Дискретная математика - Тюменская государственная академия

Государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования Тюменской области
«Тюменская государственная академия мировой экономики,
управления и права»
2.5. Реализация образовательных программ
СМК – РОП - ООП - 2.5.-2012
Дискретная математика
СОГЛАСОВАНО
Проректор по учебной работе
_______________ Т.А.Кольцова
"___"_______________2012 г.
УТВЕРЖДЕНО
Решением Учёного совета
(протокол №11 от "27" июня 2012 г.)
С.Д. Захаров
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа дисциплины
Специальность
080801.65 «Прикладная информатика в экономике»
Форма обучения
очная, заочная
Тюмень
2012
ББК 32.973.26-018.2
И 74
Дискретная математика[Текст]: рабочая программа дисциплины. Тюмень:
ТГАМЭУП, 2012. 20 с.
Рабочая учебная программа «Дискретная математика» составлена в соответствии с учебным планом специальности «Прикладная информатика в экономике».
РПД содержит: организационно-методический раздел дисциплины, объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным
планом специальности по формам обучения, тематический план дисциплины, содержание дисциплины, планы семинарских (практических) занятий, контрольная
работа для студентов заочной формы обучения, учебно-методический материалы
по дисциплине, формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля, самостоятельная работа студентов.
Рабочая программа дисциплины одобрена на заседании кафедры математики и
информатики (протокол №8 от 28.05.2012), печатается по решению Учебнометодического совета (протокол заседания УМС №10 от 02.06.2012).
Рецензенты:
Р. М. Султанаев, к.ф.-м.н., доцент кафедры МиИ ТГАМЭУП;
Т. Г. Латфуллин, д.ф.-м.н., профессор кафедры математического анализа и
теории функций ИМЕНИТ ТюмГУ.
Автор-составитель к.ф.-м.н., доцент С. Д. Захаров
© ТГАМЭУП, 2012
© С. Д. Захаров, 2012
2
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Цель и задачи дисциплины
Цель – ознакомление студентов с понятийным аппаратом, языком, методами,
моделями и алгоритмами дискретной математики, широко применяемыми в
практике проектирования автоматизированных систем управления, обработки
информации и конструирования средств вычислительной техники и электронных
устройств. Кроме того, в цели преподавания дисциплины входит получение практических навыков по использованию методов, моделей и алгоритмов для решения задач обработки информации. Знания и навыки, полученные при изучении
дисциплины, являются общепрофессиональными, формируют базовый уровень
знаний для освоения других общепрофессиональных и специальных дисциплин.
Задачи – ознакомить студентов с:
 основами использования дискретной информации при решении научноисследовательских и практических задач;
 основными понятиями и определениями дискретной математики;
 методологическими основами формирования дискретной математики при
исследовании и построении систем;
научить студентов:
 применять язык и средства дискретной математики;
 решать комбинаторные и теоретико-графовые задачи;
 решать оптимизационные задачи на графах;
студенты должны иметь представление:
 о месте и роли дискретной математики в системе математических наук и в
решении задач, связанных с обеспечением информационной безопасности;
 о направлениях развития дискретной математики;
 о направлениях использования дискретной математики в приложениях.
Место дисциплины в профессиональной подготовке выпускников
Изучение дисциплины «Дискретная математика» предусмотрено рабочим
учебным планом специальности «Прикладная информатика в экономике».
Представленный курс тесно связан с такими дисциплинами учебного плана,
как «Математика», «Теория графов», «Теория вероятностей и математическая
статистика«, «Конечная математика», «Структуры и алгоритмы обработки данных», «Имитационное моделирование экономических систем», «Компьютерная
безопасность», которые позволяют в совокупности сформировать математический базис изучения дисциплин специальности.
Курс позволяет студенту получить дополнительные знания и, сопоставив знания, лучше изучить следующие дисциплины: конечную математику; математику;
теорию вероятностей и математическая статистика; структуры и алгоритмы обработки данных; теорию графов; компьютерную безопасность; теорию игр.
