Конспект СГФ

1
Конспект лекций по дисциплине
«Специальные главы физики»
Оглавление
Лекция 1. Структура дисциплины «Специальные главы физики». Введение. ............................................ 2
Лекция 2. Уравнения Максвелла..................................................................................................................... 6
Лекция 3. Продолжение лекции 2. ................................................................................................................. 9
Лекция 4. Волновое уравнение акустики .....................................................................................................17
Лекция 5. Решения волнового уравнения электродинамики. ...................................................................19
Лекция 6. Теория дифракции Кирхгофа – Зоммерфельда..........................................................................24
Лекция 7. Формула дифракции Френеля—Кирхгофа..................................................................................28
Лекция 8. Элементы теории распространения электромагнитного излучения в приближении
скалярной теории дифракции. Интеграл Кирхгофа – Френеля ..................................................................34
Лекция 9. Приближение Фраунгофера .........................................................................................................47
Лекция 10. Теоретические основы голографии. ..........................................................................................53
Лекция 11. Истоки квантовой механики.......................................................................................................60
Лекция 12. Квантовые постулаты Бора .........................................................................................................65
Лекция 13. Фотоэффект ..................................................................................................................................77
Лекция 14. Основы квантовой механики. Шрёдингеровское описание. ..................................................82
Лекция 15. Квантовая информатика. ............................................................................................................86
Лекция 16. Квантовая ЭВМ (продолжение) .................................................................................................89
Лекция 17. Квантовая ЭВМ (продолжение) .................................................................................................91
Лекция 19. Квантовая криптография ............................................................................................................95
Лекция 20. Квантовый криптоанализ. ........................................................................................................102
Лекция 20. Перспективы квантовой информатики. ..................................................................................104
Оглавление
Специальные главы физики
2
Лекция 1. Структура дисциплины «Специальные главы
физики». Введение.
Оглавление
Специальные главы физики
3
Элементы математической теории поля. Градиент скалярного поля:
,
Определен, как вектор в направлении скорейшего роста U:
Производная скалярного поля U по направлению l :
Для непрерывных функций (P, Q, R) с непрерывными частными производными 1 порядка:
Оглавление
Специальные главы физики
4
Определен поток векторного поля:
через поверхность S (поверхностный интеграл):
Дивергенция векторного поля F(P, Q, R)
div F – скаляр.
Если:
то точка M0 - источник. Соответсвеннно, точка M0 - сток, если:
Если div F = 0, векторное поле – соленоидальное. Поток соленоидального поля через любую
поверхность равен 0.
Линейный интеграл по ориентированной кривой K:
является криволинейным (работа вдоль К).
По замкнутому контуру C линейный интеграл принимает вид:
Оглавление
Специальные главы физики
5
и называется циркуляцией векторного поля вдоль контура С.
Вихрь (ротор) векторного поля F(P, Q, R).
Если rot F = 0 для всех точек поля, поле безвихревое (потенциальное).
Формула Стокса.
С – замкнутый контур, ограничиваюший поверхность S c
направляющими косинусами:
Формула Стокса в векторной форме.
Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура С, ограничивающего поверхность S, равна потоку
вихря через эту поверхность:
Формула Остроградского – Гаусса.
Если Т – замкнутая область, ограниченная гладкой поверхностью S,
то:
Оглавление
Специальные главы физики
6
Формула Остроградского – Гаусса в векторной форме.
- интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по обьему Т равен потоку
вектора через поверхность S, ограничивающую объем Т.
Формула Грина.
С – граница области D. P(X, Y), Q(X, Y) – непрерывны в замкнутой области D,
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑃
и 𝜕𝑦 непрерывны в 𝑫. Тогда:
Лекция 2. Уравнения Максвелла.
1. Из
закона
Фарадея
ξ=dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром
потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и
вследствие этого появляется индукционный ток
2. По Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле ЕB,
циркуляция которого,
1
где EBl — проекция вектора EB на направление dl.
Подставив в формулу (1) выражение
получим
Оглавление
Специальные главы физики
1
7
Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования
можно поменять местами. Следовательно,
2.
3. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его
E Q)
вдоль
любого замкнутого контура равна нулю:
0
3.
4.Согласно Максвеллу, через конденсатор
«протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.
Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора:
2.1
(поверхностная плотность заряда  на обкладках равна электрическому смещению D в
конденсаторе.
5. Вектор дD/дt направлен в ту же сторону, что и D.
Оглавление
Специальные главы физики
8
Из рисунка видно, что направления векторов дD/дt и j совпадают. При разрядке конденсатора
через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой; поле в конденсаторе
ослабляется, вектор D убывает со временем; следовательно, дD/дt<0, т. е. вектор atдD/дt направлен
противоположно вектору D.
6.В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так D=0E+P, где Е — напряженность электростатического поля, а Р — поляризованность, то плотность тока смещения
2.3
где 0дE/дt — плотность тока
смещения в вакууме, дP/дt — плотность тока поляризации
— тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике
(смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах).
7.обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде
2.4
Выражение (2.4) справедливо всегда, свидетельством чего является полное соответствие теории
и опыта.
8 Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:
Оглавление
Специальные главы физики
9
Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними
существует следующая связь (изотропные не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные среды):
D=0E,
В=0Н,
j=E, закон Ома.
где 0 и 0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  — соответственно
диэлектрическая и магнитная проницаемости,  — удельная проводимость вещества.Из уравнений
Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды,
либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо
движущимися
электрическими
зарядами
(электрическими
токами),
либо
переменными
электрическими полями. Уравнения Максвелла несимметричны относительно электрического и
магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет
зарядов магнитных.
Лекция 3. Продолжение лекции 2.
Слайд 1
Уравнения в изотропных и однородных
средах без дисперсии
• В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения
Максвелла принимают следующий вид:
Оглавление
Специальные главы физики
10
Слайд 2.1
Волновое уравнение электродинамики
В вакууме векторы поля удовлетворяют волновому уравнению. Напишем
систему уравнений Максвелла:
,
(1)
.
(2)
,
(3)
.
(4)
Продифференцировав уравнение (1) по времени и заменив в полученном
уравнении
из уравнения (2), получим:
.
(5)
Пользуясь формулой векторного анализа
принимая во внимание уравнение (3), получим:
и
.
(6)
Аналогичным образом, исключая
вектор
из уравнений (1) и (2), находим, что
удовлетворяет волновому уравнению:
,
(7)
где
– скорость волны.
Оглавление
Специальные главы физики
11
Слайд 2.2
Граничные условия в уравнениях Максвелла
Продолжение…
Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты
вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции
непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).
Слайд 3.
Анализ волновых уравнений
Уравнения (6) и (7) – это волновые уравнения для векторов
что векторы
и
и
соответственно. Из того,
удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле,
которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь
тогда, когда их возбуждают. Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но,
возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет.
Оглавление
Специальные главы физики
12
Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих
его зарядов. Из уравнений (6) и (7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в
вакууме.
Слайд 4
Уравнение Гельмгольца
•
При отсутствии электрических зарядов в среде, уравнение
Гельмгольца принимает вид:
где
Волновое уравнение электродинамики в приближении скалярной теории
В рамках скалярной теории дифракции в любой точке
однородной среды в областях,
свободных от токов и зарядов (в частности, отсутствуют источники излучения), вещественная
функция
, которая описывает электромагнитное возмущение, удовлетворяет скалярному
однородному волновому уравнению
где
– оператор Лапласа;
– скорость света в среде;
км/с – скорость света в вакууме;
– показатель преломления.
Оглавление
Специальные главы физики
13
В
скалярной
теории
перпендикулярных
дифракции
декартовых
представляет
компонент
собой
одну
и
из
двух
взаимно
электрического
поля,
колеблющихся в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Скалярная
теория не позволяет учесть явление поляризации и тонкие эффекты дифракции. Однако для
инженерных приложений, в частности при модельном представлении реальных КПС такое
допущение дает удовлетворительные результаты. Но даже при описанных допущениях решить
волновое уравнение удается для небольшого числа частных случаев. Одним из таких решений
является модель, которая строится на представлении суперпозиции плоских и сферических волн.
Такая модель с достаточной адекватностью позволяет описывать преобразование сигналов в
ультрафиолетовом,
оптическом
и
инфракрасном
диапазонах.
В
некоторых
диапазонах
электромагнитного излучения, используемых радиоэлектронными системами (РЭС), входящими в
состав КПС, ограничения скалярной теории дифракции недопустимы. Границы ее применимости
рассматриваются на основе соответствующих классификаций.
РЭС могут работать в диапазоне от 3 кГц до 300 ГГц. Несущая частота сигнала, передающего
(несущего) сообщение, существенно влияет на распространение, отражение и рассеяние радиоволн.
Поэтому весь радиодиапазон частот условно разделен на участки, каждый из которых имеет свои
особенности, в частности способ модельного представления (табл. 1).
Оглавление
Специальные главы физики
14
Дециметровые волны распространяются только в пределах прямой видимости, интенсивно
отражаются от объектов, благодаря наличию совершенной элементной базы в соответствующих РЭС
достигается направленность излучения и приема.
Сантиметровые волны также распространяются только в пределах прямой видимости,
интенсивно отражаются от различных объектов, что позволяет организовывать защищенные КПС
даже в условиях возникновения ретроотражений в замкнутых пространствах. Возможно достижение
высокой направленности излучения и приема. Элементная база позволяет реализовать КПС с
псевдослучайным сканированием несущей и псевдослучайным распределением поднесущих частот.
Миллиметровые волны поглощаются в атмосфере в самой высокой степени.направленности.
РЭС, реализующие соответствующие КПС, обладают высокой направленностью излучения и приема.
Как показывает анализ, наиболее часто в РЭС применяются диапазоны ОВЧ, УВЧ и СВЧ.
Излучение в этих диапазонах частот интенсивно отражаются от объектов, антенны компактны и
обеспечивают высокую направленность излучения и приема. Анализ РЭС связи показывает
перспективность применения этих диапазонов. Для этих диапазонов наиболее активно развивается
элементная база РЭС. Если в КПС с РЭС не используется эффект поляризации и выполняются
описанные ниже условия рассматриваемая модель приемлема.
Оглавление
Специальные главы физики
15
Рис.1. Зоны свободного пространства, где наблюдается дифракция Зоммерфельда, Френеля и
Фраунгофера
Рис.2. Зоны пространства за фокусирующим элементом (объектив ОС, антенна РЛС), где
наблюдается дифракция Френеля и Фраунгофера
1.1. Скалярные монохроматические волны
В
волновой
теории
элементарным
сигналом
считают монохроматическую
распространяющуюся в пространстве и во времени. Если ее временная частота
приблизительно в интервале от
до
волну,
лежит
Гц (соответственно длина волны в вакууме
изменяется от 0,75 мкмдо 0,4 мкм), то речь идет об оптическом диапазоне. Если длина волны в
вакууме
изменяется от 0,75 мкм до 30 мкм, то такой диапазон называется инфракрасным. Для
радиодиапазона длина волны изменяется от долей мм до десятков километров. Решение волнового
уравнения (1), определяющее вид монохроматической волны в точке
в момент времени
, можно представить в виде скалярной функции
Величину
косинуса
,
большую
нуля,
– полной
называют амплитудой,
фазой,
зависящей
Оглавление
Специальные главы физики
а
аргумент
как
от
16
времени
так
Величину
и
от
пространственных
координат
.
называют временной, илициклической, частотой оптического
излучения (представляет число колебаний в секунду, Гц), которая по порядку величины равна
Гц, а величину
секунд.
– угловой частотой. Последняя определяет число колебаний в
При
замене
на
значение
функции
остается
неизменным,
поэтому
является временным периодом колебаний. Волновую функцию в форме (4) называют временным
гармоническим оптическим сигналом. Она определяет монохроматическую волну. В случае линейно
поляризованной волны
характеризует напряженность электрического или магнитного поля
как физическую величину.
Расчеты, связанные с преобразованием гармонических сигналов, значительно упрощаются, если
вместо косинусоидальной гармоники использовать комплексную экспоненциальную гармонику.
Нетрудно заметить, что
можно записать в виде действительной части
от комплексной
гармонической функции координат и времени
где
- комплексный пространственно-временной гармонический сигнал.
Комплексную функцию координат
называют комплексной амплитудой волны, или комплексным оптическим сигналом.
Так как зависимость от времени
амплитуды
известна заранее, то задание комплексной
достаточно для описания светового возмущения.
Поверхность постоянной фазы, в любой точке
которой в данный момент времени фаза
волны одинакова,
называютволновым фронтом. Вообще говоря, поверхность
постоянной фазы в
не совпадает с поверхностью постоянной амплитуды. При этом говорят, что
такая волна неоднородна. Примером неоднородных волн служат эрмито-гауссовые и лагеррогауссовые волны на выходе лазера.
Если операции, производимые над
символ
в
опускается,
комплекснозначной
.
а
Тогда
, линейны, то для удобства математических выкладок
в
вещественная
вещественная
часть
функция
окончательного
Оглавление
Специальные главы физики
заменяется
выражения
будет
17
представлять собой изучаемую физическую величину. Делая переход к комплексным оптическим
сигналам, следует помнить, что фактически физическая величина напряженности
электрического поля в электромагнитной волне всегда вещественн
Лекция 4. Волновое уравнение акустики
Рассмотрим основные соотношения, характеризующие упругую среду.
Пусть в некоторый начальный момент объем упругой среды увеличился и занял объем V. Тогда
относительное изменение V,
 , называемое расширением, определится как:
  (V  V0 ) V0 
При изменении объема меняется плотность среды
V
V0
.
 . Относительное изменение плотности S,
называемое уплотнением, определяется как:
S
Основываясь на очевидном равенстве
(   0 )
0


0
V   0V0 , получим:
1  S    S  1.
При условии S  1;   1 , что обычно достаточно хорошо
соблюдается в акустике,
получим:
S   .
При малых изменениях объема относительное изменение плотности равно относительному
изменению объема с обратным знаком.
Относительное изменение объема в упругой среде сопровождается изменением давления
P  P  P0 . P - обозначается как p и носит название избыточного или звукового давления.
Очевидно, что P пропорционально расширению P  P     S ,
где
 - коэффициент объемной упругости, C  1  - коэффициент сжимаемости.
Вывод волнового уравнения акустики. Соотношение между давлением и линейной
деформацией.
Выделим
элементарный
объем
образованный
ограниченными
плоскостей, перпендикулярными оси Х.
Оглавление
Специальные главы физики
одинаковыми
участками
18
При малых смещениях
где
V
V0
 

x ,
x

- линейная деформация, можно положить, что:
x

d
,
dx
тогда
p  

,
x
т.е. звуковое давление пропорционально линейной деформации.
Если на грани а1b1 существует давление р, то на грани а2b2 в этот же момент оно равно p  p ;
Давление р есть функция координат х, следовательно
p 
p
x
x
 2
Составим уравнение движения выделенного объема. Масса объема равна x , ускорение
,
t 2
результирующая сила равна p , получим уравнение:
 2
x 2  p ,
t
с учетом p получим:

 2
t
2

p
x
Оглавление
Специальные главы физики
19
и используя выражение p   

, получим:
x
 2
t 2

где c 
p
Уравнение

1
c
 c
 2
x 2
,
.
называется
волновым
уравнением
и
является
основным,
описывающим
распространение звуковых волн.
Величина
c называется удельным акустическим или волновым сопротивлением и является
важной акустической характеристикой среды.
Лекция 5. Решения волнового уравнения
электродинамики.
Начнем с самого простого случая – пространственно одномерного волнового уравнения
.
(8)
V - скорость света в среде, отличной от вакуума, где V = C
Общее решение этого уравнения ищем в виде
,
где
и
(9)
– произвольные функции, а аргументы этих функций представляют собой
специальные комбинации переменных
Если в момент
и постоянной
.
графически изобразить функции
моменты времени эти функции смещаются вдоль оси
– вправо, а
– влево.
Ограничимся
для
простоты
гармоническими
и
со скоростью
монохроматическими
синусоидальными волнами с одной циклической частотой:
Оглавление
Специальные главы физики
, то в последующие
.
как целое:
волнами,
т.
е.
20
Гармоническая зависимость любой величины
от времени может быть представлена в общем
виде так:
,
(поскольку формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа
выполнено
следующее равенство:
,)
– значение рассматриваемой величины возмущения в точке с координатой
момент времени:
в начальный
.
Решение волнового уравнения (8), удовлетворяющее условию (9) и дающее гармоническую
зависимость
от
, в комплексной форме имеет вид
.
(10)
Фаза волны, т. е. ее состояние в данной точке пространства в данный момент времени,
определяется выражением
. В данный момент времени поверхность равной фазы –
волновой фронт – описывается уравнением:
. Это плоскость, нормальная к оси
.
Поверхность равной фазы (волновой фронт) распространяется вправо с фазовой скоростью
. (вернемся к численному рашению уравнений Максвелла на демонстрации решения методом
FTDT)
Поскольку волновой фронт в данном случае является плоскостью, мы получили плоскую
волну. Нам понадобится еще выражение для плоской волны, распространяющейся в произвольном
направлении, характеризуемом постоянным единичным вектором
плоскости, перпендикулярной вектору
, имеет вид
записать в виде
.
(11)
Введем волновой вектор
, определив его как
Оглавление
Специальные главы физики
. Поскольку уравнение
, плоскую волну можно
21
,
где
(12)
– единичный вектор в направлении распространения волны (в направлении
). Тогда
плоская волна может быть представлена в комплексной форме:
.
Вектор
(13)
называют волновым вектором потому, что он имеет непосредственное отношение к
длине волны и всегда перпендикулярен фронту волны.
Длиной волны здесь называется расстояние (отсчитанное в направлении движения волны) между
двумя ближайшими точками волны, обладающими одинаковой фазой (в данный момент времени).
(По определению длина волны – путь точки на поверхности фронта, пройденный за время, равное
периоду колебаний «осциллятора»
так, λ = V /
V=c/n – скорость света в среде, n – показатель преломления,
- оптическая частота.
Рассмотрим плоскую волну (11) и допустим, что фазы в точках
и
одинаковы. Тогда в
любой момент времени должно соблюдаться равенство
.
Это может быть лишь в том случае, если
, т. е.
.
k принято называть «волновым числом», (не путать с волновым вектором k)
Для простоты будем рассматривать монохроматические плоские волны, однако результаты,
которые мы получим, будут справедливы для любых плоских волн. В однородной изотропной
непроводящей среде векторы
и
изменяются в соответствии с волновыми уравнениями (6) и (7):
.
(6)
Оглавление
Специальные главы физики
22
,
(7)
при условии (12):
т. е.
. Если представить пространственно-временное изменение векторов E и H в виде
плоских волн выражения принимают вид:
,
(14)
то эти выражения, безусловно, удовлетворяют уравнениям (7) и (6). Однако, чтобы они
удовлетворяли уравнениям Максвелла, на них следует наложить еще дополнительные условия. Подставляя выражение (14) соответственно в (3) и (4),:
,
(3)
,
(4)
получим:
,
.
Равенство нулю означает, что
и
.(Это позволяет считать, что
и
взаимно
перпендикулярны). Чтобы убедиться в этом твердо, подставим выражения (14) в левые части
уравнений (1) и (2) и получим:
,
.
Оглавление
Специальные главы физики
23
Тогда уравнения (1) и (2)
,
(1)
.
(2)
примут вид
, или
,
(15)
, или
.
(16)
Достаточно умножить выражение (15) на
или выражение (16) на
, чтобы получить:
.
Из полученных формул следует, что векторы
и
,
(17)
взаимно перпендикулярны и
образуют правую тройку векторов в том порядке, в котором они написаны.
Вектор
плоскости,
определяет направление распространения волны. Векторы
перпендикулярной
и
колеблются в
направлению
.
Таким образом, электромагнитная волна в указанных условиях является поперечно-поляризованной
(направление колебаний перпендикулярно направлению распространения).
В силу линейности уравнений Максвелла, или, что то же самое, в силу суперпозиции полей,
решением является любая сумма полей, у которых векторы
и
лежат в указанной плоскости.
Еще раз отметим, что уравнения электромагнитной волны (14) записаны в комплексной форме.
Вид этих уравнений для плоских волн в тригонометрической форме:
E = E0Sin(6.28vt – kr), Н = Н0Sin(6.28vt – kr).
Оглавление
Специальные главы физики
24
Лекция 6. Теория дифракции Кирхгофа – Зоммерфельда.
1. Интегральная теорема Гельмгольца—Кирхгофа
Перед тем как перейти к доказательству центральной теоремы теории дифракции, вспомним
формулировку теоремы Грина и определение функций Грина.
Теорема Грина.
Пусть
U(P) и
G(P)
—
две произвольные комплексные функции
пространственных координат в точке Р, а S — поверхность, окружающая объем V. Если эти функции,
а также их первые и вторые частные производные однозначны и непрерывны внутри указанного
объема и на поверхности, его окружающей, то

