представляет собой модуль угловой скоростью вращения. Из (4.1) следует,
что единица измерения угловой скорости в СИ - 1 радиан в секунду (1 рад/с).
Поскольку ось, относительно которой происходит вращение, имеет вполне
определенное направление в пространстве, угловая скорость – это векторная
величина. Направление вектора угловой скорости связано с направлением
вращения тела правилом правого винта. В соответствии с этим угол
поворота считается положительным, если вектор угловой скорости
сонаправлен с положительным направлением оси; при этом проекция  на
ось OZ также положительна. Если же вектор угловой скорости направлен в
противоположную сторону, угол поворота и проекция  отрицательны. При
неравномерном вращении отношение  / t представляет собой модуль
средней угловой скорости за промежуток t ; если же перейти к пределу
этого отношения при t  0 , получим модуль мгновенной угловой скорости:
lim 
d
  
.
t  0 t
d
Быстрота изменения угловой скорости при неравномерном вращении
тела характеризуется угловым ускорением. Если за равные промежутки
времени угловая скорость изменяется на одинаковую величину  , такое
вращение называется равнопеременным, а отношение  / t - угловым
ускорением:


.
t
В случае неравнопеременного вращения предел этого отношения при t  0
называется мгновенным угловым ускорением:
lim 
d
  
.
t  0 t
dt
(4.2)
Из последнего равенства следует, что размерность модуля углового
ускорения – 1 рад/с2. Понятно, что при увеличении угловой скорости
1
векторы  и  сонаправлены, при замедлении вращения они направлены в
противоположные стороны.
Пусть твердое тело вращается относительно оси OZ , а его точка M при
этом описывает окружность радиуса R (рис. 4.1). За время dt радиус
окружности, проведенный в точку M , повернется на угол d , а сама точка
переместится вдоль окружности по дуге длиной ds . Ясно, что модуль
мгновенной скорости точки   ds / dt . Из определения радианной меры угла
следует, что d  ds / R  ds  R d . Поэтому

R d
dt
  R
d
   R .
dt
На рис. 4.1 видно, что R  r sin  ; соответственно
  r sin  .
Учитывая взаимное расположение векторов  , r ,  , а также последнюю
Z

R
ds
d

M 


r
O
Рис. 4.1
формулу, вектор мгновенной скорости можно представить в виде векторного
произведения:
  , r .
Поскольку   R , для модуля нормального ускорения имеем:
 
(R) 2
 an   2 R .
R
Продифференцируем выражение   R по времени:
d d
d
d
 (R) 
R
.
dt dt
dt
dt
an 
В разделе (1.2) уже отмечалось, что производная d / dt характеризует
быстроту изменения модуля мгновенной скорости (тангенциальное
ускорение):
d
 a .
dt
Учитывая, что
2
d

dt
(модуль углового ускорения), получим: a  R .
Основная задача кинематики вращательного движения состоит в том,
чтобы найти угол поворота тела относительно начального положения в
любой момент времени. Из равенства (4.1) следует, что при равномерном
вращении относительно оси OZ   Z t (здесь  - величина
алгебраическая,  Z - проекция ускорения на ось OZ ). Поскольку      0 ,
t  t  t 0 (здесь  - угол в момент времени t ,  0 - в начальный момент t 0 ),
имеем:    0   Z (t  t 0 )     0   Z (t  t 0 ) . Полагая в последнем равенстве
t 0  0 , получим зависимость угла поворота тела от времени при вращении с
постоянной угловой скоростью:    0   Z t . Сравним это равенство с одной
из формул (1.4А), определяющей зависимость от времени абсциссы частицы
при равномерном движении на плоскости: x  x0   x t . Легко видеть, что
величины  и  0 являются аналогами координат x и x 0 , проекция угловой
скорости – аналогом проекции вектора  на ось абсцисс. Рассуждая
подобным образом, можно получить формулы для зависимости от времени
угла поворота и проекции угловой скорости тела при равнопеременном
вращении, аналогичные формулам (1.6) и (1.6А) для равнопеременного
движения частицы:
  0  Z t 
Zt2
2
,  Z  0 Z   Z t .
Понятно, что в этих равенствах  0 Z - это проекция на ось OZ вектора
угловой скорости в момент t 0  0 ,  Z - проекция вектора углового
ускорения. В случае неравнопеременного вращения
t
t
0
0
   0    Z (t )dt ,  Z   0 Z    Z (t )dt .
Легко видеть, что эти выражения аналогичны формулам (1.8а) и (1.8б) для
неравнопеременного движения частицы.
4.2. Основное уравнение динамики вращательного движения
Для того чтобы сформулировать это уравнение, представим
произвольное тело в виде совокупности N элементарных частей. Момент
импульса i -ой части массой mi относительно точки O
 
