Линейная алгебра - Кисловодский Гуманитарно
реклама
КИСЛОВОДСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» для студентов, обучающихся по направлению 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавров Кисловодск 2012 «УТВЕРЖДАЮ» Проректор по учебной работе к. ф. н.___________Р.Ш. Гочияева «_______» _________________ 2012 г. Составитель: кандидат педагогических наук, доцент Шаманова Л.И. Линейная алгебра. Рабочая программа для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям 080100.62 «Экономика», - Кисловодск: КГТИ, 2012. Программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта Высшего профессионального образования и типовой (примерной) программы дисциплины "Линейная алгебра". Рабочая программа дисциплины «Линейная алгебра» содержит требования к уровню освоения содержания дисциплины, объем курса, виды учебной работы, программу дисциплины и тематику лекций, практических и самостоятельных занятий, и методические указания по их проведению, вопросы к экзамену, перечень учебно-методического материала. Дисциплина «Линейная алгебра» является базовой компонентой математического цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению 080100.62 Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры общей физики и высшей математики протокол № … от « » 2012 г. Зав. кафедрой _________________________ Л.И. Шаманова 2 1. Цели и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является развитие общего контекста математического мышления как культурной формы деятельности, ориентирующей студентов на решение практических задач, которые можно описать с помощью той или иной математической модели с целью получения оптимального решения. В частности, ставятся следующие задачи: 1) создать представление о том, как возникали и развивались основные методы, понятия, идеи линейной алгебры, как исторически складывались отдельные теории и практические приложения линейной алгебры; 2) установить связь между различными механизмами выбора и их сводимость друг к другу; 3) овладеть навыками работы с литературой, особенностями библиографического поиска, научиться правильно цитировать и ссылаться на использованные материалы. Внимание в курсе сосредоточено на математических определениях понятий линейной алгебры и формулировке основных задач, которые бы можно было решать с помощью методов линейной алгебры. Основные математические результаты доказываются строго. Учебный материал сопровождается примерами, что дает возможность иллюстрировать плодотворность использования математической теории для решения прикладных задач. Программа курса предусматривает проведение практических занятий, цель которых – научить студентов решать конкретные задачи, грамотно проводить необходимые вычисления. Самостоятельная работа студента заключается в освоении теоретического материала по конспекту лекций и по рекомендуемой к изучению литературе. 2. Требования к уровню освоения дисциплины Изучение материалов курса будет способствовать формированию навыков и способностей, сформулированных в разделе «Компетенции» стандарта специальности ПК-2, ПК-3, ПК-5, ПК-14, ПК-15: использовать, обобщать и анализировать информацию, ставить цели и находить пути их достижения в условиях формирования и развития информационного общества; 3 самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремиться к саморазвитию; понимать сущность и проблемы развития современного информационного общества; при решении профессиональных задач анализировать социально-экономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа и математического моделирования; моделировать и проектировать структуры данных и знаний, прикладные и информационные процессы; применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях; выбирать необходимые для организации информационные ресурсы и источники знаний в электронной среде; применять системный подход и математические методы в формировании решения прикладных задач. В результате изучения дисциплины студент должен: знать: общие формы, закономерности и инструментальных средства линейной алгебры - ПК-1; особенности возникновения и развития основных методов, понятий, идей, научных теорий в «линейной алгебре»; методы линейной алгебры и аналитической геометрии, виды и свойства матриц; системы линейных алгебраических уравнений, N-мерное линейное пространство; векторы и линейные операции над ними. уметь: использовать аппарат линейной алгебры; находить, анализировать и контекстно обрабатывать научнотехническую информацию ОК-10; извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов ПК-17; демонстрировать способность к анализу и синтезу ОК-144 4 понять поставленную задачу ПК-2; формулировать результат ПК-3; строго доказать утверждение ПК-4; на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат ПК-5; самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата ПК-6; грамотно пользоваться языком предметной области ПК-7; ориентироваться в постановках задач ПК-8; самостоятельно построить алгоритм и его анализировать ПК-11; точно представить математические знания в устной форме ПК27. владеть: навыками решения задач линейной алгебры; методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач ПК-20; проблемно-задачной формой представления математических знаний ПК-22. 3. Формы и методы проведения занятий В качестве ведущих форм используются лекции, практические и лабораторные занятия. Вид учебной работы Всего часов Аудиторные занятия (всего) 90 Лекции 36 Практические занятия (ПЗ) 0 Лабораторные работы (ЛР) 54 Самостоятельная работа (всего) 70 5 Вид учебной работы Всего часов Контрольная работа 2 Вид промежуточной аттестации (экзамен) 54 Общая трудоемкость дисциплины 216 Все перечисленные формы проведения занятий обеспечивают междисциплинарные связи в процессе подготовки бакалавра. Ниже знаком «+» отмечены выделены темы, используемые при изучении обеспечиваемых (последующих) дисциплин. № п/п Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин № № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. Эконометрика + + + 2. Математический + + + + + + + + анализ 3. Макроэкономика 4. Микроэкономика 5. Дифференциальные + + + + + + + + + + + + + + + + и разностные уравнения 6. Дискретные мате- + + + + матические модели 7. Методы оптималь- + + ных решений 6 + + 3. Распределение часов по темам и видам занятий ЛЗ КСР ОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ Преобразования матриц и си4 4 стемы линейных уравнений. Определитель. 