МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН НЕКОММЕРЧЕСКОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
НЕКОММЕРЧЕСКОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО
КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.И.САТПАЕВА
Институт высоких технологий и устойчивого развития
Кафедра «Эксплуатация космических средств»
«Утверждаю»
Директор ИВТУР
___________ С.Е. Кумеков
«___» __________ 2015г.
ПРОГРАММА КУРСА (SYLLABUS)
По дисциплине:
Дискретная математика
Специальность: 5В074600 – космическая техника и технология
Форма обучения: дневная
Всего: 3 кредита
Курс: 2 (бакалавры)
Семестр: 2
Лекций: 30 часов
Практическое занятие: 15 часов
Рубежный контроль: (количество)2
СРМП: 45 часов
СРМ: 15/30
Всего аудиторных часов: 90
Всего внеаудиторных часов: 45
Трудоемкость: 135
Письменный экзамен: 2 семестр
Алматы 2015
Программа курса составлена:
Омаром Р.Т., старшим преподавателем на основании Государственного
классификатора направления подготовки Высшего профессионального образования,
типового и рабочего учебных планов специальностей и типовой программы дисциплины.
Рассмотрена на заседании кафедры: «Эксплуатация космических средств»
«___» _____________ 2015 г. Протокол № ___.
Заведующий кафедрой эксплуатации космических средств
Профессор
Б.Т. Суйменбаев
Одобрена методическим Советом Института высоких технологий и устойчивого
развития «___» ___________ 2015г. Протокол № ___.
Председатель, профессор
С.Е. Кумеков
Сведения о преподавателе:
Омар Рахметкали Темирханулы, окончил факультет автоматики и вычислительной
техники Ленинградской (Санкт-Петербургской) Военной Инженерной Академии имени
А.Ф. Можайского в 1977 году по специальности «Системы управления и специальное
электрооборудование летательных аппаратов (космических аппаратов и ракет
космического назначения), педагогический стаж свыше 15 лет, имеет практический опыт
работы по эксплуатации космических средств более 20 лет, непосредственный участник
на разных инженерно-испытательных (1977-1990) подготовки и пуска с космодрома
Байконур более 135 РКН «Протон» с космическими аппаратами различного народнохозяйственного, военного и научно-исследовательского назначения; работа на
руководящих должностях (1993-2002) в Управлении космодрома Байконур
Национального аэрокосмического агентства (комитета) Республики Казахстан (ныне
Казкосмос) и его структурах.
Методических указаний по данной дисциплине не имеется.
Офис: кафедра «Эксплуатации космических средств
Адрес: 050013, г. Алматы, ул. Сатпаева, 22, ГУК, ауд.808.
2
1.
Цели и задачи дисциплины
Сформировать у бакалавров современное мировоззрение по дискретной математике.
Выработать у бакалавров понимание и навыки по основам дискретной математики.
Показать бакалаврам связь математики и практики эксплуатации космических средств, с
примерами практического применения дискретной математики.
1.1. Цели преподавания дисциплины
С помощью преподавателя или самостоятельно бакалавр изучает следующие
разделы дискретной математики: математическая индукция, комбинаторика, множества и
логика, отношения и графы, мощность множеств, упорядоченные множества, графы,
вероятность, основы теории чисел, сложность алгоритмов, схемы из функциональных
элементов, вычислимость и машины Тьюринга, чтобы потом бакалавр мог применить
полученные знания и навыки для выполнения конкретных работ по проектированию
систем, а также имел представления применения основ дискретной математики при
непосредственной эксплуатации космических средств.
В данном курсе наглядно и на основе решения задач раскрываются основные
разделы дискретной математики. В дисциплине используются конкретные примеры и
задачи для закрепления тем лекций настоящей дисциплины с уклоном для выполнения
конкретных технологических этапов подготовки к пуску ракеты космического назначения,
а также раскрываются конкретные работы внутри технологического цикла подготовки и
полета КА, чтобы углубить понимание бакалаврами
практическое применение
математики и математических моделей.
При изложении учебного материала преподавателем использован богатый опыт
работы и знание вопросов практической эксплуатации объектов (комплексов) космодрома
Байконур с 1977 года по 1991год, а также непосредственный опыт и знание эксплуатации
Россией космодрома в современных условиях аренды комплекса Байконур.
