СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Березнёва Т. Д.
Тема 7
«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОД ГАУССА – ЖОРДАНА.»
(Учебная дисциплина “Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию”)
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОД ГАУССА – ЖОРДАНА.
Основные понятия
Уравнение с n переменными называется линейным, если все переменные (x1,x2, …xn)
входят в него в степени 1. Общий вид такого уравнения формально записывается
следующим образом:
a1x1 + a2x2 + … ajxj + … anxn = b,
(*)
или
n
a x
j 1
j
j
= b.
Величины aj, j = 1,…,n, и b являются известными (заданными). Величины aj называются
коэффициентами при переменных (при неизвестных), а b - свободным членом.
Решением линейного уравнения (*) называется упорядоченный набор ( x1 , x 2 ,…, x n )
значений переменных, который при подстановке в уравнение (т.е. при замене xj на x j при
всех j от 1до n обращает его в тождество. Подчеркнем, что решение уравнения с n
переменными всегда есть набор из n чисел и каждый такой набор из n чисел представляет
собой одно решение. Очевидно, что если хотя бы один коэффициент при переменных не
равен 0, то уравнение (*) имеет решение. В противном случае решение существует только
при b = 0, и это все произвольные наборы из n чисел.
Рассмотрим одновременно m уравнений вида (*), т.е. систему m линейных
алгебраических уравнений с n переменными. Пусть каждое i - е уравнение, i = 1,2,…,m,
задается коэффициентами при переменных ai1, ai2, …, ain и свободным членом bi, т.е.
имеет вид
ai1x1 + ai2 x2 + … + aij xj + … + ain xn = bi.
Тогда в общем виде система m линейных алгебраических уравнений с n переменными
может быть записана в виде:
a11x1 + a12 x2 + … + a1j xj + … + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + … + a2j xj + … + a2n xn = b2
………………………………………………………………………………
ai1x1 + ai2 x2 + … + aij xj + … + ain xn = bi
…………………………………………………
am1x1 + am2 x2 + … + amj xj + … + amn xn = bm
(1)
или, что то же самое,
n
a
j1
ij
x j = bi, i = 1,…,m.
Если все свободные члены равны нулю, то система (1) называется однородной, т.е.
имеет вид
n
a
j1
ij
x j = 0, i = 1,…,m,
(10)
в противном случае - неоднородной. Система (10) является частным случает общей
системы (1).
Решением системы уравнений (1) называется упорядоченный набор ( x1 , x 2 ,…, x n )
значений переменных, который при подстановке в уравнения системы (1) (т.е. при замене
2
xj на x j , j = 1,…,n) все эти уравнения обращает в тождества, т.е.
n
_
 aij x
j
= bi при всех i =
j1
1,…,m.
Система уравнений (1) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно
решение. В противном случае система называется несовместной.
Совокупность всех решений системы уравнений (1) мы будем называть множеством ее
решений и обозначать Xb (X0, если система однородная). Если система несовместна, то
Xb =  .
Основная задача теории систем линейных алгебраических уравнений состоит в том,
чтобы выяснить, совместна ли система (1), и, если совместна, то описать множество всех
её решений. Существуют методы анализа таких систем, которые позволяют описывать
множество всех решений в случае совместных систем или убеждаться в несовместности в
противном случае. Одним из таких универсальных методов является метод
последовательного полного исключения неизвестных, или метод Гаусса - Жордана,
который мы будем подробно изучать.
Прежде, чем переходить к описанию метода Гаусса - Жордана, приведем ряд полезных
для дальнейшего определений и утверждений.
Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же
множество решений. Другими словами, каждое решение одной системы является
решением другой, и наоборот. Все несовместные системы считаются эквивалентными
между собой.
Из определений эквивалентности и множества решений систем вида (1) сразу же
вытекает справедливость следующих утверждений, которые мы сформулируем в виде
теоремы.
Теорема 1. Если в системе (1) имеется уравнение с номером k, 1  k  m, такое, что
akj = 0  j, то
1) если соответствующий свободный член bk  0, то система (1) несовместна;
2) если соответствующий свободный член bk = 0, то k - е уравнение можно
отбросить и получить систему из (m – 1) - го уравнения с n переменными,
эквивалентную исходной.
Справедливость утверждений теоремы становится очевидной, если заметить, что k – е
уравнение имеет вид
0x1 + 0 x2 + … + 0 xj + … + 0 xn = bk.
Теорема 2. Если к одному уравнению системы (1) прибавить другое уравнение этой же
системы, умноженное на любое число, то получится система уравнений, эквивалентная
исходной системе.
Доказательство. Умножим, например, второе уравнение системы (1) на некоторое
число  и прибавим его к первому уравнению. В результате этого преобразования
получим систему (1’), в которой все уравнения, начиная со второго, не изменились, а
первое имеет следующий вид
n
 (a
1j
j1
 a2j) x j = b1 +  b2.
