Избранные вопросы алгебры и геометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Естественнонаучный факультет
Кафедра физики, математики и методик преподавания
Рабочая программа дисциплины
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
Код и направление подготовки
050100.62 (44.03.05) Педагогическое образование
Профиль подготовки
«Математика, информатика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная, заочная
Тобольск 2015
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_______________________________________________________________________________
Дисциплина:
“ Избранные вопросы алгебры и геометрии”
Учебный план: 050100.62 (44.03.05) «Педагогическое образование» профиль «Математика,
информатика»
Автор:
Евсюкова Елена Владимировна
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
СОГЛАСОВАНО:
ФИО
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Евсюкова Елена Владимировна, доцент
Кафедры физики, математики и метолдик преподавания
________________
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_____________
дата
подпись
Содержание
I. Рабочая программа дисциплины ……………………………………………………………….3
1. Цели и задачи освоения дисциплины …………………………………………………………… 3
2. Место дисциплины в структуре ОП ВПО …………………………………………………….. 3
3. Требования к результатам освоения дисциплины …………………………………………….. 3
4. Структура и содержание дисциплины ………………………………..………………………… 4
4.1. Структура дисциплины ……………………………………………………………………… 4
4.2. Содержание разделов дисциплины ………………………………………………………… 4
5. Образовательные технологии ……………………………………………….………………....... 5
6. Самостоятельная работа студентов………………………………………………….…….……. 6
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства……………………..……................ 6
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля ………………………………………. 6
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания
работы студентов……………………………………………………………………………………. 8
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации ………………………………………....18
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………………..19
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ………………………………………....21
ПРИЛОЖЕНИЕ I ………………….. …………………………………………………………… 22
I. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Цель дисциплины: знакомство с первоначальными понятиями теории групп и теоретикогрупповыми методами; изучение некоторых теоретико-групповых конструкций, являющихся
основой теории групп; приобретение навыков в решении задач теории групп; осознание
прикладного характера математики; подготовка к проведению факультативных занятий и
занятий по выбору в средней школе.
Цели и задачи дисциплины спроектированы на основе ФГОС ВПО и представлены, в
первую очередь, как основные цели овладения студентами:
– целостным представлением о математике как науке и ее месте в современном мире и в
системе наук;
– умениями использовать математический аппарат при изучении процессов и явлений
реального мира;
– умениями решать некоторые виды математических задач;
– умениями анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования и
повышения своей квалификации.
Для достижения поставленных целей изучения дисциплины «Теоретико-групповые
методы в алгебре и геометрии» решает следующие основные задачи:
– формирование представлений о математике как форме описания и методе познания
действительности, об идеях и методах математики;
– развитие представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о
значимости математики в истории цивилизации и современном обществе;
– формирование интеллектуальных умений, умений и навыков самостоятельной
математической деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ОП ВПО бакалавриата
Дисциплина «Теоретико-групповые методы в алгебре и геометрии» относится к
дисциплинам по выбору вариативной части профессионального цикла Е.Н.Р.3
профессионального цикла – Б2. Математический и естественнонаучный цикл.
Дисциплина “Групповой подход в алгебре и геометрии” изучается в V и VI семестрах
III курса. На ее изучение отведено 144 часа, из них аудиторных – 72 часов, лекций – 34 часа
(16 час. - в V семестре и 18 часов - в VI семестре), практических занятий – 34 часа (16 час. - в
V семестре и 18 часов - в VI семестре), самостоятельная работа студентов – 72 часа. КСР – 4
часа. Формы итогового контроля: контрольная работа в V семестре, зачёт в VI семестре.
Изучение спецкурсов по математике предполагает расширение и углубление знаний
студентов, обеспечение высокого теоретического уровня знаний выпускников.
Содержание курса тесно связано с программным материалом: в рассмотрение войдут
вопросы из теории множеств, алгебры, геометрии (понятие отображения, различные виды
отображений; понятие группы, свойства группы, подгруппы, гомоморфизмы и изоморфизм
групп, группа подстановок; группы движений плоскости и пространства, группы симметрий
различных фигур.
Для освоения дисциплины «Групповой подход в алгебре и геометрии» студенты
используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения
раздела «Некоторые виды алгебр», в курсе алгебры и раздела «Преобразования» в курсе
геометрии.
Освоение дисциплины является основой для последующего изучения других разделов
курса алгебры, геометрии, компьютерной алгебры и др.
2. Требования к результатам освоения дисциплины
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК - 1).
– способностью использовать знания о современной естественнонаучной картине мира
в образовании и профессиональной деятельности, применять методы математической
обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4).
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия, классические факты, утверждения и методы основ теории групп;
- строгие доказательства фактов указанной предметной области;
уметь:
- решать типовые задачи в указанной предметной области;
- применять теоретические знания к решению теоретико-групповых задач по курсу;
владеть:
- навыками решения типовых теоретико-групповых задач;
- представлениями о связи данной предметной области со школьным курсом математики.
- различными приемами использования теоретико-группового аппарата к доказательству
теорем и решению задач других разделов курса математики.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц (144 часа).
4.1. Структура дисциплины
№
1.
2.
Наименование раздела
дисциплины
V
Таблица 1
Виды учебной работы
(в академических часах)
аудиторные занятия
СР
ЛК
ПЗ
ЛБ
16
16
38
-
VI
18
Семестр
Избранные
вопросы
геометрии
Избранные вопросы
алгебры
18
-
34
4.2. Содержание дисциплины
№
Наименование раздела
дисциплины
Тема:
1.
Избранные вопросы
геометрии
Тема:
Тема:
Таблица 2
Содержание раздела
(дидактические единицы)
Группы движений плоскости и ее подгруппы.
Формулы движений первого и второго рода.
Классификация движений. Формулы движений
первого и второго рода. Классификация
движений.
Группа преобразований подобия плоскости.
Гомотетия. Геометрическое задание гомотетии.
Группа аффинных преобразований и ее
подгруппы. Формулы аффинных
преобразований.
Тема:
Тема:
2.
Избранные
алгебры
вопросы Тема:
Тема:
Тема:
Тема:
Тема:
Тема:
Тема:
Тема:
Тема:
Проективные координаты на плоскости.
Расширенная плоскость как модель проективной
плоскости. Группа проективных преобразований
Теорема Дезарга.
Топологическое пространство. Непрерывность и
гомеоморфизм. Группа гомеоморфизмов.
Основные топологические инварианты
замкнутых поверхностей.
Бинарные операции, их свойства
Определение и свойства групп
Группы преобразований и подстановок.
Подгруппы. Критерий подгруппы.
Смежные классы, их свойства. Теорема
Лагранжа
Нормальные группы.
Фактор-группы.
Гомоморфизм групп.
Строение циклических групп.
5. Образовательные технологии
V семестр
Таблица 3
№
№
Тема занятия
занятия раздела
1
2
Применение движений
(сдвига, поворота, симметрии)
к решению задач
элементарной геометрии).
2
2
Применение гомотетий к
решению задач к решению
задач
3
2
Использование аффинных и
проективных преобразований
в геометрии.
4
2
Применение теоремы Дезарга
для решения задач
конструктивной геометрии.
Виды образовательных
технологий
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
Кол-во
Часов
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
1
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
1
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
1
4
VI семестр
№
№
Тема занятия
Виды образовательных
занятия раздела
технологий
1
2
Бинарные операции, их
Интерактивные
методы
свойства
(групповые формы работы)
2
2
Определение и свойства групп Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
3
2
Группы преобразований и
Интерактивные
методы
подстановок.
(групповые формы работы)
4
2
Подгруппы.
Критерий Интерактивные
методы
подгруппы.
(групповые формы работы)
5
2
Смежные классы,их свойства. Интерактивные
методы
Таблица 3
Кол-во
часов
1
1
1
1
1
6
2
Теорема Лагранжа
Нормальные группы.
7
2
Фактор-группы.
(групповые формы работы)
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
Интерактивные
методы
(групповые формы работы)
1
1
6. Самостоятельная работа студентов
V семестр
Таблица 4
№
1
1
1
1
Наименование раздела
дисциплины
Избранные вопросы
геометрии
Избранные вопросы
геометрии
Избранные вопросы
геометрии
Избранные вопросы
геометрии
Вид самостоятельной работы
решение задач и упражнений по
образцу
выполнение домашних заданий
решение вариативных
упражнений
Контрольная работа
задач
и
Трудоемкость
(в академических
часах)
10
10
10
8
V I семестр
№
1
1
1
Наименование раздела
дисциплины
Избранные вопросы
алгебры
Избранные вопросы
алгебры
Избранные вопросы
алгебры
Вид самостоятельной работы
решение задач и упражнений по
образцу
выполнение домашних заданий
решение вариативных
упражнений
задач
и
Таблица 4
Трудоемкость
(в академических
часах)
10
14
10
7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
Тест
I уровень
1. Заполните пропуск: «Отображение φ: А→В называется …, если для каждого элемента
b  В найдется такой элемент а А, что φ(а) = b». Занесите в бланк ответов номер правильного
ответа: 1) биекцией; 2) инъекцией; 3) сюръекцией; 4) обратимым отображением.
2.Заполните пропуск: «Отображение φ: А → В называется …, если разные элементы
множества А имеют разные образы в В. Иначе: из условия х1 ≠ х2 следует φ(х1) ≠ φ(х2)».
Занесите в бланк ответов номер правильного ответа:
1) биекцией; 2) инъекцией; 3) сюръекцией; 4) обратимым отображением.
3. Занесите в бланк ответов номер истинного высказывания.
1) Если отображение обратимо, то оно является инъекцией;
2) Если отображение инъективно, то оно обратимо;
3) Если отображение сюръективно, то оно обратимо;
4) Если отображение необратимо, то оно не является сюръекцией.
4. Закончить фразу: «Композицией двух отображений q: A → B и ƒ: B → C называется
отображение ƒ q, определяемое правилом …». Занесите в бланк ответов номер правильного
ответа: 1) a  A f  g (a)  g ( f (a)) ; 2) a  A f  g (a)  f ( g (a)) ;
3) a  A f  g (a)  g ( f (a)) ; 4) a  Ag  f (a)  g ( f (a)) .
5. Соответствие f задано графом на паре конечных множеств А и В. О чем идет речь в
каждом из случаев а – е (1 – отображение, 2 – сюръекция, 3 – инъекция, 4 – биекция, 5 – не
является отображением). Вместо вопросительного знака занесите в бланк ответов
соответствующий номер.
а) из каждой точки множества А выходит ровно одна стрелка (?);
б)есть точки множества А, из которых не выходит ни одной стрелки (?);
в) из каждой точки множества А выходит ровно одна стрелка и любые две стрелки с
разными началами имеют разные концы (?);
г) из каждой точки множества А выходит ровно одна стрелка и любые две стрелки с
разными началами имеют разные концы (?).
д) из каждой точки множества А выходит ровно одна стрелка и каждая точка из В
является концом некоторой стрелки (?)
е) из каждой точки множества А выходит ровно одна стрелка и в каждую точку
множества В приходит ровно одна стрелка (?)
II уровень
6. Пусть А = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e} . В следующих рисунках
(Рис. 1) числам,
от которых идут стрелки, ставятся в соответствие буквы, к которым они направлены. Назвать
все рисунки, задающие отображения А в B? Занесите в бланк ответов номер правильного
ответа: 1. а), б); 2. г; 3. а), г) все; 4. а), б), г.
a)
б)
2
1
в)
а
1
а
3
b
2
c
3
2
1
4
d
4
e
а
г)
3
b
2
1
4
c
d
3
e
4
b
c
d
e
Рис. 1 а
7. Занесите в бланк ответов номер правильного ответа. Является ли отображение f, при
котором x  2x:
1) отображением R на R; 2) отображением R на R \ {0}; 3) отображением R на R+;
4) отображением отрезка [1, 2] на R+; 5) отображением отрезка [1, 2] на отрезок [2, 4] ?
8. Занесите в бланк ответов номер истинного высказывания.
1) отображение на рис. 3 а) является сюръекцией;
2) отображение на рис. 3 а) является инъекцией;
3) отображение на рисунке 3 б) является биекцией;
4) отображения на рисунках 3 а) и б) являются сюръекцией.
а) 1
б)
2
3
4
b
c
d
e
1
а
b
c
d
Рис. 3
а
2
b
3
4
c
d
9. Назвать все обратимые отображения множества {1, 2} в себя (Рис. 4.): 1) б), в); 2) а),
г); 3) а); 4) все. Занесите в бланк ответов номер правильного ответа:
а)
1
2
б) 1
2
1
2
1
2
в)
1
2
1
2
г)
1
2
1
2
Рис. 4
10. Занесите в бланк ответов номер правильного ответа.
Является ли соответствие x  sin x биекцией, если его рассматривать как отображение:
 