1.2.Задачи изучения дисциплины
Раскрытие общего содержания основ дискретной математики для целей
проектирования и эксплуатации космических систем. Показ конкретных особенностей
проектирования и эксплуатации космических систем, связанных с применением знаний из
области дискретной математики. Чтобы бакалавр, как будущий специалист, прежде всего,
глубоко понимал, как реализованы на практике цели и задачи проектирования систем
эксплуатации космических средств, а также всех составляющих этого процесса.
При решении профессиональных задач бакалавру необходимо овладеть знаниями
дискретной математики.
Поэтому у бакалавров нужно сформировать глубокое понимание логики технологии
подготовки к пуску ракеты, умение качественно выполнить проектирование системы
эксплуатации любого технологического цикла, связанного со сборкой и подготовкой РКН
на ТК (техническом комплексе) и СК(стартовом комплексе).
1.3.Пререквизиты: проектирование, разработка, конструирование космических
систем.
1.4. Постреквизиты: дисциплины, связанные с
этапами проектирования и
разработки космических систем.
2. Система оценки знаний магистрантов
Распределение рейтинговых процентов по дисциплине по видам контроля
Вид контроля
Форма контроля
Итоговый контроль
Рубежный контроль
Текущий контроль
Курсовой проект
Коллоквиум
СРМ
3
Таблица 1.
Проценты
100
100
100
Календарный график сдачи всех видов контроля по дисциплине «Проектирование
систем наземных объектов ракетно-космических комплексов»
Таблица 2.
Недели
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
Виды
СР СР СР СР СР СР СР Кл СР СР СР СР СР СР СР СР Кл
контроля
(Рк)
(Рк)
Кол-во
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
контроля
Виды контроля: Кл(Рк) – коллоквиум (рубежный контроль), СР – самостоятельная работа
Оценка знаний магистрантов
Оценка
Буквенный
эквивалент
Рейтинговый бал
(в процентах %)
А
АВ+
В
ВС+
С
СD+
D
F
95-100
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
00-49
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
Таблица 3.
В баллах
4
3,67
3,33
3,00
2,67
2,33
2,00
1,67
1,33
1,00
0
Содержание дисциплины
«Дискретная математика»
Распределение часов по видам занятий
Таблица 4.
Количество академических часов
Лекции Практич. СПМП
СРМ
занятия
2
1
3
3
Наименование темы
1 Математическая индукция
2.Комбинаторика
3.Множества и логика
4. Отношения и графы
5.Мощность множеств
6.Упорядоченные множества
7.Графы: начальные сведения
8. Графы: продолжение
9.Вероятность: первые шаги
10. Основы теории чисел
11.Теория чисел: продолжение
12. Сложность алгоритмов: разрешающие деревья
13. Схемы из функциональных элементов
14. Вычислимость и перечислимость
15. Машина Тьюринги
Всего:
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
30
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
45
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
45
Перечень и виды заданий и график их выполнения:
Виды заданий и сроки их выполнения
Таблица 5
Виды
контроля
Вид
работы
Темы работы
1
Текущий
контроль
2
Практ.
занятия
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Текущий
контроль
Практ.
занятия
3
1 Математическая индукция
• Примеры рассуждений: двухцветная
раскраска, наличие треугольника. •
Равенства: 1 + 2 + . . . + n = n(n+1) 2 , 1 + 2
+ 4 + 8 + . . . + 2n−1 = 2n − 1. •
Неравенства: (1 + h) n ≥ 1 + hn (при 1 + h
≥ 0); 1 + 1/4 + 1/9 + . . . + 1/n2 < 2
(усиление утверждения для индукции). •
Двоичная система: гирями в 1, 2, 4, . . . , 2
n−1 можно уравновесить любой груз от 0
до 2 n − 1 единственным образом. •
Исключение переменных: система из
менее чем n линейных однородных
уравнений относительно x1, . . . , xn имеет
ненулевое решение. • Слова длины n,
коды Грея. • Индуктивное доказательство
теоремы Холла о представителях.
