Матем логика и теория алгоритмов_Раб_прогр

Министерство образования и науки Российской Федерации
Владивостокский государственный университет
экономики и сервиса
Кафедра математики и моделирования
в
а
Рабочая программа учебной дисциплины
Основная образовательная программа
230700.62 ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
230400.62 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
И ТЕХНОЛОГИИ
Б
а
к
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
л
А.А. СТЕПАНОВА
а
р
и
а
т
Институт информатики, инноваций и бизнес-систем
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2012
ББК 22.1
Рабочая программа учебной дисциплины «Математическая логика
и теория алгоритмов» составлена в соответствии с требованиями ООП
23070062 Прикладная информатика, 230400.62 Информационные системы и технологии на базе ФГОС ВПО.
Автор-составитель: А.А. Степанова, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры математики и моделирования
Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования
от 07.02.2011 г., протокол № 7, редакция 2012 г.
Рекомендована к изданию учебно-методической комиссией Института информатики, инноваций и бизнес-систем
© Издательство Владивостокского
государственного университета
экономики и сервиса, 2012
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» является важным звеном математического образования. Этот раздел математики наиболее интенсивно стал развиваться в середине прошлого века в
связи с внедрением ЭВМ. В современной науке и технике знание математической логики и теории алгоритмов играют все большую роль. Это
обусловлено совершенствованием вычислительной техники, благодаря
которой существенно расширяется возможность успешного применения
математики при решении конкретных задач. Причины введения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» заключаются в
необходимости подготовки студентов к изучению последующих математических и специальных дисциплин, многие из которых связаны с
основными понятиями математической логики и теории алгоритмов.
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» включает в себя такие разделы, как алгебра высказываний, исчисление высказываний, логика предикатов, исчисление предикатов, элементы теории алгоритмов.
Данная программа построена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО к дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов». Рабочая учебная программа разработана на основе учебных планов
направлений 23070062 «Прикладная информатика», 230400.62 «Информационные системы и технологии».
3
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.1. Цели освоения учебной дисциплины
Целями освоения учебной дисциплины являются сформировать
представление об основах математической логики и развить способность применять полученные теоретические знания к решению актуальных практических задач. Задачи курса сводятся к изучению алгебры
высказываний, исчисления высказываний, логики предикатов и исчисления предикатов, к формированию логического мышления, развитию
абстрактного мышления, освоение аппарата математической логики.
Изучая математическую логику, студенты, по сути, знакомятся с современным математическим языком, являющимся, как известно, языком
любой науки.
1.2. Место учебной дисциплины в структуре ООП
(связь с другими дисциплинами)
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» относится к вариативной части математического и естественнонаучного
цикла для направлений «Прикладная информатика», «Информационные
системы и технологии».
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» базируется на следующих дисциплинах ООП: «Дискретная математика»,
«Линейная алгебра».
4
1.3. Компетенции обучающегося,
формируемые в результате освоения
учебной дисциплины
В результате освоения дисциплины у обучающегося должны быть
сформированы знания, умения, владения.
Название ООП
(сокращенное Блок
название ООП)
Компетенции
Составляющие компетенции
Знания
230700.62
ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
230400.62
ИНФОРМАЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ
И ТЕХНОЛОГИ
Б.2
Б.2
ПК-17 – способен
применять методы
анализа прикладной области на
Умеконцептуальном,
ния
логическом, математическом и алгоритмическом
уровнях
Владение
ОК-10 – готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять
методы математического анализа
и моделирования,
теоретического и
экспериментального исследования
5
методов математической
логики, теории алгоритмов
применять методы теории
множеств, математической
логики, алгебры высказываний, теории графов, теории автоматов, теории алгоритмов при решении
профессиональных задач
повышенной сложности
навыками моделирования
прикладных задач
Знания
основных понятий и методов математической логики
Умения
решать типовые задачи по
основным разделам курса
Владение
методами построения математической модели профессиональных задач и
содержательной интерпретации полученных результатов
1.4. Основные виды занятий
и особенности их проведения
Объем и сроки изучения дисциплины.
