Комби задачи про множества и немного ТЧx

Комби задачи про множества и немного ТЧ, 9 класс
Комби задачи про множества и немного ТЧ, 9 класс
1. Множество X состоит из n элементов. Какое наибольшее количество
трехэлементных подмножеств можно выбрать в нем так, чтобы любые два из
них имели ровно один общий элемент?
1. Множество X состоит из n элементов. Какое наибольшее количество
трехэлементных подмножеств можно выбрать в нем так, чтобы любые два из
них имели ровно один общий элемент?
2. Множество X состоит из n элементов. Для каждой упорядоченной пары двух
подмножеств (возможно, совпадающих) множества X подсчитано число
элементов в их пересечении, и полученные числа сложены. Чему равна
полученная сумма?
2. Множество X состоит из n элементов. Для каждой упорядоченной пары двух
подмножеств (возможно, совпадающих) множества X подсчитано число
элементов в их пересечении, и полученные числа сложены. Чему равна
полученная сумма?
3. Рассматриваются всевозможные наборы из 100 неотрицательных целых
чисел, расположенных в неубывающем порядке и не превосходящие 100, в
которых сумма всех чисел делится на 10.Докажите. что ровно половина этих
наборов заканчивается числом 100.
3. Рассматриваются всевозможные наборы из 100 неотрицательных целых
чисел, расположенных в неубывающем порядке и не превосходящие 100, в
которых сумма всех чисел делится на 10.Докажите. что ровно половина этих
наборов заканчивается числом 100.
4. Пусть а , b и n – фиксированные натуральные числа. Известно, что при любом
натуральном k , не совпадающем с b , число а–kn делится без остатка на b–k .
Докажите, что а = bn .
4. Пусть а , b и n – фиксированные натуральные числа. Известно, что при любом
натуральном k , не совпадающем с b , число а–kn делится без остатка на b–k .
Докажите, что а = bn .
5. Доказать, что для любого натурального n сумма всех чисел, обратных
произведениям нескольких различных натуральных чисел, каждое из которых
не больше n, равна n.
5. Доказать, что для любого натурального n сумма всех чисел, обратных
произведениям нескольких различных натуральных чисел, каждое из которых
не больше n, равна n.
6. После нуля и десятичной запятой последовательно выписали все степени
двойки (получилось число вида 0,1248163264128256). Будет ли это число
рациональным?
6. После нуля и десятичной запятой последовательно выписали все степени
двойки (получилось число вида 0,1248163264128256). Будет ли это число
рациональным?
7. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения
𝑥−𝑦
√𝑥 2 +𝑦 2
.
7. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения
𝑥−𝑦
√𝑥 2 +𝑦 2
.
8. Различные простые числа p и q таковы, что при некотором целом k>2 число
р2+kpq+q2 – точный квадрат. Докажите, что (р–2)(q–2) ≤ k+2 .
8. Различные простые числа p и q таковы, что при некотором целом k>2 число
р2+kpq+q2 – точный квадрат. Докажите, что (р–2)(q–2) ≤ k+2 .
9. На плоскости дана система белых, и система черных прямоугольников, со
сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой черный
прямоугольник пересекается с любым белым. Докажите, что или
прямоугольники одной из систем имеют общую точку, или прямоугольники
каждой из систем по отдельности можно проткнуть одной прямой.
9. На плоскости дана система белых, и система черных прямоугольников, со
сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой черный
прямоугольник пересекается с любым белым. Докажите, что или
прямоугольники одной из систем имеют общую точку, или прямоугольники
каждой из систем по отдельности можно проткнуть одной прямой.
10. На координатной плоскости лежат несколько одинаковых бумажных
квадратов со сторонами параллельными осям координат, причем каждая точка
плоскости покрыта не более, чем двумя квадратами. Доказать, что все квадраты
можно разбить на три группы так, что любые квадраты, входящие в одну группу
не пересекаются друг с другом
10. На координатной плоскости лежат несколько одинаковых бумажных
квадратов со сторонами параллельными осям координат, причем каждая точка
плоскости покрыта не более, чем двумя квадратами. Доказать, что все квадраты
можно разбить на три группы так, что любые квадраты, входящие в одну группу
не пересекаются друг с другом
Немного ТЧ и комбиЮнга
Немного ТЧ и комбиЮнга
11. Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его
натуральных делителей – целая. Докажите, что если m – хорошее число, а p > m –
простое, то число pm не является хорошим.
11. Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его
натуральных делителей – целая. Докажите, что если m – хорошее число, а p > m –
простое, то число pm не является хорошим.
