R3-2

3.2. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной(алгебраической) дробью называется функция вида
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
, где
𝑃(𝑥)и 𝑄(𝑥) − многочлены.
Дробь называется правильной, если степень многочлена 𝑃(𝑥) ниже степени
многочлена 𝑄(𝑥);в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими(элементарными) дробями называются дроби следующего
вида:
1.
𝐴
(𝑥 − 𝑎)
2.
𝐴
, 𝑘 − натуральное число, 𝑘 > 1;
(𝑥 − 𝑎)𝑘
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑝2
3. 2
, где
− 𝑞 < 0, т. е. квадратный трехчлен 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞
4
имеет отрицательный дискриминант;
4.
𝐴𝑥 + 𝐵
, 𝑘 − натуральное число, 𝑘 > 1, 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 имеет
2
𝑘
(𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞)
отрицательный дискриминант.
В перечисленных выше выражениях 𝐴, 𝐵, 𝑝, 𝑞, 𝑎 − действительные числа.
Каждая из простейших дробей имеет первообразную в классе элементарных
функций. Рассмотрим интегралы от дробей первых трех типов:
1. ∫
𝐴
𝑑𝑥 = 𝐴 ln|𝑥 − 𝑎| + 𝐶
(𝑥 − 𝑎)
2. ∫
𝐴
𝐴
1
𝑑𝑥
=
−
∙
+𝐶,
(𝑥 − 𝑎)𝑚
𝑚 − 1 (𝑥 − 𝑎)𝑚−1
𝑚 > 1, 𝑚 − натуральное число
1
3. ∫
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑑𝑥 = 𝐼
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
Для вычисления этого интеграла выделим полный квадрат заменителя:
𝑝 2
𝑝2
𝑝2
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑥 + ) + 𝑞 − , где 𝑞 −
= 𝛼2 > 0
2
4
4
2
Положим: 𝑥 +
𝐼=∫
𝑝
= 𝑡, 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡. Тогда,
2
𝐴𝑡 + 𝐵 − 𝐴
𝑡2 + 𝛼2
𝑝
2 𝑑𝑡 = 1 𝐴 ∫ 2𝑡𝑑𝑡 + (𝐵 − 𝐴 𝑝) ∫ 𝑑𝑡 =
2
𝑡2 + 𝛼2
2
𝑡2 + 𝛼2
𝑝
𝐵−𝐴
1
2 ∙ arctg 𝑡 + 𝐶 = 1 𝐴 ln(𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) +
= 𝐴 ln|𝑡 2 + 𝛼 2 | +
2
𝛼
𝛼
2
+
2𝐵 − 𝐴𝑝
√4𝑞 − 𝑝2
arctg
2𝑥 + 𝑝
√4𝑞 − 𝑝2
+ 𝐶.
Замечание. Здесь показан метод интегрирования дробей третьего типа,
который применяется к подобным интегралам по предложенной схеме.
Вычисление интегралов от дробей четвертого типа весьма громоздко и
здесь не рассматривается.
Из алгебры известно, что правильную алгебраическую дробь
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
можно
представить в виде суммы конечного числа простейших алгебраических
дробей. Тип дробей определяется разложением знаменателя 𝑄(𝑥) на
множители вида (𝑥 − 𝑎) и квадратичные множители вида 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 с
отрицательным дискриминантом.
Каждый множитель вида (𝑥 − 𝑎) порождает дробь первого типа
𝐴
. Если
(𝑥−𝑎)
множитель (𝑥 − 𝑎) входит в разложение 𝑄(𝑥) в виде (𝑥 − 𝑎)𝑘 , то в
разложении правильной дроби
𝑃(𝑥)
появляется ровно k дробей первого и
𝑄(𝑥)
𝐴
𝐴2
𝐴𝑘
второго типов, а именно,
,
,
…
,
.
2
(𝑥−𝑎) (𝑥−𝑎)
(𝑥−𝑎)𝑘
Каждый множитель вида 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 порождает дробь третьего типа
2
𝐴𝑥 + 𝐵
.
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
Если же 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 входит в разложение 𝑄(𝑥) в виде (𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘 ,то в
разложении
именно,
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝐴𝑥+𝐵
появляется ровно k дробей третьего и четвертого типов,а
,
𝐴2 𝑥+𝐵2
𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞 (𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞)
2,…,
𝐴𝑘 𝑥+𝐵𝑘
(𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞)𝑘
.
Коэффициенты разложения 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐵1 , 𝐵𝑘 находят по методу
неопределенных коэффициентов, применение которого будет показано на
примерах.
На основании изложенного выше следует, что всякая правильная дробь
имеет первообразную в классе элементарных функций.
Если
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
- неправильная рациональная дробь, то путем деления многочлена
на многочлен её можно представить в виде
𝐿(𝑥) −многочлен,а
𝑃1 (𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝐿(𝑥 ) +
𝑃1 (𝑥)
𝑄(𝑥)
, где
− правильная рациональная дробь.