Li  ri , pi ,
(4.3)
где
pi  mi  i
(4.4)
представляет собой импульс i -ой части тела (рис. 4.2,а). Сделав в (4.3)
замену (4.4), получим:
3


Li  ri , mi  i .
Согласно определению векторного произведения, вектор
Li направлен
перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы ri и  i .
Момент импульса всего тела относительно точки O представляет собой
N
сумму: L   Li (далее при суммировании по всем частям тела мы будем
i 1
указывать лишь индекс i под знаком суммы).
Пусть тело представляет собой цилиндр и вращается относительно оси
OZ , совпадающей с ось симметрии (рис. 4.2,б). Вследствие вращения i -ая
часть тела имеет момент импульса Li . Момент импульса j -ой части,
расположенной симметрично i -ой относительно оси OZ , представляет собой
вектор L j  m j r j , j . Если массы этих частей одинаковы, модули векторов


Li и L j равны; поэтому векторная сумма Li и L j дает вектор, направленный
вдоль оси OZ (на рис. 4.2,б он не показан). Из подобных рассуждений,
которые называются соображениями симметрии, следует, что вектор
а)
б)
Z
Z
i
R
Li


mi
m j
ri
 mi

rj 
ri
Li
Lj
O
O
Рис. 4.2
момента импульса цилиндрического тела, вращающегося относительно оси
симметрии, направлен вдоль этой оси.
Найдем проекцию вектора момента импульса несимметричного твердого
тела на ось вращения, т.е. момент импульса относительно оси. На рис. 4.3
видно, что для i -ой части тела LiZ  Li cos  i , где Li  mi ri , i . Поскольку
векторы ri и  i перпендикулярны, Li  mi ri i , LiZ  mi rii cos  i . Так как
ri cos  i  Ri , LiZ  mi Ri i . Учитывая, что  i  Ri , имеем:
2
(4.5)
LiZ  miRi .
Проекция момента импульса всего тела на ось вращения:
LZ   LiZ .
 
i
4
Сделав в этом равенстве замену (4.5), получим:
LZ    mi Ri .
2
(4.6)
i
Z
Ri
i
Li

