« Реферат Номинация: реферативные чтения

Фестиваль городской научно – социальной программы
«Шаг в будущее, Электросталь»
МОУ «Гимназия № 4»
Реферат
Тема: «Рациональные алгебраические
уравнения. Некоторые методы решения»
Номинация:
Автор:
Руководитель:
реферативные чтения
ученик 10 класса «А»
Скоряков Сергей.
Бродецкая Т. А.,
учитель математики.
________________________________________________________
Электросталь
2009
Аннотация.
В работе систематизированы знания по теории уравнений, подробно рассмотрены
формулы корней простейших алгебраических уравнений и основные методы решения
уравнений высших степеней: метод замены и метод разложения на множители.
Автором
рассмотрено
множество
примеров
и
выведены общие схемы решения
уравнений.
Этот материал используется на уроках математики и на занятиях элективного курса, что
позволяет учащимся выработать навык решения более сложных уравнений.
Работа способствует развитию творческого мышления,
повышает интерес к
математике, расширяет знания учащихся.
2
Цель работы:
Систематизировать знания по теории уравнений.
Задачи:
 рассмотреть виды алгебраических уравнений;
 рассмотреть методы решения алгебраических
уравнений.
3
Содержание:
 Введение………………………………………………….5
 Рациональные алгебраические уравнения …………….6
 Простейшие алгебраические уравнения ..……………..7
 Некоторые методы решения уравнений степени,
большей трёх………………..…………..………………..9
1) Метод замены …..……..…………………………………9
o Линейные замены, основанные на
симметрии………………………10
2) Метод разложения. Поиск рациональных корней …….12
o Возвратные уравнения…….……......….………17
 Некоторые методы решения дробно-рациональных
уравнений…………..…………..……….…..…………….19
 Заключение…………………………..…….……………...21
 Используемая литература………………………………...22
4
Введение.
История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные
с
уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Необходимость решать уравнения
не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать
задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами
военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Уже около 2000 лет
до нашей эры жители Вавилона умели решать квадратные уравнения.
В
“Арифметике”
Диофанта
содержится
систематизированный
ряд
задач,
сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных
степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирал
неизвестные.
Задачи на уравнения встречаются
и в средние века
в астрономическом трактате
“Ариабхаттаим”, составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой, а в
Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных
уравнений.
Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов. Им
посвящали научные трактаты и даже слагали стихи великие люди истории. Известный
немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание
некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило
необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного
человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.
Мы попробуем рассказать о некоторых способах решения алгебраических уравнений.
5
Рациональные алгебраические уравнения.
Рациональное алгебраическое выражение – это выражение, составленное из чисел и
переменных, в котором разрешается применять только четыре арифметических действия
(сложение, вычитание, умножение и деление).
Различают два типа рациональных алгебраических выражений – целые и дробные, или
дробно-рациональные.
Целые рациональные алгебраические выражения получаются из чисел и переменных
только действиями сложения, вычитания и умножения (исключается действие деления). Такие
выражения
называются
также
многочленами
или
полиномами
от
соответствующих
переменных.
Дробно-рациональные алгебраические выражения определяются как получающиеся из
чисел и переменных с использованием всех четырёх арифметических действий.
Уравнение с одной переменной х – это равенство между двумя выражениями, содержащими эту
переменную.
Корень уравнения – это значение переменной, при котором
уравнение обращается в верное
равенство.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Уравнения, не имеющие
корней, также считают равносильными. Для записи используют знак (  ) равносильности.
Стандартный вид рационального алгебраического уравнения:
P( x)
 0,
Q( x)
P, Q  R[ x] ,
deg Q  0
( R[x] - совокупность всех многочленов от x с действительными коэффициентами, deg Q степень многочлена Q( x)  R[ x] ).
Общая схема решения рационального алгебраического уравнения – эквивалентный
переход к смешанной системе:
P( x)  0,
P( x)
0
Q( x)
Q( x)  0.
(*)
Пример 1. Решим уравнение
1
1
x 1
 2
2
x
x
(1*)
6
1
x 1
x 2  1  ( x  1)
(1*)  1  2 
0
0
x
x2
x2
2

