Элементы теории игр

http://emm.ostu.ru/lect/lect5.htm
Элементы теории игр
1. Основные понятия и определения. Предмет теории игр
Довольно часто в своей практической деятельности человеку приходится
сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решение в условиях, когда две
или более стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из
сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие, например, при
игре в шахматы, шашки или домино, относят к конфликтным: результат каждого хода
игрока зависит от ответного хода противника. Каков будет этот ответный ход, заранее
неизвестно, поэтому говорят, что решение приходится принимать в условиях
неопределенности. Цель игры - выигрыш одного из участников.
В экономике конфликтные ситуации встречаются часто и имеют многообразный
характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и
потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. В этих примерах
конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением
каждого из них принимать решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей
степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с
целями партнера, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут
принимать.
Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы
которых полностью или частично противоположны.
Для рационального решения задач с конфликтными ситуациями существуют научно
обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных
ситуаций, которая называется теорией игр.
Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по
крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению
собственных целей.
Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой
цели, называются правилами игры.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если
число игроков больше двух. Далее будем рассматривать только парные игры. В такой игре
участвуют два игрока - A и B, интересы которых противоположны. Под игрой (процессом
игры) будет понимать ряд действий со стороны A и B.
Количественная оценка результатов игры называется платежом.
Парная игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если
сумма платежей равна нулю, т.е выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В
этом случае для полного задания игры достаточно указать одну из величин. Если,
например, a – выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой
суммой b = -a, поэтому достаточно рассматривать, например, a.
В рамках данного курса будем рассматривать парные игры с нулевой суммой.
Выбор и осуществление одного из действий, предусмотренных правилами,
называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.
Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий
(например, ход в шахматной игре).
Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из
перетасованной колоды).
В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его
действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.
Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости
от конкретной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что решения приняты игроком
заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал
определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или
программы.
Игра называется конечной, если у каждого игрока есть конечное число стратегий, и
бесконечной – в противном случае.
Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает игроку
максимальный выигрыш (или, что то же самое, минимальный проигрыш), при условии,
что второй игрок придерживается своей стратегии.
Если игра повторяется много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и
проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех
партиях.
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, необходимо для каждого из
игроков выбрать оптимальную стратегию.
Таким образом, предмет теории игр составляют методы отыскания оптимальных
стратегий игроков.
При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут
себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве
реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме
того, в экономике, как правило, имеют место задачи, в которых интересы партнеров не
обязательно антагонистические. Однако решение игр при наличии многих участников,
имеющих непротиворечивые интересы, - это гораздо более сложная задача.
Мы ограничимся рассмотрением парных игр с нулевой суммой.
2. Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях
Рассмотрим парную конечную игру.
Пусть игрок А располагает m личными стратегиями: A1, A2, …, Am. Пусть у игрока B
имеется n личных стратегий. Обозначим их B1, B2, …, Bn. В этом случае игра имеет
размерность mxn. В результате выбора игроками любой пары стратегий Ai,Bj (
) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш aij игрока А (положительный
или отрицательный) и проигрыш ( - aij) игрока В.
Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Ai,Bj).
Матрица А = (aij),
, элементами которой являются выигрыши,
соответствующие стратегиям Ai и Bj, называется платежной матрицей или матрицей
игры.
Общий вид платежной матрицы приведен ниже:
A=
a11 a12
a21 a22
am1 am2
...
...
a1n
a2n
...
... amn
.
Платежную матрицу также часто представляют в виде таблицы (см. таблицу 5.1).
Таблица 5.1 - Общий вид платежной матрицы
B1
B2
a11
A1
a21
A2
...
...
am1
Am
Строки матрицы А соответствуют
стратегиям второго.
Эти стратегии называются чистыми.
...
a12
...
a22
...
...
...
am2
...
стратегиям первого
Bn
A1n
A2n
...
Amn
игрока, а столбцы –
Пример 5.1. Составьте платежную матрицу для следующей игры (игра "Поиск").
Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II); игрок B ищет игрока
A, и если найдет, то получает штраф 1 денежную единицу от А, в противном случае платит игроку А 1 денежную единицу.
Решение.
Для того чтобы составить платежную матрицу следует проанализировать поведение
каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию
через A1, или в убежище II - стратегия A2.
Для того чтобы составить платежную матрицу следует проанализировать поведение
каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию
через A1, или в убежище II - стратегия A2.
Игрок B может искать первого игрока в убежище I - стратегия B1, либо в убежище II
- стратегия B2. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок B, т.е.
осуществляется пара стратегий (A1, B1), то игрок А платит штраф, т.е. a11 = -1. Аналогично
a22 = -1.
Очевидно, что комбинации стратегий (A1, B2) и (A2, B1) дают игроку А выигрыш,
равный единице, поэтому a12 = a21 = 1.
Таким образом, для игры "Поиск" размера 2x2 получаем следующую платежную
матрицу:
A=
-1 1
1 -1 .
Рассмотрим игру размера mxn c матрицей А = (aij),
и определим лучшую
среди стратегий A1, A2, …, Am.
Выбирая стратегию Ai, игрок А должен рассчитывать , что игрок В ответит на нее
той из стратегий Bj, для которой выигрыш игрока А минимален (игрок В стремится
"навредить" игроку А).
Обозначим - наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Ai для всех
возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-ой строке платежной матрицы), т.е.
.
Среди чисел (
) выберем наибольшее
. Назовем нижней ценой
игры или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный
выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В.
Итоговую формулу можно записать следующим образом:
.
Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.
Аналогичные рассуждения могут быть выполнены и в отношении игрока B.
Игрок B заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А.
Выбирая стратегию Bj, он учитывает, что игрок A будет стремиться к
максимальному выигрышу.
Обозначим
- наибольший проигрыш игрока B при выборе им стратегии Bj
для всех возможных стратегий игрока A (наибольшее число в j-ой строке платежной
матрицы).
Среди чисел (
) выберем наименьшее
и назовем верхней ценой
игры или минимаксом. Это минимальный гарантированный проигрыш игрока В.
Таким образом:
.
Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и
минимаксной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из
разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной
цели противника.
Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать
неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".
Вернемся к примеру 5.1 и определим нижнюю и верхнюю цену игры в задаче
"Поиск".
Рассмотрим платежную матрицу:
-1 1
1 -1 .
При выборе стратегии A1 (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен 1
= min (-1; 1) = -1 и соответствует стратегии B1 игрока B. При выборе стратегии A2 (вторая
строка матрицы) минимальный выигрыш равен 2 = min (-1; 1) = -1, он достигается при
использовании игроком B стратегии B2.
Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока B, т.е.
нижнюю цену игры = max ( 1; 2) = max (-1; -1) = -1, игрок А может выбрать любую
стратегию: A1 или A2, т.е. любая его стратегия является максиминной.
Выбирая стратегию B1 (первый столбец), игрок B понимает, что игрок А ответит
стратегией A2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш игрока B).
Следовательно, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии B1 равен 1 =
max (-1; 1) = 1.
Аналогично, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии B2 (второй
столбец) равен 2 = max (1; -1) = 1.
Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный
проигрыш игрока B равен = min ( 1, 2) = min (1, 1) = 1 - верхней цене игры.
Любая стратегия игрока B является минимаксной.
A=
Результаты наших рассуждений сведем в таблицу 5.2, которая представляет собой
платежную матрицу с дополнительной строкой j и столбцом i. На их пересечении будем
записывать верхнюю и нижнюю цену игры.
Таблица 5.2 - Платежная матрица игры "Поиск" с дополнительными строкой и столбцом
B1
B2
i
A1
A2
-1
1
1
-1
-1
-1
j
1
1
Таким образом, в рассматриваемой задаче нижняя и верхняя цены игры различны:
≠ .
Если же верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и
нижней цены v = = называется чистой ценой игры, или просто ценой игры.