Требования к уровню освоения курса
В ходе изучения курса «Дискретная математика» студенты должны –
знать:
 основные дискретные структуры: множества, отношения, графы, комбина3
торные структуры, системы счисления;
 методы перечисления для основных дискретных структур;
 основные методы и алгоритмы теории графов, теории отношений, комбинаторики, связанные с оптимизацией и моделированием систем различной природы;
уметь:
 употреблять специальную математическую символику для выражения количественных и качественных отношений между объектами;
 выполнять операции над множествами, применять аппарат теории множеств
для решения задач, исследовать бинарные отношения на заданные свойства;
 применять аппарат производящих функций и рекуррентных соотношений
для решения перечислительных задач;
 решать оптимизационные задачи на графах;
иметь представление:
 об основах применения дискретной математики при решении задач на ЭВМ;
 о использовании дискретной математики при программировании;
 о новых технологиях применения дискретной математики в теории игр, социологии, проектировании сетей и других прикладных задач.
2.ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ, ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ
КОНТРОЛЯ В СООТВЕТСТВИИ С УЧЕБНЫМ ПЛАНОМ
СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПО ФОРМАМ ОБУЧЕНИЯ
очная/заочная формы обучения (3,5/6 лет)
Общие часы – 140 ч.
Аудиторные занятия – 72/14/16 ч.
Лекции – 36/6/8 ч.
Практические занятия – 36/8/8 ч.
Самостоятельная работа – 68/126/124 ч.
Формы текущего и итогового контроля – очная – тестирование, выполнение
контрольных работ, зачет / заочная – контрольная работа, зачет.
3. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ
очная форма обучения
В том числе
Наименование разделов и тем
Всего
Тема 1. Теория множеств
16
Тема 2. Алгебраические системы 18
Тема 3. Числовые системы
40
Тема 4. Теория графов
40
Тема 5. Комбинаторика
26
140
ИТОГО
аудиторные
всего лекц. практ. зан-я
8
4
4
8
4
4
20
10
10
20
10
10
16
8
8
72
36
36
СРС
всего
8
10
20
20
10
68
заочная форма обучения (3,5/6 лет)
Наименование разделов и тем
Всего
4
В том числе
аудиторные
СРС без преп.
Тема 1. Теория множеств
Тема 2. Алгебраические системы
Тема 3. Числовые системы
Тема 4. Теория графов
Тема 5. Комбинаторика
ИТОГО
всего
2
2/3
3/4
4
3
14/16
16
18
40
40
26
140
лекц.
1
1/2
1/2
2
1
6/8
практ. зан-я
1
1
2
2
2
8
всего
14
16/15
37/36
36
23
126/124
4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1. Теория множеств
Множества и основные операции над ними. Отношения. Функции. Взаимнооднозначные соответствия. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества. Матрица бинарного отношения. Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности и
разбиения. Фактормножества. Отношения порядка. Аксиомы теории множеств.
Тема 2. Алгебраические системы
Определения и примеры. Морфизмы. Подсистемы. Факторалгебры. Теорема о
гомоморфизме. Декартовы произведения алгебр. Решетки и булевы алгебры.
Идеалы и фильтры. Алгебры отношений и реляционные алгебры.
Тема 3. Числовые системы
Бесконечные числовые системы. Системы счисления. Компьютерная алгебра и
численный анализ. Списочное представление чисел. Делимость в кольце целых
чисел. Разложение целых чисел на множители. Целые числа по модулю m. Китайская теорема об остатках. Точные вычисления, использующие модулярную
арифметику. Системы шифровки и дешифровки.
Тема 4. Теория графов
Виды и способы задания графов. Подграфы и части графа. Операции над графами. Маршруты. Достижимость. Связность. Расстояние в графах. Нахождение
кратчайших маршрутов. Степени вершин. Обходы графов. Остовы графов. Обходы графов по ширине и глубине. Задача коммивояжера. Упорядоченные и бинарные деревья. Фундаментальные циклы. Разрезы. Векторные пространства, связанные с графами. Раскраска графов. Планарные графы.
Тема 5. Комбинаторика
Перестановки и подстановки. Размещения и сочетания. Размещения и сочетания с повторениями. Разбиения. Метод включений и исключений. Рекуррентные
соотношения. Возвратные последовательности.
5. ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ (ПРАКТИЧЕСКИХ) ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Теория множеств
Контрольные вопросы
1. Множества и основные операции над ними.
2. Отношения. Функции. Взаимно-однозначные соответствия.
3. Натуральные числа.
5
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Принцип математической индукции.
Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.
Матрица бинарного отношения.
Отношения эквивалентности и разбиения. Фактормножества.
Отношения порядка.
Аксиомы теории множеств.
Задачи и упражнения
1. Доказать, что    .
2. Доказать, что 0,2, 1,2  0,1,2.
3. Доказать,что A  B  A  B
4. Построить пример множеств A и B таких, что A  B  B  A .




5. Для отношений P  x, y  R 2 : x  y 2 и Q  x, y  R 2 : xy  0 найти
P  Q, Q  P, P  P, P 1.
6. Пусть А и В – конечные множества мощности m и n соответственно. Найти
число бинарных отношений между элементами множеств А и В, число функций
из А в В, число инъекций из А в В, число биекций из А в В.
7. Доказать, что если А – счетное множество, В – конечное множество, то множество A \ B счетно.
8. Доказать, что если множества Ai , i   , счетны, то множество  Ai счетно.
i
9. Доказать, что множество всех многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами счетно.
10. Доказать, что множества точек отрезка и квадрата эквивалентны.
11. Построить бинарное отношение
1) рефлексивное, симметричное, не транзитивное;
2) не рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
3) рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
12. Пусть L – множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентностями следующие отношения:
1) Отношение параллельности двух прямых;
2) Отношение перпендикулярности двух прямых?
13. Построить пример частично упорядоченного множества с единственным
минимальным элементом, но без наименьшего.
Тема 2. Алгебраические системы
Контрольные вопросы
1. Алгебра.
5. Кольцо.
2. Полугруппа.
6. Поле.
3. Моноид.
7. Морфизм.
4. Группа.
8. Подсистема.
9. Факторалгебра.
14. Булева алгебра.
10. Конгруэнция.
15. Идеал.
11. Теорема о гомоморфизме.
16. Фильтр.
6
12. Декартово произведение алгебр.
13. Решетка.
17. Алгебра отношений.
18. Реляционная алгебра.
Задачи и упражнения
1. Установить, образуют ли алгебры следующие системы
a.  ,, .
b. Z ,:,
c. R,,,1  2i
2. Обозначим через F множество функций, действующих на множестве А.
Образует ли система F , полугруппу, моноид, группу?
1,2,3,4,1,3, 1,4, 2,4, 3,2
3. Построить
изоморфизм
систем
и
a, b, c, d ,b, a , c, b, c, d , d , a  . Построить все гомоморфные образы указанных систем.
4. Построить всевозможные попарно неизоморфные группы с 2-элементным
носителем.
5. Рассмотрим алгебру A  a, b, c, d , с операцией, заданной следующей
таблицей Кэли:

a
b
c
d
a
a
c
a
d
b
a
d
c
a
c
b
a
d
d
d
a
b
d
a
Имеет ли алгебра A подалгебру с носителем
a) {a,b,c}?
b) {a}?
c) {a,d}?
6. Построить подсистему B(X), порожденную данным множеством Х:
c. B  C , , X  {i}
a. B  R, 3 , X  {2}
d. B  C ,,2 , X  {i}
b. B   , , X  {2;3}
7. Рассмотрим алгебру A  a, b, c, d , e, с операцией, заданной следующей
таблицей Кэли:

a
b
c
d
e
a
c
d
a
b
a
b
d
c
a
a
b
c
a
b
b
a
e
d
b
b
a
b
e
e
e
e
c
d
c
Какое из следующих разбиений образует конгруэнцию на алгебре A:
a) {{a,b,c},{d,e}}?
b) {{a,b},{c,d},{e}}?
Построить факторалгебру алгебры А по найденной конгруэнции.
8. Построить булеву алгебру подмножеств трехэлементного (четырехэлементного ) множества.
9. Построить пример решетки с наибольшим элементом, но без наименьшего.
