Алгебра - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ПЛАТОНОВ М. Л.
АЛГЕБРА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
НАПРАВЛЕНИЯ 01.03.03 «МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ «МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ»
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2014
2
Платонов М. Л. Алгебра. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для
студентов очной формы обучения по направлению 01.03.03 «Механика и
математическое моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости, газа и
плазмы». Тюмень, 2014, 85 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с
учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ:
Алгебра [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено директором института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В. Н., д.ф.-м.н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2014
© Платонов М. Л., 2014
1.
Пояснительная записка.
1.1.
Цели и задачи дисциплины.
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы общей и
линейной алгебры.
Работа над материалом учебной дисциплины позволяет реализовать следующие цели и
задачи:
1.1.1. Цели преподавания дисциплины.
Цели преподавания учебной дисциплины можно сформулировать следующим
образом:
 Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в
соответствии
с
требованиями
федерального
государственного
образовательного стандарта высшего образования и учебному плану по
направлению 01.03.03 «Механика и математическое моделирование».
 Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам
решения задач общей и линейной алгебры;
 Формирование теоретических знаний и практических навыков решения
задач, необходимых в дальнейшей учебной и последующей
профессиональной деятельности;
 Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта
творческой и исследовательской деятельности, необходимого для решения
научных задач теоретического и прикладного характера;
 Повышение интеллектуального уровня;
 Формирование научного мировоззрения, математического мышления,
представлений о значимости математики как части современной
человеческой культуры, в развитии цивилизации, о математике как форме
описания и методе познания действительности.
1.1.2. Задачи изучения дисциплины.
Основными задачами изучения дисциплины являются:
 Изучить материал учебной дисциплины;
 Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения
материала учебной дисциплины;
 Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и
практических задач различных видов и уровней сложности;
 Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения
фактов и результатов;
 Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний,
широкому их использованию в практической и будущей профессиональной
деятельности.
 Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2.
Место дисциплины в структуре образовательной программы.
Дисциплина “Алгебра” относится к базовой части цикла Б1.
К изучению материала дисциплины «Алгебра» можно приступить, обладая базовыми
знаниями, умениями и навыками, приобретёнными при изучении дисциплины
«Алгебра» в общеобразовательной школе.
Освоение дисциплины “Алгебра” позволяет успешно осваивать другие дисциплины:
Теоретическая и прикладная механика, Основы численных методов, Математический
анализ, Дифференциальные уравнения, Дифференциальная геометрия и топология,
Функциональный анализ, Комплексный анализ, Уравнения математической физики,
Основы механики сплошной среды.
3
Таблица 1.
№
п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.
2.
3
4
5
6
7
8
10
Теоретическая и прикладная механика
Основы численных методов
Математический анализ
Дифференциальные уравнения
Дифференциальная геометрия и топология
Функциональный анализ
Комплексный анализ
Уравнения математической физики
Основы механики сплошной среды
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3.1 1.3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Таблица 1 (продолжение).
№
п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1.
2
3
4
5
6
7
9
Основы численных методов
Математический анализ
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2 семестр
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3.1 2.3.2
+
+
+
+
Дифференциальные уравнения
+
Дифференциальная геометрия и топология
Функциональный анализ
+
+
+
+
+
+
Векторный и тензорный анализ
Уравнения математической физики
Основы механики сплошной среды
+
+
4
1.3.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать общекультурными,
общепрофессиональными и профессиональными компетенциями:
1.3.1. Выпускник,
освоивший
ОП
должен
обладать
следующими
общепрофессиональными компетенциями (ОПК):
1.3.1.1. готовностью использовать фундаментальные знания в области
теоретической и прикладной механики, механики сплошной среды,
математического анализа, комплексного и функционального анализа,
алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и
топологии, дифференциальных уравнений, численных методов, теории
вероятностей, математической статистики и случайных процессов в
будущей профессиональной деятельности (ОПК-2).
1.3.2. Выпускник, освоивший ОП должен обладать следующими профессиональными
компетенциями (ПК):
Научно-исследовательская деятельность:
1.3.2.1. способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат,
увидеть следствия полученного результата (ПК-3).
1.4.
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю).
В результате освоения материала учебной дисциплины «Алгебра» студент
должен
знать:
 сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
 основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
 основные методы решения задач линейной и общей алгебры, целые и
комплексные числа, многочлены над произвольным полем, вычисление корней
многочлена, алгебраические уравнения, определители, общую теорию систем
линейных уравнений, действия над матрицами, квадратичные формы, дробнорациональные функции, основы теории групп, векторные пространства,
линейные отображения и операторы, евклидовы и унитарные пространства,
алгебры.
уметь:
 самостоятельно использовать теоретические и практические знания для
решения задач различных типов и различных уровней сложности, как в рамках
изучаемой дисциплины, так и в других дисциплинах, использующих материалы
данной дисциплины;
 анализировать полученные результаты.
владеть:
 символикой изучаемой дисциплины;
 терминологией изучаемой дисциплины;
 навыками практического использования математического аппарата дисциплины