U
G 
  G U  U  G  dV    G n  U n ds ,
2
2
(1)
V
где д/дп — обозначает частную производную в каждой точке поверхности по внешней нормали в
этой точке. Пользуясь этой теоремой, нужно все время помнить об условиях, накладываемых на вид
функций и форму поверхности.
Функции Грина. По определению функцией Грина называется решение дифференциального
уравнения, в правой части которого стоит дельта-функция. С точки зрения физики это означает, что
функция Грина есть решение задачи с точечным источником. В качестве примера можно привести
волновое уравнение и его решение. Если в волновом уравнении в правой части стоит
(r), то его
решением является сферическая волна, так как в однородном пространстве точечный источник
излучает волну со сферическим волновым фронтом.
Интегральная теорема Гельмгольца—Кирхгофа. Кирхгоф сформулировал теорему, которая
определяет значение поля в произвольной точке пространства через значение поля и его градиента на
поверхности, ее окружающей. (Впервые она была доказана в акустике Гельмгольцем.)
Применим (1) к объему V, окруженному поверхностью S. Внутри этого объема находится точка
Р0 ( Рис.2). Сам объем и действующее электромагнитное поле U(P) удовлетворяют условиям теоремы
Грина. Выберем функцию Грина G(P) в виде сферической волны, что соответствует нахождению
точечного излучателя в точке Р0. Это функция Грина для свободного пространства. В произвольной
точке P1 ее значение равно
Оглавление
Специальные главы физики
25
G  P1 
exp  jkr01 
r01
,
(2)
где через r01 обозначена длина вектора r01 из точки Р0 в точку P1. В нашем случае не
удовлетворяются требования, налагаемые на функцию G(P) условиями теоремы, так как при
стремлении к нулю длины г01 функция G(P1) стремится к бесконечности. Окружим точку Р0 сферой
малого радиуса
и рассмотрим объем V' заключенный между поверхностями S и S
.
В этом объеме условия теоремы Грина выполняются, надо только помнить, что поверхность S',
окружающая объем V' стала неодносвязной (S'= S + S ) и нормаль к поверхности на ее сферической
части направлена внутрь сферы.
Рис.2. К выводу интегральной теоремы Гельмгольца— Кирхгофа
Любая электромагнитная волна, распространяющаяся в регулярной области пространства,
должна подчиняться волновому уравнению (в данном случае уравнению Гельмгольца (2.19)).
Поэтому и искомое решение — функция U(P) и функция Грина свободного пространства G(P)
должны подчиняться этому уравнению.


 k 2  U  P   0;

2
 k 2  G  P   0.
2
(3)
Из этих уравнений следует, что
2G  P   k 2G  P  ; 2U  P   k 2U  P  .
Подставляя эти выражения в правую часть (1), получаем
 G U  U  G  dv   GUk
2
2
V
2
 UGk 2  dv  0 .
V
Однако это означает, что и левая часть в (1) также равна нулю:

U
G 
  G n  U n  ds  0 ,
s
или
G 
G 
 U
 U
  G
U
U
 ds    G
 ds .
n
n 
n
n 
S 
S 
(4)
Для дальнейшего рассмотрения необходимо записать явное выражение для производной по
нормали от функции Грина G(P):
Оглавление
Специальные главы физики
26

G
1  exp  jkr01 
,
 cos  nr01   jk  
n
r01 
r01

(5)
где cos(nr01) — косинус угла между направлением внешней нормали п и вектором r01,
соединяющим точки Р0 и P1. В частном случае, если последняя точка лежит на S
, то cos(nr01) = - 1,
тогда (2) и (5) принимают вид
G  P1  
exp  jk  

;
G  P1 
n
Если

exp  jk    1

  jk  .




(6)
U(P) и ее производной в точке Р0 , можно записать:

U
G 
  G n  U n  ds 
s
 G  P0  exp  jk  
exp  jk    1

42 
 U  P0 
 4U  P0  .
  jk  



  0
 n
При выводе этой формулы учитывалось, что при стремлении
(7)
к нулю, площадь
сферы S уменьшается и функцию U(P) можно считать постоянной и равной ее значению в точке Р0 .
Подставив (7) в (4), можно получить решение интегральной теоремы Гельмгольца—Кирхгофа в
виде
U P0  

1 
  exp  jkr01   
 U exp  jkr01 
U


  ds.

4 S 
r01
n 
r01

 n

(8)
2. Дифракция на плоском экране
Рассмотрим теперь дифракцию электромагнитной волны на плоском, тонком, бесконечном,
непроводящем экране с отверстием, воспользовавшись теоремой, доказанной в предыдущем
параграфе ( Рис.3). Волна падает на экран слева направо, и необходимо найти возмущение за экраном
в точке P0 .
Воспользуемся интегральной теоремой и выберем в качестве поверхности интегрирования сферу
радиусом R с центром в точке Р0 . Там, где сфера касается экрана, она обрезается его поверхностью.
Если обозначить часть плоскости, усекающую сферу как S1, а оставшуюся часть сферы как S2, то при
использовании (8) необходимо интегрировать по составной поверхности S=S1+S2:
U  P0  
G 
 U
G U

 ds .
n
n 
S  S1  S2 

(9)
В этой формуле функция G имеет вид, определяемый (2).
Увеличиваем радиус сферы. При этом поверхность интегрирования все более и более становится
Оглавление
Специальные главы физики
27
похожей на полусферу. Функции U и G с ростом радиуса сферы уменьшаются пропорционально 1/R,
поэтому можно предположить, что подынтегральное выражение стремится к нулю. В этом случае
интегрирование по поверхности полусферы S2 должно было бы давать нулевой вклад в интеграл (9).
Однако это неочевидно, так как площадь поверхности полусферы растет как R2 и неясно, какой же из
факторов является определяющим. Необходим дополнительный анализ выражения (9).
На поверхности S2 функция
G
exp  jkR 
R
(10)
.
Из выражения (6) следует, что производная функции G
G 
1  exp  jkR 
  jk  
 jkG, при R   .
n 
R
R
(11)
Рис. 4.3. Дифракция на плоском экране
Преобразуем (9), перейдя от интегрирования по поверхности полусферы к интегрированию по
телесному углу, который на нее опирается,
 U
 U


 G n  U  jkG  ds   G  n  jkU  R d,
S2
2
(12)

— телесный угол с вершиной в Р0 , стягиваемый поверхностью S2.
Величина |RG| равномерно ограничена на S2, поэтому полный интеграл будет стремиться к нулю
при радиусе сферы, стремящемся к бесконечности, в том случае, если выполняется условие
 U

lim R 
 jkU   0
R 

n


(13)
равномерно во всем телесном угле.
Условие (13) носит название требования Зоммерфелъда для излучения. Оно удовлетворяется,
если функция U стремится к нулю со скоростью, по меньшей мере равной той скорости, с которой
расходится сферическая волна. Так как волна, падающая на отверстие, всегда есть сферическая волна
или набор таких волн, то можно считать, что интеграл по полусфере действительно стремится к
нулю.
Таким образом, интеграл (9) может быть записан в виде
Оглавление
Специальные главы физики
28
U  P0  
1  U
G 
G U
ds.


4 S1  n
n 
(14)
Для того чтобы получить окончательную формулу дифракции на плоском экране, необходимо
определить граничные условия. Одновременно вспомним, что экран непрозрачен всюду, кроме
отверстия
. Граничные условия были определены Кирхгофом и носят его имя:
1) в отверстии
(см. Рис.3) амплитуда поля U и ее производные такие же, как если бы экрана не
было вообще;
2) на поверхности S1 вне отверстия амплитуда поля U и ее производные равны нулю.
С учетом граничных условий Кирхгофа (14) имеет вид
U  P0  
1  U
G 
G U
ds.


4   n
n 
(15)
Результат достаточно простой и понятный, так как, конечно, основной вклад в поле за экраном
будет давать участок отверстия. Однако это не всегда справедливо. Присутствие экрана будет
неизбежно вызывать возмущение поля в отверстии, кроме того, тень за экраном никогда не будет
резкой, так как поле проникает за экран на расстояние в несколько длин волн. Но если отверстие
велико, а длина волны достаточно мала, то оба условия Кирхгофа справедливы, а результаты,
рассчитанные с помощью (15), хорошо согласуются с данными эксперимента.
Лекция 7. Формула дифракции Френеля—Кирхгофа
Дифракционные эффекты слабо сказываются на малых расстояниях от препятствия. Поэтому
рассмотрим вначале случай, когда расстояние r01 много больше длины волны, т. е. k >> 1/r01. В этом
случае выражение для производной от функции Грина (6) может быть преобразовано к виду
G  P1 
n
exp  jkr01 

1  exp  jkr01 
 cos  n, r01   jk  
 jk cos  n, r01 
,
r01 
r01
r01

(16)
где cos(n, r01) — косинус угла между вектором г01 и вектором внешней нормали к поверхности
интегрирования, т.е. нормали к экрану. Подставим (16) и явный вид функции G в (15).
U  P0  
1 exp  jkr01   U

 jkU cos  n, r01  ds.


4 
r01
 n

(17)
Теперь предположим, что экран с отверстием освещается сферической волной, исходящей из
точечного источника, расположенного слева от экрана в точке Р2 ( Рис.4). Расстояние от источника
Оглавление
Специальные главы физики
29
до экрана равно r21. Тогда поле в отверстии определяется следующим выражением:
A exp  jkr21 
U  P1  
r21
(18)
,
где А — коэффициент пропорциональности.
Подставив это выражение в (18), получим с учетом того, что r21 >>
U  P0  
A exp  jk  r21  r01    cos  n, r01   cos  n, r21  

 ds.
j 
r21r01
2



(19)
Этот результат, справедливый только при освещении экрана точечным источником, называется
формулой дифракции Френеля—Кирхгофа. Отметим, что этот интеграл уже полностью определен, в
нем нет неизвестных функций, а те, что есть, легко вычисляются.
Еще одно замечание. Это выражение симметрично по отношению к отражению: если поменять
местами точки Р0 и Р2 , то результат не изменится. Принцип такой взаимности был сформулирован
Гельмгольцем.
Можно интерпретировать формулу дифракции Френеля—Кирхгофа и несколько
иным образом, если переписать выражение (19):
U  P0    U '  P1 

exp  jkr01 
r01
ds,
где
U '  P1  
1  A exp  jkr21    cos  n, r01   cos  n, r21  


.
j 
r21
2


Рис.4. Дифракция сферической волны на плоском экране
Если исходить из этого выражения, то можно считать, что поле в точке P0 создается
бесконечным множеством сферических волн, исходящих из точечных источников, находящихся в
пределах отверстия, и имеющих амплитуду U´(P1). Амплитуда каждого вторичного источника
пропорциональна амплитуде падающей волны, но отличается от нее следующим: во-первых, есть
множитель 1/ , во-вторых, происходит уменьшение амплитуды за счет коэффициента наклона,
который никогда не превышает единицы и всегда больше нуля, в-третьих, фаза излучаемой волны
отличается от фазы падающей волны на
/2. Этот факт и соответствует предположению Френеля о
Оглавление
Специальные главы физики
30
фазах источников. Таким образом, последняя интерпретация формулы Френеля—Кирхгофа
математически описывает принцип Гюйгенса—Френеля для случая дифракции на плоском экране.
4. Формулировка Зоммерфельда задачи дифракции на плоском экране
Рассмотренная выше теория Кирхгофа дает очень точные результаты, однако она внутренне
противоречива. Противоречия кроются в граничных условиях, которые были приняты для поля в
плоскости экрана. Дело в том, что условия отсутствия поля и его производной по нормали за экраном
вне отверстия приводят к невозможности существования поля вообще с математической точки
зрения. Существует известная теорема теории потенциала, которая гласит, что если сама функция и
ее производная тождественно равны нулю на каком-то участке поверхности, то эта функция
тождественно равна нулю во всем пространстве. Физически это тоже понятно: если в крайней точке
этого участка поверхности сама функция и ее производная равны нулю, то почему что-то должно
появиться в соседней точке за краем? С другой точки зрения, если учесть волновую природу света,
совершенно очевидно, что край отверстия не может не возмутить поле в отверстии, да и край тени не
может быть абсолютно резким.
Зоммерфельд предложил обойти это противоречие, изменив граничные условия и налагая
требования только на саму функцию или ее производную. При этом все выводы и результаты
должны остаться неизменными. С этой целью он видоизменил функцию Грина, сделав ее либо
симметричной, либо антисимметричной:
G_ 
exp  jkr01 
r01

exp  jkr '01 
r '01
(20)
.
Рис.5. Симметризованная функция
Пояснить структуру этой функции можно с помощью
Рис.5. Симметрично точке Р0
относительно экрана расположена точка Р'0 , т.е. имеются два точечных источника, формирующих
Оглавление
Специальные главы физики
31
функцию Грина, причем фазы волн, испускаемые этими источниками, одинаковы. Производная
новой функции Грина будет сдвинута на 180°:

G _
1  exp  jkr01 
 cos  n, r01   jk  

n
r01 
r01


1  exp  jkr '01 
 cos  n, r'01   jk 
.

r '01 
r '01

(21)
Здесь r'01 — расстояние от второго источника до поверхности экрана. Если точка Р1 находится
на поверхности экрана, то r01 = r'01 , cos (n, r01) = -cos (n, r'О1) и
G _  P1   0;


G _  P1 

1  exp  jkr01  
 2cos  n, r01   jk  
.
n
r01 
r01


(22)
Из (22) видно, что отпала необходимость введения жестких граничных условий на функцию и на
ее производную одновременно и имеющиеся противоречия сняты. Следует отметить, что можно
было бы ввести симметричную функцию Грина G+, что привело бы к равенству нулю не функции
Грина, а ее производной в плоскости экрана.
Конечно, при использовании видоизмененной функции Грина изменится и формула дифракции
Френеля—Кирхгофа, она примет вид
U  P0   

exp  jk  r21  r01  
r21r01
cos  n, r01  ds.
(23)
Формула (23) отличается от прежней формулы Френеля—Кирхгофа (19) только коэффициентом
наклона и называется формулой Зоммерфельда.
До сих пор при анализе дифракции на плоском экране рассматривался вариант, когда он
освещается одним точечным источником. В общем случае освещение экрана осуществляется
протяженным источником. Однако этот протяженный источник может быть представлен в виде
набора точечных источников, каждый из которых формирует свою собственную картину дифракции,
которые складываются на выходе, при необходимости с учетом фазы. При таком рассмотрении
можно представить (21) в виде интеграла суперпозиции
U  P0    h  P0 , P1 U  P1  ds,
(24)

где
h  P0 , P1  
1 exp  jkr01 
cos  n, r01  .
j
r01
Подобное представление является достаточно наглядным и будет использовано далее. Следует
помнить, что интеграл суперпозиции работает только для линейных систем, что справедливо для
Оглавление
Специальные главы физики
32
электромагнитных полей и линейных сред.
До сих пор рассматривались некие точечные источники, на которые разбивались светящиеся
поверхности. Однако это только математическая модель, помогающая рассмотреть дифракционные
явления. То же самое можно сделать и альтернативным способом. В 1802 г. Юнг предложил
формулировку теории дифракции, основывающуюся на интегральном взаимодействии поля с
экраном. По его модели картина дифракции формируется как суперпозиция волны, прошедшей через
отверстие в экране без взаимодействия с ним, и волны, которая взаимодействовала с краем
отверстия. В силу того, что источником дифракции является физический объект — край отверстия,
данный подход является очень корректным. Строгая теория дифракции подтверждает это
предположение. Однако выводы итоговых формул в этом случае довольно громоздки, хотя,
естественно, результат будет тем же самым.
4.2. УГЛОВОЙ СПЕКТР ПЛОСКИХ ВОЛН
Активно применяемые в теории информации, радиотехнике и других областях современной
науки и техники преобразования Фурье всюду позволяют построить понятные модели явлений,
облегчить синтез сложных систем.
Как уже говорилось, в оптике используется преимущественно двумерная форма интегралов
Фурье с преобразованием двух поперечных пространственных координат. Если анализируемая волна
имеет вид U(x, у, z), то преобразование Фурье (часто говорят Фурье-образ) может быть записано
следующим образом:
A0  f x , f y , z     U  x, y, z  exp   j 2  f x x  f y y   dx dy
(25)

и соответственно обратное преобразование Фурье будет
U  x, y, z     A0  f x , f y , z  exp   j 2  f x x  f y y   df x df y .
(26)

Отметим, что в используемой форме записи прямое и обратное преобразования Фурье
отличаются только знаком показателя экспоненты.
Предположим, что волна, созданная некоторой произвольной системой монохроматических
источников и распространяющаяся вдоль оси z, достигает плоскости ху (z = 0). Комплексное поле в
этой плоскости описывается функцией U(x, у, 0). Нашей целью является расчет поля U(x, у, z) в точке
(х, у, z).
Проанализируем (26). С этой целью запишем математическое выражение для плоской волны,
распространяющейся в пространстве в направлении (нормаль к волновому фронту), определяемом
Оглавление
Специальные главы физики
33
направляющими косинусами (
):
 2

B  x, y, z   exp  j  x  y  z  ,



(27)
где
  1   2  2 .
Поэтому в плоскости z = 0 экспоненциальную функцию (стоящую под интегралом в выражении
(24)) можно рассматривать как плоскую волну с направляющими косинусами
  f x ;
  f y ;




2 
2
1   f x    f y  .

При такой записи
(28)
(26) представляет собой суперпозицию плоских волн с комплексными
амплитудами вида A0(fx, fy) dfx dfy (причем fx
/ , fy =
распространяется по своему направлению. Иными словами, любое
), каждая из которых
распределение излученияв
произвольной плоскости может быть представлено в виде набора плоских волн, каждая из которых
распространяется по своему направлению со своей амплитудой.
В новых переменных угловой спектр плоских волн, составляющих распределение излученияв
плоскости z = 0, записывается в виде


 

A0  ,     U  x, y,0  exp  j 2  x 

 




y   dx dy .

(29)
Теперь необходимо переместиться в плоскость z
плоских волн в начале координат и в этой плоскости:

 
  

A0  , , z     U  x, y, z  exp  j 2  x  y   dx dy .
 
  



(30)
Запишем обратное преобразование Фурье


  

U  x, y, z     A  , , z  exp  j 2  x 

  



2
  
y  d d .
  
(31)
U + k2U = 0 (поскольку в рассматриваемой области
пространственных источников света нет), подставив в него (31):
d 2      2 
  
A  , , z     1   2  2  A  , , z   0.
2
dz       
  
2
Частное решение этого уравнения можно записать в виде
Оглавление
Специальные главы физики
(32)
34
  
  
 2
A  , , z   A0  , , z  exp  j
  
  
 
Если
2
+

1   2  2 z  .

