Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Математический факультет
Кафедра алгебры и топологии
РАБОЧАЯ
ПРОГРАММА
по дисциплине
«Теоретико-числовые основы защиты информации»
для специальности 511200 Математика, прикладная математика (магистратура)
(код, название)
форма обучения очная
Курс ………………………………………………_____2
Семестр ………………………………………….. ____3
Всего аудиторных часов ………………………. ______36
Лекции, час …………………………………….. ______18
Лабораторные, час …………………………….. ________
Практические, час ……………………………… ______18
Самостоятельная работа, час …………………..______29
Зачет (семестр) …………………………………. _______
Экзамен (семестр) ………………………… …. ______3
Ижевск 2007
Рабочая программа составлена на основании ____________________________________________________
(название документа, дата утверждения)
Составители рабочей программы
_доцент, к.ф.-м.н.__________
(должность, ученое звание, степень)
__________________________________
(должность, ученое звание, степень)
______________
__Мерзляков А._____
(подпись)
______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
___________________________
(Ф.И.О.)
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры алгебры и топологии
«____» _______________________________ 200__ года
Заведующий кафедрой
________________
(подпись)
__Грызлов А.А.___________
(Ф.И.О.)
«____» _______________200__года
Решение методической комиссии математического факультета
«____» _______________200__года
Председатель методической комиссии ________________
(подпись)
__ Баранова Н.А.___
(Ф.И.О.)
Согласовано с библиотекой УдГУ «___» ________________ 200__ года
Директор библиотеки УдГУ
_____________
(подпись)
________________________
(Ф.И.О.)
2
I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
Программа дисциплины «Теоретико-числовые основы защиты информации»
составлена в соответствии с требованиями вузовского компонента к обязательному минимуму
содержания и уровню подготовки бакалавра/магистра по направлениям 511200 (010200)
«Математика. Прикладная математика», по циклу ДС дисциплин государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования.
Курс "Теоретико-числовые основы защиты информации"
служит продолжением
изучения студентов с основными и более специфическими понятиями и методами одной из
фундаментальных математических дисциплин, каковой является теория чисел и показывается
ее практическая связь с некоторыми подразделами других математических направлений и
курсов. Курс лекций и практических занятий строится как непосредственное продолжение
основных понятий курсов «Алгебра», «Теория чисел», «Дискретная математика», «Основы
программирования» и других, которые изучались студентами на протяжении всего курса
обучения.
Цель
дисциплины.
Алгоритмическая
теория
чисел
интенсивно
развивается
в
последние
годы
и
имеет
важные
приложения
в
криптографии. В настоящее время, по некоторым оценкам, практически
весь
мировой
арсенал
средств
ассиметричной
криптографии
в
математическом плане основан на теоретико-числовых задачах. Целью
курса является систематическое введение в некоторые разделы теории
чисел, с изложением важнейших направлений, имеющих приложения в
криптографии.
Задачи. Основная задача курса лекций вытекает из основной цели:
показать взаимосвязь теоретических составляющих теории чисел, точнее
некоторых ее подразделов с практическими задачами, которые могут
быть использованы при сохранении и передаче информации, а также с
направлениями современных исследований в этой области.
Задачи курса практических занятий связаны с усвоением всего лекционного материала,
который изучается студентами на лекциях, и отработки практических навыков. Все это
проверяется в ходе проведения практических занятий и экзаменов.
Межпредметные связи. Теория чисел является наукой, из которой впоследствии развития
методов решения задач, которые ставились при ее изучении, образовались все остальные науки.
Некоторые разделы этой науки уже изучались при изучении курса «Алгебры» и Поэтому
изучение теории чисел и ее применения в современной жизни является основой
многочисленных спецкурсов, которые студенты изучали или будут в дальнейшем изучать.
Знания, умения и навыки студентов. Студент, освоивший курс, должен иметь
представление как о некоторых важных фактах и теоремах из теории
чисел, которые используются в криптографии, так и об основных,
известных в настоящее время, алгоритмах
элементарных вычислений в
кольце целых чисел и кольцах вычетов, тестах проверки на простоту,
факторизации.
3
2. Объем и распределение часов по темам и видам занятий.
№
п/
п
Наименование
разделов и тем
1
Сложность арифметических
операций
Проверка на простоту
Построение больших
простых чисел
Эллиптические кривые
ИТОГО:
2
3
3
ВСЕГО
(часов)
10
Аудиторные занятия
(час)
в том числе
Лекции Практические
4
2
Самостоятельная
работа
4
19
6
6
7
18
4
6
8
18
65
4
18
4
18
10
29
3. ФОРМЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ.
В конце третьего семестра предусмотрен экзамен.
4. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Темы лекций и их краткое содержание
1. Сложность арифметических операций.Свойства функции сложности.
Сложность операций с целыми числами. Сложность алгоритма Евклида.
Умножение и деление многочленов.
2. Проверка чисел на простоту.Элементарные методы. Тест на основе
малой теоремы Ферма.
Числа Кармайкла. Эйлеровы псевдопростые
числа. Тест Соловея-Штрассена. Сильнопсевдопростые числа. Тест
Рабина-Миллера. Тест Агравала-Кайала-Саксены.
3. Построение больших простых чисел. Критерий Люка. Теорема
Поклингтона. Метод Маурера.
4. Эллиптические кривые.Свойства эллиптических кривых. Алгоритм
Ленстры для факторизации с помощью эллиптических кривых.
Тестирование чисел на простоту с помощью эллиптических кривых.
Понятие сертификата простоты.
Примерный перечень тем практических занятий
Сложность арифметических операций.
Решение различных теоретико-числовых задач с помощью алгоритма Евклида.
Решение задач на различные теоретико-числовые свойства многочленов.
Свойства простых чисел.
Отработка теста простоты Соловея-Штрассена.
Отработка теста Миллера.
Отработка теста простоты Агравала-Кайала-Саксены.
Отработка критерия Люка.
Различные способы построения простых чисел.
Эллиптические кривые, их свойства, сложение точек на эллиптической кривой.
Отработка алгоритма Ленстры для факторизации.
Отработка тестов на простоту с помощью эллиптических кривых.
4
Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Теорема Кармайкла.
2. Тест простоты Соловея-Штрассена.
3. Псевдопростые, эйлеровы псевдопростые и сильнопсевдопростые числа по основанию n.
4. Теорема Рабина.
5. Тест простоты Рабина-Миллера.
6. Теорема Агравала-Кайала-Саксены.
7. Тест простоты Агравала-Кайала-Саксены.
8. Критерий Люка и теорема Поклингтона.
9. Метод Маурера построения простых чисел.
10. Сложение точек на эллиптической кривой.
11. Алгоритм Ленстры для факторизации с помощью эллиптических кривых.
12. Тестирование чисел на простоту с помощью эллиптических кривых.
5. Учебно-методическое обеспечение курса.
Литература (основная)
1. Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. М.,
МЦНМО, 2003.
2. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М., Науч. изд-во ТВП, 2001.
3. Коутинхо С. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA. М.: Постмаркет.
2001. 328с.
4. Черемушкин А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии.
М., МЦНМО, 2002.
Рекомендуемая литература (дополнительная)
1. Granville A. It is easy to determine whether a given integer is prime.// Bull. Of
A. Math. Soc., Vol. 42., № 1, 2005, pp. 3-38.
V. Ресурсное обеспечение
Требуется компьютерный класс
самостоятельных работ студентов.
для
проведения
некоторых
практических
и
5