Методичка по тригонометрическим уравнениям

Федеральное агентство по образованию
Нижегородский государственный педагогический университет
Тригонометрические уравнения,
неравенства, системы
Часть 1
Учебно-методическое пособие
для студентов факультета математики,
информатики и физики
Нижний Новгород
2008
Печатается
по
решению
редакционно-издательского
Нижегородского государственного педагогического университета
совета
Кузнецова Л.И.
Тригонометрические уравнения, неравенства, системы. Часть 1:
Учебно-методическое пособие
для студентов факультета математики,
информатики и физики. Н.Новгород: НГПУ, 2008, 56 с.
В пособии представлена тема «Тригонометрические уравнения»,
входящая в учебную дисциплину «Элементарная математика». В нем
содержится тематический план, основные теоретические положения о типах,
методах и приемах решения тригонометрических уравнений и способах
отбора корней, приведен список задач для индивидуальной работы.
Предназначено для студентов факультета математики, информатики и
физики, обучающихся по специальности «032100.00 – Математика с
дополнительной специальностью».
Рецензент: С.В. Кириллова, доцент кафедры теории и методики обучения
математике
Отв. за выпуск: Т.А. Иванова, доктор пед. наук, профессор кафедры теории
и методики обучения математике
3
Введение
Цель учебно-методического пособия по тригонометрии – оказание
помощи студентам факультета математики, информатики и физики в
усвоении раздела «Тригонометрия» из курса «Элементарная математика»,
так как отсутствие единого учебника, доступного студентам, в котором
содержались бы все необходимые сведения по тригонометрии, значительно
затрудняет изучение этого раздела. Пособие содержит систематизированный
материал по теории и по типам задач, методам, способам и приемам их
решения.
В
данном
пособии
представлена
первая
часть
темы
«Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений и
неравенств с одним неизвестным, системы уравнений с двумя и более
неизвестными». Учебно – методические пособия по первым двум темам –
«Преобразования тригонометрических выражений. Доказательство тождеств
и неравенств», «Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа» изданы соответственно в 2005 и в 2007 году (Н. Новгород: НГПУ, 2005, Н.
Новгород: НГПУ, 2007).
Пособие включает в себя примерный тематический план изучения
темы, требования к знаниям и умениям студентов, содержательную часть,
упражнения для индивидуальной работы, приложения и список
использованной литературы.
В содержательной части рассмотрены формулы записи корней
простейших тригонометрических уравнений и неравенств в общих и частных
случаях, выделены способы решения систем, состоящих из уравнений и
неравенств с одним неизвестным (способы отбора корней), методы решения
уравнений. Для способов отбора корней и методов решения уравнений
выделены последовательности составляющих их действий. Все
теоретические положения иллюстрированы примерами.
Методы и приемы решения, которыми должны овладеть студенты,
отмечены в тексте курсивом.
К каждому пункту пособия прилагается список задач для
индивидуальной работы. Все задачи имеют общую нумерацию и идут под
рубрикой «Упражнения». Задачи частично заимствованы из литературы,
частично составлены автором. В конце пособия даны ответы к задачам.
Для удобства в использовании формулы корней и свойства
тригонометрических функций вынесены в приложения.
Теоретический и задачный материал представлен в пособии в
достаточном количестве для организации индивидуальной работы студентов
на различных уровнях.
Поскольку данное учебно-методическое пособие является третьей
частью, продолжением пособия по тригонометрии, то в нем пункты имеют
двойную нумерацию (см. 3.1 – 3.3), а нумерации рисунков, упражнений и
приложения продолжают соответствующие нумерации второй части.
4
Примерный тематический план изучения темы
№
п/п
1
2, 3
4, 5,
6
7, 8,
9
Тема занятия
Решение простейших тригонометрических
уравнений и неравенств
Решение систем, состоящих из уравнения
или совокупности уравнений и неравенств
с одним неизвестным
Общие (стандартные) и специфические
методы решения тригонометрических
уравнений
Использование свойств функций в
решении тригонометрических уравнений
Число часов
лекционных
практич.
занятий
2
1
3
2
4
2
4
Требования к знаниям и умениям студентов
Цель изучения темы – формирование умений в решении
тригонометрических уравнений, в том числе и требующих отбора корней.
В результате изучения темы студент
знает
- способ получения формул корней простейших тригонометрических
уравнений и решений неравенств;
- сущность геометрического и аналитического способов решения систем
уравнений и неравенств с одним неизвестным;
- сущность методов разложения на множители и замены переменных
применительно к тригонометрическим уравнениям;
- способ решения однородных тригонометрических уравнений;
- сущность метода введения вспомогательного угла (аргумента);
- сущность метода рационализации при решении тригонометрических
уравнений;
- ситуации, в которых может быть использовано свойство ограниченности
синуса и косинуса;
- ситуации, в которых может быть использовано свойство монотонности
функции;
- возможности использования графического метода и его сущность;
5
умеет
- применять перечисленные выше методы и способы при решении
уравнений и систем, состоящих из уравнений и неравенств с одним
неизвестным;
имеет представление
- о решении уравнений типа f g x  f hx , где f x  и (или) g x и hx  тригонометрические функции;
- о решении уравнений типа f  f x  x , где f x  - тригонометрическая
функция.
6
Содержание темы
«Тригонометрические уравнения и неравенства»
3.1 Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
Уравнение (неравенство), в котором неизвестное находится под знаком
синуса,
косинуса,
тангенса
и
(или)
котангенса,
называется
тригонометрическим уравнением (неравенством).
Процесс решения тригонометрического уравнения состоит в
последовательной замене данного уравнения равносильными ему либо
уравнением, либо системой, либо совокупностью уравнений с одним
неизвестным.
При решении неравенств, как правило, используются два метода. Один
из них состоит в переходе от неравенства к равносильным ему неравенству,
системе или совокупности неравенств с одним неизвестным и получении
простейших неравенств. Второй именуется методом интервалов и, как часть,
включает в себя решение простейших уравнений.
Таким образом, решение любого тригонометрического уравнения или
неравенства сводится к решению простейших уравнений, неравенств, их
систем и совокупностей относительно одного неизвестного.
К простейшим относятся тригонометрические уравнения и неравенства
вида
t x   0 , t x   0 , t x   0 ,
где t есть синус, косинус, тангенс или котангенс. Их решение основано на
соответствующих определениях.
Процесс решения простейших уравнений и неравенств и запись ответов
отражены в таблицах, приведенных в приложениях 5 – 8.
К числу более сложных простейших уравнений и неравенств относятся
простейшие с усложненным аргументом, т.е. уравнения и неравенства вида
t  f x   a ,
t  f x  a ,
t  f x   a ,
где t есть синус, косинус, тангенс или котангенс, а f x  - функция любого
вида.
Очевидно, что такие уравнения и неравенства решаются как
простейшие, но сначала находится f x  , а затем решаются уравнения и
неравенства вида
f x    ,
f x    ,
f x    ,
  f x   
(в соответствии с заданными неравенствами производные неравенства могут
быть и нестрогими).
Если в тригонометрическом уравнении или неравенстве с левой частью
t  f x функция f x  не линейная, то решение предполагает исследование. В
таком случае получаем уравнение или неравенство с параметром.
7
Параметром, как правило, является число (например, n ) из множества целых
чисел. Значения n , дающие решения, находятся либо перебором, либо
решением неравенства.
3.2. Решение систем и совокупностей простейших уравнений и
неравенств с одним неизвестным
(Отбор корней при решении тригонометрических уравнений)
Существуют тригонометрические уравнения, в процессе решения
которых приходится осуществлять отбор корней. По своей сути отбор корней
равносилен решению системы или совокупности, в которые могут входить
уравнения и неравенства. При этом под неравенством имеется в виду два
выражения, соединенные одним из знаков  ,  ,  ,  ,  . Два выражения,
соединенные знаком  , в дальнейшем будем называть «уравнение с
зачеркнутым знаком равенства».
В практике решения уравнений используются два способа отбора
корней: геометрический и алгебраический. Геометрический способ основан
на понятиях числовой окружности и числовой прямой. Алгебраический –
либо на разбиении множества целых чисел на классы относительно
натурального числа – по остаткам, которые могут получиться от деления
целого числа на данное натуральное число, либо – на решении в целых
числах одного уравнения с двумя неизвестными (на решении диофантовых
уравнений). Мы будем использовать разбиение множества на подмножества.
Например, при делении целого числа на 3 могут получиться остатки
0, 1, 2 . Тогда множество всех целых чисел, делящихся на 3 без остатка и
дающих в остатке 1 и 2 , можно записать в виде соответственно
3m , m  Z , 3m  1, m  Z , 3m  2 , m  Z .
Полученные три множества не пусты, не пересекаются попарно и их
объединение составляет множество целых чисел Z .
Такие разбиения множества целых чисел легко получить по
отношению к любому натуральному числу. Для натурального числа k
подмножеств в разбиении будет k .
Рассмотрим на примерах несложных уравнений ситуации, в которых
приходится осуществлять отбор корней, и способы отбора корней.
Задача 1. Решить уравнения 1)
sin 3 x
sin x
 0 ; 2)
 0 ; 3) sin x  sin 3x  0 .
sin x
sin 3 x
Решение.
1) Уравнение
sin 3x  0,
sin 3 x
 0 равносильно системе 
sin x
 sin x  0.
Решим каждое тригонометрическое уравнение системы и получим
систему алгебраических уравнений:
а) sin 3x  0


 x  n, n  Z
в) 
3
 x  k , k  Z .
б) sin x  0
8
x  k , k  Z .
3 x  n, n  Z .
x

3
n, n  Z .
Замечания. 1. Несмотря на то, что во втором уравнении равенство
зачеркнуто, решаем сначала уравнение и только в системе записываем, чему
не равен x .
2. Множители у числа  разные в уравнениях а и б, т.к. это два
независимых друг от друга уравнения.

Теперь нужно из чисел вида
3
n, n  Z , выбрать те, которые не
совпадают с числами, представимыми в виде x  k , k  Z .
Отбор корней
Геометрический способ
Алгебраический способ
Отметим на числовой окружности,
например, точками числа, которые
являются
корнями
первого
уравнения.
Отметим, например, крестиками
(точками другого цвета) корни
другого уравнения (рис. 10)
В первом уравнении системы под
буквой в  умножается на дробное
число
. Из рассмотрения нужно
исключить такие значения n , при
k
n
является целым числом.
3
n
 k - целое
Если n  3k , то
3
которых
v

2
 2l
3
3
  2l
 2l
число.
Если
Если
0
n
1
k
- не
3
3
n  3k  2 , то
n
2
k
- не
3
3
является целым числом.
Никакие другие случаи здесь
невозможны.
Итак, решением системы являются
5
 2l
3
4
 2l
3
n  3k  1 , то
является целым числом.
2l
0
n
, во втором – на целое число
3

n , где n  3k , k  Z , n  Z .
3

Ответ. n , n  3k , k  Z , n  Z .
3
числа
Рис. 10
Выберем числа, которые отмечены
только точками.
Ответ можно записать разными
способами:
9


 x  3  k , k  Z ,

2
x 
 k , k  Z ,
3


либо x    k , k  Z .
3

Ответ.   k , k  Z .
3
Как видим, формы ответов получились разные, но очевидно, что корни
уравнения одни и те же при любом способе отбора.
2)
Уравнение
sin x
 0 равносильно системе
sin 3 x
 sin x  0,
которая, в

sin 3 x  0,
 x  k , k  Z ,
свою очередь, равносильна системе  

x
3
n, n  Z .
Отбор корней
Геометрический способ
Алгебраический способ
Первые два шага здесь те же, что и
Так как при n  3k , k  Z , число
при решении первого уравнения (см. n  k - целое, то множество чисел k ,
3
рис. 10).
На последнем шаге нужно выбрать k  Z , есть подмножество множества
числа, которые отмечены только чисел  n , n  Z . Система, а значит и
3
вторым способом (у нас крестиками).
уравнение, не имеет решений.
Таких чисел нет.
Ответ. Уравнение не имеет корней.
3)
Уравнение sin x  sin 3x  0 равносильно совокупности уравнений
 sin x  0,
sin 3x  0, т.е. совокупности уравнений

 x  k , k  Z ,


 x  n, n  Z .
3

Отбор корней
Геометрический способ
Первые два шага здесь те же, что и
при решении первых двух уравнений.
На последнем шаге нужно выбрать
числа, которые отмечены хотя бы
один раз
(либо точкой, либо
крестиком, либо и точкой и
крестиком).
Ответ.
Алгебраический способ
Так как множество чисел
k  Z , входит в множество чисел
nZ ,
то множество

n ,
3
k ,

3
n,
nZ
исчерпывает множество всех корней
уравнения.