Курс читается для бакалавров второго курса в осеннем семестре
для направлений:
– «Информационные системы и технологии» в объеме 180 часов
(5 зачетных единиц) из них аудиторных 51 час. На самостоятельное
изучение дисциплины выделяется 83 часов;
– «Прикладная информатика» в объеме 144 учебных часов (4 зачетные единицы) из них аудиторных 51 час. На самостоятельное изучение дисциплины выделяется 47 часов.
Промежуточный контроль по дисциплине – экзамен.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, для
направлений составляет 20% от аудиторных занятий.
1.5. Виды контроля и отчетности по дисциплине
Контроль успеваемости осуществляется в соответствии с рейтинговой системой оценки знаний студентов.
Текущий контроль предполагает:
– проверку уровня самостоятельной подготовки студента при выполнении индивидуального задания;
– опросы по основным моментам изучаемой темы;
– проведение контрольных работ по блокам изученного материала;
– тестирование остаточных знаний (предварительные аттестации).
Промежуточный контроль знаний осуществляется при проведении
экзамена.
6
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Темы лекций
Тема 1. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы
(СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)
в алгебре высказываний (АВ) (2 часа)
Формулы АВ. Эквивалентность формул АВ. Понятия дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ), конъюнктивной нормальной формы
(КНФ), СДНФ, СКНФ.
Тема 2. Исчисление высказываний (ИВ). Доказуемые формулы
ИВ (2 часа)
Понятие исчисления. Язык ИВ. Определение формулы ИВ. Аксиомы и правила вывода ИВ. Доказуемые и выводимые формулы ИВ. Примеры доказуемых и выводимых формул ИВ.
Тема 3. Теорема о дедукции в ИВ (2 часа)
Формулировка и доказательство теоремы о дедукции. Следствия из
данной теоремы.
Тема 4. Эквивалентные формулы ИВ (3 часа)
Понятие эквивалентных формул ИВ. Формулировка и доказательство основных законов ИВ: законы идемпотентности, коммутативности,
ассоциативности, дистрибутивности, де Моргана, двойного отрицания.
Тема 5. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
(ДНФ и КНФ) (2 часа)
Определения элементарной конъюнкции, элементарной дизъюнкции, ДНФ, КНФ. Теорема о существовании для любой формулы ИВ
эквивалентной ей ДНФ (КНФ).
Тема 6. Логика предикатов (ЛП). Алгебраические системы.
Подсистемы (3 часа)
Понятия сигнатуры, алгебраической системы данной сигнатуры,
подсистемы, подсистемы, порожденной множеством. Примеры. Понятия терма данной сигнатуры, значение терма на кортеже в алгебраической системе. Теорема о подсистеме, порожденной множеством.
Тема 7. Формулы ЛП. Истинность формул ЛП в алгебраической системе. Эквивалентные формулы ЛП (3 часа)
Понятие формулы данной сигнатуры. Определение истинности формулы ЛП на кортеже элементов в алгебраической системе. Примеры.
Тема 8. Пренексная нормальная форма (ПНФ) для формул ЛП
(2 часа)
Понятия ДНФ и ПНФ для формул ЛП. Теорема о существовании
для любой формулы ЛП эквивалентной ей ПНФ.
7
Тема 9. Исчисление предикатов (ИП). Доказуемые формулы
ИП (2 часа)
Язык ИП. Определение формулы ИП. Аксиомы и правила вывода
ИП. Доказуемые и выводимые формулы ИП. Примеры доказуемых и
выводимых формул ИП. Тавтологии. Связь между тавтологией и доказуемой формулой.
Тема 10. Теорема о дедукции в ИП (2 часа)
Формулировка и доказательство теоремы о дедукции. Следствия из
данной теоремы.
Тема 11. Эквивалентные формулы ИП (3 часа)
Понятия эквивалентных формул ИП, пропозиционально эквивалентных формул ИП. Связь между этими понятиями. Формулировка и
доказательство основных эквивалентностей ИП.
Тема 12. Пренексная нормальная форма для формул ИП (2 часа)
Понятия ДНФ и ПНФ для формул ИП. Теорема о существовании
для любой формулы ИП эквивалентной ей ПНФ.
