Курсовая по алгебре

Тема «Пифагоровы тройки. Алгебраические и трансцендентные числа »
Содержание
Пифагоровы тройки
Алгебраические числа. Введение
I. Краткий исторический очерк
II. Поле алгебраических чисел
2.1. Понятие числового поля
2.2. Алгебраическое число
2.3. Поле алгебраических чисел
III. Рациональные приближения алгебраических чисел
3.1 Теорема Лиувиля
3.2 Трансцендентные числа Лиувиля
Простые Числа Мерсенна, совершенные числа
Заключение
Пифагоровы тройки
Пусть a, b — катеты прямоугольного треугольника, c — его гипотенуза. Построим квадрат
ABCD со стороной a+b и возьмём на его сторонах AB, BC, CD, DA такие точки E, F, G, H соответственно, что AE=BF=CG=DH=a (рис. 1). Иными словами, от каждой из вершин A, B, C,
D откладывается по отрезку длины a в направлении к следующей вершине; «следующей» значит
«следующей в порядке ABCDA». Наш квадрат разбивается на четырёхугольник EFGH и четыре
прямоугольных треугольника EBF, FCG, GDH, HAE. У каждого из треугольников один катет равен
a, а другой — b. Значит, все эти треугольники равны, так что, в частности,
 АЕН=  ВРЕ. Гипотенуза равна c, а площадь треугольника есть
1/2ab. У четырёхугольника ЕРОН длина каждой стороны равна c, так что
это ромб. Кроме того, все его углы прямые.
Например,  НЕР=  АЕВ—  ВЕР—  ЛЕН= 180°—  ВЕР—
 ВРЕ= =  ЕВР=90°. Итак, EFGH — квадрат со стороной c, так
что его площадь равна c 2 . Но сумма его площади и площадей четырёх
треугольников равна площади исходного большого квадрата, т. е.
c 2 +4·1/2ab=(a+b) 2 . Левая часть равна c 2 +2ab, а правая — a 2+2ab+b 2,
откуда и видно, что c2 =a 2+b2 . Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне
не было, но вавилонские математики умели проделывать всё, что здесь требуется, иначе, хотя это
и было более громоздко.
Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора. Теперь
его часто используют в школе. Но если вы посмотрите учебники, которые были приняты как основные в течение длительного времени, то вы там его не найдёте. Почему? Неужели их авторы,
люди вполне сведущие и умные, не знали этого рассуждения, известного уже несколько тысяч
лет, или не понимали, что оно понятнее, проще, лучше запоминается, чем другие? Позднее узнаем, в чём, по-моему, здесь дело.
С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел x, y, z, что
x2+y2=z2.
(1)
Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа x=3, y=4, z = 5: 9+16 =
25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки (x, y, z)? Иными словами, можно ли
найти все решения уравнения x 2 +y 2 =z 2 в натуральных числах? (В связи с терминологией об-
ратите внимание, что решение — это не одно число, а три.) Да. О твет таков: каждое такое решение можно представить в виде
x=l(m 2−n2), y=2lmn, z=l(m 2+n2),
(2)
где l, m, n — натуральные числа, причём m>n, или в аналогичном виде, в котором x и y меняются местами. Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными
l и m>n суть все возможные решения (1) с точностью до перестано вки x и y. Например,
тройка (3, 4, 5) получается при l=1, m=2, n=1. То, что при любых натуральных l, m, n с m>n
тройка (x, y, z), определяемая согласно (2), является решением (1), можно проверить непосредственно путём простого вычисления, и я на этом останавливаться не буду. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? Об этом и будем говорить. На самом деле, как это
часто бывает, «прокручивая в обратную сторону» мои рассуждения, тоже можно доказать, что
любая тройка вида (2) является решением, но на этом я тоже не буду останавливаться . Что при
перестановке x и y снова получается решение — об этом и говорить нечего.
По-видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли — неизвестно.
(Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались
ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить побольше
решений.) Как его позднее доказывали древние греки — известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих
книгах, и, вероятно, многие из вас его знают. А теперь расскажем несколько более простое доказательство.