10. Для терма x   y  z  булевой алгебры найти соответствующий терм в булевом кольце.
Тема 3. Числовые системы
Контрольные вопросы
1. Целые числа.
2. Рациональные числа.
7
3. Действительные числа.
4. Комплексные числа.
5. Системы счисления.
6. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
7. Изображение чисел в компьютере.
8. Списки и базисные операции над списками.
9. Списочное представление целых и рациональных чисел.
10. Пробные деления.
11. Делимость в кольце целых чисел.
12. Алгоритм Евклида и следствия из него.
13. Диофантовы уравнения.
14. НОД и НОК.
15. Разложение целых чисел на множители – труднорешаемая задача.
16. Целые числа по модулю m.
17. Малая теорема Ферма.
18. Линейные уравнения (сравнения) по модулю m. Китайская теорема об остатках.
19. Безопасное хранение ключей (распределенный секрет).
20. Модулярная арифметика. Точные вычисления.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Задачи и упражнения
С помощью алгоритма Евклида найти НОД(81719, 52003, 33649, 30107).
Составить таблицу простых чисел, меньших 2007.
Разложить на простые множители 82798848.
Найти все целые решения уравнения 85 x  29 y  103 .
Решить сравнение 512 x  185 mod 289 .
Решить сравнение 147 x  87 mod 327 .
Решить систему сравнений {x=1 mod2, x=2 mod 3, x=4 mod 5, x=0 mod7}.
Используя многомодульную арифметику с вектором оснований   3,5,7,
вычислить a  b, a  b, ab, b 1 mod  для a  25, b  37 .
9. Найти знак числа x  6,3,1,1 для   7,5,3,2.
10. Используя многомодульную арифметику с вектором оснований   3,5,7,
5 7
вычислить
 .
19 11
11. Перевести число 423,67 из 8-ричной системы в 7-ричную.
12. Перевести число 11101,11(01) из 2-ичной системы в 16-ричную.
Тема 4. Теория графов
Контрольные вопросы
1. Виды и способы задания графов.
2. Матрица смежностей.
3. Матрица инцинденций.
4. Подграфы и части графа.
5. Операции над графами.
11. Алгоритм Дейкстры.
13. Обходы графов.
15. Обходы графов по ширине и глубине.
8
6. Маршруты.
7. Достижимость.
8. Связность.
9. Расстояние в графах.
10. Алгоритм Форда-Беллмана.
12. Степени вершин.
14. Остовы графов.
16. Задача коммивояжера.
17. Упорядоченные и бинарные деревья.
18. Фундаментальные циклы.
19. Разрезы.
20. Векторные пространства, связанные с графами.
21. Раскраска графов. Хроматическое число.
22. Планарные графы.
23. Помеченные графы.
24. Перечисление графов.
25. Перечисление деревьев.
26. Орграфы и соединимость.
28. Орграфы и матрицы.
29. Турниры.
Задачи и упражнения
1. Нарисовать все графы с 5 вершинами.
2. Восстановить
граф
G
по
его
подграфам
G1  K 4  x, G2  P3  K1, G3  K1,3 , G4  G5  K1,3  x
3. Нарисуйте все деревья с 9 вершинами.
4. Теорема Форда-Фалкерсона.
5. Привести примеры эйлеровых графов.
6. Привести примеры гамильтоновых графов.
7. Задача об обходе шахматной доски ходом коня.
Gi  G  vi ,
где
p2  3 p  6
8. Если G есть (p,q)-граф, у которого p  3 и q 
, то G - гамильтонов.
2
9. Доказать или опровергнуть: каждый связный непланарный граф стягивается к графу K 5 или K 3,3 .
10. Уложить куб Q4 на поверхности тора.
11. Теорема о пяти красках.
12. Теорема о четырех красках.
13. Если длина длиннейшего нечетного простого цикла в графе G равна n, n3,
то  G   n  1.
v1 , v2 ,...,v p так,
14. Если
вершины
графа
перенумерованы
что
d1  d 2  ...  d p , то  G   max min i, d i  1.
i
15. Найти хроматические классы графов K p , K m, n .