i

i
mi
ri
O
Рис. 4.3
Легко видеть, что проекция момента импульса тела не зависит от положения
точки O на оси вращения. Величина
2
I Z   mi Ri
(4.7)
i
называется моментом инерции тела относительно оси OZ , единицей
измерения момента инерции служит 1кг∙м2. Необходимо подчеркнуть, что
любое тело обладает моментом инерции относительно определенной оси
независимо от того, вращается оно или нет. Здесь уместна аналогия с массой
тела, которая характеризует его инертность при поступательном движении:
тело обладает массой независимо от того, движется оно или нет.
С учетом (4.7) получим, что LZ  I Z , и перепишем уравнение (3.25):
d
внш
(I Z )   M iZ .
dt
i
d
внш
Поскольку для твердого тела I Z  const , I Z
  M iZ .
dt
i
d
  Z , имеем:
dt
в нш
I Z  Z   M iZ .
Учитывая,
что
(4.7А)
i
Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного
движения твердого тела относительно неподвижной оси.
4.3. Момент инерции
Из определения момента инерции (см. (4.7)) следует, что эта
физическая величина является аддитивной, т.е. момент инерции тела равен
сумме моментов инерции составляющих его частей. Необходимо понимать
также, что вычисление по формуле (4.7) дает нам, строго говоря, лишь
приближенное значение момента инерции. Причина этого в том, что
5
различные точки объема Vi , который занимает i -ая часть тела массой mi ,
находятся все же на различных расстояниях от оси OZ . Для того, чтобы
получить выражение для вычисления точного значения момента инерции,
необходимо дать определение плотности тела в некоторой его точке.
Понятно, что отношение mi / Vi представляет собой среднюю
плотность тела в объеме Vi :
mi
 i .
Vi
(4.8)
Перейдя к пределу отношения (4.8) при Vi  0 , получаем плотность тела в
i - ой точке, в которую стягивается этот объем:
lim mi
 i .
Vi  0 Vi
Согласно равенству (4.7)
I Z    i Ri Vi .
2
(4.9)
i
Ясно, что сумма в правой части (4.9) тем точнее выражает момент инерции
тела, чем меньше объем Vi . Точное значение I Z получается как предел этой
суммы при стремлении Vi к нулю:
IZ 
lim
Vi  0
 R
i
2
i
Vi .
i
В математике такой предел называется тройным интегралом, или интегралом
по объему тела:
lim
Vi  0
 R
i
2
i
i
Vi   R 2 dV .
(4.10)
V
Более подробные сведения о тройных интегралах излагаются в курсе
высшей математики.
Если тело однородно, т.е.   const , интеграл (4.10) упрощается:
I Z    R 2 dV .
V
Вычисление момента инерции еще больше упрощается, если тело обладает
осевой или сферической симметрией. В частности, можно показать, что
момент инерции цилиндрического тела относительно оси симметрии
I
1
mR 2 ,
2
(4.11)
где m - масса, R - радиус основания цилиндра. Поскольку численное значение
момента инерции не зависит от высоты цилиндра, формулу (4.11) можно
использовать и для вычисления момента инерции диска.
Далее рассмотрим тело произвольной формы и две параллельные оси,
одна из которых (OZ ) проходит через центр масс (рис. 4.4). Найдем момент
инерции этого тела относительно оси O' Z ' , находящейся на расстоянии a от
оси OZ . Положение различных элементарных частей тела относительно
рассматриваемых осей будем характеризовать их проекцией на ось OX , также
6
проходящую через центр масс. Тогда момент инерции тела относительно оси
O ' Z ' можно представить в виде суммы:
Z
Z'
C
O
a
O'
X
xi
 m
i
R 'i
Рис. 4.4
I Z '   mi ( Ri ) 2 .
'
На рис. 4.4 видно, что Ri '  a  xi ; поэтому
I Z '   mi (a  xi ) 2  I Z '   mi (a 2  2axi  xi ) 
2
i
IZ' 
 m a
i
i
2
 2a  mi xi   mi xi .
2
i
(4.12)
i
i
Легко видеть, что первое слагаемое здесь равно ma 2 ( m - масса тела), третье
слагаемое – это момент инерции тела относительно оси, проходящей через
центр масс. Для того чтобы найти значение второго слагаемого, обратимся к
равенству (1.14) для радиус-вектора центра масс тела:
rC 
 m r
i i
i
m
 mrC   mi ri .
i
Спроецировав это равенство на ось OX , получим: mxC   mi xi . Поскольку
i
центр масс совпадает с точкой O , xC  0 ; следовательно,
сумма
 m x
i
i
i
также равна нулю, и формула (4.12) принимает вид:
I Z '  I C  ma 2
(здесь I C - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр
масс). Последнее равенство известно в механике как теорема Штейнера:
момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен
сумме момента инерции этого тела относительно параллельной оси,
проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат
расстояния между осями.
7
4.4. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Если тело вращается относительно неподвижной оси с угловой
скоростью  , элементарная часть тела массой mi , находящаяся на
расстоянии Ri от оси вращения, обладает линейной скоростью  i  Ri .
Следовательно, ее кинетическая энергия
(WK ) i 
а энергия всего тела
WK  
i
mi
(Ri ) 2 ,
2
m i
(Ri ) 2 .
2
Поскольку все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью,
WK 
Учитывая,
что
 m R
i

