Многообразие изящных решений в единстве результата

Конспект урока математики в 9 классе по теме
«Решение систем уравнений второй степени» (2 урок из 4 по планированию):
Имя урока: «Многообразие изящных решений в единстве результата»
Цели:
I.
Образовательно-развивающие цели:
1.1. Применение опорных понятий: система уравнений, уравнение, линейное уравнение, переменная, решение систем уравнений.
1.2. Развитие общеучебных умений: определение понятий (системы уравнений, квадратное уравнение, полное и неполное квадратное
уравнение), деление понятий, обобщение и ограничение понятий, отражение отношений между понятиями с помощью кругов Эйлера,
формулирование проблемных вопросов 1 порядка.
1.3. Развитие специальных умений: определять наиболее рациональный способ решения систем уравнений, решать эти системы
уравнений.
II.
Воспитательная цель:
формирование научного мировоззрения на основе философских категорий: общее – особенное – единичное, причина – следствие, единство –
многообразие.
Оборудование: компьютерный проектор, презентация по теме, раздаточный материал: карточка №1 и №3, критерии оценок, маршрутная
карта.
Тип урока: ?
Методы обучения: диалектический, связанный со словесно - догматическим и словесно — наглядным.
По источнику знаний: словесный, наглядный, практический.
По характеру деятельности учащихся: частично- поисковый.
По характеру деятельности учителя: проблемный.
План урока:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Оргмомент – 1мин
Сообщение темы и постановка целей урока – 2 мин.
Актуализация знаний учащихся – 6 мин.
Работа по теме урока – 30 мин.
Обобщение,
Подведение итогов урока. Рефлексия – 4 мин.
Домашнее задание – 2 мин.
Ход урока:
Этапы
урока
I.
1.1.
Деятельность учителя
Оргмомент
Проверка готовности уч-ся к уроку (наличие маршрутной
карты с заданиями, письменных принадлежностей)
Баллы,
время
1 мин
15 сек.
Деятельность учащихся
1.2.
Знакомство уч-ся с заявкой на оценку и критериями оценки
(на доске)
30 сек.
Сегодня заявка на оценку будет такой:
балл и более — «5»
баллов — «4»
баллов — «3»
II.
2.1.
2.2
2.3
III.
3.1.
Сообщение темы и постановка целей урока
2 мин
Наш урок я назвала – «Многообразие изящных
решений в единстве результата»
Ребята, как вы думаете, о каком ключевом понятии и
действиях пойдет речь?
Действительно, в 7 кл вы познакомились с системами
линейных уравнений, в 8кл – системами рациональных
уравнений с 1 переменной, а сейчас можно подумать и о
системах рациональных уравнений с 2 переменными.
Тем более, что алгебраические уравнения являются
неотъемлемой частью ЕГЭ и ГИА, они встречаются на
вступительных экзаменах в ВУЗы.
Но вот проблема – какой способ решения систем
уравнений самый лучший и рациональный?
Сформулируйте цель урока!
Запишите в маршрутную карту свою гипотезу - какой
способ вы лично считаете самым рациональным.
А также запишите ниже способ, который вам больше
нравится .
6 мин
Актуализация знаний учащихся
Логическое задание:
 Зачеркните «лишнее» понятие из приведенных
четырех. Напишите признак, по которому вы
исключили лишнее понятие:
квадратное,
1б
кубическое, линейное, биквадратное уравнения.
 Ограничить понятие «целое уравнение» до
единичного понятия «2х2-3х+8=0» и обобщить 1-2б
Решение систем уравнений с двумя переменными.
?
Анализ способов решения систем уравнений с двумя
переменными, выявление противоречий.
Линейное, остальные – нелинейные уравнения
Уравнение – алгебраическое уравнение – рациональное
данное понятие.
Разделите способы решения систем уравнений с
двумя переменными на группы. Укажите
основание деления. Сколько всего групп и 1б
подгрупп получилось?
 Установить соответствие между системами
уравнений и наиболее подходящим методом для
их решения:
1б
 x  2 y 2  4,
1. 
;
а)графический
 x y 4

 x 2  y 2  9,
;
б)сложения
 x y 3
 3x  2 y  5,
3. 
2 x  3 y  12.
в)подстановки
Самооценка
Оцените сами свою работу: если вы правильно
выполнили все задания, то поставьте по 1 б. за 1,3,4 и
2б за второе.
уравнение – целое уравнение – нелинейное уравнение –
квадратное уравнение – полное квадратное уравнение – 2х23х+8=0
2 группы – графический и аналитический, 2 подгруппы
аналитического способа – методы сложения и подстановки.
Основание деления – по структуре.
1-в; 2 – а; 3 – б.
2. 
IV
3.2
Работа по теме урока
Индивидуальный труд
С помощью кругов Эйлера показать отношения между
понятиями:
 Рациональное уравнение – иррациональное