 x ( x  1)  0,
x2  x
 x  x  0,


0




2
x2

 x  0.
x  0
x  0,
Уравнение x( x  1)  0 имеет корни
x  1 . Ограничению x  0
удовлетворяет только второй корень.
Ответ: x  1 .
Простейшие алгебраические уравнения.
Для всех типов уравнений общих методов решения не существует. И все же во многих
случаях, особенно для алгебраических уравнений определенного типа, имеется достаточно
полная теория их решения.
К стандартным алгебраическим уравнениям
p n ( x)  0 , решаемым по стандартным
схемам и формулам, относятся уравнения следующих типов.
1) Линейные уравнения (степень n = 1) всегда имеют единственный корень и решаются
путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение
неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5
вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого
уравнения, например, x + 2 = 7, к равносильному, основаны на использовании четырех аксиом:
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же отличное от нуля число, то результаты
будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же отличное от нуля число, то результаты
будут равны.
Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем
число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10.
Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в
результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Таким образом, линейные уравнения решаются по схеме:
ax  b  0 , а  0

ax  b

x
b
.
a
2) Квадратные (квадратичные) уравнения (n = 2) приводятся к виду
ax 2  bx  c  0
(a  0) .
7
Их разрешимость (наличие корней) определяется знаком дискриминанта – числа
D  b 2  4ac .
Если D < 0, то корней нет;
Если D = 0, то корень единственный : x 0  
b
;
2a
Если D > 0, то два корня, которые вычисляются по формуле: x1,.2
Для квадратного уравнения с чётным коэффициентом
ax 2  2mx  c  0  x1,.2 
 b  b 2  4ac
.

2a
b = 2m:
 m  m 2  ac
.
a
Если квадратное уравнение имеет корни, то также найти их помогает теорема, обратная
теореме Виета:
Если числа m и n таковы, что их сумма равна -b/a, а произведение равно c/а, то эти
числа являются корнями уравнения aх2 + bх + с = 0.
3) Двучленные уравнения произвольной степени (n ≥ 2):
ax n  b  0
Они переписываются как стандартные степенные уравнения xn = c, а дальнейшее зависит
от чётности n и от знака числа с, а именно:
Если n = 2k +1 нечётно, то при любом значении с уравнение имеет единственное
решение:
x0  n c ;
Еcли n = 2k чётно, то:
при с < 0 корней нет;
при с = 0 корень единственный: х = 0;
при с > 0 корней два:
x1, 2   n c .
К простейшим, «почти стандартным» уравнениям можно отнести ещё один тип
уравнений, которые решаются по стандартной схеме, т.е. часто встречающемуся приёму
решения.
4) Биквадратные уравнения – это уравнения степени 4, приводимые к виду
ax 4  bx 2  c  0
(a  0) .
Они решаются с помощью замены переменной, а именно:
1)
вводится новая переменная
x2  z
и через нее переписывается исходное
уравнение – получается квадратное уравнение az 2  bz  c  0 ;
8
2)
находятся корни этого уравнения относительно z; допустим, они существуют –
некоторые корни z  z i ;
3)
для каждого корня z i решается уравнение замены x 2  z i , и затем записывается
ответ.
5) Бикубические - обобщение биквадратных уравнений, приводимые к виду
ax 6  bx 3  c  0 ,
и заменой x 3  z сводящиеся к квадратному уравнению, а затем к
совокупности двучленных уравнений вида x 3  z i .
Вообще, и квадратные, и биквадратные, и бикубические уравнения можно причислить к
одному классу «трёхчленных» уравнений ax 2 n  bx n  c  0,
n  N,
a, b, c  R,
a  0,
которые (в случае n > 1), аналогично биквадратным, решаются по схеме замены:
ax 2 n  bx n  c  0

 x n  z ,
 2
az  bz  c  0.
Далее мы рассмотрим методы сведения рациональных алгебраических уравнений к
простейшим. Основных методов два: метод замены и метод разложения.
Некоторые методы решения уравнений степени, большей трёх.
1. Метод замены.
Явные формулы, аналогичные формуле для решения квадратного уравнения, можно
выписать только для уравнений третьей и четвертой степеней. Но и эти формулы сложны и
далеко не всегда помогают легко находить корни. Что же касается уравнений пятой степени
или выше, то для них, как доказал Н.Абель в 1824, нельзя указать общую формулу, которая
выражала бы корни уравнения через его коэффициенты при помощи радикалов. В отдельных
частных случаях уравнения высших степеней удается легко решить, применяя метод замены.
Идею замены при решении уравнений можно сформулировать следующим образом. Мы
представляем исходное уравнение F ( x)  0 в виде f ( ( x))  0 , делаем замену
 ( x)  z
(можно сказать иначе: вводим новую переменную [неизвестную] – переменную замены),
решаем уравнение f ( z )  0 относительно z и потом для каждого из найденных значений
z  z1 , z 2 ... находим x из уравнений замены  ( x)  z1 ,  ( x)  z2 ,... .
Схема замены выглядит следующим образом:
f ( ( x))  0

 ( x)  z1

 ( x)  z 2

...
9
где
z1 , z 2 ... - корни уравнения f ( z )  0 .
f ( z )  0 и  ( x)  z k , имеют степени меньшие, чем степень
При этом оба уравнения,
исходного уравнения
F ( x)  0 , или f ( ( x))  0 .
Рассмотрим данный метод на примере.
Пример 2. Решим уравнение
2007 (x 4 - 6x 2  9)  2006 (x 2 - 3) - 1  0.
Используя подстановку y  x 2 - 3 получим квадратное уравнение 2007 y 2  2006 y - 1  0.
Применение формулы корней квадратного уравнения приводит к громоздким вычислениям.
Подбором находим один из корней уравнения y  1 . Далее, используя теорему Виета,
получаем:
x 2  3  1
x1   2 ,
Ответ: 
y1  y 2  
т.к.
и
x2  3 
2,
y1  -1
и
то
y2 
1
.
2007
Из
равенств
1
найдём корни исходного уравнения:
2007
x3   3
x2  2 ,
2,
1
2007

3
1
,
2007
x4  3
1
,
2007
3
1
.
2007
1
.
2007
Линейные замены, основанные на симметрии.
Если в
алгебраическом уравнении сделать линейную замену
степени уравнений
f ( ( x))  0
и
f ( z)  0
 ( x)  ax  b  z ,
будут одинаковы. Однако,
то
при подходящей
линейной замене можно «укоротить» уравнение: сделать так, что часть коэффициентов
обратиться в нуль и меньше станет не степень уравнения, а число его членов (отличных от
нуля входящих в него членов). При этом наводящими соображениями могут оказаться те или
иные свойства симметричности входящих в него выражений.
Поясним сказанное на примерах.
Пример 3. Решим уравнение
В уравнении
x 4  ( x  2) 4  82 .
x 4  ( x  2) 4  82
выражения
x и x2
входят одинаковым,
симметричным образом: то и другое в четвёртой степени и с одним и тем же коэффициентом 1.
Для двух точек x1 и x 2 числовой оси центром симметрии этой пары точек будет середина
отрезка с концами в точках x1 и x 2 (см. рис):
xo
x1
х
x2
10
Координата середины отрезка находится по формуле x0 
x  ( x  2)
 x  1  z . Тогда x  z 1,
2
x1  x2
, т.е.
2
x  2  z  1, и уравнение примет вид:
( z  1) 4  ( z  1) 4  82 . Можно заметить, что после возведения биномов z  1 в
четвёртую степень (по формулам
(х ± а)4 = х4 ± 4ах3 + 6а2х2 ± 4ах3 + а4) и сложения
результатов нечётные степени z
взаимно уничтожаются, так как коэффициенты при них в
разложениях ( z  1) по степеням z отличаются лишь знаком:
4
( z  1) 4  z 4  4 z 3  6 z 2  4 z  1 .
( z  1) 4  z 4  4 z 3  6 z 2  4 z  1 ,
Таким образом, получаем биквадратное уравнение:
2 z 4  12 z 2  2  82
z 4  6 z 2  40  0 .

