Элементарные алгебраические уравнения и их

Элективный курс по математике в 7 классе
«Элементарные алгебраические уравнения и их применения»
Пояснительная записка
Предполагаемый элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся посвящен
одной из главных тем, составляющей фундамент современной математики – уравнениям и
системам уравнений, решению текстовых задач методом уравнений, решению уравнений,
содержащих модуль и уравнениям с параметрами.
Цель данного элективного курса – прояснить и дополнить школьный материал, связанный
с уравнениями, с системами уравнений, представить систематизацию уравнений по видам,
по степени сложности.
Программа (позволяет познакомить учащихся) дает возможность учащимся:
получить представления об уравнениях как математическом аппарате решения
разнообразных задач из математики, смежных областей знаний.
овладеть такими понятиями как “уравнение”, “системами уравнений”, усвоить понятие
равносильность уравнений, “уравнение с модулем”, “уравнение с параметром”.
освоить основные приемы решения рациональных уравнений, систем, получить
начальные представления о решении уравнений с параметром, уравнений с модулем.
на примере квадратных уравнений ознакомится с историей создания математических
задач, с представлением о формуле как алгоритме вычисления.
Учебно-тематический план
В том числе
Наименование
Всего
Форма контроля
тем курса
часов лекция практика семинар
Решение уравнений с одной
1
2
2
переменной
Решение текстовых задач с
Самостоятельная
2 помощью
составления 2
2
работа
уравнений
Системы линейных уравнений с
3.
2
2
двумя неизвестными
4. Способ постановки
1
1
5. Способ сложения
1
1
Самостоятельная
6. Решение квадратных уравнений
1
1
работа
Решение квадратных уравнений
7.
2
1
1
(неполные, b=0)
Решение квадратных уравнений,
8.
2
2
с=0
Решение квадратных уравнений.
Самостоятельная
9.
1
1
Самостоятельная работа
работа
10. Решение уравнений с модулями
1
1
Решение уравнений с модулем,
11. содержащих в правой части 2
0,5
1,5
переменную
Уравнения,
решаемые
с
12.
2
0,5
1,5
помощью понятия «расстояние
№
между двумя точками»
13. Понятие параметра
Решение
уравнений,
14.
содержащие параметр
15 Решение целых уравнений
Алгоритм решения различных
16.
типов уравнений
Решение дробно-рациональных
17.
уравнений
18. Итоговое занятие
Итого
1
1
4
2
3
1
2
2
1
1
4
1
3
2
2
2
Самостоятельная
работа
Самостоятельная
работа
Контрольная
работа
35
В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных
экзаменах в высшие учебные заведения, предполагаются задания по теме “Уравнения
второй степени”, содержащие параметр. Задачи такого типа вызывают затруднения у
учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. В
предполагаемом программном материале рассматриваются простейшие квадратные
уравнения с параметром и способы их решения.
Другие не менее важным понятием математики является понятие модуля числа и аспекты
его применения. Также рассматриваются различные методы решения уравнений с
модулем, основанные на его определении, свойствах, интерпретации.
Содержание спецкурса помогает учащимся понимать, что уравнения широко
применяются для описания на математическом языке разнообразных различных ситуаций,
уметь решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения,
сводящие к ним, системы уравнений с двумя переменными, уравнения с модулем,
уравнения с параметрами, понимать графическую интерпретацию решения уравнений и
систем уравнений, уметь решать несложные текстовые задачи с помощью составления
уравнений.
Таким образом, основная роль элективного курса “Элементарные алгебраические
уравнения и их применение” состоит в подготовке учащихся к успеху обучению в
старших классах технического профиля.
Основной способ представления занятий: лабораторно-педагогический работы,
семинарские занятия с элементами лекций, собеседования.
Основной способ оценивания результативности учащихся: самостоятельные и
контрольные работы, рейтинговые оценки, психолого-педагогический анализ наблюдений
деятельности учащихся.
Содержание
. Решение уравнений с одной переменной
На первых занятиях сообщается цель и значение данного элективного курса. Выявляются
и систематизируются виды школьных уравнений, вводится понятие уравнение с одной
переменной и алгоритм его решения. Особенное внимание уделяется, нахождению
подобных членов уравнения и принципу нахождения неизвестной, отрабатываются
навыки деления следующих 3-х видов:
а) х=а : 0, нет решения (на нуль делить нельзя);
б) х=0 : а, х=0 – один корень, равный нулю;
в) х=0 : 0, б/к много решений.
Рассматриваются и вводятся навыки решения текстовых задач с помощью составления
уравнений, способы задания неизвестной величины с помощью переменной, раскрывается
смысл понятия “уравнение”, отрабатываются навыки уравнения левой и правой частей
данного (высказывания), выражения.
вводится понятие системы двух уравнений с двумя неизвестными. Прослеживается
формулировка навыков решения данной системы с помощью двух способов:
а) подстановки;
б) сложения.
При этом требуются равное овладение и применение учащимися обоих способов решения.
Рассматриваются решение задач с помощью составления систем уравнений. Можно
работать со сборником экзаменационных задач.
Решение квадратных уравнений.
Задается алгоритм решения квадратных уравнений. Основные формулы: дискриминант,
формулы корней квадратно уравнения. Рассматриваются неполные квадратные уравнения,
правила их решения. В этой же теме рассматриваются задачи, решаемые с помощью
составления квадратных уравнений.
. Решение уравнений с модулем.
Вводится понятие модуля числа. Рассматриваются уравнения, решаемые с помощью
понятия “расстояние между двумя точками”, и уравнения, решаемые с помощью
“критических точек”.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ по теме «Решение уравнений с модулем».
Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?
а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.
2.
Решите уравнение |х+3|=7:
а) 7; б) -7; в) 0; 7; г) 7; -7.
3.
Определите координаты точки пересечения графиков функций у=|2х+1|
у=0:
а) (0;0); б) (-0,5;0); в) (0;-0,5); г) (0,5;0).
4.
Решите уравнение |х+3|+|х-1|=6:
а) 3; -2; б) 4; -2; в) -4; 2; г) 2; -3.
5.
Сколько точек пересечения имеют графики функций у=||5,5х-4|+2| и у=3?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
6. Решите уравнение |3х-7|=1-х:
и
а) 2; 3; б) -2; 3; в) -3; 2; г) -2; -3.
7. Сколько решений имеет уравнение (2,5х-5)2=(0,5х-6)2:
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.
Решение дробно-рациональных уравнений.
Основное внимание уделяется нахождению ОДЗ функции. Отрабатываются навыки
освобождения от знаменателя дроби. Рекомендуются решения уравнений из заданий
вступительных экзаменов в ВУЗы центра и Сибири. Рассматриваются задачи на
составление дробно-рациональных уравнений.
Решение уравнений с параметром.
Вводится понятие параметра. Рассматриваются уравнения, содержащие параметр.
Рассматривается аналитический способ, графический способы решения. Выполняются
самостоятельные, контрольные работы.
Решение целых уравнений.
Рассматриваются простейшие целые уравнения, вводится алгоритм решения данных
типов уравнений:
а) деление на х2 и составления соответствующей подстановки;
б) преобразование левой части в произведение двух множителей и соответствующего
составления четырех систем уравнений и запись ответа данного уравнения.
Итоговое занятие. 2 часа
Проводится зачет, выставляются рейтинговые оценки по результатам самостоятельных,
контрольных работ.
I. Фрагмент занятия по теме “Решения уравнения с модулем”:
1. Вспомним определения модуля:
Отметим, что термин “модуль” (от лат. modulus-мера) ввел английский математик Р.
Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в
1841г.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения уравнений:
1. Решите уравнение:
|3х-2|=1
Пользуясь определением модуля, данное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений.а) 3х-2=1
или б) 3х-2= -1
3х=3
3х=1
х=1
х=
Ответ: 1;
2. Решите уравнение:
|2х+1|=32х+1=3
или
2х=2
2х= -4
х=1
х= -2
2х+1= -3
Ответ: 1; -2
3. Решите уравнение:
|6х-3|=2х
В отличие от предыдущего задания в правой части данного уравнения содержится
выражение с переменной.
Таким образом, данное уравнение равносильно системе:
Ответ:
4. Решите уравнение:
|2х-х2+3|=12х-х2+3=1
или 2х-х2+3= -1
-х2+2х+2=0 или -х2+2х+4=0
Ответ:
Упражнение для самостоятельной работы:|х - 2|=0,4
|х+3|=0,7
|3х - 4|=7
|2х+8|=0,7
|х2+2х - 3|=2 |х2 – х – 5 |=1
|5х - 2|=3х
|х – 3|=2х
|х2 – 3х+2|=3
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА по теме «Решение уравнений с модулем»
Решите уравнение |х-3|=7.
Решите графически уравнение |2х+1|=3.
Решите уравнение методом интервалов |х+1|+|х-1|=3.
Решите уравнение методом последовательного раскрытия модулей |-х+2|=2х+1.
Решите уравнение (2х+3)2=(х-1)2.
Решите уравнение самым удобным способом |х2+6х+2|=3|х+2|.
При каком значении а уравнение можно решить, используя геометрическую
интерпретацию модуля: |х-а|+|х-9|=1?
II. “Решение уравнения с параметрами”:
В обыденной жизни мы употребляем слово “параметр” как величину, характеризующую
какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора
(напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.).
В математике параметр-это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое
постоянное значение лишь в условиях данной задачи. Числовые значения этой величины
позволяют выделить определенный элемент (кривую) из множества элементов (кривых)
того же ряда. Например, в уравнении х2+у2=r2 величина r является параметром
окружности.
В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные
значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на
некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно
влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Интересная часть
решения задачи - выявить, как зависит ответ от параметра.
С параметрами мы уже встречались, когда вводили понятие:
функция прямая пропорциональность: у=kx (х и у – переменные, k – параметр, k);
линейная функция: у=kx+b (х и у – переменные, k и b – параметры);
линейное уравнение: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры);
уравнение первой степени: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры, а0);
квадратное уравнение: ax2+bx+c=0 (x – переменная, а,b и с – параметры, а0).
Решить уравнение f(х;а)=0 с параметром а – значит для каждого действительного значения
а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.
Договоримся все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.
Многочлен ах2+bх+с, где а0,а,b,с – действительные числа, называют квадратным
трехчленом.
Уравнение вида ах2+bх+с=0, где а0,а,b,с – действительные числа, называется квадратным.
Число D = b2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена ах2+bх+с, а также
дискриминантом уравнения
ах2+bх+с=0.
Примеры:
1. При каких значениях с уравнение х2+2х+с=0 не имеет корней?
Решение:
х2+2х+с=0
D<0
D=4 - 4c, 4 – 4с<0
4с>4
с>1
Ответ: (1;).
2. При каких значениях k уравнение х2+kх+9=0 имеет корни?
Решение:
х2+kх+9=0
D
D=k2 – 36
k2 – 36
(k – 6) (k+6)
Ответ: (; - 6] U [6; ).
3. Определить все значения параметра а, при котором уравнение 2ах2 – 4(а+1)х+4а+1=0
имеет один корень.
Если а=0, то данное уравнение является линейным -4х+1=0 с единственным корнем х=.
Если а0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при
D=0.
Ответ: 0; - ; 2.
4. Определите, при каких значениях k один из корней уравнения х2+(k – 1)х+k2 – 4=0
равен нулю.
Если свободный член равен нулю, то один из корней уравнения х2+(k – 1)х+k2 – 4=0
будет нулевой.
Следовательно, если k=2 или k= - 2, то данное уравнение имеет один корень, равный
нулю.
Ответ: - 2; 2.