Глава 5. ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ
И ПОЛЯ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1. Функциональный интеграл для взаимодействующих частиц и
поля
Чтобы сформулировать динамику системы частиц , взаимодействующих
с электромагнитным полем, на групповом языке необходимо определить
группу для описания параметров и пространство состояний в виде
множества функций на группе. Затем нужно задать сдвиг во времени, т.е.
указать действие оператора энергии частиц и поля в пространстве
представления группы. Для этого нужно, чтобы оператор сдвига во
времени можно было рассматривать как элемент алгебры Ли группы.
5.1.1. Трудность трехлинейной формы
В квантовой электродинамике оператор энергии взаимодействия
электронов и электромагнитного поля является трехлинейной операторной
формой относительно операторов рождения и уничтожения электронов и
квантов электромагнитного поля и не является элементом какой-либо
обозримой алгебры Ли. Однако, также как в случае когерентных
состояний гармонического осциллятора, когерентные состояния,
построенные на основе рассматриваемой в данной работе группы
электромагнитного поля (см. (3.11)) обладают тем свойством, что
действие операторов электромагнитного поля на когерентные состояния
сводится к умножению этих состояний на комплексные числа, являющиеся
параметрами когерентных состояний и следовательно при вычислении
матричных элементов оператора энергии взаимодействия частиц с
электромагнитным полем,
можно заменить бозевские операторы
рождения и уничтожения на комплексные числа,
являющиеся
параметрами когерентных состояний. Поэтому для малых промежутков
времени в случае трехлинейного взаимодействия , используя указанное
выше свойство бозевских когерентных состояний, можно вычислить
матричные элементы между когерентными состояниями в интеграле (5.6).
Приступая к выбору
параметрической группы, описывающей
систему взаимодействующих электронов и электромагнитного поля ,
воспользуемся тем, что в традиционной теории (в методе вторичного
квантования) пространство состояний системы взаимодействующих полей
является произведением пространств состояний электромагнитного поля
и частиц.
94
5.1.2. Состояния системы частиц и поля
Состояния квантованной системы определим с помощью функций
на группе в общем случае линейными комбинациями базисных функций.
Базисные
функции
будем
задавать
в виде произведения
когерентного состояния для частиц (см. (5.5)) и когерентного или
фоковского состояния для поля, полученного действием операторов
рождения частиц на вакуумное состояние. Поэтому
применение
групповой схемы для взаимодействующих частиц и поля попытаемся
осуществить на основе прямого произведения SO  W ортогональной
группы и группы электромагнитного поля. Базисные функции в
пространстве состояний системы выберем в виде
произведения
когерентных состояний для частиц и поля
wu   (uu 01 )  ( ww01 ) ,
(5.1)
 (u )  dim T det 1 / 2 (a) – производящая функция полуспинорного
представления ортогональной группы,  (w) – производящая функция
где
введенного выше унитарного представления группы электромагнитного
поля ( см. (3.41) ).
Когерентное состояние системы частиц задается с помощью
матрицы

u 0  y 0  0

где

 ,
0 
строки  0 определяют волновые функции частиц, а параметры
 0
матрицы y 0  
 s 0
s 0 
 задают число частиц (числа заполнения) (см.
0 
(4.6) , (4.10)) В частности может быть задана одна частица или много
частиц и их распределение по состояниям с помощью задания числа
частиц. Мы будем рассматривать случай целого числа частиц.
5.1.3. Гамильтониан. Структура оператора энергии
Вставка
Энергия взаимодействующих частиц и поля равна сумме энергий
свободных полей и энергии взаимодействия с квантованным полем и
внешним полем
H  H el  H ph  H int  H out .
95
(5.2)
Введем
обозначения
по
формулам
(4.10),
согласно
которым
операторы рождения электронов    a2  a1 , операторы уничтожения

электронов    a1  a2 , где в x  представлении сложный индекс

  x нумерует координату, индекс зоны и спин.
В этих обозначениях оператор
энергии
в
формуле
(5.2),
содержащий фермиевские операторные переменные, имеет вид
H  Hel  Hint  Hout   B    1 CJI aI a J  1 Sp(B) .
2
2
Индексы I,J пробегают указанные выше в 4 –ой главе значения
(см (4.9)) и нумеруют операторы a I рождения и уничтожения частиц, а
также матричные элементы в матрицах u, υ,C и т.д.
Гамильтониан (5.2) системы взаимодействующих частиц и поля можно
переписать в виде
H
где
1
1
I
J