 m R
2
i
i
2
.
i
2
i
 I (момент
инерции
тела
относительно
i
рассматриваемой оси), находим, что
WK 
1 2
I .
2
Последнее выражение аналогично формуле для кинетической энергии
твердого тела, движущегося поступательно:
WK 
1
m 2 .
2
Действительно, аналогом массы как меры инертности при поступательном
движении является момент инерции, аналогом скорости поступательного
движения – угловая скорость вращения.
Далее найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении
твердого тела относительно оси OZ . Пусть сила F направлена по
касательной к окружности, вдоль которой движется точка приложения силы
(рис. 4.5,а). В соответствии с правилом правого винта вектор угловой
скорости направлен в плоскость рисунка. За элементарный промежуток
времени dt точка B пройдет по дуге окружности путь ds . Поскольку в любой
точке дуги вектор силы направлен по касательной, элементарная работа
A  F ds . Так как ds  Rd  , то A  F Rd  . Учитывая, что F R  M Z (модуль
момента силы относительно оси вращения), получим, что A  M Z d .
Теперь пусть сила F направлена произвольно относительно оси
вращения (рис. 4.5,б). Представим ее в виде суммы трех компонент:
F  Fl  F  F . Здесь F - тангенциальная составляющая, Fl и F составляющие силы F , параллельная и перпендикулярная оси вращения.
Поскольку векторы Fl и F перпендикулярны перемещению точки
приложения силы при вращении тела, их работа равна нулю. Следовательно,
и в случае произвольного направления силы ее работа обусловлена только
8
тангенциальной составляющей:
A  M Z d ,
а)
B

R

(4.13)
Z
б)
ds 

F
d
Fl
F
F
F
O
Рис. 4.5
где M Z  F R . Эта формула аналогична формуле для работы силы при
поступательном движении: A  Fdr cos , где  - угол между векторами силы
и перемещения (рис. 3.1). Поскольку F cos   Fr (проекция вектора силы на
направление вектора перемещения), A  Fr dr . Из сравнения этого выражения
с формулой (4.13) следует, что величина M Z является аналогом Fr , угол
поворота d - аналогом dr . Разделив элементарную работу A на время dt ,
находим мгновенную мощность:
A
dt
 P.
Сделав в последнем выражении замену (4.13), получим:
P  MZ
d
 P  M Z Z .
dt
Эта формула аналогична формуле для мощности при поступательном
движении тела: P  F d (см. п. 3.1). Действительно, проекция момента силы
на направление вектора угловой скорости является аналогом проекции силы
на направление вектора скорости поступательного движения.
4.5. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении
Как уже отмечалось, в теоретической механике доказывается, что
плоское движение твердого тела можно представить в виде суперпозиции
поступательного и вращательного движения относительно определенной оси.
При этом скорость поступательного движения может различаться, но угловая
скорость вращения всегда одна и та же независимо от того, относительно
какой оси происходит вращение.
Проиллюстрируем это на примере цилиндра, который катится без
9
проскальзывания по горизонтальной поверхности. В первом случае модуль
скорости точки B цилиндра  B  2R , где  - угловая скорость вращения
цилиндра относительно оси A , проходящей через точку касания цилиндра и
поверхности (рис. 4.6,а). Поскольку эта ось перемещается вместе с
цилиндром, она называется мгновенной осью. Во втором случае модуль
скорости этой же точки можно представить в виде суммы:  B   B ' C (рис.
4.6,б). Здесь  B '  R - скорость точки B , обусловленная вращением
цилиндра относительно оси C , совпадающей с его осью симметрии,  C B
a)
B
б)
B
C
2R
B
C