Так как 𝐿(𝑥) интегрируется непосредственно, а
𝑃1 (𝑥)
𝑄(𝑥)
интегрируется путем
разложения на простейшие дроби, то можно сформулировать следующее
утверждение:
Рациональные дроби образуют класс функций, интегралы от которых всегда
выражаются через элементарные функции.
Интегрирование рациональных дробей проводится по следующей схеме.
1.Если
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
− неправильная дробь, то её представляют в виде суммы целой
части и правильной дроби.
2.Знаменатель 𝑄(𝑥) раскладывают на линейные и квадратичные множители.
3.Правильную дробь раскладывают на простейшие дроби и интегрируют
полученные выражения.
3
Пример 1.Найти интеграл ∫
2𝑥 4 −𝑥 2 +1
𝑥 3 −𝑥
𝑑𝑥.
Решение. Выделим целую часть неправильной рациональной дроби:
2𝑥 4 − 𝑥 2 + 1
𝑥2 + 1
= 2𝑥 + 3
.
𝑥3 − 𝑥
𝑥 −𝑥
Разложим знаменатель полученной дроби на множители
𝑄(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1). Так как в разложении присутствуют три различных
множителя, то правильная дробь
𝑥 2 +1
𝑥 3 −𝑥
представляется в виде суммы трех
дробей первого типа:
𝑥 2 +1
𝑥 3 −𝑥
𝐴
𝐵
𝑥
𝑥−1
= +
+
𝐶
, где 𝐴, 𝐵, 𝐶 − неопределенные коэффициенты, которые
𝑥+1
надо найти.
Для этого приводим дроби в правой части равенства к общему знаменателю.
Из равенства знаменателей дробей в левой и правой частях равенства
следует тождественное равенство числителей этих дробей, а именно,
𝑥 2 + 1 = 𝐴(𝑥 2 + 1) + 𝐵(𝑥 2 + 𝑥) + 𝐶(𝑥 2 − 𝑥) или 𝑥 2 + 1 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥 2 +
+(𝐵 − 𝐶)𝑥 − 𝐴.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 𝑥 в обеих частях
тождества, получим систему уравнений для неизвестных коэффициентов
𝐴, 𝐵, 𝐶.
𝐴+𝐵+𝐶 =1
{ 𝐵−𝐶 =0
𝐴 = −1
Откуда, 𝐴 = −1, 𝐵 = 1, 𝐶 = 1. Тогда,
𝐼 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+∫
+∫
=
𝑥
𝑥−1
𝑥+1
𝑥2 − 1
= 𝑥 − ln|𝑥| + ln|𝑥 − 1| + ln|𝑥 + 1| + 𝐶 = 𝑥 + ln |
| + 𝐶.
𝑥
2
2
𝑥 2 −2𝑥
Пример 2. Найти интеграл 𝐼 = ∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)(𝑥 2 +1)
4
Решение. Подынтегральная функция – правильная алгебраическая дробь,
знаменатель которой представлен в виде произведения линейного и
квадратичного множителя. Следовательно , имеет место равенство:
𝑥 2 − 2𝑥
𝐴𝑥 + 𝐵
𝐶
=
+
.
(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1) 𝑥 2 + 1 𝑥 − 1
Приводим правую часть к общему знаменателю и приравняем числители
𝑥 2 − 2𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥 2 + 1) или
𝑥 2 − 2𝑥 = (𝐴 + 𝐶)𝑥 2 + (𝐵 − 𝐴)𝑥 − 𝐵 + 𝐶.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 𝑥 слева и справа,
получим систему:
𝐴+𝐶 =1
{𝐵 − 𝐴 = −2
𝐶−𝐵 =0
3
1
1
2
2
2
Решив эту систему, имеем 𝐴 = , 𝐵 = − , 𝐶 = − .
Таким образом,
1 3𝑥 − 1
1
𝑑𝑥
3
𝑥𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
1
𝐼= ∫ 2
𝑑𝑥 − ∫
= ∫ 2
− ∫ 2
− ln|𝑥 − 1| =
2 𝑥 +1
2 𝑥−1 2 𝑥 +1 2 𝑥 +1 2
3
1
1
= ln(𝑥 2 + 1) − arctg 𝑥 − ln|𝑥 − 1| + 𝐶
4
2
2
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интегралы:
1. ∫
𝑑𝑥
(3𝑥 − 1)4
2. ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)
3. ∫
𝑥−2
𝑑𝑥
𝑥 2 − 4𝑥 + 7
5
4. ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥 2 + 2)
5. ∫
𝑥+2
𝑑𝑥
𝑥(𝑥 − 3)
Ответы:
1
+С.
9(3𝑥 − 1)3
1 𝑥−3
2. ln |
|+𝐶.
7 𝑥+4
1
3. ln(𝑥 2 − 4𝑥 + 7) + 𝐶 .
2
1
𝑥2
4. ln 2
+𝐶.
4 𝑥 +2
1. −
2
5
5. − ln|𝑥| + ln|𝑥 − 3| + 𝐶 .
3
3
=====
6