 С J aI a  SpB   qbq bq ,
2 I,J
2
(5.3)
  B

C  Cel, s  Cint, s  Cout, s  
 ,
B


(5.4)
слагаемые Cel, s , Cint, s учитывают кинетическую энергию электронов и
молекул и энергию взаимодействия частиц и поля в момент времени
ts,
слагаемое
электродинамике
Дирака
учитывает
Cout, s
внешнее
поле.
В
квантовой
B – оператор энергии, фигурирующий в уравнении


B       iA  m .
  t / 
Для малых промежутков времени
операторы
exp iH 
являются элементами представления группы. Действие этих операторов
на функции состояния дается формулой вида (4.5).
В частности для электронного поля, имеем
 
exp  iH   T d  ,
где
d  exp( iC ) , матрица C
определяющая оператор энергии
фермионов, дана формулой (5.4).
Матрица  q  определяет оператор энергии бозевских частиц
96
H ph    q bqbq .
5.1.4.
Исходный функциональный интеграл. Волновая функция
системы частиц и поля. Матричные элементы оператора эволюции.
Таким образом , в групповом подходе задана система сдвигов
d,1s  exp(i (Cel,s  Cint, s  Cout,s )) , ,1s  exp( is ) ,
(5.5)
I
где индекс s определяет момент времени ts , Cint,
J – элементы алгебры Ли
векторного представления унитарной подгруппы
выраженные в разложении (4.7)
I
матричные элементы C int,
J
матрицами вида
группы
SO ,
 0 

 ,
0



причем
выражаются через параметры элементов w
группы окаймленных матриц.
Для электромагнитного поля имеем, (см.(3.19)),
  

exp  iH ph  T   , где    exp( ipe ) .
Используя систему сдвигов (5.5) и свойства воспроизводимости
когерентных состояний, получим функциональный интеграл [11]
n
K(t)  lim  DuDw  α(usd,1sus11)exp i qs exp i S ,

n
s 1
(5.6)
n1
где Du   du s , t  nε , S – действие электромагнитного поля,
s 1
n
i
exp S    ( ws   , s ws11 ) ,   ,s  exp  i  s  , d,1s  exp(iCs ) ,

s 1
  Bs
C s  
 0

,
Bs  Bel,s  Bint, s  Bout,s ,


1
q s  SpBs .
2
0
Bs
(5.7)
Величины d  , s ,   , s являются соответственно элементами унитарной
подгруппы в ортогональной группе и в группе W электромагнитного
поля для текущих моментов времени ts . Предполагается, что интервал
[t0 , tn ] разбивается точками t0 , t1,…, tn на малые интервалы
t  t s  t s1 , s=1,...,n,   t /  ,
97
Bs ,  s  операторы, определяющие энергию фермионов и энергию
свободного электромагнитного поля, индекс s определяет момент
времени ts , как указано выше.
5.1.5. Функциональный интеграл, другой способ
Построим функциональный интеграл
также другим способом.
Разбивая область в трехмерном пространстве на как угодно малые
ячейки , представим оператор энергии фермиевских частиц в виде суммы
H f   B   ,
где
B  Bel  Bint  Bout ,
(5.8)
Bel , Bint , Bout – матрицы
кинетической
энергии и энергии взаимодействия с электромагнитным полем для одной
частицы, например, электрона.
Запишем, оператор эволюции системы взаимодействующих частиц и
поля в виде произведения экспонент
e iH ...e iH
и вставим между
каждой парой операторов e iH единичный оператор
 dws du s ws u s u s ws ,
где u s ws   uu s1  ( wws1 )  произведение (5.1) когерентных состояний
для частиц и поля. Полученный после подстановки интеграл , в котором
фиксированы ферми траектории будем рассматривать как интеграл по
бозе переменным, где элементы алгебры Ли, заданные матрицами вида
(2.19) учитывают источники
поля.
Вычисляя, вообще говоря,
приближенно, матричные элементы
u s ws exp  iH ws 1u s 1 ,
получим
снова для матричных элементов оператора эволюции
функциональный интеграл (5.6).
Определение
Матричные элементы оператора эволюции между начальным
 0   0 (u 0 , w0 ) и конечным
 n   n (u n , wn ) состояниями даются
формулой
M  ,   n K (t ) 0   dun dwn du0 dw0  (un , wn ) K (t ) (u0 , w0 ) , (5.9)
где u0 , w0 , u n , wn  фермиевские и бозевские переменные в начальный
98
t0 и конечный tn моменты времени,  (u )  dim T det 1 / 2 (a) –
производящая функция полуспинорного представления группы SO,
a
u  
b
b
 ,  (w) – производящая функция унитарного представления
a 
группы окаймленных матриц.
Ядро K (t ) определяет эволюцию системы
между когерентными
состояниями (5.1) для системы частиц с трехлинейным взаимодействием
(см. (3.45), (3.47), (4.6)).
Интеграл K определяет волновую функцию системы частиц и
поля, полученную в результате эволюции из начального состояния
 0   0 (u0 , w0 ) .
Это состояние будем задавать в виде произведения когерентного
состояния для частиц и некоторого состояния для поля. В частности
можно выбрать для поля когерентное начальное состояние, а состояние
системы как произведение когерентных состояний. Разлагая волновую
функцию K
по базисным состояниям, частиц и поля, получим
матричные элементы (5.9), т.е. коэффициенты разложения волновой
функции K по базису, который предполагается нормированным. Зная
эти коэффициенты можно восстановить волновую функцию и вычислить
средние значения операторов, в частности среднее число частиц в
заданных состояниях, например, токовое состояние числа электронов с
заданными скоростями, выбирая соответствующие базисные состояния.
Итак, требуется вычислить матричные элементы (5.9).
Выполняя в (5.6) интегрирование по промежуточным фермиевским
переменным, получим интеграл
K (t ) 
где
n
n
 i q
1
1 1
 Dw   (un d , n 1 ,..., d ,1u0 )  e s
s 1
s 1
exp iS 

1 1
  ( ws  , s ws 1 ) ,
s 1
n
exp iS ,
(5.10)
функции d ,s  exp iCs являются
целыми функциями от бозевских переменных. После перемножения
экспонент и вычисления функций  (......)  dim T det 1 / 2 ....... получим в
допредельном
выражении
функцию
99
 (......)  [ f ( n ,...,  0 )]1 / 2 ,
где
f ( n ,...,  0 ) целая функция от переменных  n ,...,  0 электромагнитного
поля, (см. 3.1.4). Пусть C int, s являются эрмитовыми матрицами. Тогда
un d , n 1,..., d ,1u01
будет унитарной а, следовательно, ограниченной
матрицей, которая останется ограниченной и в пределе n  
5.2. Замена переменных в функциональном интеграле
В общем случае над множеством переменных, по которым ведется
интегрирование, можно выполнять любые преобразования, образующие
группу преобразований. Для допредельного функционального интеграла
вида (5.6) мы будем рассматривать преобразования замены переменных в
группах SO и W и преобразования замены подинтегрального выражения
на эквивалентное выражение, например, с помощью умножения на
множитель равный единице или добавлением слагаемого равного нулю.
Цель этих преобразований , также как и в случае обычного интеграла , в
том, чтобы получить интеграл, вычисляемый в явном виде. Как правило
вычисление
преобразованного
интеграла
будет
производиться
последовательным применением формул воспроизводимости когерентных
состояний (см. 3.3.3.5 ).
Так как параметры группы SO  W имеют смысл классических
переменных типа координат и импульсов, то переход к другим
параметрам группы можно рассматривать, как квантовый аналог
канонических
(касательных)
преобразований
классической
неквантованной системы.
5.2.1 Преобразующая функция  t  . Дифференциальное уравнение для
преобразующей функции.
Пусть задан интеграл (5.6) для оператора эволюции между
когерентными состояниями.
Рассмотрим частный случай замены
фермиевских переменных, сдвиг групповых переменных.
Введем произвольную дифференцируемую траекторию  ts  , в группе
SO. Обозначим  ts    s и выполним под знаком интеграла (5.6) замену
старых переменных
us
на новые переменные u~s , включая величины,
определяющие начальное и конечное когерентные состояния
u s  u~s s
Тогда получим
100
(5.11)
~
 (usd,1sus11)   (u~ssd,1ss11ss1u~s11)   (u~sd,1su~s11) ,
(5.12)
где
~
d,1s  sd,1ss11ss1 .
(5.13)
Введем матрицу C0,s как решение уравнения
exp(iC0 s )   s11 s ,
которое запишем в виде
(5.14)
 s  1  iC0 s  s1 ,откуда в пределе
  0 получим дифференциальное уравнение
i
Функция
 (t )
  (t )C0 (t ) .
t
распространения  s   t s  определяет
(5.15)
C 0, s
и, напротив,
задавая C0,s , определим  s из дифференциального уравнения (5.15).
 t s  получается с помощью C0,s
В методе вторичного квантования
как функция Грина. Мы будем называть величину C0 t  средним полем,
предполагая выполнение предельного перехода от решетки в импульсном
или координатном пространстве к континуальному множеству точек.
5.2.2 Преобразованный функциональный интеграл. Среднее
и
внутреннее поле
Замена (5.11) преобразует интеграл (5.6) в интеграл
n
n
s 1
s 1
~
K (t , t0 )   Du~Dw   (u~s d,1s u~s11 )   ( ws ,1s ws11 ) exp i qs ,
(5.16)
где, учитывая, что  как угодно малая величина и используя
(5.13),
(5.7), (5.14 ), получим
откуда
~
d ,1s
d ,1s s11 s  exp( iC ,s ) ,
~
 exp( iC ,s ) ,
~
C ,s   s C ,s s1, C ,s  Cs  C0,s .
(5.17)
(5.18)
Введем, кроме того, внутреннее поле
C ,s  Cint, s  C ,s .
(5.19)
Подставляя (5.18) в (5.19), находим, что внутреннее поле есть часть
среднего поля, оставшегося после вычитания поля кинетической энергии
частиц C el , s и внешнего поля Cout,s
101
C,s  C0,s  Cel,s  Cout,s .
(5.20)
Из (5.19) следует, что внутреннее поле является аппроксимацией взаимодействия C int s . Преобразованный интеграл (5.16) имеет тот же вид,
что и исходный
интеграл (5.6).
Различие между этими интегралами
C s  Cel,s  Cint, s  Cout,s ,
~
определяющая оператор энергии, заменяется матрицей C ,s , которая
состоит
в
том,
что
исходная
матрица
получается, согласно (5.18), из матрицы
Cs
с помощью сдвига на
матрицу C0, s и подобного преобразования. Замену переменных (5.11)
можно
рассматривать
как
квантовый
аналог
канонического
преобразования в классической механике.
5.2.3. Блочно-диагональная форма преобразующей функции
В дальнейшем будем рассматривать случай, когда матрица  t  для
замены переменных (5.11) в функциональном интеграле и матрица
среднего поля выбраны в блочно-диагональной форме
 Gt 
 t   

  B
C 0   0


,
G t 

 .
B0 
(5.21)
Тогда, учитывая уравнение (5.15), получим для матрицы G уравнение
i
G
 G t B0
t
(5.22)
и приближенное решение этого уравнения
G t   e
i
t

G0  G0 exp  iB0 t /  .
Отсюда следует, что строки
матрицы
G t 
(5.23)
образуют собственные
функции невозмущенного оператора энергии B0 . Каждый столбец Gk t 
умножается на exp ik t /  
G t   G0 e
i
t

.
(5.24)
Будем называть матрицу G t  матрицей полного набора состояний
частиц (электронов и молекул). При этом необходимо учесть, что, как
выше было показано в 4 – ой главе, элементы группы SO определяют
волновые функции фермиевских частиц и числа заполнения фермионов.
102
Так
как
функции  (u s d ,1s u s11 )   u s  ,
находящиеся
под
знаком
функционального интеграла, пропорциональны функциям detas , где
 a
u s   s


 , то элементы группы можно записать в виде произведения
 


 , где
u  y




y  
 s
s 
,
 
 – унитарная матрица, строки которой  kj
(5.25)
имеют смысл волновых
функций частиц, μ – диагональная матрица (см. (4.32)), определяющая
числа заполнения фермионов.
Пусть, для определенности, исходные переменные фермиевской системы
заданы в координатном представлении, а преобразованные переменные в
некотором
k –представлении. Тогда, принимая во внимание (5.21),
преобразование (5.11) запишется в виде
 si  x  ~ski Gsk x ,
(5.26)
k
где новые переменные
~ski
можно рассматривать как коэффициенты
разложения волновых функций частиц по базисным волновым функциям
Gsk x , причем

x , – текущие аргументы волновой функции (точки
трехмерного пространства, спин и т п), k – номер базисной функции.
Переменная

 si  x   si  ( x ) V
есть волновая функция
i-ой
частицы в дискретной форме в координатном представлении взятая в
s – ый момент времени ,   спиновые переменные,

 si  ( x ) – волновая
функция в непрерывной форме.. Ниже (см. раздел 5.3.3 , а также ( 5.39 ))
более подробно рассмотрим связь непрерывной и дискретной формы
задания величин.
Мы имеем, таким образом, обычное разложение волновой функции
по базисным функциям, коэффициенты этого разложения являются
новыми компонентами волновой функции.
Разложение выполняется
независимо для каждого s – ого момента времени. Базисные функции,
вообще говоря, различаются для различных моментов времени.
Выполняя в (5.16) интегрирование по промежуточным фермиевским
переменным, получим интеграл
103
n
~
~
K (t )   Dw (u~n d,1n 1 ,..., d,11u~01 )  e  i q s exp(iS / ) ,