3.3
Выдается лист с ответами
уравнение;
1-5б
Целое уравнение – дробное уравнение
Алгебраическое уравнение - рациональное
уравнение
Графический способ решения – аналитический
способ решения
Система уравнений – совокупность уравнений.
Сформулируйте 2 вопроса-понятия к теме: «Решение 1- 2б
систем уравнений второй степени»
1 – отношение противоречия,
2 – отношение соподчинения,
3 – отношение подчинения
4 – отношение соподчинения,
5 – отношение тождества.
Карточка № 1
1. Что называется системой уравнений второй степени?
2. Что считается равносильными уравнениями?
3. Что понимается под графиком системы уравнений?
4. Что представляет собой решение систем уравнений?
5. Что выражают собой основные способы решения
систем уравнений?
6. Что значит решить систему уравнений второй
степени?
7. Что такое графический способ решения систем
уравнений?
8. Каковы разновидности аналитического способа
решения систем уравнений?
9. В чем заключается сущность противоречивой системы
уравнений?
Простая кооперация
3.4
3.5
Учащимся предлагается обсудить результаты
индивидуального труда и ответить на поставленные
вопросы в парах.
1-2б
Задания по группам (детей всего -5, это 3 группы).
I группа — решить систему уравнений способом
подстановки и заполнить таблицу, выявив
противоречия:
х + у = 4,
Ответ: (-7;11) (3;1)
х2 – 4у = 5.
Вид
способа
Достоинства
Противоречия
(недостатки)
но
II группа - решить систему уравнений способом
алгебраического сложения и заполнить таблицу, выявив
противоречия:
х2 − у2 = −5,
2х2 − у2 = −1.
Вид
способа
Достоинства
Противоречия
(недостатки)
но
III группа — решить систему уравнений графическим
1-6 б
Ответ: (-2;-3) (2;3)
х2 + у2 = 16 график данной функции окружность, центр
(0;0), радиус – 4. у = х2 − 4 парабола, строится из
параболы вида у = х2 параллельным переносом вдоль
оси Оу на 4 единичных отрезка вниз.Графики данных
функций пересекаются в трех точках, значит, система
имеет три решения.
способом алгебраического сложения и заполнить
таблицу, выявив противоречия :
х2 + у2 = 16,
у = х2 – 4.
Вид
способа
Достоинства
Противоречия
(недостатки)
Ответ: (0;4) (-2,8;3) (2,8;3)
но
3.6
3.7
Подготовить выступление от групп по таблице:
Выступления учащихся
Самооценка
Оцените сами свою работу.
1-6 б
Сложная кооперация
3б
Выступления учащихся
Сравните аналитические методы решения систем
уравнений с двумя переменными, выделив их общие и
особые признаки. Сформулируйте соответствующие
высказывания. Для этого используйте карточку №3
V
Обобщение
Ребята, так какой способ
рациональным?
Какой вывод можно сделать?
Подтвердилась ли ваша гипотеза?
VI
Домашнее задание:
VII
Подведение итогов урока. Рефлексия
считается
самым
Выступления учащихся
Вывод: Для каждой системы необходимо выбирать
свой рациональный способ.
Самооценка
Используя заявку на оценку, определить объем своих
знаний.
Благодарю всех за работу и желаю успехов при
выполнении домашнего задания. Урок окончен.
До свидания.
Учащиеся записывают кол-во баллов
Урок еще «сырой», что-то не хватает.
Соотношение количества систем, решаемых различными методами.
введение новой
переменной 10%
10
29
40
21
графический способ
решения систем
уравнений 21%
метод подстановки 40%
метод сложения 29%
Задание:
При каких значениях параметра а система уравнений имеет три решения?
{
y – х2 = 𝑎 ,
х2 + у2 = 4 .
Решение: парабола y= x2 +a будет иметь с окружностью x2 + y2 = 4 три общие точки только в случае а = - 2.
Ответ: а = - 2
Система уравнений — это условие, состоящее в определенной зависимости между переменными.
1) Устный опрос.
Задания.
1. Определите степень уравнения:
a) xy3 – 2y = 5
б) x2 – y4 = 2xy2 – y4 в) x2 + 3y2 = 0
Ответ: a) 4, б) 3, в)2.
2. Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) x2 + y = 1 б) xy + 3 = x в) y(x + 2) = 0
Ответ: да, нет, да.
3. Укажите какие-нибудь два решения уравнения
а) xy = 6 б) (x – 3)(y + 2) = 0 в) x2 – y2 = 0
(Ученики предлагают свои варианты ответа)
4. Имеет ли решения система и сколько
а) y = 3,
б)
x2 + y2 = 4,
y = x2 – 6.
y = x2 + 4.
Ответ: а) имеет, 2. б) не имеет.
Р е ш е н и е
с и с т е м ы
л и н е й н ы х
у р а в н е н и й
-
м е т о д
п о с л е д о в а т е л ь н о г о
и с к л ю ч е н и я
п е р е м е н н о й
геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
2.Учитель демонстрирует системы (на карточках), а ученики
указывают «минусы» графического способа решения этих систем.
Оценки за урок
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Задание. Проанализируйте уравнения, их графики и заполните таблицу. Каждому уравнению поставьте соответствующий
номер рисунка.
№
Формула уравнения
1
x2 – y = 0
2
y + x2 – 1 = 0
3
y = (x – 1)2
Преобразование формул
Номер чертежа
4
y + (x +1)2 = 0
5
x3 – y = 0
6
xy = 1
7
x2 + y2 = 1
8
y + 1 =0
9
10
xy0
y - |x| = 0
Задание № 1
На чертеже дан график одного из уравнений системы. Дополните чертеж графиком другого уравнения и найдите решения
системы.
 x 2  y 2  1,

