Оптимизационные задачи объёмно-календарного планирования

Системы управления и информационные технологии. 2007, №2.1(28),С.188-192.
УДК 519.874
Оптимизационные задачи объёмно-календарного планирования для
нефтеперерабатывающих предприятий
Optimization resource scheduling problems for oil-processing enterprises
М.Х.Прилуцкий, В.Е.Костюков
M.Kh. Prilutskii, V.E. Kostukov
Решение задачи объёмно-календарного планирования для нефтеперерабатывающего
предприятия осуществляется путем сведения её к двум задачам: задаче поиска оптимальной
вершины многомерного многозначного куба и задаче проверки на совместность систем линейных
алгебраических неравенств. Первая задача решается с использованием лексикографического
отношения порядка, заданного на множестве вершин куба. Вторая задача решается методом
ортогональных проекций. Содержательное описание объекта соответствует реальным
условиям Сургутского завода стабилизации конденсата ООО «Сургутгазпрома».
Resource scheduling problem for oil-processing enterprises is solved by its reduction to the following two
problems: optimal node of multidimensional multi-valued cube search problem and linear algebraic
system consistency testing problem. The first problem is solved using lexicographic order defined on the
set of nodes of a cube. The second problem is solved using method of orthogonal projections. The
description of the object corresponds to the real conditions of the Surgut condensate stabilization factory
of «Surgutgazprom».
Введение
На нефтеперерабатывающих предприятиях действующие автоматизированные системы
управления реализуют, в основном, информационно-контрольные функции управления и, как
правило, не содержат программных модулей, предназначенных для решения оптимизационных
задач, возникающих в
процессе переработки нефтепродуктов ([1,2]). Перспективным
направлением работ по повышению эффективности функционирования автоматизированных
систем управления является разработка и реализация программных систем, позволяющих решать
совокупность взаимосвязанных оптимизационных задач планирования и оперативного
управления. Решение задач оптимального планирования позволяет согласовывать объёмы
поставляемого на предприятие сырья с возможностями резервуарного парка предприятия,
возможностями технологических установок и потребностями в выпускаемой продукции. В таких
задачах обычно используются объёмные показатели (условные тонны, кубометры, рубли) и
период планирования предполагается достаточно большим (год, квартал, месяц). Решаться такие
задачи должны с достаточной степенью идеализации, рассматривая лишь параметры,
оказывающие основное влияние на функционирование производственной системы, предполагая,
что учет других параметров будет осуществлен при решении задач оперативного управления.
Критериями эффективности для таких задач являются: максимизация суммарного дохода,
минимизация суммарных затрат на производство продукции, максимизация суммарной прибыли,
полученной предприятием в планируемом периоде. При решении задач планирования для
нефтеперерабатывающих предприятий существенным является учет календарных периодов, т.к.
решения таких задач должны определять объёмы продукции, которые предприятие будет
2
производить в те или иные календарные сроки. Учет календарных периодов превращает
рассматриваемые задачи в задачи объёмно-календарного планирования ([3-5]). Решение таких
задач позволяет предприятию согласовывать сроки и количества поставляемого на предприятие
сырья, обоснованно заключать договора на поставку готовой продукции, обеспечивать основные
технологические установки необходимыми компонентами, участвующими в процессе
производства продукции.
1. Содержательное описание объекта планирования
Рассматривается производственная система, которая из сырья, используя различные
технологические установки, производит готовую продукцию. Сырье через ёмкости поступает на
технологические установки. На технологических установках, под воздействием технологических
режимов, сырьё перерабатывается в продукты производства. Готовые продукты производства
поступают в ёмкости для готовой продукции, а затем потребителям готовой продукции. Заданы
ограничения на объёмы ёмкостей и ограничения на производительности технологических
установок. При решении задач объёмно-календарного планирования учитываются следующие
экономические показатели:
 стоимость единицы сырья в зависимости от такта поступления;
 затраты на заполнение и извлечения сырья из ёмкостей;
 затраты на переработку сырья технологическими установками;
 затраты на отгрузку готовой продукции;
 доходы от отгрузки готовой продукции потребителям.
Требуется найти такой план производства готовой продукции, обеспечивающий
эффективное функционирование предприятия, и который позволял бы определять:
 общий объём сырья, который должен поступать на предприятие за весь период планирования,
 сколько сырья потребуется предприятию по тактам планирования,
