Предисловие § 1.1 Блоковое и неблоковое кодирование 1.1.1 Блоковое кодирование

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Гл. 1 Основные принципы кодирования и декодирования при передаче сообщений
§ 1.1 Блоковое и неблоковое кодирование
1.1.1 Блоковое кодирование
1.1.2 Неблоковое кодирование
§ 1.2 Математические модели каналов связи
§ 1.3 Основные принципы декодирования
1.3.1 Декодирование по максимуму правдоподобия (МП)
1.3.2 Декодирование по максимуму апостериорной вероятности
(МАВ)
1.3.3 Декодирование по минимуму расстояния Хэмминга (МРХ)
1.3.4 Декодирование с помощью шаров Хемминга
§ 1.4 Объем шара Хэмминга
1.4.1 Асимптотика числа точек в шаре Хэмминга
§ 1.5 Способность кода обнаруживать и исправлять ошибки
§ 1.6 Границы для минимального расстояния
1.6.1 Граница Хемминга (граница плотной упаковки)
1.6.2 Асимптотическая форма границы плотной упак овки
1.6.3 Граница Варшамова-Гилберта
1.6.4 Асимтотическая форма границы Варшамова -Гилберта
1.6.5 Граница Бассалыго-Элайеса для двоичных кодов
Гл. 2 Линейные коды
§ 2.1 Линейные пространства
2.1.1 Линейные пространства над конечными полями
2.1.2 Линейные подпространства и ортогональные дополнения
2.1.3 Порождающая и проверочная матрицы линейного
пространства
§ 2.2 Линейные коды
2.2.1 Определение и свойства линейных кодов
2.2.2 Построение линейных кодов с заданным минимальным расстоянием
2.2.2.1 Линейные коды с минимальным расстоянием d = 2
2.2.2.2 Линейные коды с минимальным расстоянием d = 3
2.2.2.3 Двоичные линейные коды с минимальным расстоянием d = 4
2.2.3 Коды, двойственные кодам Хемминга
2.2.4 Итеративные коды (коды-произведения)
§ 2.3 Синдромное декодирование линейных кодов
2.3.1. Алгоритм синдромного декодирования
2.3.2. Структурная схема синдромного декодера
§ 2.4 Вероятностные характеристики декодирования в каналах с
независимыми ошибками
2.4.1 Вероятность ошибки декодирования
2.4.2 Распределение весов кодовых слов в линейных кодах
1
Гл. 3 Циклические коды
§ 3.1 Определение и свойства циклических кодов
3.1.1 Алгебраическое описание линейных циклических кодов
3.1.2 Порождающая и проверочная матрицы циклического кода
3.1.3 Прмеры нетривиальных циклических кодов
3.1.4 Циклические коды, исправляющие пакеты ошибок
§ 3.2 Многотактные линейные фильтры. Вычислители остатков
3.2.1 Алгебраическое описание многотактных линейных фильтров
3.2.2. Замечание о связи между вычислениями остатков и вычислениями в
конечных полях
§ 3.3 Реализация операции кодирования для циклических кодов
§ 3.4 Синдромное декодирование циклических кодов
3.4.1 Алгоритм синдромного декодирования
3.4.2 Синдромный декодер двоичного циклического кода,
исправляющего однократные ошибки и пакеты ошибок
3.4.3 Синдромный декодер укороченного циклического кода
3.4.4 Вычислительные затраты при синдромном декодировании
циклических кодов
Гл. 4 Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема (БЧХ-Коды)
§ 4.1 Алгебраическое декодирование циклических кодов
4.1.1 Алгебраическое декодирование циклических кодов с
минимальным расстоянием 3
4.1.2 Алгебраическое декодирование циклических кодов с
минимальным расстоянием 5
§ 4.2 Матрица Вандермонда