Максиминная и минимаксная стратегии, соответствующие цене игры, являются
оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или просто
решением игры.
В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от
поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного
(не зависящего от поведения игрока А) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает
устойчивостью, т.е., если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии,
то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Пара чистых стратегий Ai и Bj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда,
когда соответствующий ей элемент aij является одновременно наибольшим в своем
столбце и наименьшим в своей строке.
Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с
поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).
Таким образом, для игры с седловой точкой нахождение решения заключается в
выборе максиминной и минимаксной стратегии, которые и являются оптимальными.
Далее рассмотрим пример.
Пример 5.2. Определите нижнюю и верхнюю цену игры, которая задана следующей
платежной матрицей:
A=
0,5 0,6 0,8
0,9 0,7 0,8
0,7 0,6 0,6
.
Решение.
Выясним, имеет ли игра седловую точку. Решение удобно проводить в таблице.
Таблица 5.3 включает платежную матрицу игры, а также дополнительные строку и
столбец, которые иллюстрируют процесс поиска оптимальных стратегий.
Таблица 5.3 - Платежная матрица примера 5.2 с дополнительными строкой и столбцом
B1
B2
B3
i
0,5
0,6
0,8
0,5
0,9
0,7
0,8
0,7
0,7
0,6
0,6
0,6
0,9
0,7
0,8
= = 0,7
j
Приведем некоторые пояснения.
Столбец i заполнен на основе анализа строк матрицы (стратегии игрока A):
=
0,7;
2
3 = 0,6 - минимальные числа в строках.
Аналогично, 1 = 0,9; 2 = 0,7; 3 = 0,8 - максимальные числа в столбцах.
A1
A2
A3
Нижняя цена игры
столбце i).
=
i
1
= 0,5;
= max (0,5; 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольший элемент в
Верхняя цена игры =
j = min (0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьший элемент в строке
Эти значения равны, т.е. = , и достигаются на паре стратегий (A2,B2). Цена игры v =
0,7.
Таким образом, оптимальное решение состоит в выборе игроками А и В стратегий А2
и В2 соответственно.
Пример 5.2 наглядно демонстрирует свойство устойчивости решения. Можно
убедиться, что если любой из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то
другому заведомо невыгодно отступать от своей оптимальной стратегии.
j).
3. Решение игр в смешанных стратегиях
Итак, для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе
максиминной и минимаксной стратегий, которые и являются оптимальными.
Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает
оптимального решения игры. Например, в игре "Поиск" (пример 5.1) седловая точка
отсутствует.
В этом случае можно получить оптимальное решение, чередуя чистые стратегии.
Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2,
…, Аm c вероятностями u1, u2, …, um.
Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор: U = (u1, u2, …,
um), а стратегию второго игрока как вектор: Z = (z1, z2, …, zm).
Очевидно, что:
ui ≥ 0,
,
zj ≥ 0,
,
ui = 1,
zj = 1.
Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать вектором,
в котором единица соответствует чистой стратегии.
Оптимальное решение игры (или просто - решение игры) – это пара оптимальных
стратегий U*, Z*, в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если
один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть
выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению,
называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству:
≤v≤ ,
Справедлива следующая основная теорема теории игр.
Теорема Неймана. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет решение в
смешанных стратегиях.
Пусть U* = ( , , ..., ) и Z* = ( , , ..., ) - пара оптимальных стратегий. Если
чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной
от нуля, то она называется активной.
Теорема об активных стратегиях. Если один из игроков придерживается своей
оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене
игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий..
Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные модели для
нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.
Рассмотрим игру размера 2x2.
Такая игра является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет
седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответствующих
этой точке.
Для игры, в которой отсутствует седловая точка в соответствии с теоремой Неймана,
оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий U * = ( , )
и Z* = ( , ).
Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если
игрок А придерживается своей оптимальной стратегии U*, то его средний выигрыш будет
равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2x2
любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка.
Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) – случайная величина, математическое
ожидание которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (при
использовании оптимальной стратегии) будет равен v и для первой, и для второй
стратегии противника.
Пусть игра задача платежной матрицей:
A=
a11 a12
a21 a22
.
Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную
стратегию U* = ( , ), а игрок В – чистую стратегию B1 (что соответствует первому
столбцу платежной матрицы), равен цене игры v, т.е.:
a11 + a21 = v.
Тот же средний выигрыш получает игрок А, если противник применяет стратегию
B2, т.е. a12 + a22 = v. Учитывая, что + = 1, получим систему уравнений:
a11 + a21
a12 + a22
+ = 1.
= v,
= v,
(5.1)
Решая систему(5.1), можно найти оптимальную стратегию U* и цену игры v.
Аналогичная система уравнений может быть получена для определения оптимальной
стратегии игрока В:
a11 + a12
a21 + a22
+ = 1.
= v,
= v,
Далее вернемся к решению игры "Поиск" (пример 5.1).
Игра задана платежной матрицей без седловой точки:
(5.2)
-1 1
= -1,
= 1.
1 -1 ,
Будем искать решение в смешанных стратегиях. Составим систему уравнений (5.1)
для нахождения стратегий игрока А:
A=
- + = v,
- = v,
+ = 1.
Выразим
уравнения:
из третьего уравнения:
= 1 -
. Сделаем подстановку в другие
- + 1 - = v,
- 1 + = v,
преобразуя, получим:
2
2
+ v = 1,
- v = 1,
сложим уравнения:
4 = 2, откуда = 1/2, v = 0,
Система уравнений для игрока B (система (5.2)):
= 1/2.
- + = 0,
- = 0,
+ = 1,
откуда: = = 1/2.
Таким образом, оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы
чередовать свои чистые стратегии, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при
этом гарантированный средний выигрыш каждого из игроков равен нулю.
Далее рассчитаем еще один пример.
Пример 5.3. Найдите решение игры, заданной платежной матрицей:
A=
2 5
6 4
.
Решение.
Прежде всего, проверим наличие седловой точки. Для этого найдем минимальные
элементы в каждой из строк (2 и 4) и максимальные в каждом из столбцов (6 и 5). Таким
образом, нижняя цена игры = max (2, 4) = 4, верхняя цена игры = min (6, 5) = 5.
Поскольку ≠ , решение игры следует искать в смешанных стратегиях, при этом цена
игры находится в следующих пределах: 4 ≤ v ≤ 5.
Предположим, что для игрока А стратегия задается вектором U = (u1, u2). Тогда на
основании теоремы об активных стратегиях можно записать систему уравнений:
2
5
+ 6 = v,
+ 4 = v,
+ = 1.
Решая систему из трех уравнений с тремя неизвестными, получим: = 2/5, = 3/5, v
= 22/5.
Теперь найдем оптимальную стратегию игрока В. Пусть стратегия данного игрока
задается вектором Z = (z1, z2). Система уравнений (5.2), основанная на использовании
теоремы об активных стратегиях, запишется следующим образом:
2 + 5 = 22/5,
6 + 4 = 22/5,
+ = 1.
Решая систему, состоящую из любых двух уравнений, взятых из последней системы,
получим = 1/5, = 4/5.
Следовательно, решением игры примера 5.3 являются смешанные стратегии: U* =
(2/5, 3/5), Z* = (1/5, 4/5), цена игры v = 22/5.
4. Геометрическая интерпретация игр
Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую
интерпретацию. Такие игры можно решать графически.
Дадим геометрическую интерпретацию игры, рассмотренной выше в рамках примера
5.3.
На плоскости XY по оси абсцисс отложим единичный отрезок A1A2 (рисунок 5.1).
Каждой точке отрезка поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию U = (u 1,
u2). Причем расстояние от некоторой промежуточной точки U до правого конца этого
отрезка – это вероятность u1 выбора стратегии A1, расстояние до левого конца вероятность u2 выбора стратегии A2. Точка А1 соответствует чистой стратегии А1, точка
А2 – чистой стратегии А2.