 как сырьё должно быть распределено по ёмкостям по тактам планирования,
 как сырьё должно поступать по тактам на технологические установки,
 как готовая продукция по тактам должна поступать в ёмкости готовой продукции,
 какие объёмы готовой продукции по тактам предприятие может отгружать потребителям.
2. Математическая модель
2.1. Исходные параметры математической модели
Пусть T – множество тактов функционирования системы, I – множество ёмкостей под
сырьё, J – множество технологических установок, K – множество различных видов готовой
продукции, которые выпускает
предприятие, S – множество ёмкостей под готовую
продукцию, P – множество потребителей готовой продукции.
Обозначим через Ai – максимальный объём сырья, который может быть помещён в
ёмкость под сырьё i, iI; Bjk, Cjk – минимально и максимально возможные производительности jтой технологической установки по готовой продукции k, jJ, kK; Dks – максимальный объём
готовой продукции k, который можно поместить в ёмкость для готовой продукции s, kK, sS;
Ekpt, Hkpt – минимальный и максимальный объёмы продукции k, который требуется потребителю
p в такт t, kK, pP, tT. Здесь предполагается, что Ai ≥0 , 0 ≤Bjk≤ Cjk<∞, Dks≥0, 0 ≤ Ekpt ≤ Hkpt <∞,
iI, jJ, kK, sS, pP, tT.
Пусть at – стоимость единицы сырья в такт t, tT; bit – затраты на перемещение единицы
сырья из ёмкости для сырья i в такт t в любую технологическую установку; сjkt – затраты на
переработку единицы сырья установкой j в продукт k в такт t, jJ, kK, tT; dkspt – затраты на
отгрузку готовой продукции k потребителю p из ёмкости для готовой продукции s в такт t, kK,
3
sS, pP, tT; ekpt – доход от отгрузки в такт t единицы готовой продукции k,
kK, pP, tT.
потребителю p,
2.2. Варьируемые параметры математической модели
Обозначим через x ijkspt – количество сырья, которое из ёмкости i поступит на установку
j для изготовления продукта k, который через ёмкость s будет отправлен потребителю p в такт t,
iI, jJ, kK, sS, pP, tT.
2.3. Ограничения математической модели
xijkspt  0, i  I , j  J , k  K , s  S , p  P, t  T .
(1)
(Естественные условия на переменные.)
    xijkspt  Ai ,
jJ
kK
sS
pP
i  I , t T .
(2)
(Количество сырья, поступившее из каждой ёмкости, не должно превышать объёма этой
ёмкости в любой такт планирования.)
B jk     xijkspt  C jk ,
iI
sS
pP
j  J , k  K , t T .
(3)
(Количество готового продукта, полученное с каждой установки не должно быть меньше
минимальной и больше максимальной производительности этой установки по этому продукту
каждый такт планирования.)
   xijkspt  D ks ,
iI
jJ
pP
k  K , s  S, t T .
(4)
(Каждый такт планирования количество продукта, которое поступит в ёмкость готовой
продукции, не должно превышать максимальный вместимости этой ёмкости.)
E kpt     xijkspt  H kpt , k  K , p  P, t  T .
iI
jJ
(5)
sS
(Каждый такт планирования количество готовой продукции, которое поступит
потребителю, должно быть ограничено минимальным и максимальным объёмами продукции,
который ему требуется.)
3.Постановка многокритериальной задачи объёмно-календарного планирования
В качестве критериев оптимальности задачи объёмно-календарного планирования выберем:
4
F1 ( X )    
kK
pP tT
e
kpt
   xijkspt  max .
iI
jJ
(6)
sS
(Суммарный доход, который получит система от реализации готовой продукции
потребителям за все время планирования)
(7)
F 2 ( X )      d kspt   xijkspt  min .
k K sS
pP tT
iI
jJ
(Суммарные затраты на отгрузку готовой продукции из ёмкостей потребителям по тактам
планирования)
(8)
F 3 ( X )     jkt    xijkspt  min .
jJ k K tT
(Суммарные
продукцию)
iI
sS
pP
затраты технологических установок
F4(X )   
i I
c
tT
bit 
   x ijkspt  min .
jJ k K sS
на переработку сырья в готовую
(9)
pP
(Суммарные затраты на перемещение сырья из ёмкостей для сырья
установки)
(10)
F 5 ( X )   t      xijkspt  min .
tT
a
iI
jJ
kK sS
в технологические
pP
(Суммарные затраты на приобретение сырья за все время планирования)
0
Пусть X 0  x ijkspt
- оптимальное решение задачи, тогда суммированием
по
соответствующим индексам можно получить необходимые значения объёмов сырья и продукции,
обеспечивающие эффективное функционирование производственной системы:
 общий объём сырья, который должен поступить на предприятие за весь период планирования,
 объём сырья, который должен поступать на предприятие по тактам планирования,
 распределение сырья по тактам планирования по ёмкостям под сырьё,
 поступление сырья по тактам планирования на технологические установки,
 поступление готовой продукции по тактам планирования в ёмкости готовой продукции,
 объёмы готовой продукции по тактам планирования, которые будут отгружены
потребителям.
4. Алгоритмы решения
Для решения многокритериальной задачи (1)-(10) необходимо
выбрать схему
компромисса, позволяющую определять понятие оптимального решения в рассматриваемой
задаче.
4.1. Лексикографическая схема компромисса
Преобразуем критерии оптимальности (6)-(10) в двусторонние неравенства:
(11)
F q  F q ( X )  F q , q  1,5 .