16. Для любого графа, допускающего укладку на торе, хроматическое число не
превосходит 7.
17. Планарные графы с не более 41 вершиной 4-раскрашиваемы.
18. Охарактеризовать матрицу смежностей двудольного графа.
19. Граф G двудольный тогда и только тогда, когда для любого нечетного числа n все диагональные элементы матрицы A n равны 0.
20. Если c n (G ) - число простых n-циклов графа G, у которого A – матрица
1
смежностей, то c3 (G)  tr ( A3 ) .
6
21. Найти группы автоморфизмов следующих графов
а) K 2  C2
b) K m, n
c) K 4  C4
22. Сколькими способами можно пометить графы
b) K 3  K 2
a) K3  K 2
9
23. Представить граф K 5 в аналитической и матричной форме, списком дуг и
структурой смежности.
24. Найти матрицу расстояний, диаметр, радиус, центральные и периферийные
вершины графа, изображенного на рисунке.
25. Найти остов минимального веса взвешенного графа
26. Найти хроматическое число графа, заданного списком ребер M={(1,2),
(1,3), (1,4), (5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)}
Тема 5. Комбинаторика
Контрольные вопросы
1. Перестановки и подстановки.
2. Размещения.
3. Сочетания.
4. Бином Ньютона.
5. Размещения с повторениями.
6. Сочетания с повторениями.
7. Разбиения.
8. Метод включений и исключений.
9. Рекуррентные соотношения.
10. Возвратные последовательности.
Задачи и упражнения
1. Группе из 8 человек выделено 3 одинаковые путевки. Сколько существует
способов распределения путевок?
2. Группе из 8 человек выделено 3 разных путевки. Сколько существует способов распределения путевок?
3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры
0,1,2,3,5,7 без повторения?
4. Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0,
1, 2, 3, 5, 7 с повторением?
5. Сколько чисел среди целых чисел от 1 до 200 не делятся ни на одно из чисел
2, 5, 7?
6. Сколько чисел среди целых чисел от 1 до 200 делятся ровно на одно из чисел
2, 5, 7?
7. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «молоко»?
8. Крокодил имеет 68 зубов. Доказать, что среди 1617 крокодилов может не
оказаться двух с одинаковым набором зубов.
9. Алфавит Х состоит из трех символов. Сколько существует слов алфавита Х,
длины которых не превосходят 5?
10. Автомобильные номера региона состоят из трех цифр и трех букв алфавита
{A, B, C, E, H, K, M, O, P, T, X, Y}. Сколько автомобилей может быть занумеровано различными номерами?
11. Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколько существует способов назначения патруля, в который входит один сержант и 3 солдата?
12. Сколько различных перестановок образуется из слова абракадабра?
13. Найти решение уравнения an  2  4an 1  4an  3n с начальными условиями a0  5, a1  7 .
14. Вывести формулу для чисел Фибоначчи.
6.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Контрольная работа предназначена для студентов заочной формы обучения и
позволяет увеличить объем знаний путем самостоятельного изучения дополнительного материала и проверки уже полученных знаний. В ходе подготовки к
контрольной работе рекомендуется использовать данный УМК по дисциплине.
Контрольная работа выполняется студентом в межсессионный период и защищается у руководителя. Студенты, не выполнившие контрольную работу, не допускаются к сдаче зачета. Работа должна быть оформлена на листах формата А4, 14
шрифтом. Объем работы – не менее 5 печатных листов. Титульный лист контрольной работы должен быть оформлен в соответствии с установленными требованиями для подготовки контрольных работ.
Контрольная работа предполагает дополнительное изучение теоретического и
практического материала по следующим вопросам, которые выбираются в зависимости от последней цифры номера зачетки. По каждой теме студент выполняет
задачу, совпадающую по номеру с последней цифрой зачетки. Если последняя
цифра 0 – выполняется вариант №10. Вариант формируется по одной задаче из
каждой темы из предыдущего раздела, при помощи задач с номерами от 1 до 10.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
основная
1. Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика. –
М.: ФиС. 2006.
2. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2003.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер, 2007.
Дополнительная
4. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
5. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974.
6. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. – М.: Физматлит, 2000.
7. Кристофидес Н. Теория графов: алгоритмический подход. – М., Мир, 1978.
8. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.Белов В.В. и др.
11
Теория графов. М.: Высшая школа, 1976.
9. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. М.: Наука, 1992.
10. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов,
Р.И. Тышкевич. М.: Наука, 1990.
11. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
12.Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.:
ИНФРА-М, Новосибирск, НГТУ, 2002.
8.ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО
И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Тематика докладов
Тема 1. Теория множеств
1. Множества и основные операции над ними.
2. Мощность множества.
3. Конечные и бесконечные множества.
4. Отношения.
5. Функции.
6. Взаимно-однозначные соответствия.
7. Натуральные числа.
8. Принцип математической индукции.
9. Отношения эквивалентности и разбиения.
10. Отношения порядка.
11. Аксиомы теории множеств.
Тема 2. Алгебраические системы
1. Группы.
12. Алгебры отношений и реляционные алгебры.
2. Кольца.
11. Фильтры и ультрафильтры.
3. Поля.
10. Идеалы.
4. Морфизмы.
9. Булевы алгебры.
5. Факторалгебры.
8. Решетки.
6. Теорема о гомоморфизме и ее следствия.
7. Декартовы произведения алгебр.
Тема 3. Числовые системы
1. Целые числа.
7. Алгоритм Евклида. Ускорение.
2. Рациональные числа.
8. Разложение целых чисел на
3. Действительные числа.
множители.
4. Комплексные числа.
9. Целые числа по модулю m.
5. Кватернионы.
10. Китайская теорема об остатках.
6. Системы счисления.
11. Системы шифровки и дешифровки.
1.
2.
3.
4.
Тема 4. Теория графов
Виды и способы задания графов.
Подграфы и части графа.
Операции над графами.
Маршруты. Достижимость. Связность.
12
5. Расстояние в графах.
6. Нахождение кратчайших маршрутов.
7. Обходы графов. Остовы графов. Обходы графов по ширине и глубине.
8. Задача коммивояжера.
9. Фундаментальные циклы. Разрезы.
10. Векторные пространства, связанные с графами.
11. Раскраска графов.
12. Планарные графы.
13. Применение графов в программировании.
14. Применение графов в социологии.
15. Графы в химии.
16. Графы в других науках.
1.
3.
5.
6.
7.
Тема 5. Комбинаторика
Перестановки и подстановки.
2. Размещения и сочетания.
Размещения и сочетания с повторениями.
4. Разбиения.
Упорядоченные разбиения.
8. Возвратные последовательности.
Метод включений и исключений.
9. Биномиальные коэффициенты.
Рекуррентные соотношения.
10. Полиномиальные коэффициенты.
Вопросы к зачету
1. Множества и основные операции над ними.
2. Отношения. Функции. Взаимно-однозначные соответствия.
3. Натуральные числа.
4. Принцип математической индукции.
5. Мощность множества. Конечные и бесконечные множества.
6. Матрица бинарного отношения. Специальные бинарные отношения.
7. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактормножества.
8. Отношения порядка.
9. Аксиомы теории множеств.
10. Группы, кольца и поля.
11. Морфизмы.
12. Подсистемы. Факторалгебры. Теорема о гомоморфизме.
13. Декартовы произведения алгебр.
14. Решетки и булевы алгебры.
15. Идеалы и фильтры.
16. Алгебры отношений и реляционные алгебры.
17. Бесконечные числовые системы.
18. Системы счисления.
19. Компьютерная алгебра и численный анализ.
20. Списочное представление чисел.
21. Делимость в кольце целых чисел.
22. Разложение целых чисел на множители.
23. Целые числа по модулю m. Китайская теорема об остатках.
24. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику.
25. Системы шифровки и дешифровки.
13
26. Виды и способы задания графов. Подграфы и части графа. Операции над
графами.
27. Маршруты. Достижимость. Связность. Расстояние в графах. Нахождение
кратчайших маршрутов.
28. Степени вершин. Обходы графов. Остовы графов. Обходы графов по ширине
и глубине.