Тема 13. Машины Тьюринга (2 часа)
Определение машины Тьюринга. Понятие функций, вычислимых
по Тьюрингу. Примеры таких функций.
Тема 14. Примитивно рекурсивные функции (2 часа)
Понятия базисных функций, операторов суперпозиции, примитивной рекурсии, примитивно рекурсивных функций. Примеры.
Тема 15. Частично рекурсивные функции (2 часа)
Понятия оператора минимизации, частично рекурсивных функций.
Примеры. Эквивалентность классов функций, вычислимых по Тьюрингу с классом частично рекурсивных функций.
2.2. Перечень тем практических/лабораторных занятий
Тема 1. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы
(СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)
в алгебре высказываний (АВ) (1 час)
Построение ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, эквивалентных данным
формулам алгебры высказываний.
Тема 2. Исчисление высказываний (ИВ). Доказуемые формулы
ИВ (2 часа, «снежный ком»)
Построение выводов и доказательств формул ИВ.
Тема 3. Эквивалентные формулы ИВ (2 часа, «снежный ком»)
Доказательство эквивалентности формул ИВ.
8
Тема 4. Логика предикатов (ЛП). Алгебраические системы.
Подсистемы (1 час)
Построение подсистем, порожденных множеством.
Тема 5. Формулы ЛП. Истинность формул ЛП в алгебраической системе (2 часа, метод «мозгового штурма»)
Построение формул ЛП, истинных на кортеже элементов в алгебраической системе.
Тема 6. Пренексная нормальная форма (ПНФ) для формул ЛП
(2 часа)
Построение ПНФ для формул ЛП.
Тема 7. Исчисление предикатов (ИП). Доказуемые формулы
ИП (2 часа, «снежный ком»)
Построение выводов и доказательств формул ИП.
Тема 8. Эквивалентные формулы ИП (2 часа, метод «мозгового
штурма»)
Доказательство эквивалентности формул ИП.
Тема 9. Машины Тьюринга (1 час)
Построение машин Тьюринга для вычислимых функций.
Тема 10. Примитивно рекурсивные функции (1 час)
Доказательство примитивной рекурсивности функций.
Тема 11. Частично рекурсивные функции (1 час)
Доказательство рекурсивности для вычислимых функций.
3. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Программой дисциплины предусмотрено чтение лекций, проведение
практических занятий. В течение изучения дисциплины студентов изучают на лекционных занятиях теоретический материал. На практических
занятиях под руководством преподавателя, решают практические задачи.
При проведении практических занятиях применяются следующие
интерактивные методы обучения:
– метод «мозгового штурма»: метод представляет собой разновидность групповой дискуссии, которая характеризуется сбором всех вариантов решений, гипотез и предложений, рожденных в процессе осмысления какой-либо проблемы, их последующим анализом с точки зрения
перспективы дальнейшего использования или реализации на практике;
9
– «снежный ком»: цель наработка и согласование мнений всех членов группы. При использовании этой техники в активное обсуждение
включаются практически все студенты.
Для студентов в качестве самостоятельной работы предполагается
выполнения домашних заданий, изучение дополнительных тем.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА
4.1. Перечень и тематика самостоятельных работ
студентов по дисциплине
Тема 1. Логическое следствие в алгебре высказываний»
Понятия логического следствия. Связь между понятиями логического следствия, противоречивого множества формул, тождественно
ложной формулы и тождественно истинной формулы.
Тема 2. Логическое следствие в ЛП
Понятия логического следствия, противоречивого множества формул ЛП, тождественно истинной формулы ЛП. Связь между этими понятиями. Определение эквивалентных формул ЛП. Основные эквивалентности в ЛП.
Тема 3. Нормальные алгорифмы
Понятия нормального алгорифма. Примеры. Эквивалентность классов нормально вычислимых функций с классом частично рекурсивных
функций.
4.2. Контрольные вопросы
для самостоятельной оценки качества освоения
учебной дисциплины
1. Дать определение дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных
форм в алгебре высказываний. Привести примеры формул, находящихся в ДНФ и КНФ; в ДНФ, но не в КНФ; в КНФ, но не в ДНФ.
10
2. Что такое тождественно истинная формула алгебры высказываний? Тождественно ложная формула алгебры высказываний? Противоречивое множество формул алгебры высказываний? Привести примеры.
3. Сформулировать определение логического следствия в АВ. Дать
эквивалентные формулировки логического следствия. Доказать эквивалентность. Привести примеры.
4. Что такое формула исчисления высказываний? Дать определение
доказуемой и выводимой из множества формул формулы исчисления
высказываний Показать доказуемость формулы .
5. Сформулировать и доказать теорему о дедукции, а также следствия из этой теоремы. Продемонстрировать применение этой теоремы
на примерах.
6. Какие формулы исчисления высказываний называются эквивалентными? Доказать законы идемпотентности в исчислении высказываний.
7. Доказать законы коммутативности в исчислении высказываний.
8. Доказать законы ассоциативности в исчислении высказываний.
9. Доказать законы дистрибутивности в исчислении высказываний.
10. Доказать законы двойного отрицания в исчислении высказываний.
11. Доказать законы де Моргана в исчислении высказываний.
12. Дать определение элементарной конъюнкции, элементарной
дизъюнкции, дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных форм в
исчислении высказываний. Доказать теорему о существовании формулы, находящейся в ДНФ (КНФ) и эквивалентной данной формуле исчисления высказываний.
13. Что такое сигнатура? Алгебраическая система данной сигнатуры? Подсистема алгебраической системы? Привести примеры.
14. Дать определение подсистемы алгебраической системы, порожденной множеством. Как строятся термы данной сигнатуры? Как,
применяя понятие терма, можно построить подсистему, порожденную
множеством, для данной системы?
15. Что такое формула логики предикатов? Подформула логики
предикатов? Свободная и связанная переменная формулы логики предикатов? Привести примеры формул. Указать все свободные и связанные переменные этих формул.
16. Дать определение истинности формулы логики предикатов в
алгебраической системе на кортеже элементов из носителя системы.
Привести примеры.
17. Что такое логическое следствие в логике предикатов. Дать
определение тождественно истинной и тождественно ложной формулы
11
логики предикатов. Определить понятие противоречивого множества
формул логики предикатов. Сформулировать и доказать утверждения,
эквивалентные понятию логического следствия. Привести примеры.
18. Что такое формула исчисления предикатов? Дать определение
доказуемой и выводимой из множества формул формулы исчисления
предикатов, тавтологии исчисления предикатов. Привести примеры тавтологий исчисления предикатов.
19. Сформулировать и доказать теорему о дедукции в исчислении
предикатов, а также следствия из этой теоремы. Продемонстрировать
применение этой теоремы на примерах.
20. Какие формулы исчисления предикатов называются пропозиционально эквивалентными? Эквивалентными? Доказать основные эквивалентности исчисления предикатов.
21. Что такое пренексная нормальная форма для формул исчисления предикатов? Доказать теорему существования формулы, эквивалентной данной, находящейся в пренексной нормальной форме.
22. Сформулировать связь между понятиями алгоритма, машины
Тьюринга и рекурсивными функциями. Дать определения машины
Тьюринга, примитивно рекурсивной функцией, частично рекурсивной
функцией.
23. Доказать, что простейшие арифметические операции вычислимы по Тьюрингу.
24. Доказать, что простейшие арифметические операции являются
примитивно рекурсивными функциями.
4.3. Методические рекомендации по организации СРС
При решении индивидуальных домашних заданий необходимо использовать теоретический материал, делать ссылки на соответствующие
теоремы, свойства, формулы и пр. Решение ИДЗ излагается подробно и
содержит необходимые пояснительные ссылки.
4.4. Рекомендации по работе с литературой
В процессе изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» помимо теоретического материала, предоставленного
преподавателем во время лекционных занятий, может возникнуть необходимость в использовании учебной литературы.
