Избранные главы алгебры и теории чисел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и МП
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Валицкас А.И.
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ АЛГЕБРЫ И
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»
Код и направление подготовки
44.04.01 “Педагогическое образование”
Профиль подготовки
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Форма обучения
заочная
Тобольск
2014
1
2
Содержание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины ………………………………………………………..
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы …………………...
1.3. Компетенции обучающегося ………………..……………………………………...
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине …………………..
Структура и трудоёмкость дисциплины …………………………………….................
Содержание дисциплины ………………………………………………………………...
Планы практических занятий …………………………………………………………...
Лабораторный практикум ………………………………………………………………..
Примерная тематика курсовых работ ………………………………………………….
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины …………………………………………………………………….
Контрольные материалы промежуточной аттестации……………………………….
Образовательные технологии ……………………………………………………………
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………...
Перечень информационных технологий и справочных систем ………………………..
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………………………
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины …………...
Приложение: Контрольная работа по теории чисел ОЗО …………..............................
3
6
6
7
7
7
9
9
10
10
10
11
11
13
13
14
14
15
Er
ror
!
Bo
ok
ma
rk
not
def
ine
d.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и МП
Утверждаю
Проректор по учебной работе
(подпись, расшифровка подписи)
“____”______________2014 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
“Избранные главы алгебры и теории чисел”
Направление подготовки:
44.04.01 “Педагогическое образование”
(код и наименование направления подготовки)
Профиль подготовки:
(наименование профиля подготовки)
Квалификация (степень) выпускника:
Магистр
Форма обучения:
заочная
Тобольск 2014
4
СОДЕРЖАНИЕ
1
2
3
4
5
Цели и задачи освоения дисциплины ……………………………………………………
Место дисциплины в структуре ООП ВПО …………………………………………….
6
7
Er
ror
!
Bo
ok
Требования к результатам освоения содержания дисциплины ………………………... ma
rk
not
def
ine
d.
Er
ror
!
Bo
ok
Структура и содержание дисциплины …………………………………………………... ma
rk
not
def
ine
d.
Er
ror
!
Bo
ok
4.1 Структура дисциплины ……………………………………………………………. ma
rk
not
def
ine
d.
Er
ror
!
Bo
ok
4.2 Содержание разделов дисциплины ………………………………………………. ma
rk
not
def
ine
d.
Er
Самостоятельная работа студентов ……………………………………………………… ror
!
5
6
7
8
9
10
Bo
ok
ma
rk
not
def
ine
d.
Er
ror
!
Bo
ok
Оценочные средства текущего контроля ………………………………………………. ma
rk
not
def
ine
d.
Er
ror
!
Bo
ok
Оценочные средства промежуточной аттестации ………………………………
ma
rk
not
def
ine
d.
Er
ror
!
Bo
ok
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………….
ma
rk
not
def
ine
d.
Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………… 14
Er
ror
!
Bo
ok
Методические указания для обучающихся………………................................................ ma
rk
not
def
ine
d.
6
7
1. Пояснительная записка
1.1 Цели и задачи дисциплины. Основные требования к знаниям и умениям студентов по курсу алгебры и теории чисел раскрываются через требования, заложенные в
стандарте. В результате освоения дисциплины студент должен:
 знать роль и место математики в системе наук, осознавать фундаментальный и прикладной характеры математики;
 владеть системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
 владеть методологией построения математических моделей;
 знать основные этапы истории математики и иметь представление об основных современных тенденциях её развития.
Главная цель курса – изучение основных видов алгебраических структур, воспитание
математической культуры студентов для уяснения ими роли алгебры и теории чисел в системе современных математических дисциплин. Теория чисел исследует некоторые специфические свойства целых чисел и определённых на них операций и отношений. При этом
изучаемые свойства не ограничиваются только знакомым всем отношением делимости нацело, но касаются весьма абстрактных алгебраических понятий, позволяющих прояснить суть
некоторых арифметических законов и применимых для решения конкретных практических
задач, связанных с целыми числами.