1) R  [-1, 1]; 2) [  , ]  [-1, 1]; 3) [0, 2 ]  [-1, 1]; 4) R  R;
2 2
III уровень
11. Доказать, что если отображение f: А  В не является инъекцией, то оно необратимо.
7.2.
Оценочные
средства
текущего
контроля:
модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
Таблица 5
V семестр
Виды работ
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
2·3
3·3
10
25
7
32
2·3
3·3
10
25
7
32
2·2
3·2
20
30
6
36
Итого
16
24
40
80
20
100
Таблица 5
VI семестр
Виды работ
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
Итого
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
2·3
3·3
10
25
7
32
2·3
3·3
10
25
7
32
2·3
3·3
15
30
6
36
Итого
18
27
35
80
20
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
V семестр
Таблица 6
№
Наименование
раздела
Формы оцениваемой работы
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
дисциплины
1
1
баллов
Работа на лекциях
Избранные вопросы Посещение лекции
0,5
геометрии
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
2
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Избранные вопросы Посещение занятия
0,5
геометрии
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
2
1, 2, 3
1, 2, 3
VI семестр
Таблица 6
№
2
2
Наименование
раздела
дисциплины
Формы оцениваемой работы
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
Работа на лекциях
Избранные вопросы Посещение лекции
0,5
алгебры
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
2
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Избранные вопросы Посещение занятия
0,5
алгебры
Участие в обсуждении
0,5
Решение задач у доски
2
1, 2, 3
1, 2, 3
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
Таблица 7
V семестр
№
1
2
3
4
Наименование
раздела (темы)
дисциплины
Применение
движений (сдвига,
поворота,
симметрии) к
решению задач
элементарной
геометрии).
Применение
гомотетий к
решению задач к
решению задач
Использование
аффинных и
проективных
преобразований в
геометрии.
Применение
теоремы Дезарга для
решения задач
конструктивной
Формы оцениваемой работы
Самостоятельная работа № 1
Домашнее задание
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
3
1
33
Самостоятельная работа № 2
Домашнее задание
3
32
2
Самостоятельная работа № 3
Домашнее задание
3
2
2
Самостоятельная работа № 4
Домашнее задание
3
3
3
6
геометрии.
Теоретикогрупповые методы в
геометрии
Контрольная работа № 1
8
3
VI семестр
Таблица 7
№
1
2
3
4
5
6
Наименование
раздела (темы)
дисциплины
Бинарные операции,
их свойства
Группы, их свойства
Группы
преобразований и
перестановок
Подгруппы
Смежные классы.
Теорема Лагранжа
Теоретикогрупповые методы в
алгебре
Формы оцениваемой работы
Самостоятельная работа № 1
Домашнее задание
Самостоятельная работа № 2
Домашнее задание
Самостоятельная работа № 3
Домашнее задание
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
3
1
3
3
1
3
3
2
3
Самостоятельная работа № 4
Домашнее задание
Самостоятельная работа № 5
Домашнее задание
Контрольная работа № 1
3
3
3
3
5
2
3
3
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Контрольные и самостоятельные работы по дисциплине
«Избранные вопросы алгебры и геометрии»
V семестр
Контрольная работа № 1
Тема: «Избранные вопросы геометрии»
Вариант №1
1. Поострить окружность, проходящую через данную точку М и касающуюся
параллельных прямых a и b.
2. Даны прямая и точки А, В. На прямой m построить точку М такую, что прямая m
является биссектрисой угла АМN.
3. В данный треугольник АВС вписать в квадрат.
4. Построить треугольник по углам А и В и параметру АВ + АС + ВС = p.
5. Используя теорему Дезарга с помощью одной линейки построить прямую,
проходящую через данную точку М, параллельно двум параллельным прямым а и b.
6. Доказать гомеоморфность (топологическую эквивалентность) следующих объектов:
а) двух любых интервалов;
б) интервала и числовой прямой R;
в) прямой R и полупрямой R+, т.е. множества действительных чисел и множества
положительных действительных чисел.
VI семестр
Контрольная работа № 1
Тема: «Избранные вопросы алгебры»
Вариант №1
1. Является ли группой <А = {a + b 5 }, +>?
2. Образует ли подмножество H = {7k, k Z} подгруппу группы <Z, +>? Если да,
является ли данная подгруппа циклической? Какой элемент является ее образующим?
3. Построить фактор-группу аддитивной группы 3Z по подгруппе 9Z? Является ли она
циклической? Если да, то найти образующий элемент и его порядок.
4. Найти левое и правое разложение симметрической группы подстановок S3 по
циклической подгруппе, порождённой подстановкой
1 2 3 
 .
f = 
1 3 2 
5. Доказать изоморфизм групп <Z, +> и <7Z, +>.
Вариант №2
1. Является ли группой <А = {a + b 7 }, +>?
2. Образует ли подмножество H = {11k, k Z} подгруппу группы <Z, +>? Если да,
является ли данная подгруппа циклической? Какой элемент является ее образующим?
3. Построить фактор-группу аддитивной группы 2Z по подгруппе 6Z? Является ли она
циклической? Если да, то найти образующий элемент и его порядок.
4. Найти левое и правое разложение симметрической группы подстановок S3 по
циклической подгруппе, порождённой подстановкой
 1 2 3
 .
f = 
 2 1 3
5. Доказать изоморфизм групп <Z, +> и <5Z, +>.
Тест «Первоначальные понятия теории групп»
I уровень
1. Занесите в бланк ответов номер правильного ответа. Является ли бинарной
алгебраической операцией:
1) вычитание натуральных чисел;
2) деление рациональных чисел;
3) вычисление НОК двух чисел на множестве натуральных чисел;
4) нахождение определителя квадратной матрицы n – го порядка с действительными
элементами?
2. На группе А = {e, a, b, c} операция * задана таблицей Кэли:
*
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
е
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Какие из предложенных высказываний являются истинными?
а) группа <A, *> не является коммутативной;
б) а * b = b * a; в) (а)-1 = b; г) (a*b)*c = e; д) группа < A, *> является циклической.
Ответы: 1) а; 2) б; 3) в; 4) г; 5) д; 6) б, г; 7) б, г, д; 8) б, в, г; 9) все ложны; 10) все
истинны.
Занесите в бланк ответов номер правильного ответа.
3. Какие из данных множеств являются подгруппами группы А из № 2:
1) {e, a, b}; 2) {a, b}; 3) {e, a, c}; 4) {e, b, c}; 5) {e, c}; 6) {a, b, c}.
Занесите в бланк ответов номер правильного ответа.
4. Известно, что <G, ∙> – группа, |G| = 12, H – подгруппа группы G, |H| = 3. Количество
смежных классов группы G по подгруппе H равно:
1) 3; 2) 12; 3) 6; 4) 4; 5) 1.
5. Назвать все гомоморфизмы среди отображений:
а) инъекция; б) мономорфизм; в) биекция; г) сюръекция; д) эпиморфизм;
е) изоморфизм.
Ответы: 1) все; 2) б, в, д, е; 3) е; 4) б, д, е; 5) а, в, г; 6) нет.
Занесите в бланк ответов номер правильного ответа.
II уровень
6. Какое из предложенных множеств H для соответствующей группы G является ее
нормальной подгруппой?
1) H = {11k, где k  Z}; G = {2k, где k  Z} – аддитивная группа.
1 2 3 4   1 2 3 4   1 2 3 4 
1 2 3 4   1 2 3 4 
,
, 
, 
, 
 , G= 
2) H = 
1 2 3 4   2 1 4 3   3 4 1 2 
1 2 3 4   2 1 4 3 
 1 2 3 4 

