Методические указания и контрольные задания для 9 классов

Математика, 9 класс
Мендель Виктор Васильевич, ДВГГУ,
Готсдинер Григорий Яковлевич, Математический лицей
Алгебраические уравнения и методы их решения
П.1 Многочлен и его корни
Рассмотрим набор из (n+1) действительных чисел a0 , a1,..., an (an  0) ,
многочленом (полиномом) степени n с указанными выше коэффициентами
называют выражение вида:
p n ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0
(1)
называют многочленом (полиномом) степени x.
Уравнение
p n ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  0
(2)
называют алгебраическим уравнением степени n.
Корни уравнения (2) также называют корнями многочлена.
Приведем несколько фактов, относящихся к корням многочленов.
Факт 1. Любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один
действительный корень.
Замечание. Даже зная, что уравнение имеет корень, найти этот корень
бывает весьма непросто.
Пример 1. Уравнение x 3  x 2  0 очевидно имеет корни 0 и .
Пример 2. Установить корни уравнения x5  2.3x 4  0.1x3  x 2  1001x  17  0 ,
которые, безусловно, имеются, довольно сложная задача.
Факт 2. Если коэффициенты a0 , a1,..., an (an  0) многочлена являются целыми
числами, то рациональные корни этого уравнения (если они есть) имеют вид
xi   mk , где числа k и m – натуральные, причем k – делитель свободного члена
a0 , m – делитель главного коэффициента an .
Пример 3. p3(x)=15 x 3-26 x 2-11x+6 может иметь один из следующих корней:
 1,2,3,6,
1
2
3
6 2 3 6 1 2
, , , , , , , , (повторяющиеся числа сокращены).
15 15 15 15 5 5 5 3 3
Проверка показывает, что подходят числа 2,
1
3
и .
3
5
Задача по отделению рациональных корней значительно упрощается,
если старший коэффициент в многочлене равен единице. В этом случае
возможные рациональные корни уравнения могут быть только целыми
числами, на которые делится свободный член полинома.
Пример 4. У многочлена p3 ( x)  x3  3x 2  x  18 возможны следующие целые
корни:  1,2,3,6,9,18 . Проверяя возможные корни (это можно довольно
быстро делать с помощью Схемы Горнера) убеждаемся, что единственный
целый корень уравнения равен 2.
Факт 3. Если число x0 - корень многочлена pn (x) , то этот многочлен можно
представить в виде произведения pn ( x)  qn 1 ( x)( x  x0 ) .
Найти многочлен qn1 ( x) можно, например, применяя метод деления
«уголком», очень похожий на тот, который применяют к обычным числам.
Приведем пример.
Пример 5. Поделим p3 ( x)  x3  3x 2  x  18 на (x - 2) :
x 3  3 x 2  x  18 x  2
x3  2 x 2
x2  5x  9
5x2  x
5 x 2  10 x
9 x  18
9 x  18
0
Получаем разложение
pn ( x)  ( x 2  5 x  9)( x  2) .
Заметим, что первый
множитель имеет отрицательный дискриминант, поэтому он (и исходный
полином) больше корней не имеет.
Факт 4. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно
представить в виде:
p n ( x)  an ( x  x1 ) k1 ( x  x2 ) k 2 ...( x  xm ) k m ( x 2  p1 x  q1 )...( x 2  ps x  qs ) ,
(3)
где число ki - кратность корня xi , ( x2  p j x  q j ) - квадратные трехчлены, не
имеющие действительных корней (их называют неприводимыми).
Замечание. При решении уравнений и неравенств можно сокращать на
неприводимые трехчлены.
П.2. Группировка как способ нахождения корней полинома
К сожалению, (и это доказано), не существует универсального алгоритма,
позволяющего (на подобие квадратного трехчлена) находить корни любого
полинома. Существуют специальные формулы для решения уравнений третьей
и четвертой степени, однако они трудоемки и в школьном курсе не изучаются.
Поэтому часто используются другие методы, такие как отделение корней
(рассмотрен в первом пункте), метод группировки и его частный случай –
выделение полных квадратов.
Суть метода группировки в следующем: члены многочлена разбивают на
группы (отсюда и название) так, что после приведения подобных каждая группа
разложится на множители, причем один из множителей будет содержаться в
каждой группе. Этот общий множитель выносится за скобки и исходный
многочлен раскладывается в произведение двух многочленов более низкой
степени.
Рассмотрим пример.
Пример 6. Разложить на множители методом группировки многочлен
