Задание 2. - Математика

Министерство сельского хозяйства российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Уральский государственный аграрный университет
Учебно-методический комплекс
Б.2. Линейная алгебра
для студентов заочной формы обучения
направлений подготовки 080100 «Экономика»
Екатеринбург, 2014
1
Учебно-методический комплекс по Б.2. Линейная алгебра для студентов заочной
формы обучения направлений подготовки бакалавров 080100 «Экономика» (по
отраслям).
Составитель: Г.В. Белозерова
Утверждена учебно-методической комиссией инженерного факультета УрГАУ
Протокол №___ от __________2015 г.
Рецензент:
2
1. Цель изучения дисциплины
Цель освоения дисциплины «Линейная алгебра»: научить студентов современным методам линейной алгебры, применяемым при изучении и анализе
экономических процессов.
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы
Дисциплина «Линейная алгебра» принадлежит базовой части (Б.2) математического и естественнонаучного цикла ООП ВПО и предназначена для студентов первого курса Экономического факультета. Изучение дисциплины требует
знания математики в объеме курса современной общеобразовательной средней
школы. Дисциплина является фундаментом для всех дисциплин математического цикла, для большинства дисциплин гуманитарного, социального и экономического, а также профессионального цикла для бакалавра направления
080100«Экономика».
3. Результаты обучения по дисциплине, соотнесенные с результатами
освоения образовательной программы
В результате обучения по дисциплине формируются содержательные части
следующих компетенций:
ОПК- 3- способность использовать основы экономических знаний в различных сферах деятельности.
ПК-4 - проведение анализа инноваций в экономике, управлении и ИКТ.
Таблица 3.1.
Результаты обучения по дисциплине
Коды
компетенций
ОПК-3
Результаты освоения основной
образовательной программы
(компетенция или содержание
Результаты обучения
достигнутого уровня освоения
компетенции)
способность использовать основы Знать:
экономических знаний в различ- - экономические интерпретации основных
ных сферах деятельности
математических понятий курса линейной
алгебры;
- алгоритмы, схемы, методы и рекомендации для решения типовых математически
формализованных
задач;
Уметь:
- решать задачи линейной алгебры с использованием справочной литературы;
3
ПК-4
- осуществлять поиск информации по полученному заданию, сбор, анализ данных, необходимых для
решения задач линейной алгебры
Владеть:
- навыками постановки, решения задач и
интерпретации результатов в экономических терминах;
- навыками представления результаты аналитической и исследовательской работы в
виде презентаций, докладов.
проведение анализа инноваций в Знать:
экономике, управлении и ИКТ.
- основы линейной алгебры, методы решения систем линейных уравнений, линейные
операторы, простейшие приемы составления алгоритмов (структурных схем) решения нестандартных задач линейной алгебры.
Уметь:
- производить основные операции над матрицами и векторами, решать системы линейных уравнений
различными методами, работать с линейными операторами и квадратичными формами;
- теоретически обосновывать применимость
методов решения к типовым задачам курса;
- проводить самостоятельный поиск и выбор
необходимых для решения задач формул,
схем, алгоритмов;
- применять нестандартный подход к решению задач и обосновывать ограничения области применения такого подхода.
Владеть:
- навыками записи текстовых задач в матричной форме, через линейные операторы,
обосновывать применимость методов решения к типовым задачам курса;
- проводить самостоятельный поиск и выбор
необходимых для решения задач формул,
схем, алгоритмов
применять нестандартный подход к решению задач и обосновывать ограничения области применения такого подхода.
4
4. Объём дисциплины и распределение часов по видам учебной работы
Таблица 4.1
Объём дисциплины и распределение часов по видам учебной работы
Виды контактной и внеаудиторной работы
Общий объём дисциплины:
Аудиторная работа
в том числе:
Лекции
Лабораторные
Практические (семинарские)
Самостоятельная работа студентов
Виды промежуточной аттестации Экзамен
Всего часов
108
22
10
12
86
5. Содержание дисциплины
Таблица 5.1
Разделы дисциплины с распределением часов
Практические
(семинарские)
занятия
Лабораторные
занятия
Самостоятельная
работа
5
6
Лекции
2
3
4
Преобразования матриц и системы линейных
уравнений
Определители
Алгебра матриц. Ранг матрицы
Структура множества решений системы линейных уравнений
Элементы аналитической геометрии
Евклидовы пространства. Аффинные пространства
Итого
Аудиторные
занятия
1
Наименование разделов дисциплины
Всего часов
№ п/п
В том числе
Из них
18
4
2
2
-
14
18
30
4
4
2
2
2
2
-
14
26
18
4
2
2
-
14
12
3
1
2
-
9
12
3
1
2
-
9
108
22
10
12
0
86
5
Таблица 5.2
Темы разделов дисциплины
Раздел
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
№
Вид
Тема занятия
занятия занятия
1
Лекция Матрицы. Матрица и расширенная матрица
системы линейных уравнений.
2
Практи- Элементарные преобразования матриц.
ческое Обратимость элементарных преобразовазанятие ний. Метод Гаусса решения систем линей№1
ных уравнений. Общее решение систем линейных уравнений.
3
Лекция Определитель и элементарные преобразования.
4
Практи- Построение определителя разложением по
ческое столбцу. Определитель транспонированной
занятие матрицы. Вычисление определителя разло№2
жением по строке.
5
Лекция Определение и свойства линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел. Линейная зависимость.
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
6
Практи- Методы вычисления ранга матрицы. Базис
ческое и координаты. Размерность линейного
занятие пространства. Преобразование базиса и
№3
координат. Подпространства. Линейные
оболочки. Изоморфизм линейных пространств.
7
Лекция Обратная матрица и формулы Крамера.
8
Практи- Построение обратной матрицы элементарческое ными преобразованиями. Преобразование
занятие координат при замене базиса. Ранг матри№4
цы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях.
9
Лекция Прямоугольная система координат на
плоскости. Расстояние между точками.
Деление отрезка в данном отношении.
Векторы. Координаты вектора.
Практи- Сложение векторов. Умножение
10