(5.27)
s 1
n
где exp( iS /  )    ( ws  ,s ws11 ) ,
s 1
~
d ,1s – являются целыми функциями от бозевских переменных, через
которые выражается взаимодействие.
5.3.1. Некоторые общие свойства функционального интеграла
Пусть задано
начальное состояние свободных и связанных
электронов с помощью параметра u0 когерентного состояния системы
частиц. Эволюция этого состояния дается функциональным интегралом
(5.27). Перепишем этот интеграл в другой, более удобной форме.
Принимая во внимание (5.18), введем величины






~
~
~
~
d s  d t s  exp i C ,1 .... exp i C , s ,
~
~
~
d 1 t s  exp  iC ,s ... ... exp  iC ,1 ,
 



~
где C ,s   s C ,s s1 , C ,s  Cint, s  C ,s  Cel,s  Cint, s  C0,s ,
(5.28)
(5.29)
(5.30)
 s   t s , u~n , u~0 – элементы ортогональной группы,
~
C ,s  элементы алгебры Ли векторного представления, s=1,…n.
~
Обозначим u~ts   u~0 d ts 
(5.31)
и запишем (5.27) в виде
n
K t    Dw (u~n u~ 1 t )  e  i q s exp( iS / ) ,
s 1
где под знаком функционального интеграла имеем функцию

 

~
 u~n u~ 1 t    u~n d 1 t u~01 .
Используя (5.29) найдем,
что матрица
~
d 1 t s   g t s  определяет
элемент группы и является решением уравнения
i
g t  ~
 C t g t  .
t
(5.32)
 
5.3.2. Структура преобразованного параметра u~0 t  , матрица c~ t s
Учитывая формулы
(5.18 ) и блочно-диагональную
структуру
матрицы (5.21) , используемой при замене переменных интегрирования в
интеграле (5.6), запишем
104
  B
~
C ,s    ,s


 
 ~ 1
~
 , d ts   c ts

B ,s 

 

,
~
c t s 
 
(5.33)
где в соответствии с (5.18) и (5.21)
~
B t s   Gs B Gs ,   t , t  n  t .
(5.34)
Принимая во внимание формулы (5.30), (5.18), найдем, что матрица
c~ts  имеет вид

 


~
~
c~ t s  exp  iB ,s ... .. exp  iB ,1
и удовлетворяет уравнению
i

(5.35)
c~ t  ~
 B t c~ t  .
t
(5.36)
Используя (5.33), представим (5.31) в виде
где
~0 t s 
~0 t s 

~
~
~
u t s   u 0 d t s   y 0 
~ t  ,


s 
получена
начальную матрицу ~0
действием
(5.37)
оператора эволюции c~ t s  на
~0 t s   ~0 c~t s .
~0 t   c~t ~0 также удовлетворяет уравнению (5.36).
Полагая С0  Сel  Cout , получим представление взаимодействия.
~
~
В этом случае C  0 , С  Сint . Матрица B ,s  Bint, s
(5.27)
Матрица
определяет оператор энергии частиц в представлении взаимодействия.
В
представлении взаимодействия, согласно
(5.27)
~
~
B ,s  Bint, s
и,
следовательно,
~
Bint, s t s   Gs Bint, s Gs .
5.3.3 Индексация матриц u  u xI 
(5.38)
и блоков    xi 
 0

 .