2 Комбинаторика
• Формулы суммы и произведения при
подсчёте вариантов. • Сумма множеств и
декартово произведение. • Число
подмножеств, число n-битовых слов,
взаимно однозначное соответствие. •
Рекуррентные формулы: число путей,
число слов без двух нулей подряд. 1 •
Перестановки. • Число подмножеств
данного размера, треугольник Паскаля. •
Формула для чисел сочетаний. Бином
Ньютона. • Числа Каталана.
3 Множества и логика
• Обозначения: x ∈ A, A ∩ B, A ∪ B, A \ B,
A ⊂ B, A = B. • Тождества.
Доказательство (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ B,
иллюстрация на картинке и почему эту
картинку можно считать доказательством
(разбор случаев). • Логические связки и
операции с множествами, таблицы
истинности, выражение одних через
другие, законы де Моргана. • Полнота:
доказательство c дизъюнктивной
нормальной формой и с полиномом
Жегалкина. • Формула включений и
исключений для двух и трёх множеств. •
Общая формула: доказательство по
индукции и с индикаторами.
5
Ссылки на
рекомендуемую
литературу с
указанием
страниц
4
Основная
литература: 1
Срок
сдачи
№
недели
ДМ
2
ДМ
3
5
1
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Рубежный
контроль
Текущий
контроль
Кл
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Практ.
занятия
ДМ
4 Отношения и их графы
• Бинарные отношения и двудольные
графы. • Отношения эквивалентности,
классы. • Неориентированные графы.
Связные компоненты. • Функции,
инъекции, сюръекции, биекции. • Образы
и прообразы. • Композиция отношений и
функций. • Перестановки, разложение в
циклы, транспозиции, порядок
перестановки.
ДМ
5 Мощность множеств
• Мощность множества, конечная и
бесконечная мощность. • Счетные
множества; замкнутость относительно
счетного объединения; счетность
множества целых и рациональных чисел. •
Несчетные множества. Континуальные
множества: действительная прямая,
интервал, отрезок, бесконечные двоичные
последовательности. Несчетность
континуальных множеств.
4
6 Упорядоченные множества
• Частичный порядок. Примеры: сумма и
произведение, лексикографический
порядок, покоординатный порядок на
словах. • Изоморфизм упорядоченных
множеств. Почему не изоморфны:
минимальные и максимальные элементы,
плотность. • Линейный порядок,
единственность на конечном множестве. •
Фундированные множества и индукция. •
Цепи и антицепи.
7 Графы: начальные сведения
• Ориентированные и неориентированные
графы. Степени вершин. Сумма степеней.
• Пути. Связные компоненты. В связном
графе с n вершинами не менее n − 1 рёбер.
• Циклы. Деревья. Число вершин и рёбер
в дереве. • Эйлеров цикл, критерий его
существования для ориентированных и
неориентированных графов. • Теоремы
рамсеевского типа для конечных и
бесконечных графов.
Темы 1-7
ДМ
6
ДМ
7
ДМ
8
8 Графы: продолжение
• Клики и независимые множества;
вершинные покрытия. • Теорема Холла.
9 Вероятность: первые шаги
• Мотивировка: равновозможность,
вероятность как доля, частота. • Конечное
вероятностное пространство, события,
формула сложения вероятностей. •
Комбинаторные формулы и вероятность. •
Вероятностные доказательства
ДМ
9
ДМ
10
6
5
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Рубежный
контроль
Текущий
контроль
Кл
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Практ.
занятия
существования (оценка сверху
вероятности нарушения одного из
требований с помощью union bound). •
Математическое ожидание и его
линейность. • Условные вероятности,
теорема Байеса, независимые события. •
Закон больших чисел для
бернуллиевского распределения:
доказательство со сравнением мер.
ДМ
10 Основы теории чисел
• Делимость, делимость с остатком. • НОД
и НОК. • Алгоритм Евклида. • Обратный
ход алгоритма Евклида и диофантовы
уравнения. • Основная теорема
арифметики.
ДМ
11 Теория чисел, продолжение
• Функция Эйлера. • Малая теорема
Ферма и теорема Эйлера. • Китайская
теорема об остатках.
