Otbor kornei v trigonometricheskih uravneniyah

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
лицей № 6 г. о. Тольятти
«Отбор корней в тригонометрических
уравнениях»
10 класс.
Автор:
Корнилова Любовь Александровна
учитель математики МБУ лицея №6
г. о. Тольятти
Тольятти 2015
Задание С1 или задание15 ЕГЭ представляет собой уравнение или систему уравнений.
Ключевым моментом задачи является необходимость отбора полученных в результате
решения того или иного уравнения корней в соответствии с вытекающими из условия
ограничениями. При этом для решения задачи 15 необходимо уверенное владение
навыками решения всех типов уравнений и систем уравнений, изучаемых в основной и
старшей школе: целых рациональных, дробно-рациональных, иррациональных,
тригонометрических, показательных, логарифмических.
Существуют следующие способы отбора корней:
 арифметический способ;
 алгебраический способ;
 геометрический способ;
 функционально-графический способ.
Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.
Ӏ. Арифметический способ.
Арифметический способ: а) непосредственная подстановка корней в уравнение и
имеющиеся ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и
вычисление корней.
а) Пример 1.
Найти корни уравнения cos x = 0,5, удовлетворяющие
неравенству sin x ≤ 0.
Решение.

cos x = 0,5, x    2n, n  Z ,
3
Проверим выполнение условия sin x ≤ 0.

3


 
Для x   2n, n  Z => sin   2n   sin   
> 0.
3
3

3 2
2
Первая серия корней является посторонней.

3
 

 
Для x    2n, n  Z => sin    2n    sin    
< 0.
3
2
 3

3

Ответ: x    2n, n  Z .
3
б) Пример 2.
а) Решите уравнение cosx + sinx = 0.


б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ;2  .
2

Решение.
а) cosx + sinx = 0 | : cosx,

tgx  1 , x    n, n  Z
4


б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку  ;2  .
2

Перебирая, подряд значения переменной, обозначающей целые числа, мы должны
добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и
справа от данного промежутка.


  ;2 
4 2

3  


;2 
n = 1, x 
4  2

7  

  ;2 
n = 2, x 
4 2

11  

  ;2 
n=3, x 
4
2


n = 0, x  

Ответ: а) x  

4
 n, n  Z ;
б)
3 7
,
.
4 4
ӀӀ. Алгебраический способ.
Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда
последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным
трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных
тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являются табличными, и
при решении задач с дополнительными условиями.
Алгебраический способ: а) решение неравенства относительно неизвестного
целочисленного параметра и вычисление корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными
параметрами.
а) Пример 3.
а) Решите уравнение 6cos 2 x  7 cos x  5  0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.   ;2  .
Решение.
а) Пусть у = cos x, то 6у2-7у-5=0.
3
1
5
1
5
y1   , y 2  =˃ cosx  - , cos x  .
2
3
2
3
1
2
2
cosx  - =˃ x  
 2n, n  Z , x 
 2k , k  Z ,
2
3
3
5
cos x 
=˃ корней нет.
3
б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку   ;2 
2
  
 2n  2 , n  Z
3
1
4
2
4
 n
=˃ при n = 0, x  и при n =1, x 
.
6
3
3
3
2
 
 2k  2 , k  Z
3
2
5
2
 k
=˃ при k = 0 x 
.
3
6
3
2
2
2 2 4
 2n, n  Z , x 
 2k , k  Z , б) 
;
;
Ответ: а) x  
.
3
3
3 3 3
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
Пример 4.
cos2x  1,

Решить систему уравнений  5 x
sin 2  1,
Решение. При решении систем тригонометрических уравнений необходимо
использовать разные обозначения целочисленных переменных при решении разных
уравнений системы.
cos2x  1,  x  n,



