Квантовая информатика. Математические основы.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Псковский государственный университет
А.Н. Верхозин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ
Учебный словарь-справочник
Псков
Издательство ПсковГУ
2013
2
УДК 681.3+51 (075.8)
ББК 22.1 я73+32.973я73
В 363
Рекомендовано к изданию кафедрой общей физики ПсковГУ
Рецензенты:
В 363
–
В.Г. Соловьев, доктор физ.-мат. наук, проф. (ПсковГУ);
–
С.Н. Лёхин, канд. техн. наук, профессор (ПсковГУ)
Верхозин А.Н.
Математические основы квантовой информатики: Учебный
словарь-справочник. – Псков: Издательство ПсковГУ, 2013. – 59 с.
Рассматриваются математические понятия и идеи, необходимые для понимания основ квантовой информатики. Предназначено
для студентов, изучающих информатику, и для всех читателей, интересующихся квантовыми информационными технологиями.
УДК 681.3+51 (075.8)
ББК 22.1 я73+32.973я73
ISBN
© Верхозин А.Н., 2013
© Псковский государственный университет, 2013
3
Предисловие
В последние годы на перекрёстке трёх наук - математики, физики и теории информации - рождается новая фундаментальная наука – квантовая информатика, радикально меняющая наше понимание окружающего мира и сопровождающаяся появлением новых, фантастических по своим возможностям,
информационных технологий. Квантовая информатика включает такие направления, как:
- квантовые вычисления (создание квантовых компьютеров);
- квантовая криптография (включающая плотную кодировку);
- квантовая телепортация.
К квантовой информатике следует отнести также квантовую теорию сознания,
рассматривающую особую роль наблюдателя в квантовой механике. К этому
направлению относятся классические работы В. Паули, известного швейцарского психолога и философа Карла Юнга, а в наши дни - работы проф. М.Б.
Менского. Поэтому в список наук, на перекрёсте которых рождается квантовая информатика, должна быть включена также и психология.
Изучение этих явлений предполагает математическую подготовку, которой будущие бакалавры (да и магистры) не имеют, поскольку эти вопросы часто выходят за рамки стандартного курса высшей математики для технических
вузов. Отсылать студентов к оригинальной математической литературе не имеет смысла. Обычно математики пишут свои статьи для математиков, не считаясь с реальными возможностями и потребностями студентов технических
направлений. Освоить самостоятельно математический язык, необходимый для
понимания идей квантовой информатики, по существующим учебникам оказывается весьма затруднительно.
Предлагаемая брошюра должна, по замыслу автора, в какой-то мере восполнить этот пробел. От читателя требуется лишь знание таких понятий, как
производная, дифференциал, интеграл, непрерывность и некоторых других,
предусмотренных программой по математике. Каждый пункт брошюры – это
маленькая статья, которую можно читать независимо от других. В некоторых
случаях в конце такой статьи приводится список литературы, включающий интернет-ресурсы. Для читателей, уже прошедших курс информатики, некоторые
статьи (Алгоритм, Позиционная система счисления, Теория информации и др.)
будут полезным напоминанием.
Чтение брошюры, разумеется, не заменяет (и не исключает) изучения затронутых в ней вопросов по более фундаментальным книгам. Существующая
математическая литература обширна, но в общем списке литературы указаны
лишь два источника. Это фундаментальные курсы А. Анго и Э. Маделунга, по
которым изучали высшую математику несколько поколений русских инженеров, в том числе и автор настоящей работы. Автор надеется, что предлагаемое
пособие окажется полезным студентам, изучающим физические основы квантовой информатики самостоятельно или под руководством преподавателя.
А.Н. Верхозин
4
Содержание
Стр.
1. Аксиома Архимеда ………………………………………. 5
2. Алгоритм ………………………………………………….. 5
3. Алгоритм Шора …………………………………………... 10
4. Асимптотическое поведение функций ………………….. 11
5. Базис ……………………………………………………….. 12
6. Булева алгебра …………………………………………….. 13
7. Вектор состояния …………………………………………. 15
8. Векторное исчисление ……………………………………. 14
9. Векторное произведение ………………………………….. 15
10. Вектор состояния ………………………………………….. 16
11. Вероятность …………………………………………………16
12. Волновая функция ……………………………………….... 18
13. Гильбертово пространство …………………………………18
14. Дедекиндово сечение ……………………………………… 21
15. Дискретное логарифмирование …………………………… 22
16. Комплексные числа ………………………………………… 23
17. Корреляция ………………………………………………….. 25
18. Линейная алгебра …………………………………………… 25
19. Матрица ……………………………………………………… 26
20. Модуль сравнения …………………………………………... 30
21. Неархимедова геометрия …………………………………… 31
22. Норма вектора ……………………………………………….. 31
23. O-нотация …………………………………………………….. 32
24. Оператор ……………………………………………………… 33
25. Ортогональные функции …………………………………….. 37
26. Ортогональный базис ………………………………………… 37
27. Ортонормированный базис ………………………………….. 37
28. Позиционная система счисления ……………………………. 38
29. Преобразование Адамара ……………………………………. 41
30. Преобразование Фурье ………………………………………. 44
31. Проектор ……………………………………………………… 45
32. p-адические числа ……………………………………………. 45
33. Скалярное произведение …………………………………….. 50
34. Скобки Пуассона ……………………………………………... 51
35. Теория информации ………………………………………….. 52
36. Унитарное преобразование ………………………………….. 53
37. Уравнения Гамильтона ……………………………………..... 54
38. Факторизация …………………………………………………. 54
39. Формула Муавра ……………………………………………… 54
40. Формула Эйлера ……………………………………………… 54
41. Функциональный анализ …………………………………….. 55
42. Числовые кольца и поля ……………………………………… 56
5
«…любой естественнонаучной теорией мы
не овладеваем до тех пор, пока не выделим
в ней математическое ядро и не раскроем
его полностью. Без математики невозможны
современная астрономия и физика; эти науки в своих теоретических частях растворяются в математике».
Давид Гильберт,
«Познание природы и логика»
Математические основы квантовой информатики
1. Аксиома Архимеда – утверждение сформулированное Архимедом в 3 веке
до Р. Х. (а ещё ранее Евдоксом Книдским). Пусть имеется два отрезка, причём
один короче другого: a < b. Тогда, отложив достаточное число раз меньший из
двух заданных отрезков, всегда можно получить отрезок, превосходящий
больший из них: a∙n > b, где n – достаточно большое целое число. Аналогично
аксиому можно сформулировать для площадей, объёмов, положительных чисел
и т. д. Давид Гильберт называл аксиому Архимеда аксиомой непрерывности.
Утверждение Архимеда казалось самоочевидным до тех пор, пока в конце 19 в.
не обнаружили существование величин, по отношению к которым эта аксиома
не выполняется. Такие математические структуры называются неархимедовыми. Интерес к таким структурам возник в конце 19 века в связи с открытием pадических чисел. Какое отношение имеет аксиома Архимеда к физике? В микромире (на планковских масштабах) меняется метрика пространства и времени.
Обычная квантовая механика и аксиома Архимеда оказываются при таких
условиях неприменимыми. Проф. И.В. Волович (Математический институт им.
В.А. Стеклова) предложил использовать здесь неархимедову геометрию и радические числа.
См также: Неархимедова геометрия, p-адические числа.
2. Алгоритм - набор предписаний (инструкций) исполнителю, описывающих
порядок действий для достижения результата (решения задачи) за конечное
число шагов. Происхождение самого термина «алгоритм» связано с математикой. Это слово происходит от латинского написания имени аль-Хорезми - выдающегося математика средневекового Востока.
Начало теории алгоритмов связано с работами австрийского математика Курта
Гёделя, доказавшего в 1931 г. знаменитую теорему о неполноте формальных
систем, включающих арифметику.
6
Курт Гёдель (1906-1978) – австрийский математик, логик и философ
В связи с этим возникло представление о невозможности алгоритмического
разрешения ряда математических проблем. Была осознана необходимость стандартизации понятия «алгоритм». Первые стандартизованные варианты этого
понятия были разработаны в 30-х годах 20 века в работах английского математика Алана Тьюринга, считающегося отцом информатики, а также американских учёных А. Чёрча и Э. Поста.
Алан Тьюринг (1912-1954) – английский математик, логик и криптограф
Функция, связывающая входные данные алгоритма с количеством элементарных операций, называется функцией трудоёмкости. Одним из упрощённых видов анализа алгоритмов, используемых на практике, является асимптотический
анализ. Цель такого анализа - сравнение затрат времени и других ресурсов при
реализации различных алгоритмов, предназначенных для решения одной и той
же задачи, при больших объёмах входных данных. В информатике и теории алгоритмов вводится оценка трудоёмкости алгоритма, называемая «вычислитель-
7
ной сложностью». Так называют функцию, определяющую зависимость объёма работы, выполняемой некоторым алгоритмом, от размера входных данных.
Такая оценка позволяет определить, как быстро растёт трудоёмкость алгоритма
с увеличением объёма данных.
В асимптотическом анализе алгоритмов используются обозначения, принятые в
математическом асимптотическом анализе. Так, оценка представляет собой
верхнюю асимптотическую оценку трудоёмкости алгоритма. Мы говорим, что
функция сложности алгоритма
, если f(n) принадлежит классу
функций, которые растут не быстрее, чем функция g(n) с точностью до постоянного множителя. Здесь n - величина объёма входных данных или длина входа.
Для оценки производительности алгоритмов необходимо оценить путём подсчёта операций время их исполнения. Предположим, что нужно вычислить значение многочлена степени n
Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + aixi + ... + a1x1 + a0
в заданной точке x. Это можно сделать по-разному.
Алгоритм 1 . В каждом слагаемом, кроме a0, возвести x в заданную степень последовательным умножением, домножить на соответствующий коэффициент ai,
полученные слагаемые, включая a0, сложить.
Вычисление i-го слагаемого (i = 1,…, n) требует i умножений. Значит, всего 1 +
2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 умножений. Кроме того, необходимо провести
n+1 сложение. Всего требуется провести n(n+1)/2 + n + 1 = n2/2 + 3n/2 +
1 операций.
Алгоритм 2. Вынести аргумент за скобки и переписать многочлен в виде
Pn(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... ( ai + .. x(an-1 + anx))).
Например, для многочлена третьей степени:
P3(x) = a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0 = a0 + x(a1 + x(a2 + a3x)).
Самая внутренняя скобка содержит одно умножение и одно сложение. Её значение используется для следующей скобки. Получается одно умножение и одно
сложение на каждую из (n – 1) скобок. После вычисления самой внешней скобки результат нужно умножить на x и прибавить a0. Итак, всего имеем
n умножений и n сложений, т. е. 2n операций.
Часто такая подробная оценка не требуется. Тогда приводят только асимптотическую скорость возрастания количества операций при увеличении n.
Функция f(n) = n2/2 + 3n/2 + 1 возрастает приблизительно как n2/2 (отбрасываем
сравнительно медленно растущее слагаемое 3n/2+1). Постоянный множитель 1/2 также убираем и получаем асимптотическую оценку для алгоритма 1,
которая обозначается специальным символом O(n2) (читается «О большое от эн
квадрат»).