где F q и F q , соответственно, нижняя и верхняя оценки значений критериев (6)-(10), полученные


с использованием исходных параметров математической модели. Так, например, нижняя оценка
суммарных затрат на приобретение сырья, может быть определена как F 5   at   E kpt , а
tT
верхняя оценка суммарного дохода как F 

1
kK
pP
   ekpt H kpt .
kK
pP tT
Как и в ([6]), разобьём каждый из отрезков [ F q ( X ), F q ( X )], q  1,5 , на p+1 вложенных
друг в друга отрезков R0q  R1q  ...  R qp , где Rqp  [ F q ( X ), F q ], q  1,5 .
Рассмотрим 5-ти
5
мерный (по числу критериев) (p+1)-ичный (по числу отрезков) куб. Каждая вершина куба
r определяется 5-ти мерным вектором, компоненты которого принимают значения из множества
{0,1,…,p}. Вершине куба
r поставим в соответствие систему линейных алгебраических

неравенств S ( r ) , всегда включающую в себя ограничения (1)-(5), и пять ограничений, которые
строятся по следующей схеме: если r q  g , то этой компоненте вершины соответствует
ограничение F q ( X )  Rqg . При такой постановке, если вершина куба
r q  p,

q  1,5 , то соответствующая ей система S ( r )
имеет координаты
r
будет включать в себя ограничения (1)-
(5), (11).
Зададим на множестве вершин куба некоторый линейный порядок

,
для которого

должно выполняться: если для вершин куба  и v , задаваемых векторами пространства R 5 ,




выполняются условия   v (покомпонентно), то   v .