Сперва несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если x, y и z имеют общий делитель k>1, скажем x=ku, y=kv, z=kw, где u, v, w —
натуральные числа, то ясно, что тройка (u, v, w) снова является решением (1). Обратно, если
мы знаем какое-то решение (x, y, z), то, умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное k,
мы снова получим решение. Поэтому можно ограничиться разысканием реш ений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идёт об общем делителе всех трёх чисел. Но если
бы у двух из этих чисел, скажем уxиy, был общий делитель, то тот же делитель был бы и у
третьего. Поэтому мы можем ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа
(x и y, x и z, y и z) не имеют общих делителей, больших 1. Это выражают словами: рассматриваемые числа x, y, z попарно взаимно просты.
При l  1 числа x, y, z в (2) не взаимно просты: они имеют общий делитель l. Так что
если мы интересуемся только взаи м но пр ос ты ми x , y , z, то дл я ни х в ( 2) д олж но быть
l = 1, и утверждение, которое мы хотим доказать, несколько упрощается: натуральные решения (x,
y, z) уравнения (1) с взаимно простыми x, y, z с точностью до перестановки x и y представимы в виде
x=m 2 − n 2 , y=2mn, z=m 2 +n 2 ,
(3)
где m, n — натуральные числа и m>n. Заметьте, что вовсе не утверждается обратного: что любые (x, y, z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, являются решением
(1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа x, y, z не обязательно
получатся взаимно простыми. Ведь если у m и n есть общий делитель, то он войдёт (даже с
квадратом) и в x, и в y, и в z.
Так что если бы настаивать на обратном утверждении, что любые (x, y, z), получающиеся
согласно (3) с натуральными m>n, будут решением (1) с попарно взаимно простыми x, y, z, то,
самое меньшее, что должен был бы уточнить: с взаимно простыми т и n. А было бы такого
уточнения достаточно? О казывается, нет (вначале, должен сознаться, я было подумал, что да,
но меня поправили). Ведь если mиn оба нечётные, то x получится чётным, а y в (3) всегда чётное.
Но если одно из чисел m, n чётное, а другое нечётное, то x получится нечётным, и общим с y у
него мог бы быть только нечётный делитель. Тогда у x и y имеется и нечётный простой делитель
p. Раз 2mn делится на p, то m или n делится на p, а тогда, раз m2 − n2 тоже делится на p, то и
второе из чисел m, n делится на p, т. е. m и n не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые m, n. Но главное, что этого нам сейчас не нужно. Нам надо
только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными x, y, z обязательно представимо в виде (3) с какими-то m, n, а что при каких-то других m, n могут получиться решения с не взаимно простыми x, y, z — это нас сейчас не касается.
Другое замечание состоит в том, что когда мы ограничиваемся решениями с попарно
взаимно простыми x, y, z, то одно из чисел x и y должно быть чётным, а другое — нечётным; z
при этом, конечно, нечётно. Действительно, если x и y оба чётные, то они не взаимно просты, а
имеют общий делитель 2. Если же они оба нечётны, то мы можем написать, что x=2r −1, y=2s −
1 с некоторыми натуральными r, s. Отсюда
z2=(2r− 1)2+(2s − 1)2=4(r2 − r+s2− s)+2.
Получается, что z 2 делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если z нечётно, то z 2 и на 2 не делится, а если z чётно, то z2 делится на 4.
Раз одно из чисел x и y чётно, а другое нечётно, то мож но считать, что нечётно x, а
чётно y, — в противном случае мы просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное.
Перепишем (1)
2
2
 z x
так: y  z  x ,       1
 y  y
2
2
2
или, обозначая z/y через u и x/y через v, в виде u 2 − v 2 = 1, т. е. (u+v)(u − v)=1. u
и v суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа
(дроби). u+v тоже рациональное число, причём положительное. Любое такое чи сло
представляется в виде несократимой дроби m/n; здесь m и n — натуральные числа, причём взаимно простые (раз дробь несократимая). А если m/n(u − V )=1, ТО u − v= n/m .
Итак,
m