z вдоль оси проявляется
2
только в изменении ее фазы относительно других плоских волн, идущих под другими углами. Это
понятно, так как они проходят различные пути между плоскостями z = 0 и z
0. Если же
2
+
2
0,
то волны сильно затухают.
Использование разложения в спектр плоских волн весьма широко распространено в оптике при
анализе прохождения света через сложные системы. Как правило, проанализировать прохождение
одной плоской волны через них достаточно просто. Поэтому на входе системы разлагают начальное
распределение излучения в спектр плоских волн, затем находят решение для произвольной плоской
волны, а результирующее распределение излучения на выходе получается как сумма тех же плоских
волн, но с измененными фазами.
Лекция 8. Элементы теории распространения
электромагнитного излучения в приближении скалярной
теории дифракции. Интеграл Кирхгофа – Френеля
Рассмотренные здесь вопросы приводят к результатам и выводам, справедливым при следующих
основных ограничениях:
 Электромагнитное излучение – монохроматическое, когерентное.
 Выводы справедливы, в основном, для спектрального диапазона длин волн 0.3 Мкм – 1 См.
Т.е. речь идет об ультрафиолетовом, оптическом, инфракрасном и радио- поддиапазонах.
Некоторые положения справедливы и для акустического излучения. Это выделяется в отдельных
комментариях.
1.1 Дифракция плоской волны на дифракционной решетке
1.1.1 Однородные плоские монохроматические волны
Ранее было показано, что любое решение волнового уравнения вида
(3)
представляет собой плоскую волну, так как в каждый момент времени
величина
постоянна во всех точках плоскости, задаваемой векторным уравнением в виде скалярного
произведения
Оглавление
Специальные главы физики
35
,
где
– радиус-вектор точки
– единичный вектор нормали к
;
плоскости, координаты которого определяются направляющими косинусами (рис. 1). .
Рис. 1
Иначе говоря, плоская волна, фаза которой постоянна во всех точках некоторой плоскости, имеет
плоский волновой фронт.
Общее решение волнового уравнения
распространяется в направлении вектора
в виде (3), выражающее плоскую волну, которая
со скоростью
, имеет вид
(4)
Аргумент функции
не меняется при замене величин
соответственно. Физически это означает, что возмущение
и t на величины
и
, которое в момент времени t было
в плоскости, находящейся на расстоянии d от начала координат, в более поздний момент времени
оказывается в плоскости, расположенной уже на расстоянии
Вводя замену t нa
от начала координат.
и учитывая, что для однородной плоской волны
,
получим скалярное комплексное выражение для электрического (магнитного) поля однородной
плоской монохроматической волны
.
(5)
где
;
– длина волны в среде с показателем преломления n.
Оглавление
Специальные главы физики
36
Ранее были рассмотрены, вопросы,
касающиеся понятию пространственная частота.
Поскольку пространственная частота может определяться по-разному, вернемся к этому понятию.
При этом некоторые опредаеления в силу их важности рассматриваются повторно и более подробно.
Длину волны
называют приведенной длиной волны
(6)
(соответствует распространяющейся в вакууме
монохроматической волне той же частоты). Вектор
или
для вакуума
,
направленный вдоль единичного вектора нормали (рис. 1.4), называют волновым вектором. Его
длину
, соответственно для вакуума
, называют волновым числом.
Волновой вектор является обобщенным пространственным аналогом временной угловой частоты
.
Так как выражение (5) не изменяется при замене
пространственным
периодом
плоской
волны.
Для
гармонических осцилляции в плоской волне
задания
на
то
ориентации
, является
пространственных
на практике очень удобно ввести векторы
пространственной частоты
,
направления которых совпадают с направлением распространения
,
(7)
, а длины соответственно
равны
,
(8)
Они задают число пространственных периодов (осцилляций) в волне, укладывающихся на
единице длины, 1/мм, соответственно в среде или в вакууме, и по аналогии с временной частотой
называются пространственными частотами. Это еще более углубляет аналогию между волновым
вектором
и угловой частотой
.
В итоге комплексную амплитуду однородной плоской монохроматической волны можно
представить в виде
(9)
Оглавление
Специальные главы физики
37
В
соответствии с (4) фаза
координат, а фаза
увеличивается с ростом расстояния d от начала
уменьшается с ростом времени t. Выбор такого правила знаков в
плоской волне обусловлен описанием ее распространения в направлении вектора
. Он не имеет
существенного значения, так как практический интерес представляет не абсолютная величина фазы,
а разность фаз. В то же время в рамках выбранного правила знаков процесс распространения плоской
волны сводится к следующему. Для любой точки некоторой плоскости
полная фаза волны
в момент времени t постоянна и равна
. В более поздний
момент времени
полная фаза будет иметь то же значение на большем расстоянии
начала координат
, так как
от
, в то время как на
прежнем расстоянии d она уменьшается. В результате плоский волновой фронт перемещается в
пространстве в направлении, которое в зависимости от специфики задачи можно охарактеризовать
одним из трех коллинеарных векторов
пространственной частоты
– единичным вектором нормали
или волновым вектором
, вектором
(рис. 1).
Таким образом, однородная плоская монохроматическая волна является тем важным частным
случаем комплексного временного гармонического сигнала, который позволяет с единых позиций
рассматривать частотно-временные и пространственно-частотные гармонические осцилляции
произвольной монохроматической электромагнитной волны, представляемой в виде суммы плоских
волн. Это в свою очередь служит первым шагом на пути создания общей частотной модели при
описании множества S входных сигналов набором плоских волн. Рассмотренное ранее решение
волнового уравнения для сферических во многих практических случаях рассматривается в
параксиальном приближении. Параксиальное приближение для сферической волны имеет место в
т о м случае, когда г2 > > x2 + y2 .
.
√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
= 𝑧√1 +
𝑥2 + 𝑦2
2𝑧 2
Воспользуемся пкрвыми двумя слагаемыми в разложении бинома Ньютона:
𝑧√1 +
𝑥 2 +𝑦 2
2𝑧 2
= z + (x2 + y2)/2z
при этом комплексная амплитуда сферической волны в
U(x,y,z) ≈
𝐴
𝑧
exp(−𝑗𝑘𝑧) exp(−𝑗𝑘
( 𝑥 2 + 𝑦2 )
2𝑧
(15)
)
Оглавление
Специальные главы физики
параксиальном приближении:
z=a z
38
с. 1.5
1.1.2 Вывод интеграла Кирхгофа
Проанализируем дифракцию
волны на транспаранте с периодическим синусоидальным
распределением амплитудного пропускания. Подобные транспаранты называют дифракционными
решетками, Пусть плоская излучениеовая волна амплитудой А0, распространяющаяся в направлении
положительной полуоси z, падает на транспарант, находящийся в плоскости z = 0. Допустим» что
транспарант имеет амплитудное пропускание
t (x, у) = t0 + t1 cos (2πηy),
(10)
являющееся периодической функцией от у с пространственной частотой η, а t0 и t1 —
вещественные постоянные. При t0 > t1 > 0 транспарант не вносит фазового сдвига. Непосредственно
за транспарантом комплексная амплитуда волны:
.
Рис. 2.
Рис. 3.
Первый член данного выражения описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z,
как и падающая волна, второй и третий члены — плоские волны, направления распространения
которых с осью z составляют углы φ1 и φ2 , причем φ1 = - φ2 = arcsin (λη) (рис. 3).
Таким образом, моделируеncя, что в результате дифракции часть падающей на транспарант
волны отклоняется от первоначального направления распространения. (и эта модель адекватна
экспериментальным результатам)
С помощью соотношения
Оглавление
Специальные главы физики
39
с учетом того, что:
где:
можно определить комплексную амплитуду излучения при любом удалении от транспаранта,
например при
(11)
Для первого члена выражения ζ – η = 0, для второго и третьего членов , ζ = 0. Из (11) следует, что
если λ η > 1 , то возникают поверхностные волны. Они будут затухающими при λ > 1 / η , т. е.
когда
длина
волны
больше
периода
дифракционной
решетки,
поскольку
при
этом
√1 − 𝜆2 𝜂2 становится мнимой величиной, а
exp [—jkd (1 — 𝜆2 𝜂2 )!1/2] — экспоненциальным множителем, убывающим с увеличением d.
Амплитудное пропускание двумерной дифракционной решетки в общем случае описывается
комплексной периодической функцией двух переменных х н у .
Однако его также легко
представить в виде суммы простейших синусоидальных функций путем разложения в ряд Фурье:
Дифрагированная на таком транспаранте излучение новая волна представляет собой
суперпозицию
бесконечного
соответствующим
числа
коэффициентам
плоских
разложения
определяемыми cos αn = λζn и cos βn = ληn
волн
tmn
с
амплитудами,
и
пропорциональными
направлениями
распространения,
суммарная
амплитуда
Следовательно,
дифрагированных волн в плоскости z = d
Оглавление
Специальные главы физики
40
В общем случае амплитудное пропускание дифрагирующего объекта является комплексной
непериодической функцией двух переменных х и у , поэтому t (x, у) заменяют интегралом Фурье.
Комплексную амплитуду дифрагированной волны в плоскости z = d при этом также выражают с
помощью интеграла
(12)
где Т (ζ,, η) — преобразование Фурье от t (х, у), причем интегрирование производят в области,
удовлетворяющей неравенству ζ2 + η2 < 1/λ2 (вне этой области волны быстро затухают при удалении
от транспаранта). Следовательно, можно сделать следующее заключение: если плоская волна
амплитудой А1 распространяющаяся в направлении оси z, падает на помещенный в плоскости z = 0
транспарант с амплитудной функцией пропускания t (х, у) у то спектр комплексной амплитуды в
плоскости z = d имеет вид:
(13)
Для параксиальных волн (<<1), пользуясь приближением
,
справедливым при малых значениях ζ, и η выражение (13) можно представить следующим образом:
Ввиду того, что фаза φ = πλd(ζ,2 + η 2) в этом выражении является параболической функцией
пространственных частот, это приближение называют параболическим. Согласно правилу Рэлея
искажение фазы волны не должно превышать π/2, т. е. устанавливаются границы применимости
параболического приближения:
Оглавление
Специальные главы физики
41
Разрешение по Рэлею. Этот критерий определяет способность прибора изображать раздельно
два близко расположенных точечных предмета и равен минимальному расстоянию σ R между ними.
В зависимости от принятого правила,
по
которому
устанавливается
указанное
отличие,
разрешение по Рэлею может иметь различное значение. Обычно решающее правило связывают с
относительной величиной
ε провала в распределении интенсивности
в изображении двух
точек (рис. 4). При ε=0 получаем абсолютный критерий разрешения σ 0.
Правило Рэлея требует:
Центральный максимум взображении одной точки должен приходится на первый минимум в
изображении другой. Разрешение по Рэлею удовлетворительно
характеризует
качество
изображения астрономических телескопов, спектральных приборов, для которых предметами
являются близко расположенные точки или линии..
Решение задачи дифракции можно представить также с помощью интеграла Френеля —
Кирхгофа:
(14)
Где
(рис. 5) x0, у 0 и х, у — координаты точек,
принадлежащих плоскостям z = 0 и z = d. Угол между положительным направлением оси z и
отрезком прямой r o d , cos θzr называют коэффициентом наклона.
Рис. 5
Интеграл (3) является математическим выражением известного принципа Гюйгенса — Френеля.
Принцип Гюйгенса — Френеля
Оглавление
Специальные главы физики
42
Принцип Гюйгенса — Френеля — основной постулат волновой теории, описывающий и
объясняющий механизм распространения волн, в частности, излучениеовых.
Каждый
элемент волнового
фронта можно
рассматривать,
как
центр
вторичного
возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее излучениеовое
поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.
Рефракция волн по Гюйгенсу
.
Дифракция волн по Гюйгенсу
1. Дифракционные формулы Френеля и Фраунгофера
Рассмотрим дифракцию излучения, падающего на непрозрачный экран с отверстием
произвольной формы. Отверстие в экране называют апертурой. В зависимости от удаленности
источника излучения и плоскости наблюдения от дифрагирующего экрана различают зоны дифракции Фраунгофера и Френеля. Дифракция Фраунгофера наблюдается в дальней зоне, удаленной от
дифрагирующего экрана на расстояние, во много раз превышающее размеры апертуры. Дифракция
Оглавление
Специальные главы физики
43
Френеля имеет место в ближней зоне, распространяющейся до зоны дифракции Фраунгофера, как это
показано на рис. 6.
Дифракция Фраунгофера по существу является предельным случаем дифракции Френеля при
больших расстояниях от экрана. Заметим, что зона дифракции Френеля также начинается на
некотором расстоянии от экрана. Непосредственно за апертурой вблизи экрана находится область
тени (рис. 6). Здесь и далее будем предполагать, что размеры отверстия на экране велики сравнению
с длиной волны падающего излучения, а источник излучения находится на таком расстоянии от
экрана, что излучение, падающий на экран, имеет практически плоский волновой фронт и
постоянную амплитуду.
В общем случае апертура представляет собой транспарант с двумерной амплитуднойг функцией
пропускания t (х 0 , у 0 ). В частном случае апертура Sa является отверстием с амплитудной функцией
пропускания (Рис. 6):
t (х 0 , у 0 ) = {
1, (х 0 ,
у 0 )<S a
0, (х 0 , у 0 )>S a
Данный случай важен, поскольку часто встречается при анализе оптических систем
хранения и обработки информации. (Голографические ЗУ). В любом из рассмотренных случаев
непосредственно за экраном при z = +0
Sa
Если провести мысленный эксперимент, поместив за экраном с отверстием лист бумаги, то,
отодвигая его от экрана, можно наблюдать развитие дифракционных процессов. При близком
расположении листа к экрану увидим достаточно четкое изображение отверстия, которое будет
постепенно размываться при увеличении расстояния от экрана до листа. В этой связи есть смысл
более внимательно рассмотреть те области, где влияние дифракции уже достаточно велико. Эти
Оглавление
Специальные главы физики
44
области и называются областью дифракции Френеля (дифракция в ближней зоне) и областью
дифракции Фраунгофера (дифракция в дальней зоне). На
Рис.6 показана схема формирования
изображения в дифракционной области.
Применим формулу Зоммерфельда, заменив в интеграле конечные пределы на бесконечные,
считая, что вне отверстия функция U(x1, y1) = 0:
.
U  x0 , y0    h  x0 , y0 , x1 , y1 U  x1 , y1  dx1 dy1 ,

где
(15)
h  x0 , y0 , x1 , y1  
1 exp  jkr01 
cos  n, r'01  .
j
r01
Рис.7. Схема формирования изображения в дифракционной области
КОММЕНТАРИЙ: {Формула Зоммерфельда
введена для устранения противоречий,
следующих из физики и теоремы потенциала:
Еесли сама функция и ее производная тождественно равны нулю на каком-то участке
поверхности, то эта функция тождественно равна нулю во всем пространстве.
То есть если в крайней точке этого участка поверхности сама функция и ее производная
равны нулю, то жесамое имеет место в соседней точке за краем. С другой стороны, край
отверстия не может не возмутить поле в отверстии. Кроме того, край тени не может быть
абсолютно резким.
Зоммерфельд предложил обойти это противоречие, изменив граничные условия и налагая
требования только на саму функцию или ее производную. При этом все выводы и результаты
должны остаться неизменными. С этой целью он видоизменил функцию Грина, сделав ее либо
симметричной, либо антисимметричной:
G_ 
exp  jkr01 
r01

exp  jkr '01 
r '01
.
Оглавление
Специальные главы физики
45
Пояснить структуру этой функции можно с помощью рисунка:
Симметризованная функция
Симметрично точке Р0 относительно экрана расположена точка Р'0 , т.е. имеются два точечных источника, формирующих функцию Грина, причем фазы волн, испускаемые этими
источниками, одинаковы. Производная новой функции Грина будет сдвинута на 180°:

G _
1  exp  jkr01 
 cos  n, r01   jk  

n
r01 
r01

(1)

1  exp  jkr '01 
 cos  n, r'01   jk 
.

r '01 
r '01

Здесь r'01 — расстояние от второго источника до поверхности экрана. Если точка Р1
находится на поверхности экрана, то r01 = r'01 , cos (n, r01) = -cos (n, r'О1) и
G _  P1   0;


G _  P1 

1  exp  jkr01  
 2cos  n, r01   jk  
.
n
r01 
r01


(2)
Из (2) видно, что отпала необходимость введения жестких граничных условий на функцию
и на ее производную одновременно и вышеотмеченнные противоречия сняты. При
использовании видоизмененной функции Грина, формула дифракции Френеля—Кирхгофа
примет вид
U  P0   

Формула
(3)
exp  jk  r21  r01  
r21r01
отличается
от
cos  n, r01  ds.
прежней
(3)
формулы
Френеля—Кирхгофа
только
коэффициентом наклона и называется формулой Зоммерфельда.
До сих пор при анализе дифракции на плоском экране рассматривался вариант, когда он
освещается одним точечным источником. В общем случае освещение экрана осуществляется
протяженным источником. Однако этот протяженный источник может быть представлен в
виде набора точечных источников, каждый из которых формирует свою собственную картину
дифракции, которые складываются на выходе, при необходимости с учетом фазы. При таком
рассмотрении можно представить поле в виде интеграла суперпозиции
Оглавление
Специальные главы физики
46
U  P0    h  P0 , P1 U  P1  ds,
(4)

где
h  P0 , P1  
1 exp  jkr01 
cos  n, r01  .
j
r01
Таким образом, противоречия снимаются}.
Наше приближение будет основываться на предположении, что z >> rmах (максимального размера
отверстия в экране). Область наблюдения в выходной плоскости также лежит вблизи оси z и много
меньше, чем z. В этих предположениях cos(n, r01) = 1 с погрешностью не более 5 % (если угол не превышает 18°), в знаменателе (15) r01 тоже будет лишь незначительно отличаться от z. Тогда можно
переписать вторую часть (15) в виде
h  x0 , y0 , x1 , y1  
1
exp  jkr01  . (16)
jz
Расстояние r01 в показателе экспоненты нельзя просто заменить на z, так как вследствие того, что
к велико, даже малое изменение r01 приведет к значительному изменению экспоненты.
2.1. Приближение Френеля
Можно и далее упростить анализ, если заменить точное выражение для r01:
r01 
z   x0  x1    y0  y1   z
2
2
2
 x  x   y  y1 
1  0 1    0

 z   z 
2
2
его разложением в ряд.
В разложении оставим только два первых члена, считая, что величины, стоящие в скобках,
достаточно малы,
 1  x  x 2 1  y  y 2 
r01  z 1   0 1    0 1   .
 2  z  2  z  
(17)
При этом функция h принимает следующий вид:
h  x0 , y0 , x1 , y1  
exp  jkz 
j z
2
2 
 k
exp  j  x0  x1    y0  y1   .


 2z
(18)
В том случае, если z достаточно велико, решение соответствует приближению Френеля.
В приближении Френеля сферические волны заменяются поверхностями 2-го порядка. При этом
естественным образом налагаются ограничения на z, размеры отверстия, и т.д. Можно провести
оценку и показать, что для этого должно выполняться условие
Оглавление
Специальные главы физики
47
z 3 
 
2
2 2
x0  x1    y0  y1   .


4 
(19)
Данное условие получается при условии малости следующего члена в разложении (18).
Подставим (18) в интеграл Кирхгофа:
U  x0 , y0  
exp  jkz 
j z
 k
U  x , y  exp  j 2 z  x
1
1
0

2
2 
 x1    y0  y1    dx1 dy1

(20)
и разложим квадратичные члены в показателе экспоненты
U  x0 , y0  
exp  jkz 
j z
 k

exp  j  x02  y02  
 2z


 k
  U  x , y  exp  j 2 z  x
1
1

2
1

 y12    

 2

 exp   j  x0 x1  y0 y1   dx1 dy1 .

z


(21)
Интеграл в (21) описывает распределение в ближней зоне дифракции, или зоне дифракции
Френеля. Если проанализировать структуру выражения (21), то с точностью до амплитудного и
фазового множителей, не зависящих от координат выходной плоскости и стоящих перед интегралом,
распределение поля в выходной плоскости может быть представлено как
 k 2

x1  y12  для частот f x  x0 z , f y  y0 z .

2
z


преобразование Фурье от функции U  x1 , y1  exp  j
Дополнительные результаты могут быть получены при рассмотрении не самого поля, а его
спектра. Для этого проведем преобразование Фурье от функции h:
H  f x , f y   exp  jkz  exp  jz  f x2  f y2  . (22)
Это выражение описывает эффект распространения волны в пространстве при дифракции
Френеля. Первый экспоненциальный множитель определяет общую фазовую задержку при
распространении на расстояние z, а второй — фазовую дисперсию, зависящую от пространственной
частоты по квадратичному закону.
Лекция 9. Приближение Фраунгофера
Можно еще более ужесточить требования к расстоянию r01 до выходной плоскости,
отодвинувшись в дальнюю зону дифракции — зону дифракции Фраунгофера. Эта область
удовлетворяет следующему условию:
Оглавление
Специальные главы физики
48
z 
Условие
k  x12  y12 
2
max
. (23)
(23) определяет параметр малости при разложении величины r01 в ряд. При этом
квадратичный фазовый множитель в фигурных скобках (21) практически равен единице по всему
отверстию и амплитуда поля в выходной плоскости имеет вид
 k

exp  jkz  exp  j  x02  y02  
 2z

U  x0 , y0  
j z
(24)
 2

   U  x1 , y1  exp   j  x0 x1  y0 y1   dx1 dy1 .
 z


Без учета множителей перед интегралом, которые тем более несущественны при вычислении
интенсивности в изображении (при умножении на комплексно-сопряженное выражение),
(24)
представляет собой преобразование Фурье распределения поля в отверстии для пространственных
частот νx=x0/λz и νy=y0/λz.
Полученная формула и есть формула дифракции в приближении Фраунгофера. Следует
отметить, что в обычных условиях требования по дальности области наблюдения от экрана
достаточно жесткие. Так, для отверстия размером 2,5 мм при длине волны излучения 0,6 мкм
расстояние до экрана должно быть более 15 м.
Оптические системы, выполняющие преобразование Фурье
С помощью сферической линзы можно создавать картину, являющуюся фурье-образом входного
изображения. Благодаря этому устройству, а также возможности применения линз для формирования
пучков излучения требуемой конфигурации они находят широкое применение в оптических системах
хранения и обработки информации.
Рассмотрим простейшую оптическую систему (рис. 1), состоящую из одной тонкой сферической
линзы с фокусным расстоянием f помещенной в плоскости z = 0, и расположенного вплотную к ней
транспаранта с комплексным амплитудным пропусканием
t (х0, у0).
Оглавление
Специальные главы физики
49
Линзу называют тонкой, если луч, входящий в точку с координатами (x0, y0) выходит из нее на
противоположной поверхности в точке примерно с теми же координатами. Это означает, что
смещением луча внутри линзы можно пренебречь: линза задерживает фронт падающей волны на
значение, пропорциональное толщине линзы в каждой точке. Следовательно, тонкую линзу можно
рассматривать как транспарант, осуществляющий фазовую модуляцию и имеющий функцию
пропускания вида
, где функция Δφ(х, у) пропорциональна толщине линзы в
точке с координатами (х, у). Нетрудно показать, что
(1)
Таким образом, свет в тонкой линзе проходит оптический путь, пропорциональный толщине
линзы в данной точке. Обратимся к рис. а. Проведем две параллельные плоскости, прижатые к линзе
с обеих сторон. Луч А проходит через линзу оптический путь n
материала линзы;
0
0
(где п —- показатель преломления
— ее максимальная толщина), а луч В часть пути между плоскостями проходит
в воздухе, а часть — в стекле, поэтому пройденный им оптический путь равен п (х, у) - (
где
(х, у) — толщина стеклянной части линзы в соответствующей точке.
Оглавление
Специальные главы физики
0
-
(х, у)),
50
Линза как фазовая задержка
Этому оптическому пути соответствует изменение фазы световой волны, равное
Тогда коэффициент пропускания линзы как объекта, сформированного двумя параллельными
плоскостями,
(1.1)
При этом мы учли, что линза абсолютно прозрачна, поэтому коэффициент амплитудного
пропускания равен единице, а все изменения содержатся в показателе экспоненты.
Необходимо определить значение
(х, у). При этом мы будем учитывать правило знаков: радиус
кривизны поверхности считается положительным, если эта поверхность выпуклая для луча, идущего
слева направо. Разделим линзу на две части (см. рис. а) и проанализируем их по отдельности.
Представим толщину линзы как сумму толщин двух ее половинок
(x,y)=
1(x,y)+
2(x,y).
Каждая
из этих величин может быть выражена через соответствующий радиус кривизны, как это видно из
рис. а:
В уравнениях учитывался знак радиусов кривизны.
Складываем полученные величины и получаем толщину линзы в произвольной точке
Оглавление
Специальные главы физики
51
(1.2)
Будем рассматривать только лучи, идущие под небольшими углами к оси линзы (параксиальное
приближение), поэтому в (1.2) корни можно разложить в ряд, оставив только нулевой и первый
члены ряда
Подставляя это разложение в (1.2), получаем
(1.3)
Теперь преобразуем к явному виду (1.4)
Воспользовавшись формулой линзы, окончательно получим
Таким образом, соответствующее тонкой сферической линзе комплексное пропускание
(2)
Допустим, что на рассматриваемую оптическую систему (рис. 1) падает плоская волна
амплитудой A0, распространяющаяся в положительном направлении оси z. Комплексная амплитуда
света непосредственно вблизй линзы справа от нее равна произведению функции пропускания
транспаранта и линзы:
(3)
Далее волна распространяется в свободном пространстве, поэтому комплексная амплитуда света
на любом расстоянии от линзы может быть рассчитана с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа.
Для расчета распределения комплексных амплитуд света на расстоянии z = d от линзы
воспользуемся приближением Френеля.
Тогда
Оглавление
Специальные главы физики
52
(4)
Интегрирование производят по всей поверхности линзы. Подставим в (4) выражение (3), опустив
несущественный для дальнейшего анализа постоянный фазовый множитель
ехр (— ikd),
(5)
В результате упрощения данного интеграла путем разложения квадратов (х — х0)2 и (у — y0)2 ,
получим:
(6)
сли d = f т. е. рассматривается распределение комплексных амплитуд света в задней фокальной
плоскости линзы, то выражение (6) еще более упрощается и принимает следующий вид:
(7)
где
.
Интеграл в данном выражении представляет собой двумерное преобразование Фурье
функции t (х, у) при условии, что функция t (х, у) тождественно равна нулю за пределами
поверхности линзы. Это условие позволяет расширить пределы интегрирования до бесконечности,
что и требуется для преобразования Фурье.
Таким образом, если на тонкую сферическую линзу с примыкающим к ней транспарантом
падает плоская световая волна,то в задней фокальной плоскости линзы образуется поле с распреОглавление
Специальные главы физики
53
делением комплексных амплитуд, пропорциональным произведению квадратичного фазового
множителя и фурье-образа функции пропускания транспаранта.
В тех случаях, когда важна только интенсивность света, квадратичный фазовый множитель в
выражении (1.48) не учитывают.
Эффект, обусловленный этим множителем, эквивалентен действию тонкой рассеивающей
(вогнутой) линзы с фокусным расстоянием - f, помещенной в плоскости z =f. Если в плоскость z=f
поместить тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием f то этот фазовый множитель будет
компенсирован. В результате получают оптическую систему (рис. 1.8), выполняющую точное преобразование Фурье:
Предполагается, что за пределами поверхности транспаранта t (х, у) == 0. Если линза имеет
неограниченные размеры, а транспарант совершенно прозрачен, т. е. t (х, у) =1, то
Следовательно, падающая на линзу плоская световая волна фокусируется в точку на задней
фокальной плоскости линзы. Линза конечных размеров образует световое пятно малых, но все же
конечных размеров, что и наблюдается на практике.
Лекция 10. Теоретические основы голографии.
1. Общие положения.
Голография (др.-греч. ὅλος — полный + γραφή — запись, изображение) — набор технологий для
точной записи, воспроизведения и переформирования волновых полей.
Оглавление
Специальные главы физики
54
Оптическая голограмма одновременно выполняет три функции:
функцию измерения и
регистрации амплитуды и фазы волнового фронта (запись информации), функцию хранения
результатов этого измерения (хранение информации) и функцию реконструкции волнового поля
(воспроизведение информации). Это сочетание оказалось замечательно удачным в изобразительной
голографии и в некоторых других применениях, например в голографической интерферометрии.
Цифровая голография — это анализ, синтез и моделирование волновых полей средствами
цифровой вычислительной техники. Анализ полей — это измерение физических параметров
объектов по результатам регистрации в виде голограмм и иптерферограмм рассеянного ими
волнового поля. Синтез состоит в построении волнового поля объекта, заданного своим
математическим описанием или сигналом. Моделирование — изучение преобразования полей
в голографических системах посредством исследования их цифровых моделей.
2. Запись голограммы.
Одна из возможных схем записи голограммы представлена на рис. 1. Лазерный пучок света
делится с помощью делителя BS на два пучка, один из которых с помощью зеркала М1 и собирающей
линзы L1 направляется на объект S, а второй пучок – опорный, с помощью зеркала М2 и линзы L2
направляется непосредственно на фоторегистрирующую среду PD, например, фотопластинку в
обычной аналоговой голографии, или матричный фотоприемник в цифровой голографии. Рассеянное
(отраженное) объектом волновое поле также попадает на фоторегистратор и интерферирует с
опорной волной.
Рис. 1 Запись аналоговой голограммы
Оглавление
Специальные главы физики
55
Записывается распределение интенсивности суммарного интерференционного поля в плоскости
фоторегистратора
Где US – распределение комплексной амплитуды объектного поля в плоскости фоторегистратора;
UR – распределение комплексной амплитуды опорного поля в плоскости фоторегистратора:
где AS, AR – распределения амплитуды объектной и опорной волн, соответственно;
φS, φR – фазовые пространственные распределения вобъектной и опорной волнах. Распределение
интенсивности I называют голограммной структурой в формальном, математическом представлении.
В цифровой голографии численное представление I также можно называть голограммной структурой
или просто голограммой.
В обычной, аналоговой голографии фотопластинка после записи и соответствующего
химического процесса проявления и закрепления становится голограммой – дифракционным
оптическим элементом, амплитудное пропускание которого τ в условиях линейной записи можно
считать пропорциональным распределению интенсивности:
- для позитивного фоторегистратора, и
- для негативного фоторегистратора.
Коэффициенты γp и γn характеризуют контрастность процесса записи, а слагаемое τ0 определяет
амплитудное пропускание голограммы при нулевой интенсивности.
В цифровой голографии регистрируемый фотоэлектрический сигнал up можно считать
пропорциональным распределению интенсивности I :
Оглавление
Специальные главы физики
56
где сигнал up для простоты записан в виде непрерывной функции, тогда как в цифровой
голографии этот сигнал имеет дискретные значения в дискретном массиве пространственных
координат (xi, yj ).
Восстановление голограммы.
В обычной голографии для восстановления объектного волнового поля голограмма освещается
опорной волной (рис. 2), которая дифрагирует на голограмме, как на сложной дифракционной
решетке, и в дифракционном поле образуется (восстанавливается) объектное волновое поле. Процесс
освещения голограммы опорной волной формально записывается в виде произведения амплитудного
пропускания голограммы τ и комплексной амплитуды освещающей волны UR:
Второе слагаемое в пропорционально комплексной амплитуде объектного поля US и описывает
восстановленную объектную волну, распространяющуюся в направлении от объекта.
Если осветить голограмму сопряженной опорной волной, как это показано на рис. 2,
комплексную амплитуду которой следует представить в сопряженной форме UR*, то в
дифракционном
поле
за
голограммой
образуется
сопряженное
объектное
поле
US*,
распространяющееся в обратном направлении по отношению к объектному полю US на этапе записи
голограммы.
Рис 2 Восстановление голограммы.
Оглавление
Специальные главы физики
57
Формально процесс восстановления сопряженного объектного поля определяется следующим
выражением:
где третье слагаемое определяет восстановленную сопряженную объектную
волну US, распространяющуюся в обратном направлении. Это волновое поле образует
действительное изображение объекта S в области его расположения на этапе записи голограммы.
4. Дифракционные преобразования волновых полей.
Рассмотрим математическую модель преобразования волновых полей в голографических
системах. Чтобы не усложнять картину, ограничимся несамосветящимися непрозрачными объектами
и монохроматическим освещением.
Свойства объекта, определяющие его способность отражать и рассеивать падающее на него
излучение, описываются коэффициентом отражения излучения по интенсивности В (х, у, z) или
амплитуде β(х, у, z) — функциями координат на поверхности объекта.
Коэффициент отражения по амплитуде является комплексной функцией, которая может быть
представлена в виде:
b (х, у, z) = |b (х, у, z)| ехр[iβ(х, у, z)].
( 4.1)
Ее модуль |b| и фаза (β) показывают, во сколько раз изменяется амплитуда и соответственно
насколько изменяется фаза излучения в точке (х, у, z) поверхности тела после отражения. Функции В
и b связаны между собой соотношением
В = |b|2 = bb*,
( 4.2)
где * — знак комплексного сопряжения. Зная функцию b (х, у, z), уравнение поверхности тела F
(х, у, z) = 0 и распределение амплитуды и фазы падающего на объект света, можно в принципе
вычислить распределение амплитуды и фазы рассеянного света в произвольной точке пространства.
Пусть А (х, у, z) ехр (iα(х, у, z)) — распределение амплитуды и фазы освещения на поверхности
объекта. Тогда поле на некоторой поверхности наблюдения можно описать с помощью
интегрального соотношения Кирхгофа
Оглавление
Специальные главы физики
58
Г(ξ, η, ζ) = ∭𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑧)| exp{𝑗[𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧)]} 𝑇 (х, у, 𝑧, 𝜉, 𝜂, 𝜁)𝑑𝜉𝑑𝜂𝑑𝜁
( 4.2)
где интегрирование производится на поверхности объекта F (х, у, z). Вид ядра этого
преобразования Т (х, у, z, ξ, η, ζ) зависит от пространственного расположения объекта и поверхности
наблюдения. Это преобразование в принципе обратимо:
b (х, у, z) = ∭𝑆 Г(𝜉, 𝜂, 𝜁)T’ Г(ξ, η, ζ) 𝑑𝜉𝑑𝜂𝑑𝜁
( 4.3)
Где T’ - оператор, взаимный Т, а интегрирование производится по поверхности наблюдения S.
Это выражение описывает процесс восстановления волнового поля.
Функцию Г(ξ, η, ζ) можно назвать математической голограммой. Задача синтеза голограмм
заключается в вычислении функции Г(ξ, η, ζ) по заданной функции b (х, у, z) и регистрации
результата в такой форме, которая допускала бы взаимодействие с излучением для визуализации или
восстановления b (х, у, z) в соответствии с ( 4.3). Задача анализа голограмм состоит в выполнении
преобразования ( 4.3).
Вычисление интеграла ( 4.2), ( 4.3) представляет собой в общем случае достаточно сложную
задачу. Ее удается решить только для очень простых объектов, заданных небольшим количеством
отдельных точек или линий. В общем случае приходится прибегать к различного рода упрощениям.
Первое упрощение, к которому можно прибегнуть без большого ущерба для существа проблемы,
состоит в сведении трехмерной задачи к двумерной. Для этого поверхность наблюдения считается
плоской, а распределение амплитуды и фазы волны на поверхности объекта заменяется по законам
геометрической оптики распределением амплитуды и фазы на плоскости, касающейся объекта или
достаточно близкой к нему (чтобы при пересчете амплитуды и фазы волны можно было пренебрегать
дифракцией и пользоваться геометрической оптикой) и параллельной плоскости наблюдения.
Тогда вместо ( 4.2) имеем
Г(ξ, η) ≈ ∬(𝑥,𝑦) 𝑏1 (х, у) Td(х, у, ξ, η)dxdy
( 4.4)
где b1 (х, у) — комплексная функция, полученная в результате пересчета амплитуды и фазы поля,
отраженного объектом, на плоскость (х, у), касательную к нему и параллельную плоскости
наблюдения (ξ, η); d — расстояние между этими двумя плоскостями.
Очевидно, если угол, под которым виден объект с поверхности наблюдения (угол охвата) и
площадь наблюдения малы, это естественная аппроксимация. Для задач, где угол охвата должен быть
Оглавление
Специальные главы физики
59
велик, такой подход означает необходимость сведения их к задаче расчета при малом угле охвата.
При этом для реализации больших углов охвата поверхность наблюдения можно разбить на
небольшие фрагменты, аппроксимируемые плоскостями, и рассматривать голограммы для отдельных
фрагментов, каждая из которых представляет часть общего угла и воспроизводит объект под своим
ракурсом.
Ядро преобразования ( 4.4), связывающее распределение света на двух параллельных плоскостях,
имеет вид
Td(х, у, ξ, η) =
exp{2𝜋𝑗λ−1 √(𝑥−𝜉)2 +(𝑦−𝜂)2 +𝑑2 }
√(𝑥−𝜉)2 +(𝑦−𝜂)2 +𝑑2
( 4.5)
где λ — длина волны излучения.
Если геометрические размеры тела малы по сравнению с расстоянием d до плоскости
наблюдения, то это вместе с условием малости площади наблюдения приводит к дальнейшему
упрощению.
При
4λ
[(x – ξ)2 +(y – η)2] макс = θ2 макс < √ 𝑘𝑑
( 4.6)
где θмакс — максимальный угол (в радианах), под которым наблюдается объект с расстояния d; к
— коэффициент допустимой фазовой ошибки, равной π/к, в передаче аргумента экспоненты в ( 4.5).
Td(х, у, ξ, η) ≈
exp{2𝜋𝑗λ−1 √(𝑥−𝜉)2 +(𝑦−𝜂)2 +𝑑2 }
𝑑
( 4.7)
В этом случае интеграл ( 4.4) переходит в интеграл Френеля:
Г(ξ, η) ≈ ∬(𝑥,𝑦) 𝑏1 (х, у) exp{ 2𝜋𝑗(λd)−1 (𝑥 − 𝜉)2 + (𝑦 − 𝜂)2 } dxdy
( 4.8)
Голограммы, описываемые этим соотношением, будем называть голограммами Френеля. Если
𝜋(x 2 + 𝑦 2 )/λd << 1,
𝜋(𝜉 2 + 𝜂2 )/λd << 1
Оглавление
Специальные главы физики
( 4.9)
60
так что этими составляющими фазы под интегралом в ( 4.8) можно пренебречь, возможно
дальнейшее упрощение. В этом случае ( 4.8) переходит в интеграл Фурье:
Г(ξ, η) ≈ ∬(𝑥,𝑦) 𝑏1 (х, у) exp{ 2𝜋𝑗(λd)−1 (𝑥𝜉) + (𝑦𝜂) } dxdy
( 4.10)
который соответствует дальней зоне дифракции (дифракции Фаунгофера). Соотношение A.11)
описывает также свойства линзы как оптического элемента, выполняющего преобразование Фурье.
Этот случай имеет особое значение для систем оптической обработки информации благодаря
свойству инвариантности амплитуды преобразования Фурье относительно сдвигов по координатам,
которое позволяет в оптических устройствах реализовать операции типа свертки.
Также операция преобразования Фурье, являясь распространенной в различных алгоритмах
цифровой обработки сигналов, имеет проработанные алгоритмические решения, объединённые в
пакете mathcad в функциях fft, fft2 и fftn.
Таким образом, для цифрового моделирования голографических процессов основной операцией
является операция двухмерного прямого и обратного преобразования Фурье.
Лекция 11. Истоки квантовой механики.
Опыт Майкельсона - Морли.
Введение.
Эксперименты Гюйгенса, Френеля, Юнга и других ученых показали, что явления дифракции,
интерференции и дисперсии могут быть объяснены только в рамках волновой теории света. Все
попытки объяснить эти явления с позиций корпускулярной теории потерпели поражение.
После установления волновой природы света возник вопрос о среде в которой эти световые
волны распространяются. Согласно представлениям, возникшим вскоре, свет распространяется в
особой среде, называемой эфиром. Эфир заполняет все пространство, в котором движутся
материальные тела, и неподвижен в этом пространстве. Скорость света относительно эфира
является постоянной величиной, определяемой таким свойством эфира, как упругость. Эфир, по
этим представлениям, является неподвижной и абсолютной системой отсчета.
Поскольку скорость света относительно эфира постоянна, то относительно материальных тел,
движущихся в эфире, она переменна и зависит от их скорости относительно эфира. Измеряя
скорость света относительно тела, можно определить скорость тела относительно эфира.
Такая попытка определить абсолютную скорость Земли была выполнена Майкельсоном и
Морли в 1881 - 1887 г.г.
Оглавление
Специальные главы физики
61
Идея и схема опыта Майкельсона - Морли.
Идея опыта состоит в сравнении прохождения светом двух путей, из которых один совпадает
с направлением движения тела в эфире, а другой ему перпендикулярен. Схема установки
изображена на Рис.1.
Рис.1. Схема опыта Майкельсона-Морли.
Представим себе интерферометр в котором свет, поступая из источника A падает на
наклоненное под углом 45 градусов плоское полупрозрачное зеркало B и разделяется на два луча.
Один из лучей отражается и уходит под углом 90 градусов по отношению к первоначальному
направлению к зеркалу D, а другой проходит зеркало B насквозь и идет к зеркалу F. Отразившись
от соответствующих зеркал лучи возвращаются к зеркалу B и наблюдаются в окуляр E.
Если интерферометр неподвижен, то в окуляре должны наблюдаться полосы, положение
которых
зависит
от
разности
хода
лучей
по
двум
путям.
Пусть
длины
плеч
интерферометра BF=l1 и BD=l2. Рассчитаем разность хода, если система движется в направлении
плеча BF со скоростью v.
При этом точка F удаляется от луча света, то есть луч, движущийся из B в F будет двигаться
со скоростью c-v, а луч, движущийся из F в B со скоростью c+v. Значит время движения
из B в F равно
движения
, а время движения из F в B равно
туда
и
обратно
в
. То есть полное время
направлении
равно
плеча
BF
.
Луч, движущийся в неподвижном случае вдоль BD, в подвижном случае движется сложнее.
Его траектория, показаная на рисунке проходит через точки B, D', B'. При этом, если его скорость
равна c,
то
она
раскладывается
на
параллельную
скорости
Оглавление
Специальные главы физики
движения
системы c|| и
62
перпендикулярную c^.
При
этом c||=v и
находим
.
Тогда
выполняется
движение
соотношение c2|| +
из B в D' займет
Время обратного пролета такое же, то есть
Вычислим разность хода
c2^=с2,
откуда
.
.
. Для этого вначале разложим t^ и t|| по малому
параметру v2/c2.
.
.
Значит
.
Теперь повернем интерферометр так, что плечо BD коллинеарно скорости системы, а
плечо BF перпендикулярно. При этом разность хода вычисляется аналогично, но длины плеч
меняются
местами
во
всех
выражениях:
.
и
.
.
Значит
изменение
разности
хода
при
равно
повороте
.
Оглавление
Специальные главы физики
интерферометра
63
Итак,
при
повороте
интерферометра,
картина
должна
сдвигаться
на
величину,
пропорциональную v2/c2. То есть, ожидаемый эффект должен быть второго порядка по
величине v/c.
Постулаты Эйнштейна
В своей работе Эйнштейн без единого нового эксперимента, проанализировав и обобщив уже
известные опытные факты, впервые изложил идеи теории относительности, которые коренным
образом изменили привычные представления о свойствах пространства и времени.
Теория относительности Эйнштейна состоит из двух частей: частной и общей теории
относительности. В 1905 г. Эйнштейн опубликовал основные идеи частной или специальной теории
относительности, в которой рассматриваются свойства пространства и времени, справедливые при
условиях, когда можно пренебречь тяготением тел, т.е. считать их гравитационные поля
'пренебрежимо малыми. Теория относительности, в которой рассматриваются свойства пространства
и времени в сильных гравитационных полях, называется общей теорией относительности. Принципы
общей теории относительности были изложены Эйнштейном на 10 лет позже, чем частной, в 1915 г.
В основу специальной теории относительности Эйнштейна легли два постулата, т.е.
утверждения, которые принимаются за истинные в рамках данной научной теории без доказательств
(в математике такие утверждения называются аксиомами).
1 постулат Эйнштейна или принцип относительности: все законы природы инвариантны
по отношению ко всем инерциальным системам отсчета. Все физические, химические,
биологические явления протекают во всех инерциальных системах отсчета одинаково.
2 постулат или принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме постоянна