Очевидно, если какой-нибудь набор ( x1 , x 2 ,…, x n ) значений переменных обращает в
тождества все уравнения системы (1), то он обращает в тождества и все уравнения
системы (1’). Наоборот, решение (x’1 ,x’2 ,…,x’j , … ,x’n) системы (1’) является также
решением системы (1), так как система (1) получается из системы (1’) с помощью
аналогичного преобразования, когда к первому уравнению системы (1’) прибавляется
второе уравнение системы (1’), умноженное на число (-  ) .
3
Точно также доказывается и следующее утверждение.
Теорема 2’. Умножение произвольного уравнения системы (1) на любое число,
отличное от нуля, переводит систему (1) в эквивалентную ей систему уравнений.
Теоремы 2 и 2’ дают два вида преобразований, которым подвергалась система (1),
оставаясь эквивалентной:
а) умножение (или деление) произвольного уравнения системы (1) на любое число,
отличное от нуля;
б) прибавление (или вычитание) к одному уравнению другого, умноженного на
некоторое число.
Такие преобразования а) и б) называются элементарными преобразованиями системы
уравнений (1).
Если к системе уравнений (1) несколько раз применить элементарные преобразования,
то полученная в результате система, очевидно, также будет эквивалентна первоначальной.
Систему уравнений (1) можно записать в табличной форме:
x1
a11
a21
…
ai1
…
am1
x2
a12
a22
…
ai2
…
am2
…
…
…
…
…
…
xj
a1j
a2j
…
aij
…
amj
…
…
…
…
…
…
xn
a1n
a2n
…
ain
…
amn
b
b1
b2
…
bi
…
bm
(2)
Прямоугольная таблица чисел, составленная из коэффициентов aij при неизвестных
системы (1), называется матрицей системы (1) и обозначается A (в ней m строк и n
столбцов), столбец свободных членов обозначается b.
Прямоугольная таблица,
составленная из коэффициентов aij при неизвестных и из столбца свободных членов b
системы (1), называется расширенной матрицей системы (1) и обозначается A (в ней m
строк и (n+1) столбцов), т.е A = (A, b). В i – ой строке матрицы A содержатся все
известные параметры, характеризующие i - ое уравнение системы (1), i = 1,…, m. В j – м
столбце матрицы A содержатся все коэффициенты при неизвестном xj, встречающиеся в
системе (1).
Числа aij называются элементами матрицы А. Элемент aij находится в i - ой строке и в j
- м столбце матрицы А. Принято говорить, что элемент aij находится на пересечении i ой строки и j - го столбца матрицы А. Если все элементы строки (столбца) матрицы А
(кроме одного) равны нулю, а ненулевой элемент равен единице, то такая строка (столбец)
называется единичной (единичным).
Элементарным преобразованиям системы (1) соответствуют следующие элементарные
преобразования таблицы (2):
а) умножение (или деление) всех элементов произвольной строки таблицы (2) на любое
число, отличное от нуля,
б) прибавление (или вычитание) к одной строке (поэлементно) другой строки,
умноженной на некоторое число.
В результате любого элементарного преобразования получается новая таблица, в
которой вместо той строки, к которой прибавляли (или умножали на любое число,
отличное от нуля), пишется новая строка, а остальные строки (в том числе и та,
которую прибавляли) пишутся без изменения. Новая таблица соответствует системе
уравнений, эквивалентной исходной системе.
Применяя элементарные преобразования можно таблицу (2) и соответственно
систему (1) упростить так, что решить исходную систему становится просто. На этом и
4
основан предлагаемый метод.
Метод последовательного полного исключения неизвестных
(Метод Гаусса - Жордана)
Метод последовательного полного исключения неизвестных, или метод Гаусса –
Жордана, является универсальным методом анализа любых (заранее неизвестно, каких совместных или несовместных)
систем линейных алгебраических уравнений. Он
позволяет решать совместные системы или убеждаться в несовместности несовместных
систем.
Отметим принципиальное отличие предлагаемого метода решения систем линейных
алгебраических уравнений от метода решения, скажем, стандартного квадратного
уравнения. Оно решается с помощью хорошо известных формул, в которых неизвестные
выражаются через коэффициенты уравнения. В случае общих систем линейных
алгебраических уравнений мы таких формул не имеем и используем для отыскания
решения метод итераций, или итеративный метод, или итерационный метод. Такие
методы задают не формулы, а последовательность действий.
Метод Гаусса - Жордана представляет собой последовательную реализацию ряда
однотипных больших шагов (или итераций). Это конкретный итерационный метод один из многих методов итераций, предложенных для решения систем линейных
алгебраических уравнений вида (1). Он состоит из начального этапа, основного этапа и
заключительного этапа. Основной этап содержит повторяющиеся итерации – наборы
однотипных действий.
Пусть задана конкретная система линейных алгебраических уравнений (1). Это
значит, что известны n, m, aij, bi, i = 1,…,m; j = 1,…,n. Опишем предлагаемый метод
решения этой системы.
Начальный этап включает в себя построение таблицы I(0) вида (2) и выбор в ней
ведущего элемента – любого ненулевого коэффициента при переменных из таблицы
(2). Столбец и строка, на пересечении которых стоит ведущий элемент, называются
ведущими. (Пусть выбран элемент ai0j0. Тогда i0 – ая строка ведущая, j0- й столбец
ведущий.) Переходим к основному этапу. Заметим, что часто ведущий элемент называют
разрешающим.
