Ход урока - yarkovskayaschool.ru

Место урока:
Урок 22. Обобщающий урок 1, по главе «Производная и её применение», из 25
уроков
Цели урока:
1. Обобщить знания учащихся по теме «Исследование функции на монотонность и
экстремумы» и выяснить степень готовности учащихся к контрольной работе.
2. Способствовать развитию навыков применения теоретических знаний в
практической деятельности.
3. Способствовать воспитанию ответственности за качество и результат выполняемой
работы на уроке.
Задачи:
1. Повторить алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы с
помощью производной.
2. Используя алгоритмы исследования функций с помощью производной, применить
их для решения конкретных задач.
3. Формировать глубину и оперативность мышления.
Планируемый результат урока:
1. Учащиеся знают алгоритмы исследования функций на монотонность и экстремумы и
готовы к выполнению контрольной работы
2. Учащиеся отработали навыки применения теоретических знаний для исследования
конкретных функции на примерах.
3. Учащиеся почуствовали ответственность за качество и результат выполняемой
работы на уроке.
Ход урока:
I этап - Организационный момент: Объявление темы урока, постановка целей и задач
урока
II этап - Исторический материал (готовит ученик): Производная – одно из
фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 17 веке в связи с необходимостью
решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих
двух: определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к
прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым
мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое
представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему
другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.
Исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном, получило название дифференциального
исчисления. С его помощью был решён целый ряд задач теоретической механики, физики
и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, учёные
предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки 17 века. С
помощью тех же методов математики в 17 и 18 веках изучали различные кривые, нашли
кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить
кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л.
Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление». Основные понятия
дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы.
Однако в начале 19 века О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления
на основе понятия предела. Применяемая сейчас система обозначений для производной
восходит к Лейбницу и Лагранжу. В настоящее время понятие производной находит
большое применение в различных областях науки и техники.
III этап – Актуализация знаний (повторение формул, правил дифференцирования,
теоретического материала).
1. Разминка №1 (вычисление производных элементарных функций)
В это время на мультимедийном экране высвечиваются примеры для устного
нахождения производной (отвечают все учащиеся класса по цепочке).Слайды №5-6.
Найдите производную функции
1. y=3x
8.
2. y=4x2
9.
3. y=x-5
4.
5.
y=
x
1
x
6. y=x2+3sinx
y=
10.
11.
12.
15.
y=sin2x
22.
y=cos3x
16.
y=cos22x
23.
y=cos(4x-1)
x
6
y= x
2
17.
2
y= x  33  1
24.
y= 2 x
18.
y=-
y= 54
x
y=4x2+
1
x
25.
26.
19.
1
y= 8  3
x
x
2
20.
y=cos2x
21.
y=
13.
14.
2
y=4-x4
y=
7. y=3x2+2x+5
1
+5
x2
y= 1
2x
y=ctg(xy=tg(
y=