§ 4.3 Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингхема
4.3.1 Определение БЧХ-кодов
4.3.2 Двоичные примитивные БЧХ-коды
4.3.3 Двоичные непримитивные циклические коды
4.3.4 Недвоичные БЧХ- коды, граница Синглтона и коды РидаСоломона
§ 4.4 Декодирование БЧХ-кодов
4.4.1 Основное уравнение декодирования БЧХ кодов
4.4.2 Алгоритм декодирования Питерсона-Горенстейна –Цирлера
4.4.3 Исправление ошибок и стираний
4.4.4 Метод Форни вычисления величин ошибок и стираний
Гл. 5 Итеративное декодирование БЧХ-кодов
§ 5.1 Отыскание полинома локаторов ошибок
5.1.1 Ключевое уравнение
5.1.2 Решение ключевого уравнения с помощью алгоритма Евклида
5.1.3 Алгоритм Берлекэмпа-Месси
§ 5.2 Описание БЧХ-кодов в спектральной области
5.2.1 Преобразования Фурье в конечных полях
5.2.2 Спектральное описание БЧХ-кодов
2
§ 5.3 Декодирование в спектральной области
!Гл.6 Декодирование РС-кодов в каналах с мягким выходом
§ 6.1 Свойства кодов Рида-Соломона
6.1.1 Исправление пакетов ошибок
6.1.2 Спектр весов РС-кодов
6.1.3 Доля необнаруживаемых ошибок
!Гл.7 Низкоплотностные коды и «турбо»-декодирование
НЕ НАПИСАНО!
Приложение. ОСНОВЫ КОНЕЧНОЙ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ
КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ
§ П.1 Элементы теории чисел
П.1.1 Сравнения
П.1.2 Алгоритм Евклида
П.1.3 Китайская теорема об остатках
§ П.2 Элементы теории групп
П.2.1 Определения и примеры групп
П.2.2 Разложение группы по подгруппе
П.2.3 Циклические группы
§ П.3 Конечные поля
П.3.1 Определения, примеры полей
П.3.2 Алгебраические свойства конечных полей
П.3.3 Арифметические свойства конечных полей
§ П.4 Полиномы над конечными полями
П.4.1 Определения и основные свойства
П.4.2 Циклотомические классы
П.4.3 Структурное разложение двучлена x n  1
П.4.4 Построение полиномов по заданным корням
§ П.5 Поля многочленов
П.5.1 Поле вычетов по модулю неприводимого полинома
П.5.2 Расширение полей
§ П.6 Вычисления в конечных полях
П.6.1 Комбинационные схемы умножения
П.6.1 Построение таблиц логарифмов и антилогарифмов
П.6.2 Логарифмы Цеха
§ П.7 Квадратичные расширения полей
П.7.1 Квадратичные расширения и формулы перехода
П.7.2 Вычисления в квадратичных расширениях
§ П.8 Следовые полиномы
П.8.1 Определение и свойства следовых полиномов
3
П.8.2
Факторизация двучлена x n  1 с помощью следовых
полиномов
§ П.9 Поиск корней полиномов
П.9.1 Табличный поиск корней полиномов второй степени
П.9.2 Табличный поиск корней полиномов третьей степени
П.9.3 Табличный поиск корней полиномов четвертой степени
НЕ ОКОНЧЕНО!
Задачи
Задачи
9.1. Определите длину двоичного циклического кода, который порождается
многочленом g ( x )  x 4  x 2  x  1 . Выпишите все слова этого кода и найдите
минимальное расстояние.
9.2. Докажите, что порождающий полином любого двоичного циклического кода с
четной длиной содержит квадраты.
9.3. Пусть g ( x )  g r x r  g r 1 x r 1  ...  g 0 - порождающий многочлен циклического
кода над GF(q). Покажите, что g 0  0 . Покажите, что всякий многочлен вида cg (x ) , где с –
ненулевой элемент GF(q), также обладает свойствами, указанными в теоремах 9.2 и 9.3.
9.4. Пусть С – двоичный код с порождающей матрицей
1 0 0 1 1 1 0
G  1 1 0 1 0 0 1 .