 ;
 4 3 2 1 
3) H = {e, b}, G∆ – группа симметрий правильного треугольника;
4) Н = {2k + 1, где k  Z}, G = Z – аддитивная группа целых чисел.
Занесите в бланк ответов номер правильного ответа.
7. Пусть <Z, +> – группа, H = {7k, где k  Z} Какие из предложенных высказываний
являются истинными?
1) по подгруппе H нельзя построить фактор-группу Z / H, так как она не является
нормальной подгруппой.
2) фактор-группа Z / H = {1+H, 2+H, 3+H, 4+H, 5+H, 6+H};
3) (5+H) + (6+H) = (4+H);
4) – (4+H) = H+4.
Занесите в бланк ответов номер правильного ответа.
8. Какие из заданных пар групп являются изоморфными?
1) <G1 = {1, -1, i, -i}, ∙> и <C*, ∙>, где C* – множество отличных от нуля комплексных
чисел;
2) <G1 = Z / 2Z, + > и <G2 = Z / 5Z, + >;
3) <G1 = Z, + > и <G2 = 6Z, + >;
4) <G1 = Z, + > и <G2 = Z / 3Z, + >;
Занесите в бланк ответов номер правильного ответа.
Самостоятельная работа № 1 по дисциплине
“ Избранные вопросы алгебры и геометрии”
Тема: «Бинарные операции, их свойства»
I уровень
1. Какое отображение является бинарной алгебраической операцией на множестве А ?
2. Сколько элементов множества А участвует в бинарной алгебраической операции?
3. Какое из отображений является бинарной алгебраической операцией?
а) А  B  А; б) А  А  В; в) А  А  А  А; А  А  А.
4. Какие из арифметических действий (+,
–,  , :) являются бинарными
алгебраическими операциями на множествах:
а) {1, 0, -1}; б) N; в) Z.
4. Является ли бинарной алгебраической операцией:
а) сложение на множестве четных чисел;
б) сложение на множестве нечетных чисел;
в) умножение иррациональных чисел;
г) нахождение десятичных логарифмов на множестве R+;
д) Нахождение НОД на множестве N ;
е) вычитание векторов плоскости, расположенных в первой четверти координатной
плоскости.
Ответ объяснить. Какие из бинарных алгебраических операций коммутативны,
ассоциативны ?
5. Пусть G = {2, 4, 6, 8} и для всех a, b  G пусть a * b есть наименьший
положительный остаток при делении a ∙ b на 10. Составьте таблицу Кэли для <G, *> и с ее
помощью решите вопрос о наличии нейтрального элемента в G и об обратимости его
элементов.
Домашнее задание №1
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
II уровень
6. Является ли бинарной алгебраической операцией на множестве Z:
а) a  b  [(a  b) 3  (a  b) 3 ] : 3;
б) a  b  [(a  b) 2  (a  b) 2 ] : 2.
7. Даны группоиды:
а) <N, *>, где a  b  a b ; б) <N, *>, где a  b  НОК [a, b] ; в) <R, *>, где
a  b  a  b  2 ; г) <R, *>, где a  b  ab  a  b .
Если некоторое свойство имеет место для группоида, то в строке и в соответствующем
столбце таблицы ставим +, в противном случае –.
Свойства коммутативность ассоциативность нейтральный обратимость
№
элемент
а
б
в
г
8. Справедливо ли равенство a  (b  c)  (a  b)  c , если один из трех элементов
нейтральный?
9. Рассмотрим группоид <Z,  >, где операция  задана правилом:
a  0  0  a  a
0  0 = 0 и для a  0, b  0 
. Найти нейтральный элемент. Показать, что
a  b  b  a  0
этот группоид не будет ассоциативным. Найти обратный элемент к 0. Сколько обратных
элементов имеет всякое число отличное от 0?
Самостоятельная работа № 2 по дисциплине
“ Избранные вопросы алгебры и геометрии”
”
Тема: «Группы, их свойства»
I уровень
1. Установите соответствие между группоидами: полугруппа, моноид, группа и
свойствами бинарной алгебраической операции, определенной на них. Поставьте знак «+» в
соответствующих клетках таблицы.
коммутативность
наличие
нейтрального
элемента
все элементы
симметризуемы
ассоциативность
полугруппа
моноид
группа
2. Вставить вместо многоточия пропущенные слова так, чтобы получились истинные
высказывания:
1) операция “+” является выполнимой на Q, так как ….;
однозначной на Q, так как результат (a+b) определяется однозначно; ранг операции равен …,
так как в операции используется … элемента (a, b)  a+ b следовательно, <Q , +> является…;
2) А1 выполняется, так как сложение рациональных чисел …, действительно, (  a, b,
c  Q) (a + b) + c = a + (b + c), следовательно, <Q , +> является …
3) А2 выполняется: роль нейтрального элемента будет играть число … ,
так как (  a  Q) a + … = … + a = a, следовательно, <Q , +> является …;
4) А3 выполняется: для всякого рационального числа существует … число (  a  Q)
(  – a  Q) a + (– a) = (– a) + a = 0 , следовательно,
<Q , +> является….
3. Выполнить задание 2, заменив множество Q на: а) R; б) С.
4. Какие из аксиом группы не выполняются для группоидов: а) <N, +> ;
б) <N, ∙> ?
5. Запишите определение мультипликативной группы. Приведите примеры
мультипликативных групп.
Домашнее задание №2
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
II уровень
6. Доказать, что следующие алгебры являются аддитивными группами:
а) <2Z, +>; б) <mZ, +>; в) <Z6, +>.
7. Доказать, что следующие алгебры являются мультипликативными группами: а) <R \
 1 x 