u  v  n ,

u  v  n ,
m

(4)
где m, n — взаимно простые натуральные числа. Рассматривая (4) как линейную
систему уравнений относительно u, v, решим её, для чего достаточно сложить эти два
уравнения, откуда получится 2u, и вычесть второе из первого, откуда получится 2v:
z
m2  n2
u 
,
y
2mn
x
m2  n2
v
.
y
2mn
(5)
Отсюда видно, кстати, что m>n.
Мы знаем, что z/y и x/y
m n
2mn
2
дробь
— несократимые дроби. Если бы мы знали, что
2
тоже несократимая, то из (5) сразу следовали бы соотношения (3). Но пока что
мы этого не знаем; однако о дробях z/y, x/y мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5)
мы вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное k,
что
m 2 +n 2 =kz, 2mn=ky, m 2 − n 2 =kx.
(6)
Допустим, что k имеет нечётный простой делитель p. Тогда 2mn делится на p, а раз это
нечётное простое число, то m или n делится на p. Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства m2+n2=kz, и его правая часть делятся на p; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на p. Получается, что и m, и n делятся на p, хотя они взаимно просты. Итак, у
k нет нечётных простых делителей, так что k есть степень двойки. Вспомним, что у — чётное
число, y=2w. Получается, что 2mn=2kw, mn=kw, и если k — степень двойки (с ненулевым
показателем), то число тп чётное. Тогда хотя бы одно из чисел m, n — чётное. Но из m2 +n2 =kz
следует, что m2+n2 — чётное число, и если вдобавок одно из чисел m или n — чётное, то и другое
должно быть чётным. Снова у m и n нашёлся общий делитель. Остаётся признать, что k=1, а это
и означает (3).
Тема «Алгебраические и трансцендентные числа»
Введение.
Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков
счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях
развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.
Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие
арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более
широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В
теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество
всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.
Если рассматривать корни многочленов: f(x)=xn+a1xn-1+…+an с целыми
коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот
многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно
выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой
корни многочленов с целыми коэффициентами.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией
чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.
I. Краткий исторический очерк.
Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы
К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его
исследования положили начала алгебраической теории чисел.
Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (18101893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (18091882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел.
Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.
В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел
привлекает алгебраическая теория чисел.
Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих
теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о
наименьшем квадратичном вычете.
К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.
II. Поле алгебраических чисел.
2.1 Понятие числового поля
Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных
множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или
иных действий.
Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто
относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М,
для которых определен результат данного действия над ним, число,
является этим результатом, всегда принадлежащим М.
Пример:
1) N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения,
т.к. a, bN  (a+b) N.
В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:
5, 7 N, но 5-7=-2 N,
3, 2N, но 3:2=1,5 N
2) Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
3) Множество чисел вида 2к, кN, замкнуто относительно умножения и
деления.
2к2l=2k+l
2к:2l=2k-l
В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.
Рассмотрим один их классов, называемых полем.
Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел,
называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления.
Последнее означает, что для любых a, b M, должно иметь место a+b, a-b,
a*b M. Так же для любого aM и любого b0 из М, должно выполняться
a:bM.
Пример:
Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:
1) поле всех рациональных чисел;
2) поле всех вещественных чисел;
3) поле всех комплексных чисел.
Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым
полем, ибо не замкнуто относительно деления.
Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел.
2.2 Определение алгебраического числа.
Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z
выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С
точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, есте-
ственным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному
классу чисел.
Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является
корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:
n
anx +an-1xn-1+…+a1x+a0=0
(a0, a1, … ,anZ; an0),
т.е. выполняется:
anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0
Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.
В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, … ,an-1, an были любыми рациональными числами, поскольку,
умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим
кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми
коэффициентами, корнем которого будет наше число.
К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные
числа. Действительно, рациональное число z=
p
(p, qN) очевидно является
q
корнем уравнения: qx-p=0.
Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= n p (p, qN) является
q
корнем уравнения:
qxn-p=0.
Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.
Пример:
1) Чиcло z= 2  3 является алгебраическим. Действительно, возводя в
квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим:
z2=2+2 2 3 +3. Отсюда z2-5= 2 6 . Возводя в квадрат обе части этого
равенства, получим: z4-10z2+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения:
x4-10x2+1=0
2) Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные
числа, являются алгебраическими. Докажем это.
p
p
, b  (p, q, p, q N).
q
q
p p
Из равенства z   i , получаем: pqz  pq  qpi . Отсюда, возводя в
q q
a
квадрат, получим: q 2q2 z 2  2 pqq2 z  p 2q2  q 2 p2 . Следовательно, я является корнем уравнения:
(q 2q2 ) x 2  (2 pqq2 ) x  ( p 2q2  q 2 p2 )  0
все коэффициенты которого целые числа.
В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.
Из f(x)=0 следует f(z)(x)=0, где в качестве (x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического
числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.
Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z,
если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей
чем n, корнем которого является z.
Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть
корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е. z – алгебраическое число степени n.
Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени.
Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое
число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми
коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с
целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют
кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.
Пример:
1) 3 2 - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени
с целыми коэффициентами x3-2=0 и 3 2 не является корнем какоголибо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.
Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем
многочлена f(x)=xn+b1xn-1+ … +bn (n1) (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z.
Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен
наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.
Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший
член.
Пример:
1) Минимальным многочленом для 3 2 является x3-2, так как корень этого многочлена 3 2 не является корнем какого-либо многочлена степени
с рациональными коэффициентами.
Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и
f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0,
то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.
Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде:
F(x)=f(x)g(x)+r(x)
где g(x) и к(ч) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем
степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального
для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только
если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема
доказана.
Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.
Доказательство:
Пусть f(x) – минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е., что f(x)=(x)(x), (x)(x) –
многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n.
Из равенства (x)(x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел (x) и (x), по
крайней мере одно равно нулю. Пусть например (x)=0, тогда z – корень тождественно не равного нулю многочлена (x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому,
что f(x) – минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим
над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над
этим полем. Теорема доказана.
Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел
многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z –
алгебраическое число степени n.
Доказательство:
Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы
1: F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными коэффициентами.
Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где c – рационально. F(x)=cf(x), т.е. z – алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана.
Пример:
Пусть p – простое число.
p
a при любом простом целом a (a>1), не равном p-ой степени другого
целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это
число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена.
xp-a=0
Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен
для z, то все корни z1, z2, … zn уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z.
Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место, т.е.
z=z1.
2.3. Поле алгебраических чисел
Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное
двух алгебраических чисел  и  (для частного при 0) являются алгебраическими числами.
Доказательство:
1) Пусть  - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого 1, 2, … ,n,  и  - корень многочлена (x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого 1, 2, … m
(=1). Рассмотрим многочлен:
n
m
F(x)=  (x-(i+i))=
i 1 j 1
= (x-1-1) (x-1-2) … (x-1-m)
(x-2-1) (x-2-2) … (x-2-m)
-------------------------(x-n-1) (x-n-2) … (x-n-m)
(2)
Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин 1,
2, … ,n, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению 1, 2, … m. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем
аргументов: 1, 2, … ,n и 1, 2, … m.
Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от 1, 2, … ,n и 1, 2, … m, т.е. через целые
коэффициенты, f(x) и (x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и,
следовательно, число +=1+1, являющегося, как это непосредственно видно
из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.
2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел  и  есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому,
как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть
многочлен:
n
m
F(x)=  (x-ii)
i 1 j 1
(3)
Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней 11=.
3) Пусть  - корень многочлена (x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi – целые числа). Тогда - является корнем многочлена с целыми коэффициентами.
(-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при 0 корень многочлена
1
x
xn( )=b0+b1x+ … bnxn. Таким образом, вместе с  алгебраическими числами
являются - и
1
.