0 

нумеруются индексами x ,  и
В исходном непреобразованном интеграле имеем u 0  y 0 
Строки
матриц
   xi  ,
0 , G0
являются волновыми функциями.
105
Будем применять тензорные обозначения в виде верхних и нижних
индексов. Явное умножение матриц элементов группы или алгебры Ли
запишем в тензорной форме с помощью суммирования. В случае

x  представления условимся, что, применяя тензорное обозначение
зависимости волновой функции от координат обычного трехмерного
пространства, мы имеем дискретное задание волновой функции, когда
норма волновой функции, равная единице, записана в виде суммы
квадратов.

задания волновой функции i -ой строки в виде  0i  x ,  ,
В случае
когда аргумент задается в скобках, норма волновой функции выражается


интегралом  d 3 x 0i x,   0i x,   .

Такая функция в x  представлении является непрерывной величиной,
распределенной в трехмерном пространстве. Будем для краткости
называть такое задание
(непрерывной)
волновой
функции
плотностью.

x ,
Замечание 1 Действие безразмерного оператора iBint, s  i Bint
y, 
на
непрерывную волновую функцию дает непрерывную функцию.
В
силу
унитарности матриц
величина  0 0  1
выражается
интегралом по объему в трехмерном пространстве.
По общему правилу квантовой механики модуль волновой функции



 0i , x   0i x ,   V , т. е. величина  0i x,  0i x, V есть вероятность

обнаружения i–ой частицы в малом объеме V , содержащем точку x ,  .
Таким образом, для перехода от непрерывной к дискретной форме

в x  представлении
в допредельном выражении нужно умножить
плотность на квадратный корень из малого элемента объема V

 0i , x   0i x ,   V .
(5.39)
Индекс i является дискретным индексом, нумерующем состояния.
По дискретному индексу производится суммирование. Рассмотрим далее
структуру элементов алгебры Ли ортогональной группы.
5.3.4. Структура элементов C int, s , C  , s , Bint, s алгебры Ли
  Bs
Каждая из матриц C int, s , C  , s , C ,s имеет вид C s  

106

.
Bs 

в x  представлении нумеруются


x  представлении
индексами x ,  . В квантовой электродинамике в
Строки и столбцы матриц C s , Bs

Bint, s  блочно- диагональная по индексу x матрица.
Чтобы записать матрицу Bint, s введем диагональную матрицу
0



 y   xy, x   1  ,

0 


где только матричный элемент с номером y равен единице , остальные

элементы матрицы равны нулю. Индекс y в этой матрице фиксирован,
обозначает номер матрицы и номер ненулевого диагонального элемента, а
 
индексы x , x  являются текущими индексами, пробегающими некоторую
область в трехмерном пространстве (точки трехмерного пространства) и
нумерующими элементы квадратной диагональной матрицы.
Таким образом,

Bint  e    y A  y ,

(5.40)
,y

где, также как функция  0i  x ,   в формуле (5.39), функция от y

A  y  является плотностью, которая однако умножается в матрице вида
(5.40) как дискретная величина.
Суммирование в (5.40) производится по индексам,
базисные элементы 
, y
нумерующим
    y . Каждая базисная функция является
тензорным произведением матрицы четвертого порядка   и
матрицы  y   xy, x ,

,y
  
y
0

 




.
0 
(5.41)
Матрица (блок)   находится в (5.41) на диагонали с номером

y , другие элементы матрицы (5.41) равны нулю (5.41).
107
Матрицу
в (5.40) можно рассматривать как вектор. Разложение
Bint
(5.40) есть обычное разложение
элемента векторного пространства по
базисным элементам. Коэффициенты разложения суть

eA  y  .
Построим базис, блочно - диагональные матрицы
 ,y
   ,y

 0

0 
,
,y 


  , y даны формулой (5.41), откуда представим элемент алгебры Ли
где

x 
матрицу Сint
y , в виде суммы


Cint  e    y A  y   e   , y A  y 
,y
Итак, в
сумма
(5.42)
,y

x  представлении разложение (5.42) матрицы C int
блочно - диагональных
 y
матриц
с
есть
числовыми

eA  y  .
коэффициентами
Введем теперь разложение матриц C int и Bint по другому базису.
5.3.5. Разложение Фурье вектор потенциала
Рассмотрим разложение Фурье вектор -потенциала
A y

k

  Ak S y
k


 S y ,
A  y   
A
 k k
k
где, в частности, можно взять

y

Sk
V

 12 ik  y
e


1 k

, A  y   
 Ak ( S ) y .
k
Имеем следующее разложение матричных элементов 

, y
по базисным

y
элементам S  ,
k


,y

 ,k
  h1
k

y

S ,
k

 ,k
h1
108



y

,y

1 k
(S ) y .
(5.43)
Здесь

сумма по y является
координатного пространства.
суммой
по точкам
трехмерного
Каждое слагаемое в этой сумме есть
четырехмерный блок   .
5.3.6. Подвижный репер
Используя (5.40) и (5.43) , получим

 ,k
Bint  e h1
.
A
(5.44)
 ,k
 ,k
Введем в трехмерном пространстве волновых векторов
репер (базис)

 ,k
n1
используя вращение

подвижный

e h1 ,k u  ,k ),

(5.45)
неподвижных базисных
векторного потенциала A

 ,k
 u 
 ,k  ,k
A

матриц
(5.41) и
с помощью вещественной
ортогональной матрицы u  ,k .
В каждой точке
разложение
пространства волновых
k ,
блока Bint
A ,k
( 5.46)

  Bint
в матрице Cint  

(5.45) подвижного репера.
Преобразуем введенную
получим

 ,k
Bint  e  n1
векторов
Bint

 по базисным элементам

выше по формуле
(5.37)
с помощью
преобразования подобия матрицу Bint t s   Gs Bint t s Gs .
~
Используя (5.44), (5.45) получим

~
k
Bint, s   j s A  ,
k s
k
где мы ввели матрицу тока перехода

k
js

k
 eGs n1 Gs .
5.4. Функциональный интеграл для состояний с целыми
числами заполнения
5.4.1. Оператор эволюции
109
(5.47)
(5.48)
В разделе 5.1.4 был получен в виде функционального интеграла
(5.10) оператор эволюции системы электронов, взаимодействующих с
электромагнитным полем, действующий на начальное состояние
 uu 01  ww01 , в течении времени t   n
K (t ) 
где
n
 i q
1
1 1
 Dw (un d , n 1 ,..., d ,1u0 )  e s
s 1
exp( iS / ) ,
  Bs

 , C s  
cs 

 exp( iBs ) ,
 cs
ds1  exp( iCs )  

c s

,
Bs 
(5.49)
матрица Bs определена формулой (5.7).
Преобразуем
подинтегральное выражение
 (un d,1n1 ,..., d,11u01 ) в
интеграле (5.10) с помощью операторов представления
   
 (u n d,1n1 ,..., d,11u01 )  T dn1 ...T d11  (u n u01 ) .
Учитывая
запишем
блочно-диагональную структуру (см. (5.7))
(5.50)
матрицы Сs ,
1
1
T C s    B ijs ai a j  SpBs  H s  SpBs ,
2
2
i, j
p  q
H s   Bqs
a pa
где
(5.50а)
p ,q
– оператор энергии системы частиц, откуда
 


i
T d s1   exp  i  B ijs ai a j  exp SpBs 
2
i, j


i
 exp  iH s  exp SpBs
(5.51)
2
Функция  uu 01 , в правой части формулы (5.50) есть волновая
функция начального состояния системы частиц, заданная матричными
параметрами когерентного состояния с целыми числами заполнения



 , y 0   0
u 0  y0  0
0 

 s 0
s 0 
,
0 
где  0 диагональная матрица чисел заполнения, строки матрицы  0
задают волновые функции отдельных частиц (см. (4.7), (4.26)).
110
Учитывая результаты раздела 4.4., представим волновую функцию
(вектор состояния)  uu 01  ( см. (5.50)) многих фермиевских частиц как
функцию, полученную действием на вакуумное состояние
произведением
A jk   a p
операторов
p
состояниях 
p
jk
p
jk
,
рождения
0  T00 u N
частиц в
, заданных матричным параметром    0 ,
где p – текущая переменная, пробегающая, например, точки трехмерного
координатного пространства и значения спиновой переменной, a p 
оператор рождения частицы в точке p. Индекс jk принадлежит выборке
j1 ... jM из множества индексов,
нумерующих допустимые индивиду-
альные состояния в матрице полного набора, например, набора
стационарных состояний молекул.
Таким образом,
 uu 01 =  j1 ... j M u    Aj k T00 u N   Aj k 0 .
M
M
k 1
(5.52)
k 1
Система имеет набор частиц в состояниях, заданных выборкой
j1... jM .
Используя
интегралу
операторы
K t    Dwe
iH n
(5.51), преобразуем
...e
iH1
 j1... jM u n e
i
S
.
интеграл (5.10) к
(5.53)
5.4.2. Закон коммутации
Выведем формулу, определяющую закон коммутации элементов
exp( iH s ) , и операторов a p , A jk в формулах (5.50а), (5.53), (5.52).
Полагая exp( iH s )  1  iH s , когда
  0,
и используя пере-
становочные соотношения, получим

e iH s A j    a p cps, p

p  iH s

j e

.
(5.54)
Отсюда получим преобразование подобия
e iH s A j e iH s   a p cps, p jp .
p , p
111
(5.55)
Итак,
для оператора A j   a p
преобразование подобия (5.55)
p
j
p
есть преобразование коэффициентов этого оператора
 p,s , j   cp,s ,q qj .
(5.56)
q
В каждый момент времени ts при коммутации оператора e
оператором A j   a p
p
p
j
с
коэффициенты последнего преобразуются по
формуле (5.56). Выполняя
каждого
iH s
преобразование
оператора A j1  A jM , для
коммутации
произведения
(5.54) для
e iH n ...e iH1
получим линейное преобразование коэффициентов по формуле

 
 sp, j   jp t s    c sp,q qj ,
(5.57)

(5.58)
q


где c s  c t s  exp  iBs ... .. exp  iB1 .
Используя (5.55) или (5.56),
виде
K t  
перепишем интеграл (5.53) в следующем
m
 p
 Dw   a p jk
k 1 p
t n e
i
S

0 .
(5.59)
5.4.3. Функциональный интеграл, представление взаимодействия
Преобразуем функциональный интеграл (5.59) к представлению
взаимодействия с помощью преобразований под знаком
интеграла,
используя матрицу G t  полного набора состояний (см. (5.21), (5.24))
 t n   ct n  t 0  , ct n   Gn c~t n G0 , откуда  t n   Gn c~t n ~t0 ,
Gn t n   ~t n   c~t n ~t 0  , ~t 0   G0 t 0 ,
(5.60)
где мы обозначили Gn  Gt n  , матрица c~t n  определяется
формулой (5.35). Введем операторы рождения квазичастиц
a~ j   a p G t n  pj ,
 

p


(5.61)

где G  t s  exp  iB0,s ... ... exp  iB0,1 G0 ,
112
(5.61а)
 
G  t s  матрица полного набора состояний
в произвольный момент
времени, заданных в представлении Шредингера. В представлении
взаимодействия интеграл (5.59) принимает вид
S
~
~ i
K t    DwA j1  A jM e  0 ,
(5.62)
где
~
A jk   a~ p~ jp t s  ,
(5.63)
k
p
~ jp t s    cqp t s  qj t 0 .
(5.64)
q
Принимая во внимание формулу (5.35), найдем, что в представлении
 
взаимодействия матрица c~ t s
 

имеет вид



~
~
c~ t s  exp  iBint, s ... .. exp  iBint, 1 .
(5.65)

В общем случае матрица ~ jjk t 0  определяет произвольное начальное
состояние системы частиц. Далее будем предполагать, что начальные
состояния частиц определяются матрицей полного набора состояний
Gt 0  в начальный момент времени
 t 0   Gt 0 .
~ jjk t 0    jjk .
(5.65а)
В этом случае в представлении взаимодействия приходим к матрице , записанной в своем собственном представлении, что дает единичную матрицу начального состояния
~ jj t 0    jj .
k
k
(5.66)
Дискретные индексы суммирования p в формулах (5.59), (5.61) и

других являются кратким обозначением сложных индексов x ,  или

p,  , определяющих, соответственно, точки трехмерного координатного

или импульсного пространства и спиновые переменные частиц. Вектор p

определяет точку в импульсном пространстве E3  p  в сферической
системе координат или координатном пространстве, индекс  определяет
дополнительные переменные, спин, номер зоны.
113