 | x  R  , ∙>.
{0}, ∙>; б) <Q+, ∙>; в) <R+, ∙>; г) <G = 
 0 1 

8. Доказать, что множество всех поворотов правильного треугольника Р = {e, a, a2} в
плоскости этого треугольника вокруг центра против часовой стрелки соответственно на 0 0,
1200, 2400 образует группу относительно композиции поворотов.
9. Является ли группой множество А с заданной на нем операцией?
 a 3b 

 | a, b  Q, a2 + b2 > 0  , ∙>; б) А – множество матриц n-го порядка с
а) <A = 

 b a 
определителем равным 1 относительно умножения матриц;
в) <А = {a + b 3 i | a, b  Z}, +>; г) R2 = {(a, b) | a, b  R} относительно сложения,
определенного по правилу:
(a1 , b1 ), (a2 , b2 )  R2 (a1, b1)  (a2 , b2 )  (a1  a2 , b1  b2 ) .
г) А = P(X) – множество всех подмножеств в X   относительно операции пересечения.
Самостоятельная работа № 3 по дисциплине
“ Избранные вопросы алгебры и геометрии”
Тема: «Группы преобразований и подстановок»
I уровень
1. Заполнить пропуски так, чтобы получилось истинное высказывание:
1) преобразованием называется …. отображение множества М на М.
2) преобразование, заданное на множестве М, называется подстановкой, если М ….
3) композицией преобразований  : М  М и  : М  М называется преобразование
  : М  М, такое что a  M    (a)  ... .
2. Какое из свойств композиции подстановок является верным?
1) композиция любых двух подстановок из Sn (n > 2) коммутативна;
2) композиция любых трех подстановок n – ой степени ассоциативна;
3) есть подстановки в Sn, не равные тождественной подстановке, которые
перестановочны друг с другом;
4) произведение любого конечного числа подстановок не зависит от порядка
сомножителей
4. Являются ли подстановками множества М = {1, 2, 3, 4, 5} отображения:
 1 2 3 4 5
 1 2 3 4 5
 2 1 3 5 4
 ; 2) 
 ; 3) 
 .
1) 
 2 5 3 2 1
5 4 3 2 1
2 5 3 4 1
5. Одинаковы ли подстановки?
 1 2 3 4 5  2 3 5 4 1 
 1 2 3 4 5  2 1 3 4 5 
 и 
 ; 2) 
 и 
 .
1) 
 2 3 5 4 1  3 5 1 4 2
 4 5 1 2 3  5 4 1 3 2 
 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
 и  = 
 . Произведение подстановок
6. Пусть  = 
 2 5 3 4 1
3 4 5 2 1
1 2 3 4 5
 1 2 3 4 5
 ; 2) 
 ; 3) другой ответ. Какое из высказываний
   равно: 1) 
3 4 1 5 2
 4 1 5 2 3
истинно?
 1 2 3 4
 . Какая из данных подстановок равна φ-1?
7.   
2 3 4 1
 1 2 3 4
 ; 2)
1) 
 2 3 4 1
1 2 3 4 

 ; 3)
1 4 3 2 
 2 3 4 1
4 3 2

 ; 4)   
 1 2 3 4
1 4 3
1 2   1
, 
8. Является ли группой множество подстановок S2 = { 
1 2   2
умножения подстановок?
1
.
2 
2
 } относительно
1 
Домашнее задание №3
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
II уровень
1
2 3 4 5

1 2 3 4 5
 и  = 
 ;
9. Вычислить    , если: 1)  = 
4
5
1
3
2
2
5
1
3
4




1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
 и  = 
 ; 3)  =
2)   
3 6 4 5 1 2
 2 5 3 1 2 4
 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 
1 2 3 4 5

 ; 4)   
 и  = 
 4 3 2 1
3 4 6 5 7 1 2
7 5 3 4 1
1 2 3 4
10. Вычислить φ-1, если подстановка  равна: 1) 
7 5 3 4
1

2
6
2
2 3 4
 и =
1 4 3 
7
.
6 
5 6 7
 ; 2)
1 2 6 
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
 1 2 3 4
1 2 3 4 5

 ; 3) 
 ; 4) 
 ; 5) 
 .
5 2 1 3 6 4
5 2 1 3 4
 2 4 1 3
3 4 1 5 2
11. Известно, что подстановки  ,   S4.  (2) = 4,  (1) = 3,  (4) = 2  (2) = 1,  (4) =
2,  (1) = 1. Вычислить    (2). Можно ли вычислить    ?
Чему равна подстановка обратная к  ?
1 2 3
 ,
12. Решить уравнения   X   и Y     , если: 1)  = 
 =
3 1 2
1

2
1

4
2 3
1 2
 ;
2)   
3 1
2 3
2 3 4 5
1
 ; 4)   
2 1 5 3
6
3 4
1 2 3 4
1 2 3 4 5
 ,   
 ;
 ,
3)  = 
1 4
3 2 4 1
 2 3 1 5 4
2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
 ,   
 .
1 2 4 3 5
5 4 6 3 1 2
 =
Самостоятельная работа № 4 по дисциплине
“ Избранные вопросы алгебры и геометрии”
Тема: «Подгруппы»
I уровень
1. Какое из определений подгруппы верное:
а) непустое множество H называется подгруппой группы G, если оно само является
группой относительно операции определенной в группе G;
б) непустое подмножество H группы G называется ее подгруппой, если оно само
является группой;
в) Пусть <G, *> – группа. H  G, H   . H называется подгруппой группы G, если <H,
◦> – группа;
Ответ: 1)а, в; 2) б, в; 3) а; 4) б; 5) в; 6) все определения неверны.
2. Заполнить пропуски в формулировке критерия подгруппы:
непустое подмножество H группы <G, ∙> является ее подгруппой тогда и только тогда, когда
выполняются следующие два условия:
1) h1 , h2  H  ..... H и 2) h  H  ..... H .
3. Заполнить пропуски в рассуждениях, с помощью которых можно проверить,
окажется ли подгруппой аддитивной группы целых чисел множество целых чисел кратных 4.
Заметим, что множество 4Z   , так как, например …  4Z. 4Z  …. Остается
проверить 2 условия критерия подгруппы. Первое условие …. , так как
h1, h2  H  h1  4k1, h2  4k 2 , k1, k 2  Z ; h1  h2  ..... Второе условие …., так как
h  H  h  4k, k  Z  h  ....
4. Что изменится в рассуждениях (в № 3), если вместо аддитивной группы Z
рассматривать мультипликативную группу положительных рациональных чисел?
Домашнее задание № 4
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
II уровень
5. Является ли множество целых степеней числа 3 подгруппой мультипликативной
группы (Q* = Q \ {0}) рациональных чисел отличных от нуля. Является ли она циклической?
6. Образует ли множество целых чисел, кратных 24, подгруппу аддитивной группы
целых чисел кратных 4? Будет ли она циклической?
7. Будет ли множество H = {x | x = 12k, k  Z} подгруппой аддитивной группы G = {y |
y = 3k, k  Z}? Будет ли она циклической?
8. Является ли множество иррациональных чисел подгруппой мультипликативной
группы Q*.
9. Докажите, что множество H, состоящее из матриц
 1 0
 1 0 
 0  1
 0 1 
, a  
, b  
, c  

H = e  
 0  1
1 0 
  1 0 
 0 1
является подгруппой мультипликативной группы невырожденных матриц второго порядка с
действительными элементами. Является ли эта подгруппа абелевой? Является ли она
циклической? Каковы ее образующие элементы?
10. Доказать, что множество поворотов правильного треугольника
C3 = {e, a, a2} в
плоскости этого треугольника вокруг центра против часовой стрелки соответственно на 0 0,
1200, 2400 образует подгруппу группы симметрий правильного треугольника относительно
композиции преобразований.