для решения различных задач, возникающих в дальнейшей учебной и
профессиональной деятельности;
навыками научного творчества.
5
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр первый. Форма промежуточной аттестации – экзамен.
Семестр второй. Форма промежуточной аттестации – экзамен.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц – 324
академических часа, из них 190,2 часа, выделенных на контактную работу с
преподавателем, 133,8 часа, выделенных на самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Всего часов
Контактная работа
Аудиторные занятия (всего)
190,2
180
Таблица 2.
Семестры
1
2
76,65
113,55
72
108
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛЗ)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Общая трудоемкость
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
час
зач. ед.
90
90
36
36
54
54
10,2
133,8
4,65
67,35
5,55
66,45
324
9
144
4
экзамен
180
5
экзамен
6
3.
Тематический план.
Таблица 3.
Лекции
Семинарские
(практические) занятия
Самостоятельная работа*
Итого часов по теме
3
4
5
7
8
1
2-3
4-6
2
4
6
12
2
4
6
12
6
9
9
24
10
17
21
48
3
0-10
3
0-10
3
0-15
9
0-35
7-8
4
4
12
20
3
0-10
9-10
11-12
4
4
12
4
4
12
6
6
24
14
3
0-10
14
3
0-10
48
9
0-30
13-15
6
6
8
20
6
0-20
16-18
6
12
6
12
16
24
28
6
0-15
48
12
0-35
Итого за семестр 1 (часов, баллов)*:
36
36
72
144
30
0-100
Из них часов в интерактивной форме:
18
12
№
Тема
1
2
Семестр 1
Модуль 1.1
Группы. Аддитивная группа вычетов.
Кольца. Кольцо вычетов.
Поля. Поле комплексных чисел.
Всего по модулю 1.1*:
Модуль 1.2
Введение в теорию линейных
пространств.
Алгебры. Алгебра матриц.
Детерминанты.
Всего по модулю 1.2*:
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.2.1
1.2.2
1.2.3
Итого количество баллов
Недели семестра
Виды учебной работы
и
самостоятельная работа, в час.
Из них в интерактивной форме
Тематический план
(1 семестр)
9
Модуль 1.3
1.3.1
1.3.2
Решение
систем
линейных
алгебраических уравнений.
Кольцо полиномов.
Всего по модулю 1.3*:
* - с учётом иных видов работ
7
Таблица 3 (продолжение).
Модуль 2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3.1
2.3.2
Линейное
пространство
над
произвольным полем.
Евклидовы и унитарные пространства.
Линейные операторы и функционалы.
Всего по модулю 2.1*:
Модуль 2.2
Канонический
вид
линейных
операторов
(жорданова
форма,
симметрические, ортогональные и
унитарные операторы).
Линейные
нормированные
пространства.
Группы
преобразований
и
классификация движений.
Всего по модулю 2.2*:
Модуль 2.3
Билинейные и квадратичные формы.
Тензорная алгебра.
Всего по модулю 2.3*:
Всего семестр 2 (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме:
Итого за 1 и 2 семестры:
3
4
5
7
8
1-2
6
6
6
18
3
0-13
3-4
5-6
6
6
18
6
6
18
9
9
24
21
21
60
3
0-13
3
0-14
9
0-40
7-8
6
6
6
18
3
0-15
9-10
6
6
9
21
3
0-10
11-12
6
6
9
21
3
0-10
18
18
24
60
9
0-35
9
9
18
54
18
9
9
18
54
12
8
16
24
72
26
34
60
180
6
0-15
6
0-10
12
0-25
68
0-100
90
90
144
13-15
16-18
Итого количество баллов
n
Итого часов по теме
2
Семестр 2
Самостоятельная работа*
1
Семинарские
(практические) занятия
Тема
Лекции
№
Недели семестра
Виды учебной работы
И
самостоятельная работа, в час.
Из них в интерактивной форме
Тематический план
(2 семестр)
9
30
324
60
* - с учётом иных видов работ.
8
4.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
Таблица 4.
1 семестр
Устный опрос
Письменные работы
коллоквиумы
собеседование
ответ на семинаре
контрольная работа
Итого количество
баллов
0-5
0-5
0-2
0-2
0-2
0-6
0-4
0-4
0-4
0-12
0-4
0-4
0-4
0-12
0-10
0-10
0-15
0-35
0-2
0-3
0-2
0-7
0-4
0-7
0-4
0-15
0-4
0-5
0-4
0-13
0-10
0-15
0-10
0-35
0-3
0-2
0-5
0-18
0-7
0-4
0-11
0-38
0-5
0-4
0-9
0-34
0-15
0-15
0-30
0-100
№ темы
Семестр 1
Модуль 1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3
Всего
Модуль 1.2
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
Всего
Модуль 1.3
1.3.1.
1.3.2.
Всего
Итого семестр 1
0-5
0-5
0-10
2 семестр
Таблица 4 (продолжение).
Устный опрос
Письменные работы
коллоквиумы
собеседование
ответ на семинаре
контрольная работа
Итого количество
баллов
0-4
0-4
0-2
0-2
0-1
0-5
0-6
0-6
0-5
0-17
0-5
0-5
0-4
0-14
0-13
0-13
0-14
0-40
0-3
0-2
0-2
0-7
0-7
0-4
0-4
15
0-5
0-4
0-4
0-13
0-15
0-10
0-10
0-35
0-2
0-2
0-4
0-16
0-4
0-4
0-8
0-40
0-4
0-4
0-8
0-35
0-15
0-10
0-25
0-100
№ темы
Семестр 2
Модуль 2.1
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
Всего
Модуль 2.2
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
Всего
Модуль 2.3
2.3.1.
2.3.2.
Всего
Итого семестр 2
0.5
0-5
0-9
9
5.
Содержание дисциплины.
В этом разделе материал структурирован на достаточно мелкие порции, так что
каждый пронумерованный пункт одновременно является и вопросом для
подготовки к экзамену.
Семестр 1
МОДУЛЬ 1.1
Тема №1.1.1. Группы. Аддитивная группа вычетов.
Алгебраическая операция.
1. Декартово произведение множеств.
2. Понятие алгебраической операции (внутренней композиции).
Коммутативные
и
ассоциативные
алгебраические
операции.
Нейтральный и симметричный элементы относительно алгебраической
операции и теоремы об их единственности. Определение операции,
обратной к алгебраической. Дистрибутивные алгебраические операции.
Группа.
3. Определение группы и общепринятые обозначения группы. Абелевы
группы.
4. Мультипликативное и аддитивное задание группы. Сходство и различие
в основной терминологии.
5. Перестановки и мультипликативная группа подстановок;
6. Аддитивная группа вычетов;
7. Циклические группы; разложение группы на смежные классы по
подгруппе; теорема Лагранжа.
8. Понятие о инъективном, сюръективном и биективном отображениях.
Определение изоморфизма групп.
Тема №1.1.2. Кольца. Кольцо вычетов.
9. Определение кольца. Анализ аксиом кольца. Свойства кольца
относительно алгебраической операции сложения, относительно
алгебраической операции умножения. Аксиома дистрибутивности.
10.Коммутативное кольцо и кольцо с единицей. Свойства кольца. Понятие о
делителях нуля. Изоморфизм колец.
11.Кольцо вычетов
Тема №1.1.3. Поля. Поле комплексных чисел.
12.Определение поля, свойства поля.
13.Примеры полей.
10
14.Поле комплексных чисел. Равенство, сумма и произведение
комплексных чисел.
15.Представление комплексных чисел через мнимую единицу.
16.Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства.
17.Комплексная плоскость и сложение комплексных чисел на плоскости.
18.Комплексные числа в тригонометрической форме. Модуль и аргумент
комплексного числа. Свойства аргумента. Равенство комплексных чисел,
заданных в тригонометрической форме.
19.Неравенство треугольника на комплексной плоскости.
20.Умножение
и
деление
комплексных
чисел,
заданных
в
тригонометрической форме.
21.Формула Муавра возведения комплексных чисел в целую степень.
22.Вычисление корней из комплексного числа. О возведении комплексного
числа в рациональную степень.
МОДУЛЬ 1.2
Тема №1.2.1. Введение в теорию линейных пространств.
23.Определение вещественного линейного пространства (векторное
пространство), аксиомы внутреннего и внешнего законов композиции.
Понятие разности элементов (векторов) пространства.
24.Классические примеры линейных пространств.
25.Тривиальные и нетривиальные линейные комбинации элементов
(векторов). Понятие линейной зависимости и независимости векторов.
26.Теорема о связи линейной независимости системы векторов с
единственностью разложения линейно-зависимого вектора по этой
системе.
Тема №1.2.2. Алгебры. Алгебра матриц.
27.Матрицы. Определение, основные понятия и обозначения.
28.Равные матрицы. Противоположные матрицы. Операция сложения
матриц и ее свойства. Вычитание матриц.
29.Операция произведения матриц на число и ее свойства.
30.Операция произведения матриц и ее свойства.
31.Операция транспонирования матриц и ее свойства.
32.Матрицы специального вида.
33.Элементарные преобразования матриц и матрицы, соответствующие
элементарным преобразованиям. Трапециевидная матрица. Основные
теоремы об элементарных преобразованиях матриц.
11
Тема №1.2.3. Детерминанты.
34.Определитель. Основное определение определителя. Вычисление
определителя треугольной матрицы по определению.
35.Свойства определителя и доказательство одного из них.
36.Понятие минора и его алгебраического дополнения.
37.Теорема Лапласа о разложении определителя по минорам
произвольных k строк (столбцов). Частный случай разложения
определителя по произвольной строке (столбцу)
38.Теоремы о вычислении определителя квазидиагональной матрицы и
определителя произведения матриц.
39.Вычисление определителя методом Гаусса.
40.Доказательство теоремы о «фальшивом » разложении определителя
41.Понятие об обратной, вырожденной и присоединенной матрицах.
Свойства обратной матрицы.
42.Критерий обратимости матрицы и ее вычисление с помощью
присоединенной матрицы (доказательство теоремы.)
43.Определение сопряженной матрицы и свойства операции сопряжения
матриц.
44.Понятие эрмитовой и унитарной матриц. Вычисление матрицы,
обратной к унитарной матрице.
45.Теорема о приведении невырожденной матрицы к единичной матрице.
46.Решение систем алгебраических уравнений с невырожденной матрицей
методом обратной матрицы и методом Жордана.
47.Понятие о ранге матрицы и базисном миноре. Теорема о базисном
миноре.
48.Теоремы о ранге матрицы. Теоремы о преобразованиях матрицы, не
меняющих ее ранг.
49.Теоретическая основа метода Гаусса вычисления ранга.
50.Понятие о эквивалентных матрицах и о необходимом и достаточном
условии их эквивалентности.
51.Понятие о базисе линейного пространства. Теореме о необходимом и
достаточном признаке базиса. Размерность пространства.
52.Понятие о конечномерном и бесконечномерном линейных
пространствах.
53.Базис и координаты вектора. Сложение векторов и умножение вектора
на число в координатной форме.
12
54.Два базиса n-мерного пространства и матрицы взаимного
преобразования базисов. Связь координат вектора, заданного в двух
базисах.
55.Понятие о линейном подпространстве и линейном многообразии.
56.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
МОДУЛЬ 1.3
Тема №1.3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
57.Система линейных алгебраических уравнений. Основные понятия и
формы записи.
58.Эквивалентные преобразования системы уравнений. Теорема об
умножении системы Ax  b на невырожденную матрицу. Произвольная
невырожденная матрица как произведение матриц элементарных
преобразований.
59.Решение систем уравнений с невырожденной матрицей методом
Крамера и с помощью обратной матрицы.
60.Алгебраические системы уравнений общего вида. Теорема КронекераКапели.
61.Однородные алгебраические системы.
62.Главные и свободные неизвестные алгебраической системы общего
вида и техника получения всех решений.
63.Общее решение системы уравнений. Однородные системы линейных
уравнений и их свойства.
64.Метод Гаусса исследования и решения системы линейных уравнений.
Тема №1.3.2. Кольцо полиномов.
65.Кольцо многочленов.
66.Деление многочленов с остатком; теорема Безу.
67.Корни многочлена, их кратность. Формулы Виета связи корней и
коэффициентов многочлена.
68.Наибольший общий делитель многочленов и алгоритм Евклида его
нахождения.
Семестр 2
МОДУЛЬ 2.1
Тема №2.1.1. Линейное пространство над произвольным полем.
69.Определение линейного (векторного) пространства над произвольным
полем.
13
70.База и ранг системы векторов. Базис линейного пространства.
71.Примеры: рациональное, вещественное и комплексное пространства.
72.Пример: поле вычетов по модулю два (состоит всего из двух элементов:
0,1).
73.Пример: Множество М состоит из n элементов. На нем строится
множество S всех его подмножеств. На множестве S вводится операция
сложения двух элементов
как объединение соответствующих
подмножеств с удалением из него пересечения этих подмножеств.
Внешняя композиция задается над полем вычетов по модулю два по
правилу: умножение на 0 дает нулевой элемент, а умножение на 1 не
меняет элемент. Показать, что множество S относительно введенных
операций является полем.
74.Определение изоморфизма пространств над общим полем.
75.Линейное подпространство над произвольным полем, его размерность.
Сумма и пересечение линейных подпространств и их размерности.
76.Понятие прямой суммы подпространств и критерии прямой суммы.
Тема №2.1.2. Евклидовы и унитарные пространства.
77.Определение скалярного произведения в вещественном или
комплексном пространствах. Аксиомы скалярного произведения.
Скалярное произведение в вещественном пространстве – частный
случай скалярного произведения в комплексном пространстве.
78.Определение евклидова и унитарного пространств. Примеры таких
пространств.
79.Неравенство Коши-Буняковского.
80.Неравенства треугольника.
81.Определение матрицы Грама и её свойства.
82.Вычисление скалярного произведения векторов при наличии базиса
евклидова (унитарного) пространства с помощью матрицы Грама.
83.Определение изоморфизма евклидовых (унитарных) пространств.
84.Ортогональные
векторы.
Линейная
независимость
системы
ортонормированных векторов.
Базис евклидова (унитарного)
пространства.
85.Вычисление координат вектора в пространстве с ортонормированным
базисом. Вычисление скалярного произведения.
86.Теорема
о
существовании
ортонормированного
базиса
в
конечномерном пространстве и процесс ортогонализации Шмидта.
14
Тема №2.1.3. Линейные операторы и функционалы.
87.Определение линейного оператора, действующего из пространства V в
пространство W, заданных над общим полем. Свойства линейного
пространства: сохранение нулевого элемента, сохранение линейной
комбинации и сохранение линейной независимости.
88.Примеры линейных операторов: оператор проектирования, оператор
отражения, нулевой оператор, единичный оператор, оператор
дифференцирования, линейный оператор-«изоморфизм линейных
пространств».
89.Теорема о связи базиса n- мерного пространства V c произвольной
системой n векторов пространства W, устанавливаемой с помощью
оператора A:V→W.
90.Матрица Afe оператора A в паре базисов e и f и ее однозначность.
91.Использование матрицы Afe оператора A для преобразования векторов
из пространства V в пространство W.
92.Подобие квадратных матриц.
93.Связь матриц оператора A, заданных в разных парах базисов.
94.Связь матриц оператора A, преобразующего пространство в себя,
заданных в разных базисах.
95.Образ и ядро линейного оператора, а также его ранг и дефект.
96.Линейное пространство линейных операторов, умножение линейных
операторов. Обратный оператор. Теорема Кэли-Гамильтона.
МОДУЛЬ 2.2
Тема №2.2.1. Канонический вид линейных операторов (жорданова форма,
симметрические, ортогональные и унитарные операторы).
97.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Характеристический многочлен.
98.Операторы и матрицы простой структуры.
99.Инвариантные подпространства.
100. Корневые подпространства. Жорданова форма матрицы линейных
операторов
101. Сопряженный и самосопряженный операторы
102. Нормальные операторы
103. Унитарные операторы
Тема №2.2.2. Линейные нормированные пространства.
104. Норма оператора
15
105.
106.
Линейные операторы в нормированных пространствах.
Нормы операторов и матриц
Тема 2.2.3. Группы преобразований и классификация движений.
107. Группы преобразований.
108. Классификация движений.
МОДУЛЬ 2.3
Тема №2.3.1. Билинейные и квадратичные формы.
109. Билинейные формы. Определения. Способы записи билинейной
формы в конечномерном пространстве с заданным базисом. Матрица
билинейной формы.
110. Теорема о связи матриц билинейной формы, заданной в разных
базисах.
111. Симметричная билинейная форма и её связь с симметричной
матрицей.
112. Вырожденные и невырожденные билинейные формы.
113. Квадратичные формы и полярные к ним формы. Связь матриц
данной квадратичной формы, заданной в разных базисах. Компактная
запись квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.
114. Канонический базис и канонический вид квадратичной формы.
Канонический вид билинейной формы.
115. Метод Якоби получения канонической формы квадратичной формы
и условия его применения.
116. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому
виду.
117. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной
формы и ее сигнатура. Закон инерции квадратичной формы.
Сигнатурное правило Якоби.
118. Критерий Сильвестра положительно (отрицательно) определенной
квадратичной формы.
Тема №2.3.2. Тензорная алгебра.
119. Тензорная алгебра векторного пространства.
120. Симметрическая алгебра.
121. Алгебра Грассмана.
16
6.
Планы семинарских занятий.
Семестр 1.
Модуль 1.1.
Тема №1.1.1. Группы. Аддитивная группа вычетов. Решение практических задач
и упражнений по теме №1.1.1.
Простейшие примеры числовых множеств, образующие группы по сложению или умножению.
Подробный разбор аддитивной группы вычетов. Примеры изоморфных групп.
Тема №1.1.2. Кольца. Кольцо вычетов. Решение практических задач и
упражнений по теме №1.1.2.
Простейшие примеры числовых колец. Подробный разбор кольца вычетов. Примеры
изоморфизма колец
Тема №1.1.3. Поля. Поле комплексных чисел. Решение практических задач и
упражнений по теме №1.1.3.
Определение полей. Простейшие числовые поля. Поле комплексных чисел. Вычисления с
комплексными числами. Вычисления с использованием тригонометрической формы. Формула
Муавра. Корни комплексного числа.
Модуль 1.2.
Тема №1.2.1. Введение в теорию линейных пространств. Решение практических
задач и упражнений по теме №1.2.1.
Геометрические векторы. Вещественное линейное пространство. Линейная зависимость и
независимость векторов. Базис и координаты. Линейное пространство и линейное
многообразие.
Тема №1.2.2. Алгебры. Алгебра матриц. Решение практических задач и
упражнений по теме №1.2.2.
Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц. Матрицы специального
вида. Элементарные преобразования матриц. Квадратные матрицы. Алгебра квадратных
матриц.
Тема №1.2.3. Детерминанты. Решение практических задач и упражнений по
теме №1.2.3.
Перестановки. Вычисление определителя с использованием его свойств. Миноры и
алгебраические дополнения. Вычисление определителя по теореме Лапласа. Вычисление
определителя методом Гаусса. Обратная матрица, вычисление обратной матрицы с помощью
присоединенной матрицы. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Жордана.
Модуль 1.3.
17
Тема №1.3.1. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Решение
практических задач и упражнений по теме №1.3.1.
Вычисление ранга матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
обратной матрицы и Крамера. Системы общего вида, выяснение их совместности или
несовместности по теореме Кронекера-Капелли. Выявление главных и свободных неизвестных
системы уравнений. Приведение системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей
методом элементарных преобразований. Вычисление общего решения системы методом
Гаусса. Однородные системы уравнений. Линейное подпространство решений однородной
системы. Представление общего решения системы уравнений через частное решение
неоднородной и общее решение однородной систем.
Тема №1.3.2. Кольцо полиномов. Решение практических задач и упражнений по
теме №1.3.2.
Многочлены над произвольным полем. Операции сложения и умножения многочленов.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Корни
многочлена. Разложение многочлена в произведение n линейных множителей. Формулы
Виета. Многочлены над полем действительных чисел и их разложение на неразложимые
множители.
Семестр 2.
Модуль 2.1.
Тема №2.1.1. Линейное пространство над произвольным полем. Решение
практических задач и упражнений по теме №2.1.1.
Примеры линейных пространств над произвольным полем. Примеры: рациональное,
вещественное и комплексное пространства. Пример: поле вычетов по модулю два (состоит
всего из двух элементов: 0,1). Пример: Множество М состоит из n элементов. На нем строится
множество S всех его подмножеств. На множестве S вводится операция сложения двух
элементов как объединение соответствующих подмножеств с удалением из него пересечения
этих подмножеств. Внешняя композиция задается над полем вычетов по модулю два по
правилу: умножение на 0 дает нулевой элемент, а умножение на 1 не меняет элемент.
Показать, что множество S относительно введенных операций является полем.
Тема №2.1.2. Евклидовы и унитарные пространства. Решение практических
задач и упражнений по теме №2.1.2.
Примеры введения скалярного произведения в вещественных и комплексных пространствах.
Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в евклидовом и унитарном пространствах.
Матрица Грама, линейная независимость векторов и базис в евклидовом и унитарном
пространствах. Изоморфизм евклидовых или унитарных пространств. Ортонормированный
базис, вычисление координат векторов. Унитарная и ортогональная матрицы.
Тема №2.1.3. Линейные операторы и функционалы. Решение практических
задач и упражнений по теме №2.1.3.
18
Примеры линейных операторов и функционалов. Примеры операторов, не являющихся
линейными. Вычисление матрицы различных операторов в паре базисов. Подобие матриц.
Матрицы линейных операторов в разных базисах. Образ и ядро линейного оператора.
Вычисление ранга и дефекта линейного оператора. Примеры на умножение линейных
операторов, обратный оператор.
Модуль 2.2.
Тема №2.2.1. Канонический вид линейных операторов (жорданова форма,
симметрические, ортогональные и унитарные операторы). Решение
практических задач и упражнений по теме №2.2.1.
Собственные числа и собственные векторы линейных операторов. Характеристический
многочлен. Собственные подпространства линейных операторов. Операторы и матрицы
простой структуры и ее канонический вид. Жорданова форма линейного оператора.
Симметрические, ортогональные и унитарные операторы.
Тема №2.2.2. Линейные нормированные пространства. Решение практических
задач и упражнений по теме №2.2.2.
Норма вектора. Нормы в евклидовых пространствах. Примеры. Нормы в арифметических
пространствах. Нормы в пространствах матриц. Сходимости векторов по норме.
Эквивалентность норм. Линейные операторы в нормированных пространствах.
Тема №2.2.3. Группы преобразований и классификация движений. Решение
практических задач и упражнений по теме №2.2.3.
Примеры групп преобразований: Группа подстановок, группа движений евклидовой плоскости
(пространства), группа невырожденных квадратных матриц. Группа ортогональных
преобразований.
Модуль 2.3.
Тема №2.3.1. Билинейные и квадратичные формы. Решение практических задач
и упражнений по теме №2.3.1.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Выяснение
положительной определенности квадратичной формы с помощью критерия Сильвестра.
Квадратичные формы в вещественном пространстве. Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределённые квадратичные формы. Квадратичные формы в комплексном пространстве.
Квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве.
Тема №2.3.2. Тензорная алгебра. Решение практических задач и упражнений по
теме №2.3.2.
Понятие тензора. Тензоры в механике Прямое тензорное исчисление.
19
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8.
Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены.
9.
Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица 5.
Семестр 1.
№
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Модули и темы
Неделя
семестра
Объём
часов
Кол-во
баллов
1
6
0-10
2-3
9
0-10
4-6
9
0-15
24
0-35
7-8
12
0-10
9-10
6
0-10
11-12
6
0-10
24
0-30
13-15
8
0-20
16-18
16
0-15
24
72
0-35
0-100
Модуль 1.1.
1.1.1.
Группы. Аддитивная группа
вычетов.
1.1.2.
Кольца. Кольцо вычетов.
1.1.3.
Поля. Поле комплексных
чисел.
Работа с материалом
лекций.
Работа с основной
литературой.
Решение типовых задач.
Подготовка к контрольным
работам, тестированиям,
коллоквиумам, зачётам и
экзаменам.
Работа с
дополнительной
литературой.
Работа с
электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной
трудности.
Всего по модулю 1.1.*:
Модуль 1.2.
1.2.1.
Ведение в теорию линейных
пространств
1.2.2.
Алгебры. Алгебра матриц
1.2.3.
Детерминанты.
Работа с материалом
лекций.
Работа с основной
литературой.
Решение типовых задач.
Подготовка к контрольным
работам, тестированиям,
коллоквиумам, зачётам и
экзаменам.
Работа с
дополнительной
литературой.
Работа с
электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной
трудности.
Всего по модулю 1.2.*:
Модуль 1.3.
1.3.1.
Решение систем линейных
алгебраических уравнений.
1.3.2.
Кольцо полиномов.
Работа с материалом
лекций.
Работа с основной
литературой.
Решение типовых задач.
Подготовка к контрольным
работам, тестированиям,
коллоквиумам, зачётам и
экзаменам.
Работа с
дополнительной
литературой.
Работа с
электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной
трудности.
Всего по модулю 1.3.*:
ИТОГО семестр 1*:
* - с учётом иных видов работ.
20
Таблица 5 (продолжение).
Семестр 2.
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Работа с дополнительной
литературой.
Работа с электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной трудности.
Работа с
дополнительной
литературой.
Работа с
электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной
трудности.
Неделя
семестра
Объём
часов
Кол-во
баллов
1-2
6
0-13
3-4
9
0-13
5-6
9
0-14
24
0-30
7-8
6
0-15
9-10
9
0-10
11-12
9
0-10
24
0-35
13-15
8
0-15
16-18
16
0-10
24
72
0-25
0-100
Модуль 2.1.
2.1.1.
Линейное пространство над
произвольным полем
2.1.2.
Евклидовы и унитарные
пространства
2.1.3.
Линейные операторы и
функционалы
Всего по модулю 2.1.*:
Модуль 2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
Канонический вид линейных
операторов (жорданова форма,
симметрические, ортогональные
и унитарные операторы)
Линейные нормированные
пространства
Группы преобразований и
классификация движений
Работа с дополнительной
литературой.
Работа с электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной трудности.
Работа с
дополнительной
литературой.
Работа с
электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной
трудности.
Всего по модулю 2.2.*:
Модуль 2.3.
3.1.
Билинейные и квадратичные
формы
3.2.
Тензорная алгебра
Работа с дополнительной
литературой.
Работа с электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной трудности.
Работа с
дополнительной
литературой.
Работа с
электронными
ресурсами.
Решение задач
повышенной
трудности.
Всего по модулю 2.3.*:
ИТОГО семестр 2*:
21
ОПК-2
ПК-3
+
+
+
+
+
+
+
+
Математический анализ*
+
+
+
Математический анализ*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
8 семестр
Физико-механический практикум и вычислительный
эксперимент*
+
7 семестр
Теория вероятностей, математическая статистика,
случайные процессы*
6 семестр
Функциональный анализ*
Теоретическая и прикладная механика*
Дисциплины (модули)
4 семестр
5 семестр
Основы численных методов*
Комплексный анализ*
Теоретическая и прикладная механика*
+
Функциональный анализ*
Основы численных методов*
+
+
Математические модели в механике сплошной среды*
Комплексный анализ*
Теоретическая и прикладная механика*
+
+
Основы механики сплошной среды*
3 семестр
Дифференциальные уравнения*
2 семестр
Дифференциальные уравнения*
1 семестр
Дифференциальная геометрия и топология*
Математический анализ*
Индекс компетенции
Математический анализ*
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ОП бакалавриата
Аналитическая геометрия
10. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
(модуля).
10.1. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
(выдержка из матрицы компетенций).
Таблица 6.
Выписка из матрицы соответствия компетенций, составных частей ОП и оценочных средств
+
+
+
+
+
* отмечены дисциплины базовой части
22
10.2. Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания.
Таблица 7.
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций.
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Пороговый (удовл.)
61-75 баллов
ОПК-2
Знает:
основные понятия
утверждения.
и
Умеет:
решать
простейшие
задачи
вычислительного
и
теоретического
характера.
ПК-3
Владеет:
математическим
аппаратом,
аналитическими
методами исследования
в простейших случаях.
Знает:
простейшие
утверждения.
Умеет:
доказывать простейшие
утверждения.
Владеет:
методами
доказательств
простейших
утверждений.
базовый (хор.)
76-90 баллов
Повышенный (отл.)
91-100 баллов
Знает:
основные понятия и
утверждения, а также
методы доказательства
стандартных
утверждений.
Умеет:
решать
стандартные
задачи
вычислительного
и
теоретического
характера,
доказывать
стандартные
утверждения.
Владеет:
математическим
аппаратом,
аналитическими
методами исследования
в стандартных случаях.
Знает:
основные утверждения.
Знает:
основные понятия и
утверждения, а также
методы доказательства
утверждений.
Умеет:
сформулировать
результат, доказывать
основные утверждения,
получать следствия из
них.
Владеет:
методами
доказательств
стандартных
утверждений.
Умеет:
решать
задачи
вычислительного
и
теоретического
характера,
доказывать
утверждения.
Владеет:
математическим
аппаратом,
аналитическими
методами
исследования.
Знает:
Основные
теоремы
алгебры
и
другие
теоретические факты.
Умеет:
сформулировать
результат,
получать
следствия из них.
Владеет:
методами
доказательств
утверждений.
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства (тесты,
творческие
работы,
проекты и др.)
Лекции,
практические
занятия
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания.
Лекции,
практические
занятия
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы,
домашние
задания.
23
10.3. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности,
характеризующей этапы формирования компетенций в процессе
освоения образовательной программы.
(примерный вариант)
Практические упражнения и задачи контрольных работ.
(Примерный вариант)
Элементы общей алгебры (основные алгебраические системы).
a)
b)
c)
d)
Найдите все подмножества множества {1, 2, 3}.
Докажите, что множество {1, 2, …, n} имеет 2n различных подмножеств.
Каким условиям должны удовлетворять множества A и B, чтобы: A∩B=A∪B, (A\B)∪B=A, (A∪B)\B=A.
Докажите, что для произвольных множеств A, B и C справедливы следующие равенства:
i.
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
ii.
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);
iii.
A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A;
iv.
A∪∅=A, A∩∅=∅;
v.
(A\B)\C=(A\C)\B;
vi.
(A\B)\C=(A\C)\(B\C);
vii.
(A∪B)\(A∩B)=(A\B)∪(B\A);
viii.
A\(A\B)=A∩B;
ix.
(B∪C)\A=(B\A)∪(C\A);
x.
B∪(A\B)=A∪B, B∩(A\B)=∅;
xi.
A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C), A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C).
e) Докажите, что для любых подмножеств A и B универсального множества U справедливы следующие
равенства:
i.
A∪U=U, A∩U=A;
̅=U, A∩A
̅=∅;
ii.
A∪A
̅
̅
iii.
∅=U, U=∅;
̅̅̅̅̅̅̅
̅∩B
̅∪B
̅, ̅̅̅̅̅̅̅
̅;
iv.
A∪B=A
A∩B =A
̅
v.
A\B = A ∩ B;
f) Докажите, что для произвольных множеств A, B и C:
i.
A\B = A ↔ A ∩ B = ∅;
ii.
A ⊆ B ↔ A ∪ B = B ↔ A ∩ B = A;
iii.
A ⊆ B → A\C ⊆ B\C, A ⊆ B → A ∩ C ⊆ B ∩ C, A ⊆ B → A ∪ C ⊆ B ∪ C;
iv.
A\B = A ↔ B\A = B;
v.
A ⊆ B ⊆ C ↔ A ∪ B = B ∩ C.
g) Докажите, что для любых подмножеств A, B и C универсального множества U:
̅⊆B
̅.
i.
A⊆B↔A
̅, A ∪ B = U ↔ A ⊆ B
̅.
̅↔B⊆A
̅↔B⊆A
ii.
A∩B=∅↔A⊆B
h) Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский, 8 – английский и
немецкий, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский и 3 студента изучают все три
иностранных языка. Сколько студентов не изучают ни одного языка? Изучают только французский язык?
i) Из 100 студентов 24 не изучают ни одного из иностранных языков, 26 – немецкий, 48 – французский, 8 –
французский и английский, 8 – немецкий и французский, 18 – только немецкий, 23 – немецкий, но не
английский. Сколько студентов изучают только английский язык?
j) Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые:
i.
Делятся на 2 и на 3;
ii.
Делятся на 2, но не делятся на 3;
iii.
Делятся на 3, но не делятся на 2;
iv.
Делятся на 2 или на 3;
v.
Не делятся ни на 2, ни на 3?
24
(Примерный вариант)
a)
Найдите A×B и B×A, если:
i.
A={1, 2}, B={1, 2, 3};
ii.
A={a, b}, B={a, c, e}.
b) Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:
i.
[0, 1]×[0, 1];
ii.
[0, 1]×(-∞, 3];
iii.
[1, 2]×[-∞, +∞];
iv.
[0, +∞)×{2, 3};
c) Докажите, что при любых множествах A, B и C:
i.
(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C), (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C);
ii.
(A\B)×C=(A×C)\(B×C);
iii.
A⊂B → A×C⊂B×C;
iv.
(A×B)∪(B×A)=C×C →A=B=C.
d) Докажите, что для любых множеств A, B, C и D: (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D). Справедливо ли аналогичное
равенство для объединения множеств?
e) Докажите, что для любых бинарных отношений ρ и σ между элементами множеств X и Y:
i.
(ρ∪σ)-1=ρ-1∪σ-1, (ρ∩σ)-1=ρ-1∩σ-1;
ii.
(ρ\σ)-1=ρ-1\σ-1;
(𝜌̅ )−1 = ̅̅̅̅̅
iii.
𝜌−1 ;
iv.
ρ⊆σ ⟶ ρ-1⊆σ-1.
f) Докажите, что:
i.
Отношение ρ рефлексивно ↔ idA⊆ρ;
ii.
Отношение ρ антирефлексивно ↔ idA∩ρ=∅;
iii.
Отношение ρ симметрично ↔ ρ=ρ-1;
iv.
Отношение ρ антисимметрично ↔ ρ∩ρ-1⊆idA, (idA={(x, x)| x∈A}).
g) Укажите,
какими
свойствами
(рефлексивностью,
антирефлексивностью,
симметричностью,
антисимметричностью, транзитивностью) обладает каждое из следующих отношений:
i.
«∥» на множестве всех прямых плоскости;
ii.
«⊥» на множестве всех прямых плоскости;
iii.
«=» на множестве действительных чисел;
iv.
«<» на множестве действительных чисел;
v.
«≤» на множестве действительных чисел;
vi.
«∩» на множестве всех прямых плоскости;
vii.
Отношение подобия треугольников на плоскости;
viii.
«⊆» на семействе всех подмножеств универсального множества;
ix.
«⊂» на семействе всех подмножеств универсального множества.
h) На множестве натуральных чисел для каждого из следующих бинарных отношений найдите область
определения и область значений и укажите, какими свойствами (рефлексивностью,
антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:
i.
ρ={(1,1)};
ii.
ρ={(3,5), (5,3), (3,3), (5,5)}, ρ={(3,5), (5,3)};
iii.
xρy ↔ НОД(x,y)=1;
iv.
xρy ↔ y-x=12;
v.
xρy ↔ |x-y|=12;
vi.
xρy ↔ x=y2;
vii.
xρy ↔ (x-y) | 3.
i) Найдите область определения и область значений каждого из следующих отношений, заданных на
множестве
действительных
чисел,
и
укажите,
какими
свойствами
(рефлексивностью,
антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:
i.
ρ={(x,y)| x2=y2};
ii.
ρ=[0,2]×[0,2];
iii.
ρ=[0,2]×[1,3];
iv.
ρ={(x,y)| xy=0}.
j) Что можно сказать об отношениях 𝜌̅ и 𝜌−1 , если отношение ρ:
i.
Рефлексивно;
ii.
Антирефлексивно;
iii.
Симметрично;
iv.
Антисимметрично;
25
v.
Транзитивно?
k) Докажите, что при любом отношении ρ на множестве отношения ρ ∩ ρ−1 и ρ ∪ ρ−1 симметричны.
l) Докажите, что отношение «⊆» является отношением порядка.
m) Пусть A={1,2,3,4,5,6}. Покажите, что:
i.
Подмножества A1={2,3,4}, A2={1}, A1={5,6} образуют покрытие A;
ii.
Подмножества A1={1,2}, A2={3}, A3={4,5,6} образуют разбиение A.
n) Докажите, что если ρ – рефлексивное и транзитивное отношение на множестве, то ρ ∩ ρ−1 – отношение
эквивалентности.
o) Определите, какие из следующих отношений являются отображениями; какие из отображений взаимнооднозначны, какие – обратимы:
i.
φ={(x,y)∈ℝ×ℝ| y=x2};
ii.
φ={(x,y)∈{0,+∞)×(-∞,+∞)| y=x2};
iii.
φ={(x,y)∈[0,1]×[0,1]| y=x2};
iv.
φ={(x,y)∈[-1,0]×[-1,0]| x2+y2=1};
v.
φ={(x,y)∈ℕ×ℕ| |x-y|=1}.
p) Пусть f – отображение X на Y. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
i.
x1≠x2 → f(x1)≠f(x2);
ii.
f(x1)=f(x2) → x1=x2.
(Примерный вариант)
a)
Докажите, что при любом натуральном n:
i.
(4n+15n-1) | 9;
ii.
(6n+3n+2+3n) | 11.
b) Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
c) Докажите, что при любом натуральном n:
i.
13+23+33+…+n3=¼n2(n+1)2;
1
1
1
𝑛
ii.
+ + ⋯ + (4𝑛−3)(4𝑛+1) =
;
1∙5
5∙9
4𝑛+1
iii.
1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+n∙n!=(n+1)!-1;
iv.
1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 =
v.
1
1+𝑥
+
2
1+𝑥 2
+
4
1+𝑥 4
𝑥 𝑛+1 −1
+⋯+
𝑥−1
2𝑛
1+𝑥 2
, 𝑥 ≠ 1.
1
𝑛
= 1 − (𝑛+1)!.
d) Докажите тождества:
𝑘
i.
𝐶𝑛𝑘 + 𝐶𝑛𝑘−1 = 𝐶𝑛+1
;
0
1
ii.
С𝑛 + 𝐶𝑛 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛 ;
iii.
𝐶𝑛1 + 2𝐶𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛−1 .
(Примерный вариант)
Матрицы.
−2 6 9
3 −5 7
Вычислите (2A-3B)×CT, если 𝐴 = ‖
‖, 𝐵 = ‖
‖, 𝐶
5 4 −7
−8 4 3
1 −1
b) Вычислите f(A), если 𝐴 = ‖
‖, f(x)=x2-5x+7.
2 1
0
c) Найдите матрицы, перестановочные с матрицами A и B, если 𝐴 = ‖
1
d) Возвести в степень:
5 −4 𝑛
i.
‖
‖ .
6 −5
𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑛
ii.
‖
‖ .
𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑
e) Вычислите ранг матриц:
4
9
0 7
−1
1
6 0
i.
‖
‖.
0 −1
2 1
4 −3 −1 9
−1 −3 −2
1 −3
4
1
2
4 −1
ii.
‖
‖.
−6
9 −1 −2
6
4
6
1 12 −3
a)
1
=‖
3
2
2
3
‖.
1
1
−3
‖, 𝐵 = ‖
2
2
2
‖.
1
26
f)
Докажите, что:
i.
Если к матрице приписать один столбец, то ее ранг либо не изменится, либо увеличится на
единицу.
ii.
Если после вычеркивания какого-либо столбца ранг матрицы не изменится, то этот столбец
линейно выражается через другие столбцы.
iii.
Если какой-нибудь столбец матрицы линейно выражается через другие столбцы этой матрицы, то
после его вычеркивания ранг матрицы не изменится;
iv.
Ранг суммы матриц не превосходит суммы их рангов.
(Примерный вариант)
Детерминанты.
a)
Определите число инверсий в перестановках:
i.
1 3 5 7 9 2 4 6 8.
ii.
2 5 8 1 4 7 3 6 9.
b) Подберите k и l так, чтобы перестановка:
i.
7 4 3 k l 8 5 2 была нечетной;
ii.
6 3 5 k 7 l 2 1 была четной.
c) Определите число инверсий в перестановках:
i.
1 3 5 7 … 2n-1 24 6 8 … 2n.
ii.
2 4 6 8 … 2n 1 3 5 7 … 2n-1.
d) Выясните, какие из произведений элементов матрицы являются членами определителя 7-ого порядка, и
укажите знак этого члена определителя:
i.
a43a53a63a15a23a34a71.
ii.
a23a67a54a16a35a41a72.
iii.
a15a28a74a36a61a43.
iv.
a72a16a33a55a27a61a44.
e) Вычислите определители, пользуясь определением:
2 −4
9
i.
|−6
3 −5|.
7 −8
4
12 16
8
ii.
|20 14 24|.
12
8
4
0 0 3 4
0 0 4 3
iii.
|
|.
1 2 0 0
2 1 0 0
5
0 0
0
0
0 8
0
iv.
|
|.
0
0 0 −3
0 −4 0
0
f) Вычислите определители:
1
4 −3 −4
2 −2
1 −4
i.
|
| используя разложение по элементам 1 и 2 строк.
5
7
3
8
−7 −9
6 −3
1
2
7 −3
2 −1 −9 −1
ii.
|
| используя разложение по элементам 3 столбца.
−4 −2
8
2
1
1 −8
1
g) Вычислите определители:
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
0 𝑎22 … 𝑎2𝑛
i.
| ⋮
⋮
⋮
⋮ |.
0
0 … 𝑎𝑛𝑛
𝑎11 … 𝑎1𝑛−1 𝑎1𝑛
𝑎21 … 𝑎2𝑛−1 0
ii.
| ⋮
⋮
⋮
⋮ |.
𝑎𝑛1 …
0
0
h) Как изменится определитель, если:
i.
Каждый элемент i-ой строки умножить на -1;
27
ii.
iii.
iv.
Все строки переписать в обратном порядке;
К каждой строке, начиная со 2-ой, прибавить предыдущую;
К каждой строке, начиная со 2-ой, прибавить предыдущую, а к первой строке прибавить
последнюю?
1 0 −1
1 −1
Решите матричные уравнения: AX=B, XB=C, AXB=C, где: 𝐴 = ‖
‖, 𝐵 = ‖ 0 2 −3‖, 𝐶 =
−1
2
−4 1
3
1 2 −3
‖
‖.
−1 2
3
i)
(Примерный вариант)
Системы линейных уравнений.
a)
Решить систему линейных уравнений по методу Крамера:
𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 4
𝑦 − 3𝑧 = −1
i.
{2𝑥 +
3𝑥 − 2𝑦 −
𝑧 = 11
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
ii.
{ 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 3
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
b) Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
2x1 + 3x2 − 4x3 −
x4 = 0
x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 = 3
i.
{
3x1 + 6x2 − 2x3 + 4x4 = 3
5x1 +
x2 − 6x3 + 3x4 = 3
2x1 − 2x2 − 2x3 +
x4 = −1
3x1 +
x2 − 3x3 −
x4 =
0
ii.
{
x1 + 3x2 −
x3 − 2x4 =
1
4x1 + 4x2 − 4x3 − 3x4 =
1
c) Найти систему фундаментальных решений системы линейных однородных уравнений:
4x1 + 3x2 +
x3 − 7x4 − 2x5 = 0
i.
{ x1 − 3x2 − 6x3 − 2x4 + x5 = 0
5x1 − 5x2 + 7x3 − 3x4 + x5 = 0
2x1 − 5x2 −
3x3 +
3x4 = 0
3x1 + 3x2 +
7x3 −
9x4 = 0
ii.
{
5x1 − 3x2 +
4x3 −
6x4 = 0
x1 + 8x2 + 10x3 − 12x4 = 0
d) Укажите, при каких значениях параметра t следующие системы совместны, несовместны, имеют
единственное решение, имеют бесконечное число решений:
2𝑥1 +
𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 = 2
2𝑥 + 9𝑥2 +
+ 4𝑥4 = 2
i.
{ 1
2𝑥1 + 5𝑥2 +
𝑥3 + 3𝑥4 = 2
2𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑡𝑥4 = 7
𝑥1 + 2𝑥2 −
𝑥3 =
1
4𝑥1 −
𝑥2 + 3𝑥3 =
0
ii.
{
4𝑥1 −
𝑥2 + 𝑡𝑥3 =
0
3𝑥1 + 𝑡𝑥2 + 4𝑥3 = −1
(Примерный вариант)
Поле комплексных чисел.
a)
b)
c)
d)
Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел z1=3+2i и z2=-1-i.
Найти тригонометрическую форму комплексного числа z=4+2i.
Найти алгебраическую форму комплексного числа z=cos(3π/4)-sin(3π/4).
Найти (3+i)5.
e)
Найти √−
3
1
1−𝑖
.
(Примерный вариант)
28
Кольцо многочленов.
a) Пусть f(x)∈P[x], c∈P. Докажите, что f(x)-f(c) ⋮ x-c.
b) Найдите частное и остаток при делении:
i.
x4+2x2 +20x+7 на x+3;
ii.
x3+x2-7 на x+4+4i
c) Разложить многочлен x4-8x3+24x2-50x+22 по степеням x-2.
d) Найдите кратность корня c многочлена f(x), если c=1 и f(x)=2x4-7x3+9x2-5x+1.
e) Докажите, что 100x100-50x50+10x10-5x5+x-56 ⋮ x-1.
f) При каких значениях p и q x16-3x9+4x4+px2+qx ⋮ x2-1.
g) Найдите НОД и НОК двух многочленов (x3-8)(x2-4x+4) и (x2-4)3
h) Решить уравнение x4+2x3+2x2+6x-3=0.
i)
𝑥 3 −𝑥 2 +2𝑥−3
Разложите на элементарные дроби (𝑥 2
−4𝑥+4)(𝑥−2)2
.
(Примерный вариант)
Линейные пространства.
Пусть φ:L1⟶L2 — изоморфизм между линейными пространствами. Докажите, что система векторов
a1, a2, …, ak из L:
i.
Линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их образов a1’, a2’, …,
ak’.
ii.
Линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима система их образов a1’, a2’,
…, ak’.
iii.
Является максимальной линейно независимой тогда и только тогда, когда максимальной
линейно независимой является система их образов.
b) Докажите, что каждая из следующих систем векторов является базисом пространства ℂ над полем ℝ:
i.
1, i.
ii.
1+i, 1-i.
c) Проверьте, образует ли каждая из следующих систем векторов базис в пространстве ℝ4, и найдите
координаты вектора x=(1,2,3,4) в каждом из этих базисов:
i.
a1=(1,1,1,1), a2=(1,-1,1,-1), a3=(1,-1,1,1), a4=(1,-1,-1,-1).
ii.
a1=(1,2,3,0), a2=(1,2,0,3), a3=(1,0,2,3), a4=(0,1,2,3).
iii.
a1=(1,-2,-3,5), a2=(-4,2,-1,3), a3=(1,-5,2,-4), a4=(-2,-5,-2,4).
d) Проверьте, образует ли каждая из следующих систем многочленов в пространстве многочленов ≤4, и
найдите координаты многочлена f(x)=5x4-4x3+3x2-2x+1 в каждом из этих базисов:
i.
1, x, x2, x3, x4.
ii.
1-x4, x-x4, x2-x4, x3-x4, x4.
iii.
1, x-1, (x-1)2, (x-1)3, (x-1)4.
e) Докажите, что множество матриц порядка n над полем K с операциями – сложением матриц и
умножением матрицы на число из K – является n2-мерным векторным пространством над K.
f) Докажите, что в n-мерном векторном пространстве:
i.
Любая линейно независимая система из n векторов является базисом.
ii.
Любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.
a)
(Примерный вариант)
a)
Докажите, что подмножество M линейного пространства L над полем K является его
подпространством тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
i.
M≠∅;
ii.
a, b∈M → a+b∈M;
iii.
a∈L, k∈K → ka∈M.
b) Докажите, что следующие подмножества пространства ℝn являются его подпространствами:
i.
{(a1,a2,…,an)| an=0}.
ii.
{(a1,a2,…,an)| a1+a2+…+an=0}.
iii.
{(a1,a2,…,an)| a1-a2+..+(-1)nan=0}.
c) Пусть L – линейное пространство над полем P, a1,a2,…,an – система векторов из L и L(a1,a2,…,an) –
множество всех конечных линейных комбинаций из векторов этой системы. Докажите, что:
29
i.
ii.
L(a1,a2,…,an) – подпространство пространства L;
Размерность подпространства L(a1,a2,…,an) равна рангу системы векторов a1,a2,…,an.
d) Найдите размерность и базис линейного подпространства, натянутого на систему векторов:
i.
a1(3, 11, 5, 4), a2(4, 12, 5, 10), a3(1, 13, 6, 4), a4(3, 11, 9,2).
ii.
a1(0, 1, 6, 3, 2), a2(5, 3, 1, 1, 0), a3(4, 2, 4, 2, 1), a4(6, -5, 6, -3, -1), a5(0, -5, -2, -3, -1).
e) Докажите, что множество решений системы линейных однородных уравнений с n неизвестными с
коэффициенты из поля P является подпространством пространства всех решений соответствующей ей
системы линейных неоднородных уравнений.
f) Пусть L – линейное пространство. Докажите, что:
i.
Сумма конечного числа подпространств пространства L является его подпространством;
ii.
Пересечение любого количества подпространств пространства L является его подпространством:
iii.
Линейная оболочка L(a1,a2,…,an) векторов a1,a2,…,an совпадает с пересечением всех
подпространств пространства L, содержащих эти векторы.
iv.
Пусть L(a1,a2,…,ak) и L(b1,b2,…,bl) – линейные оболочки систем векторов a1,a2,…,ak и b1,b2,…,bl
соответственно. Максимальная линейно независимая подсистема системы a1,a2,…,ak,b1,b2,…,bl
является базисом подпространства L(a1,a2,…,ak)+ L(b1,b2,…,bl).
g) Найдите базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на систему векторов:
a1(1, 2, 1, 0)
b1(2, -1, 0, 1)
a2(-1, 1, 1, 1)
b2(1, -1, 3, 7)
h) Построить линейное многообразие решений системы и найти его размерность:
𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 1
2𝑥1 −
𝑥2 + 3𝑥3 = 3
{
3𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 = 5
𝑥1 + 17𝑥2 + 4𝑥3 = −1
(Примерный вариант)
Является ли линейным пространством над полем вещественных чисел:
a)
Множество всех векторов плоскости с общим началом в точке O:
i.
Концы которых лежат на одной прямой;
ii.
Каждый из которых лежит на одной из осей координат OX и OY;
iii.
Концы которых лежат в первой четверти системы координат;
b) Множество векторов пространства компоненты которых:
i.
Являются целыми числами;
ii.
Удовлетворяют тому условию, что их сумма равна нулю;
iii.
Удовлетворяют тому условию, что их сумма равна единице;
iv.
С четными номерами равны между собой.
(Примерный вариант)
a) Система векторов x, y, z линейно независима. Будет ли линейно независимой система x+y, y+z, z+x?
b) Доказать, что система из четырех векторов a1(1,0,0), a2(0,1,0), a3(0,0,1), a4(1,1,1) является линейно
зависимой и что любая система из этих трех векторов является линейно независимой.
c) В пространстве всех непрерывных функций на отрезке (a,b) выбраны четыре функции x1(t)=1, x2(t)=t,
x3(t)=t2, x4(t)=1+t+t2. Доказать, что система из четырех этих функций линейно зависима и любая
система из трех этих функций линейно независима.
d) Доказать, что если система a1, a2,…, ak линейно независима и b=λ1a1+λ2a2+…+λkak, то указанное
представление вектора b единственно.
(Примерный вариант)
a)
Каким должно быть число ζ, чтобы система векторов (0,1,ζ), (ζ,0,1), (ζ,1,ζ) являлась базисом
трехмерного линейного векторного пространства?
b) Доказать, что совокупность симметрических вещественных матриц порядка n образует линейное
пространство над R, если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на
действительное число. Найти базис и размерность этого пространства.
c) Те же вопросы для совокупности кососимметрических матриц порядка n (т.е. матриц, у которых aij=aji).
30
d) Найти какой-нибудь базис и размерность линейного пространства, состоящего из тех векторов,
компоненты которых удовлетворяют условию x1+x2+…+xn=0.
e) Рассмотрим множество всех тех векторов линейного пространства размерности n, каждая компонента
которых равна 0 либо 1. Сколько различных базисов содержится в этом множестве?
(Примерный вариант)
Линейные отображения и преобразования линейных пространств.
a)
Докажите, что в пространстве L следующие преобразования являются линейными:
i.
0x=0 для любого x∈L;
ii.
Ex=x для любого x∈L;
iii.
Ax=kx для любого x∈L.
b) Пусть L – n-мерное векторное пространство над полем K, e1, e2, …, en – базис в L, 𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑒𝑖 .докажите,
что следующие преобразования пространства L – линейные:
i.
𝐴𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑒𝑖 .
ii.
𝐴𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖 𝑒𝑖 , ki∈K.
c) Пусть L – линейное пространство над полем K, A – линейное преобразование пространства L. Докажите,
что при любых x1, x2, …, xn∈L и k1, k2, …, kn∈K: 𝐴(∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝐴𝑥𝑖 .
d) Пусть a1, a2, …, an – система векторов в пространстве L, A – линейный оператор пространства L. Докажите,
что:
i.
Если система векторов a1, a2, …, an линейно зависима, то и система векторов Aa1, Aa2, …, Aan
(образов векторов a1, a2, …, an)линейно зависима.
ii.
Если система Aa1, Aa2, …, Aan линейно независима, то система векторов a1, a2, …, an линейно
независима.
e) Пусть V3 – линейное пространство, A - оператор поворота на π/2 вокруг оси OX (от OY к OZ), B – оператор
поворота на π/2 вокруг оси OY (от OZ к OX). Докажите, что:
i.
A4=B4=E.
ii.
AB≠BA.
f) Найдите образ и ядро линейных оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени ≤n.
g) В пространстве многочленов степени ≤n найдите матрицу оператора дифференцирования в базисе
1,x,x1,…,xn.
h) Пусть e1, e2, e3, e4 – базис линейного пространства, матрица линейного преобразования в данном базисе
имеет вид
1 2
0 1
3 0 −1 2
(
)
2 5
3 1
1 2
1 3
Найти матрицу этого линейного преобразования в базисе
f1=2e1+3e2+4e3+5e4
f2=3e1+3e2+4e3+5e4
f3=4e1+4e2+3e3+5e4
f4=5e1+5e2+5e3+5e4
i) Пусть A – линейный оператор на K3, x=(x1, x2, x3). Найдите ранг и дефект оператора A, а также базис образа
и ядра: Ax=(x1-2x2+3x3, x1-2x2+3x3, x1+2x2+3x3).
j) Докажите, что в линейном пространстве любое подпространство инвариантно относительно следующих
операторов:
i.
Тождественного;
ii.
Нулевого;
iii.
Подобия;
iv.
Проектирования.
k) Пусть A – линейный оператор пространства L. Докажите, что:
i.
Система собственных векторов x1, x2, …, xn оператора A с попарно различными собственными
значениями k1, k2, …, kn линейно независима;
ii.
Если пространство L является n-мерным, то оператор A имеет не более n различных собственных
значений;
iii.
Если пространство L является n-мерным, а оператор A имеет n различных собственных значений,
то существует базис пространства L, состоящий из собственных векторов;
31
iv.
Нулевой вектор и все собственные векторы, отвечающие данному собственному значению,
образуют подпространства пространства L;
l) В пространстве ℝ3 найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного матрицей:
−1 −5
2
i.
(−1 −2 −1).
4
5
1
3 −6
9
ii.
( 1 −2
3).
−3
6 −9
m) В пространстве ℂ3 найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного матрицей:
2 −1 −1
i.
(1
1 −1).
1 −1
1
2 1 0
ii.
(0 2 1).
2 1 3
(Примерный вариант)
Евклидовы и унитарные пространства.
a)
Докажите, что следующие формулы определяют скалярное произведение:
i.
В пространстве ℝn: если a=(a1,a2,…,an) и b=(b1,b2,…,bn), то (a,b)=a1b1+a2b2+…+anbn.
𝑏
ii.
В пространстве C[a,b]: (𝑓, 𝑔) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 .
iii.
В пространстве Mn(ℝ): (𝐴, 𝐵) = ∑𝑛𝑖,𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑖𝑘 .
𝑛
𝑚
b) Докажите, что в евклидовом пространстве (∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑎𝑖 , ∑𝑚
𝑗=1 𝑙𝑗 𝑏𝑗 ) = ∑𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑘𝑖 𝑙𝑗 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ).
c) Докажите, что для любых ai, bi∈ℝ: |∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 𝑏𝑖 | ≤ √∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖2 √∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖2 .
d) Докажите, что в евклидовом пространстве E:
i.
a⊥a ↔ a=0;
ii.
0⊥a при любом a∈E;
iii.
Если вектор a ортогонален любому вектору пространства E, то a=0;
iv.
Если вектора a ортогонален каждому из векторов b1, b2, …, bn, то он ортогонален любой их
линейной комбинации;
v.
Система ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независима.
e) Докажите, что в евклидовом пространстве |a|=|b| ↔ a+b⊥a-b.
f) Ортонормируйте систему векторов пространства ℝ4: a1=(1,1,1,1), a2=(1,1,-3,-3), a3=(4,3,0,-1).
g) Покажите, что система векторов ортогональна, дополните ее до ортогонального базиса и нормируйте:
a1=(1,-1,1,-1), a2=(1,1,1,1).
h) Постройте ортонормированный базис подпространства, натянутого на систему векторов:
a1=(3,0,0,2), a2=(1,2,2,4), a3=(3,0,-6,-13), a4=(-1,2,4,9).
i) Пусть M – подпространство евклидова пространства E. Докажите, что:
i.
Множество M⊥ всех векторов из E, ортогональных каждому вектору из M, является
подпространством пространства E;
ii.
Если e1, e2, …, en – базис подпространство M, f1, f2, …, fm – базис подпространства M⊥, то e1, e2, …,
en,, f1, f2, …, fm – базис подпространства E;
iii.
E=M+M⊥.
j) В евклидовом пространстве ℝ4 найдите ортонормированный базис ортогонального дополнения к
линейной оболочке системы векторов: a1=(4,10,-1,4), a2=(1,1,-1,-2), a3=(2,4,-1,0).
(Примерный вариант)
Преобразования евклидовых и унитарных пространств.
a)
Доказать, что поворот плоскости на угол 𝛼 вокруг начала координат является линейным
преобразованием, и найти матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе, если
положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота,
переводящего первый базисный вектор во второй.
32
1
0
0
b) Выясните, является ли матрица линейного преобразования (0 𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝑠𝑖𝑛𝜑 ) ортогональной?
0 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑
c) Векторы a1=(1,2) и a2=(1,0) заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе
2
6
пространства L и сами образуют базис этого пространства. Матрица (
) в базисе a1, a2 задает
2 −6
линейное преобразование пространства L. Найдите в этом базисе матрицу преобразования,
сопряженного данному.
d) Найти матрицу линейного преобразования, переводящего векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1,
b2, b3, в том же базисе, в котором даны координаты векторов:
i.
a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0)
b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2).
ii.
a1=(2,0,3), a2=(4,1,5), a3=(3,1,2)
b1=(1,2,-1), b2=(4,5,-2), b3=(1,-1,1).
e) .пусть линейное преобразование 𝜑 пространства 𝑹𝑛 переводит линейно независимые векторы a1, a2, …, an
в векторы b1, b2, …, bn соответственно. Доказать, что матрицу 𝐴𝜑 этого преобразования в некотором
базисе e1, e2, …, en можно найти из равенства 𝐴𝜑 = 𝐵𝐴−1 , где столбцы матриц A и B состоят из координат
векторов a1, a2, …, an и соответственно b1, b2, …, bn относительно базиса e1, e2, …, en.
𝑎 𝑏
f) Показать, что левое и правое умножение матрицы второго порядка на матрицу (
) являются
𝑐 𝑑
линейными преобразованиями пространства всех матриц второго порядка, и найти матрицы этих
преобразований в базисе, состоящем из матриц:
1 0
0 0
0 1
0 0
(
),(
),(
),(
).
0 0
1 0
0 0
0 1
g) Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов
степени не превышающей n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами.
Найти матрицу этого преобразования в базисе:
i.
1, x, x2, …, xn;
(x−a)2
(x−a)n
ii.
1, x-a,
, …,
, где a=const.
2!
n!
h) Линейное преобразование 𝜑 в базисе e1, e2, e3, e4 имеет матрицу
1 2
0 1
3 0 −1 2
(
)
2 5
3 1
1 2
1 3
Найти матрицу этого преобразования в базисе:
i.
e1, e1+e2, e1+e3, e1+e4;
ii.
e1, e1+e2, e1+e2+e3, e1+e2+e3+e4.
i) Линейное преобразование 𝜑 в базисе a1=(8,-6,7), a2=(-16,7,-13), a3=(9,-3,7) имеет матрицу
1 −18 15
(−1 −22 15).
1 −25 22
Найти матрицу преобразования 𝜑 в базисе b1=(1,-2,1), b2=(3,-1,3), b3=(2,1,2).
3 5
j) Пусть преобразование 𝜑 в базисе a1=(1,2), a2=(2,3) имеет матрицу (
). Преобразование 𝜓 в базисе
4 3
4 6
b1=(3,1), b2=(4,2) имеет матрицу (
). Найти матрицу преобразования 𝜑 + 𝜓 в базисе b1, b2.
6 9
2 −1
k) Пусть преобразование 𝜑 в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу (
). Преобразование 𝜓 в базисе
5 −3
1 3
b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу (
). Найти матрицу преобразования 𝜑𝜓 в базисе b1, b2.
2 7
(Примерный вариант)
Функции на линейных пространствах.
a) Найти матрицу квадратичной формы 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 2𝑥12 + 3𝑥22 + 4𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3 .
b) Найти невырожденное преобразование, приводящее квадратичную форму 2𝑥12 + 3𝑥22 + 4𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 +
4𝑥1 𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3 к каноническому виду.
c) Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму 8𝑥12 − 7𝑥22 + 8𝑥32 + 8𝑥1 𝑥2 −
2𝑥1 𝑥3 + 8𝑥2 𝑥3 к каноническому виду.
33
d) Привести методом Лагранжа квадратичную форму 2𝑥12 + 3𝑥22 + 4𝑥32 − 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 − 3𝑥2 𝑥3 к
каноническому виду.
e) Выяснить, являются ли эквивалентными квадратичными формы
𝑥12 + 2𝑥22 − 𝑥32 + 4𝑥1 𝑥2 − 2𝑥1 𝑥3 − 4𝑥2 𝑥3 и −4𝑥12 − 𝑥22 − 𝑥32 − 4𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 + 18𝑥2 𝑥3 .
(Примерный вариант)
Аффинные и точечные пространства.
Найти параметрические уравнения плоскости, заданной общими уравнениями:
x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 1
i.
{ x1 + 2x2 − x.3 + 2x4 = 3
x1 − x2 − 4x3 + 5x4 = −3
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 + 3𝑥5 = 2
6𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 + 5𝑥5 = 3
ii.
{
6𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 + 8𝑥4 + 13𝑥5 = 9
4𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 1
b) Найти общее уравнение плоскости, заданной параметрическими уравнениями:
𝑥1 = 2 + 𝑡1 + 𝑡2
𝑥2 = 1 + 2𝑡1 + 𝑡2
𝑥3 = −3 + 𝑡1 + 𝑡2
i.
𝑥4 = 3 + 3𝑡1 + 𝑡2
{ 𝑥5 = 1 + 𝑡1 + 3𝑡2
𝑥1 = 1 + 𝑡1 + 𝑡2
𝑥2 = 2 + 𝑡2
𝑥3 = 5 − 𝑡1 + 3𝑡2
ii.
𝑥4 = 3 + 2𝑡1 − 𝑡2
{𝑥5 = 1 + 3𝑡1 − 2𝑡2
c) Доказать, что любая плоскость π аффинного пространства сама является аффинным пространством,
размерность которого равна размерности π.
a)
(примерный вариант)
Преобразования аффинных пространств.
a)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй
i.
совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;
ii.
является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости, относительно
прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.
Что такое гомотетия с коэффициентом
i.
Равным 1;
ii.
Равным -1.
Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом
i.
Равным 10;
1
ii.
Равным − .
2
Докажите, что гомотетия относительно точки является аффинным преобразованием.
Докажите, что гомотетию относительно точки можно представить как композицию двух растяжений или
сжатий относительно перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку.
Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются или уменьшаются.
Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности, а правильные треугольники - в
правильные треугольники.
Докажите, что композиция двух гомотетий есть гомотетия, причем центры этих гомотетий лежат на одной
прямой.
Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом не равным единице и параллельного переноса
есть гомотетия с тем же самым коэффициентом, но относительно другой точки.
Докажите, что при аффинном преобразовании пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся,
параллельные прямые – в параллельные, параллелограмм – в параллелограмм, трапеция – в трапецию
Докажите, что отношение длин отрезков на одной и той же прямой при аффинном преобразовании
сохраняется
34
Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых при аффинном преобразовании
сохраняется.
l)
Докажите, что при аффинном преобразовании выпуклая фигура переходит в выпуклую фигуру.
m) Докажите, что применяя движения, растяжения и сжатия можно получить любое аффинное
преобразование.
k)
(примерный вариант)
Тензорная алгебра.
Показать, что объект четвёртого порядка может быть пяти различных типов.
Если число измерений равно четырём, то, сколько составляющих имеют объекты второго и
третьего порядков.
Выписать полную систему линейных равенств, задаваемую выражением:
𝑎𝑟𝑠 𝑥 𝑠 = 𝑏𝑟 .
Сколько слагаемых содержится в сумме
𝑎𝑚𝑛𝑝 𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 𝑧 𝑝 ?
Показать, что 𝑎𝑠𝑟𝑠 есть объект первого порядка, и выписать полностью его составляющие.
Сколько различных составляющих содержится в абсолютно симметричном объекте третьего
порядка?
Показать, что антисимметричный объект третьего порядка имеет только шесть отличных от нуля
составляющих, одинаковых по величине?
Доказать, что если 𝑎𝑚𝑛 антисимметричен, то 𝑎𝑚𝑛 𝑥 𝑚 𝑥 𝑛 = 0, и, обратно, если это уравнение
верно для всех значений переменной 𝑥 𝑟 , то 𝑎𝑚𝑛 антисимметричен.
Показать, что
𝑟𝑠𝑡 𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑠𝑡
𝑎𝑖𝑗𝑘
𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑝 = |𝑎𝑠𝑟 |𝛿𝑚𝑛𝑝
,
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
𝑟𝑠𝑡 𝑖 𝑗 𝑘
𝑎𝑖𝑗𝑘
𝑎𝑟 𝑎𝑠 𝑎𝑡 = 3! |𝑎𝑠𝑟 |.
Написать законы преобразования для различных типов тензоров четвёртого порядка.
j)
𝜕2 𝜑
k)
l)
m)
Показать, что 𝜕𝑥 𝑟 𝜕𝑥 𝑠 есть ковариантный тензор второго порядка, если 𝜑 является инвариантной
функцией от переменной 𝑥 𝑚 .
𝑟 𝑝
Показать, что 𝑎𝑠𝑡
𝑏𝑟 есть тензор третьего порядка.
𝑟
𝑟 )𝑥 𝑡
Показать, что равенства (𝑎𝑠𝑡
+ 𝑏𝑠𝑡
= 𝑘𝑠𝑟 образуют систему тензорных уравнений.
(примерный вариант)
Теоретических вопросов коллоквиумов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Что называется матрицей размера m×n?
Что называется элементами матрицы?
Как обозначается элемент, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце матрицы?
Какая матрица называется квадратной?
Что называется порядком квадратной матрицы?
Какая матрица называется нулевой?
Какая матрица называется диагональной?
Какая матрица называется единичной?
Какие матрицы называются равными?
Что называется суммой двух матриц?
Можно ли складывать матрицы разных размеров?
Что называется суммой k матриц, k∈ℕ, k≥2?
Что называется произведением числа на матрицу?
Какая матрица называется противоположной к данной матрице?
Что называется разностью двух матриц?
35
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Какие операции над матрицами называются линейными?
Каковы свойства линейных операций над матрицами?
В каком случае можно одну матрицу умножить на другую?
Что называется произведением одной матрицы на другую?
Каковы должны быть размеры матриц A, B и C, чтобы существовало произведение (AB)C?
Что называется произведением k матриц, k∈ℕ, k>2?
В каком случае существуют произведения AB и BA?
Пусть существуют произведения AB и BA. Справедливо ли равенство AB=BA?
Возможно ли равенство AB=O, если A и B – ненулевые матрицы?
Каковы свойства произведения матриц?
В каком случае существует произведение AA?
Что называется целой положительной степенью квадратной матрицы?
Что называется нулевой степенью квадратной матрицы?
Что называется первой степенью квадратной матрицы?
Что называется многочленом от квадратной матрицы?
В каком случае квадратная матрица называется корнем многочлена 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 +
𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ?
Какая матрица называется транспонированной к данной матрице?
Какая операция называется транспонированием матрицы?
Пусть матрица имеет размер m×n. Каков будет размер матрицы транспонированной к ней?
Пусть A=(aij). Указать номера строки и столбца на пересечении которых стоит элемент aij
матрицы A в матрице AT?
Какими свойствами обладает операция транспонирования?
Что называется детерминантом (определителем) матрицы n-ого порядка?
Перечислить основные свойства детерминантов?
Доказать свойство detA=detAT непосредственным вычислением детерминантов, если A –
матрица третьего порядка?
Что называется минором порядка k матрицы Am×n?
Какие значения может принимать число k – порядок минора матрицы Am×n?
Что называется минором, дополнительным к данному минору?
Каких размеров должна быть матрица, существует понятие минора?
Для любого ли минора порядка k в матрице Am×n существует дополнительный к нему
минор?
Что называется алгебраическим дополнением манора матрицы?
Что называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы прядка n?
Сформулировать теорему Лапласа.
Сформулировать следствия из теоремы Лапласа.
Какая матрица называется обратной к данной матрице?
Какая матрица называется невырожденной (неособенной)?
Какая матрица называется вырожденной (особенной)?
Доказать, что произведение двух невырожденных матриц есть невырожденная матрица.
Пусть AB — вырожденная матрица. Всегда ли можно утверждать, что хотя бы одна из
перемножаемых матриц вырожденная?
Для какой матрицы существует обратная матрица?
Доказать, что для невырожденной матрицы обратная матрица единственная?
Пусть detA0. Записать формулу, по которой находиться матрица, обратная матрице A=(aij),
i,j=1,2,…,n.
Пусть A и B — невырожденные матрицы и α0. Доказать справедливость следующих
свойств:
1
a) 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 = 𝑑𝑒𝑡𝐴;
b) (𝐴−1 )−1 = 𝐴;
−1
c) (𝐴𝑘 ) = (𝐴−1 )𝑘 ;
d) (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 .
Что называется рангом матрицы?
36
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
В каком случае ранг квадратной матрицы порядка n равен n?
Ранг матрицы равен r. Чему равен ранг матрицы транспонированной к данной?
Какие преобразования матрицы называют элементарными?
Матрица B получена из матрицы A при помощи элементарных преобразований. Чему
равен ранг:
a) Матрицы B, если ранг матрицы A равен r;
b) Матрицы A, если ранг матрицы B равен r?
Что называется базисным минором матрицы?В каком случае некоторая строка является ли
нейной комбинацией других k строк этой матрицы?
В каком случае k (k>1) строк матрицы называются линейно независимыми?
Какие строки и столбцы матрицы называются базисными?
Сформулировать теорему о базисном миноре матрицы.
Что можно сказать о числе базисных миноров матрицы ранга r?
Какой минор матрицы называется минором, окаймляющим ее минор порядка k?
Чему равно максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы?
Какая система уравнений называется линейной?
Что называется основной матрицей системы и расширенной матрицей системы m
линейных уравнений с n неизвестными?
Пусть дана система линейных уравнений
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
.
{
… … … … … …
…
… …
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Записать ее в матричном виде
.Что называется решением m линейных уравнений с n неизвестными?
Какая система линейных уравнений называется совместной?
Какая система линейных уравнений называется несовместной?
Какая система линейных уравнений называется определенной?
Какая система линейных уравнений называется неопределенной?
Написать формулы Крамера.
Сформулировать теорему Кронекера-Капелли (критерий совместности системы).
В каком случае система линейных уравнений имеет единственное решение?
Пусть AX=B — система n линейных уравнений с n неизвестными и detA=0. Что можно
сказать о решении такой системы?
Какие неизвестные совместной системы линейных уравнений называются базисными и
какие – свободными?
Сколько базисных неизвестных может иметь система линейных уравнений?
Сколько свободных неизвестных может иметь совместная система линейных уравнений?
Какая система линейных уравнений называется однородной?
Какое решение однородной системы называется тривиальным?
Может ли однородная система линейных уравнений быть несовместной?
Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы однородная система
линейных уравнений имела только тривиальное решение.
Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтобы однородная система
линейных уравнений имела нетривиальное решение.
Что называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных
уравнений?
При каком условии однородная система линейных уравнений имеет фундаментальную
систему решений?
Сколько решений содержит фундаментальная система решений однородной системы
линейных уравнений?
Сколько фундаментальных систем решений может иметь однородная система линейных
уравнений?
Какая система фундаментальных решений называется нормированной?
Что называется прямым ходом метода Гаусса?
37
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
Что называется обратным ходом метода Гаусса?
Каково множество решений системы, если прямой ход метода Гаусса приводит матрицу
системы к треугольному виду, и все элементы главной диагонали отличны от нуля?
Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы после k-ого хода
метода Гаусса содержит строку, все элементы которой, кроме последнего, равны нулю?
Совместна или несовместна система, если расширенная матрица системы после k-ого хода
метода Гаусса содержит строку, в которой имеется ненулевой элемент, а все остальные
элементы, включая последний, равны нулю?
Как определяется операция умножения элемента множества V на число α∈ℝ (внешняя
операция)? Что называется произведением числа α∈ℝ на элемент x∈V?
Что называется вещественным линейным пространством?
Какое линейное пространство называется комплексным?
Что называется арифметическим действительным пространством? Как оно обозначается?
Что называется разностью x-y элементов x и y пространства V?
Какое множество V1 элементов линейного пространства называется подпространством
пространства V?
Что называется линейной комбинацией векторов x1, x2, …, xn? Что называется
коэффициентами линейной комбинации векторов?
Какая линейная комбинация векторов называется тривиальной и какая — нетривиальной?
Какая система векторов называется линейно независимой?
Какая система векторов называется линейно зависимой?
Что называется размерностью линейного пространства? Как обозначается размерность
линейного пространства?
Что называется базисом n-мерного пространства?
Указать размерность и базис линейного пространства, если известно, что в этом
пространстве существует n линейно независимых векторов e1, e2, …, en и любой вектор
этого пространства линейно выражается через e1, e2, …, en.
Что называется разложением вектора линейного пространства по базису e1, e2, …, en этого
пространства?
Что называется координатами вектора линейного пространства в базисе e1, e2, …, en этого
пространства?
Чему равны координаты нулевого вектора в произвольном базисе линейного
пространства?
Пусть два вектора равны между собой. Как связаны их координаты в одном и том же
базисе?
Даны координаты двух векторов в некотором базисе. Чему равны координаты суммы
векторов в этом же базисе?
Даны координаты вектора в некотором базисе. Чему равны координаты произведения
вектора на число в том же базисе?
Что называется матрицей системы векторов e1, e2, …, en?
Как определить, является ли система m векторов n-мерного линейного пространства
линейно независимой, если известны координаты векторов в некотором базисе?
Как определить, образует ли система n векторов n-мерного линейного пространства базис
этого пространства, если известны координаты векторов в некотором базисе?
Что называется матрицей перехода от одного базиса к другому?
Всякая ли матрица порядка n может быть матрицей перехода от одного базиса к другому в
n-мерном пространстве?
Пусть T – матрица перехода от базиса e1, e2, …, en линейного пространства V к базису e1´, e2´,
…, en´ того же пространства. Какова матрица перехода от базиса e1´, e2´, …, en´ к базису e1, e2,
…, en?
Записать формулы преобразования координат вектора, если известна матрица T перехода
от базиса e1, e2, …, en к базису e1´, e2´, …, en´.
Что называется скалярным произведением векторов в вещественном линейном
пространстве?
Что называется скалярным квадратом вектора?
38
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
Что называется евклидовым пространством?
Как определяются базис и размерность евклидова пространства?
Записать в евклидовом пространстве неравенство Коши-Буняковского. Для каких векторов
неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство?
Что называется нормой (длиной) вектора линейного пространства? Какое линейное
пространство называется нормированным?
Каким равенством можно определить норму (длину) вектора в евклидовом пространстве?
Что называется углом между ненулевыми векторами евклидова пространства?
Какие два вектора евклидова пространства называются ортогональными?
Какая система векторов евклидова пространства называется ортогональной?
В каком случае ортогональная система векторов линейно независима?
Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется ортогональным?
Какой вектор евклидова пространства называется нормированным или единичным?
Что называется нормированием данного вектора?
Какая система векторов называется ортонормированной?
Какой базис евклидова n-мерного пространства (n≥2) называется ортонормированным?
Что называется ортогонализацией данного вектора?
Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение векторов через их
координаты в ортонормированном базисе.
Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора через его координаты в
ортонормированном базисе?
Что называется скалярным произведением векторов в комплексном линейном
пространстве?
Что называется унитарным пространством?
Записать формулу, по которой вычисляется скалярное произведение векторов через их
координаты в ортонормированном базисе унитарного пространства?
Записать формулу, по которой вычисляется норма (длина) вектора через его координаты в
ортонормированном базисе унитарного пространства?
Что называется оператором, действующим из линейного пространства V в линейное
пространствоW (отображение пространства V в пространство W)?
Что называется оператором пространства V?
Что называется образом и прообразом вектора?
Какие операторы называются равными?
Какой оператор называется линейным?
Какой оператор пространства V называется тождественным?
Что называется матрицей линейного оператора пространства V в данном базисе?
Записать формулу для определения в базисе e1, e2, …, en координат образа вектора x, если
известны координаты вектора x и матрица A оператора в этом базисе?
Что называется ядром линейного оператора?
Как обозначается ядро линейного оператора?
Что называется образом (областью значений) линейного оператора?
Как обозначается образ линейного оператора?
Что называется рангом оператора?
Что называется дефектом оператора?
Пусть A – матрица линейного оператора f:V→V, где V – линейное вещественное
пространство размерности n. Как найти:
a. Ранг и дефект оператора f?
b. Ядро и образ оператора f?
Что называется суммой двух операторов?
Является ли сумма двух линейных операторов линейным оператором?
Операторы f и g заданы в некотором базисе соответственно матрицами A и B. Чему равна
матрица оператора f+g в этом же базисе?
Что называется произведением двух операторов?
Является ли произведение двух линейных операторов линейным оператором?
Какой линейный оператор называется невырожденным?
39
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
Какой линейный оператор называется вырожденным?
Какие линейные операторы называются взаимно обратными?
Какой линейный оператор называется обратным данному линейному оператору?
Какой линейный оператор имеет обратный?
Невырожденный оператор в некотором базисе задан матрицей. Чему равна в этом же
базисе матрица обратного оператора к данному?
Что называется собственным вектором и собственным значением линейного оператора?
Что называется характеристическим уравнением линейного оператора?
Что называется характеристическими числами линейного оператора?
Что называется спектром линейного оператора?
Какой спектр линейного оператора называется простым?
Как найти собственные значения линейного оператора, если известна матрица этого
оператора в некотором базисе?
Как найти собственные векторы линейного оператора, если известна матрица этого
оператора в некотором базисе?
Пусть λ – собственное значение линейного оператора n-мерного пространства, A – матрица
данного линейного оператора в некотором базисе. Чему равно максимальное число
линейно независимых векторов этого оператора с собственным числом λ?
Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы в пространстве размерности n
существовал базис, состоящий из собственных векторов линейного оператора?
Пусть e1, e2, …, en – базис пространства, состоящий из собственных векторов линейного
оператора. Записать матрицу линейного оператора в этом базисе.
Какая вещественная матрица называется ортогональной?
Каково необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы?
Чему равен определитель ортогональной матрицы?
Может ли невырожденная матрица быть ортогональной?
Пусть матрицы A и B – ортогональные матрицы одинакового порядка. Является ли матрица
AB ортогональной?
Пусть A – ортогональная матрица. Является ли ортогональной матрица:
a. AT.
b. A-1.
Является ли ортогональной матрица перехода от одного ортонормированного базиса к
другому ортонормированному базису?
Какой линейный оператор называется ортогональным?
Каково необходимое и достаточное условие ортогональности оператора?
Перечислить основные свойства ортогональных операторов.
Какой оператор называется сопряженным данному оператору?
Какие операторы называются взаимно сопряженными?
Как связаны между собой в ортонормированном базисе матрицы взаимно сопряженных
операторов евклидова пространства?
Перечислить основные свойства сопряженного оператора евклидова пространства.
Какой оператор называется самосопряженным (симметрическим)?
Какой вид имеет матрица самосопряженного оператора евклидова пространства в
ортонормированном базисе?
Каким условием связаны собственные векторы самосопряженного оператора евклидова
пространства, соответствующие различным собственным значениям?
Может ли комплексное число быть характеристическим числом самосопряженного
оператора евклидова пространства?
Сформулировать теорему о полноте собственных векторов самосопряженного оператора
евклидова пространства.
Сформулировать свойства самосопряженного оператора, следующие из теоремы о
полноте собственных векторов самосопряженного оператора евклидова пространства.
Что называется квадратичной формой n переменных x1, x2, …, xn?
Какая квадратичная форма называется вещественной?
Что называется матрицей квадратичной формы?
40
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
Что называется рангом квадратичной формы?
Какая квадратичная форма называется невырожденной?
Как записать квадратичную форму n переменных x1, x2, …, xn в матричном виде?
Какая квадратичная форма называется канонической?
Какой вид имеет матрица канонической квадратичной формы?
В каком случае говорят, что квадратичная форма приводится к каноническому виду?
Всякая ли квадратичная форма приводится к каноническому виду?
В чем суть метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду?
Какие миноры матрицы называются главными миноры матрицы?
В каком случае применим метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому
виду?
Какой вид имеет невырожденное преобразование (оператор), приводящее методом Якоби
к каноническому виду квадратичную форму, главные миноры матрицы которой отличны от
нуля?
Единственным ли образом определяется канонической вид для данной квадратичной
формы?
В чем заключается закон инерции квадратичных форм?
Изменится ли ранг квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании?
Всякую ли квадратичную форму можно привести методом Лагранжа к каноническому
виду?
Что называется тензором типа (𝑝, 𝑞)?
Какие операции можно выполнять над тензорами?
(примерный вариант)
Теоретические определения (понятия) коллоквиумов, экзаменов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Абелева группа
Абсолютно неприводимый многочлен
Аддитивная группа кольца
Алгебраическая операция
Алгебраическое дополнение
Алгебраическое число
Алгоритм деления с остатком
Алгоритм Евклида
Аргумент комплексного числа
Аффикс комплексного числа
Аффинное пространство
База пространства
Вектор
Векторное пространство
Вес члена многочлена
Взаимно простые многочлены
Высший член многочлена
Вырожденная матрица
Вырожденное линейное преобразование неизвестных
Главная диагональ матрицы
Главные миноры квадратной формы
Гомоморфизм
Границы корней многочлена
Группа
Движение
Двойная сумма
41
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
Действительная квадратичная форма
Действительная часть комплексного числа
Действительные числа
Деление матриц
Делитель единицы
Делитель многочлена
Дискриминант
Делитель нуля
Детерминант
Дефект линейного преобразования
Диагональная форма числовой матрицы
Дополнительный минор
Евклидово пространство
Единица группы
Единица поля
Единичная матрица
Единичный вектор
Задание линейного преобразования матрицей
Закон инерции
Значение многочлена
Изоморфизм групп
Изоморфизм евклидовых пространств
Изоморфизм колец
Изоморфизм линейных пространств
Инвариантность подпространства
Инварианты
Инверсия
Интерполяционная формула Лагранжа
Исключение неизвестного из системы уравнений
Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма
Квадратная матрица
Квадратное уравнение
Кватернионы
Кольцо
Кольцо многочленов
Кольцо многочленов над кольцом
Комплексная квадратичная форма
Коммутативная группа
Комплексное линейное пространство
Комплексная плоскость
Комплексные числа
Компоненты вектора
Конечная группа
Конечное кольцо (поле)
Конечномерное пространство
Корень многочлена
Корни из единицы
Кратный корень многочлена
Критерий Эйзенштейна
Кубическое уравнение
42
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
Кососимметрический определитель
Кососимметрическая функция
Кратное элемента аддитивной группы
Кратное элемента кольца
Лексикографическая запись многочлена
Лемма Гаусса
Лемма Даламбера
Лемма о возрастании модуля многочлена
Лемма Гаусса о модуле старшего члена
Линейная зависимость векторов
Линейная комбинация векторов
Линейная комбинация строк матрицы
Линейная форма
Линейное подпространство
Линейное преобразование линейного пространства
Линейное преобразование неизвестных
Линейное пространство
Линейное уравнение
Максимальная линейно независимая система векторов
Матрица
Матрица квадратичной формы
Матрица линейного преобразования
Матрица перехода
Матричный корень уравнения
Матричный полином
Метод Гаусса
Метод Горнера
Метод линейной интерполяции
Минимальный многочлен линейного преобразования
Минор
Мнимая единица
Мнимая ось
Мнимая часть комплексного числа
Многочлен
Многочлен нулевой степени
Многочлен от нескольких неизвестных
Наибольший общий делитель
Модуль комплексного числа
Мультипликативная группа поля
Невырожденная квадратная матрица
Невырожденная квадратичная форма
Невырожденное линейное преобразование неизвестных
Невырожденное линейное преобразование пространства
Некоммутативная группа
Некоммутативное кольцо
Неопределенная квадратичная форма
Неопределенная система линейных уравнений
Неприводимый многочлен
Несократимая рациональная дробь
Несовместная система линейных уравнений
Несчетное множество
43
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
226.
227.
228.
229.
230.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
Нечетная перестановка
Нечетная подстановка
Нормальный вид квадратичной формы
Нормированный вектор
Нулевая матрица
Нулевая степень элемента группы
Нулевое кратное элемента кольца
Нулевое подпространство
Нулевое преобразование линейного пространства
Нулевое решение
Нулевой вектор
Нуль кольца
Общий делитель многочленов
Однородный многочлен
Основная теорема о рациональных дробях
Основная теорема о симметрических многочленах
Остаток от деления многочленов
Отделение корней многочлена
Область значений линейного преобразования
Образ вектора при преобразовании
Образ пространства
Обратная матрица
Обратная операция
Обратное линейное преобразование
Обратный элемент в группе
Обратный элемент в поле
Общее решение системы линейных уравнений
Однородное уравнение
Определенная система линейных уравнений
Определитель
Определитель системы линейных уравнений
Ортогональная база
Ортогональная матрица
Ортогональное преобразование евклидова пространства
Ортогональное преобразование неизвестных
Ортогональные векторы
Ортонормированная база
Основная теорема алгебры комплексных чисел
Основная теорема о квадратичных формах
Основная теорема о линейной зависимости
Отрицательно определенная квадратичная форма
Отрицательные кратные элемента кольца
Отрицательные степени элемента группы
Отрицательные степени элемента поля
Отрицательный индекс инерции
Пара квадратичных форм
Первообразный корень из единицы
Пересечение подпространств
Перестановка
Подгруппа
Подполе
Подстановка
44
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214.
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
Поле
Поле рациональных дробей
Правильная рациональная дробь
Приводимый многочлен
Примитивный многочлен
Произведение многочленов
Производная многочлена
Простейшая рациональная дробь
Простой корень многочлена
Простой множитель многочлена
Поле разложения многочлена
Полиномиальные матрицы
Положительно определенная квадратичная форма
Положительный индекс инерции
Полуопределенная квадратичная форма
Порождение подгруппы элементами
Порядок конечной группы
Порядок элемента группы
Правила вычисления ранга матрицы
Правило Крамера
Преобразование пространства
Приведение квадратичной формы к главным осям
Приведенная система линейных уравнений
Присоединение элемента к полю
Присоединенная матрица
Произведение вектора на число
Произведение линейного преобразования на число
Произведение линейных преобразований
Произведение матриц
Произведение матрицы на число
Пропорциональные векторы
Простой спектр линейного преобразования
Простой элемент кольца
Противоположный вектор
Противоположный элемент в кольце
Процесс ортогонализации
Прямоугольная матрица
Разложение определителя по строке
Размерность линейного пространства
Ранг квадратичной формы
Ранг линейного преобразования
Ранг матрицы
Ранг произведения матриц
Ранг системы векторов
Распадающаяся квадратичная форма
Расширенная матрица системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений
Равенство многочленов
Разложение многочлена на линейные множители
Рациональная дробь
Степень многочлена от нескольких неизвестных
45
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
Свободные неизвестные
Симметрическая матриц
Симметрическое преобразование евклидова пространства
Система линейных уравнений
Система чисел Кэли
Скалярная матрица
Скалярное произведение
Сложение матриц
Собственное значение
Собственный вектор
Совместная система линейных уравнений
Сопряженные комплексные числа
Спектр линейного преобразования
Степень элемента группы
Степень элемента кольца
Степенные суммы
Сумма векторов
Сумма линейных преобразований
Сумма матриц
Сумма многочленов
Счетное множеств
Тензор
Теорема Гамильтона-Кэли
Теорема единственности для рациональных дробей
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема Лапласа
Теорема об умножении определителей
Тождественная подстановка
Тождественное линейное преобразование неизвестных
Тождественное линейное преобразование пространства
Транспозиция
Транспонирование матрицы
Тригонометрическая форма комплексного числа
Умножение матриц
Унитарное пространство
Формулы Виета
Формула Кардано
Формула Муавра
Формула Тейлора
Фундаментальная система решений
Характеристика поля
Характеристическая матрица
Характеристические корни линейного преобразования
Характеристические корни матрицы
Характеристический определитель
Характеристический многочлен
Целые числа
Цикл
Циклическая группа
Частное от деления многочленов
Частное элементов поля
46
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
Четная перестановка
Четная подстановка
Числовая матрица
Числовое кольцо
Числовое поле
Член определителя
Эквивалентные системы векторов
Элементарные преобразования числовой матрицы
Элементы матрицы
Ядро гомоморфизма
Ядро линейного преобразования
Вопросы к экзамену к каждому семестру расписаны выше и соответствуют
номерам пунктов раздела 5 – Содержание дисциплины.
47
10.4. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих
этапы формирования компетенций.
10.4.1. Текущая аттестация:
10.4.1.1. Контрольные работы.
По завершении каждого модуля проводятся контрольные работы, содержащие задания
различных типов и уровней сложности и способствующие контролю практической
составляющей материала дисциплины (во время аудиторных занятий).
10.4.1.2. Коллоквиумы.
По завершении каждого модуля проводятся коллоквиумы, содержащие вопросы
различных типов и уровней сложности и способствующие контролю теоретической
составляющей материала дисциплины (во время внеаудиторных занятий).
10.4.1.3. Тестирование (письменное или компьютерное) по темам и модулям дисциплины.
10.4.2. Промежуточная аттестация:
10.4.2.1. Тестирование по дисциплине;
10.4.2.2. Зачёты и (или) экзамены (письменно-устная форма).
Зачёт выставляется после решения всех задач контрольных работ и выполнения
самостоятельной работы. Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно,
удовлетворительно, хорошо, отлично в соответствии с интервальной шкалой перевода
100-балловой системы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала
дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балловой) и
традиционной (4-балловой) систем оценок.
11. Образовательные технологии.
11.1. Аудиторные занятия:

лекционные и практические занятия (коллоквиумы, семинары, специализированные
практикумы); на практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при
проверке домашних заданий. В течение семестра студенты решают задачи, указанные
преподавателем к каждому практическому занятию.

активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме, компьютерные
симуляции, компьютерное моделирование и практический анализ результатов, работа
студенческих исследовательских групп, вузовские и межвузовские видеоконференции).
11.2. Внеаудиторные занятия:

самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и уровня
сложности, подготовка к аудиторным занятиям, подготовка к коллоквиумам, изучение
отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим
планом, составлении конспектов, подготовка индивидуальных заданий: решение задач,
выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам
контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации);

индивидуальные консультации.
48
При
чтении
лекций
применяются
технологии
объяснительноиллюстративного и проблемного обучения в сочетании с современными
информационными технологиями обучения (различные демонстрации с
использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии
проблемного обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного
обучения, а также современные информационные технологии обучения
(самостоятельное изучение студентами учебных материалов в электронной
форме, выполнение студентами электронных практикумов, различные
демонстрации с использованием проекционного мультимедийного
оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии
проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в
частности, при самостоятельном изучении части теоретического
материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а
также современные информационные технологии обучения (системы
поиска информации, работа с учебно-методическими материалами,
размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие
активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция,
проблемное практическое занятие, работа в малых группах, групповая
дискуссия, практические занятия в диалоговом режиме, самостоятельная
работа с учебными материалами, представленными в электронной форме.
49
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
12.1. Основная литература:
12.1.1. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть 1: Основы алгебры [Электронный
ресурс] / А. И. Кострикин. - М.: МЦНМО, 2009. - 273 с. - 978-5-94057-453-8. Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63140 (дата обращения
28.02.2014).
12.1.2. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть 2: Линейная алгебра [Электронный
ресурс] / А. И. Кострикин. - М.: МЦНМО, 2009. - 368 с. - 978-5-94057-454-5. Режим
доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63144 (дата обращения
28.02.2014).
12.1.3. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть 3: Основные структуры алгебры
[Электронный ресурс] / А. И. Кострикин. - М.: МЦНМО, 2009. - 272 с. - 978-594057-455-2. Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=62951
(дата обращения 28.02.2014).
12.2. Дополнительная литература:
12.2.1. Винберг, Э. Б. Курс алгебры [Электронный ресурс] / Э. Б. Винберг. - М.: МЦНМО,
2011.
591
с.
978-5-94057-685-3.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63299 (дата обращения 28.02.2014).
12.2.2. Воеводин, В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие / В. В. Воеводин. - 3-е изд., стер.
- Санкт-Петербург: Лань, 2006. - 416 с.
12.2.3. Икрамов, Х. Д. Задачник по линейной алгебре: учеб. пособие / Х. Д. Икрамов ;
ред. В. В. Воеводин. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург: Лань, 2006. - 320 с.
12.2.4. Ильин, В. А. Линейная алгебра: учеб. для студентов физ. спец. и спец. "Прикл.
мат." / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 6-е изд.,
стер. - Москва : Физматлит, 2007. – 208 с.
12.2.5. Кострикин, А. И. Линейная алгебра и геометрия: учеб. пособие / А. И. Кострикин,
Ю. И. Манин. - 4-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2008. – 304 с.
12.2.6. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры: учеб. для студ. вузов, обуч. по спец.
"Математика", "Прикладная математика" / А. Г. Курош. - 16-е изд., стер. - СанктПетербург: Лань, 2007. - 432 с.
12.2.7. Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры: учеб. / А. И. Мальцев. - 5-е изд.,
стереотип. - Санкт-Петербург: Лань, 2009. - 480 с.
12.2.8. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие для
вузов / И. В. Проскуряков – 10-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2007. – 480 с.
12.2.9. Сборник задач по алгебре [Электронный ресурс] / М.: МЦНМО, 2009. - 404 с. 978-5-94057-413-2.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63274 (дата обращения 28.02.2014).
12.2.10. Сборник задач по алгебре. В 2 т. Т. 1. Ч. I. Основы алгебры. Ч. II. Линейная
алгебра и геометрия [Электронный ресурс] / М.: Физматлит, 2007. - 263 с. 978-5-9221-0583-5.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=82941 (дата обращения 28.02.2014).
50
12.2.11. Фаддеев, Д. К. Лекции по алгебре : учеб. пособие / Д. К. Фаддеев. - 4-е изд.,
стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2005. - 416 с.
12.2.12. Фаддеев, Д. К. Задачи по высшей алгебре : учеб. пособие для студ. вузов, обуч.
по мат. спец. / Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. - 15-е изд., стер. - Санкт-Петербург:
Лань, 2005. - 288 с.
12.3. Интернет-ресурсы:
12.3.1. http://lib.mexmat.ru – электронная библиотека Попечительского совета
механико-математического факультета Московского государственного
университета.
12.3.2. http://www.edu.ru – Федеральный портал «Российское образование».
12.3.3. http://school-collection.edu.ru/. Федеральное хранилище «Единая коллекция
цифровых образовательных ресурсов»:
12.3.4. http://elibrary.ru – научная электронная библиотека eLIBRARY.RU.
12.3.5. http://www.wolframalpha.com – вычислительный онлайн ресурс.
12.3.6. www.math.ru – сайт для школьников, студентов, учителей.
12.3.7. www.exponenta.ru - образовательный математический сайт.
12.3.8. www.matematicus.ru - учебный материал по различным математическим
курсам.
12.3.9. http://window.edu.ru – единое окно доступа к образовательным ресурсам.
12.3.10. http://www.intuit.ru – национальный открытый университет «ИНТУИТ»
13. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных
справочных систем (при необходимости).
При выполнении практических работ в качестве информационных
технологий используется следующее программное обеспечение:
 Microsoft Word.
 Microsoft Excel.
 Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в
частности, оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
51
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется
ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения
семинарского занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием
учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений,
основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо
усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на
лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе,
используя основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.
Ниже следует краткое изложение материала, которое позволит учащимся
систематизировать знания, полученные на лекциях, восполнить возможные
«пробелы» в изучении предмета, а так же приведены примеры решений некоторых
типовых задач для подготовки к контрольным работам.
ГЛАВА I.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
§1.1. Матрицы и операции над ними.
m строк и n
столбцов, называется матрицей порядка m на n ( m  n ). Матрицы будем обозначать буквами A, B, ..., а
их элементы, находящиеся на пересечении i  ой строки и j  ого столбца через aij , bij и т.д. Если
Прямоугольная таблица элементов некоторого множества (кольца) K , состоящая из
m  n , то матрица называется квадратной порядка n . В общем виде матрица m  n записывается
следующим образом:
 a11

a
A   21
...

 am1
a12
a22
...
am 2
... a1n 

... a2n 
... ... 

... amn 
52
 
 
1 . Суммой двух матриц A  aij и B  bij одного и того же порядка m  n называется матрица
 


C  cij порядка m  n , где cij  aij  bij i  1..m ; j  1..n .
Пример 1.
 2 1 4 5 6 2  2  5 1  6 4  2  7 7 6

 
 
 

 1 3 2    3 4 1    1  3 3  4 2  1    4 7 3 .
 3 4 5 5 1 2  3  5 4  1 5  2 8 5 7
 


 
 
 
2 . Произведением матрицы A  aij на число  называется матрица, у которой каждый элемент
равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число
:
A   aij   aij  i  1..m, j  1..n.
Пример 2.
1 2   2 1  2  2   2  4
  
  
.
3 4   2  3  2  4   6  8 
 2
3 .
Произведением матрицы
k
имеющую
 
строк
 
 
A  aij , имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B  bij ,
и
n
столбцов,
называется
матрица
C  cij , имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент cij равен сумме произведений элементов
i  ой
строки
матрицы
A
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j    aik bkj
и
j  ого
i  1..m, j  1..n.
столбца
матрицы
B
,
т.
е.
При этом число k столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B . В противном случае
произведение не определено.
Пример 3.
 3 2
 1  3  2  5  3  0 1  2  2  4  3  1 13 13 
1 2 3  
  
 .

   5 4   
1

3

3

5

2

0
1

2

3

4

2

1
18
16
1
3
2
 


 0 1 


§1.2. Определители. Теорема Лапласа.
Перестановкой из n чисел называется всякое расположение чисел от 1 до
В общем виде она записывается так
n в каком-либо порядке.
i1, i2 , ..., in (1)
Говорят, что в перестановке (1) числа i s и it образуют инверсию, если s  t , но i s  it . Перестановку
называют чётной (нечётной), если количество всех её инверсий есть число чётное (соответственно
53
нечётное). Оно обычно подсчитывается так: берём число i1 и находим количество чисел, лежащих правее и
меньших i1 , т.е. число инверсий, которое образует
i1 с остальными. Затем поступаем аналогично с числами
i2 , ..., in 1. Сумма этих чисел и будет количеством всех её инверсий. Например, в перестановке 5, 3, 1, 4, 2
число инверсий равно 7 и поэтому она нечётная.
Определителем квадратной матрицы называется сумма всех её правильных произведений, причём
каждое из них в этой сумме берётся со знаком «плюс», если соответствующая ему перестановка чётная, и со
знаком «минус» – в противном случае.
Определитель матрицы A порядка
n записывается так:
a11
a
A  21
...
a n1
a12
a 22
...
an 2
... a1n
... a 2n
... ...
... ann
k различных строк и столбцов, то на их пересечении элементы составят
матрицу порядка k , определитель которой называется минором k  ого порядка этой матрицы. Если же
исходная матрица квадратная и в ней вычеркнуть k различных строк и столбцов с номерами i1 ,..., ik и
j1 ,..., jk , то определитель, составленный из элементов оставшихся n  k строк и столбцов, умноженный
Если в матрице зафиксировать
на число
(1)i1 ... ik  j1 ... jk
называется алгебраическим дополнением исходного минора
k  ого
порядка.
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Зафиксируем в определителе
k  ого
k строк. Тогда сумма произведений всех миноров
порядка, лежащих в этих фиксированных строках, на их алгебраические дополнения равна
исходному определителю.
СЛЕДСТВИЕ. Сумма произведений всех элементов фиксированной строки определителя на их
алгебраические
дополнения
равна
определителю,
т.е.
n
A  ai1  Ai1  ai 2  Ai 2  ...  ain  Ain   aij  Aij , при любом фиксированном i, 1  i  n. □
j 1
Матрица A называется треугольной, если все элементы над или под главной диагональю равны
нулю. Непосредственно из определения определителя следует, что определитель треугольной матрицы
равен произведению элементов его главной диагонали.
Наконец, полезно запомнить правила вычислений определителей второго и третьего порядка.
Именно,
a11 a12
 a11a22  a12 a21.
a21 a22
Пример 4.
54
2 3
 2  5  3  4  2 .
4 5
a11a12 a13
a21a22 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 
a31a32 a33
 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33 .
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком ‹‹+››, а какие со
знаком ‹‹-›› полезно использовать следующее правило треугольников:
Пример 5.
3  2 1
2 3
1  3  3   2   2  1  4   1  2  0   1  3  4   2   2   2 
4 0 2
 3  1  0  18  8  12  8  22.
Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим алгоритмом: с
помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке (или в одном столбце) все
элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по следствию 1 из теоремы Лапласа расписывают
определитель по этой строке (столбцу). Тем самым вычисление определителя n  ого сводят к вычислению
определителя
n 1  ого порядка. При необходимости процедуру повторяют.
Пример 6. Вычислить определитель
1 2 3 2
2 0
1 3
.
D
1 2
3
2
2 2 1
3
Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно ко второй, третьей и
четвёртой строке, получим
55
1 2 3 2
0 4 7 7
D
.
0 0
6
0
0  6 7 1
Распишем определитель по первому столбцу:
4 7 7
D  1   111  0 6 0 .
 6 7 1
Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим
D  6   12  2 
4 7
 228.
 6 1
§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.
ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц
A и B одного и того же порядка равен произведению их определителей, т.е. A  B  A  B .
Пусть A и B  матрицы порядка
n . Матрица B называется обратной для матрицы A , если
AB  BA  E . Матрица A называется невырожденной, если A  0 .
ЛЕММА (к теореме об обратной матрице).
(а) если A имеет обратную матрицу B , то A - невырожденная;
(б) если обратная матрица для A существует, то она единственна.
ТЕОРЕМА (об обратной матрице). Если матрица A - невырожденная матрица, то она имеет
обратную матрицу
A1 , где
 A11 An1 
...


A 
 A11 ... An1 
 A


1
1 
A  ...............     .............. 

 A
 A ... A 
 A1n Ann 
nn 
 1n
 A ... A 


Иными словами,
деленному на
ij  ый
элемент
A1 равен алгебраическому дополнению
ji  го
(4)
элемента A ,
A.
Пример 7.
56
 3  1 0


Дана матрица A    2
1 1  . Её определитель A  5 , поэтому обратная матрица A1
 2  1 4


существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A :
1 1
 5;
1 4
A13   11 3 
2 1
 0;
2 1
A21   12 1 
1 0
 4;
1 4
3 0
 12;
2 4
A23   12  3 
3 1
1;
2 1
1 0
 1;
1 1
A32   13 2 
3 0
 3 ;
2 1
A33   13 3 
3 1
 1.
2 1
A22   12  2 
A31   131 
Тогда
A
1
2 1
 10 ;
2 4
A11   111 
 A11
1 
   A12
5 
 A13
A21
A22
A23
Линейным уравнением от
A12   11 2 
A31 
 5 4  1
 1

A32   10 12  3 .
5
A33 
1 
0 1
n неизвестных x1 ,..., x n называется уравнением вида
a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  b .
Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

.......................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bn
(5)
 
m уравнений от n неизвестных. Матрица A  aij , составленная из коэффициентов при
неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из b1 ,..., bm - свободных членов СЛУ (5),
Эта СЛУ состоит из
то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5) можно записать и в матричном виде
57
 x1   b1 
   
 x  b 
A 2    2 


   
 x  b 
 n  n
(6)
СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных
m  n  и
основная матрица ее невырожденная.
ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение
x1 ,..., xn  ,
которое
находится по формулам



x1  1 , x2  2 ,..., xn  n



где   определитель основной матрицы СЛУ, а
,
 i получается из  в результате замены в  i  го
столбца на столбец из свободных членов.
Пример 8. Решить систему уравнений
 x  2y  z 1

2 x  y  z  1
 x  3 y  z  2.