 4m
 5x
sin 2  1,  x  5  5 , m, n  Z
Найдем такие целые значения m и n, при которых решения в полученных сериях
 4m
совпадают. Приравнивая выражения для х в обеих сериях, получим n  
,
5
5
5n=1+4m.
5n  1
n 1
n
4m=5n-1, m 
.
4
4
n 1
Для существования целых решений число
должно быть целым. Обозначим его
4
n 1
 k , n=4k+1, k  Z .
буквой k, тогда
4
5n  1 20k  4
m

 5k  1, k  Z
4
4
Подставляя в систему значения m и n, получим общее решение x   (4k  1), k  Z
Ответ: x   (4k  1), k  Z .
4
ӀӀӀ. Геометрический способ.
Геометрический способ дает возможность иллюстрировать решения простейших
тригонометрических уравнений с помощью:
а) числовой окружности;
б) с помощью числовой прямой;
а) Пример 5
а) Решите уравнение cos(
3
 2 x)  cos x
2
 5

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ;4 
 2

Решение.
3
 2 x)  cos x
а) cos(
2
sin2x  cosx
2sinxcosx - cosx  0
cosx(2sinx - 1)  0
сos x = 0
или
2sinx -1 = 0

1
x   n, n  Z
sin x 
2
2

 2k , k  Z ,
6
5
x
 2m, m  Z
6
x
 5

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку  ;4  .
 2

Для этого на единичной окружности отметим дугу равную данному отрезку и
точки, соответствующие корням данного
уравнения.
Итак, корнями, принадлежащими данному
5 17 7
;
;
отрезку, являются числа
.
2
6
2

Ответ: а) x   n, n  Z ,
2

5
x   2k , k  Z , x 
 2m, m  Z ,
6
6
5 17 7
;
;
б)
.
2
6
2
б) Пример 6.
x
2 0
а) Решите уравнение
x
sin
3
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.   ;11 
cos
5
Решение.
x

cos 2  0,
а) Из условия получаем 
sin x  0,
 3
 x    2k
=>

 x  3n, k , n  Z
Следует исключить те значения параметра k, которые приводят к совпадению корней
числителя и знаменателя.
Приравняем значения х из системы. Решим диофантовое уравнение через частное
решение.
  2k  3n, k, n  Z | :π
1+2k=3n,
3n-2k=1, частное решение n 0  1, k0  1 . 3n - 2k  3  1 - 2  1, 3n  3  1  2k  2  1,
n  1  2t
=>
3n  1  2k  1, 
k  1  3t , t  Z
Следовательно, х=π + 2πk, k  3t  1, k,t  Z
б) На числовой прямой рассмотрим промежуток   ;11  .
На числовой прямой отметим черными точками корни, принадлежащие полуинтервалу
  ;11  . Это числа  ,5 ,7 ,11 .
Ответ: а) х=π + 2πk, k  3t  1, k,t  Z
б)  ,5 ,7 ,11
Пример 7.
6
2
2
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   ;3 
а) Решить уравнение cos x =
Решение.
2

, x    n, n  Z
4
2
2
б) cos x =
,
2
а) cos x =
Ответ: а) x  

4
 n, n  Z ; б ) 
  7 9
; ;
; .
4 4 4 4
ӀV. Функционально-графический способ.
При изображении решений простейших тригонометрических уравнений иногда
используют графики простейших тригонометрических функций.
Пример 8.

2
cos x 
2
Решить систему 
1
sin x 

2



2
x    2k
cos x 

4
2 
k, n  Z
Решение.


sin x  1
sin x  1


2
2
7
Неравенству sin x >


. Следовательно, все числа вида  2n, n  Z .
4
4

Ответ: x   2n, n  Z
4
1
удовлетворяет
2
одно число
Пример 9.

3
sin x 
Решить систему 
2
tgx  1

Решение.


3
k 
 k , k  Z
 x  (1)
sin x 
3

2 
tgx  1
tgx  1

  3 
На промежутке  ;  , длина которого 2π, неравенству tgx>1 удовлетворяет одно
 2 2 


число . Следовательно, все числа вида  2n, n  Z , удовлетворяют данной
3
3
системе.
Ответ:

3
 2n, n  Z
8