Разность может быть представлена в виде +(-), т.е. в виде суммы двух
алгебраических чисел. При 0 частное

1
  , являясь произведением двух


алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число.
Если степени алгебраических чисел  и  равны m и n, то, взяв в качестве
f(x) и (x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь
многочлены степени mn, и  алгебраические числа степени, не большей, чем
mn. Многочлены (x), (-x), и xn 
,
1
одинаковой степени, а, следовательно, , x
1
- алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и - и
β
α
имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана.
β
Пример:
1) 2 и 3 алгебраические числа 2-й степени, а 2  3 - алгебраическое
число 4 степени. Действительно, если = 2  3 , то 2=5+ 2 6 , 24-102+1=0,
т.е.  корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x2  3 )(x- 2  3 )(x+ 2  3 )(x+ 2  3 )
(4)
Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители
f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с
рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно
теореме 3, 2  3 - алгебраическое число 4-й степени.
2) = 6 3 и = 6 12 , как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение = 3 6 - алгебраическое число 3-й степени.
III. Рациональные приближения алгебраических чисел.
3.1. Теорема Лиувилля.
Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных
приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной
дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной,
обратной знаменателю рациональной дроби.
Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая, что для любой рациональной дроби
a
, отличной от , будет выполняться
b
неравенство:

a c

b b
(5)
Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое, что
для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство:

a
c
 2
b b
(6)
В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана
общая теорема:
Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа  степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от , такое,
что для всех рациональных чисел
a a
( ) будет иметь место неравенb b
ство:

a
c
 n
b b
(7)
Доказательство:
Пусть f(x)=A0xn+ A1xn-1+An неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является . В качестве f(x) можно, например, взять
многочлен, получающийся из минимального для  многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей.
Согласно теореме Безу, имеем:
f(x)=(x-)g(x),
(8)
где g(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Возьмем произвольное >0. |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте -; +, т.е. существует положительное
число M, такое, что |g(x)|M, для всех x из этого сегмента. Обозначим через
c=min (
1
1
,  ) , так, что c 
и c.
M
M
Для произвольного рационального числа
a
могут представиться две возb
можности:
a
a
c
лежит вне сегмента |-; +|, тогда      c  n
b
b
b
a
2)
удовлетворяет неравенствам:
b
a
a
- +, тогда |g( )|M и, подb
b
a
ставляя в (8) вместо x значение , получаем:
b
1)
f(
a
a
a
a 1
a
)   α  g( )  M α   α 
b
b
b
b c
b
(9)
Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени
n2 не имеет рациональных корней, а при n=1 не имеет корней, отличных от ,
так что:
A0 a n  A1a n 1b  ...  Anb n
a
f( )=
0
b
bn
Поскольку числитель A0 a n  A1a n 1b  ...  Anb n - целое неотрицательное, отa
b
личное от нуля, т.е. число большее или равное 1, то f ( ) 
вая неравенства (9) и (10) получаем