1 2 1
Решение.   2 1 1  1;
1 3 1
1 2 1
1 1 1
1 2 1
1   1 1 1  1;  2  2  1 1  1;  3  2 1  1  0,
2 3 1
1 2 1
1 3 2
т. о.

1
x 1 
 1;

1


1
0
y  2   1; z  3   0.
 1
 1
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§2.1. Арифметическое линейное пространство
Rn.
R n всех n  ок (строк из n элементов) действительных чисел 1 ,..., n  .
Введем на этом множестве умножение числа на n  ку и сложение n  ок так:
Рассмотрим множество
58
 1 ,..., n   1 ,...,  n ,
1 ,..., n   1 ,...,  n   1  1 ,..., n   n .
n  ки будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами a,b,..., возможно с
нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор   0,...,0 . Числа из R будем обозначать
Ниже
греческими буквами  ,  ,...
n
Множество R , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют
арифметическое линейное пространство или n - мерным векторным пространством.
1a1  ...   m a m называется линейной комбинацией векторов a1 ,  , a m (с
коэффициентами 1 ,..., m ). Говорят, что система векторов a1 ,  , a m является линейно независимой,
если для любых чисел 1 ,..., m равенство 1a1  ...   n a n   влечет, что 1  ...   n  0 . В
Вектор вида
противном случае система векторов
a1 ,  , a m называться линейно зависимой. Равносильно, система
векторов a1 ,  , a m линейно зависима, если найдутся числа 1 ,..., m , не все из которых равны
1a1  ...   m a m  
комбинация векторов
1a1  ...   m a m   можно выразить словами:
a1 ,  , a m с коэффициентами 1 ,..., m равна нулевому вектору.
. Равенство
Линейно независимая система порождающих называется базисом
0,
но
линейная
Rn .
Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в
R3 :
e1  1, 0, 0; e2  0, 1, 0; e3  0, 0, 1.
§2.2. Ранг матриц.
Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы.
Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы
m  n как на векторы пространства
R m (соответственно, R n ). Говорят, что подмножество векторов L линейного пространства является его
подпространством, если для всех a, b  L и числа  выполнены два условия:
(а)
a, b  L  a  b  L ;
(б)
aL   aL .
Универсальным способом получения подпространств является следующий: надо взять произвольное
множество A векторов из пространства и тогда, как не трудно проверить, множество L всевозможных
линейных комбинаций векторов из A образует подпространство исходного линейного пространства, о
котором говорят, что оно порождено векторами A . По теореме о базисах любая максимальная линейная
независимая система векторов из A содержит одно и то же число векторов. Поэтому корректно следующее
определение: число столбцов, образующих в матрице максимальную линейно независимую систему,
называется рангом матрицы по столбцам. Аналогично определяется и ранг матрицы по строкам.
ТЕОРЕМА (о ранге матриц). Ранг матрицы по столбцам равен ее минорному рангу.
59
Пример 1. Найти ранг матрицы
3

1
A
2

2
3 1 0 

2 2 1
.
3 3  1

1 1  1
4
2
3
2
Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы отличен от нуля.
d
3 4
 2.
1 2
Минор третьего порядка
3 4 3
d /  1 2 2  1,
2 3 3
окаймляющий
d , отличен от нуля, однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие d / , равны нулю:
3
1
2
2
4
2
3
2
3 1
2 2
0;
3 3
1 1
3
1
2
2
4
2
3
2
3 0
2 1
 0,
3 1
1 1
т. е. ранг матрицы A равен трём.
Назовём элементарными следующие преобразования матриц:




перестановка строк (столбцов);
домножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
добавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;
вычёркивание нулевой строки (столбца).
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. □
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Система из
k
векторов
1, 2 , 3 ,, k ,, n  ;
0 ,  2 ,  3 ,,  k ,,  n  ;
0 ,0 ,  3 ,,  k ,,  n  ;

0 ,0 ,0 ,, k ,,n 
линейно независима. □
60
В заключении укажем ещё один алгоритм нахождения ранга матриц, основанный на утв. 1, 2: с
помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду; количество её строк и
будет рангом матрицы.
Пример 2. Найти ранг матрицы






1 2
3
4

2 2 1
0
.
3 0
4
4

1 4  3  5
Решение. Домножим первую строку матрицы на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй,
третьей и четвёртой строкам, получим






1 2
3
4

0  6  5  8
.
0  6  5  8

0  6  6  9 
Теперь домножим вторую строку матрицы на (-1) и прибавим к третьей и четвёртой строкам. Вычеркнув
нулевую строку, получим матрицу
3
4
1 2


 0  6  5  8
 0 0  1  1


ступенчатого вида, у которой три строки. Т. е. ранг матрицы равен трём.
§2.3. Системы линейных уравнений.
Общий вид СЛУ задается системой:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

.......................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bn
Набор чисел
(*)
x1,, xn  такой, который при подстановке вместо x1,, xn , каждое из уравнений
системы обращает в тождество, называется ее частным решением. Найти общее решение СЛУ, значит указать
метод, позволяющий получить все частные ее решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы
одно частное решение, и несовместной– иначе.
Классической является следующая
61
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда,
когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.
Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если они обе не
совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать, что полученная СЛУ равносильна
исходной, если
 из СЛУ вычеркнуть уравнение вида 0  0 ;
 обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;
 прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.
Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного исключения
переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что a11  0 (этого можно всегда добиться с помощью
перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя его к
последующим, уничтожить в них слагаемые, содержащие x1 . Для этого, умножаем первое уравнение на
 a21 
 
 и
 a11 
прибавляем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на

 

am1 

a11 
и не
прибавим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида
 a11x1  a12 x2    a1n xn  b1

/
a22
x2    a2/ n xn  b2




/
/
/

am
2 x2    amn xn  bm .
Полагаем, что
/
a22
 0 (этого можно добиться, переставляя строки или переименовывая
переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с
оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение вида
несовместна, если же одно из уравнений окажется вида
результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид
00,
то это
0a
и
a  0,
то система
уравнение можно опустить. В
 a11x1  a12 x2    a1r xr  a1r 1xr 1    a1n xn  b1

/
a22
x2    a2/ r xr  a2/ r 1xr 1    a2n xn  b2/




/
/
/
/

arr
xr  arr
1 xr 1    arn xn  br .
Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число r является рангом
основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для нахождения общего решения СЛУ (*)
воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим
x r через
x r 1 ,..., x n . Зная это выражение из предпоследнего уравнения можно выразить x r 1 также через
x r 1 ,..., x n , и так далее. Наконец получим систему
62
 x1  c1  d1r 1xr 1    d1n xn

 
x  c  d
r
rr 1 xr 1    d rn xn .
 r
Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя вместо
неизвестных произвольные значения
xr 1,..., xn
и вычисляя x1, x2 ,..., xr можно получить все частные
решения ( x1, x2 ,..., xn ) СЛУ (*).
Пример 3. Решить систему уравнений
 x1  2 x2  5 x3  20

 x1  x2  3x3  8
3x  3x  13 x  48.
2
3
 1
Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:
1 2 5

1 1 3
3
3 13

20   1
 
8   0
48   0
2
5 20   1
2
5 20 
 

 3  2  12    0  3  2  12 .
 3  2  12   0
0
0
0 
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим, следовательно,
к системе уравнений, равносильной исходной
 x1  2 x2  5 x3  20
,

  3x2  2 x3  12
в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной возьмём
x3 , и
выразим через неё остальные, получим:
11

 x1  12  3 x3
.

2
 x2  4  x3
3

Полагая, например, x3
x1  1;
x2  2;
 3 , получим одно из частных решений системы:
x3  3.
Если все свободные члены СЛУ
b1 ,..., bm равны 0 , то СЛУ называется системой линейных
однородных уравнений (СЛОУ). Базис этого подпространства называется фундаментальной системой
решений СЛОУ.
63
ТЕОРЕМА (о СЛОУ). Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из n  r некоторых ее
частных решений, где n  число неизвестных СЛОУ, а r  ранг ее основной матрицы.
Пример 4. Решить систему
 x1  2 x2  2 x3  3 x4  0

 2 x1  3 x2  x3  5 x4  0
 x  x  3 x  8 x  0.
2
3
4
 1
Решение. Это система однородных уравнений, причём число уравнений меньше числа неизвестных;
она будет иметь множество решений. Так как все свободные члены равны нулю, то будем подвергать
преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:
3
1  2  2 3  1  2  2

 
 1  2  2
3
.
5  11  
 2  3 1  5   0 1
0
1
5

11


 1  1 3  8  0 1
5  11

 
Мы пришли к системе уравнений
 x1  2 x2  2 x3  3x4  0

x2  5 x3  11x4  0.

В качестве независимых выберем две переменные, например x3 , x4 . Выразим остальные переменные
через независимые. Получим
 x1  8 x3  19 x4

 x2  5 x3  11x4 .
Тогда фундаментальная система будет иметь следующий вид:
x1
x2
x3
x4
-8
19
-5
11
1
0
0
1
Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации фундаментальных
решений, т. е. общее решение системы
x    8,5, 1, 0   19, 11, 0, 1;  ,   R.
ГЛАВА 3.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
§3.1. Матрицы линейных операторов.
Отображение
x, y  L
 : L  L называется
линейным оператором, если выполнены условия: для всех
и числа  :
(а)   x 
y    x     y 
64
(б)  
x     x  ,
Матрицей
линейного
  i  1..n ; j  1..n. ,
 aij
оператора
 в базисе e1 ,, en называется такая матрица A
у которой i  ый столбец есть координаты вектора
 (ei )
в базисе
e1 ,, en . Т. е.,
 11 12  1n 






2n 
 (e1 )  (e2 )   (en )   e1 e2  en    21 22
.

   






n2
nn 
 n1
Пусть
e1/ ,...,en/  другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса
  i  1..n ; j  1..n ,
e1/ ,...,en/ называется такая матрица T   ij
e1 ,...,en
к другому
у которой i-ый столбец есть
/
координаты вектора ei в базисе e ,...,en , т. е.
1
e1/
  11  12



e2/  en/  e1 e2  en  21 22
 

  n1  n 2

  1n 

  2n 
.
 

  nn 
Пример 1.
Векторы
e1/  (1, 1, 1); e2/  (1, 1, 2); e3/  (1, 2, 3);
/
x  (6, 9, 14) заданы своими координатами в
/
/
некотором базисе e1 , e2 , e3 . Показать, что векторы e , e , e сами образуют базис, и найти координаты
1 2 3
вектора x в этом базисе.
/
/
/
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к системе векторов e , e , e :
1 2 3
1 1 1 


T  1 1 2  ,
1 2 3 


она невырожденная, значит векторы
e1/ , e2/ , e3/ линейно независимы и могут образовывать базис
трёхмерного пространства. Тогда
1  1
 1


T 1   1  2 1 .
1 1
0 

65
Найдём координаты вектора
x в базисе e1/ , e2/ , e3/ :
 x/   1
1  1  6   1 
 1 
 x /    1  2 1    9    2 .
 2 
0   14   3 
 x3/    1 1
 
ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть A и B – матрицы линейного оператора 
в базисах
Тогда
e1 ,...,en
и
e1/ ,...,en/ соответственно и T  матрица перехода о первого базиса ко второму.
B  T 1  A  T (матрицы A и B называются подобными).
1 2 1


Пример 2. Линейный оператор  в базисе e1 , e2 , e3 имеет матрицу A   3 2 1  . Найти его
1 1 0


матрицу B в базисе
e1/  (1, 1,  1);
e2/  (1,  2, 1);
e3/  (0,  1, 1).
/
/
/
Решение. Составим матрицу перехода от базиса e1 , e2 , e3 к базису e , e , e :
1 2 3
1
0
 1


T   1  2  1.
1 1
1 

Найдём обратную матрицу для T :
1
1
1


T 1   0  1  1 .
1 2
3 

Тогда
66
1
1  1 2 1  1
1
1





B  T 1  A  T   0  1  1   3 2 1   1  2
1 2
3   1 1 0    1
1

5 2  1
1 0  8  3
 5

 
 
   4  3  1   1  2  1    6
1
 10
9
3    1
1
1  16  5

0

 1 
1
 3

2 .
 6 
§3.3. Характеристические корни и собственные значения.
 
A   ij  квадратная матрица порядка n с действительными элементами. Пусть, с другой
стороны,   некоторое неизвестное. Тогда матрица ( A  E ), где E  единичная матрица порядка n ,
называется характеристической матрицей матрицы A . Так как в матрице ( E ) по главной диагонали
Пусть
стоит
 , все же остальные элементы равны нулю, то
12
 11  

 22  
  21
A  E  



 n2
  n1
Многочлен n  ой степени
A  E

1n 


 2n 
.

 

  nn   
называется характеристическим многочленом матрицы A , а
его корни, которые могут быть как действительными,
характеристическими корнями этой матрицы.
так
и
комплексными,
Пусть в линейном пространстве L задан линейный оператор  . Если вектор
переводится оператором  в вектор, пропорциональный самому
b,
называются
отличный от нуля,
b,
 (b)  0b,
(6)
0  некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором оператора  ,
а число 0  собственным значением этого оператора, причем говорят, что собственный вектор b
относится, к собственному значению 0 .
где
ТЕОРЕМА (о собственных значениях). Действительные характеристические корни линейного
оператора  , если они существуют, и только они служат собственными значениями этого оператора.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в
некотором базисе матрицей
 4  5 2


A   5  7 3 .
 6  9 4


Решение: Составим характеристическое уравнение
67
4
5
6
5
7
9
2
3  0.
4
Раскрывая определитель, получим уравнение
 3  2  0 ,
корни которого 1
 0, 2  0, 3  1 являются собственными значениями линейного оператора  .
Найдём собственные векторы, соответствующие собственному значению 1,2
(10), считая
 0. Для этого решим систему
0  0.
 4 x1  5 x2  2 x3  0

 5 x1  7 x2  3x3  0
 6 x  9 x  4 x  0.
2
3
 1
После преобразования получим:
 x1  2 x2  x3  0

3 x2  2 x3  0

или





1
x1  x3
3
2
x2  x3 .
3
Фундаментальная система решений имеет вид:
Собственный вектор
x1
x2
x3
1
2
3
x   0   (1, 2, 3);   0.
Аналогично, для
3  1 , получим систему линейных однородных уравнений
 3x1  5 x 2  2 x3  0

 5 x1  8 x 2  3x3  0
 6 x  9 x  3x  0,
2
3
 1
фундаментальным решением которой будет:
и
x1
x2
x3
1
1
1
x  1   (1, 1, 1);   0  собственный вектор, соответствующий собственному значению 3  1.
ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
68
§4.1. Группы, кольца, поля.
Множество
G
элементов
a, b, c, ,
в котором определён закон композиции, называемый
сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементов
cab
a, b
множества
этого множества, называется аддитивной группой (обозначается
G
определённый элемент
G, 
), если этот закон
удовлетворяет следующим требованиям:
a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
Существует элемент e множества G такой, что
1.
для любого элемента a этого множества
a  e  a (существование нейтрального (нулевого) элемента).
Для любого элемента a множества G существует противоположный элемент  a такой, что
2.
3.
a  ( a)  e .
a  b  b  a (коммутативность),
4.
то группа
G
называется коммутативной или абелевой.
Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).
Пример 1. Множество Z целых чисел образует абелеву группу относительно сложения.
Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является
целое число
0 , а обратным для a
служит целое число
a.
Пример 2. Множество положительных вещественных чисел
R образует абелеву группу
относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно. Нейтральный элемент
1 R , а обратным элементом для числа a  0 служит вещественное число 1 .
a
Множество K элементов
a, b, c, ,
в котором определены законы композиции, называемые
сложением и умножением, называется кольцом (обозначается
K , , 
), если эти законы удовлетворяют
следующим требованиям:
1.
2.
3.
K ,   коммутативная группа.
a  (b  c)  (a  b)  c (ассоциативность).
a  (b  c)  a  b  a  c и (b  c)  a  b  a  c  a
(дистрибутивность
умножения
относительно сложения).
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце имеется единичный
a, b  K называются
 , если a  0 и b  0 , но a  b  0 .
элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы
нейтрального элемента относительно
делителями нуля 
Пример 4. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным
кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число 1 .
Пример 5. Множество квадратных матриц n  ого порядка относительно сложения и умножения
образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения,
дистрибутивность умножения относительно сложения для матриц были отмечены в §. Нейтральным
элементом по сложению является нулевая квадратная матрица порядка n , нейтральным элементом по
умножению  единичная матрица порядка n .
69
Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым, т.е.
для любого
a0
существует
a 1 , такой, что aa 1  e , называется полем.
Пример 6. Множество рациональных чисел
Q
с операциями сложения и умножения образует поле.
Действительно, для всякого ненулевого рационального
элемент
b
a
a
b
, существует так же рациональный обратный
.
§4.2. Поле комплексных чисел.
В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости
C  ( x, y ) : x, y  R , каждая из которых однозначно определяется упорядоченной парой
действительных чисел. Введём операции сложения и умножения для таких элементов следующим образом:
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d );
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , cd  bc).
Множество
C
с введёнными операциями сложения и умножения образует поле комплексных чисел.
Между декартовыми и полярными координатами существует следующая связь, справедливая при
любом расположении точек на плоскости:
a  r cos , b  r sin .
Для произвольного комплексного числа  имеем:
  a  bi  r cos   r sin  i  r cos   i sin  .
Пример 7. Найти тригонометрическую форму числа
Решение. Здесь
a  3 , b  1 . Тогда r 

3
cos 
2

sin    1
2.

Решая систему, получаем
3 i.
 3 2  12  2 .

