Многокритериальная задача распределения

Системы управления и информационные технологии. 2007, N3.2(29). - С. 291-296
УДК 519.874
Многокритериальная задача распределения производительности купола по газовым
скважинам
Multicriteria problem of cupola productivity distribution among gas wells
М.Х.Прилуцкий, Е.В.Васильев, В.Е.Костюков
M.Kh. Prilutskii, E.V.Vasilev, V.E. Kostukov
В работе рассматривается проблема эффективного управления работой газового
промысла, входящего в состав газодобывающего предприятия. Строится математическая
модель, в рамках которой ставится многокритериальная задача с критериями максимизации
общего объема добычи газа и равномерного распределения давления на выходе газовых скважин
в пределах газового купола. Предлагаются алгоритмы решения поставленной задачи.
Содержательное
описание
объекта
соответствует
реальным
условиям
ООО
"Нояборьскгаздобыча".
The problem of efficient gas field activity control which is included into gas production enterprise is
considered. The mathematical model is constructed, within the framework of the model multicriteria
problem is formulated with criterions of total gas production amount maximization and of uniform
pressure distribution at the out put of gas wells within gas cupola. Algorithms for solving of the
formulated problem are proposed. The description of the object satisfies to actual conditions of
"Noiaborskgazdobicha" enterprise.
Введение
В современных условиях эффективность и экономичность функционирования
газодобывающего предприятия, в том числе газовых промыслов, является важнейшим фактором
снижения затрат и повышения надежности поставок газа. Такой результат достигается за счет
совершенствования технологии управления процессами добычи и подготовки газа. Одной из
важных задач управления газовым промыслом является задача рационального распределения
объемов добычи газа по кустам газовых скважин и газовым скважинам. В работах [1-5]
рассматриваются задачи управления газовыми промыслами, которые ставятся в основном как
однокритериальные
задачи математического программирования. Однако, наличие сразу
нескольких целей, возникающих при управлении газодобывающим предприятием, делает
подобные задачи многокритериальными. В отличие от указанных работ, в настоящей статье
рассматриваемая проблема формализуется как многокритериальная задача, в качестве частных
критериев оптимальности в которой рассматриваются вопросы максимизации объема добычи газа
всего газового промысла при эффективном распределении этого объема по кустам и газовым
скважинам.
1.Содержательное описание объекта
Рассматривается сложная система, описывающая функционирование газового промысла.
Газовый промысел обслуживает газовое месторождение, объекты добычи которого по геологотехническим и территориальным признакам разделяются на несколько куполов. Каждый
газовый купол состоит из ряда кустов газовых скважин. Добыча газа осуществляется с
использованием различных технологических режимов (газовый режим, водонапорный режим,
жесткий водонапорный режим). Режимы работы всех скважин заранее определены, и все
расчеты проводятся с учетом этих режимов. Процесс добычи газа описывается следующей
схемой. Предполагается, что начальное пластовое давление (давление на забое любой скважины)
купола известно. Объем добычи газа из скважины регулируется системой кранов-регуляторов,
при этом очевидно, что при открытых кранах скважина дает максимальный объем добычи, но
при этом устьевое давление скважины будет минимально, а при закрытых кранах – объем
добычи газа минимален, а устьевое давление скважины максимально. В общем случае функция,
определяющая устьевое давление газа скважины от объема добытого газа является квадратичной
1
монотонно убывающей функцией ([5]). Так как изменение пластового давления газа происходит
достаточно медленно, то в данной работе предполагается, что на выбранном интервале
планирования можно пренебречь квадратичной составляющей и считать, что функции,
определяющие зависимость забойного давления скважины от объема добываемого газа на
заданном интервале времени, линейные. При такой идеализации необходимо определить
интервал времени (интервал планирования), на котором выполняются принятые условия, и для
каждого интервала планирования заново решать задачу при измененных исходных параметрах.
Замечание.
Для применяемых технологических режимов добычи газа предложенная идеализация
представляется вполне естественной. Действительно, в случае использования водонапорных
режимов вода в забое "удерживает" постоянным давление на забое скважины, а при
использовании газового режима по мере выработки запасов газа пластовое давление
уменьшается по линейному закону ([4]).
Добытый в скважинах газ по газосборным сетям поступает на установки предварительной
подготовки газа, в которых сырой газ освобождается от примесей. Каждая установка
предварительной подготовки газа
обслуживает, как правило, отдельный газовый купол. С
установок предварительной подготовки газ поступает на установку комплексной подготовки
газа, в которой происходит "глубокая осушка" газа. Подготовленный к транспортировке газ из
установки комплексной подготовки поступает в магистральный газопровод. Предполагаются
известными:
 минимально допустимые и максимально возможные объемы добычи газа для каждой
скважины (на дебиты скважин накладываются ограничения: со стороны процессов
гидратообразования, разрушения призабойной зоны, условий разработки месторождения
и процессов обводнения конусом подошвенных вод);
 минимально допустимые и максимально возможные объемы газа, которые могут быть
переданы по ниткам газопроводов, соединяющим газовые скважины с установками
подготовки газа;
 минимально допустимый и максимально возможный объем газа, который может
переработать каждая установка предварительной подготовки газа;
 минимально допустимые и максимально возможные значения давления газа, как на
выходе каждой скважины, так и на входе установки предварительной подготовки газа;
 зависимость давления газа на выходе скважины от объема добычи газа при разных
технологических режимах.
Основной особенностью рассматриваемой системы является то, что все скважины одного
куста сообщаются между собой общими коллекторами, а с обслуживающей их установкой
предварительной подготовки газа посредством газосборной сети, тем самым при различных
давлениях на выходе сообщающихся скважин, эти давления выравниваются. При этом если на
скважине определен режим работы, обеспечивающий заданное давление газа на выходе, то
изменение давления скважины из-за выравнивания давления во всей системе скважин, нарушает
допустимый технологический режим, что может привести к аварийным ситуациям.
Требуется определить максимально возможный объем газа, который может быть получен
каждым куполом, объемы газа, которые должны добывать отдельные скважины, при условии,
что давление на выходе скважин каждого купола должны быть по возможности близки друг к
другу.
2.Общая математическая модель
2.1. Исходные параметры модели
Пусть I – множество куполов газовых скважин; Ji – множество скважин i-го купола, i  I ,
K – множество технологических режимов, обеспечивающих добычу газа в скважинах. Обозначим
через