Темы 7-12
ДМ
11
ДМ
14
ДМ
15
ДМ
16
12 Сложность алгоритмов:
разрешающие деревья
• Задача об отгадывании числа: алгоритм
как разрешающее дерево. • Двоичный
поиск. On-line и off-line алгоритмы. •
Сложность алгоритма, верхние и нижние
оценки. • Верхние и нижние оценки для
сортировки (мощностные). • Adversary
arguments для нижних оценок (пример). •
Порядковые статистики: линейный
алгоритм.
13 Схемы из функциональных
элементов
• Схемы и представляемые ими булевы
функции. Полнота. • Размер и глубина
схемы. • Сложение чисел: схема
линейного размера. • Умножение чисел:
схема квадратичного размера. •
Большинство функций имеют
экспоненциальную сложность. • Быстрые
вычисления: сложение с линейным
размером и логарифмической глубиной. •
Субквадратичное умножение: трюк
Карацубы.
14 Вычислимость и перечислимость
• Алгоритмы со входом и выходом.
Вычислимые функции. Существование
невычислимой функции. • Перечислимые
и разрешимые множества. Варианты
определений, теорема Поста,
вычислимость функции и перечислимость
графика. • Рефлексия: возможность
пошагового выполнения и универсальный
интерпретатор. • Универсальная функция,
перечислимое неразрешимое множество,
7
12
13
неразрешимость проблемы остановки,
неотделимые множества.
Текущий
контроль
Практ.
занятия
Итоговый
контроль
Письменный Согласно тематического плану курса.
экзамен
Каждый бакалавр выбирает
экзаменационный билет, по которому
готовится и отвечает.
15 Машины Тьюринга
• Машины Тьюринга, примеры. • Тезис
Черча-Тьюринга. • Лемма об очистке
мусора. • Многоленточные машины
Тьюринга. • Универсальная машина
Тьюринга. • Машины Тьюринга без
возможности записи и конечные
автоматы. Машины Тьюринга,
изменяющие значение каждой ячейки не
более одного раза. 16 Конкретные не
ДМ
17
Основная
Конспект
лекций
17,18
3. План занятий самостоятельной работы магистрантов под руководством
преподавателя (СРМП)
Таблица 6.
№
1
Задание по темам
Математическая
индукция
Рекомендации
• Примеры рассуждений: двухцветная
раскраска, наличие треугольника. •
Равенства: 1 + 2 + . . . + n = n(n+1) 2 , 1 + 2
+ 4 + 8 + . . . + 2n−1 = 2n − 1. •
Неравенства: (1 + h) n ≥ 1 + hn (при 1 + h ≥
0); 1 + 1/4 + 1/9 + . . . + 1/n2 < 2 (усиление
утверждения для индукции). • Двоичная
система: гирями в 1, 2, 4, . . . , 2 n−1
можно уравновесить любой груз от 0 до 2
n − 1 единственным образом. •
Исключение переменных: система из
менее чем n линейных однородных
уравнений относительно x1, . . . , xn имеет
ненулевое решение. • Слова длины n,
коды Грея. • Индуктивное доказательство
теоремы Холла о представителях.
Литература
Основная
литература: 1
ДМ
2
Комбинаторика
• Формулы суммы и произведения при
подсчёте вариантов. • Сумма множеств и
декартово произведение. • Число
подмножеств, число n-битовых слов,
взаимно однозначное соответствие. •
Рекуррентные формулы: число путей,
число слов без двух нулей подряд. 1 •
Перестановки. • Число подмножеств
данного размера, треугольник Паскаля. •
Формула для чисел сочетаний. Бином
Ньютона. • Числа Каталана.
ДМ
3
Множества и логика
• Обозначения: x ∈ A, A ∩ B, A ∪ B, A \ B,
A ⊂ B, A = B. • Тождества.
Доказательство (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ B,
иллюстрация на картинке и почему эту
Основная
литература: 1
(30 -54)
8
картинку можно считать доказательством
(разбор случаев). • Логические связки и
операции с множествами, таблицы
истинности, выражение одних через
другие, законы де Моргана. • Полнота:
доказательство c дизъюнктивной
нормальной формой и с полиномом
Жегалкина. • Формула включений и
исключений для двух и трёх множеств. •
Общая формула: доказательство по
индукции и с индикаторами.
4
Отношения и графы
• Бинарные отношения и двудольные
графы. • Отношения эквивалентности,
классы. • Неориентированные графы.
Связные компоненты. • Функции,
инъекции, сюръекции, биекции. • Образы
и прообразы. • Композиция отношений и
функций. • Перестановки, разложение в
циклы, транспозиции, порядок
перестановки.
Основная
литература: 1
(30-75)
5
Мощность множеств
• Мощность множества, конечная и
бесконечная мощность. • Счетные
множества; замкнутость относительно
счетного объединения; счетность
множества целых и рациональных чисел. •
Несчетные множества. Континуальные
множества: действительная прямая,
интервал, отрезок, бесконечные двоичные
последовательности. Несчетность
континуальных множеств.
Основная
литература: 1
(76-87)
6
Упорядоченные
множества
• Частичный порядок. Примеры: сумма и
произведение, лексикографический
порядок, покоординатный порядок на
словах. • Изоморфизм упорядоченных
множеств. Почему не изоморфны:
минимальные и максимальные элементы,
плотность. • Линейный порядок,
единственность на конечном множестве. •
Фундированные множества и индукция. •
Цепи и антицепи.
Основная
литература: 1
(90-125)
7
Графы:
сведения
начальные • Ориентированные и неориентированные
графы. Степени вершин. Сумма степеней.
• Пути. Связные компоненты. В связном
графе с n вершинами не менее n − 1 рёбер.
• Циклы. Деревья. Число вершин и рёбер в
дереве. • Эйлеров цикл, критерий его
существования для ориентированных и
неориентированных графов. • Теоремы
рамсеевского типа для конечных и
бесконечных графов.
Основная
литература: 1
(130-250)
9
8
Графы: продолжение
9
Вероятность:
шаги
10
11
• Клики и независимые множества;
вершинные покрытия. • Теорема Холла. •
первые
• Мотивировка: равновозможность,
вероятность как доля, частота. • Конечное
вероятностное пространство, события,
формула сложения вероятностей. •
Комбинаторные формулы и вероятность. •
Вероятностные доказательства
существования (оценка сверху
вероятности нарушения одного из
требований с помощью union bound). •
Математическое ожидание и его
линейность. • Условные вероятности,
теорема Байеса, независимые события. •
Закон больших чисел для
бернуллиевского распределения:
доказательство со сравнением мер.
Основы теории чисел
• Делимость, делимость с остатком. • НОД
и НОК. • Алгоритм Евклида. • Обратный
ход алгоритма Евклида и диофантовы
уравнения. • Основная теорема
арифметики.
Теория
чисел: • Функция Эйлера. • Малая теорема Ферма
продолжение
и теорема Эйлера. • Китайская теорема об
остатках.
Основная
литература: 1
(13-250)
Основная
литература: 1
(130-250)
Основная
литература: 1
(250-278)
Основная
литература: 1
(278-350)
12
Сложность алгоритмов: • Задача об отгадывании числа: алгоритм
разрешающие деревья
как разрешающее дерево. • Двоичный
поиск. On-line и off-line алгоритмы. •
Сложность алгоритма, верхние и нижние
оценки. • Верхние и нижние оценки для
сортировки (мощностные). • Adversary
arguments для нижних оценок (пример). •
Порядковые статистики: линейный
алгоритм.
Основная
литература: 1
(351-365)
13
13.
Схемы
функциональных
элементов
из • Схемы и представляемые ими булевы
функции. Полнота. • Размер и глубина
схемы. • Сложение чисел: схема
линейного размера. • Умножение чисел:
схема квадратичного размера. •
Большинство функций имеют
экспоненциальную сложность. • Быстрые
вычисления: сложение с линейным
размером и логарифмической глубиной. •
Субквадратичное умножение: трюк
Карацубы.
Основная
литература: 1
(250-365)
14
Вычислимость
перечислимость
и • Алгоритмы со входом и выходом.