Зададим на множестве вершин куба двузначную функцию f ( r ) , принимающую значение


1, если система S ( r ) совместна и 0 в противном случае. Для функции f ( r ) выполняется: если
для вершин куба

 и





  v (покомпонентно), то f (  )  f ( ) , отсюда
v имеет место

функция f ( r ) является монотонной. Для поиска оптимальной вершины куба можно предложить

следующую вычислительную схему. На первом шаге выбирается вершина куба r*  ( p, p,..., p ) и


вычисляется f ( r *) , что равносильно проверке на совместность системы S ( r*) . Если система
несовместна, то исходная задача не имеет решения. Если система совместна, то выбирается

некоторая вершина куба

1
1
r и вычисляется f ( r ) , что равносильно проверке на совместность


системы S ( r1) . В зависимости от значения f ( r1) , выбирается следующая вершина и т.д. Процесс
вычислений должен быть конечен. Из всех просмотренных вершин куба выбирается оптимальная


вершина, т.е. такая вершина r0 , для которой f ( r 0)  1 и



0
r  r для всех вершин куба r , для

которых f ( r )  1 . Решением исходной задачи объёмно-календарного планирования будет любой

допустимый план совместной системы S ( r 0) .
только тогда, если

выберем лексикографическое отношение порядка: r  r тогда и
1
2
1
2
r i  r i , i  1, s , ri 1  ri 1 , i<5. Тогда задача объёмно-календарного
В качестве порядка
1
2
0
планирования будет заключаться в определении такой вершины куба r , которой соответствует

совместная система ограничений S ( r 0) ,
и для которой выполняется: r  r для всех вершин
0

куба r , которым соответствует совместная система ограничений S ( r ) .
6
Алгоритм поиска оптимальной вершины куба при лексикографическом порядке

монотонной функции f ( r )
состоит из пяти шагов. На первом шаге
среди вершин
 для
вида
( 1 ,p,p,p,p) находится такое значение r10 , r10 {0,1,..., p} , для которого f ( r1 , p, p, p, p)  1 и
0
r1 ≤ r1 , для всех тех r1 , для которых f (r1 , p, p, p, p)  1 . На втором шаге среди вершин вида
0
r
( r10 , r 2 ,p,p,p) аналогично находится вторая координата оптимальной вершины. На 5-ом шаге
находим искомую оптимальную вершину куба. На каждом шаге число вычислений функции

f ( r ) имеет порядок log 2 ( p 1) .
4.2. Аддитивная схема компромисса
Так как для введенных критериев оптимальности выполняются условия аддитивности и
пропорциональности, то можно применить аддитивную свертку частных критериев
оптимальности, и выбрать в качестве обобщенного критерия величину суммарной прибыли,
которая задается функционалом:
F ( X )     kpt   xijkspt k K pP tT
-
pP tT
tT
a
t
ii
iI
jJ
iI
sS
(12)
pP
  bit     xijkspt -
iI
-
jJ sS
   c jkt    xijkspt -
jJ k K tT
-
iI
    d kspt  xijkspt -
kK sS
-
e
tT
jJ k K sS
pP
    xijkspt  max .
jJ
kK sS
pP
(Разность между суммарным доходом и суммарными затратами стремится к максимуму)
Задача (1)-(5), (12) является задачей линейного программирования и может быть решена
известными методами линейного программирования (например, симплекс-методом), однако
реальные задачи содержат большое число переменных (I  J  K  S  P  T) и
ограничений (I  T+J  K  T+K  S  T+K  P  T). Работать с матрицами
таких размеров затруднительно, даже используя современные вычислительные средства.
Для решения поставленной задачи объёмно-календарного планирования можно
воспользоваться результатами, изложенными в пункте 4.1., рассмотрев не частные критерии
оптимальности (6)-(10), а один обобщенный критерий (12), тем самым к системе ограничений (1)(5) добавив одно двустороннее ограничение:


F ( X )  F( X )  F ( X ) .
(13)
Здесь F  (X ) и F  ( X ) , соответственно, нижняя и верхняя оценки значения критерия (12). Тогда,
для решения поставленной задачи достаточно проверить на совместность порядка
log2 ( p  1)
систем линейных алгебраических неравенств типа (1)-(5),(13).
4.3. Решение систем линейных неравенств методом ортогональных проекций АгмонаМоцкина