n.
3
Ответ.
10

n.
3
 sin x  0,
sin 3x  0.
Задача 2. Решить систему уравнений 
 x  k , k  Z ,
Решение. Данная система равносильна системе  

x
3
n, n  Z .
Далее, как в задаче 1, отмечаем на числовой окружности разными способами
корни первого и второго уравнений (рис. 10), и выделяем числа, отмеченные
дважды – и тем, и другим способами.
Ответ. k , k  Z .
На основе задач 1 и 2 проследим последовательность действий при
геометрическом способе решения совокупности или системы двух
простейших тригонометрических уравнений (уравнения и уравнения с
зачеркнутым знаком равенства) с одним неизвестным с помощью числовой
окружности:
1) Изобразить числовую окружность.
2) Отметить на ней каким-нибудь способом (например, точками)
числа, являющиеся корнями первого уравнения.
3) Другим способом (крестиками, кружками, точками другого цвета)
отметить числа – корни второго уравнения.
4) Среди отмеченных выделить числа, отвечающие требованию
задачи:
а) если решается система уравнений и в одном из них знак равенства
зачеркнут, то выделить
числа, отмеченные только знаками корней
уравнения с незачеркнутым знаком равенства;
б) если не в одном из уравнений системы знак равенства не зачеркнут,
то выделить числа, отмеченные дважды – знаками корней и первого, и
второго уравнений;
в) если решается совокупность двух уравнений, то выделить числа,
отмеченные хотя бы одним способом.
5) Записать ответ.
Используя числовую окружность, можно решить не любую систему
или совокупность уравнений с одним неизвестным. Поэтому необходимо
искать и другие способы решения (отбора корней). Снова обратимся к
примеру.
Задача 3. Решить уравнение
cos 3x  1
 0.
2 sin 0,5 x  1
 cos 3x  1  0,
2 sin 0,5 x  1  0.
Решение. Данное уравнение равносильно системе 
Решая каждое уравнение, получим систему алгебраических уравнений:
cos 3x  1  0,
cos 3x  1,
2 sin 0,5 x  1,
sin 0,5 x  0,5
11


 x  3  4k , k  Z ,

5
x 
 4k , k  Z ,
3

3x    2n, n  Z ,
x
 2

 x  3  3 n, n  Z



 x   4k , k  Z
3

5
 x    4k , k  Z

3
 2

n, n  Z .
3 3
Решим полученную систему, т.е. осуществим отбор корней.
Геометрический способ
На
числовой
окружности
соответствует также числам

3
точка,
 2 ,

3
 4 ,
соответствующая

3
 2 ,

3
числу

3
,
 4 , … Из этих чисел
какие-то являются решениями уравнения, а какие-то следует исключить.
Значит, точки, соответствующие разным числам, требуется развести.
Поэтому используем числовую прямую (рис. 11).
4
0  
3
5 7 3
3
3
11
3
8
13 5 17  19  7 23
3
3
3
x
3
Рис. 11
Отметим на ней точками корни первого уравнения и крестиками корни
второго уравнения.
Замечаем, что на числовой оси можно выделить два полуинтервала 0; 4  и 4 ; 8  с одинаковым расположением корней. Корни на втором
полуинтервале получаются из корней, расположенных на первом
полуинтервале, прибавлением числа 4 .
Очевидно, что таким же будет расположение корней на всех других
полуинтервалах,
которые
получаются
из
полуинтервала
0; 4 
прибавлением 4k , k  Z , т.е. на полуинтервалах 4k; 4  4k , k  Z . Корни
на них получаются из корней полуинтервала 0; 4  прибавлением числа
4k , k  Z . Можно сказать, что полуинтервал 0; 4  есть полуинтервал –
образец в расположении корней. (Образцом является и полуинтервал 4 ; 8 
и, вообще, любой полуинтервал, имеющий длину 4 , если присоединить к
нему (в данном случае) правый конец).
12
Теперь действуем по аналогии с отбором корней на числовой
окружности: на полуинтервале 0; 4  выделим числа, которые отмечены
7
11
, 3 ,
. Они и являются
3
3
корнями уравнения (решениями системы) на полуинтервале 0; 4  . Тогда
7
 4k ,
решения на всей числовой оси можно записать в виде:   4k ,
3
11
 4k , k  Z .
3  4k ,
3
Корни
  4k и 3  4k можно представить одной формулой:
 2k  1, k  Z . Чтобы показать, что корни каждой из серий не зависят от
только точками. Таких чисел четыре:  ,
корней других серий, можно (но совсем необязательно) обозначить
множители у числа 4 разными буквами. Окончательно ответ выглядит так:
 2l  1, l  Z ;
7
 4n, n  Z ;
3
11
 4k , k  Z .
3
Итак, мы применили геометрический способ отбора корней. Однако
нам пришлось использовать не числовую окружность, а числовую ось, так
как на окружности мы не смогли создать картину распределения корней
уравнений.
Трудность в применении этого способа отбора корней состоит в
нахождении длины отрезка, определяющего полуинтервал – образец.
Назовем его отрезок – образец. В рассматриваемом примере длина этого
отрезка равна 4 . Установим, как можно было ее найти, не отмечая лишних
точек на числовой прямой для выявления закономерности.
Соседние корни первого уравнения отличаются друг от друга на
2
,
3
второго – на 4 . Если корень первого уравнения совпадает с корнем второго,
то следующее совпадение будет тогда, когда к корню прибавляется
2
, и на 4 . Найти это
3
число – значит найти наименьшие натуральные значения n и k , при которых
2
n  4k , т.е. равенство n  6k . Такими значениями
выполняется равенство
3
2
 6  4  1  4 - искомая длина. Фактически 4
являются k  1, n  6 . Тогда
3
- наименьшее общее кратное периодов функций y  cos 3x  1 и y  2 sin 0,5 x  1 .
наименьшее число, которое делится нацело и на
Таким образом, при отборе корней можно было сразу взять какойнибудь отрезок длины 4 (например, 0; 4  или  2 ; 2  или  4 ; 0 ,
обычно выбирается ближайший к началу отсчета), исключить один из его
концов, сделать отбор корней на полученном полуинтервале по аналогии с
тем, как это делали на числовой окружности, и к каждому из корней
прибавить 4l , l  Z .
Итак, пусть требуется решить уравнение, равносильное совокупности
или системе двух уравнений (среди знаков равенств могут быть и
зачеркнутые) с одним неизвестным. Корни первого уравнения записаны с
13
параметром n , второго – с параметром k . Выделим последовательность
действий при отборе корней с помощью числовой прямой:
1) Найти длину a отрезка – образца. Для этого
а) в выражениях для корней приравнять слагаемые, содержащие n и
k;
б) найти наименьшие натуральные значения n и k , при которых
выполняется полученное равенство;
в) подсчитать значение слагаемого, содержащего множитель n (или
k ) при найденном значении n ( k ); получится значение a .
2) Построить на числовой прямой отрезок длины a (например, так,
что один его конец или середина совпадает с началом отсчета), исключить
один из его концов.
3) Отметить на построенном полуинтервале разными способами
числа – корни первого и второго уравнений.
4) Среди отмеченных выделить числа, отвечающие требованиям
задачи (см. п. 4 в геометрическом способе отбора корней с помощью
числовой окружности).
5) Записать ответ: к каждому из корней, принадлежащих
полуитервалу – образцу, прибавить al , l  Z .
Заметим, что при геометрическом способе отбора корней
целесообразно всегда начинать с нахождения длины отрезка – образца. Это
дает возможность установить какую геометрическую модель необходимо
использовать: если 2 делится нацело на длину отрезка – образца, то
можно использовать как числовую окружность, так и числовую прямую; во
всех остальных случаях можно использовать только числовую прямую.
Алгебраический способ
Вернемся к системе в задаче 3. Она равносильна совокупности двух
систем:
 2

 x  3  3 n, n  Z ,
a) 

 x   4k , k  Z ,
3

 2

 x  3  3 n, n  Z ,
б) 
5
x 
 4k , k  Z .
3

Чтобы решить первую систему, нужно из множества чисел
исключить числа

3

3
 n, n  Z ,
 4k , k  Z . Это означает, что нужно найти такие
2

n и  4k равны, и изъять их.
3
3
3
 2

Другими словами, нужно решить уравнение  n   4k , где n  Z , k  Z ,
3
3
3
и найденные значения n исключить из множества целых чисел в выражении
 2

n, n  Z .
3
3
значения n , при которых выражения

14

Как видим, у нас уравнение одно, а неизвестных два - n и k . Такое
уравнение имеет бесконечное множество решений. Помним, что нас
интересуют только целые значения n и k . После несложных упрощений
получим уравнение n  6k . Это означает, что каждому целому значению k
соответствует целое значение n . Числа вида n  6k и нужно исключить из
множества целых значений n .
Таким образом, для первой системы получаем:
x
Решая аналогично

3

2
n, n  6k , k  Z , n  Z .
3
вторую систему, находим x 
k  Z , n  Z.
Ответ.

3


3

2
n, n  6k  2,
3
2
n, n  6k , n  6k  2, k  Z , n  Z .
3
Задача 4. Решить алгебраическим способом следующие системы и
совокупность:
 cos 3x  1  0,
a) 
2 sin 0,5 x  1  0;
 cos 3x  1  0,
б) 
2 sin 0,5 x  1  0;
 cos 3x  1  0,
в) 
2 sin 0,5 x  1  0.
Решение. Используем результаты, полученные в процессе решения
задачи 3.
а) Данная система равносильна системе алгебраических уравнений
 2

x


n, n  Z ,

3
3



 x   4k , k  Z ,
3

5
 x    4k , k  Z .

3
 2

5 2


n   4k , n  Z , k  Z ,

n   4k , n  Z , k  Z ,
Равенства
3
3
3
3
3
3
выполняются при n  6k и n  6k  2 соответственно. Следовательно,

5
 4k , k  Z входят в множество чисел
множества чисел  4k , k  Z и
3
3
 2

, n  Z . Значит, система не имеет решения.
3
3
б) Система тригонометрических уравнений равносильна системе
алгебраических уравнений
 2

1
 x  3  3 n, n  Z ,



2
 x   4k , k  Z ,
3

 x  5  4k , k  Z .
3

3
Корни уравнений 1 и 2 совпадают при n  6k , а уравнений 1 и 3 при n  6k  2 .
15
2

n   4k , k  Z .
3
3
3
5 2
5

n
 4k , k  Z .
Если n  6k  2 , то
3
3
3

5
Следовательно, x   4k , x   4k , k  Z , и есть решение системы.
3
3
Если n  6k , то


в) Заданная совокупность уравнений равносильна совокупности трех
алгебраических уравнений 1 - 3 . Множества

 4k и
5
 4k , k  Z ,
3
3
 2
являются подмножествами множества чисел  , n  Z . Следовательно,
3
3
 2
x 
, n  Z , есть решение совокупности.
3
3

5
 2
 4k , k  Z ; в) 
, n  Z.
Ответ. а) нет решения; б)  4k ,
3
3
3
3
В задачах 3 и 4 каждое из уравнений с двумя неизвестными с целыми
коэффициентами решалось в целых числах довольно легко, т.к. одно
неизвестное сразу выражалось через другое ( n  6k и n  6k  2 ). Так бывает не
всегда. Рассмотрим другие примеры.
Задача 5. Решить уравнение
3
cos x
2  0.
sin 5 x
3

cos x  0,
Решение. Данное уравнение равносильно системе  2
 sin 5 x  0.
Решим ее:
3
1) cos x  0,
2
2) sin 5 x  0,
3

x   n, n  Z ,
2
2
x

3

2
n, n  Z .
3
 2

 x  3  3 n, n  Z ,
3) 

 x  k,
k  Z.
5

5 x  k , k  Z ,
x

5
k, k  Z.
Решим систему 3 (произведем отбор корней) алгебраическим
способом. Для этого приравняем выражения для x из системы и упростим
2

n  k , n  Z , k  Z ; 5  10n  3k , n  Z , k  Z .
3
3
5
Теперь нужно найти такие значения n , при которых число 5  10n
делится на 3 . Делимость числа 5  10n на 3 зависит от делимости числа n на
3 . Множество целых чисел n по отношению к числу 3 по остаткам от
деления целого числа на 3 можно разбить на три класса – множества чисел,
записанных по формулам: 3l , 3l  1, 3l  2, l  Z . Рассмотрим каждое из этих
полученное уравнение:
множеств.
Если


n  3l , l  Z ,
то 5  10n  5  30l - не делится на 3 .
16
n  3l  1, l  Z , то 5  10n  15  30l - делится на 3 , 3k  15  30l ,
Если
k  5  10l .
n  3l  2, l  Z , то 5  10n  25  30l - не делится на 3 .
Если
Итак, для любого целого числа l существует пара целых чисел:
n  3l  1, k  5  10l , которая является решением уравнения 5  10n  3k , т.е.
2

n  k , n  Z , k  Z . Нам нужно чтобы равенство
3
3
5
не имело места. Значит, значения n  3l  1, l  Z , нужно исключить из
 2
 2
множества  n . Получим ответ:  n, n  3l  1, l  Z , n  Z .
3
3
3
3
 2
 2


 x  3  3 n, n  Z ,
 x  3  3 n, n  Z ,
Задача 6. Решить системы: a) 
б) 


 x  k, k  Z;
 x  k, k  Z.
5
5


Решение. a ) Правые части равенств совпадают при n  3l  1,
решением уравнения


k  10l  5, l  Z . Значит, x 

5
k , k  10l  5, l  Z , k  Z , есть решение системы.
Правые части равенств совпадают при
б)
k  10l  5, l  Z . Значит, x 
системы.
Ответ. a ) x 

5

5
10l  5 , т.е.
n  3l  1 ,
x    2l , l  Z , есть решение
k , k  10l  5, l  Z , k  Z ;
б ) x    2l , l  Z .
3
2
Задача 7. Решить уравнение cos x  sin 5 x  0.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности cos 2 x  0,

3
 sin 5 x  0.
Следовательно решением уравнения является объединение двух множеств
 2

 x  3  3 n, n  Z ,
корней 
При n  3l  1, k  10l  5, l  Z , корни совпадают. Так,

 x  k, k  Z.
5

 2
 2
если n  3l  1, то  n   3l  1    2l , l  Z . Эти же числа являются
3
3
3
3
и корнями второго уравнения при k  10l  5, l  Z . Чтобы каждый корень
уравнения был записан в ответе только один раз, нужно исключить общие
корни либо из первого, либо из второго множества.
Ответ.
l  Z, n  Z,

5

3

2

 2
n, n  Z , k , k  10l  5, l  Z , k  Z (или 
n, n  3l  1,
3
5
3
3
k , k  Z ).
17
Замечания
1) Уравнение можно записать в виде 10n  3k  5 и искать такие
значения k , при которых 3k  5 делится на 10 . Для этого необходимо
рассмотреть 10 классов, на которые можно разбить множество целых чисел
k , что требует больших затрат времени. Таким образом, решение линейного
уравнения в целых числах будет короче, если на первом шаге из него
выразить неизвестное с меньшим коэффициентом.
2) Если в уравнении ax  by  c с целыми коэффициентами a, b, c числа
a и b имеют общий делитель, отличный от единицы, который не является
делителем числа c , то уравнение не имеет решений в целых числах.
3) Существуют и другие способы решения уравнения с двумя
неизвестными в целых числах. Мы на них не останавливаемся.
Подведем итог решению задач 3 - 7. Пусть требуется решить уравнение,
равносильное совокупности или системе двух уравнений (среди знаков
равенств могут быть и зачеркнутые) с одним неизвестным. Корни первого
уравнения записаны с параметром n , второго – с параметром k . Выделим
последовательность действий при отборе корней алгебраическим
способом на основе решения одного уравнения с двумя неизвестными:
1) Приравнять выражения для корней первого и второго уравнений.
2) Решить в целых числах полученное уравнение с неизвестными n и k :
найти значения n и k как функции некоторого параметра.
3) Записать ответ:
а) если решается система уравнений и знак равенства, например,
во втором уравнении, зачеркнут, то нужно записать ответ
первого уравнения и исключить те значения n , которые являются
решениями уравнения с двумя неизвестными (полученными в п. 2));
б) если решается система уравнений, среди которых нет
уравнений с зачеркнутым знаком равенства, то нужно записать
ответ первого (или второго) уравнения для тех значений n
(соответственно k ), которые получены в пункте 2);
в) если решается совокупность уравнений, то нужно записать в
ответе корни и первого, и второго уравнений и исключить либо
значения n , либо значения k , полученные в п.2.
Отбор корней приходится осуществлять и в тех случаях, когда
требуется найти корни, удовлетворяющие заданному условию.

1
Задача 8. Найти корни уравнения sin  x     а) принадлежащие

7
2
1
3
отрезку   ;  ; б) являющиеся решениями неравенства cos 2 x  .
2
2

Решение.
а) Решить данную задачу – значит решить систему
18
 

1
sin  x  7    2 ,

 
    x  3 ,

2
состоящую из уравнения и двойного неравенства.

1

sin  x     ,
7
2



x


 2n, n  Z ,

42

29
 x     2n, n  Z .
42

Решим сначала уравнение:



x



 2n, n  Z ,

7
6
 
5
x   
 2n, n  Z ,
7
6

Так как с корнями уравнения предстоит еще работать, то они записаны
двумя сериями.
Далее заменим систему уравнений равносильной ей совокупностью
двух систем:


 x   42  2n, n  Z ,

3

  x 
2

или
29

 x   42  2n, n  Z ,

3

  x 
.
2

При решении систем можно использовать разные способы.
Способ 1. Перебирая значения n из множества целых чисел согласно
здравому смыслу и пользуясь монотонностью функции xn  , отобрать те
значения x (корни), для которых выполняется заданное условие. При этом
если условие определяется каким-либо промежутком для x , то его часто
бывает удобно изобразить на числовой оси или числовой окружности.
Так здравый смысл подсказывает, что в данных системах удобно
начать перебор с n  0.
Для первой системы имеем:
если n  0, то x  

,
  

42
42
41
3
если n  1, то x  1    ,
42
2
1
если n  1, то x  2    .
42
Поскольку функция x  

3
,
2

42
 2n возрастает, то при n  1 получаем
3
xn   , если же n  1, то x n   .
2
Таким образом, из первой серии корней только значение 

42
удовлетворяет заданному условию.
Проводя аналогичные рассуждения для второй системы, находим еще
два подходящих корня: 
29
55
 и
.
42
42
19
Способ 2. В неравенство вместо x подставить его выражение через
n (корни) и решить полученное неравенство относительно n , n  Z . При
найденных n подсчитать значения x .
Для данных систем получим следующие решения:
  


42
 2n 
29
3
 2n 
,
42
2
13
23

 n  , n  Z.
84
21
3
,
2
  
41
16
 n  , n  Z.
84
21
n  0,
x

42
n  0, n  1,
29
55
x
, x
.
42
42
.
б) Решение задачи состоит в решении системы
 

1
sin  x  7    2 ,

 
 cos 2 x  1 ,

2
которая приводится к виду
 

  x   42  2n, n  Z ,
 
29
  x     2n, n  Z ,
42
 

  k  x    k , k  Z .
6
 6
Подставлять далее в неравенство вместо x выражения для корней
нецелесообразно, т.к. получаются двойные неравенства с двумя
неизвестными. Поэтому будем искать отрезок, определяющий интервал –
образец в расположении корней уравнения и решений неравенства.
Любые два соседних корня как в первой, так и во второй сериях
отличаются на 2 . Два соседних множества решений неравенства
отличаются на  . Следовательно, отрезок – образец в расположении корней
и решений имеет длину 2 .
Так как решения неравенства повторяются через  , то на отрезке
длиной 2 расположатся два интервала – множества решений неравенства.
Получим их, например, при k  0 и k  1 : 

6
x

6
и
5
7
x
.
6
6
Теперь можно найти корни уравнения, принадлежащие выбранным
промежуткам, так же, как в задаче 8, а. Это можно сделать и геометрически с
помощью числовой окружности или числовой прямой. Решение на основе
числовой окружности показано на рисунке 12.
20
v

6
5
6

0
7
6


29
42

u

42
6
Рис. 12
Видим, что требованию задачи отвечает только один корень 

42
.
Чтобы получить все корни, удовлетворяющие требованию задачи,
прибавим 2l , l  Z , и получим ответ 
Ответ. а) 

42
; 
29
;
42

42
 2l , l  Z .

55
; б)   2l , l  Z .
42
42
На основе задачи 8, б выделим последовательность действий при
решении системы, состоящей из тригонометрического уравнения и
тригонометрического неравенства с одним неизвестным:
1) Решить уравнение и неравенство системы.
2) Найти длину a отрезка – образца (см. п. 1 в последовательности
действий при отборе корней с помощью числовой прямой).
3) Найти на отрезке длины a промежутки – решения неравенства.
4) Найти
корни
уравнения,
принадлежащие
выделенным
промежуткам (см. способы 1 и 2, описанные при решении задачи 8,
а, или геометрически).
5) Записать ответ: к каждому из найденных в п. 4 корней прибавить
al , l  Z .
Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать следующие
выводы.
Процесс решения систем простейших уравнений и неравенств,
совокупностей уравнений есть по сути дела отбор корней – значений
неизвестного, удовлетворяющих условиям, заданным в системе или
совокупности. Отбор может осуществляться либо геометрическим, либо
алгебраическим способом.
Геометрический способ основан на отыскании длины отрезка – образца
в расположении корней уравнений или решений неравенств, и на выборе
этого отрезка и отборе корней на нем.
21
Алгебраический способ осуществляется на основе разбиения
множества целых чисел на классы по остаткам от деления целых чисел на
некоторое натуральное число, на решении в целых числах линейного
уравнения с двумя неизвестными, на решении линейных неравенств.
В пункте выделены последовательности действий при каждом из
перечисленных здесь способе отбора корней (решения систем и
совокупностей).
При решении уравнения отбор корней приходится осуществлять в
случаях, когда оно равносильно системе уравнений и неравенств или
совокупности уравнений. Например,
- если областью определения уравнения служит не все множество
действительных чисел (неизвестное содержится в знаменателе дроби,
присутствует тангенс и (или) котангенс, в комбинированных уравнениях
тригонометрическое выражение содержится под корнем четной степени или
под знаком логарифма и т.д.);
- левая часть уравнения представляет собою произведение нескольких
множителей, зависящих от x ;
- требуется найти корни, удовлетворяющие некоторому заданному
условию.
Приведенные здесь и другие ситуации будут встречаться в
последующих пунктах и при выполнении упражнений.
3.3. Методы решения тригонометрических уравнений
В практике решения уравнений можно выделить аналитический,
функциональный и графический методы. Среди аналитических наиболее
распространены методы разложения на множители, замены переменных
(введение нового неизвестного), рассмотрение уравнения как однородного
относительно двух выражений. Функциональный метод основан на
использовании свойств функций (ограниченность или конечность области
определения или множества значений, четность, монотонность и др.).
Графический метод состоит в построении графиков функций и нахождении
абсцисс нужных точек.
Все перечисленные методы применяются и при решении
тригонометрических уравнений. В то же время, в тригонометрических
уравнениях, так же как и в других типах уравнений, есть и своя специфика,
свои методы и приемы.
Рассмотрим общие и специфические методы и приемы применительно
к тригонометрическим уравнениям.
3.3.1. Метод разложения на множители.
С
помощью
равносильных
преобразований
выражений
тригонометрическое уравнение f x   0 может быть приведено к виду
f1 x   f 2 x     f n x   0 .
22
На области определения исходного уравнения полученное уравнение
равносильно совокупности:
f1 x  0 или f 2 x  0 … или f n x   0 .
Объединение корней уравнений этой совокупности, входящих в область
определения исходного уравнения, и есть его решение.
x
4
x
4
Задача 9. Решить уравнение 2 cos  3tg x  6 cos tg x  1 .
Решение. Перенесем слагаемые из правой части в левую, выполним
группировку и вынесение общих множителей за скобки. Уравнение примет
вид 1  3 tg x   2 cos  1  0 .

x
4

Учитывая область определения уравнения, получим равносильную ему
систему:


 x  2  n, n  Z ,

 cos x   1 ,
 
4
2
 
1
  tg x 
,
 
3


x

 n, n  Z ,

2

 x  3  8k , k  Z ,


 x  6  m, m  Z .

или,
Очевидно, что найденные корни совокупности уравнений входят в
область допустимых значений исходного уравнения, т.е. для них
выполняется условие x 

2
 n, n  Z . Кроме того, серии корней не имеют
пересечения. Поэтому в ответе будет две серии корней.

Ответ.  3  8k , k  Z ,
6
 m, m  Z .
Замечание. Каждая серия корней тригонометрического уравнения, как
правило, представляет собою функцию натурального аргумента, который
обозначается буквами n, k , m,  . Если не в одной из серий никакие
аргументы не исключаются (не было необходимости в отборе корней), то при
записи ответа можно использовать как разные буквы – обозначения
аргумента, так и одну и ту же букву. Так, в задаче 9 ответ можно было
записать и в виде  3  8k ,

6
 k , k  Z .
Если же в какой-то серии корней некоторые значения аргумента
требуется исключить, то для записи ответа в этой серии корней используется
другая буква, чем в остальных сериях.
В задаче 9 применялись алгебраические способы разложения
многочлена на множители – группировка и вынесение общего множителя за
скобки. Для разложения тригонометрического выражения на множители
могут применяться и формулы тригонометрии (преобразование суммы в
произведение, формула синуса двойного угла, понижение степени и другие) а
также комбинации тригонометрических и алгебраических преобразований.
23
Задача 10. Решить уравнение ctg 2 x  ctgx  2ctg 4 x .
Решение. Применим формулу разности котангенсов (50 в Приложении
3), перенесем слагаемое из правой части в левую и выразим котангенс через
синус и косинус по определению. Получим уравнение:
 sin x
cos 4 x

 0.
sin x sin 2 x sin 2 x cos 2 x
Область определение исходного и полученного уравнений x  R, x 

4
n, n  Z .
Выполним сокращения в первом слагаемом и умножим обе части уравнения
на  sin 2x cos 2x . Получим уравнение, равносильное исходному в его области
определения, т.е. получим систему:


 x  n, n  Z ,
4

cos 2 x  cos 4 x  0.
Преобразуем сумму косинусов в произведение, получим уравнение
2 cos 3x cos x  0, которое равносильно совокупности cos x  0 или cos 3 x  0,
откуда находим x 

6


3
k, k  Z
или x 

2
 l , l  Z .
Окончательно имеем систему:


 x  4 n, n  Z ,

 

 x   k , k  Z ,
6 3



 x  2  l , l  Z .


Решением системы служит множество   n, n  Z .
6

Ответ.   n, n  Z .
6
Итак, при решении тригонометрических уравнений применим метод
разложения на множители. Последнее производится и общими
алгебраическими методами, и с помощью самых разных формул
тригонометрии.
3.3.2. Метод замены переменных.
Если в уравнении f x   0 левая часть f x  представляет собою
функцию от некоторого тригонометрического выражения, то
целесообразно заменить это выражение новой переменной, решить
полученное уравнение, затем решить совокупность тригонометрических
уравнений, заменив новую переменную ее значениями, найденными при
решении уравнения.
Выделим замены, которые при решении тригонометрических
уравнений встречаются достаточно часто.
24
1. Если f x  в уравнении f x   0 есть функция от sin  x ( cos  x ,
tg  x  , ctg  x  ), то используется замена sin  x  t ( cos  x  t , tg  x  t ,
ctg  x  t ).
x
2
Задача 11. Решить уравнения а) 3 sin 2 2 x  sin 2 x  2  0 ; б) 3tg 3 



3  2 tg 2


x
x
 2  3 tg  3  0 ; в)
2
2
6 cos x  1  4 cos x  2  8 cos x  2 cos x  3 .
Решение. а) Сделаем замену sin 2 x  y , получим квадратное уравнение
3 y 2  y  2  0 , которое имеет корни  1 и
2
. Исходное уравнение равносильно
3
совокупности
2
.
3
 1k arcsin 2   k , k  Z .

Находим корни этих уравнений:   n, n  Z или
2
3 2
4
sin 2x  1
или
sin 2 x 
б) Данное уравнение равносильно системе
x

 y  tg ,
2

 3 y 3  3  2 y 2  2  3 y  3  0.





Нетрудно установить, что второе уравнение имеет корни 1 , 3 , 
1
3
.
Тогда система равносильна совокупности
 x
 tg 2  1,

 tg x  3 ,
 2

 tg x   1 ,
 2
3


 x  2  2n, n  Z ,

 x  2  2k , k  Z ,

3

 x     2l , l  Z .
3

или,
Объединение второй и третьей серий корней можно записать одной


3
2
формулой x    k , k  Z . Тогда в ответе будет две серии:


3
 2n, n  Z и
 k , k  Z .
в)
замену
,
получим
уравнение
cos x  t
6t  1  4t  2  8t  2t  3 . Решая это иррациональное уравнение, находим
корень t 
Сделаем
1
1
. Исходное уравнение равносильно уравнению cos x  . Оно
2
2
имеет корни 

3
 2n, n  Z .
Ответ. а) 


3

 k , k  Z ; в) 
4

3
 n, n  Z ,
 1k arcsin 2   k ,
2
3
 2n, n  Z .
25
2
k  Z ; б)

2
 2n, n  Z ,
2. Уравнение вида f sin  x  cos  x, sin  x  cos  x решается с
помощью замены sin  x  cos  x  t.
Если sin  x  cos x  t , то sin 2  x   2 sin  x cos  x   cos 2  x   t 2 и
sin  x  cos  x   
t 2 1
.
2
Вместо произведения sin  xcos  x в уравнении часто присутствует sin 2 x ,
что практически то же самое


sin 2 x    t 2  1 .
Задача 12. Решить уравнение 2  2 cos x  3sin x cos x  2 sin x.
Решение. Переносим все слагаемые в одну часть, приводим уравнение
к виду
3s ix cn ox s 2s ix 
n c ox s 2  0. Сделаем замену: sin x  cos x  t ,




1
3
1  t 2 . Получим уравнение 1  t 2  2t  2  0 , которое приводится
2
2
1
к виду 3t 2  4t  1  0 и имеет корни
и 1 . Тогда исходное уравнение
3
sin x cos x 
равносильно совокупности двух уравнений:
sin x  cos x 
1
3
или sin x  cos x  1.

Учитывая, что sin x  cos x  2 sin  x   , найдем их корни.


4
2

 k , x   2k , x    2k , k  Z .
4
6
2

b
b2 
3. Уравнение вида f  at  , a 2 t 2  2   0 , где t либо синус, либо
t
t 

Ответ.
  1 arcsin
k
косинус, либо тангенс, либо котангенс, решается с помощью замены
at 
b
 y.
t
b
t
Если at   y , то a 2 t 2 
b2
 y 2  2ab , и уравнение приводится к
t2
квадратному относительно y .
1
1
 4 cos 2 x 
6.
cos x
cos 2 x
1
1
 t , тогда 4 cos 2 x 
 t2  4 .
Решение. Сделаем замену 2 cos x 
cos x
cos 2 x
Получим уравнение t  t 2  4  6 , или t 2  t  2  0 . Оно имеет корни  1 и 2 .
Задача 13. Решить уравнение 2 cos x 
Исходное уравнение равносильно совокупности
1
1
 1 или 2 cos x 
 2.
cos x
cos x
Сделаем еще одну замену: cos x  y . Уравнения примут вид
1
1
2 y   1 или 2 y   2 .
y
y
2 cos x 
26
Корни первого уравнения  1 и
1 3
1
, второго . Исходное уравнение
2
2
равносильно совокупности
1 3
2
1 3
.
2
Последнее уравнение корней не имеет. Первые три дают корни x    2n,
cos x  1 или
x

cos x 
1
2
или cos x 
или cos x 
1 3
 2n, n  Z .
2
3
1 3

 2n, n  Z .
Ответ.   2n,   2n,  arccos
2
3
 2n, x   arccos
3.3.3.Метод деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее
неизвестное. (Решение однородных уравнений).
Деление обеих частей уравнения на выражение с неизвестным, вообще
говоря, операция недопустимая, поскольку она может привести к потере
корней. Однако существуют уравнения, при решении которых это
преобразование неизбежно, но оно приводит к уравнению, равносильному
исходному. К таким относятся однородные уравнения.
Определение. Уравнение вида
a0 sin n x  a1 sin n 1 x cos x  a 2 sin n  2 cos 2 x    a n cos n x  0,
3.1
где a0 , a1 ,, an - вещественные числа и сумма показателей степеней у sin x и
cos x в каждом слагаемом равна n , называется однородным степени n
относительно sin x и cos x .
Очевидно, что вместо x под знаками синуса и косинуса может стоять
f x  .
Методы решения однородных уравнений:
- если в уравнении 3.1 a0  0 или an  0 , то оно решается методом
разложения на множители;
- если в уравнении 3.1 a0  0 , то оно равносильно уравнению
a 0 tg n x  a1 tg
n 1
x    a n 1 tg x  a n  0,
3.2
метод решения которого рассмотрен в п.3.3.2.
Докажем справедливость второго утверждения.
Уравнение 3.2 получается из уравнения 3.1 делением на cos n x .
Предположим, что cos x  0 . После подстановки нуля вместо cos x в уравнение
3.1 имеем: a0 sin n x  0 . Так как a0  0 , то sin n x  0 , т.е. sin x  0 . Синус и
косинус одного и того же аргумента не могут равняться нулю в силу
тождества sin 2 x  cos 2 x  1. Следовательно, предположение о том, что cos x  0 ,
неверно. Тогда cos x  0 и обе части уравнения 3.1 можно поделить на cos n x ,
получим уравнение 3.2 , равносильное уравнению 3.1 .
Проблемы, которые возникают при решении однородных уравнений,
связаны как раз с объяснением равносильности перехода от уравнения 3.1 к
27
уравнению 3.2 . Часто в работах учащихся, абитуриентов и студентов можно
видеть такую запись:
4 sin 2 x  5 sin x cos x  6 cos 2 x  0
| : cos 2 x  0,
4 tg 2 x  5 tg x  6  0.
Что означает запись
в мыслях решающего, понять нельзя – то
: cos 2 x  0
ли он не хочет, чтобы cos 2 x был равен нулю, то ли cos 2 x не может, то ли не
должен равняться нулю. И вопрос: на что осуществляется деление?
Покажем возможные варианты объяснений на примерах.
Задача 14. Решить уравнение а) 3 sin x cos x  sin 2 x ; б) 3 sin 2 x  8 cos 2 x  1 ;
в) 2 sin 3 x  3 sin 2 x cos x  2 sin x cos 2 x  3 cos 3 x  0 .
Решение. а) Перепишем уравнение в виде sin 2 x  3 sin x cos x  0 . Имеем
однородное уравнение второй степени. Так как коэффициент при cos 2 x
равен нулю, то оно решается методом разложения на множители:


sin x sin x  3 cos x  0,
sin x  0 или sin x  3 cos x  0 .
Корни первого уравнения x  n, n  Z . Второе уравнение – однородное
уравнение первой степени. В этом уравнении cos x  0 , т.к. в противном
случае и sin x  0 , но sin x и cos x одновременно нулю равняться не могут.
Поэтому поделим обе части на cos x , получим уравнение tg x  3  0 ,

равносильное исходному. Корни этого уравнения - x   k , k  Z .
3
б) Применим формулу синуса двойного угла и представим 1 как
2
sin x  cos 2 x , перенесем все слагаемые в одну часть, получим уравнение
sin 2 x  6 sin x cos x  7 cos 2 x  0.
Это уравнение однородное второй степени относительно sin x и cos x .
Проверка показывает, что cos x  0 не является корнем данного уравнения.
Поэтому поделим обе части уравнения на cos 2 x , получим уравнение
tg 2 x  6 tg x  7  0,
равносильное данному. После замены tg x  t получим уравнение t 2  6t  7  0 ;

t  1 и t  7 - его корни. Тогда x    n , n  Z и x  arctg 7  k , k  Z - корни
4
исходного уравнения.
в) Данное уравнение – однородное третьей степени относительно sin x
и cos x . Так как в этом уравнении коэффициент при sin 3 x не равен нулю, то
оно равносильно уравнению
2 tg 3 x  3 tg 2 x  2 tg x  3  0.
Сделаем замену tg x  y , получим уравнение 2 y 3  3 y 2  2 y  3  0 ,

3
2
которое имеет корни  1 ,  1 ,  . Тогда x    l или x  arctg 1,5  l , l  Z .
Ответ. а) n,
 arctg 1,5  l , l  Z .

3
 n, n  Z ;
б) 

28
4
4
 n, arctg 7  n, n  Z ; в) 

4
 l ,
К
однородному уравнению легко свести уравнение вида
a sin x  b cos x  c . Возможны два способа.
Первый способ. Воспользуемся формулами синуса и косинуса
двойного угла и основным тригонометрическим тождеством. Получим:
x
x
x
x
x
x


cos  b cos 2  sin 2   c sin 2  cos 2  , или ,
2
2
2
2
2
2


b  c sin 2 x  2a sin x cos x  c  b  cos 2 x  0 .
2
2
2
2
2a sin
Второй способ. Возведем обе части уравнения в квадрат, запишем
c в виде c 2 sin 2 x  cos 2 x  , все слагаемые перенесем в одну часть, приведем
подобные слагаемые. В результате получим однородное уравнение второй
степени: a 2  c 2 sin 2 x  2ab sin x cos x  b 2  c 2 cos 2 x  0 .
Заметим, что возведение обеих частей уравнения в квадрат может
привести к приобретению корней. Поэтому решение уравнения
завершается проверкой.
2
3.3.4. Метод введения вспомогательного аргумента.
Метод применяется при решении уравнений вида a sin x  b cos x  c .
Пусть для уравнения выполняются условия a  0, b  0, c  0 . В
противном случае имеем простейшее уравнение или однородное уравнение
первой степени. Способы их решения известны.
Данное уравнение равносильно уравнению
sin x    
c
где sin  
,
b
a b
a b
(см. формулу 15 из главы I, пункт 1.2.7).
Если
2
c
a b
2
2
2
2
2
, cos  
a
a b
2
2
, или tg   . 3.3
b
a
 1 , т.е. c 2  a 2  b 2 , то уравнение имеет корни
b
c

 2n, n  Z ,
 x  arctg a  arcsin
2
2
a

b


b
c
 2n, n  Z .
 x  arctg    arcsin
a
a2  b2

Если же c 2  a 2  b 2 , то уравнение корней не имеет.
Замечания.
1. По формуле 15 уравнение можно привести к простейшему
относительно косинуса:
cosx    
c
a2  b2
, где sin  
a
, cos  
b
, или tg   . 3.4
a
b
a2  b2
a2  b2
2. Запоминать формулы 3.3 и 3.4 нет необходимости. Гораздо проще
все действия выполнить последовательно.
29
Задача 15. Решить уравнение 3 sin 5x  cos 5x   3 .
Решение. Поделим обе части уравнения на a 2  b 2  3  1  2 . Получим
3
1
3
3

1

sin 5 x  cos 5 x  
 sin , т.е.
 cos ,
. Замечаем, что
2
2
2
2
6
2
6


3

3
имеем уравнение sin 5 x cos  cos 5 x sin  
, или, sin  5 x    
.
6
6
2
6
2

 2n
 2n
x 
, n  Z,
x 
, n  Z.
30
5
10
5
 2n
 2n
,  
, n  Z.
Ответ.  
30
5
10
5
уравнение
3.3.5. Метод рационализации.
Уравнение относительно синуса, косинуса, тангенса и (или)
котангенса одного и того же аргумента можно привести к
рациональному уравнению относительно тангенса половинного
аргумента с помощью формул 13 , 17 , 18 , 2 (см. Приложение 1). При этом
следует помнить, что перечисленные формулы – не абсолютные
тождества. Они приводят к сужению области определения уравнения и,
следовательно, могут привести к потере корней. Чтобы этого не
произошло, необходимо проверять, не являются ли корнями те значения
неизвестного, которые «выпали» из области определения при
применении формул.
Решим данным методом уравнение из задачи 15: 3 sin 5x  cos 5x   3 .
Используя формулы 17 и 18 , получим уравнение
5
x
1  tg 2
2
3

2 5
1  tg
x 1  tg 2
2
2 tg
5
x
2  3.
5
x
2
Область определения исходного уравнения - x  R , полученного - x  R,
x


2n
, nZ
5
.
Следовательно,
5
 2n

, n  Z . Сделаем проверку:
5
5
могут
быть
потерянными
  2n 
  2n 
3 sin 5 
  cos 5 

5 
5 
5
5
 3 sin   2n   cos  2n   3  0   1  1   3 . Вывод: числа
не являются корнями исходного уравнения.
После
тождественных
преобразований




5
5
1  3 tg 2 x  2 3 tg x  1  3  0 , из которого
2
2
5
tg x  3  2 .
2
30
получим

5

корни
2n
, nZ ,
5
уравнение
5
находим: tg x  1 или
2
Таким образом, уравнение вида a sin f x  b cos f x  c можно решить,
как минимум, четырьмя способами (см. конец пункта 3.3.2 и два способа
решения задачи 15).
8
3
Задача 16. Решить уравнение tg 2 x  sin 2 x  ctg x .
Решение. Область определения уравнения: x  R, x 

4

n
2
, n  Z , x  k ,
k Z .
Пользуясь известными формулами, преобразуем уравнение к виду
tg x
tg x
4


.
2
2
1  tg x 1  tg x 3 tg x
К имеющимся ограничениям в области определения добавляется еще одно x

2
 l , l  Z . Значит, корни вида

2
 l , l  Z , могут быть потеряны.
Поэтому сделаем проверку.
Если x 

2
 l , l  Z , то tg 2x  sin 2x  tg   2l   sin   2l   0,
8
ctg x 
3

8


 ctg   l   0 . Следовательно,  l , l  Z , - корни уравнения.
2
3
2

Систематизируя приведенные выше рассуждения и упрощая уравнение
относительно tg x , получим следующую совокупность:

 
 x  R, x  4  2 n, n  Z , x  k , k  Z ,

4
2
2 tg x  3 tg x  2  0,

 x    l , l  Z .

2
Биквадратное уравнение относительно тангенса имеет корни
Очевидно, что корни уравнений tg x 
1
2
и tg x  
1
2

1
2
.
принадлежат области
определения исходного уравнения. Тогда решением совокупности является
объединение множеств x   arctg
Ответ.  arctg
1
2
 n,

2
1
2
 n, n  Z и x 

2
 l , l  Z .
 n, n  Z .
Итак, решая уравнение методом рационализации, необходимо помнить,
что в процессе решения возможна потеря корней. Этой потери нельзя
допускать.
3.3.6.Использование свойства ограниченности синуса и косинуса.
Наряду с общими методами решения уравнений существуют методы,
основанные на свойствах функций. Их относят к нестандартным методам.
Свойства тригонометрических функций перечислены в приложении 9.
31
В тригонометрических уравнениях широкое применение имеет
свойство ограниченности множества значений синуса и косинуса.
Рассмотрим несколько различных ситуаций, в которых применяется это
свойство.
1. Пусть дано уравнение вида
a sin f x  b cos  x  a  b .
3.5
Выполняются следующие двойные неравенства:
 a  a sin f x  a ,
 b  b cos  x   b ,
  a  b   a sin f x   b cos  x   a  b .
Если функция Y  a sin f x  b cos  x достигает значения a  b , то это
будет тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства
a sin f x   a и b cos f x   b .
a sin f x   a ,
Таким образом, уравнение 3.5 равносильно системе 
b cos  x   b .
Таким же методом решаются уравнения вида
a sin f x  b sin  x  a  b ,
a cos f x  b cos  x  a  b .
Задача 17. Решить уравнение sin 5x  2 cos 2x  3 .
Решение. Данное уравнение равносильно системе
sin 5 x  1,
sin 5 x  1,
или 

 2 cos 2 x  2,
cos 2 x  1,
3.6
3.7


5 x   2n, n  Z ,
2

2 x    2k , k  Z .
Решением полученной системы является множество чисел

2
 2n, n  Z .
(Способ решения систем подобного вида рассмотрен в п. 3.2.)
Ответ.

2
 2n, n  Z .
2. Произведение двух множителей, каждый из которых по модулю не
превосходит единицы, может быть равно единице тогда и только тогда, когда
оба множителя равны по 1 или оба по  1 , и может быть равно  1 тогда и
только тогда, когда один из множителей равен 1 , а другой  1 . Поэтому
уравнение
sin f x  cos  x  1
3.8
равносильно совокупности двух систем
sin f x   1,

cos  x   1
а уравнение
sin f x   1,
cos  x   1,
или 
sin f x  cos  x  1
равносильно совокупности двух систем
sin f x   1,
или

cos  x   1
sin f x   1,

cos  x   1.
32
3.9
Таким же методом решаются уравнения, аналогичные уравнениям 3.8 и
3.9 , в левых частях которых произведение двух синусов или двух косинусов.
Задача 18. Решить уравнение sin 3x cos 4x  1 .
Решение. Уравнение равносильно совокупности двух систем
sin 3x  1,

cos 4 x  1
sin 3x  1,
cos 4 x  1.
или 
Решая системы, последовательно получим:


3 x    2n, n  Z ,
2

4 x  2k , k  Z ,


3 x   2n, n  Z ,
2

4 x    2k , k  Z ,
 2

 x  6  3 n, n  Z ,

x     k , k  Z ,

4 2
1 2
1 1
 n   k, n  Z , k  Z ,
6 3
4 2
8n  6k  1 - уравнение не имеет
 2

 x   6  3 n, n  Z ,

x   k , k  Z ,

2
С помощью единичной окружности
или
алгебраическим
методом
нетрудно установить, что решением решений
в
целых
числах.

системы является x   2n, n  Z .
Следовательно, система не имеет
2
решений.
Ответ.

2
 2n, n  Z .
3. Корни уравнения вида a sin f x  b cos f x  c , где a, b, c - функции
от x , можно пытаться находить, исходя из условия a 2  b 2  c 2 (см. п.
3.3.4).
Задача 19. Решить уравнение 1  ctg 2 2x cos x  sin x  2 .
Решение. Данное уравнение можно рассматривать как уравнение вида
a sin f x  b cos f x  c , где a  1  ctg 2 2x , b  1 , c  2 . Оно имеет решение
тогда и только тогда, когда выполняется условие a 2  b 2  c 2 , т.е.
1  ctg 2 2x  1  2 , или, ctg 2 2x  0 . Последнее возможно только, если ctg 2x  0 и,
значит, 2x 

2
 n, n  Z . Если исходное уравнение имеет корни, то они
находятся среди чисел
1 1
 n, n  Z .
4 2
Сделаем проверку:
  
  
1  ctg 2 2x cos x  sin x  cos  n   sin   n 
4 2 
4 2 
.
Значение
полученного
1
4
выражения равно 2 только при n  4k , k  Z . Следовательно, x   2k , k  Z ,
- корни уравнения. Других корней нет.
Ответ.
1
 2k , k  Z .
4
33
4. Пусть дано уравнение одного из видов  sin m x  cos n x  1, где m  2,
n  2, m, n  Z . Известно, что если 0  a  1 , то функция a t убывающая, тогда
имеют место неравенства
 sin m x  sin 2 x,
 cos n x  cos 2 x,
 sin m x  cos n x  sin 2 x  cos 2 x  1.
Левая часть окажется равной единице тогда и только тогда, когда
 sin m x  sin 2 x и  cos n x  cos 2 x . Таким образом, уравнение  sin m x  cos n x  1 ,
 sin m x  sin 2 x,
где m, n  Z , m  2 , n  2 , равносильно системе 
 cos n x  cos 2 x
( sin m x и cos n x в системе берутся с теми же знаками, что и в исходном
уравнении).
Задача 20. Решить уравнение cos 9 x  sin 12 x  1.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению sin 12 x  cos 9 x  1 ,
которое, в свою очередь, равносильно системе
sin 12 x  sin 2 x,
или

 cos 9 x  cos 2 x,
sin x  0, sin x  1, sin x  1,

cos x  0, cos x  1.
С помощью единичной окружности нетрудно установить, что последняя
система равносильна совокупности уравнений cos x  0 , cos x  1 .Тогда
x