Вычислимые функции. Существование
невычислимой функции. • Перечислимые
и разрешимые множества. Варианты
определений, теорема Поста,
вычислимость функции и перечислимость
графика. • Рефлексия: возможность
Основная
литература: 1
(367-377)
10
пошагового выполнения и универсальный
интерпретатор. • Универсальная функция,
перечислимое неразрешимое множество,
неразрешимость проблемы остановки,
неотделимые множества.
15
Машина Тьюринги
• Машины Тьюринга, примеры. • Тезис
Черча-Тьюринга. • Лемма об очистке
мусора. • Многоленточные машины
Тьюринга. • Универсальная машина
Тьюринга. • Машины Тьюринга без
возможности записи и конечные
автоматы. Машины Тьюринга,
изменяющие значение каждой ячейки не
более одного раза. 16 Конкретные не
Основная
литература: 1
(377-385)
4. План занятий самостоятельной работы магистрантов (СРМ)
Таблица 7.
№
Задание по темам
Форма
проведения
Тренинг
Методические рекомендации
1
1 Математическая
индукция
2
2.Комбинаторика
3
3.Множества
логика
Литература
Тренинг
• Формулы суммы и произведения при
подсчёте вариантов. • Сумма
множеств и декартово произведение. •
Число подмножеств, число n-битовых
слов, взаимно однозначное
соответствие. • Рекуррентные
формулы: число путей, число слов без
двух нулей подряд. 1 • Перестановки. •
Число подмножеств данного размера,
треугольник Паскаля. • Формула для
чисел сочетаний. Бином Ньютона. •
Числа Каталана.
ДМ
и Тренинг
• Обозначения: x ∈ A, A ∩ B, A ∪ B, A
\ B, A ⊂ B, A = B. • Тождества.
Доказательство (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩
Основная
литература: 1
(30 -54)
• Примеры рассуждений: двухцветная Основная
раскраска, наличие треугольника. •
литература: 1
Равенства: 1 + 2 + . . . + n = n(n+1) 2 , 1
+ 2 + 4 + 8 + . . . + 2n−1 = 2n − 1. •
Неравенства: (1 + h) n ≥ 1 + hn (при 1 +
h ≥ 0); 1 + 1/4 + 1/9 + . . . + 1/n2 < 2
(усиление утверждения для индукции).
• Двоичная система: гирями в 1, 2, 4, . .
. , 2 n−1 можно уравновесить любой
груз от 0 до 2 n − 1 единственным
образом. • Исключение переменных:
система из менее чем n линейных
однородных уравнений относительно
x1, . . . , xn имеет ненулевое решение. •
Слова длины n, коды Грея. •
Индуктивное доказательство теоремы
Холла о представителях.
11
B, иллюстрация на картинке и почему
эту картинку можно считать
доказательством (разбор случаев). •
Логические связки и операции с
множествами, таблицы истинности,
выражение одних через другие,
законы де Моргана. • Полнота:
доказательство c дизъюнктивной
нормальной формой и с полиномом
Жегалкина. • Формула включений и
исключений для двух и трёх
множеств. • Общая формула:
доказательство по индукции и с
индикаторами.
4
4. Отношения и Тренинг
графы
• Бинарные отношения и двудольные
графы. • Отношения эквивалентности,
классы. • Неориентированные графы.
Связные компоненты. • Функции,
инъекции, сюръекции, биекции. •
Образы и прообразы. • Композиция
отношений и функций. •
Перестановки, разложение в циклы,
транспозиции, порядок перестановки.
Основная
литература: 1
(30-75)
5
5.Мощность
множеств
Тренинг
• Мощность множества, конечная и
бесконечная мощность. • Счетные
множества; замкнутость относительно
счетного объединения; счетность
множества целых и рациональных
чисел. • Несчетные множества.
Континуальные множества:
действительная прямая, интервал,
отрезок, бесконечные двоичные
последовательности. Несчетность
континуальных множеств.
Основная
литература: 1
(76-87)
6
6.Упорядоченные
множества
Тренинг
• Частичный порядок. Примеры:
сумма и произведение,
лексикографический порядок,
покоординатный порядок на словах. •
Изоморфизм упорядоченных
множеств. Почему не изоморфны:
минимальные и максимальные
элементы, плотность. • Линейный
порядок, единственность на конечном
множестве. • Фундированные
множества и индукция. • Цепи и
антицепи.