11

6

11
 . Таким образом
6
11 
 11
3  1  2 cos   i sin  .
6
6 

Формулы Муавра:
70
r cos  i sin  n  r n cosn   i sin n .
1  i 4 .
Пример 8. Вычислить
Решение.
1  i 
4
4

 
 
  2  cos  i sin  
4
4 
 
Пример 9. Вычислить
 2 4 cos  i sin    4.
  i.
Решение. Найдём тригонометрическую форму числа  i :
 i  cos
3
3
 i sin
2
2
.
3
3
 2k
 2k
3
3
2
2
 i sin
 cos
 i sin
Тогда   cos
2
2
2
2
При
k  0 имеем:  0  cos
При
k  1: 1  cos
.
3
3
2
2
 i sin

i
.
4
4
2
2
7
7
2
2
 i sin

i
.
4
4
2
2
Пример 10. Вычислить 
38.
Решение. В тригонометрической форме


  3 8cos0  i sin 0  2 cos
8  8  cos 0  i sin 0 .
2k
2k 
 i sin
.
3
3 
k  0 :  0  2cos 0  i sin 0   2 ;
2
2 

 i sin
k  1: 1  2 cos
 3 i;
3
3 

4
4 

 i sin
k  2 :  2  2 cos
   3 i.
3
3 

§4.4. Кольца многочленов.
Пусть P  произвольное поле. Через
P x  обозначим множество многочленов от x с
коэффициентами из P . Многочлен имеет вид:
71
f x   a0  a1x    an 1x n 1  an x n .
Следовательно, множество
C x  с введёнными таким образом операциями сложения и умножения
образует коммутативное кольцо с единицей, но не поле. Это же утверждение будет справедливо для
многочленов над произвольным полем.
Пример 11. Найти наибольший общий делитель многочленов:
f x   x 4  3x 3  x 2  4 x  3; g x   3x 3  10 x 2  2 x  3.
Решение. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, мы можем, чтобы
избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на любое не равное нулю
число, причём, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого
деления. Это будет приводить, понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут
приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего
общего делителя допускается.
Делим
f  x  на g  x  , предварительно умножив f  x  на 3:
3
2
3x 4  9 x 3  3x 2  12 x  9 3x  10 x  2 x  3
3x 4  10 x 3  2 x 2  3x
x 1
 x3  5x 2  9 x  9
(умножаем на 3)
3x 3  15 x 2  27 x  27
3x 3  10 x 2  2 x  3
5 x 2  25 x  30
Степень остатка стала меньше степени делителя, таким образом, после сокращения на 5 получим
первый остаток r1
x   x 2  5x  6 . Делим на него многочлен g x  :
2
3x 3  10 x 2  2 x  3 x  5 x  6
3x 3  15 x 2  18 x
3x  5
 5 x 2  16 x  3
 5 x 2  25 x  30
9 x  27
Вторым
остатком,
после
сокращения
на
9,
будет
r2  x   x  3 .
Очевидно,
что
r1  x   r2  x  x  2 , т. е. последним остатком, отличным от нуля будет r2  x   x  3 . Он и будет
искомым наибольшим делителем:
72
 f x , g x   x  3.
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ И УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ.
§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
n  мерном действительном линейном пространстве Ln определено
скалярное умножение, если всякой паре векторов a, b поставлено в соответствие действительное число,
обозначаемое символом a, b  и называемое скалярным произведением векторов a и b , причем
выполняются следующие условия (здесь a, b, c  любые в е к т о р ы пространства Ln ,   любое
Будем говорить, что в
действительное число):
I.
a, b   b, a ,
II. a  b, c   a, c   b, c ,
III.
a, b    a, b ,
IV.
Если
a   , то скалярный квадрат вектора a
строго положителен,
a, a   0.
Опишем далее так называемый процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода от любой
линейно независимой системы из
системе, также состоящей из
k
k
векторов a1 , a2 ,, ak евклидова пространства
En к ортогональной
ненулевых лекторов; эти векторы будут обозначены через b1 , b2 ,, bk .
Положим b1  a1 , т. е. первый вектор системы ( a1 , a2 ,, ak ) войдёт и в строящуюся нами ортогональную
систему. Положим, далее,
b2  1b1  a2 .
Так как b1
 a1 а векторы a1 и a 2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от нуля при любом числе
1 . Подберем это число из условии, что вектор b2
должен быть ортогонален к вектору b1 :
0  b1 , b2   b1 , 1b1  a2   1 b1, b1   b1, a2 ,
откуда, ввиду IV,
b , a 
1   1 2 .
b1, b1 
Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов b1 , b2 ,, bl ; дополнительно
предположим, что для всякого
i, 1  i  l ,
вектор
bi является линейной комбинацией векторов
a1 , a2 ,, ai . Это предположение будет выполняться тогда и для вектора bl 1 если он будет выбран в
виде
73
bl 1  1b1   2b2     l bl  al 1.
Вектор bl 1 будет при этом отличен от нуля, так как система ( a1 , a2 ,, ak ) линейно независимая, а вектор
al 1 не входит в записи векторов b1, b2 ,, bl . Коэффициенты  i , i  1, 2,, l , подберем из условия,
i  1, 2,, l :
что вектор bl 1 должен быть ортогонален ко всем векторам bi ,
0  bi , bl 1   bi , 1b1   2b2     l bl  al 1  
 1bi , b1    2 bi , b2      l bi , bl   bi , al 1 ;
отсюда, так как векторы b1 , b2 ,, bl ортогональны между собой,
 i bi , bi   bi , al 1   0,
т. е.
b , a 
 i   i l 1 , i  1, 2,, l.
bi , bi 
Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему b1 , b2 ,, bk .
Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства
En , мы получим
ортогональную систему из n ненулевых векторов, т. е., так как эта система по доказанному линейно
независима, ортогональный базис.
Назовем вектор
Если
b нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, т. е. b, b   1.
a   , откуда a, a   0 , то нормированием вектора a
b
Вектор
называется переход к вектору
1
a.
a, a 
b будет нормированным, так как

b, b  

1
a,
a, a 
 
1
a   
a, a   
2
1 
a, a   1.
a, a  
Пример 1. Привести систему векторов
a1  2,  1, 2; a2  1, 1, 4; a3  6,  3,  3
к ортонормированному виду.
Решение. Применим к указанным векторам процесс ортогонализации. b1
 a1  2,  1, 2 . Вектор
b2 ищем в виде
74
b , a  9
b2  a2  kb1, где k   1 2    1.
b1, b1  9
Далее
Подставляя значения, получим
b2   1, 2, 2 .
b3  a3  1b1   2b2 .
ищем
b , a  9
b , a   18
1   1 3    1,  2   2 3  
 2.
b , b  9
b , b 
9
подстановки,
имеем:
Рассмотрим произвольное линейное пространство L над полем P . Отображение
:LP
1 1
2
После
Здесь
2
b3  6,  3,  3  2,  1, 2  2   1, 2, 2  2, 2,  1.
Осталось нормировать систему b1 , b2 , b3 .
Итак, c1 , c2 , c3
c1 
1
1
2 1 2
b1  2,  1, 2   ,  , ,
3
b1, b1 
3 3 3
c2 
1
1
 1 2 2
b2   1, 2, 2    , , ,
3
b2 , b2 
 3 3 3
c3 
1
1
 2 2 1
b3  2, 2,  1   , ,  .
3
b3 , b3 
 3 3 3
 искомая ортонормированная система.
§1.3. Линейные функции.
называется линейной функцией, если
  x   y     x     y  , x, y  L è  ,   P.
§1.4. Сопряжённые операторы.
Оператор 

 y   a y называется сопряжённым к  , т. е.
  x  , y    x ,    y   .
Пример 1. Линейный оператор
f1  1, 2,1 ,
f1  1,1, 2  ,
 задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов
f1  1,1, 0 
матрицей
3
1 1
A   0 5 1  .
 2 7 3 


Найти матрицу сопряжённого оператора 

в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в
некотором ортонормированном базисе.
75
f1, f 2 , f3 заданы в некотором ортонормированном базисе
Решение. Координаты векторов
e1, e2 , e3 . Матрица перехода от e1, e2 , e3 к f1, f 2 , f3 будет
1 1 1
T   2 1 1  .
1 2 0


Значит,
A  T 1BT ,
где B  матрица того же оператора в ортонормированном базисе. Откуда
B  T A T 1 .
Находим
 2 2 0 
1
T 1   1 1 1  .
2

 3 1 1 
Тогда
 1 1 1  1 1 3   2 2 0   2 3 7 
 1  1 1 1    6 4 6  .
B   2 1 1 
0
5

1

 
 

 1 2 0  2 7 3  2  3 1 1   6 5 5 


 
 

Матрица
сопряжённого
оператора

будет
по
предыдущей
теореме
сопряжено
транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.
6
 2 6

B  B   3 4 5  .
 7
6
5 


Возвращаемся к исходному базису

A T
 2 2 0  2 6 6  1 1 1 
1
B T   1 1 1 
3 4 5 
2 1 1  


2



 3 1 1  7 6 5  1 2 0 
 36 37 15 
  30 30 14  .
 26 27
9 

1 
§1.5. Нормальные операторы.
76
Линейный оператор  унитарного пространства U называется нормальным, если
      ,
т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.
ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора
 в
унитарном пространстве U найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных
векторов оператора  . Матрица  имеет в этом базисе диагональный вид.
§1.6. Унитарные операторы.
Линейный оператор
 унитарного пространства U называется унитарным, если он сохраняет
скалярное произведение векторов, т. е.
x, y U  x, y     x  ,   y  .
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное
1
произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что A  A , т. е. транспонированная
матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу  ортогональной.
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора  в подходящем
ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю
единице.
ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадратичной формой
f
от
n неизвестных x1, x2 ,..., xn называется сумма, каждое слагаемое
которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.
Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее
коэффициенты действительными или же могут быль любыми комплексными числами.
Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму
f  x1x2  x2 x3  x3 x1
Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала
невырожденное линейное преобразование
x1  y1  y2 , x2  y1  y2 , x3  y3
с матрицей
 1 1 0 
A   1 1 0  ,
0 0 1


после чего получим:
f  y12  y22  2 y1 y3 .
77
2
Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат
одного неизвестного. Полагая
z1  y1  y3 , z2  y2 , z3  y3 ,
т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу
 1 0 1 
B   0 1 0  ,
0 0 1


мы приведем
f
к каноническому виду
f  z12  z22  z32 .
Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, будет
иметь своей матрицей произведение
 1 1 1
AB   1 1 1 .
 0 0 1


Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как определитель
равен 2 ) линейное преобразование
x1  z1  z2  z3 ,
x2  z1  z2  z3 ,
x3  z3
превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.
§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может
быть приведена к каноническому виду.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
f  x12  x22  x32  4 x1x2  4 x1x3  4 x2 x3
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
1 2 2
A   2 1 2  ,
2 2 1


Найдём её характеристический многочлен:
1 
2
2
2
A  E  2
1 
2      1    5  .
2
2
1 
Таким образом, матрица A имеет двукратный корень 1 и простой корень
канонический вид данной квадратичной формы будет
5.
Следовательно,
78
f   y12  y22  5 y32 .
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём
собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям
решим системы линейных однородных уравнений
При 1,2
 A   E 0 для каждого  .
1,2  1; 3  5 ,
т. е.
 1 имеем
 x1  x2  x3  0

 x1  x2  x3  0 .
x  x  x  0
3
 1 2
Откуда x1   x2
 x3 , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор решений будет:
b1   1,1, 0  ,
b2   1, 0,1 .
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
c1   1,1, 0  ,
 1 1 
c2    ,  ,1 .
 2 2 
При 3
 5 имеем
4 x1  2 x2  2 x3  0

 2 x1  4 x2  2 x3  0 .
 2x  2x  4x  0
1
2
3

Данная система эквивалентна следующей:
 x1  x2  2 x3  0
,

x2  x3  0

решением которой будет
c3  1,1,1 .
Остаётся нормировать систему c1, c2 , c3 :
 1 1

d1   
,
, 0 ,
2 2 

 1
1
2
d2   
,
,
,
6
6
3


 1 1 1 
d3  
,
,
.
 3 3 3
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
79
y1  
1
1
x1 
x2 ,
2
2
1
1
2
x1 
x2 
x3 ,
6
6
3
1
1
1
y3 
x1 
x2 
x3.
3
3
3
 
y2  
Для того чтобы найти матрицу преобразования
Q,
нужно выразить переменные x1, x2 , x3 через
y1, y2 , y3 , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования    . А так как Q 1  Q , то достаточно
транспонировать матрицу преобразования
  . Окончательно имеем:
1
1
1
y1 
y2 
y3 ,
2
6
3
1
1
1
x2 
y1 
y2 
y3 , .
2
6
3
x1  
2
1
y2 
y3.
3
3
x3 
ГЛАВА III. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ.
§3.1.
  матрицы, их эквивалентность.
В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка
многочлены произвольных степеней от одного неизвестного

n , элементами которых служат
с коэффициентами из поля P . Такие матрицы
называются многочленными матрицами или полиномиальными матрицами, или, короче,
Будем говорить, что
если от матрицы
A  
  матрицы A   
и
B  
  матрицами.
эквивалентны, и записывать
A   B    ,
B    при помощи конечного числа элементарных
называется   матрица, обладающая следующими тремя
можно перейти к матрице
преобразований. Канонической
свойствами:
  матрицей
а) эта матрица диагональная, т. е. имеет вид
 e1   
0

e2   
 0


0
 0
б) всякий многочлен ei
   , i  2, 3,


;


en    
0
0
(1)
, n , нацело делится на многочлен ei 1    ;
в) старший коэффициент каждого многочлена ei
многочлен отличен от нуля.
   , i  1, 2,
,n ,
равен единице, если этот
80
Пример 1. Привести к каноническому виду
  матрицу
 3   2  2 
.
A    
  2  3 2 


Решение. Выполняя цепочку элементарных преобразований, получаем;
A  
 3
2 1 2





2 


  2  3 



1 3 1 2
 2  2

  2  3


0

 
 3   2

 0
0

 
С другой стороны, можно вычислить инвариантные множители матрицы
0 

.

3
2 
0





A    . Именно, вычисляя
наибольший общий делитель элементов этой матрицы, получаем:
d1     e1      .
Вычисляя же определитель матрицы
A  
и замечая, что его старший коэффициент равен 1 , получаем:
d 2     2 4  2 3   4  3 3   4   3 .
а поэтому
d  
e2     2
 3   2 .
d1   
§3.2. Унимодулярные
 -матрицы.
Второй критерий эквивалентности.
  матрица U    называется
унимодулярной, если она имеет матрицу E своим каноническим
видом, т. е. если все ее инвариантные множители равны единице.
  матрицы A    и B   
порядка n тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют такие унимодулярные   матрицы
U    и V    того же порядка n , что
ТЕОРЕМА 3. (второй критерий эквивалентности
  матриц).
Две
B     U    A   V   
(3)
Пример 3. Являются ли следующие матрицы подобными
 2 1 
 10 4 
A
, B

?
0
3
26
11




Решение. Их характеристические матрицы эквивалентны, так как приводятся к одному и тому же
каноническому виду
81
0
1


 ,
2
0




6


поэтому матрицы A и B подобны.
§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
Будет выделен один специальный тип матриц, так называемые жордановы матрицы, и будет
показано, что эти матрицы служат нормальной формой для весьма широкого класса матриц. Именно,
матрицы, все характеристические корни которых лежат в основном поле P (и только такие матрицы),
подобны некоторым жордановым матрицам, т. е., как говорят, они приводятся к жордановой нормальной
форме. В частности, если в качестве поля P взято поле комплексных чисел, что всякая матрица с
комплексными элементами, приводится в поле комплексных чисел к жордановой нормальной форме.
Введем необходимые определения. Жордановой клеткой порядка
называется матрица порядка
k,
относящейся к числу
0 ,
k , 1  k  n , имеющая вид
0






 0
0 




1 

 0 
1
0
иными словами, на ее главной диагонали стоит одно и то же число
1
0
(1)
из поля P ; на параллели, ближайшей
к главной диагонали сверху, расположены числа 1; все остальные элементы матрицы равны нулю. Так,
0 1 
0 , 
,
 0 0 


 
0 1
0 


 0 0 1 


 0

0

0


будут соответственно жордановыми клетками первого, второго и третьего порядков.
Жордановой матрицей порядка
n называется матрица порядка n , имеющая вид
 J1


J 


 0

J2
0 





J s 
(2)
вдоль главной диагонали которой расположены жордановы клетки J1, J 2 , , J s некоторых порядков, не
обязательно различных, относящиеся к некоторым числам из поля P , также не обязательно различным; все
82
места вне этих клеток заняты нулями. При этом s  1 , т. е. одна жорданова клетка порядка
числу жордановых матриц этого порядка, и, понятно, s  n .
n принадлежит к
Пример 4. Найти инвариантные множители характеристической матрицы для следующей
жордановой:
2 1 0

0 2 1
0 0 2


J 





0




0 



.




3 1
0 3 
2
3 1
0 3
Решение. Составим таблицу многочленов (7):
   2 3 ,   2,
   32 ,    32 .
Поэтому инвариантными множителями матрицы
J
будут многочлены
e8        2     3 ,
3
2
e7        2    3 ,
2
в то время как e6
    ...  e1     1.
§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
ТЕОРЕМА 1. Матрица A с элементами из поля P тогда и только тогда приводится в поле P к
жордановой нормальной форме, если все характеристические корни матрицы A лежат в самом основном
поле P .
Пример 5. Найти жорданову нормальную форму матрицы
 16 17 87 108 
 8

9

42
54

A
 3 3
16  18 


6
8 
 1 1
Решение. Приводя обычным способом матрицу A   E к каноническому виду, получим, что
отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицы будут многочлены
83
e1        1    2  ,
2
e3       1.
Мы видим, что матрица A приводится к жордановой нормальной форме далее в поле рациональных
чисел. Ее элементарными делителями являются многочлены
   12 ,   1
и
2
, а поэтому
жордановой нормальной формой матрицы A служит матрица
1
0
J 
0

0
1
1
0
0
0 0
0 0 
.
1 0

0 2 
§ 3.7. Минимальный многочлен.
Пусть дана квадратная матрица A порядка
n с элементами из поля P . Если
f      0 k  1 k 1  ...   k 1   k 
произвольный многочлен из кольца
P    , то матрица
f      0 Ak  1 Ak 1  ...   k 1 A   k E
будет называться значением многочлена
Нетрудно
проверить,
что
f  
если
при
  A.
f            
или
f    u   v  
,
то
f  A    A    A и, соответственно, f  A  u  A v  A .
Если многочлен
f    аннулируется матрицей A , т. е. f  A  0 , то матрицу A будем называть
матричным корнем многочлена
f  
84