РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОД ГАУССА (МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ) Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей s уравнений и n неизвестных, называется система вида a11 x1 a x 21 1 a s1 x1 a1n x n b1 , a 2n x n b 2 , (1) a sn x n bs . Здесь x1, x2, …, xn – неизвестные, aij – коэффициенты при них, bi – свободные члены, i, j=1,…,n. Матрица А=(aij), составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы. Расширенной матрицей называется матрица В, полученная из А дополнением столбцом свободных членов. Решением системы уравнений (1) называется упорядоченная совокупность n действительных чисел α1 , α 2 ,, α n , удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е. обращающая при замене неизвестных на соответствующие числа все уравнения в верные равенства. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот. Для того чтобы две совместные системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы каждое уравнение первой системы было линейной комбинацией уравнений второй системы и обратно. Рассмотрим следующие преобразования системы линейных уравнений: 1) перестановку двух уравнений системы; 2) умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля; 3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число. Применяя к системе (1) преобразования 1)–3), построим эквивалентную систему специального вида. Для этого возьмем в качестве первого уравнения одно из тех уравнений системы (1), где коэффициент при х1 отличен от нуля. Далее будем умножать это уравнение последовательно на a i1 a11 , i=2, i=3, …, i=s и прибавлять его почленно к соответствующим уравнениям системы (1). В результате получаем систему a11 x1 a12 x 2 a '22 x 2 ' a 32 x2 ' a s2 x2 a1n x n b1 , a '2n x n b'2 , ' a 3n x n b3' , (2) ' a sn x n bs' , во всех уравнениях которой, начиная со второго, будет исключено неизвестное x1. При этом может случиться, что вместе с x1 будут исключены неизвестные x2,…, xk-1, но 1 найдется уравнение, в котором сохранится xk. Поставим его в качестве 2-го уравнения системы. Из всех оставшихся уравнений, кроме первых двух, исключим неизвестное xk, для чего будем умножать второе уравнение на a ik a 2k и прибавлять ко всем последующим, т. е. i=3, i=4, …, i=s. И так далее. В результате такого последовательного исключения неизвестных в каком-нибудь уравнении системы все коэффициенты при неизвестных могут обратиться в нуль. Если при этом свободный член будет отличен от нуля, то полученная система несовместна, а значит, несовместна и эквивалентная ей система (1). Если же свободный член какогонибудь уравнения обратится в нуль вместе со всеми коэффициентами при неизвестных в этом уравнении, то это уравнение из системы можно отбросить, так как оно не накладывает никаких ограничений на неизвестные. Таким образом, после последовательного исключения неизвестных число уравнений в получающихся при этом системах может только уменьшиться. В результате придем к системе одного из видов: a11 x1 a12 x 2 a '22 x 2 a1n x n b1 , a '2n x n b'2 , (3) a 'nn x n b'n или a11 x1 a12 x 2 a1m x m a1n x n b1 , a '22 x 2 a '2m x m a '2n x n b'2 , (4) a 'mm x m a 'mn x n b'm , m n. Система (3) называется системой треугольного вида и, очевидно, имеет единственное решение. Система (4) называется системой трапецеидального (ступенчатого) вида, она имеет бесконечно много решений. Действительно, если систему (4) переписать в виде a11 x1 a12 x 2 a1m x m b1 a1m 1 x m 1 a1n x n , a '22 x 2 a '2m x m b'2 a 2m 1 x m 1 a '2n x n , (5) a 'mm x m b'm