12
Наиболее подробно и просто темы «Исчисление высказываний» и
«Исчисление предикатов» изложены в книге Новикова П.С. «Элементы
математической логики». Темы «Логика предикатов» и «Теория алгоритмов» более доступно изложены в книге Ершова Ю.Л., Палютина
Е.А. «Математическая логика».
В качестве учебника для формирования практических навыков решения задач по математической логике и теории алгоритмов наилучшим образом подходит «Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов» Лавров И.А., Максимова Л.Л.
Остальные учебники, указанные в списке рекомендованной литературы, характеризуются либо сложностью изложения, либо подробным
освещением некоторых тем.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Основная литература
Игошин В И. Математическая логика: учеб. пособие для студентов
вузов / В. И. Игошин. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 399 с.
Игошин В. И. Задачи и упражнения по математической логике и
теории алгоритмов: учебное пособие для студ. вузов / В. И. Игошин. –
3-е изд., стереотип. – М.: Академия, 2007.- 304 с.
5.2. Дополнительная литература
Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – М.: Наука,
1987.
Лавров И. А. Математическая логика: учебное пособие для студ.
вузов / И. А. Лавров; под ред. Л. Л. Максимовой. – М.: Академия, 2006.
Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика.
С.П.:Лань,1998.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.:
Наука,1976.
13
Новиков П.С. Элементы математической логики. – М.: Наука,1973.
Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теория алгоритмов. М.: Инфра-М, 2004.
Черч А. Введение в математическую логику. – М.: Наука. 1960.
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Для качественного проведения лекционных занятий по данной дисциплине используются аудитории, оснащенные мультимедийным оборудованием.
7. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ
Вывод формулы φ исчисления высказываний из формул
φ1,…,φm исчисления высказываний – это последовательность формул
ψ1,…,ψk,φ, в которой любая формула либо является аксиомой, либо принадлежит множеству формул {φ1,…,φm}, либо получается из предыдущих по правилу вывода.
Эквивалентные формулы исчисления высказываний – это
формулы φ и ψ исчисления высказываний такие, что формулы φ→ψ и
ψ→φ выводимы из пустого множества формул.
Алгебраической системой сигнатуры Σ называется пара
=
где А – непустое множество и каждому n-местному предикатному (функциональному) символу из Σ поставлен в соответствие nместный предикат (соответственно операция) на А.
Эквивалентные формулы сигнатуры – это формулы φ и ψ сигнатуры исчисления высказываний такие, что формулы φ→ψ и ψ→φ
истины в любой алгебраической системе сигнатуры на любом кортеже элементов их носителя этой системы.
14
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................... 3
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ...................... 4
1.1. Цели освоения учебной дисциплины ............................................... 4
1.2. Место учебной дисциплины в структуре ООП
(связь с другими дисциплинами) ...................................................... 4
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения учебной дисциплины ......................................................... 5
1.4. Основные виды занятий и особенности их проведения ................. 6
1.5. Виды контроля и отчетности по дисциплине .................................. 6
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ........... 7
2.1. Темы лекций ....................................................................................... 7
2.2. Перечень тем практических/лабораторных занятий ....................... 8
3. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ................................................. 9
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА ... 10
4.1. Перечень и тематика самостоятельных работ студентов
по дисциплине .................................................................................. 10
4.2. Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества
освоения учебной дисциплины ....................................................... 10
4.3. Методические рекомендации по организации СРС ...................... 12
4.4. Рекомендации по работе с литературой ......................................... 12
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................ 13
5.1. Основная литература ....................................................................... 13
5.2. Дополнительная литература ............................................................ 13
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ ...................................................................................... 14
7. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ ................................................. 14
Учебное издание
Степанова Алена Андреевна
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Рабочая программа учебной дисциплины
Основная образовательная программа
230700.62 ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
230400.62 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
И ТЕХНОЛОГИИ
Компьютерная верстка С.Ю. Заворотной
Подписано в печать 10.07.2012. Формат 6084/16.
Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93.
Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ
______________________________________________________________
Издательство Владивостокского государственного университета
экономики и сервиса
690600, Владивосток, ул. Гоголя, 41
Отпечатано во множительном участке ВГУЭС
690600, Владивосток, ул. Гоголя, 41