2
 n, x    2n,

Ответ.
2
n  Z , - решения уравнения.
 n,   2n,
n  Z.
5. Если в уравнении f x   x функции f x  и  x  таковы, что
 f  x   m,
f x   m , а  x  m , то оно равносильно системе 
  x   m.
Задача 21. Решить уравнение tg

x  4x  7
2

3
x 

sin    
4

.
Решение. Оценим множество значений функций в левой и правой
частях уравнения:
x 

 1  sin      1
4


3
 3,

 sin    x 
 
4

3

  3.
 
x 
 sin    
4
 
x  4 x  7  x  2  3,
2
2
x  22  3  3,
0

x  4x  7
0  tg
2


x  4x  7
2

3
,
 3.
Таким образом, значения функций могут совпасть только при условии, что
каждое из них равно 3 , т.е. исходное уравнение равносильно системе
34



 x 2  4x  7  3 ,

3

 3.
 
x 
 sin    
 
4
Корнем первого уравнения является x  2 . При x  2 второе уравнение
обращается в верное числовое равенство. Значит, x  2 - решение системы.
Ответ.  2 .
Замечания.
1. Приемы, рассмотренные под цифрами 1-4 данного пункта,
характерны, в основном, для тригонометрических уравнений. Последний
прием применяется при решении уравнений различных видов, в том числе и
комбинированных, т.е. для уравнений, в которых f x  и  x  - разноименные
функции.
2. Если уравнение равносильно системе уравнений или совокупности
систем, то оно может быть разрешимо относительно более чем одного
неизвестного.
Проиллюстрируем высказанные замечания примерами.
Задача 22. Решить уравнение 2 cos
4
2x

sin 3x  cos 3x
2
.
Решение. В левой и правой частях уравнения стоят разноименные
функции. Поэтому очевидно, что способ решения не может быть
стандартным. Область определения уравнения – множество действительных
чисел. Оценим множество значений функций y1  2 cos
4
2x
и y2 
sin 3x  cos 3x
2
.
Так как 0  cos 4 2 x  1 и 2  1 , то 1  2cos 2 x  2 по свойству монотонности
показательной функции с основанием, большим единицы.
4

Так как sin 3x  cos 3x  2 sin  3x   , то  1  y2  1 .
4

Следовательно, равенство y1  y 2 возможно тогда и только тогда, когда
y1  y2  1, т.е. данное уравнение равносильно системе
 

cos 4 2 x  0,
x   n, n  Z ,


или,  4 2
 

 x    2k , k  Z .
sin  3x  4   1,




4
3
Осуществляя отбор корней алгебраическим способом, получим уравнение
n  4t ,
3n  4k , общее решение которого имеет вид 
k  3t , t  Z .
Тогда решением системы, а значит и исходного уравнения, будут
x

4
 2t t  Z .
Ответ.

4
 2t t  Z .
35
x y
 sin 2  x  y   2  cos x  y  .
2
x

y
Решение. Учитывая что cosx  y   1  2 sin 2
и 1  sin 2 x  y   cos 2 x  y ,
2
x y
 cos 2 x  y  .
приведем уравнение к виду 4 x  x 2  2 sin 2
2
Задача 23. Решить уравнение 4 x  x 2 sin 2


Оценим левую и правую части полученного уравнения, равносильного
2
данному:
,
,
4x  x 2  2  0
4 x  x 2    x  2  4  4  2
 4x  x
2
 x 2 y  0 ; cos x  y  0 . Значит, уравнение
x y

 0,
 4 x  x  2 sin
которая, в свою очередь,
2

 2 sin 2
2
2
системе
равносильно
2
cos 2  x  y   0,

равносильна
совокупности двух систем:
 x y
sin 2  0,
 4 x  x 2  2  0,

или cosx  y   0,

cosx  y   0.
4 x  x 2  0.



Первая система имеет решение  2;  2   n , n  Z . Вторая система
2


решений не имеет.

Ответ.  2;  2   n , n  Z .

2

6. Если уравнение является квадратным относительно некоторой
функции от неизвестного и коэффициенты уравнения есть также
функции от неизвестного, то решающим может оказаться условие
неотрицательности дискриминанта этого уравнения.
Задача 24. Решить уравнение y 2  3 2 cos x  sin x  y  9  0 .
Решение. Имеем квадратное уравнение относительно y . Оно
разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен.
2
Найдем дискриминант: D  3 2  cos x  sin x 2  4  9  18sin 2 x  1 . Условие
D  0 выполняется только если sin 2x  1  0 , т.е. sin 2x  1. Так как sin 2 x  1 , то
возможен только случай sin 2x  1 и D  0 . Тогда исходное уравнение
sin 2 x  1,
равносильно системе  3 2
cos x  sin x .
y 
2


Решая первое уравнение, находим: x    n, n  Z . Второе уравнение
4

равносильно уравнению y  3 cos x   . Подставляя вместо x решения

4
36

первого уравнения, получим y  3 cos n . Тогда, если n  2k , то x    2k ,
4
3
y  3 ; если n  2k  1, то x 
 2k , y  3 .
4

3
Ответ.    2k ; 3  ,   2k ;  3  , k  Z .
 4
  4

Задача 25+. Решить уравнение 4  3 cos 2 6 x  4 sin 2 x  4 3 cos x cos 2 6 x .
Решение. После очевидных преобразований получим уравнение
4 cos x  4 3 cos 2 6 x cos x  3 cos 2 6 x  0 , равносильное данному. Рассмотрим его
как квадратное относительно cos x . Подсчитаем дискриминант:
2
D   2 3 cos 2 6 x   12 cos 2 6 x  12 cos 2 6 xcos 2 6 x  1. Так как cos 2 6 x  0 при любом
x и cos 2 6 x  1 при любом x , то D  0 только в двух случаях: cos 2 6 x  0 или
cos 2 6 x  1 . При этом дискриминант равен нулю. Тогда уравнение равносильно
совокупности двух систем:
2
cos 6 x  0,

cos x  0.
или
cos 6 x  1,


3
.
cos x  
2

Далее установим, что первая система не имеет решений. Множество решений
второй системы - 
Ответ. 
5
 2m, m  Z .
6
5
 2m, m  Z .
6
3.3.7. Использование свойства монотонности функции.
Тригонометрические функции не относятся к числу монотонных на
всей области определения. Они монотонны на отдельных промежутках. Это
может быть использовано при решении уравнений. Здесь также возможны
различные ситуации, которые характерны не только для тригонометрических,
но и для других, в том числе комбинированных, уравнений. Рассмотрим
несколько положений.
1. Если в уравнении g x  hx на некотором промежутке M одна из
функций g x и hx  монотонно возрастает, а другая монотонно убывает
или одна монотонна, а другая постоянна, то уравнение имеет на
промежутке M не более одного корня.
Задача 26. Найти корни уравнения tg
интервалу 0; 2 .
Решение. Если x  0; 2 , то
g  x   tg
x
4
x
x
4
 x  3 ctg
x
4
 x 2 , принадлежащие
 
  0;  .На интервале
4  2
0; 2 функция
 x монотонно возрастает, как сумма двух возрастающих функций,
а функция hx   3 ctg
x
4


  x 2 монотонно убывает как сумма двух монотонно
37
убывающих функций. Тогда данное уравнение имеет на интервале 0; 2 не
более одного корня. Один корень легко находится подбором: x  1.
Ответ. 1 .
2. Другие ситуации в использовании свойства монотонности связаны с
решением уравнений вида
3.10
f g x  f hx .
Если f x  - тригонометрическая функция, то в общем случае уравнение
3.10 не равносильно уравнению g x  hx . Используя формулы
преобразования разности одноименных тригонометрических функций в
произведение, нетрудно установить следующие равносильности на области
допустимых значений первого уравнения:
 g x   hx   2k ,
sin g x   sin hx   
 g x     hx   2k , k  Z .
cos g x  cos hx  g x  hx  2k , k  Z.
tg g x  tg hx  g x  hx  k , k  Z.
ctg g x  ctg hx  g x  hx  k , k  Z.
3.11
3.12
3.13
3.14
На отдельных промежутках монотонности функции f x  уравнение
3.10 может быть заменено более простым уравнением, чем совокупности
( 3.11  3.14 ). Это следует из ряда теорем с несложными доказательствами.
Сформулируем эти теоремы.
Теорема 1. Если функция f x  монотонна на общей части
множеств значений функций g x и hx  , то на своей области
определения уравнение 3.10 равносильно уравнению g x  hx .
Теорема 2. Если функция f x  четная и строго монотонная при
g x  0 и hx   0 , то на своей области определения уравнение 3.10
 g x   hx ,
равносильно совокупности уравнений 
 g x   hx .
Теорема 3. Если функция f x  периодическая с периодом T и строго
монотонна на промежутке длины T , то на своей области определения
уравнение 3.10 равносильно совокупности уравнений g x  hx  Tn, n  Z .
Заметим, что этой теореме соответствуют и равносильности ( 3,13 , 3.14 ).
Задача 27. Решить уравнение sin 2 x tg x  cos 2 2 x ctg 2 x  0 .
Решение. Область определения уравнения - x  R, x 

2
n, n  Z . Так как




cos 2 x  sin   2 x  , ctg 2 x  tg   2 x  , то данное уравнение можно записать в
2

2

виде 3.10 :

 

sin 2 x tg x  sin 2   2 x  tg   2 x  .
2
 2

Здесь f x   sin 2 x tg x , g x   x , hx  

2
 2x .
38
Функция f x  периодическая с периодом  . Исследуем ее на
монотонность. Для этого найдем производную:

 sin 3 x 
3 sin 2 x cos 2 x  sin 4 x
 
f  x   sin x tg x  
.
cos 2 x
 cos x 
Замечаем, что при всех допустимых значениях x производная положительна.
Значит функция f x  возрастает на каждом из промежутков области



2

определения, например, на интервале   ;

2
равносильно совокупности уравнений x 
x

6


3

2

 . Тогда исходное уравнение
2
 2 x  2k , k  Z , откуда находим
k , k  Z . Учитывая область определения уравнения, после отбора
корней получим x 
Ответ. x 

6

6



3

3
k , k  3t  2, t  Z , k  Z .
k , k  3t  2, t  Z , k  Z .
3. Свойство возрастания функции используется также при решении
уравнений вида f  f x  x .
Теорема 4. Если функция f x  строго возрастает на промежутке M
и f x0   M для любого x0  M , то на промежутке M уравнение f  f x  x
равносильно уравнению f x  x .
Например, используя эту теорему, нетрудно установить, что уравнение
sin sin x  x имеет единственный корень x  0 .
3.3.8. Графический метод.
Сущность графического метода решения уравнений состоит в
следующем. Пусть дано уравнение f x  g x . Строим графики функций
y1  f x и y 2  g x  в одной системе координат. Абсциссы точек
пересечения графиков и есть корни уравнения. Они имеют приближенные
значения. Точность может быть установлена с помощью проверки.
Графический метод целесообразно применять в тех случаях, когда
другие методы малоэффективны или попросту невозможны. Рассмотрим
примеры.
2
3
x
Задача 28. Решить уравнение sin x   .

Решение. Уравнение комбинированное поскольку в нем присутствуют
тригонометрическая и линейная функции. Ясно, что можно пытаться
использовать свойства функций. Множество значений линейной функции –
множество действительных чисел. Линейная функция монотонна, а функция
y  sin x на некоторых промежутках возрастает, на некоторых убывает.
Поэтому никакие методы, рассмотренные в пп. 3.3.6. и 3.3.7, применить не
удается. Применим графический метод.
39
2
3
x
Пусть y1  sin x , y 2  

. Построим графики функций y1 и y 2 . График
функции y1 есть синусоида. График функции y 2 - прямая, проходящая через
2
2
точки  0;  и  ; 0  (рис. 13).

3
 3

y

1
0



2
x1
2
2
3
x2
x3
x
Рис.13
Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых равны

7
 2 
1
 ,
,  ,  5 . Проверка показывает, что sin  
6
6
6 3 6 2
7 2 7
1
sin
 
  , третий корень близок к числу 5,05 .
6
3 6
2
 7
Ответ. ;
;  5.
6 6
3

Задача 29. Решить уравнение 2 x  x 2   sin  x   .
2
3

соответственно 
Решение. Как и в предыдущем случае, никакие из рассмотренных выше
методов не дают результата. Обозначим y1   x 2  2 x 
3

, y 2  sin  x   и
2
3

построим графики функций y1 и y 2 (рис. 14).
y
1


y  sin  x  
3


3
0

1
2
5
6
-1
x
y  2x  x 2 
3
2
Рис. 14
Графики не пересекаются. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ. Нет корней.
40
Итак, мы рассмотрели различные методы решения тригонометрических
уравнений – общие, характерные для всех типов уравнений, в том числе и
функциональные,
и
специфические,
применимые
только
в
тригонометрических уравнениях. К общим относятся методы разложения на
множители, замены переменных, деления на функцию (в однородных
уравнениях), оценки, использования свойства монотонности функции,
графический. Среди специфических можно назвать метод введения
вспомогательного аргумента, метод рационализации. Кроме того, в общих
методах используется специфика тригонометрических функций и тогда
общий метод тоже выглядит как специфический: возможность замены
a sin f x  b cos f x  t , использование в уравнении такого вида необходимости
выполнения условия a 2  b 2  t 2 для существования корней, использование
ограниченности синуса и косинуса и, как следствие, условия at1  bt 2  a  b ,
где t1 и t 2 - синус и косинус или синусы (косинусы) аргументов f x  и  x  ,
использование свойства периодичности.
Рассмотренные в пп. 3.1 – 3.3 вопросы не касаются или касаются
вскользь некоторых очень важных ситуаций, которые могут возникнуть на
пути решения тригонометрических уравнений. Поэтому обсуждение темы
продолжится в следующих пунктах.
41
Упражнения
Решите уравнение (неравенство) (111- 117)
111.
1
2
1
г) cos x  ;
2
ж) tg x  3 ;
а) sin x  ;
к) ctg x  0 ;
112.
113.
1
2
3
г) ctg x 
;
3
1
а)   sin x 
2
в) - 5  tg x  1 ;
а) cos x   ;
3
.
2

2 sin 2x  3 ;
б) cos 3x     1,001 ;
3

 x
г) 3ctg     3  0 .
tg x  1  1 ;
 4 3
 x 
2 sin 2 x  3  2  0 ; б) 2 cos    3  0 ;
 3 2



3tg  x     3 ;
г) ctg  2  x   3 .
3 
6


д) 
114.
а)
в)
115.
а)
в)
116.
3
1
 sin x  ;
2
2
е) 0  cos x 
4
3

;
cos x  
 3
 2
x 2
ctg
 1;
1 x2
а) sin 
в)
117.
3
1
;
в) sin x   ;
2
2
1
2
д) cos x   ;
е) cos x   ;
2
3
з) tg x  0 ;
и) tg x  3 ;
1
л) ctg x 
;
м) ctg x  1 .
3
3
б) sin x   ; в) tg x  3 ;
2
3
д) cos x   ; е) ctg x  3 .
2
3
3
1
 cos x  ;
;
б) 
2
2
2
г) - 7  ctg x   3 ;
б) sin x 
а) cos  sin x  
5
3

3
;
2
4
3

;
cos x  
 3
 2

г) 2 cos  3x  x 2   2 .
4

б) sin 

б) tg  sin x   1 .
2

Решите уравнение, систему или совокупность (118 – 126):
cos 3x  0,
 cos x  0;
в) 
 cos x  0.
 cos x  0,
cos 7 x  0;
в) 
cos 7 x  0.
cos 3,5 x  0,
 sin 4 x  0;
в) 
 sin 4 x  0.
118. а)
cos 3 x
 0;
cos x
б) 
119. а)
cos x
 0;
cos 7 x
б) 
120. а)
cos 3,5 x
 0;
sin 4 x
б) 
42
cos 3 x  0,
 cos x  0,
cos 3,5 x  0,
 cos 3 x  1  0,
cos 3 x  1
x
 0;
б) 
2 sin  1  0;
x

2 sin  1
2

2
 


sin 11x   cos 6 x    0.
6 
6

cos 5 x ctg 6 x  0.
cos 2 x sin x
 0.
cos x  1
 x   5 
sin    cos  x 
 4 2   4 2   0.
cos 3 x
cos 2 x  12 cos 2 x  1  0.
cos x  1cos 3x  1
121. а)
122.
123.
124.
125.
126.
 cos 3 x  1  0,
x
2 sin  1  0.
2

в) 
Найдите корни уравнения, удовлетворяющие заданному условию (127
– 129):

127. cos  2 x   
1
;
2
4

5
3 
а)   x   ; б) x     ;
;
2
2 

x 
1
128. tg     ;
3
2 4
в) 0  x  6.
а) x   2 ; 5 ; б) x   10; 6.


 x
129.  2 sin     2  cos x  0;
 4 2


x 
cos    0.
2 3
Решите уравнения (130 – 230):
130. 2 sin x  3  3 2  5x  2 x 2  0.
131. tg 2 x  1 5  28x  4 x 2  35  0.
132. 2 cos 2 x  1 3x 2  10 x  13  0.
133. x 2  x  2 2 sin x  2   0.

134. 1  3ctg x cos 3x    0.
135.
137.
139.
141.
6

 x 

cos x   cos  
6 2 6

136. 3 sin x  2 cos x  3  sin 2 x.
 0.
x 
sin   
2 4
x
x
2 tg x sin  3  2 3 sin  tg x.
138. sin 2 x  sin 6 x  3 cos 2 2 x.
3
3
140. sin 4 x  cos 4 x  0,5  cos 2 x.
sin 2x  cos x  2 sin x  1.
1
1
sin 4 x
 15


 4 cos
 x . 142.
 2 sin x  cos x .
7 

cos x
4




cos x 
sin  x  

2 
4


43
143. 3 sin 2 x  5 cos x  1  0.
144. tg x  2 ctg x  1  0.
145. 1  cos xctg x  sin 2x.
146. 5 sin x 
3
 cos 2 x  3 sin 2 x.
1  tg 2 x
147. 3  2 sin 2 x  tg x  ctg x.
15
 cos 2 x  sin 2 x cos 2 x.
16
149. sin 2x  4sin x  cos x  4  0.
148. sin 4 x  cos 4 x 
150. sin 2x  5cos x  sin x  1  0.
151. 2 sin x  cos x   tg x  ctg x.
152. 5sin x  cos x   sin 3x  cos 3x  2 2 2  sin 2 x .
1
1
 sin 2 x 
.
sin x
sin 2 x
155. sin 2 x  cos 2 x  1.
2 cos 2x  3 cos x  2  0.
2 sin 2 x  3 sin x cos x  3 cos 2 x  1.
sin 2 x  3 sin 2 x  cos 2 x  2.
2 cos 2 x  8 sin 2 x  3 sin 2 x  0.
1  sin 2 x  2 sin x cos x.
160. 9 cos 4 x  sin 4 x  2 sin 2 2 x.
4 cos 3 x  sin 2 x sin x  4 sin 3 x  5 sin 2 x cos x  0.
x
x
163. 3 sin  3 cos  3.
3sin x  2 cos x  2.
4
4
sin 2 x  1  2 cos x  cos 2 x.


sin 4 x  cos 4  x    0,25.
4

sin 2 x  cos 2 x  1  6 sin x.
16
sin 2 x  tg x  2.
168. tg 2 x  sin 2 x  ctg x.
15
3sin 4x  cos 2x  1 tg x.
cos x  sin x  2 tg x  1   2  0.
cos x 

172. sin 3x cos 2x  1.
sin 3x  cos 4x  2.
x
x
174. 2  sin 2 x  sin  cos .
sin 2x cos 8x  1.
4
4
10
7
6
4
sin x  cos x  1.
176. ctg x  cos 2 x  1.
153. sin x 
154.
156.
157.
158.
159.
161.
162.
164.
165.
166.
167.
169.
170.
171.
173.
175.
177. x 2  4 x cos xy  4  0.
178. x 2  2 x cos xy  1  0.
1
2
179. 2 cos 2 x  sin 2 5 x  2 cos x sin 2 5 x.
x
x
180. sin 2 x 3 sin 2 x  cos   cos 2 x 2  sin  3 cos 2 x .
2


181. 3sin x  4 cos 3x cos x  2 sin 5x  7.
182. sin x  3 cos x sin 3x  2.


2

183. sin 3x  2 sin 18x sin x  3 2  cos 3x  2 cos x.
184. cos 7 x  sin 7 x  2  sin 2 x.
x
3
185. 3 sin 2  7 sin 4 x  10.
44


186. 4 cos 4  2 x    2 cos 2   x   0.
3

 12
187. 9 x  6 x cosx  y   1  0.

2
188. sin 2 x  3sin 4 x  sin 2 x  3sin 2 x  1  0.

189. 1 
190.
191.
192.
193.

2 
4
 5  2 sin x  1  8 sin 4 y.
2
 sin x 
2  2 tg x sin y  2 tg x cos y  tg 2 x.
3
cos x  cos y  cos x  y   .
2
3
sin x  sin y  cos x  y    .
2
1 

4
2 
 4  2 cos x  1  5 sin 3 y.
2
cos x 



194. tg 2  x  y   ctg 2  x  y  
2x
 1.
x 1
2
2
195.
196.
197.
199.
2
1  
1 
1
 2
2
 sin x 
   cos x 
  12  sin y.
2
2
2
sin x  
cos x 



tg  x    9 ctg 2 x  1.
4

1  tg 2 x


ctg   x   5 tg 2 x  7.
198.
 cos x  1.
1  tg 2 x
4

1  tg 2 x
200. 4 cos x cos 2x  1.
 sin x.
1  tg 2 x
201. 8 cos x cos 2x cos 4x  1.
202. 4 cos x cos 2x cos 3x  cos 6x.
1
8
2
2
2
204. cos x  cos 2 x  cos 3x  cos 2 4 x  1,75.
203. cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x  cos15 x.
205. sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x.
206.
208.
210.
212.
2 tg x
 tg 4 x.
1  tg 2 x
sin x sin 3x   cos 4 x .
5 cos x  cos 2 x  2 sin x  0.
207.
1  4 sin x  1  4 cos 2 x .
209.
211.
1  2 cos 2 x  cos sin x.
1  tg x  sin x  cos x.
cos 2 x  1  sin 2 x  2 sin x  cos x .
213. cos x sin x 2 sin x 2  1.
214. log 7 sin 3x  sin x   log 7  sin 2 x .
2
3
1
215. log 16 sin 2 x  cos x   log 2  2 cos x .
1
4
216. log 1 4 cos x   log 3 sin x.
3
217. log 0,5 0,5 sin 2x  log 02,5 tg x  log 0,5 sin 2 x.
218. sin  lg x  cos lg x  1.
45
219. log sin x cos x  log cos x sin x  2  0.
220. log sin x 2  log sin x 3  1.
221. tg x  tg 5 x.
222. tg x  sin x  1  tg x sin x.
223. 2 sin x  cos x   tg x  ctg x.
2
2x
4x
8x
16x 1
cos
cos
cos
 .
31
31
31
31
31
32


1  ctg  3x  

8


tg  5 x   
.

8


1  ctg  3x  
8

2 tg x
sin x
sin 3 x


.
1  cos x 1  cos 3 x
1  tg 2 x
1
1
1
1



.
sin x cos 2 x sin 3x cos x sin x cos 2 x
3
1
x
x
8 sin x 

.
229. 2  cos 2 2 x  sin  cos .
cos x sin x
4
4
cossin 7 x  sin x  cos cos 4x.
224. cos
225.
226.
227.
228.
230.
x
cos
Найдите корни уравнения, удовлетворяющие заданному условию (231
– 240):
x   100  ; 300  .
231. ctg x  3 sin 2 x  0,
232. 3 cos 2x  5 cos x  1,
x   3; 5.
233. 1  2 cos 2 x sin x  1  2 cos 2 x  cos x  0,
  2x 

2

7
.
3
234. 1  5 sin x  2 cos x  0,
cos x  0.
x 
2 cos 2 x  4 cos x  1,
sin     0.
2 4


   5 3 
3
9
3
cos x    cos x    2 sin  x   sin 
 x ,
3
6
8  8 2 
2
2
2
3
3
x
x 
2  cos x  3 sin x  4 sin 2 ,
sin     0.
2
2
2
2 4
3
3
x
x 
2  sin x  3 cos x  4 cos 2 ,
cos    0.
2
2
2
2 4


2  3 cos 2 x  sin 2 x  4 cos 2 3x,
cos 2 x    0.
4

x
x
tg  x  3 ctg  x 2 ,
x  0; 2 .
4
4
2
235.
236.
237.
238.
239.
240.
46
sin
3
x  0.
2
Ответы
В ответах для краткости не указывается, что множители n, k , m, t
и др. принадлежат множеству целых чисел.
118. а)



n.
3
 2
120. а)  n.
7
7
122. 
124.