 y  x  1  0.
Задание № 2
В данную систему впишите уравнение окружности, изображенной на чертеже. Дополните чертеж линией, уравнение которой уже
....... ? .......,
записано в системе. Напишите решение системы. 2 y  x  1.

Очень часто на ЕГЭ задания формулируется следующим образом:
« Используя графики уравнений укажите число решений системы уравнений».
- «А от чего будет зависеть число решений системы уравнений?»
- «А всегда ли графики пересекаются? Если нет, то что?»
Одна из компетенций – умение ориентироваться в информации, умение ее получать, анализировать т.е вы должны владеть
определенными общими приемами деятельности. На материале темы “Системы рациональных уравнений” мы рассмотрим один
из таких приемов, касающийся анализа данной системы и построения (выбора) способа ее решения в зависимости от ее вида.
При этом закладывается такое важное качество знаний, которое называется обобщенностью. В реальной практике, когда
ученик сталкивается с системой уравнений, ему необходимо самому сориентироваться и выбрать способ ее решения, но анализ
учебных пособий показал, что в них процесс анализа системы и выбора способа решения не делается предметом специального
усвоения, а лишь тренируется умение применять изученный метод к данной системе. В итоге учащиеся не всегда владеют
полной системой знаний и умений, ориентируясь на которые можно выбрать (построить) адекватный, наиболее эффективный
способ решения заданной системы.
анализ заданной системы на наличие решений Системы, не имеющие решений.
а) Случай, когда в системе имеется противоречивое уравнение (не имеющее решений):
№ 1.
Ответ:
.
Один из самых очевидных случаев: сразу можно заметить, что первое уравнение не имеет решений. Если же в правой части первого
уравнения стояло бы неотрицательное число, то такая система имела бы решение.
Немного усложнив данную систему, вместе со школьниками можно “придумать”, например, следующие не имеющие решений
системы:
и т.д. Ответ:
№ 2.
Ответ:
№ 3.
.
.
Ответ:
.
Несколько более замаскировано противоречивое уравнение. Здесь, чтобы его распознать, нужно увидеть во втором уравнении
формулу квадрата разности. № 4.
Ответ:
.
б) Случай, когда в системе имеются неопределенные выражения (ОДЗ пусто):
№ 6.
Ответ:
.
В первом уравнении под знаком корня (радикала) стоит отрицательное выражение, значит, такого арифметического квадратного корня не
существует ни при каких значениях x.
в) Случай, когда в системе одно уравнение противоречит другому:
№ 7.
Ответ:
.
Один из самых явных случаев: видим, что левые части обоих уравнений совпадают, а правые – нет. Противоречие.
Здесь логично возникает вопрос: а что делать, если не заметили сразу, что система несовместна? Ответ: решать ее известными методами.
Система, не имеющая решений
Система, имеющая решения
вывод о том, что начинать решение системы нужно с ее анализа, т.к. если сразу удастся понять, что она не имеет решений, то не надо
будет тратить время на решение, а сразу можно будет дать верный ответ. В этом присутствует и воспитательный эффект, касающийся
важности предварительного анализа ситуации, объекта
После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике или калькуляторе
Вывод: Для каждой системы необходимо выбирать свой рациональный способ.
Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему.
Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь
некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы. о
достоинствах графического способа (графики элементарных функций легко построить, координаты точек пересечения являются решениями
данной системы да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.
Вывод: Графический способ прост в решении, если
хорошо знать графики и способы их построения, но неудобен тем, что многие системы имеют ответы выраженные
дробями, на графики найти точно такой ответ очень трудно.
Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. дает точное решение, но
Очень трудоемкий, но точный способ решения. Этим способом можно решить практически любую
систему уравнений. Для того чтобы решать способом подстановки надо знать алгоритм решения.
решение громоздкое
Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени. Дает точное решение,
нет трудоемких преобразований, после сложения получается линейное уравнение, которое легко решить. Любую ли систему
можно решить способом сложения? Нет, только в отдельных случаях, если уравнения системы однотипны и отличаются друг от
друга коэффициентами. Всегда ли при почленном сложении уравнений системы исчезает одна из переменных?
В высшей математике всегда стремимся складывать и умножать, а не вычитать и делить. Это экономит время и упрощает вычисления,. суть метода – избавиться от одной из переменных.
В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему?
способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать.