Экзаменационные вопросы для поступающих - Out

1
Экзаменационные вопросы для поступающих
в магистратуру по направлению 510100 (010200)
«МАТЕМАТИКА. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА».
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть 1. Основные вопросы.
1. Определение непрерывности функции в точке; непрерывность отображения Rm в Rn, доказать эквивалентность определений непрерывности по Коши и по Гейне при m=n=1.
2. Дифференцируемость отображения Rm в Rn в точке, производное
отображение. Якобиева матрица, частные производные. Достаточное
условие дифференцируемости (с доказательством).
3. Дифференциал и якобиева матрица композиции двух дифференцируемых отображений. Инвариантность формы первого дифференциала.
4. Теорема о существовании, непрерывности и дифференцируемости
неявно заданной функции (с доказательством). Обобщение теоремы
на случай системы неявно заданных функций (фомулировка).
5. Необходимые условия существования экстремума функции n переменных. Достаточные условия существования экстремума (с доказательством).
6. Числовые ряды, критерий сходимости Коши (с доказательством).
Сравнение свойств абсолютно и условно сходящихся рядов. Теорема
Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда (с доказательством).
7. Интеграл Римана (в одномерном и многомерном случае). Критерии
интегрируемости Дарбу (с доказательством) и Лебега (формулировка). Классы интегрируемых функций.
8. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда. Признак Вейерштрасса. Теоремы о свойствах предельной функции (доказать теорему о ее непрерывности). Теорема
Дини (формулировка).
9. Степенные ряды. Круг сходимости. Вывод формулы Адамара-Коши.
Теоремы Абеля (с доказательствами).
10.Ряд Фурье. Интеграл Дирихле. Принцип локализации Римана. Достаточные условия представимости функции рядом Фурье (формулировка).
11.Поверхностный интеграл второго рода: определение, свойства и сведение к двойному интегралу. Теоремы Гаусса-Остроградского (с доказательством) и Стокса (без доказательства).
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
2
1. Основные свойства функций, непрерывных на компакте. Лемма
Больцано-Вейерштрасса.
2. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
3. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
4. Формула Тейлора для функции одной и нескольких переменных.
5. Теорема о перемене порядка двух интегрирований.
6. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Признаки сравнения для
сходимости и расходимости несобственных интегралов.
7. Определение и основные свойства криволинейного интеграла 1 рода.
8. Криволинейный интеграл 2-го рода. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
9. Определение и основные свойства поверхностного интеграла 1 рода.
10.Основные операции теории поля: градиент, дивергенция, ротор.
АЛГЕБРА
Часть 1. Основные вопросы.
1. Определение линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Основные свойства линейной зависимости. Система образующих линейного пространства. Теорема о существовании базиса (с доказательством, допустимо доказательство для случая
существования конечной системы образующих). Теорема о равномощности базисов конечномерного пространства (с доказательством). Основные свойства базиса. Размерность линейного пространства.
2. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы (с доказательством, лемма
об элементарных преобразованиях матрицы - без доказательства).
Теорема Кронекера - Капелли (с доказательством). Нахождение ранга
матрицы с помощью миноров (с доказательством). Теорема о необходимом и достаточном условии равенства определителя нулю (с доказательством).
3. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Необходимое и достаточное условие существования
у линейного оператора диагональной матрицы. Достаточное условие
существования у линейного оператора диагональной матрицы. (Все
теоремы с доказательствами).
4. Нормальная форма Жордана матрицы линейного оператора. Определение и свойства корневых подпространств. Теорема о разложении
линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств
(без доказательства). Построение базиса Жордана для линейного оператора, имеющего единственное собственное значение (с доказатель-
3
ством). Построение базиса Жордана для произвольного линейного
оператора.
5. Классы линейных операторов, действующих на унитарных и евклидовых пространствах. Свойства нормальных операторов (с доказательствами). Теоремы о каноническом виде матрицы нормального
оператора на унитарном пространстве (с доказательством) и на евклидовом пространстве (без доказательства). Свойства корней характеристического уравнения для унитарного, ортогонального и самосопряженного операторов (доказательство для унитарного пространства). Теоремы о канонических видах матриц этих операторов на
унитарных и евклидовых пространствах (с доказательствами).
6. Билинейные и квадратичные формы. Матрица билинейной и квадратичной формы. Ранг формы. Эквивалентность форм. Свойства эрмитовых и симметрических форм (с доказательствами). Приведение эрмитовых и симметрических форм к диагональному виду унитарным
(ортогональным) оператором (с доказательством).