В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них
выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OY) покажем
выигрыш игрока А при использовании стратегии А1, на втором – при использовании
стратегии A2. Если игрок А применяет стратегию A1, то его выигрыш при стратегии B1
игрока B равен 2, а при стратегии B2 он равен 5. Числам 2 и 5 на оси OY соответствуют
точки B1 и B2. Аналогично на втором перпендикуляре найдем точки B'1 и B'2 (выигрыши 6
и 4).
Соединяя между собой точки B1 и B'1, B2 и B'2, получим две прямые, расстояние от
которых до оси OX определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих
стратегий.
Например, расстояние от любой точки отрезка B1B'1 до оси OX определяет средний
выигрыш игрока A при любом сочетании стратегий A1 и A2 (с вероятностями u1 и u2) и
стратегии B1 игрока B.
Рисунок 5.1 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение оптимальной стратегии
игрока А)
Ординаты точек, принадлежащих ломаной B1MB'2 определяют минимальный
выигрыш игрока A при использовании им любых смешанных стратегий. Эта минимальная
величина является наибольшей в точке М, следовательно, этой точке соответствует
оптимальная стратегия U* = ( , ), а ее ордината равна цене игры v.
Координаты точки M найдем, как координаты точки пересечения прямых B1B'1 и
'
B2B 2.
Для этого необходимо знать уравнения прямых. Составить такие уравнения можно,
используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:
Составим уравнения прямых для нашей задачи.
Прямая B1B'1:
Прямая
=
или y = 4x + 2.
=
или y = -x + 5.
B2B'2:
Получим систему:
y = 4x + 2,
y = -x + 5.
Решим ее:
4x + 2 = -x + 5,
5x = 3,
x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.
*
Таким образом, U = (2/5, 3/5), v = 22/5.
Аналогично решается задача по нахождению оптимальной стратегии игрока B.
Разница состоит в том, что находится точка, сводящая к минимуму средний проигрыш,
поэтому на рисунке 5.2 рассматривается ломаная A2MA'1.
Рисунок 5.2 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.3 (нахождение оптимальной стратегии
игрока B)
Найдем координаты точки М.
Прямая A1A'1:
Прямая
=
, откуда y = 3x + 2.
=
, откуда y = -2x + 6,
A2A'2:
Таким образом, = 1/5,
3x + 2 = -2x + 6,
5x = 4,
x = 4/5.
= 4/5.
В общем случае схема решения игры 2xn или nx2 графическим методом состоит в
следующем.
1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.
2. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две
прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. Эти
стратегии являются активными в оптимальной смешанной стратегии второго (первого)
игрока.
3. Находят координаты точки пересечения, тем самым определяя оптимальную
стратегию первого (второго) игрока и цену игры.
4. Оптимальную стратегию другого игрока находят, решая систему уравнений,
включающую его активные стратегии.
Пример 5.4. Найдите решение игры, заданной матрицей:
A=
Решение.
7 9 8
10 6 9
.
Сначала проверим наличие седловой точки: = 7, = 9. Поскольку нижняя и верхняя
цены игры не совпадают, седловая точка отсутствует, и решение следует искать в
смешанных стратегиях.
Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой, приведенной
выше. Результат представлен на рисунке 5.3.
Рисунок 5.3 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.4
Точка М находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям B1 и B2
второго игрока.
Найдем ее координаты:
B1B'1:
=
, откуда y = 3x + 7,
=
, откуда y = -3x + 9,
B2B'2:
3x + 7 = -3x + 9,
6x = 2,
x = 1/3, т.е. = 2/3, = 1/3,
цена игры v = 8.
Активными стратегиями игрока B являются стратегии B1 и B2, следовательно, = 0.
Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях,
составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
7 + 9 = 8,
+ = 1.
Второе уравнение умножим на семь и вычтем из первого:
2
= 1,
= 1/2, = 1/2.
*
*
Ответ: U = (2/3, 1/3); Z = (1/2, 1/2, 0); v = 8.
Рассмотрим очередной пример.
