ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИИ
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Первый семестр. Лектор Бухарова Т.И. Д1-n, 2008г.
1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их свойства.
2. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Теорема о
линейной зависимости.
3. Теоремы о линейной зависимости двух, трех, четырех векторов.
4. Определение базиса на плоскости и в пространстве. Теорема о единственности
разложения вектор по базису. Координаты вектора и их свойства. Теоремы о базисе в
пространстве, на прямой, на плоскости.
5. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Свойства проекции вектора на ось.
6. Скалярное произведение векторов, его свойства,
выражение через координаты
перемножаемых векторов. Условие ортогональности двух векторов.
7. Векторное произведение векторов, его свойства, выражение через координаты
перемножаемых векторов. Условие коллинеарности двух векторов.
8. Смешанное произведение, его свойства, выражение через координаты перемножаемых
векторов. Условие компланарности трех векторов.
9. Аффинные и декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и в
пространстве, координаты точки. Преобразование декартовых прямоугольных на
плоскости.
10. Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности порядка линии при
переходе от одной декартовой системы координат к другой.
11. Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве, проходящих через
заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
12. Прямая на плоскости (плоскость) как линия (поверхность) первого порядка.
Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения прямой на плоскости
(плоскости) в декартовой прямоугольной системе координат.
13. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.
14. Нормированное уравнение прямой на плоскости. Переход от общего уравнения к
нормированному. Расстояние от точки до прямой.
15. Различные виды уравнений плоскости. Угол между плоскостями.
16. Нормированное уравнение плоскости. Переход от общего уравнения к нормированному.
Расстояние от точки до плоскости.
17. Параметрическое и каноническое уравнение в пространстве. Переход от общего
уравнения прямой к каноническому. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью.
Условие принадлежности прямых одной плоскости.
18. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве. Расстояние между
параллельными и скрещивающимися прямыми.
19. Эллипс: определение, свойства и форма.
20. Гипербола: определение, свойства и форма.
21. Парабола: определение, свойства и форма.
22. Преобразование коэффициентов алгебраической линии 2-го порядка при параллельном
переносе и повороте.
23. Инварианты алгебраической линии 2-го порядка.
24. Приведение уравнения центральной линии 2-го порядка к каноническому виду.
25. Приведение уравнения нецентральной линии 2-го порядка к каноническому виду.
26. Цилиндрические и канонические поверхности. Общие уравнения цилиндрической и
канонической поверхностей. Цилиндры и конусы второго порядка.
27. Поверхности вращения.
Общее уравнение поверхности вращения, поверхности
вращения 2-го порядка.
28. Канонические уравнения центральных поверхностей, исследование их формы методом
сечений.
29. Канонические уравнения параболоидов, исследование их формы методом сечений.
30. Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число.
31. Умножение матриц друг на друга и его свойства.
32. Операция транспонирования матриц и ее свойства. Симметричные, кососимметрические
матрицы.
33. Перестановки n чисел, их свойства, четные и нечетные перестановки.
34. Определение определителя. Определители 2-го и 3-го порядков.
35. Лемма о знаке члена определителя. Определитель транспонированной матрицы.
Свойство определителя, связанное с перестановкой строк, и его следствие.
36. Свойство линейности определителя и его следствия. Операции над столбцами
(строками), не меняющие определителя.
37. Лемма об определители матрицы специального вида.
38. Теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) и о сумме произведений
элементов i-й строки на алгебраические дополнения элементов j-й строки.