.
Решение. Проведем группировку следующим образом:
p( x)  (3x 4  3x 2 )  (2 x3  2 x)  (5x 2  5)
( 8x 2 представим в виде суммы 3x 2  8 x 2 , первое слагаемое включим в первую
группу, второе слагаемое – в третью).
Далее, вынесем из каждой скобки общий множитель:
3x 2 ( x 2  1)  2 x( x 2  1)  5( x 2  1) .
Вынося общий член ( x 2  1) , находим разложение:
( x 2  1)(3x 2  2 x  5) .
Оба квадратных трехчлена имеют отрицательные дискриминанты,
поэтому дальнейшее их разложение невозможно.
Пример 7. Разложить на множители полином:
.
Решение. Заметим, что отделение корней методом, описанным в предыдущем
пункте, довольно проблематично – мы получим слишком много чисел, которые
нужно проверять. Попробуем группировку. Интуиция подсказывает, что от 69x 2
нужно оделить часть, кратную 14: это, например, 70-1, 84-15, 98-29 или 42+27.
Первый вариант приводит в тупик. Рассмотрим второй вариант. Получим:
(14 x3  84 x 2 )  (15x 2  99 x  54)  14 x 2 ( x  6)  ((15x 2  90 x)  (9 x  54)) 
 14 x2 ( x  6)  ((15x( x  6)  9( x  6))  14 x 2 ( x  6)  (15x  9)( x  6)  (14 x 2  15x  9)( x  6) .
Далее разложим трехчлен (14 x 2  15x  9) :
(14 x 2  15x  9)  (14 x 2  21x  6 x  9)  7 x(2 x  3)  3(2 x  3)  (7 x  3)( 2 x  3) .
Таким образом,
.
П.3. Примеры решения простейших алгебраических уравнений
Многочлены являются простейшими алгебраическими уравнениями. В
этом пункте мы рассмотрим некоторые примеры решения таких уравнений.
Пример 8. Найти корни уравнения
.
Решение. В этом уравнении коэффициенты – целые числа, главный
коэффициент равен 1. Попробуем подобрать корни уравнения. Для начала
разложим на множители свободный член: 231  11 7  3 .
Начнем с самого маленького числа – тройки.
33  32  89  3  231  27  9  267  231  0 , следовательно, x1  3 - один из корней
уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим левую часть уравнения на
( x  3) :
x 3  x 2  89 x  231 x  3
x3  3x 2
x 2  4 x  77
4 x 2  89 x
4 x 2  12 x
 77 x  231
 77 x  231
0
Осталось найти корни квадратного уравнения
x 2  4 x  77  0 .
Применяя,
например, формулы Виета, получаем два других корня: x2  11, x3  7 .
Ответ: x1  3, x2  11, x3  7 .
Пример 9. Найти корни уравнения
36 x 4  11x 2  5  0 .
Решение. Задачу можно свести к биквадратному уравнению, но мы попробуем
использовать разложение на множители. Для этого к среднему слагаемому
прибавим и отнимем 9x 2 :
36 x 4  20 x 2  9 x 2  5  (36 x 4  20 x 2 )  (9 x 2  5)  4 x 2 (9 x 2  5)  1(9 x 2  5)  (4 x 2  1)(9 x 2  5) .
1
2
Корни первого сомножителя: x1, 2   . Второй множитель корней не имеет.
1
2
Ответ: x1, 2   .
Далее рассмотрим пример уравнения, которое сводится к рациональному.
Особенность таких уравнений – обязательное требование проверки найденных
корней области допустимых значений. Например, на ЕГЭ несколько лет назад
предлагалась «простая» задача.
Пример 10. Решить уравнение
9 - x 2 ( x 2  7 x  10)  0 .
Решение. Очевидно, что корнями первого множителя уравнения являются
числа 3 и -3. Нетрудно найти корни второго множителя, это 2 и 5. Однако, если
в правую часть подставить число 5, то в первом множителе под корнем будет
стоять отрицательное число -16, при котором это выражение не имеет смысла.
Поэтому окончательно оставляем корни -3, 2 и 3.
П. 4. Дробные алгебраические уравнения
Простейшее дробное алгебраическое выражение имеет вид:
p n ( x)
, где pn ( x) и g m ( x) - многочлены.
g m ( x)
Если два дробно-алгебраических уравнения сложить, умножить, вычесть
или поделить, то снова получится дробно-алгебраическое выражение.
Приравняв
некоторое
дробно-алгебраическое
выражение
(содержащее
переменную) некоторому числу, получим общее алгебраическое уравнение.
В общем случае такие уравнения решают по следующему алгоритму:
сначала все элементарные дробно-рациональные выражения, имеющиеся в
уравнении, переносят в одну часть и приводят к общему знаменателю. В
результате получается простейшее дробно-рациональное уравнение. Его
корнями служат все числа, являющиеся корнями многочлена, стоящего в
числителе, не являющиеся корнями многочлена, стоящего в знаменателе.
Рассмотрим пример.
Пример 11. Решить уравнение
x 1 x  3