В нём можно сделать ещё одну (стандартную) замену
z 2  u , а можно разложить левую
часть уравнения на множители: z  6 z  40  0 
4

z2  4

z 2  10
( z 2  4)( z 2  10)  0
2


z  2 .
Теперь находим значение исходной переменной х:
x  1  2  х = 1 или х= -3.
Ответ: х = 1, х = -3.
Пример 4. Решим уравнение
( x  1)( x  2)( x  4)( x  5)  40
(2*)
Отметив на числовой оси точки x +1, x + 2, x + 4 и x + 5, видим, что такая четвёрка чисел
симметрична относительно точки х + 3. Сделаем линейную замену х + 3 = z.
х
x+3
x+1
x+2
x+4
x+5
Линейную замену легко осуществить, выразив x через z. В данном случае x  z  3 ,
поэтому
(2*)

( z  2)( z  1)( z  1)( z  2)  40 .
Теперь ясно, что можно воспользоваться формулой (a  b)( a  b)  a  b и получить
2
(в данном случае) биквадратное уравнение
2
2
( z 2  4)( z 2  1)  40 относительно z .
Вводим обозначение z  u и находим:
2
11
(u  4)(u  1)  40 
Так как
u

5  13  4,

2
9.
u  z 2  0 , корень u  4 отбрасываем, и для переменной
единственное уравнение: z 2  9
Соответственно этому
Ответ:
u 2  5u  36  0

z получаем
z  3 .
x  z  3  3  3 , откуда x  0
или
x  6 .
x  0 , x  6 .
Это же уравнение можно было решить иначе:
Догадаться и сгруппировать в исходном уравнении (2*) сомножители x  1 и
x  5, x  2 и
x4.
Получим уравнение:
очевидную замену
( x 2  6 x  5)( x 2  6 x  8)  40 ,
x 2  6x  y
степень уравнения.
(или
в
котором можно сделать
x 2  6 x  5  u ), тем самым сразу понизив
Однако успех при таком способе решения тоже обусловлен
справедливостью равенства
1 5  2  4 ,
эквивалентного симметричности четвёрки точек
1, 2, 4, 5 (или соответственно, х + 1, х + 2, х + 4, х + 5) на числовой оси.
2. Метод разложения. Поиск рациональных корней.
При использовании метода замены мы увеличивали число решаемых уравнений, но при
этом понижали их степени. Другой способ понизить степень при решении алгебраических
уравнений, а к ним сводятся любые рациональные алгебраические уравнения, - это их
разложение на множители. В этом и состоит метод разложения для решения алгебраических
уравнений.
Допустим, что левую часть алгебраического уравнения p n ( x)  0 степени n удаётся
разложить на два сомножителя меньшей степени, т.е. представить в виде произведения
pk ( x) pm ( x) , где deg p k ( x)  k  0 и deg pm ( x)  m  0 (так как k  m  n , отсюда уже
следует, что k , m  n ). Тогда степени решаемых уравнений немедленно понижаются:
p n ( x)  0

p k ( x) p m ( x)  0

pk ( x)  0

p m ( x)  0 .
Заметим, что если в общем случае при решении разложенных уравнений вида AB = 0 к
уравнениям А = 0 и В = 0 необходимо приписать ограничения на области определения
сомножителей, то в данном случае никаких ограничений на переменную x накладывать не
нужно: полиноминальные функции определены на всей числовой прямой.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие данный метод.
12
Пример 5. Решим уравнение x 3  1  0 .
Левую часть этого уравнения
можно записать в виде (x  1)(x 2 - x  1)  0 . Решения мы
находим, полагая каждый из множителей равным нулю:
x  1  0 или x 2 - x  1  0.
x  -1
нет
Ответ: -1.
корней .
Пример 6. Решим уравнение
x  23  x  43  2 x  23 .
Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу суммы кубов:
x  2  x  4x  22  x  2x  4  x  42   2 x  23
,
2 x  2x 2  4 x  4  x 2  2 x  8  x 2  8 x  16  2 x  23 .
Переносим 2 x  2  в левую часть и раскладываем полученный многочлен на множители:
3
2 x  2x 2  2 x  28  4 x 2  8x  4  0 ,
2x  2  0
или
тогда
- 3x 2 - 6x  24  0
Решая эти уравнения, получаем корни x 1  - 1,
x 2  - 4,
x3  2 .
Ответ: -4; -1; 2.
Разложение на множители позволило свести решение данного кубического уравнения к
решению квадратного и линейного уравнений.
Обычно разложение на множители левой части уравнения не является очевидным.
Поэтому при разложении
левой части
полиномиального уравнения
на множители мы
пользуемся следующими теоремами:
Теорема 1 (о корне многочлена). Если число а является корнем многочлена
Р(х) = a0xn + a1xn-1+…+ an-1x + an , где a0 ≠ 0, то этот многочлен можно представить в
виде произведения (х – а)Р1(х), где Р1(х) – многочлен n – 1-й степени.
Эта теорема позволяет решение целого уравнения n -й степени, для которого известен
один из корней, свести к решению уравнения n – 1-й степени, в частности, от уравнения
третьей степени перейти к квадратному.
Если целое уравнение с одной переменной с целыми коэффициентами имеет целый
корень, то его можно найти, используя теорему о целых корнях целого уравнения.
Теорема 2 (о целых корнях целого уравнения).
Если уравнение
a0xn + a1xn-1+…+ an-1x + an= 0, в котором все коэффициенты - целые числа, причём
свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем
свободного члена.
13
Приведём пример решения уравнения с использованием указанных теорем.
Решим уравнение x 3 - 8x 2  13x - 2  0
Пример 7.
Если это уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы 2 он является делителем числа
-2, т. е. равен одному из чисел -2, -1, 1, 2. Проверкой убеждаемся, что корнем уравнения
является число 2. Значит, в силу теоремы 1 многочлен x 3 - 8x 2  13x - 2 можно представить в
виде (х – 2) F(х), где F(х) – многочлен второй степени.
Для того, чтобы найти многочлен F(х), разделим многочлен х3 – 8х2 + 13х – 2 на двучлен
х – 2 . Деление многочленов выполним «уголком»:

x 3  8 x 2  13 x  2
x2
x 2  6x  1
x3  2x 2

 6 x 2  13 x
 6 x 2  12 x

x2
x2
0
Значит, исходное уравнение можно представить в виде (x - 2) (x 2 - 6x  1)  0 .
Отсюда
x-20
х=2
Ответ: 2,
или
x 2 - 6x  1  0 ,
х = 3 ±√ 8.
3 8 .
Можно сказать, что любое полиномиальное уравнение с рациональными (дробными)
коэффициентами равносильно уравнению с целыми коэффициентами, получающемуся
домножением
исходного уравнения на общий знаменатель всех его коэффициентов.
Сформулируем утверждение, которое даст возможность найти все рациональные корни
полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами, если они есть.
Теорема 3 (о рациональных корнях целочисленных многочленов).
p
Если несократимая дробь x 0  является корнем полиноминального уравнения с целыми
q
n
n 1
коэффициентами, a n x  a n 1 x  ...  a1 x  a 0  0,
a k  Z , то числитель дроби р является
делителем свободного члена a 0 полинома, а знаменатель q – делителем старшего
коэффициента
an .
14
Поясним, как применяется эта теорема. Заметим, что и числитель, и знаменатель дроби
x0 
p
можно считать натуральными, поставив знак перед самой дробью. Если уравнение
q
имеет хотя бы один рациональный корень, то он обязательно находится среди дробей вида
f ik  
pi
, где числа p i есть все возможные натуральные делители свободного члена a 0 ,
qk
считая единицу и само число a 0 , а числа q k - все возможные натуральные делители старшего
коэффициента a n (считая единицу и сам коэффициент a n ). Тех и других всегда конечное
число, так что набор возможных «кандидатов»
f ik в рациональные корни рассматриваемого
уравнения конечен. Остаётся проверить, является ли каждое из чисел
f ik корнем, подставляя
их в уравнение, причём сократимые дроби проверять не нужно (согласно условию теоремы).
Если, действуя таким образом, мы находим какой-то рациональный корень уравнения, то
в случае кубических уравнений задачу отыскания всех корней можно считать решённой: после
вынесения линейного множителя останется квадратичный множитель, и кубическое уравнение
будет равносильно совокупности линейного и квадратного уравнений.
Если же, после
проверки всех чисел корень не находим, то это значит, что уравнение не имеет рациональных
корней и необходимо подключать другие методы (например, формулу Кардано для отыскания
корней кубического уравнения, схему Феррари для уравнения 4 степени).
Рассмотрим примеры применения теоремы о рациональных корнях к решению уравнений.
Пример 8. Решим уравнение
2 x 3  3x 2  1  0 .
Рациональными корнями этого уравнения могут быть только дроби
делитель свободного члена a0  1 , т.е. p  1
старшего коэффициента a3  2 , т.е. q  1
четыре возможности: x 0 
p 1
 ,
q 1
1
,
1
или
или
1
,
2
 1, a q -
2 . Для дроби
p
, где p – целый
q
натуральный делитель
x0 
p
получаем всего
q
1
.
2
Проверяем эти четыре числа:
1) x  1  2 x 3  3x 2  1  2  3  1  4  0 ;
2) x  1  2 x 3  3 x 2  1  2  3  1  0 , значит, один корень найден, и уравнение
уже
может
быть
решено.
Продолжим
проверку:
15
3) x 
1
1 3
 2 x 3  3x 2  1    1  0
2
4 4
4) x  
(ещё
один
корень);
1
1 3
1
 2 x 3  3x 2  1     1    0 .
2
4 4
2
Таким образом, мы нашли два рациональных корня данного уравнения: x1  1 и x 2 
соответствуют множители x  x1  x  1
и
x  x2  x 
1
. Им
2
1
, которые можно выделить в
2
левой части уравнения. Для его полного решения достаточно вынести любой из этих
1
x  , преобразовав его в двучлен, имеющий целые
2
множителей. Мы вынесем множитель
1
коэффициенты: 2( x  )  2 x  1 .
2
Применим метод группировки слагаемых:
2 x 3  3x 2  1  (2 x 3  x 2 )  (4 x 2  1) 
 (2 x  1)( x 2  2 x  1)  (2 x  1)( x  1) 2
Итак, корнями исходного уравнения являются только рациональные числа ½ и -1.
1
Ответ: x  1, .
2
Рассмотрим пример уравнения, не имеющего корней.
Пример 9. Решим уравнение x 8 - x 5  x 2 - x  1  0 .
Возможностей для рациональных корней этого уравнения всего две: в соответствующих
несократимых дробях
p
и числитель р, и знаменатель q есть делители единицы, так что
q
рациональный корень есть либо
х0 = 1, либо х0 = -1. Ни одно из этих значений не
удовлетворяет уравнению: соответствующие значения левой части р8(х) уравнения равны
p 8 (1)  1 - 1  1 - 1  1  1 и p 8 (-1)  5 .
Следовательно,
данное
уравнение
не
имеет
рациональных корней.
Докажем, что и иррациональных корней это уравнение также не имеет.
При любом х < 0 все входящие в p 8 (x) одночлены принимают положительные значения,
поэтому p 8 (x)  0 .
То же самое можно сказать о значениях многочлена р8(х) при х > 1 : тогда x 8  x 5 ,
x2  x ,
поэтому опять р8(х) > 0.
Так как значения х = 0 и х = 1 не являются корнями уравнения, то остаётся выяснить, могут ли
удовлетворять
уравнению
числа
p 8 (x)  (1 - x)  (x 2 - x 5 )  x 8  0 ,
х
из
промежутка
(0;1).
Для
этого
запишем:
так как в случае 0 < х < 1 выполнены неравенства
16
1 - x  0,
x 2 - x 5  0 . Таким образом, многочлен р8(х) положителен при всех значениях х и
корней не имеет.
Ответ: нет корней.
Следующие два примера показывают, каким образом можно понизить степень
уравнения.
Пример 10. Решим уравнение
x 4  x 3  72 x 2  9 x  81  0 . Разделим обе части
уравнения на x 2 ( x = 0 не является решением уравнения), получим
9

, тогда  x 
x

9 81

0,
x x2
2
9 
9

 x     x    90  0 .
x 
x

81  
9

тогда  x 2  18  2    x    72  18  0 ,
x
x  

Пусть y  x 
x 2  x  72 
2
9
2
2
  y . Получим уравнение y  y  90  0.
x
По теореме Виета корни уравнения: y1  10, y 2  9.
Значит, x 
9
 10
x
или
x
9
 9 .
x
Решая эти уравнения, находим корни x1  9, x2  1, x3 
Ответ: x1  9, x2  1, x3 
93 5
93 5
, x4 
.
2
2
93 5
93 5
, x4 
.
2
2
Пример 11. Решим уравнение
x
2


 3x  6 x 2  4 x  6  12 x 2 .
Разделив обе части уравнения на x 2 ( x  0 ) не является корнем данного уравнения), получим:
6 
6

 x  3   x  4    12 .
x 
x

Полагая y  x 
6
, получим уравнение
x
 y  3 y  4  12;
y 2  7 y  12  12;
корнями которого являются значения y1  0,
y2  7 . Значит, x 
6
6
 0 или x   7 .
x
x
Первое уравнение не имеет решений на множестве R, а корни второго x1  6, x2  1 .
Ответ: x1  6, x2  1 .
Примеры 11 и 12 наглядно показывают, как деление обеих частей уравнения на одно и то же
выражение с последующим введением замены позволяет понизить степень уравнения.
17
Возвратные уравнения.
Метод введения новой переменной
находит широкое применение при решении
так
называемых возвратных уравнений.
Возвратным уравнением называется уравнение вида
a0xn + a1xn-1+…+ an-1x + an = 0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково
отстоящих от начала и конца, равны, т.е. a k= a n-k , где k = 0, 1, 2, …,n. Возвратные уравнения
бывают симметрические и кососимметрические, отличаются друг от друга знаками при
некоторых коэффициентах.
Рассмотрим пример решения возвратного уравнения четвёртой степени с помощью
метода замены.
Пример 12. Решим уравнение х4 – 5х3 + 6х2 – 5х +1 = 0.
Воспользуемся тем, коэффициенты членов многочлена, записанного в левой части
уравнения, одинаково удалённых от начала и конца, равны между собой, т.е. уравнение
является возвратным.
Разделив обе части уравнения на
х2 (х=0 не является корнем уравнения), получим
1) x 2  5 x  6 
равносильное ему уравнение:
5 1

0
x x2
Сгруппируем первый член с последним и второй с четвёртым, причём во второй сумме
вынесем множитель -5 за скобки. Получим
1  
1

2)  x 2  2   5 x    6  0 .
x
x  

1
3) Введём новую переменную: y  x 
x
x2  2 
Отсюда 5)
x2 
2
. Тогда
1

4)  x    y 2 .
x

1
 y2,
2
x
1
 y2  2
2
x
Выполнив подстановку, получим (у2 – 2) – 5у + 6 = 0,
y2 – 5у + 4 = 0.
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: у1 = 1 и у2 = 4.
6) x 
1
1
x
или
x
Значит,
1
 4.
x
Решая эти уравнения, найдём, что первое из них не имеет корней, а второе имеет два
корня: х1 = 2 - √3 и х2 = 2 + √3 .
Значит, исходное возвратное уравнение имеет два корня: 2 - √3 и 2 + √3 .
Ответ: 2 ± √3 .
18
Некоторые методы решения дробно-рациональных уравнений.
Мы уже говорили об общей схеме решения рационального алгебраического уравнения
(*). В простых случаях это уместно. Например, при решении следующего уравнения:
kx 
ax  b
m
cx  d

kx(cx  d )  ax  b  m(cx  d )  0,

cx  d  0
Однако, уже для уравнений вида ax 2  kx 
ax  b
ax  b
 m или ax 2  kx  2
m
cx  d
yx  cx  d
подобные действия приведут к уравнениям степеней 3 и 4.
Идея замены переменной - одна из основных при решении дробно-рациональных
уравнений. Рассмотрим примеры, поясняющие этот метод.
Пример 13. Решим уравнение x 2  3 x 
3 1

8
x x2
В левой части уравнения сгруппируем слагаемые: ( x 2 
введём замену x 
(3*)

. Решаем получившееся квадратное уравнение:
(4*)
z 2  3z  10  0
1
1
)  3( x  )  8 ,
2
x
x
1
1
 2  x 2  2  z 2  2 и далее:
2
x
x
z2  x2 
1

 x   z,
x

 z 2  2  3z  8


(4*)
1
 z . Тогда
x
(3*) .