Это - верхняя оценка, т. е. количество операций (а, значит, и время работы) растёт не быстрее, чем квадрат количества элементов. Ниже приведена таблица,
иллюстрирующая скорость роста для некоторых функций.
8
Таблица. Скорость роста некоторых функций
n
log n
n*log n
n2
1
0
0
1
16
4
64
256
256
8
2.048
65.536
4.096
12
49.152
16.777.216
65.536
16
1.048.565
4,.294.967.296
1.048.576
20
20.969.520
1.099.301.922.576
16.775.616
24
402.614.784
281.421.292.179.456
Если считать, что числа в таблице соответствуют микросекундам, то для задачи
с n = 1048576 элементами алгоритму с временем работы O(log n) потребуется
20 микросекунд, алгоритму со временем O(n) - 17 минут, а алгоритму с временем работы O( n2) - более 12 дней. Таким образом, очевидно преимущество алгоритма 2 с оценкой O(n) по сравнению с алгоритмом 1. Наилучшей является
оценка O(1). В этом случае время вообще не зависит от n, т. е. постоянно при
любом количестве элементов.
Таким образом, O(…) - это "урезанная" оценка времени работы алгоритма. Такую оценку часто получить гораздо проще, чем точную формулу для количества операций.
Сформулируем два правила формирования оценки O(…).
1. При оценке за функцию берется количество операций, возрастающее быстрее
всего. Если в программе одна функция, например, умножение, выполняется O(n) раз, а сложение - O(n2) раз, то общая сложность программы - O(n2), так
как в конце концов при увеличении n более быстрые операции сложения будут
выполняться настолько часто, что их влияние на быстродействие окажется гораздо больше, чем влияние медленных, но редких операций умножения. Символ O(…) показывает исключительно асимптотику!
2. При оценке O(…) константы не учитываются.
Пусть один алгоритм делает 2500n + 1000 операций, а другой (2n+1). Оба они
имеют оценку O(n), так как время их выполнения растет линейно.
В частности, если оба алгоритма, например, имеют оценку O(n*log n), то это
вовсе не означает, что они одинаково эффективны. Первый может быть, например, в 1000 раз эффективнее. O(n*log n) значит лишь то, что их время возрастает приблизительно как функция n*log n.
9
Другое следствие опускания константы - алгоритм со временем O(n2) может работать значительно быстрее алгоритма O(n) при малых n за счет того, что реальное количество операций первого алгоритма может быть (n2 + 10n + 6), а
второго – (1000000n + 5). Однако, второй алгоритм рано или поздно обязательно обгонит первый, поскольку n2 растет значительно быстрее, чем 1000000n.
Почему не указывается основание логарифма внутри символа O(…) ? Поясним
это. Пусть у нас есть O(log2n). Но log2n=log3n/log32, а log32, как и любую константу, асимптотика
- символ О(…) не учитывает. Таким образом, O(log2n) = O(log3n). К любому основанию мы можем перейти аналогично,
а, значит, и писать его не имеет смысла.
Обсудим математическое толкование символа O(…).
Дадим следующее определение.
Оценка O(g) – это множество функций f, для которых существуют такие константы C и N, что |f(x)| ≤ C|g(x)| для всех x > N.
Запись f = O(g) дословно обозначает, что f принадлежит множеству O(g). При
этом обратное выражение O(g) = f не имеет смысла.
В частности, можно сказать, что f(n) = 50n принадлежит O(n2). Здесь мы имеем
дело с неточной оценкой. Разумеется, f(n) ≤ 50n2 при n ≥ 1, однако более сильным утверждением было бы f(n) = O(n), так как для C = 50 и N = 1 верно
f(n) ≤ Cn, n > N.
Существуют и другие виды оценок.
Наряду с оценкой O(n) используется оценка Ω(n) (читается: "Омега большое от
эн"). Она обозначает нижнюю оценку роста функции. Например, пусть количество операций алгоритма описывает функция f(n) = Ω(n2). Это значит, что даже
в самом удачном случае будет произведено не менее порядка n2 действий.
В то время как оценка f(n) = O(n3) гарантирует, что в самом худшем случае
действий будет порядка n3, не больше.
Также часто используется оценка Θ(n) (читается: "Тэта большое от эн"), которая является гибридом O(…) и Ω(…). Θ(n2) является и верхней и нижней асимптотической оценкой одновременно - всегда будет выполняться порядкаn2 операций. Оценка Θ(…) существует только тогда, когда O(…) и Ω(…) совпадают и равна им.
Для рассмотренных выше алгоритмов вычисления многочлена найденные
оценки являются одновременно O(…), Ω(…)и Θ(…).
Если добавить к первому алгоритму проверки на x = 0 в возведении в степень,
то на самых удачных исходных данных (когда x = 0) имеем порядка n проверок,
0 умножений и 1 сложение, что даёт новую оценку Ω(n) наряду со старой O(n2).
Как правило, основное внимание всё же обращается на верхнюю оценку O(…),
поэтому, несмотря на «улучшение», алгоритм 2 остается предпочтительнее.
Итак, O(…) - асимптотическая оценка алгоритма на худших входных данных, Ω(…) - на лучших входных данных, Θ(…) - сокращенная запись одинаковых O(…) и Ω(…).
Сложность алгоритма позволяет оценить, насколько быстро растёт его трудоёмкость с увеличением объёма входных данных. Под трудоёмкостью понимается количество элементарных операций, которые необходимо выполнить для
10
решения задачи с помощью данного алгоритма. Обычно оценка сложности алгоритма представляется в виде O(f(N)), где f(N) – функция сложности, а N –
число обрабатываемых наблюдений или примеров. Наименее затратными являются алгоритмы, для которых функция сложности имеет вид f(N) = C или
f(N) = C ∙N, где С – константа. В первом случае вычислительные затраты не зависят от количества обрабатываемых данных, а во втором – линейно возрастают. Самыми затратными являются алгоритмы, сложность которых имеет степенную и факториальную зависимости от числа обрабатываемых наблюдений.
Множество задач, для которых существуют «быстрые» алгоритмы решения, и
время работы которых полиномиально зависит от размера входных данных, относят к классу P (от англ. polynomial).
Квантовый алгоритм – это алгоритм, предназначенный для выполнения
на квантовом компьютере. Представляет собой классический алгоритм, задающий последовательность унитарных операций с указанием, над какими именно кубитами их надо совершать. Типичным квантовым алгоритмом является алгоритм Шора. Результат работы квантового алгоритма носит вероятностный
характер, но за счёт увеличения количества операций в алгоритме можно вероятность получения правильного результата сделать сколь угодно близкой к
единице.
См. также: Асимптотическое поведение функций, O-нотация, Унитарное преобразование, Факторизация.
Литература
1. Теория алгоритмов. Введение в теорию алгоритмов.
-Режим доступа: http://th-algoritmov.narod.ru/1.htm
2. Машина Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы. –Режим доступа: http://th-algoritmov.narod.ru/3.htm
3. Оценка времени исполнения. Символ O (…).
-Режим доступа: http://algolist.manual.ru/misc/o_n.php
4. Подзоров С.Ю. Теория алгоритмов (конспект лекций). -Режим доступа:
http://www.nsu.ru/education/podzorov/Alg/Course.pdf
3. Алгоритм Шора – алгоритм, с помощью которого решается проблема факторизации. Был разработан Питером Шором в 1994 году. Семь лет спустя,
в 2001 году, его работоспособность была продемонстрирована группой специалистов IBM. Число 15 было разложено на множители 3 и 5 при помощи квантового компьютера с 7 кубитами.
Основан на возможности быстрого вычисления с высокой точностью собственных значений унитарного оператора, если есть возможность эффективно вычислить любые его степени. В качестве такого оператора берётся умножение
на по модулю . Этот оператор действует в -мерном пространстве,
где
. Базисный вектор, соответствующий числу , преобразуется в базисный вектор, соответствующий числу
. Далее вычисляется
11
такое , что
, что позволяет (с высокой вероятностью) разложить на множители на обычном компьютере. Как и другие алгоритмы для
квантовых компьютеров, алгоритм Шора вероятностный: он даёт верный ответ
с высокой вероятностью, причём вероятность ошибки может быть уменьшена
при повторном использовании алгоритма.
Алгоритма Шора можно разделить на 2 этапа:
- классическое сведение разложения на множители к нахождению периода некоторой функции;
- квантовое нахождение периода этой функции.
Пусть:
нечётное число, не являющееся степенью простого числа, которое хотим
разложить на множители;
размер используемого основного регистра памяти.
Известно, что битовый размер этой памяти примерно в 2 раза больше размера , а точнее,
.
случайный параметр, такой что
и НОД (t, M) = 1, НОД наибольший общий делитель.
Отметим, что , ,
– фиксированы. В алгоритме Шора используется стандартный способ сведения задачи разложения к задаче поиска периода функции
для случайно подобранного числа t.
Значимость алгоритма заключается в том, что при использовании квантового
компьютера с несколькими сотнями логических кубитов, он сделает возможным взлом криптографических систем с открытым ключом. Например, криптографический алгоритм RSA (первые буквы фамилий Rivest, Shamir и
Adleman) использует открытый ключ N, являющийся произведением двух
больших простых чисел. Один из способов взломать шифр RSA - найти множители N. При достаточно большом N это практически невозможно сделать, используя известные классические алгоритмы.
См. также: Алгоритм, Модуль сравнения, O-нотация, Факторизация.
Литература
1. Гайнутдинова А.Ф. Квантовые вычисления. -Казань: 2007.
-Режим доступа: http://old.kpfu.ru/eng/departments/ktk/RESOURCE/posobie.pdf
2. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации.
-М.: Постмаркет, 2002. - 376 с.
-Режим доступа: http://quantmag.ppole.ru/Books/boumeister.pdf
4. Асимптотическое поведение функций. При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки x0 (или при x → ∞) удобно заменить исследуемую
функцию на более простую (или более изученную) функцию, которая в окрестности исследуемой точки x0 с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции. Так, функция sin x или tg x при x → 0 ведёт
себя как функция x, (x + 1)/x при x → ∞ - как 1, ln (1 + x) при x → 0 – как x и
т. д. Сама функция может быть не определена в точке x0 (или при x → ∞), и её
12
поведение в окрестности этой точки называется асимптотическим. Для сравнения асимптотического поведения функций используются обозначения: «O»
большое и «o» малое. Пусть
и
- две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки
(проколотой называется окрестность, из
которой исключена сама точка x0), и в этой окрестности не обращается в нуль.
Говорят, что:
а) является «O» большим от при
, если существует такая константа
, что для всех из некоторой окрестности точки имеет место неравенство
б) является «о» малым от при
кая проколотая окрестность
точки
равенство
;
, если для любого
, что для всех
найдется таимеет место не-
Иначе говоря, в первом случае отношение
в окрестности точки
ничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при
.
См. также: Алгоритм.
огра-
5. Базис (др.-греч. βασις - основа) - любые n линейно независимых векторов nмepного векторного (линейного) пространства образуют базис этого пространства (вектора линейно независимы, если любая их линейная комбинация не
равна нулю). Любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. В 3мерном декартовом пространстве базисом являются три единичных вектора по
координатным осям (орты): i, j, k. Любой вектор a единственным образом
можно представить в виде: a = ax i + ay j + az k. Числа ax, ay, az - проекции вектора a на координатные оси, называются компонентами (координатами) вектора a. Каждую проекцию можно представить в виде скалярного произведения: ax
=(a∙i), ay =(a∙j), az =(a∙k). Аналогично, любую функцию f можно разложить по
собственным функциям  k некоторого базисного линейного оператора:
f   bk k .
k
Коэффициенты bk представляют собой скалярное произведение bk   k f .
В квантовой информатике часто рассматривается базис Белла – ортонормированный базис в 4-мерном гильбертовом пространстве. Например, для двух
электронов, каждый из которых может находиться в состояниях «спин вверх» и
«спин вниз», этот базис выглядит так:
1
(    ) ,
2
1
(    ).
2
13
Любое состояние двухчастичной системы можно спроецировать на базис Белла.
Вектора, образующие базис, ортогональны и норма (модуль) каждого из них
равна единице.
См. также: Ортогональный базис, Ортонормированный базис, Гильбертово
пространство.
6. Булева алгебра (БА) – раздел математической логики, изучающий логические высказывания и операции над ними (исчисление высказываний). В обычной алгебре элементами являются числа. В БА – высказывания. Логическим
высказыванием называется любое утверждение, по отношению к которому
можно сказать истинно оно или ложно. Основоположник исчисления высказываний – английский математик Джордж Буль.
Джордж Буль (1815-1864) – английский математик и логик
В БА используются логические связки «не», «и», «или», «если... , то», «тогда и
только тогда». Если высказывание истинно, то это обозначается так: А = 1, если же оно ложно, то А = 0. Т. е. высказывание может быть только истинным
или ложным, третьего не дано. С помощью логических связок из простых высказываний строятся сложные.
Два простых высказывания, соединённые союзом «и», называются логическим
произведением (конъюнкцией). Произведение двух высказываний считается истинным (равным 1), тогда, и только тогда, когда оба сомножителя истинны, и
ложным (равным 0), если хоть один из сомножителей ложен. Логическое произведение обозначается символом ^. В качестве примера логического произведения возьмем два простых высказывания: «пять больше трёх», обозначим его
буквой А, и «пять меньше десяти» обозначим буквой В. Произведение С = А^В
= «пять больше трёх и пять меньше десяти».
Два простых высказывания, соединённые союзом ИЛИ (логическая связка
«или»), образуют сложное высказывание, называемое логической суммой
14
(дизъюнкцией). Если союз ИЛИ употребляется в исключающем смысле, то высказывание нельзя считать суммой. Логическая сумма обозначается знаком  (
от лат. vel – или). Сумма считается истинной, то есть равной единице, если истинно хотя бы одно из слагаемых. Рассмотрим пример логической суммы. Высказывание А: «Сегодня я пойду в институт». Высказывание В: «Сегодня я
пойду в театр». Складываем оба высказывания и получаем: «Сегодня я пойду в
институт ИЛИ в театр». Это сложное высказывание обозначается так: А + В = С
или (А  В) = С. Высказывание: «Деканом будет избран Петров или Иванов» не является логической суммой, потому, что деканом будет только из них.
Логическая связка «не» обозначается знаком . Применяются также связки «логическое следствие» (импликация) и «эвивалентность», обозначаемые соответственно  и .
Семантика логики высказываний часто близка к соответствующим высказываниям на естественном языке. Так, например семантика формул содержащих
связки  и  практически совпадает со смыслом фраз содержащих слова «не» и
«и».
Клод Шеннон впервые применил БА в теории цифровых машин. На идеях Буля
основана классическая информатика. В квантовой информатике используются
трёх- и многозначные (небулевы) логики.
Литература
Введение в булеву алгебру.
-Режим доступа : http://psi-logic.narod.ru/boo/boo.htm
7. Вектор состояния – элемент гильбертова пространства. Даёт полное описание замкнутой системы в выбранном базисе. Задается лучом гильбертова
пространства. Вектор состояния принято обозначать по Дираку символом
.
Если какой-то набор данных, определяющих систему, обозначить буквой x, то
вектор состояния будет иметь вид x (читается «кет икс»). Любой ВС можно
представить в виде линейной комбинации базисных состояний:
A   a i ei .
i
Если измерение какой-либо физической величины A в состоянии e1 приводит
к определённому результату A1, в состоянии e 2 – к результату A2 и т. д., то
измерение в состоянии A приведёт соответственно к результату A1, A2 и т. д.
с вероятностями |a1|2, |a2|2 и т. д.
Непрерывную функцию f(x) можно рассматривать как вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве с бесконечным числом измерений и компонент. В дираковских обозначениях: f - вектор, f ( x ) - его компоненты.
См. также: Гильбертово пространство.
15
8. Векторное исчисление - раздел математики, в котором изучаются операции
над векторами. Векторное исчисление включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры определяют действия над векторными
величинами. Например, суммой векторов a и b называется вектор, идущий из
начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a (правило треугольника). По такому правилу складываются, например, силы и скорости. Или (если начала векторов совпадают) строится
параллелограмм на векторах a и b . Вектор суммы совпадает с диагональю параллелограмма, начало его совпадает с началом векторов-слагаемых (правило
параллелограмма). В векторном исчислении установлены два способа умножения векторов: скалярный и векторный. В основе векторного анализа лежат правила дифференцирования и интегрирования векторных функций. Векторная
функция - это функция, значениями которой являются векторы в векторном
пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами векторной функции могут быть скалярные и векторные величины.
См. также: Векторное произведение, Скалярное произведение.
9. Векторное произведение (ВП) - это аксиальный вектор (псевдовектор), являющийся
результатом бинарной
операции «векторное
умножение»
над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве. ВП вектора a на
вектор b называется третий вектор c, который обладает следующими свойствами:
- модуль вектора c равен произведению модулей векторов-сомножителей на синус угла между ними: |c| = |a|∙|b| sin α.
- вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора a и b , а
направление его определяется с помощью правила буравчика: если поворачивать буравчик от вектор a к вектору b , то направление движения буравчика
укажет направление вектора c (говорят, что вектора a, b и c образуют правую
тройку).
Векторное произведение обозначается квадратными скобками: c = [a×b].
Свойства ВП:
- ВП произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;
- ВП двух коллинеарных (параллельных) векторов равно нулевому вектору;
- при перестановке сомножителей меняется знак ВП;
- координаты (проекции на координатные оси) ВП c = [a×b] векторов a (a1,
a2, a3) и b (b1. b2, b3) рассчитываются по формулам:
cx = a2b3 – a3b2; cy = a3b1 – a1b3; cz = a1b2 – a2b1 .
Понятие ВП можно обобщить на случай любого числа измерений.
Теоретически в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение (n – 1) векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинар-
16
ными произведениями с векторными результатами, то традиционное векторное
произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах.
Результат ВП, как и скалярного, зависит от метрики евклидова пространства.
В отличие от скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе
координат ВП зависит от ориентации прямоугольной системы координат или,
иначе, её «хиральности»: при переходе от левой к правой системе координат
ВП меняет знак.
10. Вектор состояния – элемент гильбертова пространства. Вектор состояния
представляет собой совокупность математических величин, полностью описывающих квантовую систему. Например, совокупность четырёх квантовых чисел
n, l, ml, ms определяет состояние электрона в атоме водорода. Всякую непрерывную функцию так же можно рассматривать как вектор в бесконечномерном
гильбертовом пространстве. Представление о векторах в бесконечномерном
пространстве ввёл английский физик Поль Дирак.
Поль Дирак (1902-1984) – английский физик, один из творцов квантовой механики
Поэтому волновая функция в квантовой механике есть частный случай вектора
состояния.
См. также: Гильбертово пространство, Волновая функция.
11. Вероятность - численная мера возможности наступления некоторого случайного события. Случайные события – это события, которые могут произойти или не произойти. Такие события делятся на два класса; единичные (однократные) и массовые. Единичные (случайные) события не подчиняются количественным закономерностям. Массовые же события обнаруживают статистические закономерности. В теории предполагается, что случайное событие
происходит или не происходит в результате испытания. Ожидаемое событие
называют благоприятным. Математической вероятностью называется предел
17
отношения числа благоприятных событий к общему числу событий, когда общее число событий стремится к бесконечности:
P  lim
N 
Ni
.
N
Здесь Ni – число благоприятных событий (или число испытаний, приводящих к
осуществлению ожидаемого события);
N – общее число событий (или общее число испытаний).
Например, при бросании монеты бросание – испытание, выпадение орла или
решки – событие. Вероятность выпадения, например, орла равна 1/2.
Чтобы определить вероятность не обязательно всегда проводить испытания.
Можно ввести априорную вероятность. В нашем примере с монетой вероятность выпадения орла или решки одинакова, и, поскольку других возможностей
нет, можно, не проводя испытаний (бросаний), приписать вероятности значение
1/2.
Вероятность события A при условии, что произошло событие В, называется
условной вероятностью события А и записывается как P(AB).
Для независимых событий P(AB) = P(A), для зависимых событий P(AB) ≠ P(A).
Сформулируем теперь основные теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух (или нескольких)
независимых событий равна сумме вероятностей этих событий
P(A + B) = P(A) + P(B).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого из этих
событий
P(A∙B) = P(A) ∙ P(B).
Вероятность произведения двух зависимых событий даётся произведением вероятности наступления одного из событий на условную вероятность наступления второго события
P(A∙B) = P(A) ∙ P(BA).
Суммой событий A1, A2, …, Ai, … , AN называется такое событие В, которое состоит в наступлении хотя бы одного события Ai :
N
B   Ai .
i 1
Произведением событий A1, A2, …, Ai, … , AN называется такое событие В, которое состоит в одновременном появлении всех событий:
N
B   Ai .
i 1
Рассмотрим несколько типичных задач по теории вероятностей.
18
Задача 1. Два стрелка одновременно стреляют в мишень. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,7, а вторым - 0,9.
Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
Ответ: P(A) = P1 ∙ P2 = 0,7∙0,9 = 0,63.
Задача 2. Бросают 4 игральные кости, каждая из которых имеет 6 граней. Найти
вероятность того, что выпадет по одинаковому числу очков на каждой из брошенных костей.
Ответ:
P(AAAA) = P(A)∙ P(A)∙ P(A)∙ P(A) =
1 1 1 1
    6  0,00463 .
6 6 6 6
Задача 3. Два стрелка стреляют одновременно по мишени. Вероятность попадания у первого стрелка 0,7, а у второго 0,8.Найти вероятности того, что ...
a) оба попали;
b) оба промахнулись;
c) попал один из стрелков;
d) попал хотя бы один из стрелков.