qij , qij
- соответственно минимально допустимый и максимально возможный объемы
2
добычи газа j-той скважиной i-го купола, j  J i , i  I ; r ( j ,i ) , r ( j ,i ) - соответственно минимальная
и максимальная пропускная способность газопровода, соединяющего j–ую скважину i-го купола с
установкой предварительной подготовки газа, обслуживающей i-ый купол скважин,
j  J i , i  I ; V i ,V i - соответственно минимально возможный и максимально допустимый
объем газа, который может переработать установка предварительной подготовки газа,


обслуживающая i-ый купол газовых скважин, i  I ; Pij , Pij - соответственно минимально
допустимое и максимально возможное давление на выходе j-той скважины i-го купола,




j  J i , i  I ; Qi , Qi -
соответственно минимально допустимое и максимально возможное
давление на входе установки предварительной подготовки газа, обслуживающей i-тый купол
газовых скважин,
iI .
Пусть
 ij (x )
k
- функции, определяющие зависимость давления на
выходе j-той скважины i-го купола при k-том технологическом режиме работы скважины, от
объема добываемого газа, j  J i , i  I , k  K ;  i (x ) - функции, определяющие зависимость
давления газа на входе установки предварительной подготовки газа, обслуживающей i-ый купол
газовых скважин, в зависимости от объема газа, поступившего на установку, i  I .
2.2. Варьируемые параметры модели
Обозначим через
xijk - объем добычи газа на j-той скважине i-го купола при использовании
заранее определенного k-го технологического режима работы скважины, j  J i , i  I , k  K .
2.3. Ограничения математической модели