A
Рис. 4.6
скорость перемещения оси, т.е. скорость поступательного движения
цилиндра. Легко показать, что  C также равна R . Действительно, за один
полный оборот цилиндра ось C переместится вдоль направления движения
на отрезок длиной 2R . В соответствии с этим
2R
2
 C 
R,
T
T
2
  ,  C  R (что и требовалось
где T - время одного оборота. Поскольку
T
доказать),  B  2R . Так как скорость точки B имеет такое же значение, как и
C 
в случае, представленном на рис. 4.6,а, угловые скорости вращения цилиндра
обоих случаях также одинаковы.
Таким образом, в первом случае поступательное движение вообще не
участвует в представлении плоского движения тела – имеется только
вращение относительно мгновенной оси A . Во втором случае используется
как поступательное, так и вращательное движение относительно оси C ; при
этом угловые скорости в обоих случаях одинаковы.
Представим плоское движение тела как суперпозицию поступательного
движения точки O со скоростью  O и вращения вокруг оси, проходящей
через эту точку (рис. 4.7,а). Поскольку тело вращается по часовой стрелке,
вектор угловой скорости направлен в плоскость рисунка. Выделим
элементарную часть тела массой mi ; ее положение относительно точки O
определяется радиус-вектором ri . Тогда составляющая скорости i -ой части
тела, обусловленная только его вращением, равна  i , ri , а полная ее скорость
в неподвижной системе отсчета
 
10
 
 i   O   i , ri .
a)
mi
(4.14)
б)

Ri
ri


O
O
i
O
mi

ri
Рис. 4.7
Кинетическая энергия этой части тела
(WK ) i 
1
2
mi i .
2
Поскольку кинетическая энергия – это скалярная величина, квадрат скорости
в этом равенстве следует рассматривать как скалярное произведение (i , i ) .
В соответствии с (4.14) имеем:
2
(4.15)
i 2  O  , ri  i2  (O ,O )  2 O , , ri  , ri , , ri .
Первое слагаемое в правой части (4.15):
2
2
( O , O )   O cos 0 0   O .
(4.16)
Для того чтобы вычислить третье слагаемое, будем считать, что ось
вращения этого же тела направлена вертикально (рис. 4.7,б). На рисунке
видно, что
, ri  ri sin  i , ri sin  i  Ri .
  
     
 
Поэтому
, r   R , , r , , r    R
2
i
i
i
i
2
i
Сделав в (4.15) замену (4.16) и (4.17), получим:
(WK ) i 
  

.
(4.17)

1
2
2
mi  O  2  O ,  , ri   2 Ri .
2
Кинетическая энергия всего тела представляет собой сумму:
  


1
2
2
WK   mi  O  2  O ,  , ri   2 Ri 
i 2
WK 
O 2
2
 mi 
i
2
2
 m R   m 
i
i
2
i
i
O
 
,  , ri .
(4.18)
i
Первое слагаемое в последнем равенстве – это кинетическая энергия
поступательного движения всего тела, второе слагаемое – кинетическая
энергия его вращения относительно оси, проходящей через точку O . Для
того чтобы вычислить третье слагаемое, перепишем его по-иному,
воспользовавшись свойствами смешанного произведения векторов:
11
 m 
i
O
i
 