и одинакова по отношении к любым инерциальным системам отсчета. Она не зависит ни от
скорости источника света, ни от скорости его приемника. Ни один материальный объект не
может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Более того, пи одна
частица вещества, т.е. частица с массой покоя, отличной от нуля, не может достичь скорости
света в вакууме, с такой скоростью могут двигаться лишь полевые частицы, т.е. частицы с
массой покоя, равной нулю.
Анализируя 1 постулат Эйнштейна, мы видим, что Эйнштейн расширил рамки принципа
относительности Галилея, распространив его на любые физические явления, в том числе и на
электромагнитные. 1 постулат Эйнштейна непосредственно вытекает из опыта Майкельсона-Морли,
доказавшего отсутствие в природе абсолютной системы отсчета. Из результатов этого нее опыта
следует и 2 постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света в вакууме, который тем не менее
Оглавление
Специальные главы физики
64
вступает в противоречие с 1 постулатом, если распространить на электромагнитные явления не
только сам принцип относительности Галилея, но и галилеево правило сложения скоростей,
вытекающее
из
галилее-ва
правила
преобразования
координат
(см.
п.
10).
Следовательно, преобразования Галилея для координат и времени, а также его правило
сложения скоростей к электромагнитным явлениям неприменимы.
Масса фотона.
Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, поглощается и
распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Энергия фотона Е=hν.
Его масса находится из закона взаимосвязи массы и энергии:
mф = hν/с2. (32.5)
Фотон — элементарная частица, которая всегда движется со скоростью света и имеет массу
покоя, равную нулю. Следовательно, масса фотона отличается от массы таких элементарных частиц,
как электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля массой покоя и могут
находиться в состоянии покоя.
Импульс фотона рф равен:
рф = ε0 /с = hν/с. (32.6)
Фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Выражения
(32.5) и (32.6) связывают корпускулярные характеристики фотона — массу, импульс и энергию — с
волновойхарактеристикой света – его частотой. Если фотоны обладают импульсом, то свет, должен
оказывать давление на поверхность.
Согласно квантовой теории, давление света на поверхность обусловлено тем, что каждый фотон
при соударении с поверхностью передает ей свой импульс.
Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на поверхность
тела потоком монохроматического излучения (частота ν), падающего перпендикулярно поверхности.
Если в единицу времени на единицу площади поверхности тела падает N фотонов, то при
коэффициенте отражения ρ света от поверхности тела ρN- фотонов отразится, а (1-ρ)N— поглотится.
Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс рф =hν/с, а каждый отраженный —
2рф =2hν/с (при отражении импульс фотона изменяется на рф). Давление света на поверхность равно
импульсу, который передают поверхности в 1с N фотонов:
Р=2
ρN +
(1- ρ ) N = (1+ ρ)
N, (32.7)
Оглавление
Специальные главы физики
65
N hν =Ее, есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, т. е.
энергетическая освещенность поверхности, а Ее/с= ω— объемная плотность энергии излучения.
Поэтому давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность,
Р = Ее/с (1+ ρ ) = ω (1+ ρ ). (32.8)
Давление света одинаково успешно объясняется и волновой, и квантовой теорией.
Экспериментальное доказательство существования светового давления на твердые тела и газы дано в
опытах П. Н. Лебедева. В частности оказалось, что давление света на зеркальную поверхность вдвое
больше, чем на зачерненную.
Спектральный анализ одноатомных газов.
Спектры испускания: 1 – натрия, 2 – водорода, 3 – гелия. Спектр линейчатый обусловлен
обусловлен процессами процессами возбуждения возбуждения электронов свободных атомов и
одноатомных одноатомных ионов. У двух различных различных элементов элементов не бывает
одной и той же последовательности последовательности длин волн.
Спектральные линии появляются появляются на выходе спектрального спектрального прибора
прибора на месте той длины волны, которая которая излучается излучается из источника источника.
Спектры поглощения: 4 – натрия, 5 – водорода, 6 – гелия. Это темные линии на фоне непрерывного
или линейчатого спектра спектра, характеризуют характеризуют химический химический состав
поглощающего поглощающего вещества вещества, т.к. оно поглощает поглощает те длины волн,
которые которые может излучить. Модель атома Резерфорда этот эксперимент не подтвержает.
Лекция 12. Квантовые постулаты Бора
Планетарная модель атома, предложенная Резерфордом, – это попытка применения классических
представлений о движении тел к явлениям атомных масштабов. Она оказалась несостоятельной.
Классический атом неустойчив. Электроны, движущиеся по орбите с ускорением, должны неизбежно
упасть на ядро, растратив всю энергию на излучение электромагнитных волн (рис. 6.2.1).
Оглавление
Специальные главы физики
66
Рисунок 1.
Неустойчивость классического атома
Следующий шаг в развитии представлений об устройстве атома в 1913 году сделал выдающийся
датский физик Н. Бор. Проанализировав всю совокупность опытных фактов, Бор пришел к выводу,
что при описании поведения атомных систем следует отказаться от многих представлений
классической физики. Он сформулировал постулаты, которым должна удовлетворять новая теория о
строении атомов.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) гласит: атомная система может
находится только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых
соответствует определенная энергия En. В стационарных состояниях атом не излучает.
Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой
энергия движущегося электрона может быть любой. Он находится в противоречии и с
электродинамикой, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения
электромагнитных
волн.
Согласно
первому
постулату
Бора,
атом
характеризуется
системой энергетических уровней, каждый из которых соответствует определенному стационарному
состоянию (рис. 6.2.2). Механическая энергия электрона, движущегося по замкнутой траектории
вокруг положительно заряженного ядра, отрицательна. Поэтому всем стационарным состояниям
соответствуют значения энергии En < 0. При En ≥ 0 электрон удаляется от ядра, т. е. происходит
ионизация.
Величина |E1| называется энергией
ионизации.
энергией E1 называется основным состоянием атома.
Оглавление
Специальные главы физики
Состояние
с
67
Рисунок 6.2.2.
Энергетические уровни атома и условное
изображение
процессов
поглощения
и
испускания фотонов
Второй постулат Бора (правило частот) формулируется следующим образом: при переходе
атома из одного стационарного состояния с энергией En в другое стационарное состояние с
энергией Emизлучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий
стационарных состояний:
hνnm = En – Em,
где h – постоянная Планка. Отсюда можно выразить частоту излучения:
Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла, так как частота
излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения
электрона.
Теория Бора при описании поведения атомных систем не отвергла полностью законы
классической физики. В ней сохранились представления об орбитальном движении электронов в
кулоновском поле ядра. Классическая ядерная модель атома Резерфорда в теории Бора была
дополнена
идеей
о
квантовании
электронных
орбит.
Поэтому
называют полуклассической.
Оглавление
Специальные главы физики
теорию
Бора
иногда
68
Модель. Постулаты Бора
Атом водорода. Линейчатые спектры
Простейший из атомов, атом водорода явился своеобразным тест-объектом для теории Бора. Ко
времени создания теории он был хорошо изучен экспериментально. Было известно, что он содержит
единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд
которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в
начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в видимой области излучения атома
водорода
(так
называемый линейчатый
спектр).
Впоследствии
закономерности,
которым
подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно
(И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра
была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в
ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 году И. Ридберг получил эмпирическую
формулу для частот спектральных линий:
Для
серии
Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, ... .
Для
ультрафиолетовой
серии
(серия
Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, ... . Постоянная R в этой формуле называется постоянной Ридберга. Ее
численное значениеR = 3,29·1015 Гц. До Бора механизм возникновения линейчатых спектров и смысл
Оглавление
Специальные главы физики
69
целых чисел, входящих в формулы спектральных линий водорода (и ряда других атомов), оставались
непонятными.
Постулаты Бора определили направление развития новой науки – квантовой физики атома. Но
они не содержали рецепта определения параметров стационарных состояний (орбит) и
соответствующих им значений энергии En.
Правило квантования, приводящее к согласующимся с опытом значениям энергий стационарных
состояний атома водорода, Бором было угадано. Он предположил, что момент импульса электрона,
вращающегося вокруг ядра, может принимать только дискретные значения, кратные постоянной
Планка. Для круговых орбит правило квантования Бора записывается в виде
Здесь me – масса электрона, υ – его скорость, rn – радиус стационарной круговой орбиты.
Правило квантования Бора позволяет вычислить радиусы стационарных орбит электрона в атоме
водорода и определить значения энергий. Скорость электрона, вращающегося по круговой орбите
некоторого радиуса r в кулоновском поле ядра, как следует из второго закона Ньютона, определяется
соотношением
где e – элементарный заряд, ε0 – электрическая постоянная. Скорость электрона υ и радиус
стационарной орбиты rn связаны правилом квантования Бора. Отсюда следует, что радиусы
стационарных круговых орбит определяются выражением
Самой близкой к ядру орбите соответствует значение n = 1. Радиус первой орбиты, который
называется боровским радиусом, равен
Радиусы последующих орбит возрастают пропорционально n2.
Полная механическая энергия E системы из атомного ядра и электрона, обращающегося по
стационарной круговой орбите радиусом rn, равна
Оглавление
Специальные главы физики
70
Следует отметить, что Ep < 0, так как между электроном и ядром действуют силы притяжения.
Подставляя в эту формулу выражения для υ2 и rn, получим:
Целое число n = 1, 2, 3, ... называется в квантовой физике атома главным квантовым числом.
Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона с одной стационарной орбиты с
энергией En на другую стационарную орбиту с энергией Em < En атом испускает квант света,
частота νnm которого равна ΔEnm / h:
Эта формула в точности совпадает с эмпирической формулой Ридберга для спектральных серий
атома водорода, если положить постоянную R равной
Подстановка числовых значений me, e, ε0 и h в эту формулу дает результат
R = 3,29·101
5
Гц,
который очень хорошо согласуется с эмпирическим значением R. Рис. 6.3.1 иллюстрирует
образование спектральных серий в излучении атома водорода при переходе электрона с высоких
стационарных орбит на более низкие.
Оглавление
Специальные главы физики
71
Рисунок 1.
Стационарные
орбиты
атома
водорода
и
образование спектральных серий
На рис. 2. изображена диаграмма энергетических уровней атома водорода и указаны переходы,
соответствующие различным спектральным сериям.
Рисунок 2.
Диаграмма энергетических уровней
Оглавление
Специальные главы физики
72
атома
водорода.
Показаны
соответствующие
переходы,
различным
спектральным сериям. Для первых пяти
линий серии Бальмера в видимой части
спектра указаны длины волн
Прекрасное согласие боровской теории атома водорода с экспериментом служило веским
аргументом в пользу ее справедливости. Однако попытки применить эту теорию к более сложным
атомам не увенчались успехом. Бор не смог дать физическую интерпретацию правилу квантования.
Это было сделано десятилетием позже де Бройлем на основе представлений о волновых свойствах
частиц. Де Бройль предложил, что каждая орбита в атоме водорода соответствует волне,
распространяющейся по окружности около ядра атома. Стационарная орбита возникает в том случае,
когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами,
стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 6.3.3).
Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными
концами.
Рисунок 3.
Иллюстрация
возникновения
идеи
стоячих
де Бройля
волн
на
стационарной орбите для случая n = 4
В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться по
идее де Бройля целое число длин волн λ, т. е.
nλn =
Оглавление
Специальные главы физики
73
2πrn.
Подставляя в это соотношение длину волны де Бройля λ = h / p, где p = meυ – импульс электрона,
получим:
Таким образом, боровское правило квантования связано с волновыми свойствами электронов.
Успехи теории Бора в объяснении спектральных закономерностей в изучении атома водорода
были поразительны. Стало ясно, что атомы – это квантовые системы, а энергетические уровни
стационарных состояний атомов дискретны. Почти одновременно с созданием теории Бора было
получено прямое экспериментальное доказательство существования стационарных состояний атома
и квантования энергии. Дискретность энергетических состояний атома была продемонстрирована
в 1913 г., в опыте Д. Франка и Г. Герца, в котором исследовалось столкновение электронов с атомами
ртути. Оказалось, что если энергия электронов меньше 4,9 эВ, то их столкновение с атомами ртути
происходит по закону абсолютно упругого удара. Если же энергия электронов равна 4,9 эВ, то
столкновение с атомами ртути приобретает характер неупругого удара, т. е. в результате
столкновения с неподвижными атомами ртути электроны полностью теряют свою кинетическую
энергию. Это означает, то атомы ртути поглощают энергию электрона и переходят из основного
состояния в первое возбужденное состояние,
E2 – E1 = 4,9 эВ.
Согласно боровской концепции, при обратном самопроизвольном переходе атома ртуть должна
испускать кванты с частотой
Спектральная линия с такой частотой действительно была обнаружена в ультрафиолетовой части
спектра излучения атомов ртути.
Представление о дискретных состояниях противоречит классической физике. Поэтому возник
вопрос, не опровергает ли квантовая теория ее законы.
Квантовая физика не отменила фундаментальных классических законов сохранения энергии,
импульса, электрического разряда и т. д. Согласно сформулированному Н. Бором принципу
соответствия, квантовая физика включает в себя законы классической физики, и при определенных
условиях можно обнаружить плавный переход от квантовых представлений к классическим. Это
можно видеть на примере энергетического спектра атома водорода (рис. 2). При больших квантовых
Оглавление
Специальные главы физики
74
числах n >> 1 дискретные уровни постепенно сближаются, и возникает плавный переход в область
непрерывного спектра, вытекающего из классической физики.
Половинчатая, полуклассическая теория Бора явилась важным этапом в развитии квантовых
представлений, введение которых в физику требовало кардинальной перестройки механики и
электродинамики. Такая перестройка была осуществлена в 20-е – 30-е годы XX века.
Представление Бора об определенных орбитах, по которым движутся электроны в атоме,
оказалось весьма условным. На самом деле движение электрона в атоме очень мало похоже на
движение планет или спутников. Физический смысл имеет только вероятность обнаружить электрон
в том или ином месте, описываемая квадратом модуля волновой функции |Ψ|2. Волновая
функция Ψ является решением основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера.
Оказалось, что состояние электрона в атоме характеризуется целым набором квантовых чисел.
Главное квантовое число n определяет квантование энергии атома. Для квантования момента
импульса вводится так называемое орбитальное квантовое число l. Проекция момента импульса на
любое выделенное в пространстве направление (например, направление вектора
магнитного поля)
также принимает дискретный ряд значений. Для квантования проекции момента импульса
вводится магнитное квантовое число m. Квантовые числа n, l,m связаны определенными правилами
квантования. Например, орбитальное квантовое число l может принимать целочисленные значения
от 0 до (n – 1). Магнитное квантовое число m может принимать любые целочисленные значения в
интервале ±l. Таким образом, каждому значению главного квантового числа n, определяющему
энергетическое состояние атома, соответствует целый ряд комбинаций квантовых чисел l и m.
Каждой такой комбинации соответствует определенное распределение вероятности |Ψ|2 обнаружения
электрона в различных точках пространства («электронное облако»).
Состояния,
в
которых
орбитальное
квантовое
число l = 0,
описываются
сферически
симметричными распределениями вероятности. Они называются s-состояниями (1s, 2s, ..., ns, ...). При
значениях l > 0сферическая
симметрия
электронного
облака
нарушается.
Состояния
с l = 1 называются p-состояниями, с l = 2 – d-состояниями и т. д.
На рис. 4 изображены кривые распределения вероятности ρ (r) = 4πr2|Ψ|2 обнаружения электрона
в атоме водорода на различных расстояниях от ядра в состояниях 1s и 2s.
Оглавление
Специальные главы физики
75
Рисунок 4.
Распределение вероятности обнаружения электрона в атоме
водорода в состояниях 1s и 2s. r1 = 5,29·10–11 м – радиус первой
боровской орбиты
Как видно из рис. 4, электрон в состоянии 1s (основное состояние атома водорода) может быть
обнаружен на различных расстояниях от ядра. С наибольшей вероятностью его можно обнаружить на
расстоянии, равном радиусу r1 первой боровской орбиты. Вероятность обнаружения электрона в
состоянии 2s максимальна на расстоянии r = 4r1 от ядра. В обоих случаях атом водорода можно
представить в виде сферически симметричного электронного облака, в центре которого находится
ядро.
Оглавление
Специальные главы физики
76
Модель. Квантование электронных орбит
Модель. Атом водорода
Оглавление
Специальные главы физики
77
Модель. Частица в потенциальной яме
Лекция 13. Фотоэффект
Фотоэффе́кт или фотоэлектрический
эффект —
испускание электронов веществом
под
действием света или любого другого электромагнитного излучения. В конденсированных (твёрдых и
жидких) веществах выделяют внешний и внутренний фотоэффект.
Законы Столетова для фотоэффекта:
Формулировка 1-го закона фотоэффекта: Сила фототока прямо пропорциональна плотности
светового потока.
Согласно 2-му закону фотоэффекта, максимальная кинетическая энергия вырываемых светом
электронов линейно возрастает с частотой света и не зависит от его интенсивности.
3-й закон фотоэффекта: для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта,
то есть минимальная частота света
возможен фотоэффект, и если
(или максимальная длина волны λ0), при которой ещё
, то фотоэффект уже не происходит.
Теоретическое объяснение этих законов было дано в 1905 году Эйнштейном. Согласно ему,
электромагнитное
излучение
энергией hν каждый,
представляет
где h — постоянная
собой
поток
Планка.
При
отдельных
квантов
фотоэффекте
часть
(фотонов)
с
падающего
электромагнитного излучения от поверхности металла отражается, а часть проникает внутрь
поверхностного слоя металла и там поглощается. Поглотив фотон, электрон получает от него
Оглавление
Специальные главы физики
78
энергию и, совершая работу выхода A, покидает металл:
где
— максимальная
кинетическая энергия, которую имеет электрон при вылете из металла.
История открытия
В 1873 году Уиллоуби Смит обнаружил, что селен является фотопроводящим. Затем эффект
изучался в 1887 году Генрихом Герцем. При работе с открытым резонатором он заметил, что если
посветитьультрафиолетом на цинковые разрядники, то прохождение искры заметно облегчается.
Исследования
фотоэффекта
показали,
что,
классической электродинамике, энергия вылетающего электрона всегда
вопреки
строго
связана
с частотой падающего излучения и практически не зависит от интенсивности облучения.
В 1888—1890 годах фотоэффект систематически изучал русский физик Александр Столетов. Им
были сделаны несколько важных открытий в этой области, в том числе выведен первый закон
внешнего фотоэффекта.
Схема эксперимента по исследованию фотоэффекта. Из света берётся узкий диапазон частот и
направляется на катодвнутри вакуумного прибора. Напряжением между катодом и анодом
устанавливается энергетический порог между ними. По току судят о достижении электронами анода.
Из закона сохранения энергии, при представлении света в виде частиц (фотонов), следует
формула Эйнштейна для фотоэффекта:
где A — т. н. работа выхода (минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из
вещества),
падающего
—
фотона
максимальная кинетическая
с
энергией
энергиявылетающего
, h — постоянная Планка. Из
Оглавление
Специальные главы физики
электрона,
этой
—
частота
формулы
следует
79
существование красной границы фотоэффекта, то есть существование наименьшей частоты (
), ниже которой энергии фотона уже недостаточно для того, чтобы «выбить» электрон
из металла. Суть формулы заключается в том, что энергия фотона расходуется на ионизацию атома
вещества и на работу, необходимую для «вырывания» электрона, а остаток переходит в
кинетическую энергию электрона.
Исследования фотоэффекта были одними из самых первых квантовомеханических исследований.
Внешний фотоэффект
Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется испускание электронов
веществом под действием электромагнитных излучений. Электроны, вылетающие из вещества при
внешнем фотоэффекте, называются фотоэлектронами, а электрический ток, образуемый ими при
упорядоченном движении во внешнем электрическом поле, называется фототоком.
Фотокатод — электрод вакуумного электронного прибора, непосредственно подвергающийся
воздействию электромагнитных излучений и эмитирующий электроны под действием этого
излучения.
Зависимость спектральной чувствительности от частоты или длины волны электромагнитного
излучения называют спектральной характеристикой фотокатода.
Законы внешнего фотоэффектаЗакон Столетова: при неизменном спектральном составе
электромагнитных излучений, падающих на фотокатод, фототок насыщения пропорционален
энергетической освещённости катода (иначе: число фотоэлектронов, выбиваемых из катода за 1 с,
прямо
пропорционально
интенсивности
излучения):
и
1.
Максимальная начальная скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности
падающего света, а определяется только его частотой.
Оглавление
Специальные главы физики
80
Для
2.
каждого
минимальная частота света
вещества
существует красная
граница фотоэффекта,
то
есть
(зависящая от химической природы вещества и состояния
поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.
Теория Фаулера
Основные закономерности внешнего фотоэффекта для металлов хорошо описываются теорией
