Алгебра высказываний. Цели: 1. Введение в предмет “Алгебра логики”.

.
Алгебра высказываний.
Цели:
1. Введение в предмет “Алгебра логики”.
2. Сформировать у учащихся понятия: формы мышления, алгебра высказываний, логическое
высказывание, логические величины, логические операции.
Ход урока.
I. Изложение нового материала.
Двоичное кодирование – се виды информации кодируются с помощью 0и1.
Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных.
Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой использовал 0и1 (алгебра логики/булева алгебра
– раздел дискретной математики)
Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах
рассуждений и доказательств. Из ее составляющих – понятие, суждение (высказывание),
умозаключение, мы рассмотрим - логическое высказывание
Что же такое логическое высказывание?
Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo
мoжно oднoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo.
Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, и может быть либо простым, либо
составным (сложным).
Например:
Истинное и простое высказывание: Буква “т” - согласная.
2. Ложное и сложное высказывание: Осень наступила, и грачи прилетели.
предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное.
Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.
Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями
не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный
предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком
неопределённое понятие "интересный предмет".
Предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются
высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные
сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Вопросительные и восклицательные
предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается.
Например:
1. Уходя, гасите свет!
2. Кто хочет быть счастливым?
Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих
знаков. Например: 5>3, H2O+SO2=H2SO4.
Упражнение 3 (устно). Объясните, почему следующие высказывания не являются
высказываниями:
1. Какого цвета твой велосипед?
2. Число Х больше пяти?
3. 5Х-2
4. Посмотрите в окно.
5. Пейте томатный сок!
6. Вы были в музее?
7. Разность чисел 12 и Х равна 6.
Упражнение 4 (устно). Какие из следующих высказываний являются истинными, а какие
ложными?
Город Москва – столица России.
2. Число 12 – простое.
3. 7*3=1.
4. 12<15.
5. Сканер – устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране
компьютера.
6. Клавиатура – устройство ввода информации.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... ,
то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые
высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок,
называются составными. Высказывания, не являющиеся составными,
называются элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров — шахматист" при
помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист",
понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".
При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание
"Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или
шахматист, или и врач и шахматист одновременно".
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от
истинности или ложности элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А
обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом
отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в
горах" можно кратко записать как А и В. Здесь "и" — логическая связка, А, В —
логические переменные, которые мoгут принимать только два значения —
"истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и
имеет свое название и обозначение:
В соответствии с определением импликации истинны высказывания:
Если все ученики класса напишут контрольную по физике на отлично, то слоны в Африке
живут.
Следующие импликации являются ложными, т.к. в них посылки истинны, а заключения ложны:
Если 2*2=4, то через Смоленск протекает Енисей.
Если через Смоленск протекает Днепр, то Луна сделана из теста.
Далее следует таблица, которая будет необходима Вам при изучении темы.
Логическая
операция
Название
Соответствует
союзу
Обозначение
знаками
Таблица
истинности
А
1 0
Инверсия
(от лат.
inversion –
переворачиваю)
0 1
отрицание
не А
АВ
Конъюнкция
(от лат.
conjunction –
связываю)
1 1 1
Логическое
умножение
АиВ
а,но
1 0 0
0 1 0
0 0 0
АВ
1 1 1
Дизъюнкция
(от лат.
disjunction –
различаю)
Логическое
сложение
А или В
либо
1 0 1
0 1 1
0 0 0
АВ
Импликация
(от лат.
implication – тесно
связывать)
Логическое
следование
Если А, то В;
Когда А,
тогдаВ
Достаточно,
из..следует,
…влечет…
1 1 1
А–
условие
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Вследствие
АВ
Эквивалентность
(от лат. equivalents
- равноценность)
Логическое
равенство
А тогда и
только тогда,
когда В
Необходимо и
достаточно,
..равносильно..,
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Логическая
операция
Опр. 8 Инверсия
логической
переменной
истина, если
переменная
ложна, и,
наоборот,
инверсия ложна,
если переменная
истинна.
Опр.9Конъюнкция
двух логических
переменных
истинна тогда и
только тогда,
когда оба
высказывания,
истинны.
Опр. 10
Дизъюнкция двух
логических
переменных
ложна тогда и
только тогда,
когда оба
высказывания
ложны.
Опр. 11
Импликация двух
логических
переменных
ложна тогда и
только тогда,
когда из
истинного
основания следует
ложное следствие.
Опр. 12
Эквивалентность
двух логических
переменных
истинна тогда и
только тогда,
когда оба
высказывания
одновременно
либо ложны, либо
истинны