0 1 0 0 1 0 1
Покажите, что этот код – циклический. Найдите его порождающий многочлен и
минимальное расстояние.
9.5. Пусть С – двоичный код с проверочной матрицей
1 1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0 1
.
H
1 0 0 0 1 1 0


0 1 1 1 0 0 1 
(а) Покажите, что этот код – циклический. Найдите его порождающий многочлен и
минимальное расстояние.
(б) Покажите, что первые 3 строки этой матрицы задают 3 независимых уравнения (3
независимых проверки), выражающие первый кодовый символ в виде суммы остальных
символов. Покажите, что эти три уравнения позволяют правильно определить значение
первого символа при одиночных ошибках и сигнализировать о наличии двух ошибок,
4
если они произошли. Такое декодирование называется мажоритарным.
(в) Покажите, что любой из 7 кодовых символов этого кода допускает мажоритарное
декодирование при некотором выборе системы проверок.
(г) Покажите, что все кодовые символы могут быть мажоритарно продекодированы с
помощью одной и той же системы проверок.
9.6. Определите какой (какие) из следующих полиномов порождают циклический код
длины 15 над GF(2):
g1 ( x )  x 8  x 7  x 5  x 4  x 3  x  1, g 2 ( x )  x 4  x 3  x 2  x  1, g 3 ( x )  x 4  x  1.
9.7. Разработать вычислитель остатка от деления на полином g ( x )  x 5  x 4  x 2  1 .
Убедиться, что построенный вычислитель правильно работает, подавая на его вход
многочлен, для которого остаток был заранее вычислен. Исследовать полученный фильтр.
Определить периодичность его состояний в автономном режиме. Показать, что имеются два
различных цикла состояний одинаковой длины, показать также, что имеются два устойчивых
состояния, переходящих сами в себя.
9.8. Разработать несистематический и систематический кодеры для кода с
порождающим многочленом g ( x )  x 5  x 4  x 2  1 . Найти параметры кода. Описать работу
ключей. Убедитесь, что этот код исправляет все пакеты ошибок длины 2, т.е. все комбинации
одиночных ошибок и двойных ошибок, которые искажают пару стоящих рядом символов на
длине 15. Постройте синдромный декодер, исправляющий пакетные ошибки.
9.9. В этой задаче будет построена граница Варшамова-Гилберта для укороченных
двоичных циклических кодов, порождаемых неприводимыми многочленами. Заметим, что
g ( x ) не порождает укороченный циклический (n,k)-код с расстоянием d, если найдется
многочлен степени n-1 и веса w  d , который делится на g ( x ) . Поэтому укороченный
циклический (n,k)-код с расстоянием d существует, если количество неприводимых
многочленов степени r=n-k больше количества всех неприводимых делителей степени r для
всех многочленов степени n-1, вес которых меньше, чем d. Количество таких делителей
 n 
n  n
можно оценивать сверху величиной 1     ...  
  . Выражение в фигурных
d

1
r  1


скобках – это количество многочленов степени n-1 и меньше, вес которых не превышает d-1,
а отношение n/r – это верхняя оценка числа неприводимых делителей степени r для каждого
такого многочлена. Оценка для количества Ir неприводимых над полем GF(q) многочленов
степени r получена в работах Э.Берлекэмпа и имеет следующий вид
q r (1  q  r / 21 )
q r (1  q  r 1 )
 Ir 
.
r
r
При больших r это количество хорошо оценивается величиной q r / r .
(а) Покажите, что наибольшее значение k, для которого заведомо существует укороченный
циклический ( n , k ) -код с расстоянием d это то, которое удовлетворяет неравенству
 n 
n  n
   I r , r  n  k .
1     ...  
r  1
 d  1 
(б) Выведите отсюда, что при достаточно больших n и при d  δn имеет место граница
Варшамова-Гилберта для скорости кода R  k / n при данном относительном расстоянии δ .
Разд. 13.2
Рассмотрим двоичный циклический код длины n  17 с проверочной матрицей
5
H  [1   2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16 ] ,
где   GF (28 ) и имеет порядок 17, т.е.  17  1 . Циклотомический класс, порождаемый  ,
состоит из следующих элементов I  [   2  4  8  16  15  13  9 ] . Порождающий полином
имеет 8-ю степень и набор корней, перечисленный в множестве I. Хотя конструктивное
расстояние этого кода равно 3, минимальное расстояние равно 5 и этот код способен
исправлять одиночные и двойные ошибки. Синдромные компоненты S1  y (  ), S16  y (  16 )
дают полную информацию о локаторах ошибок X 1 , X 2  {1,  , ...,  16 } . Покажите, что
X 1  X 2  S1 , X 11  X 21  S16 и полином локаторов ошибок может быть вычислен по формуле
S
 ( x )  x 2  S1 x  1 . Опишите алгебраическую процедуру декодирования для этого кода.
S16
Литература
1. M.C.R.Butler, Quart. J.Math., 5 (1954),102-107.
2. R.Lidle, H.Niederreiter, Introduction in Finite Fields and Their Applications. Cambridge
Univ. Press, 1986
3. D.G.Cantor, H.Zassenhaus, A New Algorithm for Factoring Polynomials Over Finite Fields,
Math. Comp. 36, 587-592, 1981.
4. R.J.McEliece, Factorization of Polynomials Over Finite Fields, Math. Comp., 23, 861-867,
1969.
5. Э.Берлекэмп, Алгебраическая теория кодирования, Мир, Москва, 1971.
6. Р.Блейхут, Теория и практика кодов, контролирующих ошибки, Мир, Москва, 1986.
7. Г.С.Евсеев, В.Д.Колесник, Е.А.Крук, Надежная передача и хранение информации в
ЭВМ, Изд. Ленинградского ин-та авиационного приборостроения, Ленинград, 1988.
6