A, a а

Что надо знать из элементарной математики (школьного
курса) для изучения «Линейной алгебры и аналитической
геометрии»
1. Латинский алфавит.
A, a
а
B, b
бэ
C, c
цэ
D, d
дэ
E, e
э
F, f
эф
G, g
гэ (же)
H, h
ха (аш)
I, i
и
J, j
йот (жи)
K, k
ка
L, l
эль
M, m
эм
N, n
O, o
P, p
Q, q
R, r
S, s
T, t
U, u
V, v
W, w
X, x
Y, y
Z, z
эн
о
пэ
ку
эр
эс
тэ
у
вэ
дубль-вэ
икс
игрек
зэт
2. Греческой алфавит.
Α, α
альфа
Β, β
бэта
Γ, γ
гамма
Δ, δ
дэльта
Ε, ε
эпсилон
Ζ, ζ
дзэта
Η, η
эта
Θ, θ
тэта
Ι, ι
йота
Κ, κ
каппа
Λ, λ
ламбда
Μ, μ
мю(ми)
Ν, ν
Ξ, ξ
Ο, ο
Π, π
Ρ, ρ
Σ, ς
Τ, σ
Φ, φ
Υ, υ
Χ, χ
Ψ, ψ
Ω, ω
ню(ни)
кси
омикрон
пи
ро
сигма
тау
фи
юпсилон
хи
пси
омега
3. Типы числовых множеств.
  1,2,3, — множество натуральных чисел;
Z  0,1,2,3, — множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел, т.е. чисел, представимых в виде дроби
m
, где n  N , m Z .
n
J — множество иррациональных чисел, т.е. чисел, не представимых в виде
m
дроби , где n  N , m Z . Например, 2 , 15 ,   3,14 , e  2,72 и др.
n
R – множество действительных чисел (вещественных чисел).
[a, b] – числовой отрезок;
(a, b) – числовой интервал;
a,   – луч с вершиной в точке а;
 , b – луч с вершиной в точке b;
a, b  , a, b – полуинтервал;
 ;  – числовая ось (координатная ось) – это прямая, на которой
выбрано начало отсчета, точка 0, масштаб
и положительное
направление 0 x .
0
x
1
4. Некоторые математические обозначения.
=
равно
≠
не равно
≈
приближенно равно
>
больше
<
меньше
≥
не меньше
≤
не больше
o
пустое множество
!
факториал (5!=1*2*3*4*5=120)
||
параллельно
перпендикулярно

принадлежит


не принадлежит
число «пи» – отношение длины окружности к диаметру;