1 2 3   1 2 3 
, 
 ,
11. Доказать, что множества H1 = {  }, H2 =   
1
2
3
2
1
3







1 2 3   1 2 3   1 2 3 
1 2 3   1 2 3 
, 
, 
 , H4 =   
, 
 ,
А3 =   
1 2 3   2 3 1   3 1 2 
1 2 3   3 2 1 



1 2 3  1 2 3 
, 
 , H6 = S3 являются подгруппами симметрической группы
H5 =   
1
2
3
1
3
2





подстановок третьей степени S3.
Самостоятельная работа № 5 по дисциплине
“ Избранные вопросы алгебры и геометрии”
Тема: «Смежные классы. Теорема Лагранжа»
I уровень
1. Запишите с помощью символов левый (правый) смежный класс аддитивной группы
целых чисел по подгруппе целых чисел кратных 7, порожденный 3.
2. Какие из данных высказываний являются истинными?
1) – 8, – 3, 2, 7, 12  (2 + 5Z);
2) – 198  (2 + 5Z);
3) 127  (2 + 5Z);
4) 2 + 5Z  7 + 5Z.
3. Какими из свойств обладают левые (правые) смежные классы группы <G, ∙> по
подгруппе H:
1) левые смежные классы равномощны друг другу и равномощны группе;
2) aH = bH  a = b;
3) а  b  aH  bH;
4) а  H  aH=H.
4. Заполните пропуски так, чтобы получилось истинное высказывание:
1) Пусть <G, ∙> – группа, H – подгруппа группы G. Левый (правый) смежный класс
группы G по подгруппе H , порожденный элементом а группы G, обозначают …. и он состоит
из ….;
2) Объединение всех левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе H равно
…..
3) пересечение двух различных левых (правых) смежных классов группы G по
подгруппе H равно ….
4) аH = bH  …
5) порядок подгруппы конечной группы является делителем …
Домашнее задание № 5
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
II уровень
5. Найти левостороннее и правостороннее разложения группы G по подгруппе H, если:
1) G = Z (аддитивная группа), H = 5Z;
2) G = 2Z (группа аддитивная), H = 8Z;

1 2 3 
 1 2 3 
, f  
 ;
3) G = S3 (мультипликативная группа), H =   
1 2 3 
 2 1 3 