7. Классификация эрмитовых и симметрических квадратичных форм по
знаку. Нормальный вид этих форм. Закон инерции (с доказательством). Теорема о зависимости типа квадратичной формы от ее инвариантов (с доказательством). Формулировка критерия Сильвестра.
Приведение симметрической квадратичной формы к диагональному
и нормальному видам методом Лагранжа.
8. Смежные классы группы по подгруппе, их свойства (с доказательствами). Определение факторгруппы (с доказательством его корректности). Определение и свойства изоморфизма и гомоморфизма групп.
Основная теорема о гомоморфизме групп (с доказательством).
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Подстановки. Определение симметрической группы.
2. Определение определителя. Свойства определителя.
3. Разложение определителя по строке или столбцу.
4. Теорема Лапласа.
5. Основная теорема об изоморфизме линейных пространств.
6. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.
7. Структура общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.
8. Структура общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
9. Определение и свойства произведения матриц.
10.Ранг произведения матриц.
11.Определитель произведения квадратных матриц.
4
12.Обратная матрица: необходимое и достаточное условие для ее существования, вид элементов обратной матрицы.
13.Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
14.Матрица линейного оператора.
15.Сумма подпространств. Размерность суммы подпространств.
16.Прямая сумма подпространств.
17.Инвариантное подпространство. Индуцированный линейный оператор. Вид матрицы линейного оператора при существовании разложения пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.
18.Матрица перехода от одного базиса к другому базису. Связь матриц
линейного оператора в разных базисах.
19.Теорема Гамильтона-Кэли.
20.Определение и общие свойства унитарных и евклидовых пространств. Неравенство Коши-Буняковского.
21.Основная теорема об изоморфизме унитарных и евклидовых пространств.
22.Теорема о виде линейного функционала на унитарном пространстве.
23.Определение сопряженного оператора. Свойства сопряженного оператора. Матрица сопряженного оператора.
24.Наибольший общий делитель двух многочленов и его основное
свойство.
25.Теорема Безу и следствие из нее.
26.Формулы Виета.
27.Алгебраически замкнутое поле: определение, основное свойство.
Основная теорема алгебры.
28.Теоремы о существовании и единственности разложения многочлена
в произведение неприводимых многочленов. Разложение многочлена
в произведение неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел.
29.Определения основных алгебраических систем: полугруппы, моноида, группы, кольца, поля.
30.Характеристика поля.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Часть 1. Основные вопросы.
1. Аффинная классификация поверхностей второго порядка (с подробным изложением для трехмерного случая).
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Определения, основные свойства и геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.
2. Различные виды уравнений прямой и плоскости.
5
3. Канонические уравнения и основные свойства кривых второго порядка.
4. Канонические уравнения и основные свойства поверхностей второго
порядка в трехмерном евклидовом пространстве.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
Часть 1. Основные вопросы.
1. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности.
Понятие о внутренней геометрии поверхности.
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Определение кривой. Длина кривой. Натуральная параметризация
кривой. Геометрическая интерпретация кривизны и кручения кривой.
Натуральные уравнения кривой.
2. Криволинейные координаты на поверхности.
3. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна кривой на поверхности. Главные направления. Классификация точек поверхности по полной гауссовой кривизне.
4. Линии кривизны, геодезические линии.
5. Определение топологического пространства.
6. Топология, определяемая метрикой.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Часть 1. Основные вопросы.
1. Производная функции комплексного переменного. Условия КошиРимана. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Определение голоморфной функции.
2. Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими
конформные отображения. Простейшие многозначные функции.
Примеры.
3. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру (привести доказательство при дополнительных предположениях о непрерывности
производной рассматриваемой функции и жордановом контуре).
4. Интегральная формула Коши. Теорема о разложении функции в ряд
Тейлора (без доказательства).
5. Ряд Лорана. Теорема о разложении функции в ряд Лорана (без доказательства). Изолированные особые точки и их классификация. Необходимые и достаточные условия существования устранимой особой точки, полюса и существенно особой точки (доказательство для
случая устранимой особой точки). Теорема о порядке полюса (без
доказательства).
6. Вычеты. Теорема о вычетах для ограниченной области (Примеры).
6
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Часть 1. Основные вопросы.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (формулировка,
единственность - с доказательством).
2. Линейное однородное дифференциальные уравнение n-го порядка.