Основной этап состоит из повторяющихся однотипных итераций с номерами k = 1,
2,…. Опишем подробно итерации метода Гаусса - Жордана.
К началу каждой итерации известна некоторая таблица I вида (2), в ней выбран
ведущий (разрешающий) элемент и, соответственно, ведущий столбец и ведущая строка.
Кроме того, имеется информация о том, какие строки и столбцы уже были ведущими.
(Так, например, после начального этапа, т.е. на итерации 1 известны I(0), ведущий
(разрешающий) элемент ai0j0 и i0 – ая строка ведущая, j0- ой столбец ведущий.)
Итерация(с номером k) состоит из следующих действий.
1. Преобразование ведущего столбца (т.е. столбца, содержащего ведущий элемент) в
единичный с 1 на месте ведущего элемента путем последовательного
поэлементного вычитания ведущей строки (т.е. строки, содержащей ведущий
элемент), умноженной на некоторые числа, из остальных строк таблицы. Сама
ведущая строка преобразуется путем поэлементного деления ее на ведущий
элемент.
2. Выписывается новая таблица I(k), (k - номер итерации), в которой все столбцы,
которые были когда-либо ведущими, – единичные.
3. Проверяется, можно ли в таблице I(k) выбрать новый ведущий (разрешающий)
элемент. По определению это любой ненулевой элемент, который стоит на
пересечении строки и столбца, которые еще не были ведущими.
Если такой выбор возможен, то столбец и строка, на пересечении которых стоит
ведущий (разрешающий) элемент, называются ведущими. Затем итерация повторяется с
5
новой таблицей I(k), т.е. действия 1 – 3 повторяются с новой таблицей I(k). При этом
строится новая таблица I(k+1).
Если нельзя выбрать новый ведущий элемент, то переходим к заключительному
этапу.
Заключительный этап. Пусть проделано r итераций, получена таблица I(r),
состоящая из матрицы коэффициентов при переменных A(r) и столбца свободных
членов b(r) , и в ней нельзя выбрать новый ведущий элемент, т.е. метод остановился.
Заметим, что метод обязательно остановится за конечное число шагов, т.к. r не может
быть больше min{m,n}.
Каковы варианты остановки метода? Что значит «нельзя выбрать новый ведущий
элемент»? Это значит, что после r – ой итерации в матрице A(r) новой системы,
эквивалентной системе (1), либо
а) все строки A(r) были ведущими, т.е. в каждой строке стоит одна и ровно одна
единица, которая не стоит больше не в какой другой строке,
либо
б) остались строки в A(r) , состоящие только из нулей.
Рассмотрим эти варианты.
а) В этом случае r = m, m  n. Переставив строки и перенумеровав переменные (т.е.
переставив столбцы), можно таблицу I(r) представить в виде
x1
1
0
…
0
…
0
x2
0
1
…
0
…
0
xr
0
0
…
0
…
1
…
…
…
…
…
…
xr+1
a(r)1,r+1
a(r)2,r+1
…
a(r)i,r+1
…
a(r)m,r+1
…
…
…
…
…
…
xn
a(r)1n
a(r)2n
…
a(r)in
…
a(r)mn
b
b(r)1
b(r)2
…
b(r)i
…
b(r)m
(3)
Подчеркнем, что в таблице (3) каждая переменная с номером i, не превосходящим
r, встречается только в одной строке. Таблица (3) соответствует системе линейных
уравнений вида
n
a
x1 +
r
1j
x j = b(r)1 ,
2j
x j = b(r)2 ,
j r 1
n
a
x2 +
r
j r 1
………………………,
(4)
n
xr +
a
j r 1
r
кj
x j = b(r)r ,
в которой каждая переменная с номером i, не превосходящим r, однозначно
выражается через переменные xr+1 , … ,xn, коэффициенты матрицы a(r)ij , j = r+1,…,n, и
свободный член b(r)i, представленные в таблице (3). На переменные xr+1 , … ,xn не
накладываются никакие ограничения, т.е. они могут принимать любые значения.
Отсюда произвольное решение системы, описываемой таблицей (3), или, что то же
самое, произвольное решение системы (4), или, что то же самое, произвольное решение
системы (1) имеет вид
n
xi = b(r)i -

a(r)ijxj, i = 1,…,r = m; xj – любое при j = (r+1),…,n.
(5)
j  r 1
Тогда множество решений системы (1) можно записать как
6
Xb = {x=(x1 , … ,xn) : xi = b(r)i -
n

a(r)ijxj при i = 1,…, r = m; xj – любое при j =(r+1),…,n.}.
j  r 1
б) В этом случае r < m, и существует хотя бы одна строка k, k > r, (предполагаем, что
сделана перестановка строк и столбцов такая же, как в пункте а)) такая, что a(r)kj = 0 при
всех j. Тогда, если соответствующий свободный член b(r)k не равен 0, то k - е уравнение не
имеет решения, и, следовательно, вся система не имеет решения, т.е. система (1)
несовместна.