29. Задача коммивояжера.
30. Упорядоченные и бинарные деревья.
31. Фундаментальные циклы. Разрезы. Векторные пространства, связанные с
графами.
32. Раскраска графов.
33. Планарные графы.
34. Перестановки и подстановки.
35. Размещения и сочетания.
36. Размещения и сочетания с повторениями.
37. Разбиения.
38. Метод включений и исключений.
39. Рекуррентные соотношения.
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Для любых множеств А, В, С верно
1) (A  B) \ (C  A ) = (B \ C) \ ( A  C )
3) (A  B) \ (C  B ) = (A \ C)  ( A \ B )
2) (A  B) \ C = (A \ C)  ( B \ C )
4) (A  B) \ (C  B ) = (A \ C)  ( A \ B )
2. Бинарное отношение R называется рефлексивным, если для любых элементов поля отношения a, b, c  F(R) выполнено
1) aR a
2) из aRb следует bRa
3) из aRb следует bR a
4) aRa
3. Граф задан своей матрицей смежности
0

1
A  0

0
1

1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
Его геометрическое изображение
1)
2)
14
1

1
1 .

1
0 
4)
3)
4. Кратчайшим путем между вершинами S и T в графе является
1) S-A-B-T
2) S-B-T
3) S-A-C-T
4) S-A-C-B-T
5. Граф, заданный списком ребер M={(1,2), (1,4), (1,5), (1,6), (2,6), (2,4), (2,5),
(3,4), (3,5), (3,6), (4,5)}
1) эйлеров, планарный
3) эйлеров, не планарный
2) не эйлеров, планарный
4) не эйлеров, не планарный
6. Максимальный поток в сети
1) 15
2) 14
3) 16
4) 13
7. Группе из 10 человек выделено 5 различных путевок. Существует …..
способов распределения путевок.
1) 252
2) 30240
3) 100000
4) 32
8. Используя цифры 0,1,2,3, можно записать ….. различных трехзначных
чисел.
1) 64
2) 48
3) 27
4) 36
9. Среди целых чисел от 1 до 800, …… делятся ровно на одно из чисел 2, 5,
19.
1) 396
2) 421
3) 109
4) 127
10.Колоду из 36 игральных карт можно раздать четырем игрокам по 9 карт
….. способами.
1)
36!
9!218!
2) 36!
3)
36!
4  9!
4)
36!
9!4
9.САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Самостоятельная работа студентов предполагает изучение теоретического и
практического материала и его защиту на практических или дополнительных занятиях.
15
Графики СРС очной формы обучения
Темы
сем. нед. часы Содержание СРС
Тема 1 1
2
2
Подготовка доклада
Тема 2 1
5
2
Решение задач
Тема 3 1
8
4
Решение задач
Тема 4 1
11 2
Решение задач
Тема 5 1
14 2
Подготовка доклада
Тема 16 1
16 2
Тестирование в системе
Формы контроля СРС
Дискуссия
проверка
проверка
проверка
Обсуждение
протокол
Оглавление
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА .............................................................................................. 1
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ ............................................................... 3
2.ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ, ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ В
СООТВЕТСТВИИ С УЧЕБНЫМ ПЛАНОМ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПО ФОРМАМ
ОБУЧЕНИЯ .......................................................................................................................................... 4
3. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ...................................................................................................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ............................................................................................ 5
5. ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ (ПРАКТИЧЕСКИХ) ЗАНЯТИЙ ................................................. 5
6.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ....... 11
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................... 11
8.ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО, РУБЕЖНОГО .......................................... 12
И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ......................................................................................................... 12
9.САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ .................................................................... 15
16
Сергей Дмитриевич Захаров
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа дисциплины
для студентов специальности
080801.65 «Прикладная информатика в экономике»
очной и заочной форм обучения
(сохранена редакция автора-составителя)
Ответственный за выпуск к. т. н. В.В. Сергеев
Формат 60х84/16. Гарнитура Times New Roman.
Объем 0,9 у.-п. л.
«ТЮМЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА»
625051, г. Тюмень, ул. 30 лет Победы, 102
17