12. О натуральных числах m и n известно, что m > nn-1 и все числа m+1, m+2, ….,
m+n – составные. Докажите, что существуют такие различные простые числа p1,
p2, …, pn, что m+k делится на pk при k = 1, 2, …, n.
12. О натуральных числах m и n известно, что m > nn-1 и все числа m+1, m+2, ….,
m+n – составные. Докажите, что существуют такие различные простые числа p1,
p2, …, pn, что m+k делится на pk при k = 1, 2, …, n.
13. Даны непересекающиеся конечные множества натуральных чисел A и B,
состоящие из n и m элементов соответственно. Известно, что каждое натуральное
число, принадлежащее A или B, удовлетворяет хотя бы одному из условий k+17
лежит в A, k-31 лежит в B. Докажите, что 17n=31m.
13. Даны непересекающиеся конечные множества натуральных чисел A и B,
состоящие из n и m элементов соответственно. Известно, что каждое натуральное
число, принадлежащее A или B, удовлетворяет хотя бы одному из условий k+17
лежит в A, k-31 лежит в B. Докажите, что 17n=31m.
14. Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу:
каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением
произведения всех его различных простых делителей (например, после числа 12
должно идти число 18, а после числа 125 -- число 130). Докажите, что любые две
последовательности, построенные таким образом, имеют общий член.
14. Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу:
каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением
произведения всех его различных простых делителей (например, после числа 12
должно идти число 18, а после числа 125 -- число 130). Докажите, что любые две
последовательности, построенные таким образом, имеют общий член.
15. Докажите, что натуральные числа от 1 до 2n можно разбить на два множества
так, чтобы ни в одно из них не входили 2n чисел, образующих арифметическую
прогрессию.
15. Докажите, что натуральные числа от 1 до 2n можно разбить на два множества
так, чтобы ни в одно из них не входили 2n чисел, образующих арифметическую
прогрессию.
16. Согласно теореме Эйлера разность 2K–1, где k=5n–5n-1 делится на 5n. Докажите,
что ни при каком k<5n–5n-1 разность 2K–1 не делится на 5n.
16. Согласно теореме Эйлера разность 2K–1, где k=5n–5n-1 делится на 5n. Докажите,
что ни при каком k<5n–5n-1 разность 2K–1 не делится на 5n.
17. Доказать, что количество чисел k = 0, 1, 2,…, n, для которых число Cnk нечетно,
есть степень двойки.
18. Докажите, что число Cnk нечетно тогда и только тогда, когда числа n, k
удовлетворяют условию: если в каком-то разряде двоичной записи числа k стоит
1, то в том же разряде двоичной записи числа n также стоит 1.
17. Доказать, что количество чисел k = 0, 1, 2,…, n, для которых число Cnk нечетно,
есть степень двойки.
18. Докажите, что число Cnk нечетно тогда и только тогда, когда числа n, k
удовлетворяют условию: если в каком-то разряде двоичной записи числа k стоит
1, то в том же разряде двоичной записи числа n также стоит 1.
19. Докажите, что если k взаимно просто с p, то 𝐶𝑝𝑘𝑛 делится на pn.
19. Докажите, что если k взаимно просто с p, то 𝐶𝑝𝑘𝑛 делится на pn.
20. Докажите, что число разбиений числа 1000 на не более чем 500 слагаемых
равно числу способов разбиения 1500 на 500 слагаемых (порядок не важен).
20. Докажите, что число разбиений числа 1000 на не более чем 500 слагаемых
равно числу способов разбиения 1500 на 500 слагаемых (порядок не важен).
21. Чему равно количество подмножеств множества {1, 2, …, 1000}, не
содержащих двух последовательных чисел?
21. Чему равно количество подмножеств множества {1, 2, …, 1000}, не
содержащих двух последовательных чисел?
22. В каждой клетке таблицы n×n стоит некая буква. Известно, что все строки
таблицы различны. Докажите, что в ней можно стереть столбец так, что после
стирания столбца все строки таблицы останутся различны.
22. В каждой клетке таблицы n×n стоит некая буква. Известно, что все строки
таблицы различны. Докажите, что в ней можно стереть столбец так, что после
стирания столбца все строки таблицы останутся различны.
ТОЧКА Лемуана и алгебра
ТОЧКА Лемуана и алгебра
23. Дан треугольник ABC . Через точку X, лежащую внутри него, проводится
отрезок cX, параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок bX,
параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB . Докажите, что все точки X, для
которых длины отрезков bX и cX равны, лежат на одной прямой.
23. Дан треугольник ABC . Через точку X, лежащую внутри него, проводится
отрезок cX, параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок bX,
параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB . Докажите, что все точки X, для
которых длины отрезков bX и cX равны, лежат на одной прямой.