4) G∆ = {e, a, a2, b, a  b, a2 b}, где а – поворот на 1200 вокруг центра правильного
треугольника против часовой стрелки, b – осевая симметрия относительно вертикальной оси,
проходящей через высоту треугольника, H = {e, b};
5) G – мультипликативная группа вещественных невырожденных матриц n – го
порядка, H – подгруппа матриц n – го порядка с определителем равным 1.
Всегда ли левостороннее разложение совпадает с правосторонним в рассмотренных
примерах?
6. Найти левостороннее и правостороннее разложение симметрической группы
 1 2 3
 .
подстановок S3 по подгруппе, порожденной подстановкой 
 3 2 1
7. Может ли в группе из 12 элементов быть подгруппа из n элементов: а) n = 5 б) n = 7;
в) n = 9. Ответ обосновать.
III уровень
8. Опишите все подгруппы симметрической группы подстановок S3, список обоснуйте.
9. Опишите все подгруппы группы симметрий правильного треугольника G∆ = {e, a, a2,
b, a ∙ b, a2 ∙ b} (см № 4). Список обоснуйте.
7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
В пятом семестре по дисциплине «Теоретико-групповые методы в алгебре и геометрии»
предусмотрена контрольная работа, а в шестом семестре - зачет. Для получения зачета
необходимо набрать не менее 61 балла (табл. 8).
Вид
аттестации
Допуск к
аттестации
Зачёт
40 баллов
61 балл
Таблица 8
Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и
академических оценок)
Удовл.
Хорошо
Отлично
61-72 баллов 73-86 баллов
87-100 баллов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
V семестр
Контрольная работа № 1
Тема: “ Избранные вопросы геометрии”
Вариант №1
1. Поострить окружность, проходящую через данную точку М и касающуюся
параллельных прямых a и b.
2. Даны прямая и точки А, В. На прямой m построить точку М такую, что прямая m
является биссектрисой угла АМN.
3. В данный треугольник АВС вписать в квадрат.
4. Построить треугольник по углам А и В и параметру АВ + АС + ВС = p.
5. Используя теорему Дезарга с помощью одной линейки построить прямую,
проходящую через данную точку М, параллельно двум параллельным прямым а и b.
6. Доказать гомеоморфность (топологическую эквивалентность) следующих объектов:
а) двух любых интервалов;
б) интервала и числовой прямой R;
в) прямой R и полупрямой R+, т.е. множества действительных чисел и множества
положительных действительных чисел.
Требования к дифференцированному зачету по дисциплине
“ Избранные вопросы алгебры и геометрии”
V I семестр
1. Не иметь долгов по контрольным и самостоятельным работам.
2. Знать основные понятия и утверждения изученной теории, иллюстрировать их
примерами.
Контрольные вопросы
1. Бинарные операции. Группоид. Полугруппа. Моноид. Примеры.
2. Группы, их свойства. Примеры.
3. Группы преобразований и подстановок.
4. Подгруппы. Критерий подгруппы. Примеры.
5. Смежные классы, их свойства. Теорема Лагранжа.
6. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Примеры.
7. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Теорема о
гомоморфизмах.
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
+
+
+
Общекультурные
компетенции
+
1 семестр
ВКР
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная
педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебноисследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Физкультура*
Вводный курс
математики
Геометрия
Алгебра
Возрастная анатомия,
физиология и
гигиена*
Математический
анализ
Психология*
Педагогика *
Делопроизводство в
образовательной
организации
Технология
самообразования
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Иностранный язык*
История*
.
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
+
+
+
+
+
2 семестр
+
+
+
+
Б.5. (С.5) Практики / НИР
ВКР
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная
педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика
по организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебноисследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика
по классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Числовые системы
Практические
приложения
метода
математической
индукции
Физическая
культура*
Информационны
е технологии
Основы
производства
Прикладная
механика
Физика
Геометрия
Алгебра
Иностранный
язык*
Психология*
Безопасность
жизнедеятельности
*
Введение в
специальность*
Математический
анализ
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
+
+
+
+
+
3 семестр
Б.5. (С.5) Практики / НИР
ВКР
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Физическая культура*
Информационные
технологии
Основы производства
Прикладная механика
Подросток в
образовательном
пространстве школы
Профессиональное
становление личности
Физика
Геометрия
Алгебра
Математический анализ
Психология*
Основы математической
обработки информации*
Педагогика*
Педагогическая риторика*
Иностранный язык*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
5 семестр
Общекультур компетенции
+
+
+
+
+
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Гос. экзамен
ВКР
ВКР
Гос. экзамен
Б.4.4 (С.4.4) НИР
Б.4.3 (С.4.3) Преддипломная
Б.5. (С.5) Практики /
НИР
Б5.П2.Государственная
педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.4.2 (С.4.2) Производственная
Б.4.1 (С.4.1) Учебная
4 семестр
Б.5.У3 (С.5.3) Учебноисследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Физическая культура*
Организация летнего
отдыха детей в регионе
Основы
производства
Организация
досуговой
деятельности детей и
подростков
Математический
анализ
Основы
медицинских знаний
и здорового образа
жизни*
Психология*
Педагогика*
Естественнонаучная
картина мира*
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Основы исследований
в физикоматематическом
образовании
Организация
педагогического
исследования учителя
Физическая культура*
ОК- 4
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Художественная резьба
по дереву
ОК - 1
Экономика
образования
Иностранный язык*
Философия*
Индекс
компетенции
Современные средства
оценивания
результатов обучения
История техники и
технологии
Технические и
аудиовизуальные
средства обучения
Педагогика *
Методика обучения
предметам
(математика)
Теория
вероятностей и
математическая
статистика
Основы
производства
Групповой подход в
алгебре и геометрии
Избранные вопросы
алгебры и
геометрии
Художественные
изделия из древесины
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.6. (С.6)
ГИА
Общекультур компетенции
+
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
6 семестр
Гос.
экза
мен
ВКР
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Групповой подход в алгебре
и геометрии
Избранные вопросы алгебры
и геометрии
Основы исследований в
физико-математическом
образовании
Организация
педагогического
исследования учителя
Физическая культура*
Компьютерная графика
Технологический практикум
Элементарная математика
Теория чисел
Общекультурные
компетенции
Машиноведение
Информационные
технологии в образовании*
Методика обучения
предметам (математика)*
Теория вероятностей и
математическая статистика
Профессиональная этика*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Б.5. (С.5) Практики / НИР
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
+
+
7 семестр
Б.5. (С.5) Практики / НИР
ВКР
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Электрорадиотехника
+
Элементарная
математика
Дискретная математика
Машиноведение
Математическая логика
и теория алгоритмов
Методика обучения
предметам
(математика)*
Общие проблемы теории
и методики обучения
(технология)
История математики
Основы
предпринимательской
деятельности
Маркетинг
Образовательное право
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
+
+
Б.5. (С.5) Практики / НИР
ВКР
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
охрана труда в
образовательном
учреждении
Приложения математики в
других науках
Современные направления
развития математики
Конструирование и
моделирование одежды
Технология изготовления
швейных изделий и мягкой
игрушки
+
Электроника
Основы творческой
конструкторской
деятельности и декоративноприкладного
творчества
Техника безопасности
и
Электрорадиотехника
Элементарная математика
Методика обучения
предметам (математика)*
История региона
История Сибири
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.6.
(С.6)
ГИА
8 семестр
Индекс