Составим таблицу всех возможных исходов, обозначив «+» - попал, «-» - промахнулся.
1 стрелок + - - +
2 стрелок + - + Ответ:
a) P(A) = P(A1)∙P(A2) = 0,7∙0,8 = 0,56 (теорема умножения вероятностей);
b) P(A) = P(A1)∙P(A2) = (1 - 0,7)(1 - 0,8) = 0,3∙0,2 = 0,06 (теорема умножения вероятностей);
c) имеем два взаимоисключающих исхода:
попал первый стрелок, то второй промахнулся,
попал второй стрелок, то первый промахнулся;
воспользуемся теоремой умножения и теоремой сложения вероятностей:
P(B) = 0,7(1 - 0,8) + 0,8(1 - 0,7) = 0,38.
d) в этом случае нас не интересует только один исход – когда промахнулись
оба, поэтому:
P(C) = 1- 0,06 = 0,94.
Литература
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. –М.: Наука, 1969. -576 с. (и более поздние издания).
12. Волновая функция (амплитуда состояния) — частный случай вектора состояния, одно из координатных его представлений, когда в качестве базиса выбираются пространственно-временные координаты (x, y, z, t).
См. также: Базис, Вектор состояния.
13. Гильбертово пространство (ГП) или пространство состояний – это векторное (линейное) пространство над полем комплексных чисел, обобще-
19
ние евклидова пространства на случай любого числа измерений. Названо в
честь немецкого математика Давида Гильберта.
Давид Гильберт (1862-1943) – великий немецкий математик
ГП - это математическая структура, которая представляет собой совокупность
элементов, называемых векторами состояния, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр.
ГП приписывают следующие свойства:
1. В ГП определено сложение элементов, т. е. есть любой паре элементов f и g
сопоставляется элемент h = f + g, так что f + g = g + f, (f + g) + h = f + (g + h) и
существует нулевой элемент.
2. В ГП определено умножение элемента ГП на действительное число a: a∙f =
g; при этом (a+b)∙f = a∙f + b∙f, a∙(f + g) = a∙f + a∙g и (a∙b)∙f - a∙(b∙f).
3. ГП может иметь любую (в том числе бесконечную) размерность.
4. Скалярное произведение в ГП вводится аксиоматически:
(f, g) ≥ 0, (f, f) = 0, если f = 0;
(f, g+h) = (f, g) + (f, h) - ассоциативность;
(af, g) = a(f, g), где a – любое действительное (вещественное) число;
(f, g) = (g, f)*- перестановочная симметрия (для вещественного пространства
сопряжение не требуется).
20
Норма вектора определяется как корень квадратный из скалярного произведения вектора самого на себя: || f || = ( f , f ) .
5. Сходимость в себе. Если имеется последовательность элементов f1, f2, ... и для
любого ε > 0 можно найти такое N, что || fn – fm || < ε, если n и m больше N, то эта
последовательность сходится к пределу f, который также является элементом
ГП.
6. Сепарабельность. В ГП существует полная ортонормированная система элементов, представляющая собой счётное множество. ГП, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном
гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел
такая, что
,
то в случае ГП с ортонормированным базисом
ряд
сходится по норме к некоторому элементу
. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного ГП (так называемая теорема Рисса - Фишера).
В квантовой механике ГП – это множество всех возможных состояний квантовой системы. Элементом ГП является вектор состояния, имеющий конечную
норму (длину). Размерность ГП в квантовой механике может быть различной в
зависимости от набора базисных состояний. Система с двумя базисными состояниями называется кубит. Это может быть электрон в состояниях «спин вверх»
и «спин вниз» или фотон с двумя состояниями поляризации (вертикальной и
горизонтальной). Размерность такого ГП равна двум. Система из N кубитов
имеет 2N линейно независимых состояний, и размерность соответствующего
ГП равна 2N . Если рассматривается функция непрерывно меняющейся координаты, то размерность такого ГП равна бесконечности.
Сопоставление характеристик линейного трёхмерного и бесконечномерного
векторного пространства дано в нижеприведённой таблице.
Таблица. Трёхмерное и бесконечномерное векторное пространство
Трёхмерное
странство
векторное
про- Бесконечномерное
странство
векторное
про-
Разложение вектора a по базис- Разложение функции f (x) по базисному
ному набору векторов e1, e2, e3: набору функций
:
21
Координаты вектора a в орто- Коэффициенты разложения функции
нормированном
базисе f (x) по ортонормированному набору
{e1, e2, e3}:
функций
:
Скалярное произведение векто- Скалярное произведение функций f (x) и
ров a и b:
g (x):
Условие ортонормированности Условие ортонормированности функций
векторов en :
на промежутке (a,b):
,
где δnk – символ Кронекера
Длина (норма) вектора a:
Норма функции f (x) :
См. также: Базис, Ортонормированный базис, Вектор состояния, Норма вектора, Скалярное произвдение, Функциональный анализ.
14. Дедекиндово сечение (сечение Дедекинда) – один из аксиоматических методов введения вещественных чисел из рациональных, предложенный в 1872 г.
немецким математиком Рихардом Дедекиндом.
22
Рихард Дедекинд (1831-1916) – известный немецкий математик-алгебраист
Множество вещественных чисел определяется как множество так называемых
дедекиндовых сечений. По Дедекинду, множество рациональных чисел можно
разбить на два класса (на два подмножества A и B) такие, что:
1.
для любых
и
;
2. B не имеет минимального элемента.
Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых
сечений. Далее в множестве таких чисел-разбиений вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Например, вещественному числу 2 соответствует дедекиндово сечение,
определяемое подмножествами:
A = {x ≤ 0, x2 ≤ 2};
B ={x > 0, x2 > 2}.
Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить 2 ,
можно рассечь множество рациональных чисел на две части: все числа, что левее 2 , и все числа, что правее 2 ; соответственно, 2 равен точной нижней
грани множества .
Ещё пример. Иррациональное число 7 5 разбивает множество рациональных
чисел на два класса. Один класс - множество отрицательных рациональных чисел, нуль и такие положительные рациональные числа а, что а7 < 5. Второй
класс – такие положительные рациональные числа b, что b7 > 5.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.
-Режим доступа: http://padabum.com/d.php?id=10256
15. Дискретное логарифмирование. Пусть задано показательное уравнение
ax = b. Задача дискретного логарифмирования состоит в нахождении целого неотрицательного числа x, удовлетворяющего данному уравнению. Чаще
23
всего задачу дискретного логарифмирования рассматривают в группе кольца
вычетов. Если оно разрешимо, у него должно быть хотя бы одно натуральное решение, не превышающее порядок группы (порядок группы – число её
элементов). Это сразу даёт грубую оценку сложности алгоритма поиска решения сверху - алгоритм полного перебора позволяет найти решение за число шагов, не выше порядка группы.
Рассмотрим задачу дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Вычеты - это просто остатки от деления на целое число.
Совокупность таких остатков называется кольцом вычетов. Например, при делении на 5 могут быть остатки 0, 1, 2, 3, 4 .
Пусть задано сравнение
Будем решать задачу методом перебора. Составим таблицу всех степеней числа
3. Каждый раз мы вычисляем остаток от деления на 17 (например, 3 3≡27 —
остаток от деления на 17 равен 10).
Таблица. Степени числа 3 и остатки от деления на 17
31 ≡ 32 ≡ 33 ≡ 34 ≡ 35 ≡ 36 ≡ 37 ≡ 38 ≡
3
9
10 13 5
15 11 16
39 ≡ 310 ≡ 311 ≡ 312 ≡ 313 ≡ 314 ≡ 315 ≡ 316 ≡
14 8
7
4
12 2
6
1
Теперь легко увидеть, что решением рассматриваемого сравнения является x=4,
поскольку 34≡13.
На практике модуль обычно является достаточно большим числом, и метод перебора является слишком медленным, поэтому возникает потребность в более
быстрых алгоритмах.
Алгоритм, позволяющий по заданному числу x достаточно быстро вычислять
ax (mod p), несложен. Обратная же операция - вычисление по заданному b его
дискретного логарифма является очень сложной. Это свойство дискретного логарифма используется в его многочисленных криптографических применениях.
Наиболее быстрые (из известных) алгоритмы решения этой задачи, основанные
на так называемом методе решета числового поля, по своей сложности сравнимы с наиболее быстрыми алгоритмами разложения чисел на множители.
См. также: Алгоритм, Модуль сравнения, Числовые кольца и поля.
16. Комплексные числа (КЧ) - числа вида
z = x + iy,
(1)
где х и у - действительные (вещественные) числа, а
- так называемая
мнимая единица (символ i предложил Л. Эйлер), - число, квадрат которого равен -1. x = Re z называется действительной (вещественной), частью, а у = Im z -
24
мнимой частью КЧ. Если x = 0, КЧ называется мнимым. Если у = 0, имеем действительное (вещественное) число. Таким образом, действительные и мнимые
числа - частные случаи КЧ. Множество КЧ образует поле КЧ, которое можно
рассматривать как расширение поля действительных чисел.
Форма записи КЧ (1) называется алгебраической.
Все алгебраические действия с КЧ выполняются, как с многочленами, с учетом
того, что i2 = -1.
Если отложить по оси абсцисс x, а по оси ординат y , то каждой точке координатной плоскости можно сопоставить КЧ (рис. 1).
Длина радиус-вектора r=|z| = x 2  y 2 называется модулем, угол φ - фазой КЧ.
Числа z = x + iy и z*= x – iy называются сопряжёнными. Комплексно сопряжённые КЧ расположены симметрично относительно действительной оси. Их сумма и произведение – действительные числа.
Рис. 1. Изображение комплексного числа точкой на
координатной плоскости или вектором.
Отметим несколько очевидных свойств комплексно сопряжённых чисел:
- если два раза выполнить комплексное сопряжение, то получится исходное
число;
- комплексное число равно своему сопряжённому в том и только в том случае,
если оно действительное (мнимая часть равна нулю);
- сопряжённое по отношению к сумме комплексных чисел равно сумме сопряжённых;
- сопряжённое по отношению к произведению комплексных чисел равно произведению сопряжённых.
КЧ можно представить вектором, приложенным к точке O (к началу координат)
(рис. 1). Тогда x и y можно считать координатами этого вектора. При такой
интерпретации сложение и вычитание КЧ производится по правилам сложения
и вычитания векторов. Такая интерпретация широко применяется в электротехнике (в теории переменных токов) и в квантовой механике.
25
Существует также матричная интерпретация КЧ. Число z = x + iy можно отождествить с матрицей второго порядка следующего вида:
x
y
y
.
x
Действия сложения, вычитания и умножения выполняются по обычным правилам матричной алгебры.
Из рис. 1 следует тригонометрическая форма КЧ:
z = r(cos φ + i sin φ).
(2)
На основании формулы Эйлера
ная форма КЧ:
получается показатель-
z = re±iφ .
Отсюда следует формула Муавра: zn = rn (cos nφ + i sin nφ).
См. также: Матрица, Формула Эйлера, Числовые кольца и поля.
(3)
17. Корреляция (от лат. correlatio) – статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющая, вообще говоря, функционального характера. В отличие от функциональной зависимости рассматривается тогда, когда
одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда случайных факторов;
проявляется в том, что условное распределение одной случайной величины при
фиксированной значении другой отличается от её безусловного распределения.
При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции, который можно определить так:
 , * 
1
N
N
 