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
(без доказательства). Свойства определителя Вронского (с доказательством). Формула общего решения (с доказательством).
3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка.
Построение частного решения методом вариации постоянных (с доказательством).
4. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с
постоянными коэффициентами. Общее решение (случай простых
корней характеристического уравнения — с доказательством, случай
кратных корней — без доказательства). Частное решение неоднородного
уравнения
для
правой
части
вида
ex ( P(x) cos x  Q(x) sin x) , где  ,  R , а P(x ), Q(x ) — многочлены (случай     0 с доказательством, остальные случаи без
доказательства).
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Указать общий вид и метод решения следующих типов дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися
переменными, однородного уравнения, линейного уравнения, уравнения Бернулли, уравнения Риккати, уравнения в полных дифференциалах.
2. Дать определения и указать условия существования следующих типов особых точек автономных систем на плоскости: узел (включая
вырожденный и дикритический); фокус; седло; центр.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Часть 1. Основные вопросы.
1. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом
преобразования Фурье. Ядро Пуассона.
2. Принцип максимума для решения уравнения теплопроводности в
ограниченной области.
3. Метод Фурье (разделения переменных) для решения уравнения колебаний струны. Собственные функции и собственные значения. Сходимость рядов, определяющих решение (без доказательства).
4. Принцип максимума для гармонических функций и его следствия.
7
5. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона (с
применением теоремы Рисса).
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Характеристики волнового уравнения. Задача Коши. Энергетическая
оценка и ее следствия (без доказательства).
2. Основные свойства гармонических функций: теорема о потоке тепла,
необходимое условие разрешимости задачи Неймана, теоремы о
среднем, теорема об устранимой особенности (без доказательства).
3. Обобщенные производные по Соболеву и их свойства.
4. Простейшие пространства Соболева и их нормировки.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Часть 1. Основные вопросы.
1. Меры на полукольцах и кольцах. Лебегово продолжение меры. Основные свойства меры.
2. Измеримые функции и их основные свойства. Теорема Егорова.
3. Определение интеграла Лебега и его простейшие свойства.
4. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Лебега о предельном переходе (с доказательством). Теорема Фубини (без доказательства).
5. Линейные непрерывные функционалы. Линейные операторы. Компактные операторы и их свойства.
6. Пространство суммируемых функций L2 , его полнота (с доказательством). Сходимость в среднем квадратичном, ее связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей. Слабая сходимость.
7. Гильбертово пространство: ортонормированные системы, существование базиса (с доказательством). Примеры гильбертовых пространств. Общий вид линейного непрерывного функционала на гильбертовом пространстве, теорема Рисса (с доказательством).
8. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. Теоремы Фредгольма
для уравнений с вырожденным ядром (с доказательствами). Теоремы
Фредгольма для уравнений с непрерывным ядром (без доказательств).
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Теорема Хана-Банаха.
2. Теорема Банаха о замкнутом графике и об обратном операторе.
3. Теорема Банаха-Штейнгауза.
4. Абсолютно непрерывные функции и их свойства.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Часть 1. Основные вопросы.
8
1. Вывод уравнения Эйлера для классического функционала.
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств).
1. Основные понятия вариационного исчисления: функционал, приращение функционала, вариация функционала. Необходимое условие
экстремума функционала (принцип Ферма). Основные леммы вариационного исчисления.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть 1. Основные вопросы.
1. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Условная вероятность и независимость событий.
2. Нормальное распределение и его основные свойства; математическое
ожидание и дисперсия нормального распределения.
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Классическое определение вероятности.
2. Схема Бернулли. Биноминальное распределение.
3. Случайные величины. Определение и свойства функции распределения. Непрерывные случайные величины, плотность распределения и
ее свойства.
4. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины: определения и основные свойства.
5. Равномерное распределение и его основные свойства.
6. Распределение Пуассона и его основные свойства.
7. Неравенство Чебышева.
8. Закон больших чисел в форме Чебышева.
9. Центральная предельная теорема в форме Чебышева.
10.Теорема Бернулли.
11.Многомерные случайные величины и их функции распределения.
12.Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин.
13.Математическое ожидание суммы и произведения случайных величин. Дисперсия суммы случайных величин.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Часть 2. Дополнительные вопросы (без доказательств)
1. Интерполяционная формула Лагранжа.
2. Метод Ньютона приближенного нахождения корней уравнения
f(x)=0.
3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
4. Понятие об итерационных методах решения систем линейных уравнений.