Фаулера[2]. Согласно ей, после поглощения в металле фотона его энергия переходит электронам
проводимости, в результате чего электронный газ в металле состоит из смеси газов с
нормальным распределением Ферми — Дирака и возбуждённым (сдвинутым на
) распределением
по энергиям. Плотность фототока определяется формулой Фаулера:
где
,
,
— постоянные коэффициенты, зависящие от свойств облучаемого металла.
Формула справедлива при энергиях возбуждения фотоэмиссии, не превышающих значения работы
выхода металла более чем на несколько электронвольт. Теория Фаулера верна только в случае
падения света по нормали к поверхности.
Квантовый выход
Важной количественной характеристикой фотоэффекта является квантовый выход Y — число
эмитированных электронов в расчёте на один фотон, падающий на поверхность тела. Величина Y
определяется свойствами вещества, состоянием его поверхности и энергией фотонов.
Квантовый выход фотоэффекта из металлов в видимой и ближней УФ-областях Y < 0,001
электрон/фотон. Это связано, прежде всего, с малой глубиной выхода фотоэлектронов, которая
значительно меньше глубины поглощения света в металле. Большинство фотоэлектронов рассеивает
свою энергию до подхода к поверхности и теряет возможность выйти в вакуум. При энергии фотонов
вблизи порога фотоэффекта большинство фотоэлектронов возбуждается ниже уровня вакуума и не
даёт вклада в фотоэмиссионный ток. Кроме того, коэффициент отражения в видимой и ближней УФобластях велик и лишь малая часть излучения поглощается в металле. Эти ограничения частично
снимаются в дальней УФ-области спектра, где Y достигает величины 0,01 электрон/фотон при
энергии фотонов E > 10 эВ.
Внутренний фотоэффект
Оглавление
Специальные главы физики
81
Внутренним фотоэффектом называется перераспределение электронов по энергетическим
состояниям в твёрдых и жидких полупроводниках и диэлектриках, происходящее под действием
излучений. Он проявляется в изменении концентрации носителей зарядов в среде и приводит к
возникновению фотопроводимости или вентильного фотоэффекта.
Фотопроводимостью называется
увеличение
электрической
проводимости
вещества
под
действием излучения.
Вентильный фотоэффект
Вентильный фотоэффект или фотоэффект в запирающем слое — явление, при котором
фотоэлектроны покидают пределы тела, переходя через поверхность раздела в другое твёрдое тело
(полупроводник) или жидкость (электролит).
Сенсибилизированный фотоэффект
Сенсибилизированным фотоэффектом называется фотоэффект, сопровождающийся явлением
сенсибилизации, то есть изменением величины и спектра фоточувствительности в широкозонных
фотопроводниках органической и неорганической природы в зависимости от структуры
молекулярных соединений[4].
Фотопьезоэлектрический эффект
Фотопьезоэлектрическим эффектом называется явление появления в полупроводнике фото
электродвижущей силы в условиях внешнего неравномерного сжатия полупроводника.
Фотомагнитный эффект
Фотомагнитным эффектом называется возникновение электродвижущей силы в освещенном
однородном полупроводнике в магнитном поле.
Ядерный фотоэффект
При
поглощении гамма-кванта ядро получает
избыток
энергии
без
изменения
своего нуклонного состава, а ядро с избытком энергии является составным ядром. Как и
другие ядерные реакции, поглощение ядром гамма-кванта возможно только при выполнении
необходимых
энергетических
и спиновых соотношений.
Если
переданная
ядру
энергия
превосходит энергию связи нуклона в ядре, то распад образовавшегося составного ядра происходит
чаще всего с испусканием нуклонов, в основном нейтронов. Такой распад ведёт к ядерным
Оглавление
Специальные главы физики
82
реакциям
и
, которые и называютсяфотоядерными, а явление испускания нуклонов
(нейтронов и протонов) в этих реакциях — ядерным фотоэффектом.
Многофотонный фотоэффект
В сильном электромагнитном поле с атомом в элементарном акте фотоэффекта могут
взаимодействовать несколько фотонов. В этом случае ионизация атома возможна с помощью
излучения с энергией квантов
. Зарегистрирована шести- и семи- фотонная ионизация
инертных газов.
Лекция 14. Основы квантовой механики.
Шрёдингеровское описание.
Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих
положениях:
Чистые состояния системы
описываются
комплексного сепарабельного гильбертова
пространства
ненулевыми векторами
,
причем
векторы
описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда
и
, где
—
произвольное комплексное число.
Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор.
При измерении наблюдаемой
, при чистом состоянии системы
в среднем получается значение,
равное
где через
обозначается скалярное произведение векторов
и
.
Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера
где
— гамильтониан.
Основные следствия этих положений:
Оглавление
Специальные главы физики
83
При
измерении
любой
квантовой
наблюдаемой,
возможно
получение
только
ряда
фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда
и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны.
Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого
спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях.
Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае
состояние
системы
является смешанным и
описывается матрицей
плотности,
для
которой
справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых
систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и
диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.
Стационарное уравнение Шрёдингера.
Пусть
амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение
Шрёдингера
Функция
где
от
позволяет
ее
определить.
удовлетворяет уравнению:
—оператор Лапласа, а
— потенциальная энергия частицы как функция
.
Решение этого уравнения и есть основная задача квантовой механики. Примечательно то, что
точное решение стационарного уравнения Шрёдингера может быть получено только для нескольких,
сравнительно простых, систем. Среди таких систем можно выделить квантовый гармонический
осциллятор и атом водорода. Для большинства реальных систем для получения решений могут быть
использованы различные приближенные методы, такие как теория возмущений.
Решение стационарного уравнения. Принцип неопределённости Гейзенберга.
Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми,
определяемыми некоммутирующими операторами.
Неопределенность между координатой и импульсом.
Пусть
оси
, и
— среднеквадратическое отклонение координаты частицы
, движущейся вдоль
— среднеквадратическое отклонение ее импульса. Величины
следующим неравенством:
Оглавление
Специальные главы физики
и
связаны
84
где
— постоянная Планка, а
Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить
одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты,
максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых
такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными.
Неопределенность между энергией и временем.
Пусть ΔЕ — среднеквадратическое отклонение энергии частицы, и Δt — время, требуемое для
обнаружения
частицы.
Время Δt для обнаружения частицы с энергией E±ΔЕ определяется следующим неравенством:
Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел
Представления Шредингера и Гейзенберга. Рассмотрим матричный элемент:
Очевидно, что если оператор
Это
уравнение
Гейзенберга,
не зависит от
, то
Гейзенберга.
-
оператор
в
представлении
- волновая функция в представлении Гейзенберга.
Таким образом, в представлении Шредингера волновая функция подчиняется временному
уравнению Шредингера и зависит от времени
, а операторы от
не зависят. В представлении же
Гейзенберга операторы подчиняются уравнению Гейзенберга, а волновые функции не зависят от
времени, т.е. зависимость от времени переносится с волновой функции на операторы.
Представление
взаимодействия.
Имеется
представление,
которое
оказывается
промежуточным между представлениями Шредингера и Гейзенберга.
Считая, что
, где
не зависит от
, решение уравнения (8) ищем в виде
Оглавление
Специальные главы физики
85
Оператор
будем называть свободным оператором Гамильтона, а
- гамильтонианом
взаимодействия в представлении Шредингера. Подстановка (17) в уравнение Шредингера даёт:
.
Умножая полученное равенство на
слева, найдём:
,
где
- (19)
оператор взаимодействия в представлении взаимодействия, который в представлении
взаимодействия играет роль оператора Гамильтона.
В рассматриваемом представлении от времени зависят как операторы, так и волновые функции.
Зависимость волновой функции от времени в этом представлении определяется уравнением
Шредингера, в котором оператором Гамильтона является оператор (19) (см. первое из уравнений
(18)). Отметим, что при
оператор
(19) подчиняется уравнению
,
которое совпадает с уравнением Гейзенберга (см. (16)), если в последнем заменить полный
оператор Гамильтона на оператор
.
Как будет показано в дальнейшем, представление взаимодействия, называемое также
представлением Дирака, особенно удобно при решении волнового уравнения по теории возмущений.
При изучении вольт-амперных характеристик разнообразных материалов (важна чистота
поверхности, поэтому измерения проводятся в вакууме и на свежих поверхностях) при различных
частотах падающего на катод излучения и различных энергетических освещенностях катода и
обобщения полученных данных были установлены следующие три закона внешнего фотоэффекта.
Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых
из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения
пропорциональна энергетической освещенности ее катода).
Оглавление
Специальные главы физики
86
Лекция 15. Квантовая информатика.
1. Квантовая ЭВМ
Два типа вентилей:
2) контролируемый одним (контролирующим) кубитом поворот другого (контролируемого)
кубита. Повороты кубита выполняются под воздействием внешнего резонансного поля. Квантовая
совершается согласно уравнению Шредингера
где
— энергия взаимодействия дипольного момента
кубита и внешнего резонансного
электрического поля (например, лазера).
Уравнение дает результат:
Пусть в начальный момент кубит находится в состоянии |0> (т. е. a(0)=1, b(0)=0). Тогда
Оглавление
Специальные главы физики
87
а вероятность найти кубит в момент t в состояниях |0> и |1> равны
2. Квантовая ЭВМ (продолжение)
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ - волны, связанные с любой движущейся микрочастицей, отражающие
квантовую природу микрочастиц. Если частица имеет энергию
равно р, то с ней связана волна частоты
и длины
постоянная Планка. Для частиц не очень высокой энергии
и импульс, абс. значение к-рого
, где
, где
6*10-27 эрг*с - масса и
скорость частицы. Следовательно, длина В. де Б. тем меньше, чем больше масса частицы и её
скорость. Напр., частице с массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует В. де Б. с
10-18
, что лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому волновые свойства
несущественны в механике макроскопич. тел. Для электронов с энергиями от 1 эВ до 10 000 эВ
длины В. де Б. лежат в пределах от 10
до 0,1
, т. е. в интервале длин волн рентг. излучения.
Поэтому волновые свойства электронов должны проявиться, напр., при их рассеянии на тех же
кристаллах, на к-рых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.
Первое эксперим. подтверждение гипотезы де Бройля получено в 1927 в опытах К. Дэвиссона (С.
Davisson) и Л. Джермера (L. Germer). Пучок электронов ускорялся в электрич. поле с разностью
потенциалов 100-150 В (энергия таких электронов 100-150 эВ, что соответствует
) и падал
на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракц. решётки. Было установлено, что
электроны дифрагируют на кристалле, причём именно так, как должно быть для волн, длина к-рых
определяется соотношением де Бройля. Волновые свойства электронов, нейтронов и др. частиц, а
также атомов и молекул не только надёжно доказаны прямыми опытами, но и широко используются
в установках с высокой разрешающей способностью, так что можно говорить об инженерном
использовании В. де Б.
Оглавление
Специальные главы физики
88
Волновая ф-ция свободно движущейся частицы с точно заданным импульсом и является В. де Б.;
в частном случае движения вдоль оси х она имеет вид плоской волны:
(где t - время,
). В этом случае
=const, т. е. вероятность обнаружить частицу во
всех точках одинакова.
3. Квантовая ЭВМ (продолжение)
Опыт Штерна-Герлаха
Опыт, экспериментально подтвердивший, что атомы обладают магнитным моментом,
проекция которого на направление внешнего магнитного поля принимает лишь определённые
значения, осуществлен в 1922 О. Штерном и немецким физиком В. Герлахом (W. Gerlach), которые
исследовали прохождение пучка атомов Ag (а затем и др. элементов) в сильно неоднородном
магнитном поле (см. рис.) с целью проверки теоретически полученной формулы пространств.
квантования проекции μz на направление Z магнитного момента атома μo: μz=μom (т = 0±1,...).
На
атом,
обладающий
магнитным
моментом
и
движущийся
в
неоднородном
вдоль Z магнитном поле Н, действует сила F= μz дН/дZ, которая отклоняет его от первоначального
направления движения. Если проекция магнитного момента атома могла бы изменяться непрерывно,
то на пластинке П наблюдалась бы размытая широкая полоса. Однако в Ш.— Г. о. было обнаружено
расщепление пучка атомов на 2 компоненты, симметрично смещенные относительно первичного
направления распространения на величину Δ — на пластинке появлялись две узкие полосы. Это
указывало на то, что проекция магнитного момента атома μz на направление поля Н принимает
Оглавление
Специальные главы физики
89
только два отличающиеся знаком значения ±μo, т. е. μo ориентируется вдоль Н и в противоположном
направлении. Величина магнитного момента атома μо, измеренная в опыте по смещению Δ, оказалась
равной Бора магнетону.
Схема опыта Штерна-Герлаха: И — источник атомов; К — щели, формирующие узкий
пучок; N, S — полюса магнита, создающего постоянное неоднородное поле; П — пластинка, на
которую оседают атомы; ∆ — величина отклонения пучка от первоначального направления. Опыт
производится в вакууме.
Лекция 16. Квантовая ЭВМ (продолжение)
Итак,
кубит
с частотой
а в промежуточные моменты
(частота
времени
Раби)
переходит
из состояния
|0> в состояние
находится в состоянии, описываемом
|1>,
суперпозицией
его воздействия, можно получить
кубит в состоянии, описываемом любой суперпозицией.
Оглавление
Специальные главы физики
90
Рис. 1. Зависимость состояния кубита от длительности и фазы внешнего воздействия.
Переворот спина квантово-механической двухуровневой частицы может произойти под
влиянием внешнего ВЧ резонансного поля или поля лазера.
Рис. 2. Управляемая квантовая эволюция двухуровневой системы под влиянием внешнего
резонансного поля — метод реализации квантовых вычислительных процессов.
Состояние квантовой частицы «квантового бита» (КУБИТА) может быть выражено через
суперпозицию базисных состояний (суперпозицию |0> и |1>) Квантовые состояния объединяются при
помощи умножения тензоров.
Результирующее
пространство
состояний
из n квантовых
частиц
обладает
при
этом
размерностью 2n
Квантовая ЭВМ (продолжение)
Т.к. N = 2n - экспоненциальное увеличение пространства состояний требует всего лишь
линейного увеличения физического пространства (т. е. увеличения n частиц ).
След. если один кубит может быть одновременно в двух суперпозиционных состояниях — 0 и 1,
то два кубита могут быть уже в четырёх суперпозиционных состояниях — 00, 01, 10, и 11,
Итак, квантовый
компьютер
состоит из квантовых
частиц-кубитов,
которые можно
рассматривать. как единичные вектора в двухмерном комплексном векторном пространстве,
с ортогональным зафиксированным базисом |0> и |1>.
Классические двоичные системы можно построить из единственного элемента НЕ-И,
Оглавление
Специальные главы физики
91
Одновходовой элемент НЕ в современных микропроцессорах строится на двух полевых
транзисторах (рис. 1). Передаточная характеристика элемента (рис. 2) соответствует булевой
функции НЕ: когда на входном электроде низкое напряжение (лог. |0>), на выходном электроде
высокое
напряжение
(лог. |1>),
и
наоборот.
Рис. 1. Принципиальная схема логического элемента НЕ на полевых транзисторах. Напряжение
питания VDD приложено к последовательно соединенным р-канальному (открыт, когда Vi< 0) и nканальному (открыт, когда Vi> 0) транзисторам. Рис. 2. Нелинейная зависимость выходного
напряжения V0 рот входного Vi описывает логическую операцию НЕ, если низкое напряжение
считать логическим |0>, и наоборот
Лекция 17. Квантовая ЭВМ (продолжение)
Простейшим случаем двухуровневой квантовой системы является спин ядра атома или
электрона / = 1/2 в постоянном внешнем поле B0: два уровня энергии и состояния соответствуют
проекциям спина на направление B0
Оглавление
Специальные главы физики
92
Рис. 3. Состояния спина Iz = ±1/2 - и его уровни энергии E0,1
iB0/2
во внешнем поле B0 представляют логические состояния кубита |0> и |1>
Два оптических уровня энергии и состояния электрона в ионе также могут быть выбраны в качестве
двух состояний кубита (рис. 4).
4.
Рис. 4. Состояния иона Са+, соответствующие уровням энергии 2S1/2 (основной)
и 2D5/2 (метастабильный) выбраны за логические |0> и |1>. Числа у стрелок показывают длину волны
лазера, вызывающего переход, и время жизни иона на соответствующем уровне
Состояния
могут различаться поляризацией (фотона) или фазой (сверхпроводника).
Квантовая система может быть макроскопической (сверхпроводники, сверхтекучие жидкости, бозегаз), отдельной атомной частицей, или колебательной модой. Все эти системы могут быть
использованы в качестве кубита.
Чтобы построить квантовый компьютер, необходимо уметь осуществлять:
1) любые суперпозиции состояний |0> и |1> любого кубита,
Оглавление
Специальные главы физики
93
2) контролируемый одним ("контролирующим") кубитом преобразование НЕ другого
("контролируемого") кубита.
Контролируемое преобразование можно осуществить только при наличии физического
взаимодействия между контролирующим и контролируемым кубитами.
Вычислительный процесс носит характер интерференции, так как амплитуды базисных
состояний являются комплексными числами. Квантовый компьютер можно рассматривать как
интерференционное устройство.
Рис. 5. Квантовый компьютер состоит из n кубитов и позволяет проводить одно- и
двухкубитовые операции над любым из них (или любой парой). Эти операции выполняются под
воздействием импульсов внешнего поля, управляемого классическим компьютером
Оглавление
Специальные главы физики
94
Предложено использовать в качестве кубитов спины / = 1/2 ядер атомов фосфора 31Р в
монокристаллическом кремнии (рис. 6). Частотой магнитного резонанса на ядрах 31Р в кремнии
можно управлять, подавая на наноэлектрод над атомом электрическое напряжение V: оно поляризует
электронную оболочку атома и изменяет константу А так называемого сверхтонкого взаимодействия
электронного S и ядерного / спинов атома: Hi = A(V) • S. Затвор полевого транзистора управляет
движением электронов проводимости от истока к стоку. В случае кубита напряжения на затворе
управляют движением электрона внутри атома, поляризуют атом и изменяют резонансную частоту
кубита, связанного со спином его ядра.
Рис. 6. Разрез структуры кремниевого квантового чина. Под наноэлектродами А в безспиновом
кремнии находятся одиночные неионизованные атомы 31Р. Ядерные спины I1, I2 выступают в
качестве кубитов. Напряжения на электродах А управляют частотой магнитного резонанса ядерных
спинов; с помощью напряжения на электроде J "включается" взаимодействие спинов, необходимое
для выполнения операции Контролируемое НЕ
Механизм работы инжектора и детектора. а – слои Co84Fe16 и Ni80Fe20 намагничены
параллельно, b – антипараллельно (emmiter – источник тока, F – первый и второй ферромагнитные
слои соответственно, silicon – кремниевая прослойка, collector – приемник спинового тока).
В случае параллельного направления намагниченностей в слоях Co84Fe16 и Ni80Fe20 (рис. 3а)
ток выше, чем при антипараллельном направлении намагниченностей (рис. 3b).
Оглавление
Специальные главы физики
95
Первый режим: футбольный матч без вратаря. Второй режим: игра с очень хорошим вратарем,
отражающим все летящие в ворота мячи.
Для криптосистем с ключом одноразового пользования применяют квантовые: они позволяют
обнаружить наличие подслушивания при передаче ключа на основе принципа неопределенности
Гейзенберга: измерение изменяет состояние измеряемой квантовой системы. Если ключ передается
по световолокну с помощью фотонов, и информация закодирована в поляризации фотонов,
подслушивание заключается в перехвате и измерении поляризации пересылаемых фотонов; после
измерения они пересылаются адресату. При наличии подслушивания адресат обнаружит, что 25%
фотонов приходят к нему с "неправильной" поляризацией. Если этих ошибок нет, то передача ключа
не подслушивается, и им можно пользоваться. Эксперименты по передаче ключа выполнены на
расстояния до 40 км.
Лекция 19. Квантовая криптография
Квантовая криптография — метод защиты коммуникаций, основанный на принципах квантовой
физики. В отличие от традиционной криптографии, которая использует математические методы,
чтобы обеспечить секретность информации, квантовая криптография сосредоточена на физике,
рассматривая случаи, когда информация переносится с помощью объектов квантовой механики.
Процесс отправки и приёма информации всегда выполняется физическими средствами,
например, при помощи электронов в электрическом токе, или фотонов в линиях волоконнооптической связи. Подслушивание может рассматриваться как измерение определённых параметров
физических объектов — в данном случае, переносчиков информации. Технология квантовой
криптографии опирается на принципиальную неопределённость поведения квантовой системы,
выраженную в принципе неопределённости Гейзенберга — невозможно одновременно получить
координаты и импульс частицы, невозможно измерить один параметр фотона, не исказив другой.
Используя квантовые явления можно спроектировать и создать такую систему связи, которая всегда
может
обнаруживать
подслушивание.
Это
обеспечивается
тем,
что
попытка
измерения
взаимосвязанных параметров в квантовой системе вносит в неё нарушения, разрушая исходные
сигналы, а значит, по уровню шума в канале легитимные пользователи могут распознать степень
активности перехватчика.
История возникновения. Впервые идея защиты информации с помощью квантовых объектов
была предложена Стивеном Визнером в 1970 году. Спустя десятилетие Чарльз Беннет (IBM) и Жиль
Брассар (Монреальский университет), знакомые с работой Визнера, предложили передавать
Оглавление
Специальные главы физики
96
секретный ключ с использованием квантовых объектов. В 1984 году они предположили возможность
создания фундаментально защищённого канала с помощью квантовых состояний. После этого ими
была предложена схема (BB84), в которой легальные пользователи (Алиса и Боб) обмениваются
сообщениями, представленными в виде поляризованных фотонов, по квантовому каналу.
Злоумышленник (Ева), пытающийся исследовать передаваемые данные, не может произвести