Основная
литература: 1
(90-125)
7
7.Графы:
начальные
сведения
Тренинг
• Ориентированные и
неориентированные графы. Степени
вершин. Сумма степеней. • Пути.
Связные компоненты. В связном графе
с n вершинами не менее n − 1 рёбер. •
Основная
литература: 1
(130-250)
12
Циклы. Деревья. Число вершин и
рёбер в дереве. • Эйлеров цикл,
критерий его существования для
ориентированных и
неориентированных графов. • Теоремы
рамсеевского типа для конечных и
бесконечных графов.
8
8.
Графы: Тренинг
продолжение
• Клики и независимые множества;
вершинные покрытия. • Теорема
Холла. •
Основная
литература: 1
(13-250)
9
9.Вероятность:
первые шаги
Основная
литература: 1
(130-250)
10
10. Основы теории Тренинг
чисел
11
11.Теория чисел: Тренинг
продолжение
• Мотивировка: равновозможность,
вероятность как доля, частота. •
Конечное вероятностное
пространство, события, формула
сложения вероятностей. •
Комбинаторные формулы и
вероятность. • Вероятностные
доказательства существования (оценка
сверху вероятности нарушения одного
из требований с помощью union
bound). • Математическое ожидание и
его линейность. • Условные
вероятности, теорема Байеса,
независимые события. • Закон
больших чисел для бернуллиевского
распределения: доказательство со
сравнением мер.
• Делимость, делимость с остатком. •
НОД и НОК. • Алгоритм Евклида. •
Обратный ход алгоритма Евклида и
диофантовы уравнения. • Основная
теорема арифметики.
• Функция Эйлера. • Малая теорема
Ферма и теорема Эйлера. • Китайская
теорема об остатках.
12
12.
Сложность Тренинг
алгоритмов:
разрешающие
деревья
• Задача об отгадывании числа:
алгоритм как разрешающее дерево. •
Двоичный поиск. On-line и off-line
алгоритмы. • Сложность алгоритма,
верхние и нижние оценки. • Верхние и
нижние оценки для сортировки
(мощностные). • Adversary arguments
для нижних оценок (пример). •
Порядковые статистики: линейный
алгоритм.
Основная
литература: 1
(351-365)
13
13. Схемы из Тренинг
функциональных
элементов
• Схемы и представляемые ими
булевы функции. Полнота. • Размер и
глубина схемы. • Сложение чисел:
схема линейного размера. •
Умножение чисел: схема
квадратичного размера. • Большинство
функций имеют экспоненциальную
Основная
литература: 1
(250-365)
Тренинг
13
Основная
литература: 1
(250-278)
Основная
литература: 1
(278-350)
сложность. • Быстрые вычисления:
сложение с линейным размером и
логарифмической глубиной. •
Субквадратичное умножение: трюк
Карацубы.
14
14. Вычислимость Тренинг
и перечислимость
• Алгоритмы со входом и выходом.
Вычислимые функции.
Существование невычислимой
функции. • Перечислимые и
разрешимые множества. Варианты
определений, теорема Поста,
вычислимость функции и
перечислимость графика. • Рефлексия:
возможность пошагового выполнения
и универсальный интерпретатор. •
Универсальная функция,
перечислимое неразрешимое
множество, неразрешимость проблемы
остановки, неотделимые множества.
Основная
литература: 1
(367-377)
15
15.
Машина Тренинг
Тьюринги
• Машины Тьюринга, примеры. •
Тезис Черча-Тьюринга. • Лемма об
очистке мусора. • Многоленточные
машины Тьюринга. • Универсальная
машина Тьюринга. • Машины
Тьюринга без возможности записи и
конечные автоматы. Машины
Тьюринга, изменяющие значение
каждой ячейки не более одного раза.
16 Конкретные не
Основная
литература: 1
(377-385)
5. Список литературы
Основная литература:
1. А.Шень и др. Лекции по дискретной математике, М., 2015, 400с.
Дополнительная литература:
1. Учебник по дискретной математике. Составитель Поспелов А.Д., М., МГУ им.
М.В. Ломоносова, 2002г, 700с.
14