24. AB – хорда окружности S . Окружности S1 и S2 касаются окружности S в точках
P и Q соответственно и отрезка AB в точке K . Оказалось, что  PBA =  QBA .
Докажите, что AB – диаметр окружности S .
24. AB – хорда окружности S . Окружности S1 и S2 касаются окружности S в точках
P и Q соответственно и отрезка AB в точке K . Оказалось, что  PBA =  QBA .
Докажите, что AB – диаметр окружности S .
25. Пусть A1 , B1 и C1 – проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC.
a) Докажите, что K –центроид треугольника A1B1C1. b) Докажите, что медиана AM
треугольника ABC перпендикулярна прямой B1C1 .
25. Пусть A1 , B1 и C1 – проекции точки Лемуана K на стороны треугольника ABC.
a) Докажите, что K –центроид треугольника A1B1C1. b) Докажите, что медиана AM
треугольника ABC перпендикулярна прямой B1C1 .
26. Неотрицательные числа a, b, c таковы, что a2+b2+c2 = 3. Докажите, что
a2b+b2c+c2a ≤ 2+abc.
26. Неотрицательные числа a, b, c таковы, что a2+b2+c2 = 3. Докажите, что
a2b+b2c+c2a ≤ 2+abc.
27. Сумма положительных чисел a, b и c равна 3. Докажите, что
𝑐+3
3𝑐+𝑎𝑏
𝑎+3
3𝑎+𝑏𝑐
+
𝑏+3
3𝑏+𝑎𝑐
+
≥3
27. Сумма положительных чисел a, b и c равна 3. Докажите, что
𝑐+3
3𝑐+𝑎𝑏
𝑎+3
3𝑎+𝑏𝑐
+
𝑏+3
3𝑏+𝑎𝑐
+
≥3
28. Назовем натуральное число неинтересным, если оно представляется в виде
28. Назовем натуральное число неинтересным, если оно представляется в виде
𝑎2 𝑏
𝑎−𝑏
𝑎2 𝑏
𝑎−𝑏
при натуральных a и b. Назовём натуральное число бесполезным, если оно
не является количеством делителей никакого неинтересного числа. Найдите
все бесполезные числа.
1
1
1
1 2
при натуральных a и b. Назовём натуральное число бесполезным, если оно
не является количеством делителей никакого неинтересного числа. Найдите
все бесполезные числа.
1
1
1
1 2
29. Ненулевые целые числа a, b, c, d таковы, что 𝑎𝑏𝑐𝑑 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) =
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2 . Докажите, что число a2+b2+c2+d2 — составное.
29. Ненулевые целые числа a, b, c, d таковы, что 𝑎𝑏𝑐𝑑 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) =
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2 . Докажите, что число a2+b2+c2+d2 — составное.
30. Положительные рациональные числа a и b таковы, что a3+4a2b = 4a2+b4.
Докажите, что число √𝑎 − 1 — квадрат рационального числа.
30. Положительные рациональные числа a и b таковы, что a3+4a2b = 4a2+b4.
Докажите, что число √𝑎 − 1 — квадрат рационального числа.
1
31. Докажите, что для любого натурального n верно {𝑛√2} > 2𝑛
√2
1
31. Докажите, что для любого натурального n верно {𝑛√2} > 2𝑛
√2
32. Прямоугольник m×n (m≤n) называется латинским прямоугольником, если он
заполнен натуральными числами от 1 до n так, что в каждой строчке и в каждом
столбце стоят разные числа. Докажите, что латинский прямоугольник можно
дополнить до латинского квадрата n×n.
32. Прямоугольник m×n (m≤n) называется латинским прямоугольником, если он
заполнен натуральными числами от 1 до n так, что в каждой строчке и в каждом
столбце стоят разные числа. Докажите, что латинский прямоугольник можно
дополнить до латинского квадрата n×n.
33. Докажите, что если для некоторых a, b, c, x, y, z √𝑥 + 𝑎 + √𝑦 + 𝑏 + √𝑧 + 𝑐 =
√𝑦 + 𝑎 + √𝑧 + 𝑏 + √𝑥 + 𝑐 = √𝑧 + 𝑎 + √𝑥 + 𝑏 + √𝑦 + 𝑐 =, то x=y=z или a=b=c.
33. Докажите, что если для некоторых a, b, c, x, y, z √𝑥 + 𝑎 + √𝑦 + 𝑏 + √𝑧 + 𝑐 =
√𝑦 + 𝑎 + √𝑧 + 𝑏 + √𝑥 + 𝑐 = √𝑧 + 𝑎 + √𝑥 + 𝑏 + √𝑦 + 𝑐 =, то x=y=z или a=b=c.