max( qij , r(ij ))  xijk  min( qij , r(ij )) ,
j  J i ,i  I .
(1)
(Объем добычи газа j-ой скважиной i-го купола должен принадлежать сегменту возможных
значений, учитывающему как производительности скважин, так и пропускные способности
газопроводов, соединяющих скважины с установками предварительной подготовки газа.)


V i   xijk  V i ,
iI .
j
(2)
Ji
(Ограничения на возможные объемы переработки газа установками предварительной подготовки
газа.)
Pij   ij ( xijk)  Pij ,

j  J i ,i  I .

k
(3)
(Значения величин давления на выходе скважин при заданных технологических режимах их
работы и в зависимости от производительности скважин, должны удовлетворять сегменту
возможных давлений.)
Qi   i (  xijk)  Qi


j
iI .
,
(4)
Ji
(Значения величины давления на входе установки предварительной подготовки газа при заданных
технологических режимах работы скважин и в зависимости от объема газа, поступившего со
скважин, должны удовлетворять сегменту возможных давлений.)
Построенная математическая модель включает в себя систему линейных двусторонних
ограничений, из которых ограничения (1)-(2) являются ограничениями транспортного типа.
3.Постановка многокритериальной задачи
В качестве частных критериев оптимальности рассмотрим следующие функционалы:
i  I.
(5)
F i ( X )   xijk  max,
j
Ji
(Максимизация объема добычи газа каждым куполом.)
Ri ( X )  min [ ij ( xijk)]  max , i  I .
k
j
Ji
3
(6)
(Давление на выходе скважин каждого купола должно быть по возможности близко друг
другу.)
Полученная задача (1)-(6) является многокритериальной задачей с линейными
ограничениями, линейными критериями (5) и нелинейными критериями (6).
Замечание. Критерий (6) определяет близость давлений для каждой скважины всего
купола. Для некоторых газовых месторождений достаточно рассматривать близость давлений в
пределах не всего купола, а для скважин одного куста. Очевидно, что в рамках построенной
математической модели может быть поставлена и эта задача, причем ее решение может быть
осуществлено алгоритмом решения исходной задачи.
4. Алгоритм решения задачи
Преобразуем совокупность критериев (6) следующим образом. Введем дополнительные
переменные ui , i  I . Вместо критериев (6) рассмотрим линейные критерии
iI ,
S i  ui  max,
(7)
и систему линейных ограничений
 ij ( xijk)  ui ,
j  J i ,i  I .
k
(8)
Очевидно, что после таких преобразований исходная задача становится эквивалентна
многокритериальной задаче с линейными ограничениями (1)-(4), (8) и линейными критериями
(6),(7).
При такой постановке решение исходной задачи распадается на решение m (
I
=m)
бикритериальных задач ( Z i , i  1, m ), каждая из которых соответствует подсистеме, состоящей
из скважин одного купола и установки предварительной подготовки газа, обслуживающей эти
скважины. Для удобства изложения при рассмотрении одной такой задачи индексы i и k мы будем
опускать, тем самым множество J i будем обозначать через J,а переменные через {x j}, j  J .
Будем предполагать, что система ограничений (1)-(4), соответствующая каждому куполу,
совместна. Алгоритм решения задачи для одного купола включает в себя следующие шаги.
Шаг 1. Определим величины






P  max (max P j , Q ) , P  min (min P j , Q ) . Если
jJ
jJ
P P


, то переходим на шаг 3. В противном случае переходим на шаг 2.
Шаг 2. Находим те скважины, на которых достигается максимум для левых границ и
минимум для правых границ. Для этих скважин фиксируем значения давлений, соответствующие
этим границам. Исключаем эти скважины из рассмотрения и переходим на шаг 1. Так как для