компетенции
Общекультурные
компетенции
ОК-1
ОК-4
+
+
+
+
+
+
+
9 семестр
Б.5. (С.5) Практики / НИР
ВКР
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по
организации летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по
классному руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Конструирование и
моделирование одежды
Технология изготовления
швейных изделий и мягкой
игрушки
Современные
образовательные
технологии*
Дифференциальные
уравнения
Элементарная
математика
Основы
творческоконструкторской
деятельности и
декоративноприкладного
творчества
Методика
формирования
практических умений
Основы теории
технологической
подготовки
Подготовка учащихся к
итоговой аттестации по
математике
Развивающие задачи в
обучении математике
Приложение математики в
других науках
Современные направления
развития математики
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.6.
(С.6)
ГИА
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-4
.
*-дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10 семестр
Б.5. (С.5) Практики / НИР
ВКР
Циклы Б1-Б4 (С1-С4) дисциплины (модули)
Гос. экзамен
Б5.П2.Государственная педагогическая
Б5.П1.Педагогическая практика
Б.5.У4 (С.5.4) Учебная практика по организации
летнего отдыха
Б.5.У3 (С.5.3) Учебно-исследовательская
Б.5.У2 (С.5.2) Учебная практика по классному
руководству
Б.5.У1 (С.5.1) Психологическая
Теория игр и методы принятия
решений
+
+
Исследование операций
Техническое конструирование
Общекультурные
компетенции
Нанотехнологии
практических умений
Основы теории
технологической подготовки
Подготовка учащихся к
итоговой аттестации по
математике
Развивающие задачи в
обучении математике
Методика профессионального
обучения
Методика профильного
обучения
Приложения математики в
других науках
Современные направления
развития математики
Основы творческоконструкторской
деятельности и декоративноприкладного
творчества
Методика
формирования
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.6.
(С.6)
ГИА
+
Код компетенции
7.3. Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах
их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 9
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Пороговый
Базовый (хор.)
Повышенный
(удовл)
76-91 балл
(отл.)
61-75 баллов
91-100 баллов
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и
др.)
Знает: методы и
приемы работы с
учебников
Знает: методы и
приемы с
различными
источниками
информации
Лекции,
практические
занятия
Тестирование,
контрольная
работа
Умеет:
находить
необходимую
информацию и
применять ее
при решении
задач любого
уровня
сложности,
обосновывать и
пояснять выбор
метода
Владеет:
самостоятельно
использует
общие и лично
созданные
методы и
приемы с
различными
источниками
информации
Лекции,
практические
занятия
Тестирование,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Тестирование,
контрольная
работа
ОК-1
Умеет: находить
необходимую
информацию
Знает: методы и
приемы с
разными
печатными
источниками
информации
Умеет: находить
необходимую
информацию и
применять ее при
решении
стандартных
задач
Владеет:
методами и
приемами работы
с учебником по
вузовскому курсу
геометрии
Владеет:
методами и
приемами с
разными
печатными
источниками
информации
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
ОК-4
Знает:
о возможности
применения
математики в
различных
областях
деятельности
человека
Умеет:
применять знания
по математике в
профессиональной
деятельности с
внешней
помощью, строить
простейшие
математические
модели при
решении
конкретных задач
Владеет:
методами
математики при
решении задачи по
образцу
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает:
о применении
математики в
различных
областях будущей
профессиональной
деятельности и
смежных видах
деятельности
Умеет:
Умеет:
применять
применять
математические
математические
знания в
знания в
профессиональной профессиональной
деятельности в
деятельности
стандартной
самостоятельно в
ситуации
любой ситуации
Виды занятий
(лекции,
семинарские
практичес-кие
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и
др.)
Знает:
о применении
математики в
различных
областях будущей
профессиональной
деятельности
Владеет:
методами
математики при
решении
стандартной
задачи
Лекции,
практические
занятия
Владеет:
методами
математики при
решении любой
задачи
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
V семестр
а) основная литература
по разделу I.
1. Казютин В.Ф. и др. Геометрия. СПб.: Лань, 2010.
2. Подран В.Е. Элементы топологии. СПб.: Лань, 2011.
3. Постников М.М. Аналитическая геометрия. . СПб.: Лань, 2010.
4. Сборник задач по геометрии под ред. Базылева В.Т. Спб.: Лань, 2010.
б) дополнительная литература
по разделу I.
5. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. I, II. М.: Просвещение, 1986
Тестирование,
контрольная работа
6. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. 1, 2. – М.: Просвещение,
1973, 1975.
7. Бахвалов С.В. и др. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1964.
8. Кадомцев С.Б. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
V Iсеместр
а) основная литература
по разделу II
1. Евсюкова Е.В. Введение в теорию групп: Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических специальностей. – Тобольск: изд-во ТГСПА им.
Д. И. Менделеева, 2010. – 153 с.
2. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. –
М.: Высш. Школа, 1979.
б) дополнительная литература
по разделу II.
3. Александров П.С. Введение в теорию групп (библиотечка «Квант»). М.: Наука, 1980 –
143с.
4. Алексеев В.Б. Теория Абеля в задачах и решениях . М.: Наука, 1980 – 207с.
5. Бердон М. Геометрия дискретных групп. М.: Наука, 1986.- 300с.
6. Берже М. Геометрия. Т.1. М.: Мир, 1984 - 548с.
7. Берже М., Берри Ж. – П., Пансюн., Сен-Реймон К. Задачи по геометрии с комментариями и
решениями. М.: Мир,1989.- 304с.
8. Болтянский В.Г., Виленкин Н.А. Симметрия в алгебре. М., 1967.
9. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. – 191с.
10. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975. – 208с.
11. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981. – 344с.
12. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.:Мир, 1971. – 247с.
13. Дальма А. Эварист Галуа – революционер и математик. М.: Наука, 1984.
14. Дужин С.В., Чеботаревский Б.Д. От орнаментов до дифференциальных уравнений. Минск:
Выш. шк., 1988. - 253с.
15. Долбилин Н.П. Правильные системы. М.: Изд-во «Знание» №12, 1978г. (Серия
«Математика, кибернетика» – 62с.)
16. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. М.: Наука,1985. – 112с.
17. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972. - 238с.
18. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований
/Эрлангенская программа/, 1872.- В сб.: Об основаниях геометрии. М.: Гостехиздат, 1956.с.399-434.
19. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2-х томах. Т.2. Геометрия:
Пер. с нем. / Под ред. В.Г.Болтянского. – 2-е изд. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.,1987.416с.
20. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. М.:Мир, 1971.- 247с.
21. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников. // Квант.-1986.№6.С.3-7.
22. Кукин Г.П., Кузнецова О.В. Лекции о симметрии. Омский ун-т, 1993. - 103с.
23. Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. М.: Наука,1967.264с.
24. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования. М.: Изд-во МГУ, 1961.231с.
25. Молодший В.И. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. 303с.
26. Земляков А. Орнамент. // Квант. – 1977.№3
27. Постников М.М. Теория Галуа, М.,1963.
28. Тимирбулатова А.М. Правильные системы. Дипломная работа. Тобольский пед. институт,
2001г.
29. Федоров Е.С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979. - 272с.
30. Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов: основные работы / Ред. А.В. Шубникова,
И.И. Шафрановского. Симметрия правильных систем точек. М.: АН СССР, 1949.-С.111255.
31. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир, 1979. - 260с.
32. Яглом И.М. Феликс Клейн и Софус Ли. М.: Знание, 1977.-64с.
33. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. М.-Л. Гостехиздат, 1957. - 343с.
г) мультимедийные средства:

http://www.proklondike.com/books/thmath/thmath_penzov_element_mat_logiki.html
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины


Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки
материалов для учебного процесса).
Аудитории с мультимедийным обеспечением.
E-mail: www.tgspa.ru
10. Паспорт рабочей программы дисциплины
Разработчик(и) : Евсюкова Е.В., канд. пед. наук, доцент
Коробейников В.С. старший преподаватель
Программа одобрена на заседании кафедры математики, теории и методики обучения
математике
от «___»_______________г., протокол №________
Согласовано:
Зав. кафедрой ______________________
«___» ________________г.
Согласовано:
Специалист по УМР _________________
«___» ________________г.
Приложение I
Аннотация рабочей программы дисциплины
Избранные вопросы алгебры и геометрии
3. Цели и задачи освоения дисциплины
Цель дисциплины: знакомство с первоначальными понятиями теории групп и
теоретико-групповыми методами; изучение некоторых теоретико-групповых конструкций,
являющихся основой теории групп; приобретение навыков в решении задач теории групп;
осознание прикладного характера математики; подготовка к проведению факультативных
занятий и занятий по выбору в средней школе.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО бакалавриата
Дисциплина «Теоретико-групповые методы в алгебре и геометрии» относится к
дисциплинам по выбору вариативной части профессионального цикла Е.Н.Р.3
профессионального цикла – Б2. Математический и естественнонаучный цикл.
Дисциплина “Теоретико-групповые методы” изучается в V и VI семестрах III курса.
На ее изучение отведено 144 часа, из них аудиторных – 68 часов, лекций – 34 часа (16 час. - в
V семестре и 18 часов - в VI семестре), практических занятий – 34 часа (16 час. - в V семестре
и 18 часов - в VI семестре), самостоятельная работа студентов – 72 часа. КСР – 4 часа. Формы
итогового контроля: контрольная работа в V семестре, зачёт в VI семестре.
Изучение спецкурсов по математике предполагает расширение и углубление знаний
студентов, обеспечение высокого теоретического уровня знаний выпускников.
Содержание курса тесно связано с программным материалом: в рассмотрение войдут
вопросы из теории множеств, алгебры, геометрии (понятие отображения, различные виды
отображений; понятие группы, свойства группы, подгруппы, гомоморфизмы и изоморфизм
групп, группа подстановок; группы движений плоскости и пространства, группы симметрий
различных фигур.
Для освоения дисциплины “ Избранные вопросы алгебры и геометрии”студенты
используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения
раздела «Некоторые виды алгебр», в курсе алгебры и раздела «Преобразования» в курсе
геометрии.
Освоение дисциплины является основой для последующего изучения других разделов
курса алгебры, геометрии, компьютерной алгебры и др.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
- Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
- владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК - 1).
– способностью использовать знания о современной естественнонаучной картине мира
в образовании и профессиональной деятельности, применять методы математической
обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4).
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия, классические факты, утверждения и методы основ теории групп;
- строгие доказательства фактов указанной предметной области;
уметь:
- решать типовые задачи в указанной предметной области;
- применять теоретические знания к решению теоретико-групповых задач по курсу;
владеть:
- навыками решения типовых теоретико-групповых задач;
- представлениями о связи данной предметной области со школьным курсом математики.
- различными приемами использования теоретико-группового аппарата к доказательству
теорем и решению задач других разделов курса математики.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы (144 часа).
5. Семестры: V, VI.
6. Основные разделы дисциплины:
I. “ Избранные вопросы геометрии”
II. “ Избранные вопросы алгебры ”
7. Разработчики:
Евсюкова Е.В., канд. пед. наук, доцент кафедры математики, теории и методики
обучения математике.
Коробейников В.С. старший преподаватель кафедры математики, теории и методики
обучения математике.