 0.
x  2 x 1
Решение: приведем дроби к общему знаменателю:
( x - 1)2  ( x  2)( x  3) x 2  2 x  1  x 2  x  6 2 x 2  3x  5


 0.
( x  2)( x  1)
( x  2)( x  1)
( x  2)( x  1)
Приравняв числитель к нулю, находим корни:
2 x 2  3 x  5  0, x1  1, x2 
5
.
2
Оба корня числителя не являются корнями знаменателя (убедитесь в этом,
непосредственно подставив оба корня в знаменатель), поэтому они являются
решениями рассмотренного уравнения.
Если дробно-рациональное уравнение содержит много элементарных
выражений, то, после преобразований, в числителе может образоваться
довольно громоздкое выражение, отыскание корней которого будет весьма
затруднительным. Но в некоторых случаях бывает возможно свести сложное
уравнение к более простому, используя, например, замену переменных.
Рассмотрим пример.
Пример 12. Решить уравнение
x 1
x 1
3
 4 .
x 1
x 1
Решение: заметим, что дробно-рациональные выражения
x 1 x 1
и
являются
x 1 x 1
взаимно-обратными (их произведение равно единице). Введем следующую
замену: t 
x 1
. Исходное уравнение примет вид:
x 1
t
3
 4  0.
t
Домножив это уравнение на t , получим квадратное уравнение:
t 2  4t  3  0 .
Его корнями являются числа t1  3,t2  1 . Выполним обратную замену.
Получим и решим совокупность двух уравнений:
 x 1
 x  1  3
 x1  0.5

.

 x2  0
 x  1  1
 x  1
В некоторых случаях, чтобы увидеть взаимно-обратные выражения,
требуется выполнить некоторые дополнительные преобразования. Рассмотрим
еще один пример.
Пример 13. Решить уравнение
2
x2  1

6
4.
x2  1
x2  1
Решение: заметим, что знаменатель первого слагаемого равен числителю
первого слагаемого. Далее, если к первому дробному выражению прибавить
единицу и привести эту сумму к общему знаменателю, получим:
2
2  ( x 2  1) x 2  1

1

 2
x2  1
x2  1
x 1
-
выражение,
обратное
дробно-рациональному
выражению, записанному во втором слагаемом исходного уравнения. Таким
образом, исходное уравнение приводится к виду:
x2  1
x2  1
x2  1
x2  1
,
или,

1

6

4

5

6
 0.
x2  1
x2  1
x2  1
x2  1
Положим t 
x2  1
. Уравнение примет вид:
x2  1
t 5
6
 0.
t
Оно сводится к квадратному уравнению t 2  5t  6  0 . Корнями которого
являются числа 2 и 3. Выполнив обратную замену, получим совокупность двух
простых уравнений:
 x2  1
 x2  1  2
 2
.
 x 1
 x 2  1  3
Уравнения этой совокупности сводятся к двум простейшим квадратным
уравнениям: x 2  3; x 2  2 , корни которых x1, 2   3, x3, 4   2 .
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №2 для учащихся 10
классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и
информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:
1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,10 кл.,
математический)
2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон
(домашний или мобильный)
3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)
4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова
М.И.)
М 10.2.1. Решите уравнение, разложив многочлен на множители:
а)
,
б)
,
в)
.
М 10.2.2. Решите дробно-рациональное уравнение
а)
1
2
3
6



. (Указание: перенесите первое слагаемое в правую часть
x 1 x  2 x  3 x  6
и приведите выражения в обеих частях к общему знаменателю.)
б)
( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  120 .
(Указание:
перемножьте
сначала
первый
множитель с четвертым и второй с третьим. Первое произведение обозначьте y,
второе
произведение тогда
представится как
y+2.
Решите
получившееся
квадратное уравнение и сделайте обратную замену.)
в)
г)
3x  2
x 1
8
 2.
x 1
3x  2
t
3
t2
 10 2
 1  0 . (Указание: попробуйте прибавить к первым двум
t2
t 1
слагаемым некоторое число так, чтобы сумма оказалась дробью, обратной той,
что стоит на третьем месте с множителем -10. Далее смотрите примеры 12 и 13.)