измерение фотонов без искажения текста сообщения. Легальные пользователи по открытому каналу
сравнивают и обсуждают сигналы, передаваемые по квантовому каналу, тем самым проверяя их на
возможность перехвата. Если ими не будет выявлено никаких ошибок, то переданную информацию
можно считать случайно распределённой, случайной и секретной, несмотря на все технические
возможности, которые может использовать криптоаналитик.
Первое устройство квантовой криптографии.
Первая квантово-криптографическая схема. Система состоит из квантового канала и
специального оборудования на обоих концах схемы.
Первая работающая квантово-криптографическая схема была построена в 1989 году в
Исследовательском центре компании IBM Беннетом и Брассаром. Данная схема представляла собой
квантовый канал, на одном конце которого был передающий аппарат Алисы, на другом
принимающий аппарат Боба. Оба аппарата размещены на оптической скамье длиной около 1 м, в
светонепроницаемом кожухе размерами 1,5 × 0,5 × 0,5 м. Управление происходило с помощью
компьютера, в который были загружены программные представления легальных пользователей и
злоумышленника. Сохранность тайны передаваемых данных напрямую зависит от интенсивности
вспышек света, используемых для передачи. Слабые вспышки, хоть и делают трудным перехват
сообщений, все же приводят к росту числа ошибок у легального пользователя, при измерении
правильной поляризации. Повышение интенсивности вспышек значительно упрощает перехват
путем расщепления начального одиночного фотона (или пучка света) на два: первого по-прежнему
направленному легальному пользователю, а второго анализируемого злоумышленником. Легальные
пользователи могут исправлять ошибки с помощью специальных кодов, обсуждая по открытому
каналу результаты кодирования. Но всё-таки при этом часть информации попадает к
Оглавление
Специальные главы физики
97
криптоаналитику. Тем не менее, легальные пользователи Алиса и Боб, изучая количество
выявленных и исправленных ошибок, а также интенсивность вспышек света, могут дать оценку
количеству информации, попавшей к злоумышленнику.
Простейший алгоритм генерации секретного ключа (BB84). Схема ВВ84 работает
следующим образом. Вначале отправитель (Алиса) производит генерацию фотонов со случайной
поляризацией, выбранной из 0, 45, 90 и 135°. Получатель (Боб) принимает эти фотоны, затем для
каждого выбирает случайным образом способ измерения поляризации, диагональный или
перпендикулярный. Затем по открытому каналу сообщает о том, какой способ он выбрал для каждого
фотона, не раскрывая при этом самих результатов измерения. После этого Алиса по тому же
открытому каналу сообщает, правильный ли был выбран вид измерений для каждого фотона. Далее
Алиса и Боб отбрасывают те случаи, когда измерения Боба были неверны. Если не было перехвата
квантового канала, то секретной информацией или ключом и будут оставшиеся виды поляризации.
На выходе будет последовательность битов: фотоны с горизонтальной или 45°-й поляризацией
принимаются за двоичный «0», а с вертикальной или 135°-й поляризацией — за двоичную «1». Этот
этап работы квантово-криптографической системы называется первичной квантовой передачей.
Алиса посылает фотоны, имеющие одну из четырёх возможных поляризаций, которую она
выбирает случайным образом.
Для каждого фотона Боб выбирает случайным образом тип измерения: он изменяет либо
прямолинейную поляризацию (+), либо диагональную (х).
Боб записывает результаты изменения и сохраняет в тайне.
Боб открыто объявляет, какого типа измерения он проводил, а Алиса сообщает ему, какие
измерения были правильными.
Алиса и Боб сохраняют все данные, полученные в тех случаях, когда Боб применял правильное
измерение. Эти данные затем переводятся в биты (0 и 1), последовательность которых и является
результатом первичной квантовой передачи.
Следующим этапом очень важно оценить попытки перехватить информацию в квантовокриптографическом канале связи. Это производится по открытому каналу Алисой и Бобом путем
Оглавление
Специальные главы физики
98
сравнения и отбрасывания подмножеств полученных данных случайно ими выбранных. Если после
такого сравнения будет выявлен перехват, то Алиса и Боб должны будут отбросить все свои данные
и начать повторное выполнение первичной квантовой передачи. В противном случае они оставляют
прежнюю поляризацию. Согласно принципу неопределённости, криптоаналитик (Ева) не может
измерить как диагональную, так и прямоугольную поляризацию одного и того же фотона. Даже если
им будет произведено измерение для какого-либо фотона и затем этот же фотон будет переслан Бобу,
то в итоге количество ошибок намного увеличится, и это станет заметно Алисе. Это приведет к тому,
что Алиса и Боб будут полностью уверены в состоявшемся перехвате фотонов. Если расхождений
нет, то биты, использованные для сравнения, отбрасываются, ключ принимается. С вероятностью
1 — 2-k (где k — число сравненных битов) канал не прослушивался.
Если недоброжелатель может не только прослушивать основной канал «Алиса → Боб», но и
может фальсифицировать работу открытого канала Боб->Алиса, то вся схема рушится (Man-In-TheMiddle).
Описанный алгоритм носит название протокола квантового распределения ключа BB84. В нём
информация
кодируется
в
ортогональные
квантовые
состояния.
Помимо
использования
ортогональных состояний для кодирования информации, можно использовать и неортогональные
состояния (например, протокол B92).
Алгоритм Беннета. В 1991 году Чарльзом Беннетом был предложен следующий алгоритм для
выявления искажений в переданных по квантовому каналу данных:
Отправитель и получатель заранее оговаривают произвольность расположения битов в строках,
что определяет произвольный характер положения ошибок.
Все строки разбиваются на блоки длины k. Где k выбирается так, чтобы минимизировать
вероятность ошибки.
Отправитель и получатель определят четность каждого блока, и сообщают её друг другу по
открытому каналу связи. После этого в каждом блоке удаляют последний бит.
Если четность двух каких-либо блоков оказалось различной, отправитель и получатель
производят итерационный поиск неверных битов и исправляют их.
Затем весь алгоритм выполняется заново для другого (большего) значения k. Это делается для
того, чтобы исключить ранее незамеченные кратные ошибки.
Чтобы определить все ли ошибки были обнаружены, проводится псевдослучайная проверка.
Отправитель и получатель открыто сообщают о произвольной перестановке половины бит в строках,
а затем вновь открыто сравнивают четности (Если строки различны, четности обязаны не совпадать с
вероятностью 0,5). Если четности отличаются, отправитель и получатель производят двоичный поиск
и удаляют неверные биты.
Оглавление
Специальные главы физики
99
Если различий не наблюдается, после n итераций отправитель и получатель будут иметь
одинаковые строки с вероятностью ошибки 2-n.
Физическая реализация системы. Рассмотрим схему физической реализации квантовой
криптографии[1]. Слева находится отправитель, справа — получатель. Для того, чтобы передатчик
имел возможность импульсно варьировать поляризацию квантового потока, а приёмник мог
анализировать импульсы поляризации, используются ячейки Покеля. Передатчиком формируется
одно из четырёх возможных состояний поляризации. На ячейки данные поступают в виде
управляющих сигналов. Для организации канала связи обычно используется волокно, а в качестве
источника света берут лазер. На стороне получателя после ячейки Покеля расположена кальцитовая
призма, которая должна расщеплять пучок на две составляющие, улавливаемые двумя
фотодетекторами (ФЭУ), а те в свою очередь измеряют ортогональные составляющие поляризации.
Вначале
необходимо
решить
проблему интенсивности
передаваемых
импульсов
квантов,
возникающую при их формировании. Если в импульсе содержится 1000 квантов, существует
вероятность того, что 100 из них будут отведены криптоаналитиком на свой приёмник. После чего,
проводя анализ открытых переговоров, он сможет получить все необходимые ему данные. Из этого
следует, что идеален вариант, когда в импульсе количество квантов стремится к одному. Тогда любая
попытка перехватить часть квантов неизбежно изменит состояние всей системы и соответственно
спровоцирует увеличение числа ошибок у получателя. В этой ситуации следует не рассматривать
принятые данные, а заново повторить передачу. Однако, при попытках сделать канал более
надёжным, чувствительность приёмника повышается до максимума, и перед специалистами встает
проблема «темнового» шума. Это означает, что получатель принимает сигнал, который не был
отправлен адресантом. Чтобы передача данных была надёжной, логические нули и единицы, из
которых состоит двоичное представление передаваемого сообщения, представляются в виде не
одного, а последовательности состояний, что позволяет исправлять одинарные и даже кратные
ошибки.
Для
дальнейшего
увеличения
отказоустойчивости
квантовой
криптосистемы
используется эффект Эйнштейна — Подольского — Розена, возникающий в том случае, если
сферическим атомом были излучены в противоположных направлениях два фотона.
Начальная поляризация фотонов не определена, но в силу симметрии их поляризации всегда
противоположны. Это определяет тот факт, что поляризацию фотонов можно узнать только после
измерения. Криптосхема на основе эффекта Эйнштейна — Подольского — Розена, гарантирующая
безопасность пересылки, была предложена Экертом. Отправителем генерируется несколько
фотонных пар, после чего один фотон из каждой пары он откладывает себе, а второй пересылает
адресату. Тогда если эффективность регистрации около единицы и на руках у отправителя фотон с
Оглавление
Специальные главы физики
100
поляризацией «1», то у получателя будет фотон с поляризацией «0» и наоборот. То есть легальные
пользователи
всегда
имеют
возможность
получить
одинаковые
псевдослучайный
последовательности. Но на практике оказывается, что эффективность регистрации и измерения
поляризации фотона очень мала.
Практические реализации системы. В 1989 году Беннет и Брассар в Исследовательском
центре IBM построили первую работающую квантово-криптографическую систему. Она состояла из
квантового канала, содержащего передатчик Алисы на одном конце и приёмник Боба на другом,
размещённые на оптической скамье длиной около метра в светонепроницаемом полутораметровом
кожухе размером 0,5 × 0,5 м. Собственно квантовый канал представлял собой свободный воздушный
канал длиной около 32 см. Макет управлялся от персонального компьютера, который содержал
программное представление пользователей Алисы и Боба, а также злоумышленника. В том же году
передача сообщения посредством потока фотонов через воздушную среду на расстояние 32 см с
компьютера на компьютер завершилась успешно. Основная проблема при увеличении расстояния
между приёмником и передатчиком — сохранение поляризации фотонов.
Созданная при участии Женевского университета компания GAP-Optique под руководством
Николаса Гисина совмещает теоретические исследования с практической деятельностью. Первым
результатом
этих
исследований
стала
реализация
квантового
канала
связи
с
помощью
оптоволоконного кабеля длинной 23 км, проложенного по дну озера и соединяющего Женеву и
Нион. Тогда был сгенерирован секретный ключ, уровень ошибок которого не превышал 1,4 %. Но
все-таки огромным недостатком этой схемы была чрезвычайно малая скорость передачи
информации. Позже специалистам этой фирмы удалось передать ключ на расстояние 67 км из
Женевы в Лозанну с помощью почти промышленного образца аппаратуры. Но и этот рекорд был
побит корпорацией Mitsubishi Electric, передавшей квантовый ключ на расстояние 87 км, правда, на
скорости в один байт в секунду. Активные исследования в области квантовой криптографии ведут
IBM, GAP-Optique, Mitsubishi, Toshiba, Национальная лаборатория в Лос-Аламосе, Калифорнийский
технологический
институт,
молодая
компания MagiQ и
холдинг QinetiQ,
поддерживаемый
британским министерством обороны.
В частности, в национальной лаборатории Лос-Аламоса была разработана и начала широко
эксплуатироваться опытная линия связи, длиной около 48 километров. Где на основе принципов
квантовой криптографии происходит распределение ключей, и скорость распределения может
достигать несколько десятков кбит/с.
В 2001 году Эндрю Шилдс и его коллеги из TREL и Кембриджского университета создали диод,
способный испускать единичные фотоны. В основе нового светодиода лежит «квантовая точка» —
миниатюрный кусочек полупроводникового материала диаметром 15 нм и толщиной 5 нм, который
Оглавление
Специальные главы физики
101
может при подаче на него тока захватывать лишь по одной паре электронов и дырок. Это дало
возможность передавать поляризованные фотоны на большее расстояние. В ходе экспериментальной
демонстрации удалось передать зашифрованные данные со скоростью 75 Кбит/с — при том, что
более половины фотонов терялось.
В Оксфордском университете ставятся задачи повышения скорости передачи данных. Создаются
квантово-криптографические схемы, в которых используются квантовые усилители. Их применение
способствует преодолению ограничения скорости в квантовом канале и, как следствие, расширению
области практического применения подобных систем.
В Университете Джона Хопкинса на квантовом канале длиной 1 км построена вычислительная
сеть, в которой каждые 10 минут производится автоматическая подстройка. В результате этого,
уровень ошибки снижен до 0,5 % при скорости связи 5 кбит/с.
Министерством обороны Великобритании поддерживается исследовательская корпорация
QinetiQ, являющаяся частью бывшего британского агентства DERA (Defence Evaluation and Research
Agency),
которая
специализируется
на
неядерных
оборонных
исследованиях
и
активно
совершенствует технологию квантового шифрования. Исследованиями в области квантовой
криптографии занимается американская компания Magiq Technologies из Нью-Йорка, выпустившая
прототип коммерческой квантовой криптотехнологии собственной разработки. Основной продукт
Magiq — средство для распределения ключей (quantum key distribution, QKD), которое названо
Navajo (по названию племени индейцев Навахо, язык которых во время Второй мировой войны
американцы использовали для передачи секретных сообщений, поскольку за пределами США его
никто не знал). Navajo способен в реальном времени генерировать и распространять ключи
средствами квантовых технологий и предназначен для обеспечения защиты от внутренних и
внешних злоумышленников.
В октябре 2007 года на выборах в Швейцарии были повсеместно использованы квантовые сети,
начиная избирательными участками и заканчивая датацентром ЦИК. Была использована техника,
которую ещё в середине 90-х в Университете Женевы разработал профессор Николя Жизен. Также
одним из участников создания такой системы была компания Id Quantique.
В 2011 году в Токио прошла демонстрация проекта «Tokyo QKD Network», в ходе которого
разрабатывается
квантовое
шифрование
телекоммуникационных
сетей.
Была
проведена
пробнаятелеконференция на расстоянии в 45 км. Связь в системе идёт по обычным оптоволоконным
линиям. В будущем предполагается применение для мобильной связи.
Оглавление
Специальные главы физики
102
Лекция 20. Квантовый криптоанализ.
Частотный спектр в оптическом канале квантово-криптографической системы.
Широкое распространение и развитие квантовой криптографии не могло не спровоцировать
появление квантового криптоанализа, который обладает неоспоримыми преимуществами и
экспоненциально перед обычным. Рассмотрим, например, всемирно известный и распространенный в
наши дни алгоритм шифрования RSA (1977). В основе этого шифра лежит идея того, что на простых
компьютерах невозможно решить задачу разложения очень большого числа на простые множители,
ведь данная операция потребует астрономического времени и экспоненциально большого числа
действий.
Другие
теоретико-числовые
методы
криптографии
могут
быть
основаны
на
проблемедискретного логарифмирования. Для решения этих двух проблем был разработан
квантовый алгоритм Шора (1994), позволяющий найти за конечное и приемлемое время все простые
множители больших чисел или решить задачу логарифмирования, и, как следствие, взломать шифры
RSA и ECC. Поэтому создание достаточно крупной квантовой криптоаналитической системы
является плохой новостью для RSA и многих других популярных шифров. Необходимо только
создание квантового компьютера, способного развить достаточную мощность.
По состоянию на 2012 год наиболее продвинутые квантовые компьютеры смогли разложить на
множители числа 15[2] (в 150 тыс. попыток верный ответ был получен в половине случаев, в
соответствии с алгоритмом Шора[3]) и 21.
Взлом квантовой системы. В 2010 году учёные успешно опробовали[4][5] один из возможных
способов необнаружимой атаки, показав принципиальную уязвимость двух криптографических
систем, разработанных компаниями ID Quantique и MagiQ Technologies. И уже в 2011 году
работоспособность метода была проверена в реальных условиях эксплуатации, на развёрнутой в
Национальном университете Сингапура системе распространения ключей, которая связывает разные
здания отрезком оптоволокна длиной в 290 м.
В эксперименте использовалась физическая уязвимость четырёх однофотонных детекторов
(лавинных фотодиодов), установленных на стороне получателя (Боба). При нормальной работе
фотодиода приход фотона вызывает образование электронно-дырочной пары, после чего возникает
Оглавление
Специальные главы физики
103
лавина, а результирующий выброс тока регистрируется компаратором и формирователем импульсов.
Лавинный ток «подпитывается» зарядом, хранимым небольшой ёмкостью (≈ 1,2 пФ), и схеме,
обнаружившей одиночный фотон, требуется некоторое время на восстановление (~ 1 мкс).
Если на фотодиод подавать такой поток излучения, когда полная перезарядка в коротких
промежутках между отдельными фотонами будет невозможна, амплитуда импульса от одиночных
квантов света может оказаться ниже порога срабатывания компаратора.
В условиях постоянной засветки лавинные фотодиоды переходят в «классический» режим
работы и выдают фототок, пропорциональный мощности падающего излучения. Поступление на
такой фотодиод светового импульса с достаточно большой мощностью, превышающей некое
пороговое значение, вызовет выброс тока, имитирующий сигнал от одиночного фотона. Это и
позволяет криптоаналитику (Еве) манипулировать результатами измерений, выполненных Бобом:
она «ослепляет» все его детекторы с помощью лазерного диода, который работает в непрерывном
режиме и испускает свет с круговой поляризацией, и по мере надобности добавляет к этому линейно
поляризованные импульсы. При использовании четырёх разных лазерных диодов, отвечающих за все
возможные типы поляризации (вертикальную, горизонтальную, ±45˚), Ева может искусственно
генерировать сигнал в любом выбранном ею детекторе Боба. Опыты показали, что схема взлома
работает очень надёжно и даёт Еве прекрасную возможность получить точную копию ключа,
переданного Бобу. Частота появления ошибок, обусловленных неидеальными
параметрами
оборудования, оставалась на уровне, который считается «безопасным».
Однако, устранить такую уязвимость системы распространения ключей довольно легко. Можно,
к примеру, установить перед детекторами Боба источник одиночных фотонов и, включая его в
случайные моменты времени, проверять, реагируют ли лавинные фотодиоды на отдельные кванты
света. Практически все квантово-оптические криптографические системы сложны в управлении и с
каждой стороны канала связи требуют постоянной подстройки. На выходе канала возникают
беспорядочные
колебания
поляризации
ввиду
воздействия
внешней
среды
и
двойного
лучепреломления в оптоволокне.
Сейчас одним из самых важных достижений в области квантовой криптографии является то, что
ученые смогли показать возможность передачи данных по квантовому каналу со скоростью до 1
Мбит/с. Это стало возможно благодаря технологии разделения каналов связи по длинам волн и их
единовременного использования в общей среде. Что кстати позволяет одновременное использование
как открытого, так и закрытого канала связи. Сейчас в одном оптическом волокне возможно создать
около 50 каналов. Экспериментальные данные позволяют сделать прогноз на достижение лучших
параметров в будущем:
Оглавление
Специальные главы физики
104
достижение скорости передачи данных по квантовому каналу связи в 50 Мбит/с, при этом
единовременные ошибки не должны будут превышать 4 %;
создание квантового канала связи длиной более 100 км;
организация десятков подканалов при разделении по длинам волн.
На данном этапе квантовая криптография только приближается к практическому уровню
использования. Диапазон разработчиков новых технологий квантовой криптографии охватывает не
только крупнейшие мировые институты, но и маленькие компании, только начинающие свою
деятельность. И все они уже способны вывести свои проекты из лабораторий на рынок. Все это
позволяет сказать, что рынок находится на начальной стадии формирования, когда в нём могут быть
на равных представлены и те и другие.
Лекция 20. Перспективы квантовой информатики.
Нейровычислитель.
Нейровычислитель - устройство переработки информации на основе принципов работы
естественных нейронных систем. Эти принципы были формализованы, что позволило говорить о
теории искусственных нейронных сетей. Проблематика нейрокомпьютеров заключается в
построении реальных физических устройств, что позволит не просто моделировать искусственные
нейронные сети на обычном компьютере, но так изменить принципы работы компьютера, что
станет возможным говорить о том, что они работают в соответствии с теорией искусственных
нейронных сетей.
Идея нейро-бионики (создания технических средств на нейро-принципах) стала интенсивно
реализовываться в начале 1980-х гг. Импульсом было следующее противоречие: размеры
элементарных деталей компьютеров сравнялись с размерами элементарных «преобразователей
информации» в нервной системе, было достигнуто быстродействие отдельных электронных
элементов в миллионы раз большее, чем у биологических систем, а эффективность решения задач,
особенно связанных задач ориентировки и принятия решений в естественной среде, у живых систем
пока недостижимо выше.
Другой импульс развитию нейрокомпьютеров дали теоретические разработки 1980-х годов по
теории нейронных сетей.
Оглавление
Специальные главы физики
105
Согласно [1], в отличие от цифровых систем, представляющих собой комбинации
процессорных и запоминающих блоков, нейропроцессоры содержат память, распределённую в
связях между очень простыми процессорами, которые часто могут быть описаны как формальные
нейроны или блоки из однотипных формальных нейронов. Тем самым основная нагрузка на
выполнение конкретных функций процессорами ложится на архитектуру системы, детали которой в
свою очередь определяются межнейронными связями. Подход, основанный на представлении как
памяти данных, так и алгоритмов системой связей (и их весами), называется коннекционизмом.