Пример 5.5. Найдите решение игры, заданной матрицей:
A=
6
4
2
1
5
6
7
8 .
Решение.
Проверим наличие седловой точки.
= max (5, 4, 2, 1) = 5,
= min (6, 8) = 6.
Седловая точка отсутствует, поэтому решение следует искать в смешанных
стратегиях.
Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой, приведенной
выше. Результат представлен на рисунке 5.4.
Рисунок 5.4 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.5
В данном случае необходимо отыскать точку, соответствующую минимальному
гарантированному проигрышу. Такая точка (точка М) находится на пересечении отрезков,
соответствующих стратегиям А1 и А4 игрока А.
Найдем координаты:
A1A'1:
=
A4A'4:
, откуда y = -x + 6,
, откуда y = 7x + 1,
=
7x + 1 = -x + 6,
8x = 5,
x = 5/8,
= 3/8, = 5/8, v = 43/8.
Активными стратегиями игрока A являются стратегии A1 и A4, следовательно,
=
= 0.
Используя выражение (5.1), вытекающее из теоремы об активных стратегиях,
составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
6
+
+
= 43/8,
= 1.
Вычтем из первого уравнения второе:
5
= 35/8,
= 7/8, = 1/8.
*
*
Ответ: U = (7/8, 0, 0, 1/8); Z = (3/8, 5/8); v = 43/8.
Решим еще одну задачу.
Пример 5.6. Предприятие может выпускать два вида продукции (A1 и А2), получая
при этом прибыль, зависящую от спроса, который может оказаться в одном из четырех
состояний (В1, В2, В3 и В4). Задана матрица, ее элементы характеризуют прибыль, которую
получит предприятие при выпуске i-го вида продукции и j-ом состоянии спроса (таблица
5.4).
Определите оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие
среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.
Таблица 5.4 - Платежная матрица примера 5.6
A1
A2
B1
B2
B3
B4
3
9
3
10
6
4
8
2
Решение.
Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В
задана платежной матрицей, представленной в таблице 5.4.
Определим верхнюю и нижнюю цены игры: = 3, = 6. Как видно, седловая точка
отсутствует, и решение нужно искать в смешанных стратегиях игроков: U * = ( , ), Z* =
( , , , ).
Решим игру, используя геометрический метод. Соответствующие построения
приведены на рисунке 5.5.
Рисунок 5.5 – Геометрическое решение игры примера 5.6
Точка M – точка максимального гарантированного выигрыша. Она находится на
пересечении отрезков, соответствующих состояниям спроса B1 и B3.
Найдем координаты точки M.
B1B'1:
=
, откуда y = 6x + 3,
=
, откуда y = -2x + 6,
B3B'3:
6x + 3 = -2x + 6,
8x = 3,
x = 3/8,
y = 21/4.
Таким образом, получим:
= 5/8, = 3/8, v = 21/4.
Полученное решение интерпретируется следующим образом. Продукция А1 должна
составлять 62,5% (5/8) от общего объема выпущенной продукции, продукция А 2 – 37,5%
(3/8). Это гарантирует предприятию среднюю прибыль в размере 5,25 (21/4) при любом
характере спроса.
Для полного решения игры осталось отыскать оптимальную стратегию спроса.
Активными стратегиями игрока B (спроса) являются стратегии B1 и B3,
следовательно, = 0, = 0.
Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях,
составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
3 + 6 = 21/4,
+ = 1.
Второе уравнение умножим на три и вычтем из первого:
3 = 9/4,
= 3/4, = 1/4.
*
*
Ответ: U = (5/8, 3/8); Z = (1/4, 0, 3/4, 0); v = 21/4.
Еще раз обратим внимание на рисунок 5.5 и платежную матрицу, представленную в
таблице 5.4.
Стратегия B2 заведомо невыгодна для игрока В по сравнению со стратегией B1. На
рисунке 5.5 все точки отрезка B2B'2 лежат выше отрезка B1B'1, следовательно, заранее
понятно, что стратегия B2 не входит в оптимальное решение.