Вместе с тем, изучение курса алгебры и теории чисел в магистратуре педагогического
института преследует и следующие цели:
 Знание курса необходимо для других предметов, для которых алгебра и теория чисел
являются поставщиками понятий, дают необходимый математический аппарат (геометрия, информатика, математический анализ);
 Знакомство с приложениями различных тем курса и их значением в математике, в самых различных областях жизни;
 Освещение определенных задач элементарной математики с точки зрения современной науки. Имея высокую эрудицию, из всех подходов к изложению какого-либо вопроса легче выбрать самый целесообразный;
 Отдельные разделы курса тесно связаны с элементарной математикой. Это позволяет
глубже понимать элементарную математику с точки зрения высшей.
Изучение дисциплины направлено на подготовку студентов к выполнению следующих
видов профессиональной деятельности:
 научно-методическую;
 консультативную;
 учебно-воспитательную;
 культурно-просветительскую.
В рамках этих видов деятельности студенты должны быть готовы к решению следующих профессиональных задач:
научно-методическая:
– уметь организовать научную и методическую работу;
– участвовать по мере возможности в научно-исследовательских работах;
консультативная:
– пропагандировать научную методологию;
– применять полученные научные знания для решения конкретных задач;
учебно-воспитательная:
– быть готовым к преподаванию математики;
– проводить занятия с учётом особенностей учебных программ;
– использовать в процессе преподавания математики современные информационные, компьютерные и педагогические технологии, различные формы и методы
обучения;
– обучать приёмам учебной и познавательной деятельности;
8
– использовать различные формы контроля результатов усвоения знаний.
культурно-просветительская:
– владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический
аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, её месте в современном мире и в системе наук;
– уметь анализировать собственную деятельность с целью её совершенствования и
повышения своей квалификации.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.
Дисциплина “Избранные главы алгебры и геометрии” относится к вариативной части учебного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 44.04.01 “Педагогическое образование” (магистратура).
Дисциплина базируется на знаниях и навыках работы с многочленами, полученных в
рамках школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования, а также на вузовском курсе алгебры.
В ходе изучения дисциплины “Избранные главы алгебры и геометрии” студенты
должны усвоить основные понятия и методы работы с многочленами, их использование для
решения стандартных прикладных задач. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями и монографиями.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Модуль 1
Дифференциальные уравнения
Математическая логика
Системы дифференциальных
уравнений
Теория и практика решения задач
Модуль 2
Модуль 3
Модуль 4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы. В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина “Избранные главы алгебры и геометрии” обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций:
– способностью к абстрактному мышлению, анализу, синтезу, способностью совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и общекультурный уровень (ОК-1);
– готовностью использовать индивидуальные креативные способности для самостоятельного решения исследовательских задач (ПК-6).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
Студент, изучивший дисциплину, должен
9
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
ЗНАТЬ:
определение и простейшие свойства линейных отображений, уметь находить матрицу
линейного оператора в заданном базисе;
связи между координатами вектора и его образа а также между матрицами линейного
оператора в различных базисах, уметь находить соответствующие матрицы перехода;
определения группы, подгруппы, критерий подгруппы, уметь определять является ли заданное множество с бинарной алгебраической операцией группой;
определения смежного класса группы по подгруппе и нормальной подгруппы, уметь
находить разбиение группы на смежные классы по подгруппе и определять нормальность подгруппы;
определения гомоморфизма, изоморфизма и уметь определять, изоморфны ли заданные
группы;
определение кольца, поля, подкольца, подполя и уметь определять является ли заданное
множество с двумя бинарными алгебраическими операциями кольцом или полем;
определения и основные свойства делимости в коммутативном кольце, понимать взаимосвязи между факториальными кольцами, кольцами главных идеалов и евклидовыми
кольцами;
определение функции Эйлера и уметь вычислять её значения. Уметь вычислять остатки
арифметических выражений от деления на заданное число, используя свойства сравнений и теоремы Эйлера и Ферма;
метод применения алгоритма решения полиномиальных сравнений по любому модулю.
определение и свойства сравнений по заданному модулю при составлении полной и приведённой систем вычетов;
определение первообразных корней , показателей и индексов;
определения конечной и бесконечной цепных дробей, их подходящих дробей;
определение квадратичной иррациональности, уметь проверять, будет ли заданная иррациональность квадратичной иррациональностью;
теорему Лагранжа о представлении квадратичных иррациональностей периодическими
цепными дробями.
УМЕТЬ:
находить ядро и образ линейного оператора, их базисы и размерности (ранг и дефект);
находить матрицы суммы и произведения линейных операторов в заданном базисе;
вычислять собственные числа и собственные векторы данного линейного оператора;
строить фактор-группу заданной группы по её нормальной подгруппе и находить произведение элементов фактор-группы;
приводить примеры евклидовых и факториальных колец, понимать значение общих результатов об евклидовых и факториальных кольцах для колец целых чисел и многочленов над полем;
решать различными способами линейные сравнения первой степени с одним неизвестным;
решать двучленные сравнения, используя таблицы индексов;
находить разложение заданного действительного числа в (конечную или бесконечную)
цепную дробь, вычислять подходящие дроби и применять свойства подходящих дробей
при решении задач.
ВЛАДЕТЬ:
навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики;
методикой построения, анализа и применения математических моделей для прикладных
задач математики и информатики.
10
Приводимый ниже (в приложении I К УП) перечень стандартных контрольных работ
по дисциплине позволяет более предметно судить о приобретаемых в процессе обучения
знаниях, умениях и навыках.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины
Дисциплина изучается на первом курсе магистратуры. Объём: 4 зачётных единицы
(144 часа), из них аудиторных 10 часов: 4 часа лекций и 6 часов практических занятий.
125 часов отведено на самостоятельную работу студентов Изучение завершается контрольной работой и экзаменом.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Общая трудоемкость 4
зач. ед. 144 час
Вид итогового контроля
Курс
I
10
–
4
6
125
4
144
экзамен
Всего
часов
10
–
4
6
125
4
144
3. Содержание дисциплины
4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ
№
I
II
III
Модули
Линейные операторы в
векторных пространствах
Теория сравнений
Группы и кольца вычетов
ИТОГО:
Всего
ЛК
ПЗ
СРС
18
2
4
45
10
10
135
–
2
4
2
4
6
40
40
125
4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
МОДУЛЬ I: Линейные операторы в векторных пространствах
Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Ядро и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора и его координатная форма записи (связь между координатными столбцами x и (x)). Изменение матрицы линейного оператора при переходе к
другому базису. Подобие матриц. Алгебра линейных операторов и её изоморфизм полной
матричной алгебре. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
МОДУЛЬ II: Теория сравнений
Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Zn , поле Zp и группа
Zn. Функция Эйлера и её основные свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Полиномиальные
сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к модулю, являюще11
муся степенью простого числа, а затем – к простому модулю. Системы сравнений. Структура решений линейного сравнения первой степени. Методы решения сравнений первой степени.
МОДУЛЬ III: Группы и кольца вычетов
Теорема Лагранжа. Порядки элементов в группах Zn , Zn и делители нуля в кольцах Zn .
Показатель числа (класса вычетов) по заданному модулю и его основные свойства. Первообразные корни по заданному модулю. Количество и структура первообразных корней. Индекс числа (класса вычетов) относительно первообразного корня по данному модулю. Двучленные сравнения по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Решение
квадратичных сравнений.
4. Планы практических занятий
№
1
2
3
4
5
Модуль
Модуль 1:
Линейные
операторы в
векторных
пространствах
Модуль II:
Теория
сравнений
Модуль III:
Группы и
кольца вычетов
План практического занятия
Курс I
Линейные отображения векторных пространств. Матрица линейного оператора и его координатная форма записи. Матрица
перехода. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
Ядро и образ линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Линейные сравнения и методы их решения. Полиномиальные
сравнения. Китайская теорема об остатках. Системы сравнений.
Кольцо Zn , поле Zp и группа Zn. Порядки элементов в группах Zn , Zn и делители нуля в кольцах Zn . Показатель числа
(класса вычетов) по заданному модулю и его нахождение. Первообразные корни по заданному модулю.
Индекс числа (класса вычетов) относительно первообразного
корня по данному модулю. Двучленные сравнения по простому
модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Решение квадратичных сравнений.
5. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
6. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
12
7. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Контрольная работа по теме:
“Линейные операторы в векторных пространствах”
  1 1 0 
1. Линейный оператор задан матрицей  0 1 1  в базисе a = (a1 ; a2 ; a3). Найдите его
 1 1 1


матрицу в базисе b = (b1 ; b2 ; b3), если
a1 = (1; 0; 0), a2 = (0; 1; 0), a3 = ( 0; 0; 1), b1 = (–1; 5; 2 ), b2 = ( 1; 4; 1 ), b3 = ( 1; 2; 1 ).