a 'mm 1 x m 1 a 'mn x n , то, придавая неизвестным xm+1,…,xn произвольные значения, можно для каждого набора x m1 x 0m1 , , x n x 0n решить систему (5) и получить набор (x10 , x 02 , , x 0m , x 0m+1 , , x 0n ), который будет являться решением системы (5) и, следовательно, системы (1). При этом неизвестные xm+1,…,xn принято называть свободными, а x1,x2,…,xm – основными неизвестными. Очевидно, легко выразить основные неизвестные через свободные, т. е. получить общий вид решения. При практическом решении системы (1) все описанные преобразования удобно применять не к самой системе, а к расширенной матрице системы: 2 a11a12 a 21a 22 a s1a s2 a1n b1 a 2n b 2 , a sn bs Пример 1. Решить систему x1 x 2 3x 3 1, 2x x 2x 1, 1 2 3 x1 x 2 x 3 3, x1 2x 2 3x 3 1. Решение. Составим и преобразуем матрицу 1 2 1 1 1 1 3 1 1 3 1 (2) (1) (1) 1 1 3 1 1 2 1 0 1 4 3 0 1 4 3 1 1 3 0 0 4 4 0 0 4 4 (1) 0 1 0 2 0 0 4 5 2 3 1 Первую 1 1 3 1 0 1 4 3 0 0 4 4 0 0 0 1 строку первой матрицы умножаем последовательно на (2), (1), (1) и прибавляем ко второй, третьей и четвертой соответственно. При переходе от второй к третьей матрице первую строку оставляем неизменной, а вторую складываем с четвёртой и прибавляем к четвёртой. При переходе от третьей матрицы к четвёртой третью строку умножаем на (1) и прибавляем к четвертой. Полученное четвертое уравнение системы противоречиво, поэтому система несовместна. Пример 2. Решить систему x1 x 2 2x 3 x 4 1, x1 x 2 2x 3 5x 4 5, x x 2x 6x 6. 2 3 4 1 Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапецеидальный вид 1 1 2 1 1 (1) (1) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 6 6 1 6 0 0 0 1 1 (1) 1 1 2 5 5 1 1 2 6 6 0 0 0 7 7 (1 7 ) 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Восстановим систему линейных уравнений по последней матрице x1 x 2 2x 3 x 4 1, x 4 1. Полученная система, эквивалентная данной, совместна. Найдем ее решения. Для этого перепишем ее в следующем виде: 3 x1 x 4 x 2 2x 3 1, x 4 1. Очевидно, если неизвестным x2 и x3 придавать любые значения, получим решение системы: x2=c1, x3=c2, тогда x4=−1, x1=c12c2. Таким образом, имеем общий вид решения: х 1=с12с2, х2=с1, х3=с2, х4= 1, где с1, с2 – любые числа. Пример 3. Решить систему 4 x1 2 x2 x3 7 , x x x 2, 1 2 3 2 x1 3 x2 3 x3 11, 4 x1 x2 x3 7. Решение. Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем ее таким преобразованиям, чтобы она получила треугольный или трапецеидальный вид: 4 2 1 7 1 1 1 2 (4) (2) (4) 1 1 1 2 1 1 1 2 4 2 1 7 0 6 3 15 (1 / 3) 2 3 3 11 2 3 3 11 0 5 5 15 (1 / 5) 4 1 1 7 4 1 1 7 0 5 5 15 (1 / 5) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 2 1 5 0 1 1 3 ( 2 ) ( 1 ) 0 1 1 3 0 1 1 3 0 2 1 5 0 0 1 1 0 1 1 3 0 1 1 3 0 0 0 0 Поменяем в первой матрице 1 1 1 2 0 1 1 3 0 0 1 1 первую и вторую строки местами. При переходе от второй матрицы к третьей умножаем последовательно первую строку на (4), (2), (4) и прибавляем ко второй, третьей и четвертой соответственно. При переходе от третьей матрицы к четвёртой первую строку оставляем неизменной, вторую делим на 3, третью и четвёртую на 5. При переходе от четвёртой матрицы к пятой поменяем местами вторую и третью строки. При переходе от пятой матрицы к шестой умножаем последовательно вторую строку на (2), (1) и прибавляем к третьей и четвертой соответственно. Полученную в шестой матрице нулевую строку вычёркиваем. Наша система приведена к треугольному виду и имеет единственное решение. Найдем ее решение. Для этого перепишем ее в следующем виде: x1 x2 x3 2, x2 x3 3, x3 1. Получаем решение х3=1, х2=2, х1=1. 4