Для решения систем линейных алгебраических неравенств типа S ( r ) можно
воспользоваться известными точными методами линейной алгебры ([7]), однако большие размеры
7
реальных производственных задач, как правило, не позволяют применять точные методы. Здесь
предлагается применить релаксационный метод ортогональных проекций Агмона-Моцкина
([8,9]), хорошо зарекомендовавший себя (см.[4,5]) для решения подобных систем с транспортной
спецификой (коэффициенты матрицы ограничений 0,1,-1). Подобной спецификой обладают
основные ограничения рассматриваемой математической модели (1)-(5).
Рассмотрим систему линейных алгебраических неравенств

n
Li x   aij x j  bi  0, i  1, m .
Пусть
Если

x
j 1

n
x R -
произвольный n-мерный вектор, например, с нулевыми компонентами.
I  {i Li x   0, i  1, m} .

- не решение системы, то обозначим через
 
n
2
i0  arg max (  Li x / (  aij ) ) , и построим вектор x
j 1

iI
t   Li x  / (  aij2 )
n
j 1
 1
Найдем
 x  t a , где ai  ( ai01 , ai02 ,...., ai0n ),
0
i0

. Тогда, согласно теореме Агмона-Моцкина ([8]), если система линейных

неравенств совместна, то, при    , последовательность x сходится к её решению.
Замечание
Алгоритм Агмона-Моцкина является итерационным, поэтому для его реализации
необходимо задавать два параметра – число шагов работы алгоритма и точность решения задачи.
Если за указанное число шагов с заданной точностью допустимое решение не будет найдено, то
делается предположение о несовместности исходной системы.
Заключение
Для решения поставленной многокритериальной задачи объёмно-календарного
планирования для нефтеперерабатывающего предприятия
рассматриваются две схемы
компромисса: лексикографическая и аддитивная. Для каждой из этих схем предложена
вычислительная процедура, позволяющая решать эти задачи путем последовательной проверки на
совместность систем линейных алгебраических неравенств с ограничениями, большинство из
которых обладает транспортной спецификой. Для решения таких систем в работе используется
релаксационный метод ортогональных проекций Агмона-Моцкина, хорошо зарекомендовавший
себя для решения подобных задач. Содержательное описание объекта соответствует реальным
условиям Сургутского завода стабилизации конденсата ООО «Сургутгазпрома».
Литература
1.Соркин Л.Р. Современные технологии управления в нефтегазовом комплексе. М., Изд-во МФТИ,
2003, 104с.
2.Веревкин А.П., Кирюшин О.В. Автоматизация технологических процессов и производств в
нефтепереработке и нефтехимии. Уфа, Изд-во УГНТУ, 2005, 171с.
3.Прилуцкий М.Х. Распределение однородного
ресурса в иерархических системах
древовидной структуры. Труды международной конференции "Идентификация систем и задачи
управления SICPRO 2000". Москва, 26-28 сентября 2000г. Институт проблем управления им.
В.А.Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2000,
с.2038-2049.
4.Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи объёмно-календарного планирования транспортного
типа. Труды международной конференции "Идентификация систем и задачи управления SICPRO-
8
06". Москва, 30 января-2 февраля 2006г. Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова
РАН. М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2006, с.503-510.
5.Прилуцкий М.Х. Многокритериальные многоиндексные задачи объёмно-календарного
планирования.// Известия академии наук. Теория и системы управления, 2007, №1, с. 78-82.
6. Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических
системах//Автоматика и телемеханика. 1996, №2, с.139-146.
7. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Изд-во «Наука», 1968, 488 с.
8. Agmon S. The relaxation method for linear inequalities // Caned. J. Moth. 1954. V. 6. №3, p.382-392
9. Motzkin T.S., Schoenberg I.J. The relaxation method for linear inequalities // Caned. J. Moth. 1954. V.
6. №3, p.393-404