Таким образом, столбец B2 может быть исключен из рассмотрения до начала
решения задачи, поскольку соответствующая стратегия заведомо невыгодна для игрока B
по сравнению со стратегией B2.
Итак, исходная игра может быть упрощена путем исключения из платежной матрицы
строк и столбцов, соответствующих заведомо невыгодным стратегиям.
Такими стратегиями для игрока А являются те, которым соответствуют строки с
элементами, заведомо меньшими по сравнению с элементами како-либо другой строки.
Для игрока В невыгодным стратегиям соответствуют столбцы с элементами,
заведомо бoльшими по сравнению с элементами какого-либо другого столбца.
5. Приведение парной игры к задаче линейного программирования
Игра размера mxn не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение
достаточно трудоемко, но принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть
сведено к решению задаче линейного программирования.
Наряду с приводимыми выше теоремой Неймана и теоремой об активных стратегиях
справедлива следующая терема теории игр.
Теорема. Для того чтобы число v было ценой игры, а U* и Z*- оптимальными
стратегиями, необходимо и достаточно выполнение неравенств:
aij ≥ v,
,
aij ≤ v,
.
Рассмотрим игру mxn, определяемую матрицей:
A=
a11 a12
a21 a22
am1 am2
... a1n
... a2n
...
... amn
.
Как и ранее, игрок A обладает стратегиями A1, A2, ..., Am, игрок В – стратегиями B1,
B2, …, Bn. Требуется определить оптимальные стратегии игроков U* и Z*.
Рассмотрим оптимальную стратегию U* игрока A.
Согласно теореме, приведенной выше, справедливо следующее утверждение.
Если игрок А применяет смешанную стратегию U* = ( , , ..., ) против чистой
стратегии Bj игрока В, то он получает средний выигрыш или математическое ожидание
выигрыша aj = a1j + a2j + ... + amj ,
.
*
Для оптимальной стратегии U все средние выигрыши не меньше цены игры v,
поэтому получаем систему неравенств:
a11 + a21
a12 + a22
a1n + a2n
+ ... + am1
+ ... + am2
...
+ ... + amn
≥ v,
≥ v,
(5.3)
≥ v.
Предположим для определенности, что v > 0.
Этого всегда можно достигнуть благодаря тому, что прибавление ко всем элементам
матрицы А одного и того же постоянного числа С не приводит к изменению оптимальных
стратегий, а только лишь увеличивает цену игры на С.
Каждое из неравенств разделим на число v (v > 0), а также введем новые
переменные: y1 = / v, y2 = / v, ..., ym = / v.
Тогда система (5.3) примет вид:
a11y1 + a21y2 + ... + am1ym ≥ 1,
a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ 1,
...
a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym ≥ 1.
(5.4)
При этом yi ≥ 0,
.
Далее рассмотрим равенство + + ... + = 1.
Разделим неравенство на число v (v ≠ 0). Получим:
y1 + y2 + ... + ym = 1/v.
(5.5)
Вспомним, что цель игрока А – максимизировать свой гарантированный выигрыш,
т.е. цену игры v. Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1/v,
поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения
переменных yi ≥ 0, i = 1, 2, …, m, так, чтобы они удовлетворяли линейным
ограничениям (5.4) и при этом линейная функция (5.5) обращалась в минимум.
Перед нами задача линейного программирования.
Решая задачу (5.4) – (5.5), можно найти оптимальную стратегию U*.
Аналогичные рассуждения выполним и для игрока В.
Обозначив xj = / v,
, в результате получим:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ 1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ 1,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ 1.
(5.6)
x1 + x2 + ... + xn = 1/v.
(5.7)
Таким образом, задача определения оптимальной стратегии игрока В сводится к
следующему: определить значения переменных xj ≥ 0, j = 1, 2, …, n, так, чтобы они
удовлетворяли линейным ограничениям (5.6) и при этом линейная функция (5.7)
обращалась в максимум.
Решая задачу линейного программирования (5.6) – (5.7), получим оптимальную
стратегию Z*.
Вновь приведем формулировки полученных задач линейного программирования.