исходных параметров модели выполняется P j  P j , j  J , то на некоторой итерации алгоритм
перейдет на шаг 3.
Шаг 3. Полученный сегмент
значений величин давления

[ P , P ]
поставим в
соответствие каждой скважине рассматриваемого купола. После таких преобразований, так как
исходная система ограничений предполагается совместной,
система ограничений,
соответствующая найденным границам, будет так же совместной.
a
Шаг 4. Все скважины рассматриваемого куста разобьем на два множества - I активные
скважины – для которых можно менять границы значений давления - это те скважины, для
p
которых значения давлений не зафиксированы на шаге 2, и I -пассивные скважины, для
которых значения давлений зафиксированы. Тогда для каждой активной скважины сегмент
возможных значений давлений будет одинаков. Пусть
возможных
значений
t
t 1
S  S , t  1, q  1,
на
где
совокупность
из
q
a
I  n.
Разобьем сегмент
подинтервалов

t
t -1
1
q

S  S  S , t  2, q, S  [ P , p ].
t
,
таких,
что
Рассмотрим n-мерный (по
числу скважин) q-ичный (по числу сегментов) куб. Вершина куба
4
S

[ P , P ]
r  ( r1 , r2 ,..., rn ) ,
ri {1,2,...,q}, однозначно
определяет систему линейных алгебраических двусторонних
ограничений, которая всегда, независимо от вершины куба, включает в себя ограничения (1),(2),
соответствующие рассматриваемому куполу, фиксированные значения для переменных,
p
соответствующих
пассивным
скважинам
из
множества
I , и ограничения
 j ( x j )  S r , j  1, n.
j
f (r ) , принимающую
Как и в [6,7], на множестве вершин куба зададим двоичную функцию
значение 1, если соответствующая вершине
r
система совместна, и 0 в

противном случае. Для функции


v
имеет место
монотонной.

f ( r ) выполняется свойство 1: если для вершин куба 


f (  )  f ( ) ,
(покомпонентно), то

и v

т.е. функция
f ( r ) является
Пусть r  ( k , k ,..., k ) вершина куба с равными компонентами k {1,2,..., q}. Исходная
задача для скважин одного купола будет заключаться в поиске такой оптимальной вершины куба
k
u
r,
f ( ru )  1 , u{1,2,...,q}.
где u минимальное значение, для которого
Учитывая

монотонность функции
f (r) ,
применяя метод дихотомии, общее число вычислений функции

f (r)
имеет порядок
log 2 q .

Для вычисления значения функции f ( r ) необходимо уметь проверять на совместность
системы линейных двусторонних неравенств. Для этого можно воспользоваться классическими
вычислительными методами
линейной алгебры ([8]), однако, для ускорения процесса
вычислений, здесь предлагается применить хорошо зарекомендовавший себя ([9-11])
релаксационный метод ортогональных проекций Агмона-Моцкина.
Рассмотрим систему
линейных неравенств
n
Li ( x )   aij xij  bi  0, i  1, m.
(9)
j 1
v
n

Пусть x  R - произвольный n-мерный вектор. Если x v не является решением системы
(9), то обозначим через
n
I  {i Li ( x )  0, i  1, m} . Найдем i0.  arg max (  Li ( x ) /  aij2 )
iI
и
j 1
построим вектор
 1
x
 x  t ai
0
, где
n