2 6 Линейные пространства. 2 4 Алгебра матриц. 4 4 Ранг матрицы. 2 4 Структура множества решений 4 4 системы линейных уравнений. Контрольная работа 2 Линейные операторы. 2 4 Квадратичные формы. 2 4 Евклидовы пространства. 2 4 Линии на плоскости 4 6 Линии второго порядка на 4 4 плоскости Уравнения плоскости и линии в 4 6 пространстве Экзамен ВСЕГО: 36 54 2 ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ Преобразования матриц и си2 2 стемы линейных уравнений. Определитель. 2 2 Линейные пространства. Алгебра матриц. Ранг матрицы. 1 Структура множества решений 1 2 системы линейных уравнений. Линейные операторы. 1 Квадратичные формы. 1 Евклидовы пространства. 7 СРС ВСЕГО ЛК экзамен Наименование раздела дисциплины Распределение часов по видам учебной работы 6 14 6 6 6 4 14 12 14 10 6 14 6 6 6 6 2 12 12 12 16 6 14 6 16 70 54 54 54 216 18 22 16 16 14 16 20 16 14 17 16 19 16 14 18 17 15 18 2 8 ЛЗ КСР СРС ВСЕГО Линии на плоскости Линии второго порядка на плоскости Уравнения плоскости и линии в пространстве Экзамен ВСЕГО ЛК экзамен Наименование раздела дисциплины Распределение часов по видам учебной работы 16 16 1 15 18 1 14 15 10 189 9 9 9 216 4. Содержание дисциплины по темам Преобразования матриц и системы линейных уравнений Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений. Литература: [11], глава 1; [1], глава 1 (1.1 – 1.2), глава 2. Определитель Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя разложением по строке. Литература: [11], глава 2; [1], глава 1 (1.3 – 1.5). Линейные пространства Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и координаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства. Литература: [11], глава 3; [1], глава 3 (3.1 – 3.5). 8 Алгебра матриц Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матричная запись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная матрица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса. Литература: [11], глава 4; [1], глава 1; [3], глава XXI, §4. Ранг матрицы Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц. Литература: [11], глава 5; [1], глава 1 (1.6); [3], глава XXI, §15. Структура множества решений системы линейных уравнений Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных. Литература: [11], глава 6; [1], глава 2 (2.3 – 2.5). Линейные операторы Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями. Литература: [11], глава 7; [1], глава 3 (3.6 – 3.7). Квадратичные формы Понятие квадратичной формы. Канонический базис квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Литература: [11], глава 8; [1], глава 3 (3.8); [3], глава XXI, § 14. Евклидовы пространства 9 Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц. Литература: [11], глава 10; [1], глава 3 (3.1 – 3.3). Линии на плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Нормальное уравнение прямой. Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Литература: [11], глава 11. Линии второго порядка на плоскости Окружность. Эллипс: каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса по его уравнению. Гипербола: каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы по ее уравнению, асимптоты гиперболы. Парабола: каноническое уравнение параболы, исследование форм параболы по ее уравнению. Общее уравнение линий второго порядка. Литература: [11], глава 12. Уравнения плоскости и линии в пространстве Уравнение плоскости в пространстве: уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, уравнение плоскости в отрезках, нормальное уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве: каноническое уравнение прямой, уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки, общее уравнение прямой. Прямая линия в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве. Литература: [11], глава 13. 5. Содержание лабораторных занятий 10 ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ Преобразования матриц и системы линейных уравнений. Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений. Определитель. Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя разложением по строке. Линейные пространства. Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и координаты векторов. Существование ба- Технология проведения занятия Групповое обсуждение решения примеров и задач количество часов Литература [3], 225-244 6 Дискуссии, решение учебных задач [3], 262-286 4 Решение практических задач, индивидуальный опрос в конкретных ситуациях 11 [3], 288-300 4 ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ зиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства Алгебра матриц. Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матричная запись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная матрица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса. Ранг матрицы. Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц. Структура множества решений системы линейных уравнений. Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных. Линейные операторы. Матрица Технология проведения занятия количество часов Групповое обсуждение, экспресс опрос по теме занятий. Литература [3], 307-314; 316-325 4 Решение практических задач [3], 448-480 4, 358-370; 4 Групповой разбор алгоритмов представления функций в ряд с последующей проверкой результатов на компьютере. Индивиду12 [9], 194-197 4 4 [3], ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями. Квадратичные формы Понятие квадратичной формы. Канонический базис квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормирован- Технология проведения занятия альное решение задач и консультирование количество часов Литература 329-350; 355-364 Групповые дискуссии и обсуждение конкретных ситуаций. [3], 366-375 4 Решение задач с использованием комьютерной технологии. 13 4 [3], 389-419 ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ Технология проведения занятия количество часов Литература ного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц. Линии на плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Нормальное уравнение прямой. Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Линии второго порядка на плоскости Окружность. Эллипс: каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса по его уравнению. Гипербола: каноническое уравнение гиперболы, исследование формы гиперболы по ее уравнению, асимптоты гиперболы. Парабола: каноническое уравнение параболы, исследование форм параболы по ее уравнению. Индивидуальные консультации студентов в процессе решения учебных задач [4], 310-323 6 Индивидуальное решение задач и консультирование [4], 330-342 4 14 ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ Технология проведения занятия количество часов Литература Общее уравнение линий второго порядка. Литература: [11], глава 12. Уравнения поверхности и линии в пространстве Уравнение плоскости в пространстве: уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, уравнение плоскости в отрезках, нормальное уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве: каноническое уравнение прямой, уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки, общее уравнение прямой. Прямая линия в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве. ВСЕГО 6 54 6. Задания для самостоятельной работы Основная цель самостоятельной работы студента при изучении дисциплины – закрепить теоретические знания, полученные в ходе лекционных занятий, а также сформировать практические навыки решения задач по темам курса. Самостоятельная работа студента в процессе освоения дисциплины «Линейная алгебра» включает в себя: – разбор и изучение теоретического материала по пособиям и конспектам лекций; – выполнение контрольных работ; – подготовку к защите контрольных работ; – подготовку к компьютерному тестированию; 15 – индивидуальные и групповые консультации по наиболее сложным вопросам дисциплины; – подготовка к экзамену. На самостоятельную работу студентов отводится 70 ч учебного времени для студентов бакалавриата направления «Экономика». Тема дисциплины Форма самостоятельной работы Преобразования матриц и системы линейных уравнений. Определитель. Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 1, стр. 24-130 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 1, стр. 151-154 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 2, стр. 375-378 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 2, стр.322-324; 334-337 Подготовка к тестированию Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 1,стр.53-55; 59-63 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 1, стр.81-90 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 1,1стр. 24-130 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 2, стр. 375-378 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 1, стр. 151-154 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 2, стр. 375-378 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 16 Линейные пространства. Алгебра матриц. Ранг матрицы. Структура множества решений системы линейных уравнений. Линейные операторы. Квадратичные формы. Евклидовы пространства. Линии на плоскости Линии второго порядка на плоскости Трудоёмкость в часах 6 6 6 6 4 6 6 6 6 6 6 Уравнения плоскости и линии в пространстве 1, стр.81-90 Работа с учебной литературой Выполнение домашних заданий: 6 70 ВСЕГО 7. Экзаменационные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. Матрицы, операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Обратная матрица. Способ нахождения обратной матрицы. Ранг матрицы. Способ нахождение ранга матрицы. Решение системы 𝑛 линейных уравнений с 𝑛 переменными методом обратной матрицы и по формулам Крамера. Система 𝑚 линейных уравнений с 𝑛 переменными. Метод Гаусса. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Системы линейных неравенств. Модель Леонтьева Многоотраслевой экономики. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число, разложение вектора по единичным векторам, скалярное произведение векторов). 𝑁–мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Переход к новому базису. Евклидово пространство. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы. Линейная модель обмена. Комплексные числа и многочлены. Уравнения прямой на плоскости. Прямая линия на плоскости. Окружность и эллипс. Гипербола: каноническое уравнение, асимптоты. Парабола: каноническое уравнение. Общее уравнение линий второго порядка. Уравнения плоскости в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. 17 27. Прямая линия в пространстве. 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины: а) основная литература 1. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с. 2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов: в 2-х частях. Ч. 1 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высшая школа, 1999. – 304 с. 3. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 656 с. 4. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник для втузов: в 2-х т. Т. 2. / Н.С. Пискунов. – 9-е изд., перераб. и доп. – М.: Интеграл–Пресс, 2009. 5. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев. – 7-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 2005. – 479 с. 6. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие /под ред. В.И. Ермакова – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2008. 575 с. б) дополнительная литература 7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник / Д.В. Беклемишев. – 6-е изд., стер. – М.: Наука, 1987. – 320 с. 8. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия: учебник / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд. – М.: Физматлит, 2002. – 240 с. 9. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 688 с. 10. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с. 11. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 2004. 12. Бурмистрова, Е.Б. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. – М.: Изд-во ВШЭ, 2007. 18 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины: Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы, аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения. Может использоваться программа MATHCAD и следующие интернет-порталы: http://xplusy.oos.cc/web/links_2.html http://www.lib.tpu.ru/info_portal.xml?lang=ru http://mathelp.spb.ru 19