= y1 + y2 + ... + ym → min;
a11y1 + a21y2 + ... + am1ym ≥ 1,
a12y1 + a22y2 + ... + am2ym ≥ 1,
...
a1ny1 + a2ny2 + ... + amnym ≥ 1;
= x1 + x2 + ... + xn → max;
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ 1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ 1,
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ 1;
yi ≥ 0,
.
xj ≥ 0,
.
Очевидно, что задачи (5.4) – (5.5) и (5.6) – (5.7) представляют собой пару взаимно
двойственных задач линейного программирования. Их решение позволяет решить
соответствующую игру.
При этом:
;
=v∙
=v∙
,
;
,
.
(5.8)
Таким образом, процесс нахождения решения игры с использованием методов
линейного программирования включает следующие этапы.
1. Формулировка пары двойственных задач линейного программирования,
эквивалентных заданной парной игре.
2. Определение оптимальных планов двойственных задач.
3. Нахождение решения игры с использованием соотношений между оптимальными
планами двойственных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры (формулы (5.8)).
Пример 5.7. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может
сразу отправить потребителю (стратегия В1), отправить на склад для хранения (стратегия
В2) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия В3) для длительного хранения.
Потребитель может приобрести продукцию немедленно (стратегия A1), в течение
небольшого времени (стратегия A2), по истечении длительного периода времени
(стратегия A3).
В случае стратегий B2 и B3 предприятие несет дополнительные затраты на хранение
и переработку продукции, которые не требуются для B1, однако при B1 следует учесть
возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии А2 или
А3.
Определите оптимальные пропорции продукции для применения стратегий B1, B2 и
B3, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень
затрат) при матрице затрат, представленной в таблице 5.5.
Таблица 5.5 - Платежная матрица примера 5.7
A1
A2
A3
B1
B2
2
5
8
6
12
8
Решение.
B3
10
8
6
Проверим игру на наличие седловой точки: = 6, = 8. Седловая точка отсутствует.
Упростить игру, путем исключения заведомо невыгодных стратегий не удается.
Составим пару двойственных задач линейного программирования.
= y1 + y2 + y3 → min;
2y1 + 8y2 + 12y3 ≥ 1,
5y1 + 6y2 + 8y3 ≥ 1,
10y1 + 8y2 + 6y3 ≥ 1;
= x1 + x2 + x3 → max;
2x1 + 5x2 + 10x3 ≤ 1,
8x1 + 6x2 + 8x3 ≤ 1,
12x1 + 8x2 + 6x3 ≤ 1;
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Методы решения задач линейного программирования обсуждались нами в разделе
«Линейное программирование».
Решая первую из задач, получим:
= 0,04;
= 0;
= 0,1;
= 0,14.
Решение второй задачи дает следующие результаты:
= 0;
= 0,08;
= 0,06;
= 0,14.
Используя соотношения (5.8) найдем решение игры:
v=
= ≈ 7,14;
= 50/7 ∙ 0,04 = 4/14 ≈ 0,29;
= 50/7 ∙ 0 = 0;
= 50/7 ∙ 0,1 = 10/14 ≈ 0,71;
= 50/7 ∙ 0 = 0;
= 50/7 ∙ 0,08 = 8/14 ≈ 0,57;
= 50/7 ∙ 0,06 = 6/14 ≈ 0,43.
Таким образом, чтобы гарантировать себе среднюю величину затрат на уровне 7,14
независимо от поведения потребителей, предприятию следует около 57% продукции
отправлять на склад для хранения и около 43% продукции подвергать дополнительной
обработке.
6. Общая схема решения парных игр с нулевой суммой
При решении произвольной конечной игры размера mxn рекомендуется
придерживаться следующей схемы.
1. Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии.
2. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую
точку. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут
оптимальными, а цена игры совпадает с верхней (нижней) ценой.
3. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных
стратегиях. Игры размера mxn решаются путем сведения к задаче линейного
программирования. Для игр размера 2xn или nx2 возможно геометрическое решение.