i i

,
i 1
где N – число измерений пар случайных величин ξ и ξ*, между которыми предполагается статистическая нефункциональная взаимосвязь.
Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной
выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки
и иметь причинно-следственный характер.
18. Линейная алгебра – раздел алгебры, изучающий векторы, векторные, или
линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях
повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и в некоторых разделах физики (квантовой механике).
К линейной алгебре относят также теорию линейных уравнений, теорию определителей, теорию матриц, теорию векторных пространств и линейных преобразований в них, теорию форм (например, квадратичных), а также частично
теорию инвариантов и тензорное исчисление.
26
См. также: Гильбертово пространство, Матрица, Функциональный анализ.
19. Матрица - математический объект, представляющий собой прямоугольную
таблицу элементов, находящихся на пересечении строк и столбцов:
a11 a12
a
a
A = 21 22
... ...
a n1 a n 2
... a1m
... a 2 m
... ...
... a nm
(1)
Если число строк n равно числу столбцов m, матрица называется квадратной. В
математике матрицы применяются для компактной записи систем линейных
уравнений. При этом число строк равно числу уравнений, а число столбцов –
числу неизвестных. Решение систем уравнений сводится к операциям над матрицами (матричное исчисление).
Для матриц определены следующие алгебраические операции:
- сложение матриц, имеющих один и тот же размер (все элементы суммарной
матрицы равны попарно сумме всех соответствующих элементов матриц);
- умножение матриц одинакового размера (матрицу, имеющую столбцов,
можно умножить справа на матрицу, имеющую строк по правилу «строка на
столбец», т. е. каждый элемент матрицы-произведения равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго);
- умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения, вектор является частным случаем матрицы);
- умножение матрицы на число (каждый элемент матрицы умножается на это
число).
След матрицы – сумма диагональных элементов:
(читается трэйс, от англ. trace - след).
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и векторстроки называют просто векторами.
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица,
все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то
есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у
которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:
27
a11 0 ...
0 a22 ...
A=
... ... ...
0
0
0
0
.
...
... anm
Если все элементы a i i диагональной матрицы равны 1, то матрица называется
единичной и обозначается буквой Е:
1
0
E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
.
...
1
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше
(или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется
такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т
наверху.
Пусть дана матрица (1).
Переставим в ней строки и столбцы. Получим матрицу
a11
a
AT = 12
...
a1n
a 21
a 22
...
a2n
... a m1
... a m 2
,
... ...
... a mn
которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности,
при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
Произведением матрицы А на действительное число b называется матрица,
элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А
умножением на число b: b A = (b a i j ).
Суммой двух матриц А = (a i j) и B = (b i j) одного размера называется матрица C
= (c i j) того же размера, элементы которой определяются по формуле c i j = a i j +
b i j.
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением двух матриц А = (a i j ) и B = (b j k ), где i =
, j=
, k=
, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k ), элементы
которой определяются по следующему правилу:
28
c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k =
a i s b s k.
Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений
элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца
матрицы В (правило «строка на столбец»).
1 2
Пример. Найти произведение матриц A =
3 1
1
0
1 2 3
и B= 2 0 1 .
3 5 4
Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны
с 11 = 1×1+2×2+1×3 = 8, с 12 = 1×2+2×0+1×5 = 7, с 13 = 1×3+2×1 + 1×4 = 9,
с 21 = 3×1+1×2 + 0×3 = 5, с 22 =3×2+1×0+0×5 = 6, с 23 = 3×3+1×1+0×4 = 10.
AB =
8 7 9
, а произведение BA не существует.
5 6 10
Можно показать, что каждому линейному оператору, действующему в nмерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную
матрицу порядка n; и обратно - каждой квадратной матрице порядка n может
быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В
частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора,
отвечающие соответствующим собственным векторам.
В квантовой механике вводится понятие матрица плотности – матрица, при
помощи которой можно описывать как чистые состояния (замкнутые системы),
так и смешанные, то есть открытые системы, взаимодействующие со своим
окружением.
Для описания спина электрона в магнитном поле В.Паули ввёл набор из
трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве эрмитовых
2×2 матриц с нулевым следом. Матрицы Паули имеют вид:
Если к этим трём матрицам добавляют четвёртую единичную матрицу
то эти четыре матрицы образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц
размерности 2×2. Это значит, что любая двумерная матрица, в частности, мик-
29
рообъекта с двумя базисными состояниями (матрица Гамильтона), может быть
выражена как суперпозиция этих матриц.
В физике часто рассматриваются повороты в пространстве разной размерности
и соответствующие матрицы преобразований.
В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:
Поворот выполняется путём умножения матрицы поворота на векторстолбец:
.
Координаты (x', y') в результате поворота точки (x, y) имеют вид:
,
.
Верхний знак предполагает правую систему координат и вращение против часовой стрелки или левую систему координат и вращение по часовой стрелке. В
двух других случаях берётся нижний знак. Направление вращения (по или против часовой стрелки) определяется для наблюдателя, смотрящего против
направления оси вращения.
Вращение в трёхмерном пространстве представляет собой комбинацию поворотов вокруг трёх ортогональных осей. Матрица преобразования представляет
собой в этом случае произведение соответствующих трёх матриц поворота.
Ниже приведены матрицы поворота на угол α вокруг каждой из трёх осей декартовой системы координат.
,
,
.
Аналогично записываются матрицы поворота в пространстве любой размнргости n > 3. В этом случае, однако, нельзя указать единственную ось, перпендикулярную двум данным осям. Поэтому нельзя говорить о вращении вокруг оси,
30
а можно говорить только о вращении в плоскости. Последнее утверждение
справедливо и при n = 2. Например:
- матрица поворота в 5-мерном пространстве в плоскости
,
- матрица поворота в 7-мерном пространстве в плоскости
.
Говоря о матрицах, нельзя хотя бы вскользь не упомянуть о тензорах. Если
матрица – это плоская таблица чисел, то тензор второго ранга можно рассматривать как «стопку» матриц (трёхмерную таблицу чисел). Тензоры, как и матрицы, могут иметь любую размерность. Скаляры, векторы, матрицы можно
рассматривать как частные случаи тензоров: скаляр – это тензор нулевого ранга, вектор - первого ранга, матрица – второго ранга.
См. также: Оператор.
20. Модуль сравнения. Два целых числа a и b сравнимы по модулю натурального числа N (или равноостаточны при делении на N), если
при делении на N они дают одинаковые остатки. Число N называется модулем
сравнения. Можно дать эквивалентную формулировку: a и b сравнимы по модулю N, если их разность (a – b) делится на N без остатка, или если a может
быть представлено в виде a = b + kN, где — некоторое целое число. Например
47 и 15 сравнимы по модулю 8, так как 47 = 15 + 4∙8. Утверждение
«a и b сравнимы по модулю N» записывается в виде: a  b(mod N ) .
Умножение по модулю есть остаток от деления произведения на . Эта операция записывается так:
.
21. Неархимедова геометрия – совокупность геометрических предложений,
вытекающих из групп аксиом: инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности системы аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии, и не связанных с аксиомами непрерывности (с аксиомами Архимеда и полноты). По
Гильберту, основными (неопределяемыми) понятиями являются объекты: точ-
31
ки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами: "принадлежит", "между", "конгруэнтен". Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения
удовлетворяли указанным аксиомам.
В узком смысле неархимедова геометрия описывает геометрические свойства
прямой, на которой не верна аксиома Архимеда (неархимедова прямая). Для исследования геометрических соотношений в неархимедовой геометрии вводится
исчисление отрезков - неархимедова числовая система, рассматриваемая как
специальная комплексная числовая система. Определяются понятия отрезка,
отношения отрезков, сложение и умножение отрезков. В частности, вводится
дезаргова числовая система (Жерар Дезарг – французский геометр 17 века) неархимедова система, в которой умножение отрезков некоммутативно. С помощью этих числовых систем в неархимедовой геометрии строится теория подобия фигур, теория площадей и т. д. Неархимедова геометрия имеет замечательные свойства. Например, в отличие от евклидовой геометрии, p-адический
шар состоит из конечного числа шаров меньшего радиуса, при этом нет пустот
между меньшими шарами.
В 1900 г. систематически развил и изложил неархимедову геометрию ученик Д.
Гильберта М. Ден (1878-1952).
См. также: Аксиома Архимеда, p-адические числа.
22. Норма вектора – в евклидовом пространстве то же, что и длина (или модуль) вектора. В евклидовом n-мерном пространстве длина вектора рассчитывается как корень из скалярного произведения этого вектора на себя.
В общем случае норма обобщает понятие длины вектора или абсолютного значения числа. В произвольном векторном (линейном) пространстве L
над полем вещественных или комплексных чисел нормой вектора x (или числа
x) называется число x , удовлетворяющее следующим четырём аксиомам:
1. x - вещественное число.
2. xy = x × y - норма от произведения равна произведению норм.
3. 0 = 0.
4. x  y ≤ x + y - правило треугольника.
Вектор
с
единичной
нормой
(x
=
1)
называется нормальным или нормированным.
Любой
ненулевой
вектор x можно нормировать, если разделить его на свою норму.
Каждое рациональное число можно единственным образом представить в виде
несократимой дроби:
x  p
где p – простое число;
γ – некоторое целое число;
m – целое число;
n – натуральное число:
m
,
n
32
p, m, n – взаимно простые (целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1).
Тогда ‖x‖p = p-γ – p-адическая норма, в чём легко убедиться путём простой проверки на выполнимость указанным выше аксиомам.
В кантовой механике норма вектора состояния (модуль волновой функции)
определяет вероятность обнаружить систему в некотором состоянии. Поэтому
норма вектора состояния изолированной системы должна сохраняться. Соответствующие операторы эволюции такой системы называются унитарными, а
преобразование – унитарным.
См. также: Унитарное преобразование, p-адические числа, Волновая функция.
Литература
Бухштаб А.А. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.
-Режим доступа: http://padabum.com/d.php?id=10256
23. О-нотация - система обозначений для оценивания трудоёмкости алгоритмов, позволяющая учитывать в функции f(n) лишь наиболее значимые элементы. Например, в функции f(n) = 5n2 + 2n – 7 при достаточно больших n первое
слагаемое значительно превосходит остальные слагаемые, и скорость роста
функции определяется первым слагаемым. Оценка поведения функции записывается в виде: O(n2). Таким образом, O-нотация позволяет оценить характер изменения функции с ростом n.
Все основные функции делятся на ряд групп в зависимости от скорости их роста (в порядке возрастания скорости):
- постоянные функции, которые с ростом n не меняются, О(1);
- функции с логарифмической скоростью роста О(log2n);
- функции с линейной скоростью роста О(n);
- функции с линейно–логарифмической скоростью роста О(n*log2n);
- функции с квадратичной скоростью роста О(n2);
- функции со степенной скоростью роста О(na) при а>2;
- функции с показательной или экспоненциальной скоростью роста О(2n);
- функции с факториальной степенью роста О(n!).
При выборе алгоритмов при прочих равных условиях предпочтительно использовать алгоритмам с наименьшей скоростью роста трудоемкости, позволяющие
за одно и то же время решить задачи с большей размерностью.
При малых n “лучшие” алгоритмы могут вести себя хуже, чем “плохие”.
Например, показательная функция растёт медленнее, чем логарифмическая, линейная или факториальная.
Алгоритмы класса О(2n) и О(n!) следует использовать с большой осторожностью, учитывая катастрофический рост их трудоемкости уже при n >100.
Например, если число базовых операций определяется соотношением 2 n, то при
n = 100 это число будет примерно равно 1030 , и если одна базовая операция выполняется за 1 микросекунду, то это потребует около 10 24 секунд, т. е. 1016 лет.
33
Задачи с такой трудоемкостью часто встречаются на практике, и их точное решение невозможно даже на сверхбыстрых суперкомпьютерах!
Если в программе используется несколько алгоритмов, трудоёмкость программы в целом оценивается следующим образом. При последовательном выполнении алгоритмов с оценками O(f1), O(f2), …, O(fk) общая трудоёмкость определяется трудоёмкостью алгоритма с максимальным значением:
O (программы) = max (O(f1), O(f2), . . ., O(fk))
При вложенном выполнении общая трудоёмкость есть произведение оценок
вложенных друг в друга алгоритмов: O(программы) = O(f1)∙O(f2)∙…O(fk).
См. также Алгоритм.
24. Оператор - это математический символ, означающий правило, по которому
одному вектору x гильбертова пространства сопоставляется другой вектор

y  Q x . Любое действие над вектором x можно записать в виде оператора.
Понятие оператора является обобщением понятия функции. Например, в случае
функции y  f (x ) сопоставляются точки на числовой оси x  y . Оператор
называется линейным, если выполняются следующие два условия:


2
1

Q

Q x  x   Q x  Q x
1

2
;

Q x    Q x ,
где α – постоянный множитель.
Действие оператора на дискретную функцию можно представить в виде:

Q
n
  Lnm m . Совокупность элементов Lnm называется матрицей оператора
m

Q . Если функция непрерывна, то сумма превращается в несобственный интеграл:

b
Q ( x)   L( x, y ) ( y )dy ,
a
где L( x, y ) - ядро оператора, которое можно рассматривать как непрерывную
матрицу. Напомним, что определённый интеграл называется несобственным,
если один или оба его предела равны ∞ или функция  ( y ) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка a, b .


Два ограниченных линейных оператора Q и Q * в гильбертовом пространстве
называются сопряжёнными, если для всех векторов х и у из множества


Н справедливо соотношение ( Q x, у) =(х, Q *у).
Здесь круглыми скобками обозначено скалярное произведение.
Оператор, совпадающий со своим сопряжённым, называется самосопряжённым
или эрмитовым. Оператор, оставляющей норму вектора неизменной, называется унитарным.
34
Каждому линейному дифференциальному оператору сопоставляется уравнение
(основное уравнение теории линейных операторов)

Q x  qx ,

т. е. в результате действия оператора Q на функцию x получается произведение некоторого параметра q на ту же функцию x. Функции x1, x2, … (решения

последнего уравнения) называются собственными функциями оператора Q , а
соответствующие значения параметра q1, q2, …, при которых собственные
функции конечны, - его собственными значениями. Спектр собственных значений может быть дискретным, непрерывным и смешанным.Если некоторому
значению q соответствует несколько собственных функций, состояние называется вырожденным.
Собственные значения эрмитова оператора вещественны, а собственные
функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны
друг другу. Именно такие операторы рассматриваются в квантовой механике.
Собственные функции вырожденного состояния, вообще говоря, не ортогональны. Однако их можно заменить другими функциями – линейными комбинациями прежних, которые тоже будут собственными функциями и будут взаимно ортогональны.
Большое значение в физике имеет векторный дифференциальный оператор набла (или градиент)
,
где
— единичные векторы по осям x, y, z.
Также используется оператор Лапласа (лапласиан):
.
В квантовой механике всем физическим величинам соответствуют операторы, а
возможные значения этих физических величин есть собственные значения соответствующих операторов.
Для записи уравнения Шрёдингера используется оператор энергии, называемый оператором Гамильтона (гамильтонианом):
.
С использованием гамильтониана основное уравнение квантовой механики для
стационарного случая, когда потенциальная энергия U не зависит от времени,
записывается так:
где E – возможные значения энергии микрообъекта (собственные значения гамильтониана).
35


Коммутатором операторов P и Q в алгебре, а также в квантовой механи





ке, называется оператор [ P , Q ] = P Q - Q P . В общем случае он не равен нулю.
Один из важных вопросов в квантовой механике – вопрос о возможности одновременного измерения значений физических величин, характеризующих квантовомеханическую систему. Если две такие величины одновременно измеримы,
то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, т. е. множества собственных функций операторов величин совпадают. Соответственно,
некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример таких операторов - операторы импульса и координаты.
Рассмотрим теперь представление операторов матрицами.
Пусть действие оператора

Q на функцию φ преобразует её в функцию f :

Q  f .
(1)

Рассмотрим некоторый вспомогательный (базисный) оператор R . Его собственные функции ψ1, ψ2, ψ3, … ортонормированную систему, т. е.  m  n   mn ,
где δmn – символ Кронекера (δmn= 1 при m = n и δmn= 0 при m ≠ n).
Разложим функции φ и f по собственным функциям базисного оператора.
(2)
   an n ,
n
f   bk k .
(3)
k
Коэффициенты a n и bk представляют собой скалярные произведения:
an   n  и bk   k f .
Функцию (2) можно представить в виде матриц порядка ∞×1(матрица-столбец)
или 1×∞(матрица-строка):
a1
a2
φ= .
;
φ = a1 , a2 ,... .
;
f = b1 , b2 ,... .
.
.
Аналогично для функции (3):
b1
b2
f = .
.
.
Подставим (2) и (3) в (1).
36

 an Q n  bk k .
n
(4)
k
Умножим левую и правую части уравнения (4) скалярно на Ψm .