Если же соответствующий b(r)k равен 0, то k - ое уравнение является лишним и его
можно отбросить. Отбросив все такие уравнения, получим, что система (1) эквивалентна
системе из r уравнений с n переменными, которая через r шагов записывается с помощью
таблицы вида (3), в которой все строки были ведущими. Таким образом, мы пришли к
рассмотренному выше случаю а) и можем выписать решение вида (5).
Метод Гаусса – Жордана описан полностью. За конечное число итераций система
линейных алгебраических уравнений будет решена (если она совместна) или будет
очевидно, что она несовместна (если она действительно несовместна).
Переменные, соответствующие ведущим (разрешающим) элементам, или стоящие в
ведущих столбцах, принято называть базисными, а остальные переменные - свободными.
Обратим внимание на следующее.
1) Когда мы начинаем решать систему методом Гаусса - Жордана, мы можем не знать,
совместна эта система или нет. Метод Гаусса - Жордана за конечное число итераций r даст
ответ на этот вопрос. В случае совместной системы на основании последней таблицы
выписывается общее решение исходной системы. В этом случае число базисных
переменных обязательно равно номеру r последней итерации, т.е. числу выполненных
итераций. Число r всегда не превосходит min{m,n}, где m - число уравнений системы, а n
- число переменных системы. Если r < n, то (n – r) равно числу свободных переменных.
2) При записи общего решения не нужно перенумеровывать переменные, как это
делалось для простоты понимания при описании Заключительного этапа. Это сделано для
более ясного понимания.
3) При решении системы (1) методом Гаусса - Жордана базисными переменными будут
только переменные, соответствующие столбцам, которые на каких-то итерациях
выступали в роли ведущих, и наоборот, если на какой-то итерации столбец выступал в
качестве ведущего, соответствующая ему переменная обязательно будет в числе
базисных.
4) Если общее решение системы (1) содержит хотя бы одну свободную переменную, то
эта система имеет бесконечно много частных решений, если же свободных переменных
нет, то система имеет единственное решение, которое совпадает с общим решением.
5) Ведущие элементы могут быть выбраны на каждой итерации различным способом.
Важно только то, что это ненулевые коэффициенты, стоящие на пересечении строки и
столбца, которые до этого не были ведущими. Различный выбор ведущих элементов
может дать различные записи множества решений. Однако, само множество решений
при любой записи одно и то же.
Поясним работу метода на примерах.
Пример I. Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений
2 x1 – 3 x2 + 3 x3 + 5 x4 = -1,
3 x1 + 4 x2 - 2 x3 + 6 x4 = 2,
(6)
5 x1 – 4 x2 + 6 x3 + 10 x4 = 2
методом последовательного полного исключения неизвестных (методом Гаусса Жордана).
Начальный этап. Сначала выпишем систему уравнений (6) в более удобной форме - в
7
виде таблицы I(0).
(0)
I
x1
2
3
5
x2
-3
4
-4
x3
3
-2
6
x4
5
6
10
b
-1
2
2
(0.1)
(0.2)
(0.3)
Первая строка таблицы I(0) соответствует первому уравнению система (6), (будем ее, как
и первое уравнение в (6), нумеровать (0.1)), вторая строка - второму уравнению системы
(6) (будем ее нумеровать (0.2)), третья строка - третьему уравнению системы (6) (будем ее
нумеровать (0.3)).
Первый столбец таблицы образуют коэффициенты системы (6) при неизвестной x1,
второй столбец - коэффициенты системы (6) при неизвестной x2, аналогично поясняются
третий и четвертый столбцы таблицы I(0). Пятый столбец (b) таблицы составляют правые
части уравнений (свободные члены) системы (6).
В качестве ведущего (разрешающего) элемента может быть выбран любой ненулевой
элемент из первых четырех столбцов. Выберем в качестве ведущего элемент 2, стоящий
на пересечении 1-ой строки и первого столбца. Тогда ведущая строка – первая, ведущий
столбец - первый. Перейдем к основному этапу.
Основной этап. Известны таблица I(0), ведущий элемент 2, стоящий на пересечении
первой строки и первого столбца, ведущая строка – первая, ведущий столбец - первый.
Итерация 1. Подробно опишем преобразования таблицы I(0) в новую таблицу I(1), в
которой первый столбец – единичный с 1 на месте ведущего элемента. Записывать новую
таблицу будем под таблицей I(0).
Сначала опишем преобразование, в результате которого элемент, расположенный
непосредственно под ведущим элементом и равный 3, перейдет в нулевой элемент. Для
этого нужно из строки (0.2) вычесть (поэлементно) ведущую строку (0.1), умноженную на
3/2. Тогда строка (0.2) заменится на строку
0
17/2
- 13/2
- 3/2
7/2
Поскольку в данном случае все элементы второй строки можно умножить на число 2 и
ничего с точки зрения множества решений не изменится, то более удобно совершить еще
одно элементарное преобразование (умножить все элементы строки на 2) и в таблицу I(1)
следует поместить в качестве второй такую строку
0
17
-13
-3
7
(1.2)
Очевидно, такое преобразование таблицы I(0) соответствует элементарным
преобразованиям системы (6), в результате которых система (6) превращается в
эквивалентную систему, описываемую уравнениями (0.1), (1.2) и (0.3). Итак, в результате
преобразования второй строки таблицы I(0) мы получили новую вторую строку (вторую
строку новой таблицы I(1)), в которой в ведущем столбце (в нашем случае в первом
столбце) вместо числа 3 стоит число 0.