( z  5)( z  2)  0

 5,
z .
2
Далее решаем два уравнения замены, которые также сводятся к квадратным. Оформим
решение как разбор случаев:
1)
z  5;
2)
z  2;
Ответ: x  1,
x
x
 x 2  5 x  1  0,
1
 5  21
;
 5  
x
x
2
x  0
 x 2  2 x  1  0,
1
 2 
 ( x  1) 2  0  x  1 .
x
x  0
 5  21
.
2
Пример 14. Решить уравнение
 x  2 2 
24
 18.
x  4x
2
Областью допустимых значений данного уравнения являются все числа, удовлетворяющие
условию x 2  4 x  0. Тогда,
Пусть y  x 2  4 x
x
2

 4x  4 
24
 18.
x  4x
2
 y  0, получим уравнение
y4
24
 18.
y
19
Решая данное дробно-рациональное уравнение, получим корни
y1  12, y2  2.
Значит, x 2  4 x  12 или x 2  4 x  2. Решениями этих уравнений являются значения
x1  6, x2  2, x3  2  6 , x4  2  6.
Ответ: x1  6, x2  2, x3  2  6 , x4  2  6.
Пример 15. Решим уравнение
 x  0,
ОДЗ: 
 x  2  0.
1
1
10

 .
2
2
x
x  2 9
Пусть t  x  1 , тогда x  t  1. Получим уравнение
1
t  1
2

1
t  1
2

10
.
9
Выполняя преобразования, данное уравнение приводится к виду 5t 4  19t 2  4  0.
Корни этого уравнения t1  2, t 2  2, следовательно, x1  3, x2  1.
Ответ: x1  3, x2  1.
Однако, не всегда бывает рационально следовать какой-либо схеме решения. Иногда в
предложенном уравнении удаётся увидеть какую-нибудь особенность. Примером служит
следующее уравнение.
Пример 16. Решим уравнение
x 4  324
 43  6 x.
x 2  6 x  18
Заменим это уравнение равносильным ему с помощью прибавления и вычитания в числителе
левой части одного и того же выражения 36x 2 :
x
4

 36 x 2  324  36 x 2
 43  6 x ;
x 2  6 x  18
Разложим числитель на множители
Заметим, x 2  6 x  18  0
x
2
x

2
 18  36 x 2
 43  6 x .
x 2  6 x  18
2


 18  6 x x 2  18  6 x
 43  6 x .
x 2  6 x  18
для любого x . Сокращая дробь, получим равносильное уравнение
x 2  6 x  18  43  6 x , корнями которого являются значения x1  5, x2  5.
Ответ: x1  5, x2  5.
Рассмотренные примеры показывают основные способы решения алгебраических
уравнений степени n  3 : разложение многочлена на множители, деление на одно и тоже
выражение, введение новой переменной. Все указанные способы позволяют понизить степень
уравнения и свести решение данного уравнения к решению квадратного или линейного
уравнения.
20
Заключение.
На первой лекции для студентов первого курса профессор МГУ им. М. В. Ломоносова
академик Сергей Львович Соболев, говоря о предмете Математика, так начинал изучение
своего предмета:
“Я буду говорить об одной из самых древних наук, которая нам, ее
работникам, кажется вечно юной. Она переживала за свою историю и восторги замечательных
открытий, и революции, и периоды спокойной систематической работы. Ее считают и царицей
всех наук, и их служанкой. Для ее последователей это всегда богиня, лик которой спрятан под
покрывалом, и счастлив тот, кто удостоился увидеть какие-нибудь новые черточки ее лица или
разгадать какую-нибудь из ее загадок”, - так вдохновенно описывал академик дело своей
жизни и предмет своей любви.
Теория уравнений – одна из основных составляющих великой науки. В своей работе мы
попробовали прикоснуться к тайнам Математики: постарались систематизировать известные
нам знания о теории уравнений, показать красоту и изящество некоторых способов решения
уравнений.
21
Используемая литература.
1. А. Н. Земляков «Алгебра +: рациональные и иррациональные алгебраические задачи»
Учебное пособие. Москва. Бином. Лаборатория знаний.
2. О. А. Гельфонд "Популярные лекции по математике. Решение уравнений в целых
числах». МГУ, выпуск 8.
3. Э. Кольман “История математики в древности”.Москва. Физматгиз.
4. В.А.Никифоровский “В мире уравнений”. Москва.
5. Г.И.Глейзер “История математики в школе”.
6. И.Депман “Рассказы о старой и новой алгебре”.
7. Д.Я. Стройк “Краткий очерк истории математики”.
8. Б.В.Болгарский “Очерки по истории математики” .
9. “История математики” (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.
10. “Энциклопедический словарь юного математика” под редакцией Гнеденко.
22