ческое вектора на число. Разложение вектора
занятие плоскости по двум неколлинеарным
векторам. Скалярное произведение векто№5
ров.
11
Лекция Общее уравнение прямой на плоскости.
Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Практи- Параметрическое и каноническое уравне12
ческое ния прямой. Расстояние от точки до прязанятие мой. Преобразование координат точки при
№6
замене системы координат.
2
№ вида
занятия
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
Часы
6
Таблица 5.3
Учебно-методическое обеспечение тем, выносимых на самостоятельное изучение
Раздел
1
2
3,4
5
6
Часы
Темы (вопросы) для самостоятельного изуче- Номера учебно-мения
тодических матриалов в списке рекомендованной литературы и Интернетисточники
Способы вычисления определителей высших по- О 1-4, Д -1; И – 4,5,6
рядков. Собственные значения матриц. Характеристический многочлен, его корни. Матричные
уравнения, методы решений. Система линейных
однородных уравнений. Различные методы решения систем линейных уравнений.
Определение и свойства линейных пространств
О 2-4, Д -1,2, И – 4,6
над полем действительных и комплексных чисел.
Линейная зависимость. Ранг матрицы. Теорема о
базисном миноре. Методы вычисления ранга матрицы. Базис и координаты. Подпространства. Линейные оболочки. Изоморфизм линейных пространств.
Определение системы линейных алгебраических
О– 2,4, Д – 2,3; И –3,
уравнений. Системы с квадратной невырожден4,6
ной матрицей. Формулы Крамера. Системы общего вида. Теорема Кронекера-Капелли. Метод
Гаусса исследования и решения систем. Базис и
размерность пространства решений однородной
системы линейных уравнений. Общее решение
неоднородной системы линейных алгебраических
уравнений.
Декартовый базис, координаты вектора. Проекция О– 1-3, Д – 1, 2,3; И
вектора, орт вектора, направляющие косинусы
– 4-6
вектора. Простейшие задачи векторной алгебры.
Скалярное, векторное и смешанное произведения
векторов. Определение, свойства, запись в координатной форме, приложения. Условие коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.
Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство
О–1,2,4; Д – 2,3; И –
треугольника. Длина вектора и угол между векто- 2,3,6
рами. Ортогональность векторов. Прямая и плоскость в пространстве. Различные типы уравнений
прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве. Формула расстояния от точки до прямой. Формулы для вычисления углов между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Канонические уравнения и свойства эллипса, гиперболы, параболы. Оптические свойства
*- О – основная литература; Д – дополнительная литература; И – Интернет-ресурсы
7
6. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации студентов по дисциплине
6.1. Результаты обучения по дисциплине, формы промежуточной аттестации и виды оценочных средств
Таблица 6.1.
Результаты обучения по дисциплине, формы промежуточной
аттестации и виды оценочных средств
Результаты обучения по дисциплине, необходимые для формирования компетенции или ее части
ОПК-3
Способность использовать основы
экономических знаний в различных
сферах деятельности
ПК-4
Проведение анализа инноваций в
экономике, управлении и ИКТ.
Критерии и шкала
оценки результатов
обучения по дисциплине
Владение навыками, способность творческой адаптации
типовых задач к нестандартным условиям, умения решать
типовые задачи, знание основного и дополнительного
теоретического материала –
отлично (90-100)
Формы
Виды
промежу- оценочных
точной
средств
аттестации
Экзамен
Билеты
Умение решать типовые задачи, знание основного и дополнительного теоретического материала – хорошо
(74-89)
Умение решать только базовые типовые задачи, знание
основного теоретического
материала – удовлетворительно (60-73)
Неспособность решать типовые задачи, частичные и отрывочные знания теоретического материала - неудовлетворительно (35-60)
6.2. Перечень вопросов промежуточного контроля по дисциплине:
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство
матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема
Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
8
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление
ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.
5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге
матрицы.
6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные
и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера –
Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.
9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m
линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.
12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение
в координатной форме. Угол между векторами.
13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.
14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис. Теорема
о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства
по векторам базиса.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово
пространство. Длина (норма) вектора.
16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.
17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.
19. Собственные векторы и собственные значения оператора A~ (матрицы
А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.
9
20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных
значений. Пример.
21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы.
Ранг квадратичной формы. Пример.
22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной
формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.
23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через
собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).
24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение
окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.
27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический
смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно-пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи.
Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности
двух плоскостей.
29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух
плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и
плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.
10
6.3. Задания для контрольной работы
Задание 1. Даны квадратная матрица А, m=3,n=3
 1 2 0