1
bn
(10). Сравни-
1
a
1
   n , так что и в этом случае имеем:
b
b b
a
c
 n . Теорема доказана.
b b
Пример:
Пусть z – неквадратное целое число. Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел
a
имело бы место неравенство:
b
a
c
D   .
b b
D - корень многочлена x-В. Деля x2-D на x- D , находим g(x)=x+ D .
При D -<x< D + имеем g ( x)  2 D   , т.е. M= 2 D +. В качестве c
1
1
берем min(
,  ) , при этом выгодней всего взять  так, что  
,
2 D 
2 D 
2+ 2 D -1=0, т.е. =  D  D  1 .
При таком  получаем c  D  1  D , так что при любых целых a и b
a
D 1  D
имеем: D  
.
b
b2
3.2. Трансцендентные числа Лиувилля.
Числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами, не
исчерпывают все множество действительных чисел, т.е. существуют действительные числа отличные от алгебраических.
Определение 6: Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.
Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем.
Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля
эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры
трансцендентных чисел.
Теорема 6: Пусть  – действительное число. Если для любого натурального n1 и любого действительного c>0 существует хотя бы одна рациональная дробь
a a
a
c
, (   ) , такая, что    n (11), то
b b
b b
 – транс-
цендентное число.
Доказательство:
Если бы  было алгебраическим, то нашлось бы (теорема 5) целое положительное n и действительное c>0 такие, что для любой дроби

a
было бы
b
a
c
 n , а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что
b b
 алгебраическое число, т.е. трансцендентное число. Теорема доказана.
Числа , для которых при любых n1 и c>0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля.
Пример:
1)  
1
1
1
 2!  3!  ...  0,1100010...
1!
10 10
10
a – трансцендентное число.
Возьмем произвольные действительные
n1
и
c>0.
Пусть
1
1
1
2
 2!  ...  k ! ), b  10k ! , где k выбрано настолько большим, что 10 k ! 
1!
10 10
10
c
a
1
1
1 1
2
1
1
и kn, тогда    ( k 1)!  ( k  2)!  ...  (1   2  ...)  k !  k !k  c n
b 10
10
2 2
10 10
b
a
Поскольку для произвольных n1 и c>0 можно найти дробь такую, что
b
a
с
   n , то  – трансцендентное число.
b b
a  10k !  (
Простые Числа Мерсенна, совершенные числа
Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)Мр =
2р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии
наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это - простые числа
Мерсенна. Однако, число
2)М11=2047=23 . 89
простым не является. До 1750 года было
найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард
Люка установил, что число
3)М127=170141183460469231731687303715884105727 - простое. В 1883 г. Сельский
священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено,
что числа М89 и М107 - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать,
что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 - простые. К
настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых
М216091 имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной
связью с совершенными числами.
Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р.
Евклид доказал, что если р и 2р-1 - простые числа, то число
4)Рр=2р-1(2р-1)=2р-1Мр
является совершенным.
Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ...
р-1
,2 ,Мр,2Мр, ... ,2р-1Мр .
Их сумма Sp=(1+2+ ... +2р-1)(Мр+1)=(2р-1) . 2р=2 . 2р-1 Мр. Вычитая из S само число Рр ,
убеждаемся, что сумма всех делителей числа Рр равна этому числу, следовательно Рр - совершенное число.
Числа Р2=6 и Р3=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5=496 и Р7=8128 нашел
Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:
6)Р13=33550336, Р17=8589869056, Р19=137438691328, Р31=2305843008139952128.
Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рр имеют очень много цифр.
До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение,
что числа Р17, Р19, Р31 являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто
лет до Мерсенна числа Р17, Р19 нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим
избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число
28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт
новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.
Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая
само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен
1. В двоичной системе совершенное число Рр начинается р единицами, потом следуют р-1
нулей. Например:
7) Р2=110, Р3=11100, Р5 =111110000, Р7 =1111111000000 и т.д.
Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей
предшествует 2.
Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1 . Мр, где Мрпростое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного
числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.
Заключение.
Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для
практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней
школы.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов
современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел.
К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.
Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену.
В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами.
Все теоремы даны с полными доказательствами. Приведенные примеры алгебраических чи-
сел и действий над ними, даны с доступными пояснениями и, при необходимости, с доказательством.
Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории
чисел. Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, первый параграф посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Так же на протяжении всей
работы можно наблюдать исторические комментарии.
Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще, как о
развивающейся науке.