Q n
 an  m
n
=
b
k
m k .
k
Но  m  k   mk , поэтому сумма справа равна bm и уравнение (4) можно записать
в виде:
(5)
Qmnan = bm ,
n
где Qmn =  m

Q n
=

 Q

m
n
dV .
Уравнение (5) представляет собой правило, по которому совокупность элементов a n преобразуется в совокупность коэффициентов bm . Совокупность величин Qmn (матрица с бесконечным числом строк и столбцов) представляет оператор

Q . Уравнение (1) в матричном виде имеет вид:
Q11Q12 .........
Q21Q22 .........
..........Qmn ...
...................
a1

b1
a2

.
.
b2
.
.
.
(6)
Если вспомогательный (базисный) оператор есть оператор координаты, то говорят о координатном представлении. Если оператор импульса – об импульс
ном представлении. Матрица оператора Q в собственном представлении является диагональной, причем её диагональные элементы являются собственными
значениями этого оператора. Таким образом, задача об определении собственных значений оператора в матричной формулировке сводится к нахождению
такого преобразования матрицы, которое приводит её к диагональному виду.
Эрмитову оператору соответствует эрмитова матрица, для матричных элемен
тов которой справедливо соотношение Qnm  Qmn .
Представление квантовой механики в матричной форме позволяет формулировать уравнения квантовой механики так, что в них не присутствует волновая
функция. Сами уравнения по форме совпадают с уравнениями классической
механики, в которых классические физические величины заменены соответствующими матрицами.
См. также: Матрица, Ортогональные функции, Ортонормированный базис.
25. Ортогональные функции - две вещественные функции
интервале
называются ортогональными, если
и
на
37
.
Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных - скалярное произведение функций под интегралом. Интегрирование по отрезку заменяется при этом на интегрирование
по области соответствующей размерности. Скалярное произведение ортогональных функций равно нулю:    0.
1
2
26.
Ортогональный
базис - базис,
составленный
из
попарно ортогональных векторов. В трёхмерном декартовом пространстве такой базис образуют три единичных вектора по трём координатным осям i, j, k (так
называемые «орты»). В общем случае ортогональный базис - это система попарно ортогональных элементов
гильбертова пространства ,
такая, что любой элемент
можно однозначно представить в виде сходящегося по норме ряда
называемого рядом Фурье элемента
по системе
.
Часто базис
выбирается так, что
, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа
называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису
и имеют вид
.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система
была базисом, является равенство Парсеваля (аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах).
В ортонормированном базисе (и только в нем) скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений координат сомножителей.
27. Ортонормированный базис - ортогональный базис, удовлетворяющий
условию единичности нормы всех его элементов (ортогональный базис с нормированными элементами).
Используя символ Кронекера, можно записать:
.
Т. е. скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (
), и равно единице при совпадающем индексе, когда
берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Ортогональный и ортонормированный базис используется в физике чаще всего.
38
Линейная независимость следует из ортогональности, т. е. достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису
можно найти так:
.
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна так называемому
равенству Парсеваля: для любого вектора a квадрат нормы вектора равен сумме
квадратов коэффициентов его разложения по базису:
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая.
28. Позиционная система счисления - система счисления, в которой значение
каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции
(разряда). Известна с глубокой древности (шумеры, Вавилон, древняя Индия).
Определяется целым числом a > 1, называемым основанием системы счисления.
Основание системы определяет количество знаков (цифр), используемых для
изображения числа. При a = 2 система называется двоичной, при a = 10 – десятичной и т. д. Последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или "вес" каждого разряда, называется базисом системы. Базис двоичной системы: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 2n, ... Базис десятичной системы: 100,
101, 102, 103, 104, ..., 10n, ...
Любое целое число можно представить в виде линейной комбинации степеней
числа a:
n 1
N   xk a k ,
k 1
где xk – цифры – целые числа, удовлетворяющие неравенству 0 ≤ xk ≤ a – 1.
Каждый базисный элемент ak в таком представлении называется разрядом,
старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется номером разряда (значением показателя степени).
Совокупность цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи числа, называется алфавитом системы счисления. Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Алфавит двоичной системы: 0, 1.
Алфавит десятичной системы: 0, 1, 2, 3, …, 9.
Представление положительных и отрицательных чисел в памяти компьютера.
Прямой и дополнительный код числа.
39
Прямой код
Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.
Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:
0 00011010 - положительное число
1 00011010 – отрицательное число
Количество значений, которые можно поместить в семиразрядной ячейке со
знаком в дополнительном разряде равно 256. Это совпадает с количеством значений, которые можно поместить в восьмиразрядную ячейку без указания знака. Однако диапазон значений уже другой, ему принадлежат значения от -128
до 127 включительно (при переводе в десятичную систему счисления).
При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.
Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код.
Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными
устройствами компьютера.
Дополнительный код
В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для
представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным
кодом и с отрицательным числом.
Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются,
т. е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1
0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного
кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.
Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:
1 1110011 + 1 = 1 1110100
В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом
числа.
Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить.
Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что
это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить
операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить,
какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда
40
проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.
Сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в прямом коде
1. Прямой код числа 5: 0 000 0101
Прямой код числа -7: 1 000 0111
2. Два исходных числа сравниваются. В разряд знака результата записывается знак большего исходного числа.
3. Если числа имеют разные знаки, то вместо операции сложения используется операция вычитания из большего по модулю значения меньшего. При
этом первый (знаковый) разряд в операции не участвует.
4.
_000 0111
5.
000 0101
6.
------------7.
000 0010
8. После выполнения операции учитывается первый разряд. Результат операции 1 000 0010, или -210.
Сложение положительного числа и отрицательного числа, представленного в дополнительном коде
1. Прямой код числа 5: 0 000 0101
Прямой код числа -7: 1 000 0111
2. Формирование дополнительного кода числа -7.
Прямой код : 1 000 0111
Инверсия : 1 111 1000
Добавление единицы: 1 111 1001
3. Операция сложения.
4.
0 000 0101
5.
+1 111 1001
6.
-------------7.
1 111 1110
8. Проверка результата путем преобразования к прямому коду.
Дополнительный код: 1 111 1110
Вычитание единицы : 1 111 1101
Инверсия : 1 000 0010 (или -210)
Чтобы перевести чисто периодическую дробь в обыкновенную, надо в числитель дроби записать значение периода, а в знаменатель столько 9, сколько цифр
в периоде.
Например: 0,(42) = 42/99 = 14/33.
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь,
надо составить дробь следующим образом:
– в числитель записать разность числа, состоящего из цифр до периода и цифр
периода, и числа, состоящего из цифр до периода;
– а в знаменатель записываются 9 столько, сколько цифр в периоде, и 0 столько,
41
сколько цифр от запятой до периода.
Например: 0, 18(359) = (18359 - 18)/99900.
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.
-Режим доступа: http://padabum.com/d.php?id=10256
29. Преобразование Адамара - унитарный оператор, действующий
на кубит по правилу:
;
.
Названо в честь французского математика Жака Адамара.
Жак Адамар (1865-1963) - французский математик и механик
Оператор Адамара можно задать матрицей:

H
1 1 1 

.
2 1  1
Если преобразование Адамара применить два раза, то получится исходное состояние.
Если из элементов матрицы H составить базисные вектора
e1= [h11, h12] = [1, 1] и [h21, h22] = [1, -1] ,
42
то они будут соответствовать повороту ортогональной системы координат на
45° относительно единичного базиса (рис. 1). Легко показать, что в базисе, повёрнутом на 45◦, значение кубита строго определено. Действительно, пусть кубит находится в состоянии A 
1
 0  1  (состояния 0 и 1 равновероятны.
2
Применяя к этому состоянию преобразование Адамара, получим:
т. е. значение кубита строго определено.

H
A  0 ,
Рис. 1. Преобразование Адамара как поворот системы координат на 45◦.
Если представлять состояние квантового кубита как точку на окружности, то
преобразование Адамара равносильно симметричному относительно луча под
углом π/8 отражению точки.
Как реально осуществить преобразование Адамара?
Рассмотрим устройство, называемое «делитель 50/50» (рис. 2). Если это луч
света, то, проходя через такое устройство (рис. 2, внизу), он расщепляется на
два луча одинаковой интенсивности. Если на входе частица, то на выходе она с
равной вероятностью может пойти вверх или вниз. Пусть на входе кубит с произвольным состоянием
A
вх
a0
вх
 b 1 вх ,
где a – амплитуда вероятности обнаружить падающую на делитель частицу
сверху;
43
b - амплитуда вероятности обнаружить падающую на делитель частицу
сверху.
Рис. 2. Делитель 50/50 и преобразователь Адамара.
Тогда на выходе будет состояние:

A
вых
H A
вх


1
a  b 0
2
вых
 a  b  1
вых
.
Здесь (a + b) и (a – b) - – амплитуда вероятности обнаружения частицы в верхнем или нижнем выходящем пучке. Если a = 0 или b = 0, то частицу можно с
равной вероятностью обнаружить в любом из выходящих пучков. Если a = b, то
частица будет обязательно обнаружена в верхнем пучке, но не в нижнем.
Преобразование Адамара – одно из основных преобразований в квантовой информатике. Используется, в частности, при осуществлении протокола телепортации.
Литература
1. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации.
44
-М.: Постмаркет, 2002. - 376 с.
-Режим доступа: http://quantmag.ppole.ru/Books/boumeister.pdf
30. Преобразование Фурье - преобразование функции, превращающее её в
сумму частотных составляющих (гармоник). Говоря более строго, преобразование Фурье - это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную
функцию
на базисные
функции,
в
качестве
которых
выступают синусоидальные функции, т. е. представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Дискретное преобразование Фурье - это разновидность преобразования Фурье, широко применяемая в алгоритмах цифровой обработки сигналов, в сжатии звука в mp3, сжатии
изображений в JPEG и т. д.
Существуют два способа представления сигнала - один из них основан на математическом представлении сигнала как функции времени x = f(t), где независимая переменная t - время, и второй в виде X=F(ω), где независимая переменная ω - частота. С помощью преобразования Фурье производится преобразование из одной формы представления сигнала в другую. Если сигнал имеет аналоговый вид - представляет собой непрерывную функцию, определенную на
бесконечном промежутке времени, то преобразование Фурье производится по
формулам (прямое и обратное преобразование):
Дискретный сигнал представляет собой решётчатую функцию (т. е. функцию,
значения которой определены только в дискретные моменты времени), определённую на конечном промежутке времени (время измерения конечно!). Преобразование Фурье принимает в этом случае следующий вид:
где: T - период дискретизации;
n - номер отсчёта дискретизированного сигнала, n = 0, 1, 2,…, N-1;
k - номер гармоники сигнала, k = 0, 1, 2,…, (N – 1), частота гармоник равна
k/Tизм, где Tизм- период измерения;
W - вспомогательная функция.
Преобразование Фурье используется во многих областях науки в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятно-
45
сти, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике,
многих других.
геометрии
и
31. Проектор (иначе оператор проектирования или проекционный оператор) - в линейной алгебре и функциональном анализе так называется линейный



оператор P , действующий в линейном пространстве, если P 2  P . Иногда
проекционный оператор называют идемпотентным. Идемпотентность - означает свойство оператора, которое заключается в том, что повторное действие
его над объектом не изменяет объекта. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов, произведя его от латинских слов idem («тот же самый») и potens («способный»).
См. также: Оператор.
32. p-адические числа (читается: пэ-адические числа) – расширение поля рациональных числ. Введены в 1897 году немецким математиком Куртом Гензелем.
Курт Гензель (1861-1941) – немецкий математик
Рассмотрим сначала так называемые квазибесконечные числа. Будем называть
так бесконечную последовательность цифр, идущую справа налево, например:
...4919243793684028831439284568.
Сложение, вычитание и умножение таких чисел производится по общему правилу действий с многозначными числами. Для деления удобнее, если основанием системы счисления является простое число.
Рассмотрим те квазибесконечные числа, в которых влево от некоторой позиции
идут одни нули, например:
...000000, ...000001, ...000002, ...002937, ...
46
Такие числа при сложении и умножении ведут себя как обычные неотрицательные целые числа.
Числа, в которых влево от некоторой позиции идут одни только наибольшие
цифры данной системы счисления (девятки в десятичной системе, единицы в
двоичной), можно отождествить с обычными отрицательными целыми числами. Покажем это.
Вычтем из нуля (...00000) единицу (...00001). Следуя алгоритму вычитания
столбиком с заимствованием из следующего разряда, получим ...99999. Снова
вычитая единицу, получим ...99998, ...99997 и т. д. Это обычный дополнительный код, широко используемый в компьютерах для представления отрицательных чисел.
Отрицательное число –x рассматривается как число, которое при сложении
с x даёт ...00000. Значит, чтобы получить −x, нужно:
-каждую цифру xi заменить на (N − 1) − xi (где N — основание системы счисления);
- к получившемуся числу прибавить ...00001.
Например, в десятичной системе:
−...000000023 = ...999999977
В двоичной системе:
−...000000101 = ...111111011
p-адические числа отличаются от рассмотренных квазибесконечных чисел
лишь формой записи: цифры обычно записываются в обратном порядке (бесконечный хвост уходит вправо, а не влево).
Дадим
определение.
Целым p-адическим
числом
для
заданного простого p называется бесконечная последовательность
вычетов
по модулю , удовлетворяющих условию:
Сложение и умножение целых p-адических чисел производится как почленное
сложение и умножение таких последовательностей.
Можно ввести также p-адические дроби и комплексные числа.
Формальное определение, приведённое выше, требует пояснения. Рассмотрим
более подробно логику введения p-адических чисел. Существуют следующие
обобщения понятия числа:
1) натуральные числа;
2) целые числа;
3) рациональные числа (дроби);
4) вещественные (действительные) числа;
5) комплексные числа;
6) кватернионы (содержат одну вещественную единицы, 3 комплексных, коммутативность отсутствует);
7) октавы (разных единиц уже 8, ассоциативность отсутствует).
В этой последовательности каждое следующее множество чисел включает
предыдущее как частный случай. При этом каждый раз можно доказать некото-
47
рую «естественную» теорему единственности такого расширения понятия числа. Таким образом, может показаться, что существуют некоторые «самые
настоящие числа», а все прочие - частные случаи. Однако, на самом деле никаких «самых настоящих чисел» не существует, а понятие числа можно обобщать
исходя из разных предпосылок. При введении p-адических чисел вплоть до рациональных чисел включительно мы идём по приведённому выше списку, но от
рациональных чисел пути расходятся: вместо того, чтобы переходить к вещественным, переходим к p-адическим.
Рассмотрим более подробно переход от рациональных чисел к вещественным и
посмотрим, как вместо вещественных можно перейти к p-адическим.
Вещественные числа можно ввести тремя способами:
1) через бесконечные десятичные дроби;
2) через дедекиндовы сечения;
3) через пополнение рациональных чисел по норме (если мы хотим задать норму на поле рациональных чисел, то это будет либо абсолютная величина, либо
p-адическая норма).
В первом случае вещественное число определяется как десятичная дробь, т. е.
последовательность цифр {0, 1, 2, 3, …,9, …}, в которой после одной из цифр
стоит десятичная запятая. При этом:
1) слева от запятой может быть только конечное число ненулевых цифр;
2) справа от запятой количество цифр может быть бесконечным;
3) дроби с бесконечным хвостом из цифр "9" не рассматриваются, считается,
что 0,(9) = 1.
4) перед числом может стоять знак «плюс» или «минус».
Вместо десятичных дробей можно рассматривать дроби с другими основаниями
системы счисления. При этом будет получаться то же самое множество вещественных чисел.
p-адическое число также можно определить как бесконечную дробь, т. е. последовательности цифр {0, 1, ..., (p -1), …}, в которой после одной из цифр стоит запятая. При этом:
1) справа от запятой может быть только конечное число ненулевых цифр;
2) слева от запятой количество цифр может быть бесконечным.
Аналог условий 3 и 4 отсутствует.
Можно рассматривать системы счисления с различными основаниями p, но
только для простых p (делящихся только на единицу и на себя) возможно определить деление на все ненулевые числа. При этом разным p будут соответствовать разные множества p-адических чисел.
Рациональным числам по-прежнему соответствуют периодические дроби.
Такие дроби можно рассматривать и как формальные ряды по степеням основания системы счисления (простого p) вида

x   xn p n ,
n k
где xn = 0, 1, .., (p – 1) - цифра с соответствующим номером n.
В обоих случаях часть m-ичной (p-ичной) дроби слева от запятой называется целой частью (обозначается [x]), а часть дроби справа от запятой - дробной
48
частью (обозначается {x}).
Для вещественных чисел множество всех возможных целых частей имеет мощность множества натуральных чисел, а множество всех возможных дробных частей - мощность самого множества вещественных чисел («мощность континуума»). Напомним, что мощность множества - это обобщение понятия количества или числа элементов, которое имеет смысл для всех множеств, включая
бесконечные.
Для p-адических чисел множество всех возможных целых частей имеет мощность самого множества p-адических чисел («мощность континуума»), а множество всех возможных дробных частей - мощность множества натуральных
чисел. Действительно, перед запятой здесь может быть бесконечно много цифр,
а после запятой цифр всегда конечное количество.
Гензель доказал, что понятие непрерывности можно вывести не только так, как
это делается в случае действительных чисел. Действительные числа упорядоченно расположены на числовой оси, и любой отрезок на прямой можно до
бесконечности делить на два меньших отрезка, имеющих общую границу. В
случае p-адических чисел картина выглядит совершенно иначе. Во-первых,
множество p-адических чисел является неупорядоченным: для любой пары таких чисел нельзя сказать, что одно из них «больше», а другое «меньше». Соответственно, между этими числами нет и интервала, в котором можно было бы
искать другие числа («меньше первого и больше второго»). Во-вторых, множество p-адических чисел является дискретным.
Аналогично проводится разложение действительных чисел по разным основаниям: всякое число можно записать в виде суммы степеней одного и того же
числа-базы (10 - в десятичной системе, 2 - в двоичной и т. д.).
В случае p-адических чисел в качестве основания берется простое число – делимое лишь на себя и 1 (такое число по-немецки называется Primzahl, отсюда
название таких чисел p-adische Zahlen). Гензель показал, что если рациональные числа, (дроби) выражать через степени простого числа, то получается
множество особых чисел, названных им p-адическими. Каждому числу p соответствует своё дерево (своя «параллельная математическая Вселенная»).
p-адические числа можно уподобить ветвям огромного, бесконечно ветвящегося дерева (рис. 1). Такое дерево «вырастает» из некоторой точки на числовой
оси. В каждом узле ветка делится на p ветвей (в данном случае на две ветви).
49
Рис. 1. p-адическое дерево (для p = 2).
Пусть мы хотим записать путь по этим ветвям. В каждом узле нумеруем ветки
дерева одной p-ичной цифрой от 0 до (p - 1) (в данном случае 0 или 1). Таким
образом, наш путь по ветвям дерева определяется последовательностью цифр
(нулей и единиц). Последовательности 1, 0, 0, 0, 0, … ,0, … 0,... и 0, (p - 1), (p 1), (p - 1), … , (p - 1), (p - 1), … не эквивалентны, им соответствуют разные пути, поэтому любую последовательность цифр можно наглядно отождествить с
p-адическим числом.
Можно также рассмотреть формально p-адичные дроби с бесконечными хвостами цифр в обе стороны. При этом знак перед дробью не ставится (как для pадических чисел), уходящие вправо хвосты из цифр (p - 1) обрабатываются как
для вещественных чисел. Множество таких дробей называют p-адическим соленоидом. На p-адическом соленоиде определено сложение и вычитание, но не
умножение и деление. Элементы p-адического соленоида можно рассматривать
как пары (x, y), где х - вещественное число из отрезка [0, 1), а y - целое pадическое число.
(x, y) + (u, v)=({x + u}, y + v + [x + u])
p-адический соленоид действительно напоминает обычный соленоид: точки
близкие к нулю могут быть близки к нему как вдоль нити (вещественные числа), так и поперёк, на следующих витках (p-адические числа).
С конца 20-го века понятие p-адического числа стало широко применяться в
математической физике, в частности, в моделях p-адической квантовой механики (квантовая гравитация, теория суперструн и др.). В эксперименте мы всегда
50
имеем дело только с целыми и рациональными числами - частным случаем pадических чисел. Иррациональные числа, т. е. бесконечные десятичные дроби это идеализация, которая в реальных прикладных задачах не встречается. Но на
планковских расстояниях (планковская длина ≈ 10-35 м есть расстояние, на котором гравитационные и квантовые эффекты сравнимы по силе) меняется структура пространства-времени. В таких масштабах происходят большие флуктуации метрики, меняется топология, аксиома Архимеда становится неприменимой, и для описания процессов оказалось удобно применить неархимедову геометрию и p-адические числа (работы проф. И.В. Воловича, С.В. Козырева и
др., Математический институт им. В.А. Стеклова).
См. также: Модуль сравнения, Норма вектора, Аксиома Архимеда, Дедекиндово
сечение, Позиционная система счисления.
Литература
1. Волович И.В., Козырев С.В. p–Адическая математическая физика:
основные конструкции, применения к сложным и наноскопическим системам.
-Режим доступа: http://www.mi.ras.ru/~kozyrev/p-adicMF1.pdf
2. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. p-адический анализ и математическая физика. -М.: Физматлит, 1994. -354 с.
3. Владимиров В.С. Что такое математическая физика? -М.: Препринт МИАН
№ НС-06/001, 2006. -19 с. –Режим доступа:
http://www.mi.ras.ru/preprints/06_001.pdf
4. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. -М.: Мир,
1982. -192 с.
5. Козырев С.В. p-Адическая математическая физика:
основные идеи, применения (Материалы к докладу на семинаре в МФТИ),
2005. -Режим доступа:
http://mezhpr.fizteh.ru/arxiv/mezhpred/doklad3-arpe6m8wxh6.pdf
6. Бухштаб А.А. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.
-Режим доступа: http://padabum.com/d.php?id=10256
7. http://nil-0.livejournal.com/35364.html
33. Скалярное произведение - операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции
соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x.
Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
.
51
В евклидовом пространстве размерности n всегда можно выбрать ортонормированный базис
, при разложении векторов по которому:
,
и т. д,
скалярное произведение будет выражаться следующей формулой:
a b  a1b1  a2b2  a3b3  ...  anbn.
Понятие скалярного произведения векторов можно обобщить на случай бесконечномерного векторного пространства, элементами которого являются комплексные функции. Скалярное произведение функций f (x) и g (x) в этом случае можно представить в виде суммы:
.
34. Скобки Пуассона. Пусть имеется две функции координат, импульсов и
времени: ƒ(p, q, t) и g(p, q, t). Тогда выражение

g
f g 


 pk qk qk pk 
 f , g     f
k
называется скобками (или скобкой) Пуассона. Поясним смысл этого понятия.
Составим полную производную по времени для функции ƒ(p, q, t):
 f

df f
f

  
q k 
p k  .
dt t
pk 
k  qk
Подставив сюда вместо q и p их выражения из уравнений Гамильтона, получим
df f