4
6

66



2

11
n,
119. а) Корней нет.

121. а)

9


6
n; 2k .
2
 2n, n  Z .
3
5
3

  3
; б)
127. а)  ,  ,  ,  , ,
2
2
2
4 2 4
 3 3 7
,
,
,
.
в)
2 4
2
4
7 5 17 29
19
,
,
; б) 
,
128. а)  ,
6
6
6
6
6

3
 4l , 2  4l.
129.  4l ,
4
2
11 15
,
, 7.
131.
8
8
1
3
133.  2; 1; 2n  ; 2n  , n  1, n  0.
4
4

2
4
 4n,
 4n, n  Z .
135.   4n,
3
3
3
3





n, n  5l  2.
12 6
10 5
3 2

k , k  5t  3.
125.
10
5
123.
k.
2
n.
3

k;

126. 
136.


 2n.

4
142. 


4

2
146. 
148. 
150.
152.

2

4

k 1
6

3

12

4


2

,
4


2
3
130.  ,
3
;
4
,
2
7 5
,
.
6
6
2 7 8
,
,
, 3 .
3
3 3
,
13

;   n, n  0, n  1.
3
6


4
134.  n,   n,   n.
3
9
9
132.  1;

141.
 k ,  1
 2n, 
2

, 
 l.
3
139.  1n 1
n.
144.  arctg 2  n,


137.
6
k

 
 1
3

k
,
arcsin  k .
138.
4 2
2
4
140.
2
 2n, 



4

2

6
 n,   2n.
k ,  1
k 1

8


2
1
143.     arccos   2n.
k.

 n.
145. 
5
 2n.
6

3
 2n,
147.  1n
 n.
149. 
 2n,   2n.
151.
 2n.
153.
47

4

2

2

12

3

2

2
 n.
n.
 2n,    2n.
 2n.
 2n.
k.
154.

3

 n,     arccos   2n.
2
4

156.  arctg 4  n,

155. n, arctg 2  n.
 n.
157.
4

1
158.  n,  arctg  n.
4
4
160. 

4
2
3
164.
166.
168.
170.
172.
2
 n.
13

5
13
 n,
 2n,
 2n.
2
12
12

5
n,   2n, 
 2n.
12
12
1

 arctg  n,
 n.
2
2

  2n.
3

 n.
2

2
184.
186.
188.
190.
191.
192.
193.

165. n,
167.

4

4
 n.
 n.
169. n,  arctg 2  n, 
171.
173.
175.
3
 2n.
2

4

2

3
 n.
 n.
 n,   2n.

177.  2; n ;  2; 2m  1.
 n.

178. 1; 2n;  1;   2m.
180.   4n.
182.
 n.
 n,  arctg 2  n.
4
2
 8n, 2  8n.
163.
3
161.
174. 3  8n.
176.
6
159. Нет корней.
 n.
162. arctg   1n arcsin

179. Нет корней.
181. Нет корней.
2

3
 2n.
6
4

3
  2n.
 3n.
185.
2
2
7
1
1
1 1
 n.
187.  ;   n ;   ;  m .
12
3
3
  3 3




 n.
189.   n, m .
4
4 
2

3




 2m .
 arctg 2  n;  2m ,   arctg 2  n; 
4
4








 

  2n;  2m ,    2n;   2m .
3
3
3

 3


7
 7

 

 2 m  n ;   2 m  n ;    2 m  n ;
 2 m  n ;

6
6
 6

 6

5

 

 5

 2 l  k ;  
 2 k  l ;   2 l  k .
   2 k  l ; 
6
6
 6

 6

 2 
3 n

k .
194. 1;   .
 n; 
6
3 
4 2



 n.
183.
48
 

195.   n,  2k .
4
2

1
3
197. n  arctg , arctg  n.
2
2
2
199.  1n
200.
202.
204.


5

3


6
2
2
n, n  2  5t ;
m, m  3.
5
3

n, n  3t ;

6

210. 
3

212. 
214.
216.
4
12
4


2
32
3
4
n, n  14t.
14
2
 
n, n  3t ;
 m.
205.
3
8 2
 n.

8


 2n; 
213. 2n;


4

2
2

4
215. 
5
 2n.
12
217.

219.
1
log2 3
2
 n.
221.
223.
31
2m  1, m  33q  16.
33
225.

4


4

4

8
n,
n, 

6

 n.



4
 n.
 n; 2n;

6

4
 2n.
 2n.
5
 2n.
6
 n; arctg 2  n.
 2n.
4
227. 
18 3
2 2 4
,
.
232.  ,
3
3
3
n, n  4t  2.
 2n.
n, n  8t  1, m  8t  3.

12
 n, 
5
 n.
12
229. Нет корней.
231.  60  , 90  , 120  , 270 .
n.
11
7 13 17
, 
,
,
.
12
12 12
12
2
4
235.   4n,   4n.
3
3
233. 

 2n.
6
3 4
13
4
17
4
 n,
  n,
  n.
236.
4 3
12
3
18
3
234.
 2n.
2
 n; 2n.
226.   2n.
230.

207. 
 n.
12

211. 
224. 2n, n  31t ,
228. 
2
 2
n, n  9m; 
n, n  3  7t.
9
7
7
 2n.
 2n;

 2n.
209.
220.  1n arcsin 2

201.
203.
n.
218. 10 2n , 10 0,5 2n.
222.
3
 n.
2
 2n.
3


3
 n, arctg 3  n.
2
 n.
206. n,  arctg
208. 
 n, arctg
2
198. 
n, n  9t.
9

196.
49
4
8
4
  4n,
  4n,   4n.
15
15
3
49
37
5
238.   4n,   4n,   4n.
15
15
3
5
17
7
239.   n,   n,   n.
48
48
24
240. 1.
237. 
Список литературы
1. Заборонков Н.А. Задачник-практикум по тригонометрии. – Горький,
1975.
2. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа /Б.М.
Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд. – М., 1990.
3. Мерзляк
А.Г.,
Полонский
В.Б.,
Рабинович
Е.М.,
Якир
М.С.
Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. – М., 1998.
4. Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии. – М., 1956.
5. Справочное пособие по методам решения задач по математике для
средней школы /А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. – М., 1983.
6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике:
Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. – М., 1991.
50
Приложение 5
Решение уравнений и неравенств
sin x  a , sin x  a , sin x  a
1. a  1, a  0.
v
  arcsin a
va
v
arcsin a
a
u
0
0
u
a
va
arcsin a
  arcsin a
 x  arcsin a  2n, n  Z ,
а) sin x  a , 
или x   1n arcsin a  n, n  Z ;
 x    arcsin a  2n, n  Z ,
б) sin x  a ,   arcsin a  2n  x  2  arcsin a  2n, n  Z ;
в) sin x  a , arcsin a  2n  x    arcsin a  2n, n  Z .
2. a  0.
а) sin x  0 , x  n, n  Z ;
б) sin x  0 ,    2n  x  2n, n  Z ;
в) sin x  0 , 2n  x    2n, n  Z .
3. a  1.

а) sin x  1, x    2n, n  Z ;
2
б) sin x  1, нет решений;

в) sin x  1, x  R, x    2n .
2
4. a  1 .
а) sin x  1, x 

2
 2n, n  Z ;

б) sin x  1 , x  R, x    2n, n  Z ;
2
в) sin x  1, нет решений
5. a  1.
а) sin x  a , нет корней;
б) sin x  a , нет решений;
в) sin x  a , x  R .
6. a  1 .
а) sin x  a , нет корней;
б) sin x  a , x  R ;
в) sin x  a , нет решений.
51
Приложение 6
Решение уравнений и неравенств
cos x  a , cos x  a , cos x  a
1. a  1, a  0.
ua
v
arccos a
a
0
v
arccos a
a
u
 arccos a
 arccos a
ua
а) cos x  a , x   arccos a  2n, n  Z ;
б) cos x  a , arccos a  2n  x  2  arccos a  2n, n  Z ;
 arccos a  2n  x  arccos a  2n, n  Z .
в) cos x  a ,
2. a  0 .
а) cos x  0 ,
б) cos x  0 ,
в) cos x  0 ,
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
x

2


2
 n, n  Z ;
 2n  x 

2
3
 2n, n  Z ;
2
 2n  x 

2
 2n, n  Z .
3. a  1.
x    2n, n  Z ;
cos x  1 ,
cos x  1, нет решений;
x  R, x    2n, n  Z .
cos x  1 ,
4. a  1 .
x  2n, n  Z ;
cos x  1 ,
x  R, x  2n, n  Z ;
cos x  1 ,
cos x  1 , нет решений.
5. a  1.
cos x  a , нет корней;
cos x  a , нет решений;
cos x  a ,
xR.
6. a  1 .
cos x  a , нет корней;
cos x  a ,
xR;
нет решений.
cos x  a ,
52
0
u
Приложение 7
Решение уравнений и неравенств
tg x  a , tg x  a , tg x  a , a  R
v
v
a

2

2
arctg a
0
arctg a  
0
u
u
arctg a
arctg a  


2


2
a
а) tg x  a , x  arctg a  n, n  Z ;
б) tg x  a , 

2
 n  x  arctg a  n, n  Z ;
в) tg x  a , arctg a  n  x 

2
 n, n  Z .
Приложение 8
Решение уравнений и неравенств
ctg x  a , ctg x  a , ctg x  a , a  R
v

0
a
a
arcctg a
arcctg a
0

u
arcctg a  
v
0
0 u
arcctg a  
а) ctg x  a , x  arcctg a  n, n  Z ;
б) ctg x  a , arcctg a  n  x    n, n  Z ;
в) ctg x  a , n  x  arcctg a  n, n  Z .
53
Содержание
Введение………………………………………………………………………....3
Примерный тематический план изучения темы .……………………………..4
Требования к знаниям и умениям студентов………………………………….4
Содержание темы «Тригонометрические уравнения и
неравенства»…………………………………………………………………….6
3.1. Простейшие тригонометрические уравнения и
неравенства……………………………………………………….…6
3.2. Решение систем и совокупностей простейших уравнений и
неравенств с одним неизвестным (Отбор корней при решении
тригонометрических уравнений)……………………………….…...7
3.3. Методы решения тригонометрических уравнений………………..21
Упражнения……………...……………………………………………………...41
Ответы…………………………………………………………………………..45
Список литературы………………………………………………...…………...49
Приложение 5. Решение уравнений и неравенств sin x  a , sin x  a ,
sin x  a …………………………………………………………………………..50
Приложение 6. Решение уравнений и неравенств cos x  a , cos x  a ,
cos x  a ………………………………………………………………………......51
Приложение 7. Решение уравнений и неравенств tg x  a , tg x  a ,
tg x  a ……………………………………………………………………………52
Приложение 8. Решение уравнений и неравенств ctg x  a , ctg x  a ,
ctg x  a …………………………………………………………………………..52
Приложение 9. Свойства тригонометрических функций…………………...53
54
Учебное издание
Кузнецова Лидия Ивановна
Тригонометрические уравнения, неравенства, системы
Часть 1
Учебно-методическое пособие
для студентов факультета математики, информатики и физики
Печатается в авторской редакции
Подписано в печать
11. 11. 2008 г. Печать оперативная. Объем 3,4 п.л.
Тираж 100 экз. Заказ
Нижегородский государственный педагогический университет
Полиграфический участок АНО «МУК НГПУ»
603950, Нижний Новгород, ГСП-37, ул. Ульянова,1
55