  3,14
const
постоянная
∑
сумма
∏
произведение
%
процент
5. Абсолютная величина (модуль) действительного числа x:
 x, если x  0,
x 
 x, если x  0.
7  7;
 3  (3)  3 ;
1 2 1 2 ;
Например:
1  2  (1  2 )  1  2  2  1 ;
 x  3, если x  3,
x3 
 x  3, если x  3.
 x  3, если x  3  0,
x3 
 ( x  3), если x  3  0,
или
6. Средние величины.
Средним арифметическим n
чисел x1 , x2 , xn называют величину
x  x2    xn
.
xa  1
n
Средним геометрическим n чисел x1 , x2 , xn называют x Г  n x1  x2    xn .
Средним квадратическим n чисел x1 , x2 , xn называют
x12  x22    xn2 .
7. Положительные и отрицательные числа и действия над
ними.
а) При сложении чисел с одинаковыми знаками абсолютные величины их
складываются и ставится общий знак; если у слагаемых разные знаки, то из
большей абсолютной величины вычитается меньшая и ставится знак числа с
большей абсолютной величиной.
Примеры: (5)  (3)  5  3  8 ;
(5)  (3)  5  3  8 ;
(5)  (3)  5  3  2 ;
(5)  (3)  5  3  2 .
б) Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются
противоположными.
Например, 5 и (-5), -3 и 3.
в) Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Например, 5+(–5)=0; (–3)+3=0.
г) Между множеством действительных чисел и точками координатной
(числовой) прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е.
каждому числу из R соответствует единственная точка числовой прямой и
наоборот, каждой точке числовой оси соответствует единственное число из
R.
Поэтому из двух чисел то больше, которое на числовой прямой
расположено правее.
Следовательно: 1) всякое положительное число больше нуля и больше
отрицательного числа; 2) всякое отрицательное число меньше нуля; 3) из
двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Например:
5  0 , 5>–3; –3>0; –3,8-5,1.
д) Чтобы вычесть из числа a число b , достаточно к уменьшаемому a
прибавить число, противоположное вычитаемому b , т.е. a  b  a  (b) .
Примеры: (5)  (3)  5  (3)  5  3  2 ;
(5)  (3)  5  (3)  5  3  2 ;
(5)  (3)  5  (3)  5  3  8 ;
(5)  (3)  5  (3)  5  3  8 .
е) При умножении или делении чисел знаки произведения и частного
определяются следующими правилами:
Примеры:
(5)  (3)  15 ;
(15) : (3)  5 ;
(5)  (3)  15 ;
(15) : (3)  5 ;
(5)  (3)  15 ;
(15) : (3)  5 ;
(5)  (3)  15 ;
(15) : (3)  5 .
ж) Если a  b  c , то a – первое слагаемое, b – второе слагаемое, c – их
сумма.
Если a  b  c , то a – уменьшаемое, b – вычитаемое, c – разность.
Если a  b  c , то a – первый множитель, b – второй множитель, c – их
произведение.
Если a : b  c , то a – делимое, b – делитель, c – частное.
Если a  2b , то говорят, что a кратно двум; если a  3b , то a кратно трем
и т.д.; если a  nb , то a – кратно n .
В частности 2n , где n  N , является формулой четного числа, 2n  1 –
формула нечетного числа.
8. Дроби и действия над ними.
a
Выражение вида , где b  0 , называют дробью; a – числитель, b –
b
знаменатель дроби.
Если b  10 , b  100 , … b  10 n , n  N , дробь называют десятичной. В
противном случае – обыкновенной.
Если a  b , дробь называется правильной; если a  b , то –
неправильной. Если дробь неправильная, то путем деления числителя на
знаменатель выделяют наибольшее целое число, содержащееся в
неправильной дроби. В результате получают смешанную дробь.
3 4 21
Примеры:
, ,
– правильные дроби обыкновенные;
8 9 75
3
4
21
 0,3 ;
 0,04 ;
 0,021 – правильные десятичные
10
100
1000
дроби.
13 145 1280
,
,
– обыкновенные неправильные дроби, которые,
8
9
373
если выделить целую часть, можно записать, соответственно, в
5
1 161
виде 1 , 16 , 3
– смешанные обыкновенные дроби.
8
9 373
Операции
над
дробями:
a c ac
;
 
b b
b
a c ad  cb
;
 
b d
bd
a c ac
;

b d bd
a a
aA
;
A   A 
b b
b
a c a d ad
;
:   
b d b c bc
a
b Ab
;
A:  A 
b
a a
a
a 1 a
;
:A  
b
b A bA
a ac a  b a b
 ;
  , c 0;
b bc
c
c c
a Ab  a
;
A 
b
b
a
a  Ab
.
 A
b
b
Десятичные дроби:
1) 1,3+24,58=25,88
2) 1,3-24,58=-23,28
3) 1,3*24,58=31,954
4) 3,133:1,3=31,33:13=2,41.
a Ab  a
Обращение сложной дроби в неправильную: A 
.
b
b
3 9  5  3 45  3 48
3 19  5  3 95  3 98
Примеры: 9 

 ;
19 

 .
5
5
5
5
5
5
5
5
1
Если а – некоторое число (a  0) , то называется ему обратным.
a
Пример: 5 и (–5) – противоположные числа;
1
5 и – обратные числа.
5
Произведение двух обратных чисел всегда равно единице.
9. Решение простейших уравнений и неравенств.
10. Уравнение вида ax  b  0 , где a и b –некоторые постоянные, называется
линейным уравнением.
Если a  0 , то это уравнение имеет единственное решение ax  b ;
b
x .
a
Если a  0 , b  0 , то уравнение принимает вид 0 x  b  0 или 0 x  b
 x O
 , т.е. решений нет.
Если a  0 , b  0 , то уравнение принимает вид 0 x  0  0  0 x  0 
x  R , т.е. уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Примеры: а) 2 x  3  4( x  1)  5 .
Последовательно раскроем скобки, приведем подобные и найдем x:
2 x  3  4 x  4  5 ; 2 x  4 x  5  3  4 ; 6 x  12 ; x  2 .
б) 2 x  3  2( x  1)  4( x  1)  7
2x  3  2x  2  4x  4  7
4 x  5  4 x  11
4 x  4 x  11  5
(4  4) x  6
0 x  6 , x  O
.
в) 2 x  3  6( x  1)  4(1  x)  5
2x  3  6x  6  4  4x  5
 4x  4x  9  9
(4  4) x  0
0x  0 , x  R .
20. Неравенство вида ax  b (или соответственно ax  b ; ax  b ; ax  b ), где
a и b – числа, называется линейным.
b
b