Преобразуем третью строку таблицы I(0) так, чтобы вместо 5 стоял 0. Для этого нужно
из строки (0.3) вычесть (поэлементно) ведущую строку (0.1), умноженную на 5/2.
Получим
0
7
-3
-5
9
(1.3)
Из трех строк таблицы I(0) непреобразованной осталась только ведущая (первая) строка.
Все элементы ведущей строки (0.1) делим на ведущий элемент (т.е. в нашем конкретном
случае - на число 2) и полученную новую строку записываем на ее место (т.е. на место
8
(1.1)) в таблице I(1).
1
-3/2
3/2
5/2
-1/2
(1.1)
Таблица I(1) будет иметь вид (три последние строки, выделенные курсивом)
(0)
I
I(1)
x1
2
3
5
1
0
0
x2
-3
4
-4
-3/2
17
7
x3
3
-2
6
3/2
-13
-3
x4
5
6
10
5/2
-3
-5
b
-1
2
2
-1/2
7
9
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Закончив заполнение таблицы I(1), мы проверяем, можем ли мы в ней выбрать новый
ведущий элемент. По определению это любой ненулевой элемент, стоящий на
пересечении строки и столбца, которые еще не были ведущими. В нашей ситуации это
любой ненулевой элемент, который не стоит в первой строке и в первом столбце.
Выберем в качестве ведущего в таблице I(1) элемент (-3), стоящий на пересечении 3-его
столбца и 3 – ей строки. Тогда ведущая строка – третья, ведущий столбец - третий.
Прежде чем переходить к следующей (второй) итерации, сделаем ряд важных
замечаний, которые можно повторять дословно или с необходимыми корректировками
после остальных итераций:
1. Итерация имеет вполне определенный (свой) ведущий элемент и, следовательно,
определенные (свои) ведущие столбец и строку. Рабочей таблицей первой итерации была
таблица I(0), итоговой таблицей первой итерации - таблица I(1).
2. В результате выполнения итерации ведущий столбец превращается в единичный (на
месте ведущего элемента появляется единица (она выделена полужирным шрифтом), а на
местах остальных элементов ведущего столбца - нули, тем самым в результате итерации
мы исключили неизвестную из всех уравнений системы кроме одного. Поскольку на
каждой итерации полностью исключается своя неизвестная (переменная), становится
понятным название метода Гаусса-Жордана как метода последовательно полного
исключения неизвестных.
3. Таблица I(1) соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной системе (6),
которой соответствует таблица I(0), т.к. преобразования, которым мы подвергали строки
таблицы I(0), представляют собой элементарные преобразования исходной системы (6).
4. Наиболее трудоемкую часть итерации составляют преобразования табличных строк.
5. Первую строку таблицы I(1) на число 2 умножать нельзя, т.к. на месте элемента,
который был ведущим, должна стоять единица .
Итерация 2. Опишем преобразования таблицы I(1) в новую таблицу I(2), в которой
третий столбец (ведущий) будет единичным. Записывать новую таблицу будем под
таблицей I(1).
Далее, как и на предыдущей (первой) итерации, будем подвергать все строки
элементарным преобразованиям.
Сначала переведем в нулевой элемент 3/2 ведущего столбца таблицы I(1). Для этого
ведущую строку (1.3) умножим на 1/2 и прибавим к строке (1.1). Получим первую строку
(2.1) новой таблицы I(2).
1
2
0
0
4
(2.1)
9
Преобразуем теперь вторую строку таблицы I(1) так, чтобы вместо (-13) стоял 0. Для
этого нужно из строки (1.2) вычесть (поэлементно) ведущую строку (1.3), умноженную на
13/3. Получим
0
-40/3
0
56/3
-32
В данном случае естественно все элементы этой строки умножить на 3/8 и в таблицу I(2)
поместить в качестве второй следующую строку
0
-5
0
7
(2.2)
-12
Из трех строк таблицы I(1) непреобразованной осталась только ведущая (третья) строка.
Все элементы ведущей строки (1.3) делим на ведущий элемент (т.е. в нашем конкретном
случае - на число -3) и полученную новую строку записываем на ее место (т.е. на место
(2.3)) в таблице I(2).
0
-7/3
1
5/3
(2.3)
Таблица
-3
I(2) будет иметь вид (три последние строки, выделенные курсивом)
I(0)
I(1)
I(2)
x1
2
3
5
1
0
0
1
0
0
x2
-3
4
-4
-3/2
17
7
2
-5
-7/3
x3
3
-2
6
3/2
-13
-3
0
0
1
x4
5
6
10
5/2
-3
-5
0
7
5/3
b
-1
2
2
-1/2
7
9
4
-12
-3
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Закончив заполнение таблицы I(2), проверяем, можно ли мы выбрать новый ведущий
элемент – ненулевой элемент, стоящий на пересечении строки и столбца, которые еще не
были ведущими. В нашей ситуации это любой ненулевой элемент, который не стоит в
первой и третьей строке и в первом и третьем столбце. Выберем в качестве ведущего в
таблице I(2) элемент (7), стоящий на пересечении 4 - ого столбца и 2 – ей строки. Тогда
ведущая строка – вторая, ведущий столбец- четвертый.
Итерация 3. Преобразуем четвертый столбец (ведущий) в единичный и получим
новую таблицу I(3). Записываем новую таблицу под таблицей I(2).
В первой строке уже стоит 0 в четвертом столбце. Поэтому строку (2.1), не меняя,
переносим в таблицу I(3) как (3.1). С помощью элементарного преобразования переведем
теперь в нулевой элемент 5/3 ведущего столбца таблицы I(2). Для этого ведущую строку
(2.2) умножим на 5/21 и прибавим к строке (2.3). Получим третью строку (3.3) новой
таблицы I(3):
0
-8/7
1
0
-1/7
(3.3)
Все элементы ведущей строки (2.2) делим на ведущий элемент (т.е. в нашем
конкретном случае - на число 7) и полученную новую строку
10
0
-5/7
0
1
-12/7
(3.2)
записываем на ее место (т.е. на место (3.2)) в таблице I(3).
Таблица I(3) будет иметь вид (три последние строки, выделенные курсивом)
I(0)
I(1)
I(2)
I(3)
x1
2
3
5
1
0
0
1
0
0
1
0
0
x2
-3
4
-4
-3/2
17
7
2
-5
-7/3
2
-5/7
-8/7
x3
3
-2
6
3/2
-13
-3
0
0
1
0
0
1
x4
5
6
10
5/2
-3
-5
0
7
5/3
0
1
0
b
-1
2
2
-1/2
7
9
4
-12
-3
4
-12/7
-1/7
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1.1)
(1.2)
(3.3)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Теперь проверяем, можем ли мы выбрать в I(3) новый ведущий элемент – ненулевой
элемент, стоящий на пересечении строки и столбца, которые еще не были ведущими. В
нашей ситуации в таблице I(3) уже нельзя выбрать новый ведущий элемент, т.к. в ней
всего три строки, и все они уже были ведущими на предыдущих итерациях.
Следовательно, таблица I(3) (и третья итерация) является последней (конечной).
Переходим к Заключительному этапу.
Заключительный этап. В таблице I(3) имеется три единичных столбца, каждый из
которых на одной из итераций был ведущим. Соответствующие переменные (в нашем
случае это переменные x1 , x3, x4) являются базисными, а остальные переменные (в нашем
случае это переменная x2) - свободные.
Запишем систему линейных алгебраических уравнений, соответствующую последней
таблице I(3).
x1 + 2 x2 = 4
(-5/7) x2 + x4 =-12/7
(7)
(-8/7) x2 + x3 = - 1/7.
Система (7) эквивалентна системе (6), т.е. имеет то же самое множество решений.
Выразим базисные переменные через свободную. С учетом того, что свободная
переменная может принимать любое значение, получим
x1 = 4 - 2 x2, x3 = -1/7 + (8/7) x2, x4 = -12/7 + (5/7) x2, x2 - любое. (8)
Любой набор x = (x1, x2, x3, x4), удовлетворяющий (8), представляет собой решение
системы (7) и, следовательно, эквивалентной ей исходной системы (6). Множество
решений Xb = { x = (x1, x2, x3, x4) : x1 = 4 - 2x2, x3 = -1/7 + (8/7)x2, x4 = -12/7 + (5/7 x2,
x2 – любое}.
Придавая свободной переменной всевозможные значения, будем из набора (8) получать
различные частные решения системы (6). Например, полагая x2 = 0, получим частное
решение (4, 0, - 1/7, - 12/7). Общее решение (8) системы (6) содержит (описывает единой
формулой) все ее частные решения.
Рассмотренный пример показал один возможный вариант окончания метода, при
котором система уравнений оказалась совместной, и было выписано общее решение.
Приведем примеры, демонстрирующие другие возможные варианты остановки метода.
11
При этом покажем, как метод Гаусса – Жордана применяется для одновременного
решения нескольких систем, отличающихся только свободными членами (правыми
частями).
Пример 2. Решить две следующие системы, которые отличаются одна от другой только
правыми частями
2 x1 – 3 x2 + 3 x3 + 5 x4 = -1,
3 x1 + 4 x2 - 2 x3 + 6 x4 = 2,
(9)
4 x1 + 6 x2 - 6 x3 - 10 x4 = 3
и
2 x1 – 3 x2 + 3 x3 + 5 x4 = -1,
3 x1 + 4 x2 - 2 x3 + 6 x4 = 2,
(10)
4 x1 + 6 x2 - 6 x3 - 10 x4 = 2.
В приводимом ниже решении подробные пояснения даются только в тех случаях,
которые еще не встречались при разборе предыдущего примера 1.
Начальный этап. Перепишем две системы в виде таблицы I(0), в которой будут
фигурировать два столбца правых частей b(9) и b(10) (а не один, как в предыдущем
примере).
(0)
I
x1
2
3
-4
x2
-3
4
6
x3
3
-2
-6
x4
5
6
-10
b(9)
-1
2
3
b(10)
-1
2
2
(0.1)
(0.2)
(0.3)
Выберем, как и в примере 1, в качестве ведущего элемент 2, стоящий на пересечении
1-ой строки и 1 - го столбца. Тогда ведущая строка – первая, ведущий столбец - первый.
Перейдем к основному этапу.
Основной этап. Известны таблица I(0), ведущий элемент 2, стоящий на пересечении
первой строки и первого столбца, ведущая строка – первая, ведущий столбец - первый.
Итерация 1. Построим новую таблицу I(1), в которой первый столбец – единичный с 1
на месте ведущего элемента. Записывать новую таблицу будем под таблицей I(0).
Очевидно, что первая и вторая строка в ней совпадают с соответствующими строками в
таблице I(1) примера 1. Для того, чтобы получить 0 на месте (-4) в третьей строке,
умножим строку (0.1) на 2 и прибавим (почленно) к строке (0.3). Таблица I(1) будет иметь
вид (три последние строки, выделенные курсивом)
I(0)
I(1)
x1
2
3
-4
1
0
0
x2
-3
4
6
-3/2
17
0
x3
3
-2
-6
3/2
-13
0
x4
5
6
-10
5/2
-3
0
B(9)
-1
2
3
-1/2
7
1
b(10)
-1
2
2
-1/2
7
0
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Таблица I(1) с первым столбцом свободных членов соответствует системе уравнений,
эквивалентной системе (9), а с вторым столбцом свободных членов - системе уравнений,
эквивалентной системе (10). Для системы (9) последнее уравнение имеет вид
0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 1,
что показывает несовместность системы (9).
Для системы (10) последнее уравнение имеет вид
12
0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 0.
Отсюда следует, что его можно отбросить, и что система (10) эквивалентна системе из
2 – х уравнений с 4 – мя неизвестными, представляемой строками (1.1), (1.2) и вторым
столбцом свободных членов в таблице I(1). Мы можем продолжать решать систему (10),
используя следующую таблицу I(1)
I(1)
1
0
-3/2
17
3/2
-13
5/2
-3
(1.1)
(1.2)
-1/2
7
или
(0)
I
I(1)
x1
2
3
-4
1
0
x2
-3
4
6
-3/2
17
x3
3
-2
-6
3/2
-13
x4
5
6
-10
5/2
-3
b
-1
2
2
-1/2
7
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1.1)
(1.2)
В таблице I(1) можно выбрать в качестве ведущего любой ненулевой элемент, стоящий
во второй строке и в любом, кроме первого, столбце. Выберем в качестве ведущего в
таблице I(1) элемент (-3), стоящий на пересечении 4 - ого столбца и 2 – ой строки. Тогда
ведущая строка – вторая, ведущий столбец- четвертый.
Итерация 2. Преобразуем таблицу I(1) в новую таблицу I(2), в которой четвертый столбец
(ведущий) будет единичным. Для этого преобразуем первую строку таблицы I(1) так,
чтобы вместо 5/2 стоял 0. Для этого нужно из строки (1.1) вычесть (поэлементно)
ведущую строку (1.2), умноженную на (-5/6). Получим
1
38/3
-28/3
0
(2.1)
16/3
Все элементы ведущей строки (1.2) делим на ведущий элемент (т.е. в нашем конкретном
случае - на число (-3)) и полученную новую строку записываем на ее место (т.е. на место
(2.2)) в таблице I(2).
Таблица I(2) будет иметь вид (две последние строки, выделенные курсивом)
(0)
I
I(1)
I(2)
x1
2
3
-4
1
0
1
0
x2
-3
4
6
-3/2
17
38/3
-17/3
x3
3
-2
-6
3/2
-13
-28/3
13/3
x4
5
6
-10
5/2
-3
0
1
b
-1
2
2
-1/2
7
16/3
-7/3
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1.1)
(1.2)
(2.1)
(2.2)
Обе строки уже были ведущими, поэтому мы не можем в таблице I(2) выбрать ведущий
элемент. Переходим к Заключительному этапу.
Заключительный этап. Все строки были ведущими, поэтому система, определяемая
таблицей I(2), и, следовательно, система (10) разрешима. При этом переменные x1 и x4 –
базисные, а x2 и x3 – свободные. Запишем систему линейных алгебраических уравнений,
соответствующую последней таблице I(2).
13
x1 + (38/3) x2 - (28/3) x3= 16/3
x4 - (17/3) x2 + (13/3) x3 = - 7/3
(11)
Из (11) можно однозначным образом выразить базисные переменные через свободные и
правую часть. На свободные переменные при этом нет никаких ограничений, т.е. они
могут принимать любые значения. Таким образом, множеством решений системы (11) и,
следовательно, системы (10) является следующее множество Xb,
Xb = { x = (x1, x2, x3, x4) : x1 = 16/3 - (38/3) x2 + (28/3) x3, x4 = - 7/3 + (17/3) x2
- (13/3) x3, x2 и x3 – любые.}
Примеры 1 и 2 проиллюстрировали работу метода Гаусса – Жордана и все возможные
способы остановки метода. Повторим основные выводы, которые можно сделать из
изложенного.
1) Метод остановится через конечное число итераций r. При этом выяснится,
является система совместной или несовместной.
2) Если система совместна, то число базисных переменных равно числу итераций r, а
число свободных переменных – (n – r). Все базисные переменные однозначно
выражаются через свободные переменные и соответствующие свободные члены.
3) Если система совместна и общее решение содержит хотя бы одну свободную
переменную, то число решений бесконечно. Если же свободных переменных нет
(n = r), то решение единственно.
4) Базисные переменные на каждой итерации можно выбирать различными
способами, поэтому запись общего решения может быть разной. Однако, само
множество решений одно и то же.
Вернемся к анализу систем уравнений (1) и (10). Если в системах (1) и (10) все
соответствующие (с одинаковыми номерами) коэффициенты при переменных
совпадают, то системы (1) и (10) называются соответствующими. Множества решений
систем (1) и (10) обозначаем Xb и X0. Система (1) совместна, если Xb ≠  .
Теорема 3. Если в однородной системе уравнений (10) n > m, то система
(1 ) имеет бесконечное число решений.
Доказательство. Однородная система всегда совместна (набор x = ( x1 , x 2 ,…, x n ),
0
где x j = 0 при всех j = 1,…,n, очевидно, является её решением), т.е. X0 ≠  . Если решать
ее методом Гаусса – Жордана, то он остановится через r итераций и r ≤ min (m,n) = m < n.
Тогда число свободных переменных есть n – r ≥ n – m > 0. Отсюда следует, что система
имеет бесконечное число решений. Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть y = (y1, y2, … , yn) и z = (z1, z2, … , zn) – решения
однородной системы (10), т.е. y  X0, z  X0. Тогда
1) x* = y + z = (y1 + z1, y2 + z2, … , yn + zn)  X0,
2) x  =  y = (  y1,  y2, … ,  yn)  X0.
Доказательство. 1) Так как y  X0, z  X0, то
n
 a ij y j = 0, i = 1,…,m,
j1
n
a
j1
ij
z j = 0, i = 1,…,m.
Проверим, является ли x* решением (10). Для этого рассмотрим
(12)
n
a
j1
n
a
j1
n
ij
x *j =
a
j1
ij
( yj  zj) =
n
a
j1
n
ij
yj +
a
j1
ij
ij
x * j . В силу (12)
z j = 0, т.е. x*  X0.
14
2) Так как
n
 aij x 
j
=
j1
n
 aij y
= 0, то x  =  y  X0. Теорема доказана.
j
j1
Рассмотрим теперь соответствующие друг другу системы (1) и (10). Пусть
система (1) совместна, т.е. Xb ≠  . Пусть x = ( x1 , x 2 ,…, x n ) – некоторое
фиксированное частное решение системы (1), т.е.
n
_
 a ij x j = bi при всех i = 1,…,m.
j1
Теорема 5. Пусть система (1) совместна и x = ( x1 , x 2 ,…, x n ) – некоторое её
фиксированное частное решение. Тогда
1) произвольное решение x = (x1, x2, … , xn) является суммой (почленной) этого
фиксированного решения x и некоторого решения z = (z1, z2, … , zn) соответствующей
однородной системы;
2) если z = (z1, z2, … , zn) – произвольное решение однородной системы (10), то x = x + z
= ( x1 + z1, x 2 + z2,…, x n + zn) – решение соответствующей неоднородной системы (1).
Доказательство. 1) Так как x  Xb и x  Xb,то
n
a
j1
n
_
ij
x j = bi ,
a
j1
ij
x j = bi при всех i = 1,…,m.
(13)
Построим набор z = (z1, z2, … , zn) следующим образом:
zj = xj - xj, j = 1, … , n.
(14)
Покажем, что z – решение соответствующей однородной системы. Действительно, в
силу (14) и затем (13)
n
 a ij z j =
j1
n
_
 a ij ( x j - x j) =
j1
n
a
j1
n
_
ij
xj
-
a
j1
ij
x j = bi - bi = 0.
Так как это верно для любого i = 1,…,m, то набор z, определенный в (14), является
решением системы (10).
2) Пусть z = (z1, z2, … , zn)  X0, т.е.
n
a
j1
ij
z j = 0 при всех i = 1,…,m.
(15)
Положим
xj = xj + zj, j = 1, … , n.
(16)
Покажем, что x = (x1, …, xn) – решение системы (1). Из (16), (13) и (15) следует
n
 aij x j =
j1
n
_
 a ij ( x j  z j) =
j1
n
_
 a ij x j +
j1
n
a
j1
ij
z j = bi + 0 = bi при всех i, т.е. x  Xb.
Теорема доказана.
Теорема 5 утверждает, что для того, чтобы найти все решения системы (1), достаточно
найти одно её решение и все решения соответствующей однородной системы (10).
Это всё, что мы пока можем сказать о системе из m линейных уравнений с n
переменными. Будем возвращаться к анализу таких систем во всех следующих темах.
15