2. Найдите матрицу, ранг, дефект, базисы образа и ядра линейного оператора в пространстве
R3, заданного правилом (х1 , х2 , х3) = (2х1 – 2х2 – 2х3 ; х1 – 4х2 + 2х3 ; х1 + 2х2 –
4х3).
3. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора  в про 4 5 3 
странстве R3, заданного матрицей  3 2 3  .
 2 2 1 


 1 1  1 
4. Диагонализируем ли линейный оператор с матрицей  1 0 1  ?
  1 1 1 


Контрольная работа по теме: “Теория сравнений”
1. Какая из трёх совокупностей чисел 19, –3, 5, 13; –3, –5, –9, 17; 3, 5, 6, 7 будет приведенной системой вычетов по модулю 8 и почему ?
2. Найдите остаток от деления числа (8480 + 2340)15 на 25.
3. Найдите число а = 3х5y7z, если  (a) = 3600.
4. Тремя способами решите сравнение 15х  21 (mod 18).
Контрольная работа по теме: “Группы и кольца вычетов”
1. Найдите все обратимые элементы и делители нуля в кольце Z15 .
3. Найдите остаток от деления a100 на 125, где а  Z.
4. Решите двучленное сравнение 9 х5  14 (mod 41).
5. Докажите, что ненулевой неделитель нуля в кольце Zn обратим.
8 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.
Линейные отображения векторных пространств. Примеры.
13
2.
Ядро и образ линейного оператора.
3.
Матрица линейного оператора и его координатная форма записи (связь между координатными столбцами x и (x)).
4.
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису. Подобие матриц.
5.
Алгебра линейных операторов и её изоморфизм полной матричной алгебре. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
6.
Сравнения и их свойства. Проверка арифметических действий с помощью сравнений.
Примеры.
7.
Кольцо вычетов Zm , группа Zm* , поле Zp . Обратимые элементы и делители нуля.
Примеры.
8.
Общий признак делимости Паскаля. Признаки делимости на 2n, 5n, 3, 9, 11.
9.
Теоремы Эйлера и Ферма. Примеры использования для вычисления остатков.
10. Полиномиальные сравнения и их решения. Редукция сравнения по составному модулю к
модулю, являющемуся степенью простого числа, а затем – к простому модулю.
11. Теорема о сравнениях первой степени. Различные методы решения сравнений первой
степени. Примеры.
12. Показатели и их свойства. Первообразные корни. Нахождение первообразных корней.
Примеры.
13. Существование первообразных корней по простому модулю. Примеры.
14. Индексы и их свойства. Таблицы индексов и антииндексов. Решение двучленных сравнений axn  b (mod m) с помощью индексов. Примеры.
ПРИМЕРНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ
1. Будет ли линейным оператором отображение h : R2  R2 , где (x, y) = (x + y; y – 1) ?
2. Вычислите Ker(p) и Im(p), где p : R3  R3 и p(x; y; z) = (x; 0; z).
3. Для оператора p : R3  R3 , где p(x; y; z) = (x; 0; z), найдите матрицу в базисе e и координатную форму записи (e = ((0; 0; –1)), (0; –1; 1), (–1; –1; –1)).
 0  1
 единичной ?
4. Подобна ли матрица 
1 0 
1 1 2


5. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы  0 1 1  .
0 1 1


6. Верно ли равенство 111111111111111 = 123456111 ?
7. Найдите все обратимые элементы и делители нуля в кольце Z9 .
14
8. Докажите, что (7 | 1000m + n)  (7 | m – n).
9. Найдите остаток от деления 2100 на 11. А на 22 ?
10. Решите сравнение: 14x  8 (mod 22).
11. Найдите P12(5). А P12(4) ?
12. Сколько первообразных корней в Z127* .
13. Решите сравнение: x3 + 1  0 (mod 27).
14. Решите сравнение: 9x5  14 (mod 41).
15. Найдите все классы первообразных корней по модулю 7.
16. Докажите, что если an  –1 (mod m), то Pm(a) | 2n.
9. Образовательные технологии
Используются:
а) аудиторная работа:
 проблемные лекции,
 активные и интерактивные формы занятий.