 H , f  ,
dt t
 H f
H f 
 .

 pk qk qk pk 
где введено обозначение H , f    
k
Последнее выражение и называют скобками (или скобкой) Пуассона для величин H и ƒ.
Функции динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются интегралами движения. Условие того, чтобы величина ƒ была интегралом движения, можно записать в виде
f
 H , f   0 ,
t
52
так как в этом случае f = const и dƒ/dt = 0.
Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то H , f   0 , т. е. его
скобка Пуассона с функцией Гамильтона обращается в нуль.
См. также: Уравнения Гамильтона.
35. Теория информации - математическая теория связи. Основоположник теории информации американский инженер и математик Клод Шеннон. Эта наука
лежит на границе информатики и прикладной математики (теории вероятностей, математической статистики). Как и любая математическая теория, оперирует с математическими моделями, а не с реальными физическими объектами
(источниками и каналами связи). Шеннон определял информацию, как снятую
неопределенность.
Клод Шеннон (1916 - 2001) – американский математик, инженер и криптограф,
создатель теории информации
Снятие неопределенности означает выбор одного варианта из числа возможных, т. е. уменьшение количества рассматриваемых вариантов. Единицей информации является 1 бит. Количество информации (обозначается I) можно подсчитать по формуле Шеннона (1948):
,
где N – количество возможных событий, pi – вероятность i-го события.
Величина, характеризующая количество неопределенности, называется информационной энтропией, обозначается символом H. Энтропия есть мера неопределенности. выражаемая в битах. По Шеннону, I + H = 1.
Количество информации I и энтропия H характеризуют одно и то же состояние,
но с разных сторон. I – это количество информации, которое требуется для сня-
53
тия неопределенности H. Когда неопределенность снята полностью, количество
полученной информации I равно изначально существовавшей неопределенности H. При полном снятии неопределённости I и H рассчитываются по одинаковым формулам.
В общем случае H=f(N, P), где N – общее число вариантов, а P – априорная вероятность реализации каждого из них. Если все варианты равновероятны, то
остаётся зависимость только от их числа H=f(N), вероятность Pi = 1/N, и формула Шеннона переходит в формулу, предложенную в 1928 г. американским учёным Ральфом Хартли:
H = log2N.
.
Ральф Хартли (1888-1970) – американский инженер-электронщик
Согласно второму началу термодинамики, замкнутые (изолированные) системы, т. е. системы в отсутствие вещественного, энергетического и информационного обмена с внешней средой, стремятся к устойчивому равновесному состоянию с максимальной термодинамической энтропией. Легко показать, что в
этом случае информационная энтропия так же будет максимальна. Это значит,
что в отсутствие информационного обмена система самопроизвольно «забывает» всю накопленную ранее информацию.
См. также: Вероятность.
36. Унитарное преобразование – преобразование нормированного пространства, при котором сохраняется норма вектора, а, значит, и скалярное произведение.
См. также: Гильбертово пространство, Норма вектора, Скалярное произведение.
54
37. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения) – уравнения движения динамической системы. Это система линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
p i  
H
;
qi
qi 
H
.
pi
Здесь qi и pi – обобщённые координаты и импульсы (точкой над q и p обозначена производная по времени t); H - функция Гамильтона - характеристическая
функция механической системы, выраженная через канонические переменные
(обобщенные координаты qi и обобщенные импульсы pi). Для системы со связями, явно не зависящими от времени t, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, функция Гамильтона H = H(qi, pi, t) = T +U, где T –
кинетическая, а U – потенциальная энергия системы (i = 1, 2, …, N). Для динамической системы, описываемой N обобщёнными координатами, cистема состоит из 2N уравнений. Совокупность координат и импульсов определяет состояние системы в данный момент времени (точку фазового пространства). Гамильтонова механика - это механика с использованием геометрии в фазовом
пространстве, которое представляет собой пространство 6N измерений (где N число материальных точек) объединяющих обычные пространственные координаты и импульсы частиц.
Уравнения Гамильтона широко используются в механике Гамильтона и других
областях теоретической физики (оптика, квантовая механика) и математики.
38. Факторизация – разложение данного числа на простые множители.
Например: 15 = 3∙5 или 357 = 3∙7∙17. Для больших чисел факторизация представляет собой чрезвычайно сложную задачу. На этом основаны многие криптографические системы. Вопрос о существовании алгоритма факторизации
с полиномиальной сложностью на классическом компьютере является одной из
важных открытых проблем современной теории чисел. В то же время факторизация за полиномиальное время возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора - квантового алгоритма, позволяющего разложить число N за время O((log N)3), затратив O(log N) места.
См. также: Алгоритм, Алгоритм Шора.
39. Формула Муавра – см. Комплексные числа.
40. Формула Эйлера – формула, связывающая комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:
,
где x – любое действительное число;
i – мнимая единица;
e - основание натурального логарифма.
55
.Формула Эйлера впервые была получена английским математиком Роджером
Котсом (1714), записавшим её в логарифмической форме:
:
.
Леонард Эйлер записал формулу в её привычном виде (1740) и опубликовал в
книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). Доказательство формулы
основано на равенстве бесконечных разложений в ряд Тейлора её правой и левой частей.
Поэтому
.
См. также: Комплексные числа.
41. Функциональный анализ – раздел высшей математики, изучающий бесконечномерные пространства и их отображения. Основные понятия функционального анализа сформулированы в работах немецких математиков Георга
Кантора и Давида Гильберта. Георг Кантор считается также основателем теории множеств.
Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, создатель теории множеств
По Кантору множество - это объединение определённых, различных объектов,
называемых элементами множества, в единое целое. Бертран Рассел дал такое
определение: множество есть совокупность различных элементов, мыслимая
как единое целое.
Множество всевозможных систем (x1, x2, …, xn) действительных (или комплексных) чисел называется n-мерным действительным (или комплексным)
пространством. Натуральные числа, целые числа и рациональные числа обра-
56
зуют бесконечные счётные множества, т. е. множества, элементы которых
можно пронумеровать. Кантор доказал, что множество вещественных чисел не
является счётным. Это было первым результатом в теории множеств. Другим
важным результатом Кантора был ответ на вопрос: существует ли между множествами рациональных чисел и вещественных чисел какое-то множество, которое не является ни счётным, ни имеющим мощность континуума (мощность
множества вещественных чисел)? Если мы считаем, что таких подмножеств
нет, то получаем одну теорию множеств, а если считаем, что есть, то другую
(сравните с 5-м постулатом Евклида и созданием неевклидовой геометрии).
Теория множеств является основой многих разделов математики - общей топологии, общей алгебры, функционального анализа.
Среди абстрактных пространств особенно важными являются линейные функциональные пространства, т. е. линейные пространства, элементами которых
являются функции (отсюда название этой науки - функциональный анализ).
Развитие функционального анализа как самостоятельного раздела математики
совпало с появлением квантовой физики и теории относительности (конец 19го – начало 20-го века). Выяснилось, что язык функционального анализа адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и
т. п. В свою очередь эти физические теории оказали большое влияние на проблематику и методы функционального анализа.
В работах Дж. Неймана и М. Стоуна была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве - основной язык современной квантовой механики.
См. также: Гильбертово пространство, Оператор, Числовые поля и кольца.
42. Числовые кольца и поля – числовые множества, элементы которых удовлетворяют некоторым требованиям.
Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных
чисел 1, 2, 3, 4, 5 … В нём всегда выполнимы два основных алгебраических
действия - сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа m и n, сумма их (m + n) , а также произведение m ∙ n являются
обязательно натуральными числами. Сложение и умножение подчиняются следующим законам.
1) Коммутативный закон сложения:
m + n = n + m;
2) Ассоциативный закон сложения:
(m + n) + k = m + (n + k );
3) Коммутативный закон умножения:
m ∙ n = n ∙ m;
4) Ассоциативный закон умножения:
(m ∙ n) ∙ k = m ∙ (n ∙ k );
5) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения:
(m + n) ∙ k = m ∙ k + n ∙ k.
57
Что касается вычитания и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, ни одна из разностей 3 - 5 и 2 - 2, а также,
ни одно из частных 3 : 5 и 7 : 4 нельзя выразить никаким натуральным числом.
Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных
чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате такого расширения мы приходим к множеству
всех целых чисел:
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.....
Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение,
подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется
кольцом. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо.
Расширив множество всех натуральных чисел до множества всех целых чисел,
мы добились тем самым, что действие вычитания стало выполнимым всегда.
Но деление по-прежнему осталось, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы
устранить этот пробел, нужно расширить и множество всех целых чисел. Сделать это можно путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то
есть чисел вида m/n, где т и п — произвольные целые числа и п ≠ 0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. В
этом числовом множестве всегда выполнимы действия сложения, умножения,
вычитания и деления (кроме деления на нуль), причем первые два из них подчинены пяти основным законам сложения и умножения.
Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем. Множество всех рациональных
чисел является простейшим числовым полем.
Легко понять, что множество всех иррациональных чисел поля не образует.
Действительно, любое из четырех действий (сложение, умножение, вычитание
и деление) над иррациональными числами может привести к числу рациональному. Так, например,
√3 + (-√3) = 0,
√2 ∙ √2 = 2.
и т. д. Множество же всех действительных чисел образует поле. Действия сложения, умножения, вычитания и деления действительных чисел (кроме деления
на нуль) не выводят нас за пределы множества действительных чисел, причем
сложение и умножение подчинены пяти перечисленным выше законам.
Упражнения
1. Образует ли кольцо:
а) множество всех чётных чисел;
б) множество всех нечётных чисел;
в) множество всех чисел, кратных некоторому числу р?
2. Образует ли поле:
а) множество всех дробей со знаменателем 3;
б) множество всех дробей, знаменатели которых есть целые степени числа 3?
Ответы: 1. а) Да; б) нет; в) да. 2. а) Нет; б) нет.
См. также: Функциональный анализ.
58
Литература
1. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. -М.: Просвещение, 1967.
§ 242. Числовые поля. –Режим доступа:
http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov2/Kochetkov242.htm
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.
-Режим доступа: http://padabum.com/d.php?id=10256
Литература ко всем статьям
1. Анго Андре. Математика для электро- и радиоинженеров.
-М.: Наука, 1967. -780 с. (и более поздние издания).
-Режим доступа: http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=2427857
2. Маделунг Э. Математический аппарат физики. -М: Наука, 1968 с. (и более
поздние издания).
-Режим доступа: http://padabum.com/d.php?id=10416
59
Верхозин Анатолий Николаевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ
Учебный словарь-справочник
Авторская редакция
Технический редактор: Е.А. Нечипоренко
Компьютерная вёрстка: А.Н. Верхозин
Корректор: С.Н. Емельянова
Подписано в печать 30.11.2013 г. Формат 60×90/16.
Гарнитура Times New Roman. Усл. п. л. 3,69.
Тираж 200 экз. Заказ № 3420.
Адрес издательства:
Россия, 180004, г. Псков, ул. Л. Толстого, 4, корп. 3а,
Издательство ПсковГУ
.