Три основных преимущества нейрокомпьютеров:
1. Все алгоритмы нейроинформатики высокопараллельны, что является залогом высокого
быстродействия.
2. Нейросистемы можно легко сделать очень устойчивыми к помехам и разрушениям.
3. Устойчивые и надёжные нейросистемы могут создаваться и из ненадёжных элементов,
имеющих значительный разброс параметров.
Разработчики нейрокомпьютеров стремятся объединить устойчивость, быстродействие и
параллелизм АВМ с универсальностью современных компьютеров.
На роль центральной проблемы, решаемой всей нейроинформатикой и нейрокомпьютингом, А.
Горбань предложил проблему эффективного параллелизма.
Для преодоления этого ограничения применяется следующий подход: для различных классов
задач строятся максимально параллельные алгоритмы решения, использующие какую-либо
абстрактную архитектуру (парадигму) мелкозернистого параллелизма, а для конкретных
параллельных компьютеров создаются средства реализации параллельных процессов заданной
абстрактной
архитектуры.
В
результате
появляется
эффективный
аппарат
производства
параллельных программ.
Нейроинформатика поставляет универсальные мелкозернистые параллельные архитектуры для
решения различных классов задач. Для конкретных задач строится абстрактная нейросетевая
реализация алгоритма решения, которая затем реализуется на конкретных параллельных
вычислительных устройствах. Таким образом, нейросети позволяют эффективно использовать
параллелизм.
Оглавление
Специальные главы физики
106
Многолетние работы привели к тому, что к настоящему моменту накоплено большое число
различных «правил обучения» и архитектур нейронных сетей, их аппаратных реализаций и приёмов
использования нейронных сетей для решения прикладных задач.
Эти интеллектуальные изобретения существуют в виде «зоопарка» нейронных сетей. Каждая
сеть из зоопарка имеет свою архитектуру, правило обучения и решает конкретный набор задач. В
последнее десятилетие прилагаются серьёзные усилия для стандартизации структурных элементов
и превращений этого «зоопарка» в «технопарк»: каждая нейронная сеть из зоопарка реализована на
идеальном универсальном нейрокомпьютере, имеющем заданную структуру.
Основные правила выделения функциональных компонентов идеального нейрокомпьютера (по
Миркесу):
1. Относительная функциональная обособленность: каждый компонент имеет чёткий набор
функций. Его взаимодействие с другими компонентами может быть описано в виде небольшого
числа запросов.
2. Возможность взаимозамены различных реализаций любого компонента без изменения
других компонентов.
2. Перспективы нейровычислителей
В настоящее время искусственные нейронные сети являются важным расширением понятия
вычисления. Они уже позволили справиться с рядом непростых проблем и обещают создание новых
программ и устройств, способных решать задачи, которые пока под силу только человеку.
Современные нейрокомпьютеры используются в основном в программных продуктах и поэтому
редко задействуют свой потенциал параллелизма. В полную силу использование параллельных
нейровычислений начнется с появлением на рынке большого числа аппаратных реализаций специализированных нейрочипов и плат расширений, предназначенных для обработки речи, видео,
статических изображений и других типов образной информации.
Прогнозируется появление техники подстраивающейся под пользователя. При помощи
нейросетевых блоков можно реализовать механизмы, при помощи которых приборы будут узнавать
своих владельцев по голосу, внешнему виду и ряду других уникальных характеристик. Получат
развитие и системы жизнеобеспечения так называемых «умных домов», которые станут еще более
адаптивными и обучаемыми. На производстве и в различных промышленных системах
Оглавление
Специальные главы физики
107
интеллектуальные нейросетевые контроллеры получат возможность распознавать потенциально
опасные ситуации, уведомлять о них людей и принимать адекватные и своевременные меры.
На данный момент нейрокомпьютеры используют в самых разных сферах человеческой
деятельности. Это область экспертных систем, область обработки сигналов. Множество систем
автоматического управления сейчас построено на нейронных сетях. Нейронные сети иногда
являются единственными точными предсказателями временных рядом.
Согласно [2], следует отметить достижения нейронных сетей в ассоциативном поиске
текстовой информации. Традиционные методы поиска и фильтрации документов были разработаны
для библиотечных баз данных ограниченного объема и заранее известной структуры. Создание
глобальной сети привело к тому, что число поставщиков информации стало стремительно расти,
при том, что публикуемая ими информация не имеет однородной структуры. Последовавший
информационный взрыв стал вызовом стандартным информационным технологиям. Новые
масштабы с одной стороны сделали аутсайдерами некоторые ранее конкурентоспособные
интеллектуальные технологии, а с другой - стимулировали интенсивные исследования в области
статистических методов обработки текстовой информации и новых способов навигации в
информационном
море.
Нейросети
являются
перспективным
инструментом
извлечения
статистических закономерностей в текстах, и использования этих закономерностей для
прецизионной фильтрации документов.
Одной из проблем современных нейровычислителей является их доступность. Они или
выпускаются в составе специализированных устройств, или достаточно дороги, а зачастую и то и
другое. На их разработку тратится значительное время, за которое программные реализации на
самых последних компьютерах оказываются лишь на порядок менее производительными, что
делает использование нейропроцессоров нерентабельным. Однако аналогичная проблема раньше
стояла и перед обычными компьютерами, поэтому следует ожидать, что нейровычислители станут
доступнее.
Квантовые компьютеры
Квантовый компьютер - вычислительное устройство, которое путём выполнения квантовых
алгоритмов существенно использует при работе квантовомеханические эффекты, такие как
квантовый параллелизм и квантовая запутанность.
Квантовый параллелизм заключается в том, что данные в процессе вычислений представляют
собой квантовую информацию, которая по окончании процесса преобразуется в классическую
Оглавление
Специальные главы физики
108
путём измерения конечного состояния квантового регистра. Выигрыш в квантовых алгоритмах
достигается за счёт того, что при применении одной квантовой операции большое число
коэффициентов суперпозиции квантовых состояний, которые в виртуальной форме содержат
классическую информацию, преобразуется одновременно.
Квантовую суперпозицию можно представить как некое объединённое состояние двух
дискретных величин, которое при измерении дает только одну из них.
Базовые характеристики квантовых компьютеров в теории позволяют им преодолеть некоторые
ограничения, возникающие при работе классических компьютеров.
Основой для работы квантового компьютера является Кубит.
Согласно с [3], идея квантовых вычислений, впервые высказанная Ю.И. Маниным и Р.
Фейнманом, состоит в том, что квантовая система из L двухуровневых кубитов (квантовых
элементов) имеет 2L линейно независимых состояний, а значит, вследствие принципа квантовой
суперпозиции, пространством состояний такого квантового регистра является 2 L-мерное
гильбертово пространство. Операция в квантовых вычислениях соответствует повороту вектора
состояния регистра в этом пространстве. Таким образом, квантовое вычислительное устройство
размером Lкубит может выполнять параллельно 2Lопераций.
Предположим, что имеется один кубит. В таком случае после измерения, в так называемой
классической форме, результат будет 0 или 1. В действительности кубит-квантовый объект и
поэтому, вследствие принципа неопределённости, в результате измерения может быть и 0, и 1 с
определенной вероятностью. Если кубит равен 0 (или 1) со стопроцентной вероятностью, его
состояние обозначается с помощью символа (или ) – в обозначениях Дирака. и - это базовые
состояния. В общем случае квантовое состояние кубита находится "между" базовыми и
записывается, в виде , где |a|² и |b|² -вероятности измерить 0 или 1 соответственно; ; |a|² + |b|² = 1.
Более того, сразу после измерения кубит переходит в базовое квантовое состояние, аналогичное
классическому результату.
Приведем для объяснения два примера из квантовой механики: 1) фотон находится в состоянии
суперпозиции двух поляризаций; измерение раз и навсегда коллапсирует состояние фотона в
таковое с определенной поляризацией; 2) радиоактивный атом имеет определенный период
полураспада; измерение может выявить то, что он еще не распался, но это не значит, что он никогда
не распадется.
Оглавление
Специальные главы физики
109
Перейдем к системе из двух кубитов. Измерение каждого из них может дать 0 или 1. Поэтому у
системы 4 классических состояния: 00, 01, 10 и 11. Аналогичные им базовые квантовые состояния: .
И наконец, общее квантовое состояние системы имеет вид . Теперь |a|² -вероятность измерить 00 и
т. д. Отметим, что |a|²+|b|²+|c|²+|d|²=1 как полная вероятность.
В общем случае системы из L кубитов, у неё 2 L классических состояний (00000…(L-нулей),
…00001(L-цифр), … , 11111…(L-единиц)), каждое из которых может быть измерено с
вероятностями 0-100 %.
Таким образом, одна операция над группой кубитов затрагивает все значения, которые она
может принимать, в отличие от классического бита. Это и обеспечивает беспрецедентный
параллелизм вычислений.
Упрощённая схема вычисления на квантовом компьютере выглядит так: берется система
кубитов, на которой записывается начальное состояние. Затем состояние системы или её подсистем
изменяется посредством базовых квантовых операций. В конце измеряется значение, и это
результат работы компьютера.
Оказывается, что для построения любого вычисления достаточно двух базовых операций.
Квантовая система дает результат, только с некоторой вероятностью являющийся правильным. Но
за счет небольшого увеличения операций в алгоритме можно сколь угодно приблизить вероятность
получения правильного результата к единице.
С помощью базовых квантовых операций можно симулировать работу обычных логических
элементов, из которых сделаны обычные компьютеры. Поэтому любую задачу, которая решена
сейчас, квантовый компьютер решит, и почти за такое же время. Следовательно, новая схема
вычислений будет не слабее нынешней.
Но тогда возникает вопрос о преимуществах квантового компьютера. Большая часть
современных ЭВМ работают по такой же схеме: n бит памяти хранят состояние, и каждый такт
времени изменяются процессором. В квантовом случае система из n-кубитов находится в
состоянии, являющимся суперпозицией всех базовых состояний, поэтому изменение системы
касается всех 2n базовых состояний одновременно. Теоретически новая схема может работать
намного (в экспоненциальное число раз) быстрее классической. Практически квантовый алгоритм
Гровера поиска в базе данных показывает квадратичный прирост мощности против классических
алгоритмов.
Оглавление
Специальные главы физики
110
Также в сфере квантовых компьютеров есть такое понятие, как квантовая телепортация.
Алгоритм телепортации реализует точный перенос состояния одного кубита (или системы) на
другой. В простейшей схеме используются 4 кубита: источник, приёмник и два вспомогательных.
Отметим, что в результате работы алгоритма первоначальное состояние источника разрушится - это
пример действия общего принципа невозможности клонирования - невозможно создать точную
копию квантового состояния, не разрушив оригинал. На самом деле, довольно легко создать
одинаковые состояния на кубитах. К примеру, измерив 3 кубита, мы переведем каждый из них в
базовые состояния (0 или 1) и хотя бы на двух из них они совпадут. Не получится скопировать
произвольное состояние, и телепортация - замена этой операции.
Телепортация позволяет передавать квантовое состояние системы с помощью обычных
классических каналов связи. Таким образом, можно, в частности, получить связанное состояние
системы, состоящей из подсистем, удаленных на большое расстояние.
Может показаться, что квантовый компьютер - это разновидность аналоговой вычислительной
машины. Но это не так: по своей сути это цифровое устройство, но с аналоговой природой.
Основные проблемы, связанные с созданием и применением квантовых компьютеров:
· необходимо обеспечить высокую точность измерений;
· внешние воздействия могут разрушить квантовую систему или внести в неё искажения.
Благодаря огромной скорости разложения на простые множители, квантовый компьютер
позволит расшифровывать сообщения, зашифрованные при помощи популярного асимметричного
криптографического алгоритма RSA. До сих пор этот алгоритм считается сравнительно надёжным,
так как эффективный способ разложения чисел на простые множители для классического
компьютера в настоящее время неизвестен. Для того, например, чтобы получить доступ к
кредитной карте, нужно разложить на два простых множителя число длиной в сотни цифр. Даже
для самых быстрых современных компьютеров выполнение этой задачи заняло больше бы времени,
чем возраст Вселенной, в сотни раз. Благодаря алгоритму Шора эта задача становится вполне
осуществимой, если квантовый компьютер будет построен.
Применение идей квантовой механики уже открыли новую эпоху в области криптографии, так
как методы квантовой криптографии открывают новые возможности в области передачи
сообщений.
Оглавление
Специальные главы физики
111
Перспективы
квантовых
компьютеров.
Перспективность
квантовых
вычислений
заключается в том, что квантовые компьютеры смогут решать целые классы задач, которые сейчас
являются очень тяжелыми и трудно обрабатываемыми. Они же смогут решать их очень быстро. В
частности, наиболее перспективной областью, в которую в основном идут средства, является
создание квантовой криптографии.
Квантовая криптография говорит о следующем: перехват посланного сообщения сразу же
становится известным. Это означает, что факт шпионажа не заметить нельзя. Перехваченное
сообщение, зашифрованное квантовым компьютером, утрачивает свою структуру и становится
непонятным для адресата. Поскольку квантовая криптография эксплуатирует природу реальности, а
не человеческие изыски, то скрыть факт шпионажа становится невозможно. Появление шифрования
такого рода поставит окончательную точку в борьбе криптографов за наиболее надежные способы
шифрования сообщений.
Кроме того, квантовый компьютер, благодаря своим качествам, способен разложить 250значное число не за 800-1000 лет, как современные самые мощные электронно-вычислительные
машины, а за 30 минут. С такой машиной спецслужбы могут быстро взломать любой, самый
сложный шифр.
У квантовых компьютеров есть еще одна сфера применения, огромное значение которой
понятно уже сегодня. Гигантская вычислительная мощь квантового компьютера позволит
переложить на плечи машины самую разнообразную интеллектуальную деятельность. Машина
может не только накапливать, хранить и обрабатывать информацию, но и производить с ней
операции, совершенно недоступные даже самым мощным современным компьютерам.
Это значит, что квантовые компьютеры позволят создать экспертные системы нового
поколения. Экспертная система - это компьютерная система, которая использует знания одного или
нескольких экспертов в формализованном виде, а также логику принятия решений. Эта система
предназначена для принятия обоснованного решения в тяжелых условиях, когда не хватает
времени, опыта, знаний, информации. На введенный запрос машина дает квалифицированную
консультацию или подсказку.
Экспертные системы стали создавать, как только это позволили вычислительные мощности
компьютеров. В СССР работы по созданию экспертных систем развернул известный специалист в
Оглавление
Специальные главы физики
112
области кибернетики, академик Виктор Глушков еще в 1968 году. Собственно, создание экспертных
систем называется часто разработкой искусственного интеллекта.
Первые модели были созданы в середине 1970-х годов: система MYCIN использовалась в
медицине для диагностики заболеваний, DENDRAL в разведке месторождений полезных
ископаемых для анализа химического состава почв.
Но квантовый компьютер, резко превосходящий обычный компьютер, в состоянии
использовать накопленные знания и алгоритмы принятия решений более полно и всесторонне.
Экспертная система на основе квантовых компьютеров может заменить коллективы самых лучших
ученых и инженеров, а также может накапливать с течением времени интеллектуальный потенциал.
Разумеется, что человек не будет полностью исключен из работы, потому что потребуются люди,
которые будут формулировать запросы в экспертную систему.
В памяти экспертной системы может храниться огромное количество всевозможных
технических сведений: параметры материалов, машин, промышленного оборудования, стандарты и
многое другое. Также хранятся алгоритмы принятия решений, созданные тысячами самых лучших
специалистов. В экспертную систему вводится запрос на конструирование машины с
определенными функциями. Экспертная система выполняет разработку и конструирование
машины, как если бы это делал большой коллектив высококлассных специалистов, и выдает
готовые чертежи, по которым машину можно построить. В разработке учтены наличие материалов
и возможности производства.
Создание подобной экспертной системы на основе квантовых компьютеров произведет
крупнейший переворот в технике. В разы сократится время разработок новых машин, будет освоен
большой спектр разнообразных технических и конструкторских решений, будут преодолены
традиции, сковывающие работу специалистов. Страна, которая первой создаст такую экспертную
систему, получит уникальный шанс вырваться в лидеры в научно-технической гонке.
Также можно отметить уже функциональные образцы квантовых вычислителей.
Самым нашумевшим представителем является компьютер Orion фирмы D-Wave. Данная фирма
в 2007 году собрала 16-кубитовый квантовый компьютер, который был отмечен как самый мощный
квантовый компьютер, а также первым, на котором можно запускать коммерчески-значимые
приложения.
Оглавление
Специальные главы физики
113
Всё это намного превосходит большинство других разработок квантовых компьютеров, причём
D-Wave смогла создать компьютер, используя технологии производства полупроводников и
существующие полупроводниковые заводы, не прибегая к помощи оптических схем, квантовых
точек, сдерживания лазера или других экзотических технологий производства. D-Wave работает и
над второй половиной проблемы, а именно над инструментами программирования для создания
приложений, способных получить преимущество от возможностей, которые обещают дать
квантовые вычисления.
Однако данные открытия ставят под сомнения в научных кругах, указывая на сложности при
работе с большим числом кубитов.
Следует отметить, что для проведения операций с кубитами ранее необходимо было
использовать лазеры, ядерный магнитный резонанс и ионные ловушки. Но чтобы приблизить
появление настоящего квантового компьютера, необходимо создать более простую и менее
чувствительную к колебаниям внешних условий машину. Это значит, что одну из основных
рабочих частей (процессор) желательно создать из классических твёрдых материалов.
Согласно с [4], на данный момент создан прототип устройства, которое оперирует двумя
трансмонными кубитами. Трансмон – это два фрагмента сверхпроводника, соединённых
туннельными контактами.
В данном случае процессор представляет собой плёнку сверхпроводящего материала (в его
составе присутствует ниобий), нанесённую на подложку из корунда (оксида алюминия). На
поверхности вытравлены канавки, ток может туннелировать сквозь них (опять же в силу квантовых
эффектов).
Два таких кубита (представляющих собой миллиарды атомов алюминия, находящихся в одном
квантовом состоянии и действующих как единое целое) в новом чипе разделены полостью, которая
является своего рода "квантовой шиной".
Что очень важно - для создания процессора использовалась стандартная технология,
применяемая в современной промышленности.
Единственный минус данного чипа – низкая рабочая температура. Для поддержания
сверхпроводимости устройство необходимо охлаждать. Этим занимается особая система, которая
поддерживает вокруг него температуру чуть выше абсолютного нуля (порядка нескольких
тысячных долей кельвина).
Оглавление
Специальные главы физики
114
Кубиты эти могут находиться в состоянии квантовой сцепленности (что достигается с помощью
микроволн определённой частоты). Как долго сохраняется это состояние, определяет импульс
напряжения.
Была достигнута длительность сохранения в одну микросекунду (в отдельных случаях даже три
микросекунды), что пока является пределом. Однако, всего десять лет назад это значение не
превышало наносекунды, то есть было в тысячу раз меньше.
Отметим, что чем дольше держится запутанность, тем лучше для квантового компьютера, так
как "длительные" кубиты могут решать более сложные задачи.
В данном случае для выполнения двух различных задач процессор использовал квантовые
алгоритмы Гровера и Дойча - Джоза. Процессор давал верный ответ в 80% случаев (при
использовании первого алгоритма) и в 90% случаев (со вторым алгоритмом).
Считывание результата также происходит с помощью микроволн: если частота колебаний
соответствует той, что присутствует в полости, то сигнал проходит сквозь неё.
Стоит отметить, что для создания 10-кубитовой схемы потребуется еще много научной работы,
и на данный момент она не возможно.
Это ставиться в разрез с утверждениями компании D-Wave. Причиной разногласий может
являться само понятие квантового компьютера. Из-за неточностей в определении могут появиться
подмены понятия, в чем и упрекают компанию D-Wave. Последствием этого может стать
невозможность реализации квантовых алгоритмов на данных экземплярах квантовых компьютеров.
В настоящее время идет активное исследования альтернативных методов вычислений, таких
как вычисления при помощи квантовых компьютеров и нейровычислителей. Оба направления дают
нам большие возможности в параллелизме, однако рассматривают этот вопрос с разной стороны.
Квантовые компьютеры позволяют выполнить операцию над неограниченным количеством кубитов
одновременно, что может многократно увеличить скорость вычислений. Нейровычислитель же
позволяет параллельно выполнять много различных простых задач на большом количестве
примитивных процессоров, и получить в итоге результат их работы. Учитывая то, что основной
задачей нейрокомпьютеров является обработка образов. При параллельной архитектуре эта задача
выполняется гораздо быстрее, чем в классической последовательной. В то же время нейронные
компьютеры позволяют нам получить универсальные и в то же время «живучие» системы, из-за их
однородной структуры.
Оглавление
Специальные главы физики
115
Нельзя сказать, что нейронные и квантовые компьютеры целиком вытеснят классические,
однако в определенных сферах данные типы вычислителей смогут значительно улучшить
выполнение специфичных задач.
Оглавление
Специальные главы физики