, , ri   O ,  ,  mi ri   .
 i


Согласно (1.14)
rC 
1
 mi ri  i mi ri  mrC .
m i
Поэтому равенство (4.18) можно представить следующим образом:
 

  
m O
m O
I 2
I 2

  O ,  , mrC  WK 

 m  O ,  , rC .
2
2
2
2
2
WK 
2
(4.19)
Не рассматривая физический смысл третьего слагаемого, представим плоское
движение этого же тела как суперпозицию поступательного движения со
скоростью центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс.
В этом случае rC  0 , и формула (4.19) упрощается:
m C
I 2
 C
.
2
2
2
WK 
Таким образом, кинетическую энергию твердого тела при плоском
движении можно представить в виде суммы энергии поступательного
движения со скоростью центра масс и энергии вращения относительно оси,
проходящей через центр масс.
4.6. Гироскоп
В качестве иллюстрации применения сформулированных выше законов
механики твердого тела рассмотрим гироскопический эффект и
обусловленное этим эффектом явление прецессии гироскопа.
Гироскоп представляет собой массивное твердое тело, обладающее
осевой симметрией. Как уже отмечалось, вектор момента импульса тела,
вращающегося относительно оси симметрии, направлен вдоль этой оси.
Поэтому если «раскрутить» гироскоп, сообщив ему большую угловую
скорость, и не оказывать на него никакого силового воздействия, то в
соответствии с уравнением (3.25) направление вектора момента импульса и,
соответственно, оси гироскопа будет оставаться неизменным. Это явление
позволяет использовать гироскоп в качестве основного элемента
навигационных приборов на судах морского и воздушного флота, а также на
космических кораблях.
Пусть нижний конец оси вращающегося гироскопа закреплен в
шарнире – устройстве, позволяющем оси свободно отклоняться и занимать
любое положение относительно вертикали. Попытаемся отклонить ось
гироскопа в направлении A , подействовав на другой ее конец силой F (рис.
4.8). С точки зрения «здравого смысла» ось гироскопа должна отклониться в
направлении действия силы, однако вопреки этому ось отклонится в
12
направлении B , перпендикулярном A . Такое «противоестественное» на
первый взгляд поведение гироскопа и называется гироскопическим
эффектом.
Гироскопический эффект находится в полном согласии с законами
механики твердого тела. Действительно, в соответствии с основным
уравнением динамики вращательного движения, в результате действия силы
F момент импульса гироскопа, направленный вдоль оси вращения, получает
приращение d L  M dt ( M - вектор момента этой силы относительно точки O ,
dL
L
F

M
B
O
A
Рис. 4.8
направленный вдоль B ). Для наглядности начало вектора L находится в
точке O , его конец – в точке приложения силы. Поскольку dt  0 , вектор
dL сонаправлен с вектором M ; именно поэтому ось гироскопа отклонится в
направлении B .
Опыт показывает, что если толчком отклонить вращающийся гироскоп
от вертикали, его ось начнет описывать коническую поверхность. Это
явление, называемое прецессией гироскопа, обусловлено упомянутым выше
гироскопическим эффектом. Действительно, на рис. 4.9 видно, что при
отклонении гироскопа возникает момент силы тяжести относительно точки
O . Под действием этого момента за промежуток времени dt вектор момента
dL
импульса получит приращение dL  M dt . Так как
вектор
перпендикулярен плоскости, проходящей через вертикаль и ось гироскопа,
эта плоскость за время dt повернется относительно вертикали на угол d .
Таким образом, ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться, т.е.
прецессировать. Поскольку направление перемещения оси перпендикулярно
силе тяжести, в отсутствие силы трения в шарнире и сопротивления среды
полная механическая энергия гироскопа оставалась бы неизменной, т.е.
прецессия продолжалась бы неограниченно долго.
13
L
rr
dL
dd
dL
L'  L  dL
C 

mg
O 
M
Рис. 4.9
Угловая скорость прецессии   d / dt . Заменив дугу окружности,
описываемой концом вектора L , хордой длиной dL , имеем:
d 
dL
r
.
Учтем, что dL  Mdt , r  L sin  , L  I (  - угловая скорость вращения
гироскопа, I - его момент инерции). На рис. 4.9 видно, что M  mgb sin  ( m масса гироскопа, b  OC - расстояние от шарнира до центра масс). Поэтому
получим:
d 
mgb
mgb sin dt
, 
.
I
I sin 
Примечательно, что угловая скорость прецессии не зависит от угла наклона
гироскопа относительно вертикали.
14