Если a  0 , то решение неравенства иммеет вид x  или x   ;  .
a
a

b
b

Если a  0 , то x  или x    ;  .
a
a

Если a  0 , то неравенство принимает вид 0 x  b . Поэтому, если b  0 ,
 ; если b  0 , то x  R .
то x  O
30. Уравнение вида ax2  bx  c  0 , где a, b, с – некоторые числа ( a  0 )
называется квадратным.
D  b 2  4ac – дискриминант этого уравнения.
b
Если D  0 , то уравнение имеет два одинаковых корня x1  x2   .
2a
b D
b D
Если D  0 , то уравнение имеет два корня x1 
, x2 
.
2a
2a
Если D  0 , то действительных корней уравнение не имеет.
40.Неравенство ax2  bx  c  0 (или ax2  bx  c  0 ), где a, b, с – числа,
причем a  0 , называется квадратным.
Его можно решить методом промежутков (интервалов). Для этого
квадратный трехчлен ax 2  bx  c надо разложить на множители
ax2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) , где x1 , x2 – корни уравнения ax2  bx  c  0 .
Затем решить неравенство a( x  x1 )( x  x2 )  0 или ( a( x  x1 )( x  x2 )  0 ).
Примеры:
2
а) 2 x  5 x  2  0 .
Найдем
корни
квадратного
трехчлена
2 x 2  5x  2 :
5 9 53
53 8

; x1 
D  52  4  2  2  25  16  9 ; x1, 2 

 2 ;
22
4
4
4
53 2
1
x2 

 .
4
4
2

 1 
Разложим левую часть неравенства на множители: 2( x  (2)) x       0
 2 

1

или ( x  2) x    0 .
2

Решим полученное неравенство методом промежутков:
+
+
–
-2
x
-1/2
 1

x   ;2     ; 
 2

2
б) x  6 x  9  0
Левая часть неравенства есть полный квадрат:
+
x  32
+
x   ;3  3; 
x
3
в) x 2  25
x 2  25  0
( x  5)( x  5)  0
+
-5
x   ;5  5;  .
–
5
+
x
0
10. Векторы.
Вектор – это направленный отрезок.

Если точка А – начало, точка В – конец вектора, то его обозначают либо AB ,

либо a , либо b .
Если точка А имеет координаты  x A , y A  , а точка В  x B , y B  , то координаты

вектора AB находят по формулам x  x B  x A , y  y B  y A и записывают

AB  x B  x A ;  y B  y A  .

Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка АВ. Она
находится по формуле:

AB 
xB  x A 2   y A  y B 2 .

Если вектор a на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат
 



имеет координаты (a x , a y ) , то это означает, что a  ax i  a y j , где i , j –
 
единичные векторы i  j  1 , направленные вдоль осей Ox и Oy
 
соответственно, причем они имеют общее начало в точке O и i j .


Если a  a1 ,a2  , b  b1 ,b2  , то
 
a  b  a1  b1 ; a2  b2 
 
a  b  a1  b1 ; a2  b2 

a  a1 ; a2  , где  – это число.

 

Скалярным произведением a  b векторов a и b называется число
   
a  b  a  b cos ,
 
Где φ – угол между векторами a и b .


 
Если вектор a  a1 ,a2  , b  b1 ,b2  , то a  b  a1b1  a2b2 .


Если a  b , где  – число, то векторы называются коллинеарными и
 
обозначаются a || b .
a a
 
Если a || b , то 1  2   .
b1 b2


Если ab , т.е.   90 0 , то a1b1  a2 b2  0 .
Совершенно аналогично можно говорить о векторах, заданных в
прямоугольной декартовой системе координат в пространстве.