2
ai  (ai 1, ai 2, ..., ai n ), t  (  Li ( x ) /(  ai j ).
0
0
0
0
0

j 1
Из
0
теоремы Агмона-Моцкина ([9]) следует, что при    последовательность x v сходится к
решению системы (9), если система совместна. Так как алгоритм Агмона-Моцкина является
итерационным, для его реализации необходимо задавать два параметра – число шагов работы
алгоритма и точность решения задачи. Если за указанное число шагов с заданной точностью
допустимое решение не будет найдено, то делается предположение о несовместности исходной
системы.
Замечания.
1. Учитывая, что чем меньше в пределах допустимых значений давление на выходе скважины, тем
больше величина добываемого газа, предложенный алгоритм равномерного распределения
давления на выходе скважин каждого купола определяет такие режимы работы скважин, которые
максимизируют объемы добычи газа.
2. Для определения оценок возможных значений критериев для задачи Z i 0 , соответствующей
куполу i0, предлагается решить две задачи линейного программирования. Задача с ограничениями
(1)-(4), соответствующими индексу i0, и критерием F i ( X )   xi jk  max , определит
0
j
J i0
0
верхнюю оценку объема добычи газа, который может дать купол i0. Задача с ограничениями (1)-
5
(4), (8), соответствующими индексу i0, и критерием ui  max, определит величину давления на
0
выходе скважин купола i0.
Заключение
Для решения поставленной многокритериальной задачи распределения производительности
купола по газовым скважинам предложена эффективная вычислительная процедура. Она
позволяет решать эту задачу путем ее разбиения на подзадачи, каждая из которых находит такие
режимы добычи газа для скважин одного купола, при которых давления на выходе скважин будут
по возможности близки друг другу, а объем добычи газа максимален. Рассматривается
многомерный многозначный куб, вершинам которого соответствуют системы ограничений задачи,
а оптимальная вершина куба определяет искомые режимы работы скважин. Для нахождения
оптимальной вершины куба предложен дихотомический поиск, вычислительная сложность
которого имеет логарифмический
порядок. Совместность
систем линейных уравнений,
возникающих в процессе решения задачи, проверяется релаксационным методом ортогональных
проекций. Решение задачи осуществлялось для Етыпуровского месторождения ООО
"Нояборьскгаздобыча", на котором эксплуатируются 79 газовых скважин. Результаты решения
задачи позволяют говорить об адекватности построенной математической модели реальным
производственным условиям.
Список использованных источников
1 Гриценко А.И., Нанивский Е.М., Ермилов О.М. и др. Регулирование разработки газовых
месторождений Западной Сибири. М.: Недра, 1991, 304 с.
2 Ермилов О.М., Ремизов В.В., Ширковский А.И., Чугунов Л.С. Физика пласта, добыча и
подземное хранение газа. – М.: Наука, 1996, 541 c.
3 Прилуцкий М.Х., Костюков В.Е. Оптимизационные задачи планирования транспортировки
газа//Информационные технологии и вычислительные системы. 2007, №2, с. 67-73.
4 Репин Н.Н.,Тагиев В.Г. Оптимальное управление установками комплексной подготовки
природного газа. –М.:Недра, 1992. 187с.
5 Коротаев Ю.П., Ширковский А.И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. М.:
Недра, 1984, 488 с.
6 Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в
иерархических системах//Автоматика и телемеханика. Москва.№2, 1996.с.139-146.
7 Прилуцкий М.Х. Распределение однородного ресурса в иерархических системах
древовидной структуры. Труды международной конференции "Идентификация систем и
задачи управления SICPRO 2000". Москва, 26-28 сентября 2000г. Институт проблем
управления им. В.А.Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им.
В.А.Трапезникова РАН, 2000, с.2038-2049.
8 Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968, 488с.
9 Прилуцкий М.Х. Многокритериальные многоиндексные задачи объёмно-календарного
планирования.// Известия академии наук. Теория и системы управления, 2007, №1, с. 7882.
10 Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многопродуктовые потоки в древовидных сетях//
Известия академии наук. Теория и системы управления, 2007, №.6, с.85-91.
11 Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х. Многоиндексные задачи распределения ресурсов в
иерархических системах//Автоматика и телемеханика, 2006,№6, с.194-205.
6