3

4
)
-2x)
4 x 4  3x 3  x
x4
5
(6  2 x ) 4
2. Повторение теоретического материала. Устный опрос. Слайд №4
Вы уже накопили некоторый опыт нахождения производной и исследования
функций. Ответьте на вопросы.
 Что значит исследовать функцию на монотонность?
 Можно ли по знаку производной определить характер монотонности функции на
промежутке? Ответ поясните.
 Для какой функции на промежутке выполняется равенство f'(x)=0?
 Какие точки области определения функции называются стационарными,
критическими?
 Какие точки называются точками экстремума функции?
 В каком случае стационарная или критическая точка является точкой экстремума, а
в каком – не является? Приведите условную схему для знаков производной.
 Каков алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и
экстремумы?
Устные задания
у
1
На рисунке изображен
график функции у = f(x).
Найдите число
промежутков возрастания.
y = f (x)
1
0
х
1
4
Устные задания
у
Исследуйте функцию на
монотонность по графику ее
производной. В ответ
запишите наибольшую длину
отрезка убывания.
2
y = f ′(x)
1
0
х
1
3
3. Разминка №2. Работа в группах по графикам функций, графикам производной
функции. Каждая группа по очереди дает ответ на предложенное задание. Задания:
слайды №7 - №13.
у
Устные задания
y = f ′(x)
1
На рисунке изображен
график производной функции
f(x). Найдите число
промежутков возрастания.
3
2
4.
0
у у
+
-
+
1
х
х
Устные задания
у
y = f (x)
Определите по графику
функции характер точек
экстремума и экстремумы
функции y = f(x) .
4
1
-2
0
-2
х
1
2
5.
Устные задания
у
Определите количество
точек экстремума по
графику производной
функции y = f(x).
5
y = f ′(x)
1
0
х
1
4
6.
6
На рисунке изображен график производной функции f (x),
определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума функции f (x)
и определите ее характер.
Решите устно!
1
3
-3
4
Ответ: -3.
Ответ: 4.
4
2
7
-1
7.
Ответ: 7.
Ответ: -1.
7
На рисунке изображен график производной функции y = f (x),
определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек
минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].
Ответ: 1 .
8.
9.
Задания ЕГЭ
(В8)
1.
На рисунке изображен график производной функции f (x),
определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума
функции f (x) .
2.
На рисунке изображен график производной функции y = f (x),
определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек
максимума (минимума) функции y = f (x) на отрезке [a; b].
3.
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (x1; x2). Найдите промежутки
возрастания (убывания) функции f(x).
10.
Задача 1. На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале ( ; ). Найдите
промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите
длину наибольшего из них.
Решение.
6
11.
Найдем промежутки
убывания функции, т.е.
промежутки на которых f´(x)
< 0.
Задача 2. На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (x1; x2). Найдите промежутки убывания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение.
Найдем промежутки
убывания функции, т.е.
промежутки на которых
f´(x) < 0.
1
6
-4
-10
Наибольшую длину из них
имеет промежуток (-10; -4)
Ответ: 6 .
Решение.
Решение аналогично: ищем
промежутки на которых f´(x)
< 0.
Наибольший из них имеет
длину равную 3.
2
3
Ответ: 3 .
12.
Задача 3. На рисунке изображен график производной функции y = f
(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки
возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из
них.
-10
-1
-7
2
6
Решение.
В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции,
т.е. промежутки на которых f (x) > 0.
В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из
них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
-1-(-7) = 6.
Ответ: 6 .
13.
Задача 4. На рисунке изображен график производной функции y = f (x),
определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек
экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3; 10 ].
1
Ответ: 4 .
2
Ответ: 4 .
14.
Задача 5. На рисунке изображен график производной функции y = f
(x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек
максимума функции y = f (x) на отрезке [a; b].
Решение.
1
Найдем точки в которых
f   x   0. Это: -3; 3; 5.
+
a
-
x0 - точка максимума, если
b
производная при переходе
через x0 меняет свой знак
с плюса на минус.
Условие выполняется в
точке x = 3.
Ответ: 1 .
2
Решение.
a
Решение аналогично.
Условие выполняется в
точках: -1; 8; 13.
+ - + -b
+ -
Ответ: 3 .
15.
Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f (x),
определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции
f (x) на отрезке [-6; 4].
-6
+ -3
-
4
Решение.
Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.
На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3)
и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть
искомая точка экстремума функции на отрезке.
Ответ: -3.
16.
17.
IV этап – Защита задания по группам.
4 варианта задания (раздаточный материал на столе) – лист с графиками функций и
графиками производных, вопросы к ним. На подготовку 6-7 минут. Защита 2-3 минуты,
по 2человека от группы: каждому – один график.
V этап - Применение теоретического материала к решению задач на исследование
функций и построение их графиков. Индивидуальная работа на листах. Листы сдаются,
проверка правильности выполнения заданий со слайдов презентации «Применение
производной к исследованию функций»:
1 вариант - № 8, 2 вариант- № 7, 3 вариант - № 13
VI этап - Рефлексия деятельности на уроке. Вопросы учителя учащимся.
Получилось ли у вас систематизировать знания по данной теме?
Что оказалось трудным на уроке: задания, организация деятельности, темп?
Какое у вас настроение в конце занятия?
Можете ли вы пересказать материал урока однокласснику, пропустившему урок?
VII этап – Домашнее задание. Исследовать и построить графики функций:
слайды № 9 и № 10 презентации «Применение
производной к исследованию функций».