A   0 2  1.
 2 1 4 


1). Найти произведение 5*(A).
2). Транспонировать матрицу.
3). Найти определитель матрицы.
4). Найти обратную матрицу.
Задание 2. Даны две матрицы А и В
3 1
 1
 2


 
A   7  1 4 . и В   3 .
 2 5 8
0


 
Найти произведение матриц А*В
Задание 3. Вычислить определитель квадратной матрицы двумя способами
 8 2 4


A   0 3  1.
 2 1 4 


Задание 4. Даны две матрицы А и В
 8 2 4
 2 2 6




A   0 3  1. и В   0 4  1.
 2 1 4 
 2 1 7 




1). Найти сумму матриц А+В
2). Найти разность матриц А-В
11
Задание 5. Вычислить определитель матрицы 4-го порядка:
3 5
|1 2
−2 3
1 −3
7
3
3
5
2
4|
2
4
Задание 6. Решить систему линейных уравнений:
а). Методом Крамера
б). Методом Гаусса
2х1 − 3х2 − х3 = −6
{3х1 + 4х2 + 3х3 = −5
х1 + х2 + х3 = −2
Задание 7. Найти проекцию вектора a = {3; -4; 0} на вектор b = {1; 2; 5}.
Задание 8. Найти угол между векторами a = {1; 6; -3} и b = {-5; 5; 2}.
Задание 9. Найти длину вектора a = {-2; 1; 5; 3 ; -2}.
Задание 10. Разделить отрезок в заданном отношении.
Даны точки A(5;-2)и В(3;4) Координаты точки М(1; -1), делящей отрезок АВ в отношении AM : MB = k.
12
7. Методические указания для студентов по освоению дисциплины
Методические указания для студентов по освоению
дисциплины по видам учебных занятий
Лекции
Конспектирование лекций, работа с конспектом
Практические (семинар- Конспектирование тем, выносимых на семинарские занятия, работа
ские)
с конспектом лекций, решение контрольных индивидуальных заданий
Самостоятельная работа Использование методических указаний по изучению тем, выносимых на самостоятельное изучение, подготовка рефератов
Виды
промежуточной Контрольная работа, экзамен
аттестации
Подготовка к экзамену
Работа с конспектами лекций, семинарских занятий, а также
материалами самостоятельной подготовки
Вид учебных занятий
8. Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой
для освоения дисциплины
а) основная учебная литература:
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. – М: Физмат-лит,2010г.
2. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и Практикум. / Под ред. Н.Ш. Кремера. Части 1, 2. – М.: Высшее образование, 2011.
3. Кастрица О.А. Высшая математика для экономиств. М. «Новое издание»,
2010г.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс/ Д.Т.
Письменный.- 12-е изд. - М., АЙРИС-пресс, 2014.- 608 с.:ил. – (Высшее образование)
б) дополнительная учебная литература:
1. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики. / Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. – М.: Издательство
ВЗФЭИ, 2012.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от
Арифметики до Эконометрики. / Под ред. Н.Ш. Кремера. Части I и I. – М.: Высшее образование, 2013.
4. Смирнов Ю.М. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре., -М, Логос, 2010,-372с.
9. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет» (далее - сеть «Интернет»), необходимых для освоения дисциплины
1. Математический портал http://www.allmath.ru/highermath.htm
13
2. Общероссийский математический портал http://www.mathnet.ru/
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
Учебная аудитория, оборудованная мультимедиа проектором. Компьютер
под управлением операционной системы Windows 7, 8.0, 8.1, способный воспроизводить современные форматы медиаданных (видео, аудио, графика) и имеющий установленный пакет офисных программ MS Office 2010, 2013. В частности,
MS Word, MS Excel, MS Power point.
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления образовательного процесса по дисциплине
Для проведения лекционных занятий требуется аудитория на курс, оборудованная компьютером, мультимедийным проектором с экраном.
Для проведения практических занятий требуется аудитория на группу студентов, оборудованная компьютером, мультимедийным проектором с экраном.
Число рабочих мест соответствует количеству студентов.
14