б) внеаудиторная работа
 домашние контрольные и самостоятельные работы,
 внеаудиторные индивидуальные консультации.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Белоногов В.А. Задачник по теории групп. – М.: Наука, 2000.
Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания
по курсу: «Алгебра и теория чисел»: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2000.
Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Евсюкова Е.В. Элементы теории групп: Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2003.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – СПб.: Издательство
“Лань”, 2005.
Крючков Н.И., Крючкова В.В. Сборник заданий по алгебре. – М.: АКАДЕМИЯ,
2008.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005.
Нестеренко Ю.В. Теория чисел. – М.: АКАДЕМИЯ, 2008.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лаборатория Базовых
Знаний, 2001.
15
11.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С.
“Лань”, 2007.
Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Издательство
б) дополнительная литература:
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Апатёнок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной
алгебре. – Мн: Выш. школа, 1980.
Александров П.С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2005.
Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. – М.:
Наука, 1967.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II. – М.: Просвещение, 1978.
Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Мн: Выш. школа, 1982.
11. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая
перечень программного обеспечения и информационных справочных
систем (при необходимости)
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий
может использоваться следующее программное обеспечение:
 Microsoft Word.
 Microsoft Excel.
 Microsoft PowerPoint.
12. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный класс, оснащённый средствами мультимедиа и компьютерами: микропроцессор не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ не меньше
512 МБ, операционная система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и
средами программирования TurboPascal или Delphi.
16
13. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина “Избранные вопросы алгебры и теории чисел” изучается на первом кур
Основные требования к знаниям и умениям студентов по курсу алгебры и теории чисел раскрываются через требования, заложенные в стандарте.
В результате освоения дисциплины студент должен:
 знать роль и место математики в системе наук, осознавать фундаментальный и прикладной характеры математики;
 владеть системой основных математических структур и аксиоматическим методом;
 владеть методологией построения математических моделей;
 знать основные этапы истории математики и иметь представление об основных современных тенденциях её развития.
Главная цель курса – изучение основных видов алгебраических структур, воспитание
математической культуры студентов для уяснения ими роли алгебры и теории чисел в системе современных математических дисциплин. Теория чисел исследует некоторые специфические свойства целых чисел и определённых на них операций и отношений. При этом
изучаемые свойства не ограничиваются только знакомым всем отношением делимости нацело, но касаются весьма абстрактных алгебраических понятий, позволяющих прояснить суть
некоторых арифметических законов и применимых для решения конкретных практических
задач, связанных с целыми числами.
Вместе с тем, изучение курса алгебры и теории чисел в магистратуре педагогического
института преследует и следующие цели:
 Знание курса необходимо для других предметов, для которых алгебра и теория чисел
являются поставщиками понятий, дают необходимый математический аппарат (геометрия, информатика, математический анализ);
 Знакомство с приложениями различных тем курса и их значением в математике, в самых различных областях жизни;
 Освещение определенных задач элементарной математики с точки зрения современной науки. Имея высокою эрудицию, из всех подходов к освещению какого-либо вопроса легче выбрать самый целесообразный;
 Отдельные разделы курса тесно связаны с элементарной математикой. Это позволяет
глубже понимать элементарную математику с точки зрения высшей.
Изучение дисциплины направлено на подготовку студентов к выполнению следующих
видов профессиональной деятельности:
 научно-методическую;
 консультативную;
 учебно-воспитательную;
 культурно-просветительскую.
В рамках этих видов деятельности студенты должны быть готовы к решению следующих профессиональных задач:
научно-методическая:
– уметь организовать научную и методическую работу;
– участвовать по мере возможности в научно-исследовательских работах;
консультативная:
– пропагандировать научную методологию;
– применять полученные научные знания для решения конкретных задач;
учебно-воспитательная:
– быть готовым к преподаванию математики;
– проводить занятия с учётом особенностей учебных программ;
– использовать в процессе преподавания математики современные информационные, компьютерные и педагогические технологии, различные формы и методы
обучения;
17
– обучать приёмам учебной и познавательной деятельности;
– использовать различные формы контроля результатов усвоения знаний.
культурно-просветительская:
– владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический
аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, её месте в современном мире и в системе наук;
– уметь анализировать собственную деятельность с целью её совершенствования и
повышения своей квалификации.
18